UNIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN FRANCISCO

XAVIER CHUQUISACAMAESTRÍA EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL

VERSIÓN VSEDE: TARIJA

MÓDULO: ANÁLISIS ESTRUCTURALALUMNOS:

GABRIELA GALLARDOPABLO JORGELEIDY OJEDA

FRANCISCO PALACIOSHERLAN RAMOS

“TRABAJO DE INVESTIGACIÓN: DISEÑO DINAMICO DE ESTRUCTURAS – ECUACIONES

DIFERENCIALES QUE MODELAN ESTE ESTADO.”DISEÑO DINAMICO DE ESTRUCTURAS – ECUACIONES DIFERENCIALES

QUE MODELAN ESTE ESTADO

1. IntroducciónCuando las cargas aplicadas sobre una estructura dependen del tiempo es necesario conocer las frecuencias naturales de la estructura y la variación con el tiempo de la respuesta de la estructura a esas cargas. Tradicionalmente el cálculo dinámico se había realizado en forma de un coeficiente de impacto, que mayoraba acciones estáticas. Este sistema, que para velocidades pequeñas podía ser fácilmente conservador, no resulta útil ni seguro para velocidades mayores como las que actualmente tienen los trenes de alta velocidad ni para el análisis de sismos. Esta realidad, junto con el avance experimentado por los sistemas computarizados de cálculo ha provocado la generalización de los cálculos dinámicos.Los sismos pueden definirse como movimientos de la corteza terrestre, con amplitudes y frecuencias dependientes del tiempo.Las causas que los generan son variadas:

Terremotos de colapso: son los originados en cavidades subterráneas por el colapso de las mismas, son de baja intensidad.

Terremotos de origen volcánico: la explosión de gases durante las erupciones volcánicas puede producir terremotos que, en general, tienen una intensidad pequeña y afectan a superficies limitadas.

Terremotos tectónicos: están causados por la rotura brusca de las capas rocosas a lo largo de superficies de fractura (fallas), son los más fuertes y más frecuentes.

Terremotos causados por explosiones: las explosiones producidas por el hombre son capaces de generar vibraciones del terreno, con una intensidad tal que pueda causar movimientos en las estructuras.

En general, el movimiento de la corteza se produce por un choque o movimiento brusco ocurrido a una cierta profundidad bajo la superficie terrestre en un punto teórico denominado foco o hipocentro, a su proyección sobre la superficie terrestre se le denomina epicentro.

El Problema:

El problema sísmicoPara el tratamiento del sismo es necesario estudiar las fuerzas de inercia generadas al producirse una aceleración en la cimentación de la estructura. El problema en estos casos tiene históricamente dos partes, la primera es determinar cuál es la historia de aceleraciones “pésima” dentro de las posibles en una localización determinada, el segundo analizar cómo estas aceleraciones se trasmiten en forma de fuerzas.Afortunadamente la primera parte del problema se encuentra en la actualidad solucionado mediante los mapas sísmicos, que determinan las aceleraciones básicas a considerar en una localización para cada periodo de retorno.

El problema de la resonanciaDentro de los problemas tratados el más significativo es el de la resonancia. Todo sistema, apartado de su posición de equilibrio realiza oscilaciones alrededor de esta con una serie de modos y periodos de vibración (modos y periodos propios). Si introducimos una perturbación o fuerza que actúe con una de esos periodos se producirá la suma de las amplitudes de las diferentes vibraciones, lo que aumentará progresivamente la amplitud del movimiento y producirá finalmente la quiebra del elemento. En condiciones de resonancia y si los ciclos de carga se mantienen indefinidamente, el coeficiente de impacto puede alcanzar un valor infinito.Este problema se presenta de forma reiterada en trenes circulando por encima de los 220 km/h pero también se puede presentar frente a cargas de viento o frente al paso de una comitiva en una pasarela peatonal.Uno de los casos más publicitados de fallo por resonancia se produjo en el puente de Tacoma, que fue derribado por rachas sucesivas de viento de unos 60 km/h. El viento en si no era muy fuerte pero se aplicaba en ráfagas que entraron en resonancia con la frecuencia de torsión del tablero (era un puente colgante y con un tablero muy flexible) y eso provoco su ruina. En el apartado de enlaces tenéis ese caso y alguno más que demuestran el problema y su extensión.En este trabajo de investigación se pretende realizar un estudio teórico que explique la naturaleza del problema y el uso de las ecuaciones diferenciales en la modelación del comportamiento de la estructura frente a cargas sísmicas. En los siguientes puntos se formula el problema de la dinámica estructural para estructuras simples que pueden idealizarse como sistemas con una masa concentrada soportados por una estructura sin masa, se consideran tanto las estructuras elásticas lineales, así como las estructuras inelásticas, sometidas a una fuerza dinámica aplicada o a un movimiento del terreno inducido por un sismo. Después se estudian brevemente cuatro métodos para resolver la ecuación diferencial que rige el movimiento de la estructura.

