trabajo de ecuaciones diferenciales.pdf
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Instituto Tecnológico
de Nuevo Laredo
Alumno: Juan Carlos Acuña Robles
No. Control: 11100138
Maestro: J. Cleofas Zapata Calzada
Materia: Ecuaciones diferenciales
Tema: Investigación:
-Ecuaciones diferenciales exactas
-Factor de integrante o factor de integración
Nuevo Laredo, Tam. 22 de Marzo del 2013
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INDICE
Tema Página
_________________________________________________
Objetivo------------------------------------------------------ 3
Ecuaciones diferenciales exactas----------------- 4
Ejercicios --------------------------------------------------- 6
Factor de integrante o factor de integración--- 10
Ejercicios ----------------------------------------------------- 11
Bibliografía-------------------------------------------------- 16
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OBJETIVO
El objetivo principal de la siguiente investigación es el explicar y definir
que es una ecuación diferencial exacta y como poder resolverla, al
igual , presentamos el tema de factor integrante , que gracias a él ,
podemos convertir una ecuación diferencial no exacta a exacta.
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Ecuaciones diferenciales exactas
Definición:
La condición necesaria para poder declarar a una ecuación diferencial como
exacta debemos:
1) Debemos identificar nuestra ecuación diferencial:
M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0
2)Para ser exacta debemos derivar M con respecto a “y “ y N con respecto a “x” y
el resultado tendrá que ser el mismo:
A veces se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada
de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término.
Por ejemplo: (
Y como podemos observar, tanto una derivada como otra nos da un resultado de
-1.
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Solución de una ecuación diferencial exacta:
Si la ecuación es exacta entonces podemos encontrar
tal que:
Es decir F(x,y)=K, K R
De esta forma, encontrada F(x,y) la solución de la ecuación es:
F(x,y) =K
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EJEMPLO 2:
Comprobamos si es exacta:
Integramos
con respecto a t, obtenemos:
Ahora derivamos con respecto a y, e imponemos que
con lo que:
Y se sigue que (y)=1.Por lo tanto, (y)=y+c1, con c1 R. En consecuencia:
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EJEMPLO 3:
Comprobamos que es exacta:
Integramos
con respecto a t, obtenemos:
Ahora derivamos con respecto a y e imponemos que
oobtenemos:
Y se sigue que ’ y por lo que y c .
Y
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EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.
primitiva es:
2.
Primitiva es:
3. (cos y + y cosx)dx+(senx-xseny)dy=0
Primitiva es:x cos y + y sen x=C
4.
Primitiva es:
5.
Primitiva es:
6.
Primitiva es:
7.
Primitiva es:
8. cuando : y(0)=2
Primitiva es:
9.
Primitiva es:
10.
Primitiva es:
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Factor de integrante o factor de integración
En ocasiones, una ecuación diferencial:
De primer orden que no es exacta, se puede convertir en una ecuación diferencial
exacta, si multiplicamos sus coeficiente por una función no cero =M(x.y),
seleccionada de manera que:
Si es exacta.
Definición: Dada una ecuación diferencial, se llama un factor integrante de esa
ecuación a una función μ(x,y), tal que la ecuación si es exacta.
Grupo de términos Factor integrante Diferencial exacta
x dy - y dx
x dy – ydx
x dy – ydx
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EJEMPLO 1:
Probar que es un factor integrante de la ecuación diferencial:
co co
Y encontrar su integral general.
Solución:
En este caso tenemos que:
y
Por lo tanto:
y
Puesto que estas dos derivadas parciales no son iguales se concluye que la
ecuación no es exacta.
Multipliquemos ahora la ecuación por µ, se obtiene:
Aquí tenemos
y
Como observamos, si son exactas, ahora encontraremos su integral general
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EJEMPLO 2:
Encontrar un factor integrante para la ecuación:
Solución:
De modo que un factor integrante para la ecuación es:
Multiplicando la ecuación por este factor integrante tenemos:
Esta última ecuación es exacta y para resolverla buscamos F tal que:
Así:
l
Derivamos con respecto a y tenemos:
De esta manera, la solución de la ecuación viene dada por:
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EJEMPLO 3:
Encontrar el primer factor integrante:
Solución:
De modo que un factor integrante para la ecuación es:
Multiplicando la ecuación por el factor integrante obtenemos la ecuación
diferencial:
Es una ecuación diferencial exacta, y la solución general viene dada por:
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EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.
Respuesta:
2.
Respuesta:
3.
Respuesta:
4.
Respuesta:
5.
Respuesta:
6.
Respuesta:
7.
Respuesta:
8.
Respuesta:
9.
Respuesta:
10.
Respuesta:
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Bibliografía:
Matemáticas avanzadas para ingeniería (Zill, Dennis)
ECUACIONES DIFERENCIALES 7/E CON PROBLEMAS CON
VALORES FRONT
By Dennis G. Zill, Michael Cullen (paginas: 66, 67, 68, 69)
Ecuaciones diferenciales (Frank Ayres, Jr.)
(Paginas: 24,25,26,27,28)
Ecuaciones diferenciales: como aprenderlas, como enseñarlas:
(Víctor Jiménez López)
Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejercicios y problemas
resueltos
(Alonso et. Al.)
Ecuaciones diferenciales: Teoría y problemas
(Acero, Ignacio-López,Mariló) (Pagina 41,42,43,44).