MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS

Autor: Tlgo. Victoria García,

C.I:18.160.243

Ciudad Guayana, Julio 2014

1

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN PUERTO ORDAZ

ESCUELA: 42 INGENIERIA CIVILASIGNATURA: ESTRUCTURAS II

INDICE

Pag.

INTRODUCCIÓN_______________________________________ 3

MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS

(COEFICIENTES DE FLEXIBILIDAD_________________________ 6

COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES EXTERNAS CON

INTERNAS___________________________________________ 10

PRESENTACION DEL MÉTODO POR ECUACIONES Y POR

MATRICES___________________________________________ 13

GENERALIZACIÓN DEL MÉTODO DE LAS FUERZAS

SOMETIDOS A OTROS

ESTIMULOS____________________________________ 15

ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTOS CONSISTENTES_________

16

FORMULACION MATRICIAL DEL METODO DE CARGA

UNITARIA___________________________________________ 17

EVALUACION DE LOS TERMINOS QUE INTERVIENEN EN EL

SISTEMA DE ECUACIONES______________________________ 19

2

IDENTIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE LAS ESTRUCTURAS

HIPERESTATICAS_____________________________________ 20

ELABORAR DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS DE

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS__________

21

APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS PARA RESOLVER

ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS_________________________ 22

APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS EN ESTRUCTURAS

HIPERESTATICAS SOMETIDAS A CARGAS, VARIACION DE

TEMPERATURAS, MOVIMIENTO DE SOPORTE, ERROR DE

CONSTRUCCION Y RESORTE_____________________________ 23

APLICAR LA SUPERPOSICION DE DIAGRAMAS EN EL METODO

DE LAS FUERZAS______________________________________ 24

INTERPRETAR EL CONCEPTO FACTOR DE FLEXIBILIDAD_______

25

CONSTRUIR LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y LA FORMA

MATRICIAL DEL METODO DE LA FUERZA___________________ 27

CONCLUSION________________________________________ 28

3

INTRODUCCION

El Método de las Fuerzas es muy complicado para aplicarlo en

estructuras con un alto GH. Para superar esta dificultad surge el

Método de los Desplazamientos, que en muchos aspectos

complementa al Método de las Fuerzas.

Este método fue desarrollado originalmente por James Clerk

Maxwell en 1864 y perfeccionado posteriormente por Otto Mohr y

Múller-Breslau. Mohr, diez años después, de forma independiente,

amplió la teoría casi a su estado actual de desarrollo. En él se

suprimen las redundantes (cantidad de reacciones que hacen

hiperestático el problema, evidentemente que el número de

redundantes es igual al GH) lográndose una estructura estable y

estáticamente determinada, que en algunos textos se le llama

sistema base.

Si se calculas los desplazamientos en la dirección de las

redundantes eliminadas. Como al final los puntos donde están las

redundantes no se pueden mover, estas deben tener un valor tal

que haga a esos puntos volver a su estado inicial. Se establece una

ecuación para la condición de deflexión nula en cada redundante y

estas se despejan de las ecuaciones resultantes. A este sistema de

ecuaciones se les llama ecuaciones canónicas.

4

A este método se le llama también: Método de la Flexibilidad,

Deflexiones Compatibles, Deformaciones Consistentes

o Maxwell- Mohr.

MÉTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS

(COEFICIENTES DE FLEXIBILIDAD)

Es el clásico método consistente en deformación para calcular

fuerzas en miembros y desplazamientos en sistemas estructurales.

Su versión moderna formulada en términos de la matriz de

flexibilidad de los miembros también tiene el nombre de Método de

Matriz de Fuerza debido al uso de las fuerzas en los miembros como

las primariamente conocidas.

a) La ley de Hooke aplicada a una barra de longitud L y sección A

que, sometida a un esfuerzo axil de valor N, sufre un alargamiento

ΔL, establece que:

ΔL = NL/(EA)

o, lo que es lo mismo,

ΔL = L/(EA) N.