2. Desarrollo del TemaRespuesta Dinámica se llama a cualquier cantidad que pueda caracterizar el efecto de las acciones dinámicas sobre estructuras. La noción tiene un carácter genérico, pudiendo significar cualquier consecuencia de las excitaciones dinámicas sobre las construcciones (desplazamientos, aceleraciones, tensiones, esfuerzos, etc.)2.1 Estructura real, Modelo Mecánico, Modelo MatemáticoConsideremos una estructura sujeta al movimiento sísmico del terreno. La estructura actúa como un filtro entre el movimiento sísmico y su propio movimiento de respuesta en conformidad con el diagrama presentado en la figura, en consecuencia para poder calcular la respuesta sísmica es necesario definir con anterioridad las características del movimiento sísmico y las del filtro.

Diagrama (2.1)

La definición de filtro implica los siguientes pasos: Estudio de la estructura real Definición de un modelo mecánico (dinámico) para la estructura. Definición de un modelo matemático.

El modelo dinámico se establece en función del tipo de la estructura, para que caracterice lo mejor posible el comportamiento real de la misma y para que permita describir correctamente su respuesta sísmica. Como en todos los problemas de mecánica aplicada, en la ingeniería sísmica tampoco se calcula la estructura real sino el modelo mecánico adoptado para la misma. En este sentido el diagrama 2.1 se ha transformado en uno equivalente presentado en el diagrama 2.2. También resulta aquí que el cálculo sísmico es un cálculo de verificación, ya que se supone conocida una forma previa de la estructura, forma que se modificara o no en función de los resultados que se obtienen.

Diagrama (2.2)

El cálculo de la respuesta dinámica se efectúa utilizando un modelo matemático que describa cuantitativamente las propiedades mecánicas del modelo dinámico. Las características mecánicas que se necesitan para poder analizar el modelo dinámico son: características de masa (inercia), de rigidez y

Movimiento de Respuesta

Filtro

Movimiento Sísmico

Respuesta sísmicaCaracterísticas del modelo dinámico.

Excitación Sísmica

de amortiguamiento. Si se admite la hipótesis de la continuidad del material, y si se tiene en cuenta que las estructuras pueden tener formas geométricas complejas, es obvio que las leyes que definan las características mecánicas mencionadas son muy complicadas. Además, calcular la respuesta dinámica de una estructura implica establecer dicha respuesta en cada uno de los puntos de la estructura, es decir en una infinidad de puntos. Formulado de esta manera, el problema parece casi insoluble. Para facilitar el cálculo numérico de la respuesta es necesario pre establecer un número finito de punto para el cálculo de la respuesta. Esto se realiza mediante la operación llamada discretización, es evidente que la elección del modelo dinámico depende directamente del método de discretización utilizado y también de las características físicas de los materiales que constituyen la estructura. Por ejemplo, si los materiales que constituyen los elementos de una estructura son homogéneos, isótropos y lineal elásticos y si dicha estructura tiene un comportamiento que sigue la hipótesis de los pequeños desplazamientos, entonces el modelo dinámico se establece con mayor facilidad y la respuesta se puede calcular con mayor exactitud. Pero si los materiales no son homogéneos, son anisótropos y tienen un comportamiento no lineal, como puede ser el caso, por ejemplo, de algunas estructuras de hormigón armado, entonces es muy difícil establecer un modelo dinámico en buena concordancia con la realidad y obtener una buena aproximación de la respuesta dinámica. Las aproximaciones debidas a la utilización de los modelos dinámicos y de los modelos matemáticos correspondientes, especialmente aquellas que se refieren a las características mecánicas de los materiales, tienen gran influencia sobre la exactitud de la respuesta.

En las presentes líneas se formula el problema de la dinámica estructural para estructuras simples que pueden idealizarse como sistemas con una masa concentrada soportados por una estructura sin masa. La ecuación diferencial que controla el desplazamiento lateral u(t) de estas estructuras idealizadas sin ninguna excitación externa, fuerza aplicada o movimiento del terreno, es:

(2.1.1)Donde los puntos sobre las variables indican diferenciación con respecto al tiempo, por lo que ü representa la velocidad de la masa y ü su aceleración. La solución de esta ecuación, presentada en el punto 3, mostrará que si a la masa de los sistemas idealizados se le impone un desplazamiento inicial u(0), después se libera y se permite que vibre libremente, la estructura oscilará o vibrará hacia adelante y hacia atrás alrededor de su posición de equilibrio inicial.

2.2 Sistemas de un Grado de Libertad.

El sistema considerado se muestra esquemáticamente en la figura 2.2.1. Se compone de una masa m concentrada en el nivel del techo, un marco sin masa que proporciona rigidez al sistema, y un amortiguador viscoso que disipa la energía de vibración del sistema. Se supone que la viga y las columnas son axialmente indeformables. Este sistema puede considerarse como una idealización de una estructura de un nivel.Cada elemento estructural (viga, columna, muro, etcétera) de la estructura real contribuye a las propiedades inerciales (masa), elásticas (rigidez o flexibilidad) y de disipación de la energía (amortiguamiento) de la estructura. Sin embargo, en el sistema idealizado, cada una de estas propiedades se concentra en tres componentes puros distintos: el componente de masa, el componente de rigidez y el componente de amortiguamiento.El número de desplazamientos independientes requerido para definir las posiciones desplazadas de todas las masas en relación con su posición original se denomina el número de grados de libertad (GDL) para el análisis dinámico. De manera típica, se requieren más GDL para definir las propiedades de rigidez de una estructura que los GDL necesarios para representar las propiedades inerciales. Considere el marco de un nivel de la figura 2.2.1, restringido a moverse sólo en la dirección de la excitación. El problema de análisis estático debe formularse con tres GDL (el desplazamiento lateral y la rotación de los dos nudos). En contraste, la estructura tiene un solo GDL (el desplazamiento lateral) para el análisis dinámico si se idealiza con la masa concentrada en una ubicación, por lo regular al nivel del techo. Por lo tanto, se le llama sistema de un grado de libertad (1GDL).

Figura 2.2.1 Sistema de un grado de libertad a) Fuerza aplicada p(t); b) Movimiento del Terreno Inducido por un sismo

Se considerarán dos tipos de excitación dinámica: (1) la fuerza externa p(t) en la dirección lateral (figura 2.2.1a), y (2) el movimiento del terreno ug(t) inducido por un sismo (figura 2.2.1b). En ambos casos u indica el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura.2.3 Relación Fuerza – Desplazamiento Considere el sistema mostrado en la figura 2.3.1.a sin excitación dinámica, sometido a una fuerza externa estática fS aplicada en la dirección del GDL u tal como se muestra. La fuerza interna que se opone al desplazamiento u es igual

y opuesta a la fuerza externa fS (figura 2.3.1b). Se desea determinar la relación entre la fuerza fS y el desplazamiento relativo u asociado con las deformaciones en la estructura durante el movimiento oscilatorio. Esta relación de fuerza-desplazamiento sería lineal para pequeñas deformaciones, pero volvería no lineal en el caso de grandes deformaciones (figura 2.3.lc); se consideran tanto las relaciones lineales como las no lineales (figura 2.3.1c y d). La determinación de la relación entre fS y u es un problema estándar en el análisis estructural estático.

Figura 2.3.12.3.1 Sistemas elástico linealesPara un sistema lineal la relación entre la fuerza lateral fS y la deformación resultante u es lineal, es decir:

(2.3.1)Donde k es la rigidez lateral del sistema; sus unidades son fuerza/longitud. En la ecuación (2.3.1) está implícito el supuesto de que la relación lineal fS-u determinada para pequeñas deformaciones de la estructura también es válida para el caso de grandes deformaciones. Esta relación lineal implica que fS es una función de u con un solo valor (es decir, las curvas de carga y descarga son idénticas). Se dice que tal sistema es elástico, por lo que se utiliza el término sistema elástico lineal para enfatizar ambas propiedades. Considere el marco de la figura 2.3.2a con una crujía de tamaño L, altura h, módulo de elasticidad E y segundo momento de área de la sección transversal (o momento de inercia) alrededor del eje de flexión = Ib e Ic para la viga y las columnas, respectivamente; las columnas están sujetas (o empotradas) en la base. La rigidez lateral del marco puede determinarse fácilmente para dos

casos extremos: si la viga es infinitamente rígida (es decir, la rigidez a la flexión EIb =∞, figura 2.3.2b),

(2.3.2)

Por otra parte, para una viga sin rigidez (es decir, EIb = 0, figura 2.3.2c),

(2.3.3).La rigidez lateral del marco con un valor intermedio de la rigidez de la viga más realista, puede calcularse mediante los procedimientos estándar del análisis estructural estático.