El coeficiente L/(EA) de proporcionalidad entre el alargamiento de la

barra ΔL y el esfuerzo axil N que lo produce se denomina

“flexibilidad bajo esfuerzos axiles” de la barra. Este coeficiente

5

representa físicamente el “valor del alargamiento que sufriría la

barra sometida a un esfuerzo axil unidad”.

b) Aplicando el teorema de Mohr a una ménsula de longitud L con

una sección cuyo momento de inercia es I, sometida a una fuerza P

aplicada en el extremo libre, se obtiene la flecha f de este extremo

como:

f = PL3/(3EI)

o, lo que es lo mismo,

f = L3/(3EI) P

El coeficiente L3/(3EI) de proporcionalidad entre la flecha f y la

carga P que la produce se denomina “flexibilidad bajo carga

aplicada en su extremo” de la ménsula. Este coeficiente puede

obtenerse como el valor de la flecha que sufriría la barra sometida a

una carga en su extremo de valor unidad.

c) Aplicando el teorema de Mohr a la ménsula anterior sometida, en

este caso, a un momento M aplicado en el extremo libre, se obtiene

el giro θ de este extremo como:

θ = ML/(EI)

o, lo que es lo mismo,

θ = L/(EI) M

El coeficiente L/(EI) de proporcionalidad entre el giro θ y el

momento M que lo produce se denomina “flexibilidad bajo

momento 4 aplicado en su extremo” de la barra ó ménsula. Este

coeficiente representa el giro que sufriría la sección extrema de la

6

ménsula cuando se encuentra sometida a un momento de valor

unidad actuando en dicho extremo.

La flexibilidad es pues un valor que caracteriza el comportamiento

deformacional de una estructura con un cierto sistema de apoyos

sometida a una carga (fuerza o momento) aplicada en una sección

y que permite conocer, por proporcionalidad, el movimiento

(desplazamiento o giro de la sección de aplicación de la carga en la

dirección de aplicación de esta. La unidad de medida de la

flexibilidad es el m/N ó rad/Nm.

El coeficiente de proporcionalidad existente entre el valor de una

carga (fuerza o momento) aplicada en una sección de una

estructura sencilla (barra) y el movimiento (en dirección de la

carga) de la sección en la que se aplica la carga, y que se deducen

de las expresiones obtenidas por aplicación de los teoremas de

Mohr, son ejemplos de valores de coeficientes de flexibilidad.

COMPATIBILIDAD DE DEFORMACIONES EXTERNAS CON

INTERNAS

Cuando un sistema se somete a acciones externas, sus nudos se

desplazan y sus barras sufren deformaciones. Si todos los

elementos del sistema se mantienen unidos, entonces es posible

establecer relaciones geométricas entre desplazamientos y

deformaciones, las mismas que se conocen como ecuaciones de

compatibilidad.

7

Por ejemplo es posible relacionar los desplazamientos de los nudos i

y j con las deformaciones de la barra que los une.

La figura muestra una viga sometida a una carga Q, apoyada en un

extremo y suspendida por un cable en el otro.

Este elemento está en equilibrio bajo la acción de la carga Q,

gracias a las reacciones que recibe en sus extremos representados

como R y N en el diagrama de cuerpo libre siguiente.

Todas las fuerzas mostradas en la diagrama anterior son fuerzas

externas al elemento viga.

8

Separemos ahora imaginariamente el sistema en tres partes,

mediante dos cortes transversales, el primero en la viga y el

segundo en el cable como se muestra en la figura.

Cada una de estas partes está en equilibrio gracias a las fuerzas y

momentos que se producen en las secciones de corte imaginario.

Estas acciones que aparecen en la sección de corte, actuando en

sentido contrario a cada lado de ésta, se denominan fuerzas

internas.

Para la viga del ejemplo, las acciones internas son la fuerza

Cortante V y el Momento Flector M. Para el cable, la fuerza interna

es la fuerza Normal N. Estas acciones internas se suelen referir en

general como fuerzas internas o fuerzas de sección.

Convención de signos para fuerzas internas

Para precisar el signo de las fuerzas internas, emplearemos un

sistema de referencia xyz, con el eje x coincidiendo con el eje

longitudinal del elemento y con los ejes y y z ubicados en la sección

transversal. Generalmente y y z son ejes centrales (el origen del

sistema coincide con el centroide de la sección transversal) y

9

también son ejes principales (el producto de inercia de la sección

transversal es nulo).

En el caso más general, pueden existir hasta 6 fuerzas internas en

la sección transversal de un elemento. La figura que sigue muestra

la convención de signos asumida como positiva para estas fuerzas

internas.