Figura 2.3.2La matriz de rigidez del marco se formula con respecto a tres GDL: el desplazamiento lateral u y las rotaciones de los dos nudos viga-columna (figura 2.3.2a). La relación fuerza lateral-desplazamiento de la ecuación (2.3.1) se determina por condensación estática o por eliminación de los GDL de rotación. Al aplicar este procedimiento a un marco con L = 2h y EIb = EIc, se obtiene su rigidez lateral.

(2.3.4)La rigidez lateral del marco puede calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, Ic, L y h utilizando coeficientes de rigidez de un elemento uniforme a flexión. El resultado puede escribirse en la forma

(2.3.5)Donde ρ = (EIb/L) ÷ (2EIc/h) es la relación de rigidez de la viga con la columna. Para ρ = 0, ∞ y 1/4, la ecuación (2.3.5) se reduce a los resultados de las ecuaciones (2.3.3), (2.3.2) y (2.3.4), respectivamente. La rigidez lateral se representa de manera gráfica como una función de ρ en la figura 2.3.3; se incrementa por un factor de 4 cuando ρ crece desde cero hasta infinito.

Figura 2.3.3 Variación de la rigidez lateral, k, con la relación de rigidez de la viga con la columna, Р.

2.3.2 Sistemas inelásticosEn la figura 2.3.4 se muestra la relación experimental fuerza-deformación de un elemento estructural de acero sometido a niveles de deformación cíclicos esperados durante un sismo. La curva de carga inicial es no lineal a los niveles más grandes de deformación y las curvas de descarga y recarga difieren de la curva de carga inicial; se dice que un sistema así es inelástico. Esto implica que la relación fuerza-deformación depende de la dirección, es decir, depende de si la deformación está aumentando o disminuyendo. De este modo, la fuerza restauradora es una función implícita de la deformación:

(2.3.6)La relación fuerza-deformación para el marco idealizado de un nivel (figura 2.3.1a) que se deforma en el rango inelástico puede determinarse de dos formas. Un enfoque consiste en utilizar métodos de análisis estructural estático no lineal. Por ejemplo, en el análisis de una estructura de acero con un modelo

constitutivo esfuerzo-deformación supuesta, el análisis mantiene un registro del inicio y la propagación de la fluencia en ubicaciones críticas y la formación de articulaciones plásticas para obtener la curva de carga inicial (o-a) que se muestra en la fi gura 2.3.1c. Las curvas de descarga (a-c) y recarga (c-a) pueden calcularse de manera similar o es posible definirlas a partir de la curva de carga inicial con las hipótesis existentes. Otro enfoque es definir la relación inelástica de fuerza-deformación como una versión idealizada de los datos experimentales, como en la figura 2.3.4.Se tiene interés en el estudio de la respuesta dinámica de los sistemas inelásticos porque muchas estructuras están diseñadas bajo el supuesto de que estarán sometidas a grietas, fluencia y daños durante algún movimiento intenso del terreno causado por los sismos.

Figura 2.3.4 Relación fuerza-Deformación para un elemento estructural de acero

2.4 FUERZA DE AMORTIGUAMIENTOComo se mencionó con anterioridad, el proceso mediante el cual la amplitud de la vibración libre disminuye de manera constante se denomina amortiguamiento. En el amortiguamiento, la energía del sistema en vibración se disipa por diversos mecanismos y, con frecuencia, más de un mecanismo puede estar presente al mismo tiempo. En los sistemas sencillos, la mayor parte de la disipación de energía puede ser asociada al efecto térmico del esfuerzo elástico repetido del material y de la fricción interna que se produce en un sólido cuando se deforma. Sin embargo, en las estructuras reales existen muchos otros mecanismos que también contribuyen a la disipación de la energía. En un edificio en vibración éstos incluyen la fricción en las conexiones de acero, la apertura y cierre de microfisuras en el concreto y la fricción entre la propia estructura y los elementos no estructurales, tales como muros divisorios. Parece imposible

identificar o describir matemáticamente cada uno de estos mecanismos de disipación de energía en un edificio real.Como resultado, el amortiguamiento de las estructuras reales se representa por lo general en una forma muy idealizada. Para muchos fines, el amortiguamiento real en una estructura de 1GDL puede idealizarse de manera satisfactoria por medio de un amortiguador viscoso lineal. El coeficiente de amortiguamiento se selecciona de modo que la energía disipada sea equivalente a la energía disipada en todos los mecanismos de amortiguamiento, combinados, presentes en la estructura real.En la figura 2.4.1a se muestra un amortiguador viscoso lineal sometido a una fuerza fD en la dirección del GDL u. La fuerza interna en el amortiguador es igual y opuesta a la fuerza externa fD (figura 2.4.1b). Como se muestra en la figura 2.4.1c, la fuerza de amortiguamiento de fD se relaciona con la velocidad ua través del amortiguador viscoso lineal por:

(2.4.1)Donde la constante c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso; tiene unidades de fuerza× tiempo/longitud.A diferencia de la rigidez de una estructura, el coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a partir de las dimensiones de la estructura y los tamaños de los elementos estructurales. Esto no debería ser sorprendente puesto que, como se ha señalado antes, no es posible identificar todos los mecanismos que disipan la energía de vibración en las estructuras reales.Así, los experimentos de vibración en estructuras reales proporcionan datos para evaluar el coeficiente de amortiguamiento. Éstos pueden ser experimentos de vibración libre que conducen a datos como los que se muestran en la figura 2.1.4; la razón de decaimiento del movimiento en la vibración libre proveerá una base para evaluar el coeficiente de amortiguamientoEl amortiguador viscoso equivalente tiene la intención de modelar la disipación de energía para amplitudes de deformación dentro del límite elástico lineal de toda la estructura. Dentro de este intervalo de deformaciones, el coeficiente de amortiguamiento c determinado a partir de pruebas experimentales puede variar con la amplitud de la deformación. Esta no linealidad del amortiguamiento en general no se considera explícitamente en los análisis dinámicos.Esto puede tratarse de manera indirecta mediante la selección de un valor para el coeficiente de amortiguamiento consistente con la amplitud de deformación esperada, y que por lo regular se toma como la deformación

asociada con el límite elástico lineal de la estructura.

Figura 2.4.1Se disipa energía adicional debido al comportamiento inelástico de la estructura a grandes deformaciones. Ante la acción de fuerzas o deformaciones cíclicas, este comportamiento implica la formación de un ciclo de histéresis fuerza-deformación (figura 2.3.1c). La energía de amortiguamiento disipada durante un ciclo de deformación entre los límites de deformación ± uo está dada por el área dentro del ciclo de histéresis abcda (figura 2.3.1c). Esta disipación de energía no suele modelarse mediante un amortiguador viscoso, en especial si la excitación es un movimiento sísmico. En cambio, el enfoque más común, directo y preciso para explicar la disipación de energía debida al comportamiento inelástico es determinar la relación inelástica entre la fuerza restauradora y la deformación, como se muestra en las figuras 2.3.1c y 2.3.4, al resolver la ecuación de movimiento. Tales relaciones de fuerza-deformación se obtienen a partir de pruebas experimentales en las estructuras o componentes estructurales a bajas velocidades de deformación, lo que excluye cualquier disipación de energía derivada de los efectos dependientes de la velocidad de deformación.El enfoque habitual es modelar este amortiguamiento en el intervalo de deformaciones inelásticas mediante el mismo amortiguador viscoso que se definió anteriormente para pequeñas deformaciones en el intervalo elástico lineal.

2.5 Ecuación de Movimiento: Fuerza Externa En la figura 2.5.1a se muestra el marco idealizado de un nivel que se presentó con anterioridad, sometido a una fuerza dinámica p(t) aplicada de manera externa en la dirección del GDLu. Esta notación indica que la fuerza p varía con el tiempo t. El desplazamiento resultante de la masa también varía con el tiempo y se indica mediante u(t).

Figura 2.5.12.5.1 Uso de la Segunda ley del movimiento de NewtonEn la figura 2.5.1b se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa en un cierto instante de tiempo. Éstas incluyen la fuerza externa p(t), la fuerza restauradora elástica (o inelástica) fS (figura 2.3.1) y la fuerza de amortiguamiento fD (figura 2.4.1). Se considera que la fuerza externa es positiva en la dirección del eje x, y que el desplazamiento u(t), la velocidad u’(t) y la aceleración ü(t) también son positivas en la dirección del eje x. Las fuerzas elásticas y de amortiguamiento se muestran actuando en la dirección opuesta, dado que son las fuerzas internas que se oponen a la deformación y a la velocidad respectivamente.La fuerza resultante a lo largo del eje x es p – fS – fD, y a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton se tiene

(2.5.1)Después de sustituir las ecuaciones (2.3.1) y (2.4.1), esta ecuación se convierte en

(2.5.2)Ésta es la ecuación de movimiento que controla la deformación o el desplazamiento u(t) de la estructura idealizada en la figura 2.5.1a, que se supone elástica lineal, sometida a una fuerza externa dinámica p(t). Las unidades de masa son fuerza/aceleración. Esta deducción puede extenderse con facilidad a sistemas inelásticos. La ecuación (2.5.1) todavía es válida y todo lo que debe hacerse es sustituir la ecuación (2.3.1), restringida a los sistemas lineales, por la ecuación (2.3.6), válida para los sistemas inelásticos. Por lo tanto, para tales sistemas, la ecuación de movimiento es