Nótese que salvo en el caso de Vy, las fuerzas de sección son

positivas cuando siguen el sentido positivo de los ejes. El sentido

positivo de Vy, asumido hacia abajo está en concordancia con la

conocida siguiente relación:

PRESENTACION DEL METODO POR ECUACIONES Y POR

MATRICES

En una estructura plana el movimiento de un punto del sólido (ó

sección, si se trata de barras) tiene tres componentes: dos

traslaciones y un giro. Las componentes del movimiento de un

conjunto representativo de puntos de un sólido (entre ellos,

probablemente, los propios puntos de aplicación de las cargas Pi)

que caracterizan unívocamente el comportamiento de deformación

10

del sólido sometido a las cargas Pi, se denominan, a efectos de

análisis estructural, grados de libertad del sólido.

Así, por ejemplo:

• La proporcionalidad entre la variación de longitud y la carga

aplicada expresada en la ley de Hooke, ΔL = L/(EA) N, implica la

caracterización del comportamiento de deformación de la barra

mediante el movimiento del punto extremo en la dirección de

aplicación de la carga; este movimiento sería, pues, el grado de

libertad elegido para el análisis del problema.

• La proporcionalidad entre el movimiento perpendicular a la barra

y la carga aplicada en el extremo de la ménsula expresada en f =

L3/(3EI) P, implica caracterizar el comportamiento de deformación

de la ménsula mediante el desplazamiento del punto extremo en la

dirección de aplicación de la carga; este movimiento sería el grado

de libertad elegido para el análisis del problema; una alternativa

podría ser utilizar como grado de libertad descriptivo del problema,

el giro en el extremo de la ménsula.

Considérese un sólido como el que se muestra en la figura sometido

a la acción de diferentes cargas (acciones) externas Pi actuando

cada una de ellas en un punto i.

Por efecto de aplicación de las cargas, un punto genérico i se

desplazaría hasta el punto i´ siendo el vector desplazamiento δi del

cual la componente en la dirección de aplicación de la carga es Δi.

Se denomina coeficiente de influencia o de flexibilidad fij al

desplazamiento del punto de aplicación de la carga Pi, en la

11

dirección de dicha carga, cuando actúa una carga unidad en el

punto j en la dirección y sentido de Pj.

Cuando actúan varias cargas, el desplazamiento Δi del punto de

aplicación de una de ellas, justo en la dirección de la carga Pi, es

suma de los desplazamientos producidos por cada una de las

cargas actuantes.

Δ1 = f11P1 + f12P2 + f13P3

Δ2 = f21P1 + f22P2 + f23P3

Δ3 = f31P1 + f32P2 + f33P3

El sistema anterior puede ordenarse en forma matricial resultando:

Δ1 f11 f12 f13 P1

Δ2 = f21 f22 f23 P2

Δ3 f31 f32 f33 P3

A la matriz constituida por los coeficientes fij se la denomina matriz

de flexibilidad del sólido.

Propiedad.- Los coeficientes de flexibilidad fij y fji son iguales.

12

Aplicando el teorema de Reciprocidad de Maxwell-Betti a los dos

estados de carga distintos que actúan sobre un mismo sólido, y que

se muestran en la figura (en el estado 1 sólo actúan la carga Pi y en

el estado 2 solo la carga Pj), se obtiene:

es decir: fij = fji.

Ejemplo:

Obtener la matriz de flexibilidad de la estructura sometida al

sistema de cargas que se muestra en la figura.

Aplicando los teoremas de Mohr, se obtiene:

y, expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial:

13

GENERALIZACION DEL METODO DE LAS FUERZAS

SOMETIDOS A OTROS ESTIMULOS

1. Identificación y predimensionado de la estructura. Deben produci

rse las definiciones geométricas que definan dimensionalmente

toda la estructura y deben desarrollarse los denominados análisis

de cargas. Estos son realizados con la aplicación de los reglamentos

vigentes y consideraciones propias del proyecto en curso. La

conclusión de esta etapa. Es disponer del esquema de barras, sus

sistemas de cargas y dimensiones de secciones.