(2.5.3)

2.5.2 Equilibrio dinámico

Después de haber sido entrenados para pensar en términos del equilibrio de fuerzas, los ingenieros estructurales pueden encontrar el principio de equilibrio dinámico de D’Alembert muy atractivo. Este principio se basa en la noción de una fuerza inercial ficticia, una fuerza que es igual al producto de la masa por su aceleración y que actúa en dirección opuesta a la aceleración.Lo anterior establece que, con las fuerzas de inercia incluidas, un sistema está en equilibrio en cada instante de tiempo. Así, es posible dibujar un diagrama de cuerpo libre de una masa en movimiento y pueden usarse los principios de la estática para desarrollar la ecuación de movimiento.En la figura 2.5.1c se presenta el diagrama de cuerpo libre en el momento t, donde la masa se ha reemplazado por su fuerza de inercia, representada mediante una línea discontinua para distinguir esta fuerza ficticia de las fuerzas reales. Al igualar a cero la sumatoria de todas las fuerzas, se obtiene la ecuación (2.5.1b), que se obtuvo con anterioridad utilizando la Segunda ley del movimiento de Newton.

Componentes de rigidez, amortiguamiento y masaLa ecuación que describe el desplazamiento para el marco idealizado de un solo nivel se formula con un punto de vista alternativo. Bajo la acción de la fuerza externa p(t), las condiciones del sistema se describen mediante el desplazamiento u(t), la velocidad u’(t), y la aceleración ü(t), vea la figura 2.5.2a. Ahora visualice el sistema como la combinación de tres componentes puros: (1) el componente de rigidez: el marco sin amortiguamiento o masa (figura 2.5.2b); (2) el componente de amortiguamiento: el marco con su propiedad de amortiguamiento, pero sin rigidez o masa (figura 2.5.2c) y (3) el componente de masa: la masa del techo sin la rigidez o el amortiguamiento del marco (figura 2.5.2d).

Figura 2.5.2 a) Sistema b) Componente de rigidez c) Componente de amortiguamiento d) Componente de Masa

La fuerza externa fS sobre el componente de rigidez se relaciona con el desplazamiento u por medio de la ecuación (2.3.1) si el sistema es elástico lineal, la fuerza externa fD sobre el componente de amortiguamiento se relaciona con la velocidad u’ mediante la ecuación (2.4.1), y la fuerza externa f I

sobre el componente de masa se relaciona con la aceleración por medio de fI=mü. Por lo tanto, la fuerza externa p(t) aplicada al sistema completo puede visualizarse como distribuida entre los tres componentes de la estructura, y fS + fD + fI debe ser igual a la fuerza aplicada p(t) que conduce a la ecuación (2.5.1b). Aunque este punto de vista alternativo puede parecer innecesario para el sistema sencillo de la figura 2.5.2a, resulta útil para los sistemas complejos.2.6 Sistema Masa-Resorte-Amortiguador Se ha presentado el sistema 1GDL idealizando una estructura de un nivel (figura 2.5.1a), un enfoque que debería ser atractivo para los cursantes de la Maestria de ingeniería estructural. Sin embargo, el sistema 1GDL clásico es el sistema masa-resorte-amortiguador de la figura 2.6.1a.Si se considera que el resorte y el amortiguador no tienen masa, que la masa es rígida y que todo movimiento ocurre en la dirección del eje x, se tiene un sistema de 1GDL.En la figura 2.6.1b se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa, las cuales incluyen la fuerza restauradora elástica, fS = ku, ejercida por un resorte lineal de rigidez k, y la fuerza restauradora de amortiguamiento, fD = cu, debida a un amortiguador viscoso lineal. Entonces, a partir de la Segunda ley del movimiento de Newton resulta la ecuación (2.5.1b). De manera alternativa, puede obtenerse la misma ecuación mediante el uso del principio de D’Alembert y al escribir una ecuación de equilibrio de fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, incluyendo la fuerza de inercia (figura 2.6.lc). Es evidente que la ecuación de movimiento obtenida anteriormente, para el marco idealizado de un nivel en la figura 2.5.1a, también es válida para el sistema masa-resorte-amortiguador de la figura 2.6.1a.

Figura 2.6.1 Sistema masa-resorte-amortiguador2.7 Ecuación de Movimiento: Excitación Sísmica En las regiones propensas a sismos el principal problema de dinámica estructural que afecta a los ingenieros estructurales es el comportamiento de las estructuras sometidas a movimientos de la base de la estructura inducidos por sismos. El desplazamiento del terreno se indica por ug, el desplazamiento total (o absoluto) de la masa por ut, y el desplazamiento relativo entre la masa

y el terreno por u (figura 2.7.1). En cada instante de tiempo, estos desplazamientos se relacionan mediante:

(2.7.1)Tanto ut como ug se refieren al mismo marco de referencia inercial y sus direcciones positivas coinciden.La ecuación de movimiento para el sistema idealizado de un nivel de la figura 2.7.1a, sometido a la excitación sísmica, puede deducirse por cualquiera de los enfoques presentados en el punto 3. Aquí se opta por utilizar el concepto de equilibrio dinámico. A partir del diagrama de cuerpo libre que incluye la fuerza de inercia fI, mostrada en la figura 1.7.1b, la ecuación de equilibrio dinámico es:

(2.7.2)

Figura 2.7.1Sólo el movimiento relativo u entre la masa y la base, debido a la deformación estructural, produce fuerzas elásticas y de amortiguamiento (es decir, el componente de cuerpo rígido del desplazamiento de la estructura no produce fuerzas internas). Así, para un sistema lineal, las ecuaciones (2.3.1) y (2.4.1) siguen siendo válidas. La fuerza de inercia fI se relaciona con la aceleración üt

de la masa mediante

(2.7.3)Al sustituir las ecuaciones (2.3.1), (2.4.1) y (2.7.3) en la ecuación (2.7.2) y utilizar la ecuación (2.7.1), se obtiene

(2.7.4)Ésta es la ecuación de movimiento que controla el desplazamiento relativo o la deformación u(t) de la estructura elástica lineal de la figura 2.7.1a, sometida a la aceleración del terreno üg(t).Para los sistemas inelásticos, la ecuación (2.7.2) es válida, pero la ecuación (2.3.1) debe sustituirse por la ecuación (2.3.6). La ecuación de movimiento resultante es

(2.7.5)Al comparar las ecuaciones (2.5.2) y (2.7.4), o las ecuaciones (2.5.3) y (2.7.5), se observa que las ecuaciones de movimiento para la estructura sometida a dos excitaciones distintas [la aceleración del terreno üg(t) y la fuerza externa = –müg(t)] son una misma. Así, el desplazamiento relativo o deformación u(t) de la estructura debida a la aceleración del terreno üg(t) será idéntica al desplazamiento u(t) de la estructura si su base fuese estacionaria y se sometiera a una fuerza externa = –müg(t). Entonces, como se muestra en la figura 2.7.2, el movimiento del terreno puede sustituirse por la fuerza sísmica efectiva (que se indica mediante el subíndice “e f”):

(2.7.6)Esta fuerza es igual a la masa por la aceleración del terreno, que actúa opuesta a la aceleración.Es importante reconocer que la fuerza sísmica efectiva es proporcional a la masa de la estructura. Por lo tanto, si la masa estructural se incrementa, el diseñador estructural aumentará la fuerza sísmica efectiva.Aunque los componentes rotacionales del movimiento del terreno no se miden durante los sismos, éstos pueden estimarse a partir de los componentes de traslación medidos, lo cual es de interés para aplicar los conceptos anteriores a esta excitación. Con este propósito, observe la torre en voladizo de la figura 2.7.3a, que puede considerarse como una idealización de un tanque de agua, sometida a una rotación θg de la base. El desplazamiento total ut de la masa se compone de dos partes: u asociada con la deformación estructural y un componente de cuerpo rígido hθg, donde h es la altura de la masa por encima de la base. En cada instante de tiempo, estos desplazamientos se relacionan mediante:

(2.7.7)Las ecuaciones (2.7.2) y (2.7.3) siguen siendo válidas, pero la aceleración total üt(t) ahora debe determinarse a partir de la ecuación (2.7.7). Si se ponen todas estas ecuaciones juntas se obtiene

(2.7.8)La fuerza sísmica efectiva asociada con la rotación del terreno es

(2.7.9)