2. Análisis del grado de hiperestaticidad de la estructura. El método 

de lasfuerzas consiste básicamente en eliminar vínculos a un

hiperestático

hastatransformarlo en un isostático que se denomina esquema fund

amental. Las reacciones que suministran los vínculos

eliminados se convierten en las incógnitas del sistema

de ecuaciones que se plantea. Cada ecuación plantea la condición

de deformación nula en el esquema real, siendo denominada de

compatibilidad.

3. Se elige el esquema fundamental utilizando el

criterio que tenga una deformabilidad parecida al esquema real.

Esta condición se haya relacionado con la cantidad de dígitos

significativos a utilizarse para minimizar los errores relativos en la

resolución del sistema de ecuaciones.

14

4. Debemos obtener las reacciones de vínculos en el esquema

fundamental, originados por los estados reales de cargas y

luego por valores unitarios de las incógnitas.

5. Calculamos los valores de los coeficientes del sistema de

ecuaciones. Para ello integramos ordenadamente los diagramas de

momentos. Obtenemos sucesivamente las deformaciones

producidas por el estado de cargas real en

el esquema fundamental que sean correspondientes con los vínculo

s.

6. Planteamos y resolvemos el sistema de ecuaciones, obteniendo

los valores

de las incógnitas. Estas serán fuerzas o momentos, estando expresa

das en unidades de fuerza o unidades de

momentos. Los coeficientes tendrán unidades de desplazamiento

o radianes, según la magnitud que representen.

Los signos positivos de las incógnitas convalidarán los sentidos ado

ptados para el cálculo y los negativos nos informarán lo contrario.

7. Calculamos los valores del diagrama de momentos en el

hiperestático aplicando el Principio de Superposición de los efectos

con la fórmula: Mi h = M i o + Mi1 X1 + Mi2 X2.

8. Trazamos los diagramas finales de Momentos colgando

parábolas o extendiendo rectas que indican variaciones lineales. 

9. Podemos efectuar la verificación de las secciones

redimensionadas en la primera etapa. 

ECUACIONES DE DESPLAZAMIENTOS CONSISTENTES

15

El cálculo de alguna fuerza u otra magnitud resulta insuficiente a

partir de las condiciones de equilibrio. En ese caso, las ecuaciones

de equilibrio forman un sistema compatible indeterminado. Puesto

que la situación física real sí presenta una solución unívoca, es

decir, las piezas mecánicas toman valores de tensión concretos y

las reacciones reales tienen valores totalmente determinados,

concluimos que las ecuaciones de equilibrio deben ser

complementadas con algún otro tipo de información adicional que

haga que el problema sea determinado.

De hecho, muchos problemas se vuelven completamente

determinados si tenemos en cuenta que los desplazamientos

observados en la realidad tienen valores determinados. Así si

introducimos ecuaciones que expresen ciertos desplazamientos en

función del resto de variables, podemos llegar a construir un

sistema de ecuaciones compatible determinado. Dicho sistema

estaría formado por las ecuaciones de equilibrio, y varias

ecuaciones adicionales llamadas ecuaciones de compatibilidad.

Por ejemplo en la figura figurase muestra un problema

unidimensional consistente en la aplicación de una fuerza en un

punto intermedio empotrado en sus extremos. En este caso, el

problema es estáticamente indeterminado o hiperestático el análisis

16

de fuerzas lleva a una única ecuación para las

dos reacciones incógnita existentes:

En este caso P es una fuerza conocida. Para poder determinar las

reacciones observamos que la parte izquierda (entre RA y P)

está traccionada y por tanto se estirará, mientras que la parte

derecha (entre P y RB) está comprimida y por tanto se encogerá.

Puesto que la pieza es un único sólido deformable el estiramiento

de parte izquierda compensará exactamente el acortamiento de la

parte derecha, de lo contrario la pieza se rompería. Por tanto

estiramiento y acortamiento deben ser compatibles, ésa es

precisamente la condición de compatibilidad adicional que resuelve

el problema:

Las ecuaciones adicionales pueden obtenerse por diversos

métodos, por ejemplo usando el teorema de Castigliano o usando la

ecuación de la curva elástica. Si el problema es suficientemente

sencillo, como en el ejemplo anterior, puede encontrarse la

ecuación de compatibilidad directamente.

FORMULACION MATRICIAL DEL METODO DE CARGA UNITARIA

Uno de los métodos más comunes para calcular los

desplazamientos en las estructuras es el de la carga unitaria.

Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples

17

propuestas por el método, es útil identificar que el método se basa

en dos principios básicos. Estos son el concepto de energía y la ley

de la conservación de la energía. En el primero se de ducen los

teoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el

segundo se formula el método de la carga unitaria. Este método se

presenta para el caso particular de vigas en flexión y armaduras.

EVALUACION DE LOS TERMINOS QUE INTERVIENEN EN EL

SISTEMA DE ECUACIONES

La forma genérica de un sistema de   ecuaciones algebraicas y   

incógnitas es la siguiente:

(1)

Donde   son funciones de las incógnitas. La solución,

perteneciente al espacio euclídeo  , será tal que el resultado de

evaluar cualquier expresión   con los valores de dicha solución,

verifique la ecuación.

Representación gráfica

Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones

gráficas cuando las funciones   en (1) son continuas a tramos. En

cada ecuación se representa como una curva o una superficie

curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a

partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o

superficies curvas.

18

Clasificación de los sistemas

Un sistema de ecuaciones sobre   puede clasificarse de acuerdo

con el número de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones ,

de acuerdo con este criterio un sistema puede ser:

Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su

vez pueden dividirse en:

Sistemas compatibles determinados cuando admiten un

conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de

soluciones aisladas sin puntos de acumulación,  .

Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un

número infinito de soluciones que forman una variedad

continua,  .

Sistema incompatible cuando no admite ninguna

solución,  .

Sistema lineal general

Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema

son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de

los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando

los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos.

También existen medios generales de resolución cuando los

19

coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las

soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.

Una característica importante de los sistemas lineales de

ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma

permite representar el sistema usando tres matrices, de la

siguiente forma:

(2)

La primera es la matriz de coeficientes, donde el término   

representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la

ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde

cada término se corresponde con una de las   incógnitas. La

tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada   

representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de

resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de

la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha

acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando

transformaciones lineales sobre las ecuaciones, se pretende llegar a

una matriz de este tipo:

20

Una vez que la matriz se ha triangulado, el valor de cada término   

se corresponderá con el de la incógnita . Si queda alguna fila del

tipo , con , el sistema no tendrá solución.

IDENTIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE LAS ESTRUCTURAS

HIPERESTATICAS

Una estructura es internamente hiperestática si las

ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar

los esfuerzos internos de la misma.

Una estructura es externamente hiperestática si las

ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar

fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra

estructura.

Una estructura es completamente hiperestática si es

internamente y externamente hiperestática.

ELABORAR DIAGRAMAS DE FUERZAS INTERNAS DE

ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Cuando una estructura tiene más reacciones externas o fuerzas

internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la

estática, tal estructura es estáticamente indeterminada o

Hiperestática. Una carga situada en alguna parte de una estructura

hiperestática o continua producirá fuerzas cortantes, momentos

flexionantes y deflexiones en las otras partes de la estructura. En

otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas,

a las losas, a otras columnas y viceversa. 

21

Es difícil encontrar en la vida real vigas simplemente apoyadas, se

puede decir lo mismo de las armaduras, en un sentido estricto,

todas éstas son realmente estáticamente indeterminadas.

APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS PARA RESOLVER

ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS

Los métodos para resolver una estructura hiperestática pueden ser

agrupados en dos grandes familias.

Una de las familias está constituida por los llamados métodos de las

fuerzas. Estos métodos se basan en tomar como incógnitas fuerzas,

pueden ser algunas reacciones o la solicitación en algún punto. Para

construir las ecuaciones que permiten calcular las incógnitas se

impone que se cumplan condiciones en desplazamientos.

Por ejemplo en las vigas continuas tomamos como incógnitas los

momentos flectores en los apoyos e impusimos la condición (de

continuidad de la viga) que los giros de las dos barras que llegan al

apoyo sean iguales. El método empleado pertenece a la familia de

los métodos de las fuerzas.

La otra familia es la de los métodos de los desplazamientos. Estos

toman como incógnitas los desplazamientos de nudos y apoyos de

la estructura e imponen condiciones de equilibrio de fuerzas en

nudos y apoyos.

22

Los métodos de las fuerzas permiten ver de manera más clara el

comportamiento de las estructuras. Se ajustan mas a la intuición

que uno tiene de las mismas. Son utilizados fundamentalmente

para cálculos manuales.

Sin embargo los métodos de los desplazamientos son los que

predominan actualmente.

No requieren adoptar decisiones del ingeniero durante el proceso

de cálculo. Son más sencillos para ser programados. Prácticamente

todos los programas de cálculo los utilizan. Algunos métodos como

slope deflación que veremos en el curso pueden ser utilizados para

cálculos manuales. Otros como los de análisis matricial son

aplicados por los programas de cálculo pero no son cómodos para

su utilización en cálculos manuales.

APLICAR EL METODO DE LAS FUERZAS EN ESTRUCTURAS

HIPERESTATICAS SOMETIDAS A CARGAS, VARIACION DE

TEMPERATURAS, MOVIMIENTO DE SOPORTE, ERROR DE

CONSTRUCCION Y RESORTE.

Resolviendo las ecuaciones de la estática planteadas y las

ecuaciones compatibilidad de los desplazamientos, se obtienen los

esfuerzos axiales en todos los elementos del sistema. 

23

Al calcular las tensiones térmicas se mantiene el mismo esquema

de cálculo.

Puesto que las longitudes reales de los elementos, que resultan dur

ante la elaboración de éstos, se diferencian muy poco de las

previstas en el proyecto, al calcular los alargamientos absolutos de

los elementos por la ley de Hooke, se consideran las longitudes

previstas en el proyecto y no las

reales. Al determinar la fuerza máxima de seguridad partiendo del

cálculo

portensiones admisibles, se supone que en la barra más cargada la 

tensión es igual a la admisible. Partiendo del esfuerzo así obtenido

se establece la fuerza máxima de seguridad.

El cálculo de sistemas hiperestáticos por su capacidad resistente se 

lleva a cabo en virtud, solamente, de las ecuaciones de la estática.

En estas condiciones los esfuerzos axiales se consideran iguales

a los

productos de las tensiones admisibles por las áreas de las secciones

transversales en todos los elementos, en los que, al alcanzar las

tensiones el límite de fluencia del material, el sistema se transforma

en cinemática mente variable. Este método de cálculo se

basa sobre la sustitución del diagrama real de tracción del material

por el diagrama idealizado de Prandtl, en el cual el escalón de

fluencia se considera ilimitado. Ejercicio Nº

1La estructura articulada formada por cuatro barras de acero de 10 

cm2 desección está sometida a la fuerza P = 100 KN de la figura.

Determinarlas variaciones de los ángulos en A y C. (E = 200 Gpa)

24

APLICAR LA SUPERPOSICION DE DIAGRAMAS EN EL METODO

DE LAS FUERZAS

La respuesta de una estructura debida a un numero de cargas

aplicadas simultáneamente es la suma de las respuestas de las

cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la

estructura; siempre y cuando para todas las cargas aplicadas y para

la suma total de ellas los desplazamientos y esfuerzos sean

proporcionales a ellas.

Esto implica que para aplicar el principio de superposición

necesitamos trabajar con materiales elásticos, que cumplan la ley

de Hooke. Si la estructura a analizar cumple con estos requisitos

podemos usar la teoría elástica en su estudio.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Gráfica fuerza vs

deformación para un

elemento constituido con un material perfectamente elástico.

Cuando se habla de respuesta se refiere a los desplazamientos y a

las fuerzas internas.

25

Por el principio de superposición podemos expresar los efectos

totales como la suma de efectos de cargas parciales:

INTERPRETAR EL CONCEPTO FACTOR DE FLEXIBILIDAD

El factor de flexibilidad empleado en una viga, se da cuando se le

ejerce una fuerza a la misma entrando esta en presencia de la

flexibilidad todas las vigas tienen efecto de flexibilidad debido a que

todas las vigas están en presencia de momentos. Del factor de

flexibilidad al de torsión hay solo un paso y es ahí cuando la viga

sufre. En otras palabras es Cuando se trata de proyectar un

elemento a flexión sobre varios apoyos consecutivos existe, en

general, una ventaja indudable en disponer una viga continua. Ello

implica que la deformación tiene que corresponder a una pieza

enteriza, con curvatura continua.

CONSTRUIR LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y LA FORMA

MATRICIAL DEL METODO DE LA FUERZA

Seguidamente vamos a expresar más detalladamente la ecuación

matricial característica del Método de la Flexibilidad: pero

planteando ahora la matriz de flexibilidad de una barra en la que

uno de sus extremos, el 1, se encuentra empotrado y el otro

extremo, el 2, se encuentra libre y sometido a carga, razón por la

que en dicha barra sólo el extremo 2 puede tener movimientos.

Seguidamente vamos a expresar la ecuación matricial anterior,

donde sabemos que:

{d}={F}·{P}

26

1. El vector carga será del tipo Px, Py, Mz, en el extremo 2, por

cuanto la modelización que vamos a desarrollar será aplicable a

estructuras planas de nudos rígidos.

2. El vector desplazamiento será del tipo dx, dx,  z, en coherencia

con la tipología en estudio.

En la ecuación matricial siguiente, aunque posteriormente nos

ceñiremos al caso de barra plana de extremos empotrado-libre,

expresamos la relación entre cargas y movimientos en los extremos

de una barra, de forma general.

Denominamos al extremo izquierdo como 1 y al extremo derecho

como 2, en la exposición que estamos haciendo, con lo que el caso

que vamos a estudiar se corresponde con la submatriz F22.

Utilizamos en los dos extremos el mismo convenio de signos en

cargas y desplazamientos, correspondientes a los sentidos positivos

del primer cuadrante.

En este caso por la tipología estructural a que se refiere la

modelización de nuestro caso particular en estudio, las barras se

encuentran sometidas no solamente a axiles, sino también a

cortantes y flectores y por ello el vector de cargas, será :

Donde los valores de P1x, P1y y M1z se corresponden con el

sistema de reacciones en el extremo 1 y el resto de valores en el

extremo 2 serán el vector carga en el extremo 2.

En cuanto al vector desplazamiento o movimiento hemos de

considerar que al estar el extremo 1 empotrado, serán nulos los

desplazamientos en x e y , así como los giros en z de dicho extremo

1.

27

Estudiamos aquí el caso de una barra como la que vemos en la

figura siguiente, con empotramiento en el extremo 1 y libre en el

extremo 2, de manera que dicho extremo 2 puede presentar:

- desplazamientos en x

- desplazamientos en y

- giros en z

Cada uno de los valores que aparecen en la ecuación matricial

siguiente es un escalar, de forma que la ecuación matricial referida,

se corresponde con un sistema de ecuaciones tal y como el que

sigue :

dx = f11 .Px + f12 .Py + f13 . Mz 

dy = f21 .Px + f22 .Py + f23 . Mz

 z = f31 .Px + f32 .Py + f33 . Mz

El sistema de ecuaciones anterior es, por tanto, la expresión de las

deformaciones que aparecen en el extremo libre de la barra, 2, en

función de las cargas que actúan en dicho extremo.

En lo que sigue vamos a calcular el valor de los parámetros

escalares fij que componen la matriz de flexibilidad referida

anteriormente.

Para ello, vamos a establecer la relación que se produce entre cada

una de las cargas que actúan en el extremo libre, con los posibles

desplazamientos del mismo extremo de la barra, ya que el

28

desplazamiento del extremo empotrado es nulo, consecuencia de la

propia vinculación.

CONCLUSION

Puedo concluir que al identificarse los desplazamientos en los

grados de libertad suprimidos de la estructura hiperestática que

coincidan con los de la estructura isostática fundamental. Esto

implicara el planteamiento de tantas ecuaciones de compatibilidad

de desplazamientos como incógnitas hiperestáticas. Resolviendo el

sistema formado por las ecuaciones de compatibilidad se obtiene el

valor de las incógnitas hiperestáticas.

Desde un punto de vista práctico, es necesario realizar los

siguientes pasos para resolver un problema hiperestático:

29

1. Determinación del grado de hiperestaticidad, selección de las

incógnitas hiperestáticas y obtención la estructura isostática

fundamental

2. Obtención de las leyes de esfuerzos de la estructura isostática

fundamental

3. Planteamiento del sistema de ecuaciones de compatibilidad

4. Obtención de las incógnitas hiperestática mediante la

resolución del sistema de ecuaciones de compatibilidad

5. Resolución de la estructura isostática fundamental con las

reacciones hiperestáticas actuando como cargas exteriores

30