Figura 2.7.2 Fuerza sísmica efectiva: Movimiento horizontal del terreno

Figura 2.7.3 Fuerza Sísmica efectiva: Movimiento rotacional del terreno2.8 Planteamiento del Problema y Elementos Mecánicos2.8.1 Planteamiento del problemaDados la masa m, la rigidez k de un sistema elástico lineal, o la relación fuerza-deformación fS(u) para un sistema inelástico, el coeficiente de amortiguamiento c y la excitación dinámica [que puede ser una fuerza externa p(t) o la aceleración del terreno üg(t)] un problema fundamental en la dinámica estructural es determinar la respuesta de un sistema de 1GDL: el sistema idealizado de un solo nivel o el sistema masa-resorte-amortiguador.El término respuesta se utiliza en un sentido general para incluir cualquier cantidad de respuesta, como el desplazamiento, la velocidad o la aceleración de la masa; también, una fuerza interna o el esfuerzo interno en la estructura. Cuando la excitación es una fuerza externa, las cantidades de respuesta de interés son el desplazamiento o la deformación u(t), la velocidad (t) y la aceleración ü(t) de la masa. Para la excitación sísmica pueden requerirse tanto los valores totales (o absolutos) como los valores relativos de estas cantidades.El desplazamiento relativo u´(t) asociado con las deformaciones de la estructura es la cantidad más importante, puesto que las fuerzas internas en la estructura están directamente relacionadas con u(t).

2.8.2 Elementos mecánicosUna vez que se ha evaluado la historia de deformaciones u(t) mediante el análisis dinámico de la estructura (es decir, al resolver la ecuación de

movimiento), es posible determinar los elementos mecánicos (momentos de flexión, fuerzas cortantes y fuerzas axiales) y los esfuerzos requeridos para el diseño estructural mediante el análisis estático de la estructura en cada instante de tiempo (es decir, no se requiere ningún análisis dinámico adicional). Este análisis estático de un marco elástico lineal de un nivel puede visualizarse en dos formas:

1. En cada instante, el desplazamiento lateral u con el que están relacionadas las rotaciones de los nudos es conocido y, por lo tanto, es posible determinarlas.

2. El segundo método consiste en introducir la fuerza estática equivalente, un concepto central en la respuesta sísmica de las estructuras, que producirá la deformación u determinada por medio del análisis dinámico. Así

(2.8.1)

Donde k es la rigidez lateral de la estructura. De manera alternativa, fs puede interpretarse como la fuerza externa que producirá la misma deformación u en el componente de rigidez de la estructura (es decir, el sistema sin masa o amortiguamiento, figura 2.5.2b) como la que se determina mediante el análisis dinámico de la estructura (es decir, el sistema con masa, rigidez y amortiguamiento, figura 2.5.2a). Los elementos mecánicos o esfuerzos pueden determinarse en cada instante de tiempo por medio del análisis estático de la estructura sometida a la fuerza fS, la cual se determina a partir de la ecuación (2.8.1). Para el sistema masa-resorte-amortiguador, no es necesario introducir el concepto de fuerza estática equivalente, debido a que la fuerza del resorte, también dada por la ecuación (2.8.1), puede visualizarse con facilidad.Para los sistemas inelásticos, los elementos mecánicos pueden determinarse mediante modificaciones apropiadas de estos procedimientos que reconozcan que tales sistemas se analizan típicamente mediante procedimientos en el tiempo paso a paso, donde cada iteración es un paso de tiempo¿Por qué en el segundo método la fuerza externa se define como fS(t) y no como fI(t)?A partir de la ecuación (2.7.2), −fI (t) = fS(t) + fD(t) = ku(t) +cu´(t). Resulta inapropiado incluir la fuerza de amortiguamiento dependiente de la velocidad debido a que, para el diseño estructural, los esfuerzos en los elementos calculados deben compararse con los esfuerzos permisibles que se especifican según las pruebas estáticas en los materiales (es decir, pruebas realizadas a bajas velocidades de carga).2.9 Combinación de Respuestas Estáticas y Dinámicas

En la aplicación práctica es necesario determinar las fuerzas totales en una estructura, incluyendo las existentes antes de la excitación dinámica de la estructura y las que resultan de dicha excitación. Para un sistema lineal, las fuerzas totales pueden determinarse mediante la combinación de resultados de dos análisis distintos: (1) el análisis estático de la estructura debido a las cargas vivas y muertas, los cambios de temperatura, etcétera, y (2) el análisis dinámico de la estructura sometida a una excitación variable en el tiempo. Esta superposición directa de los resultados de los dos análisis es válida sólo para los sistemas lineales.Por otra parte, el análisis de sistemas no lineales no puede separarse en dos estudios independientes. El análisis dinámico de tales sistemas debe reconocer las fuerzas y deformaciones ya existentes en la estructura antes de la aparición de la excitación dinámica. Esto es necesario, en parte, para establecer la rigidez inicial de la estructura, que se requiere para comenzar el análisis dinámico.

3. Analisis Matematico del Tema

4. Idealizaciones de CalculoEl estudio de la dinámica estructural se inicia con estructuras simples, como la galería que se muestra en la figura 4.1 y el tanque de agua elevado de la figura 4.2. Se tiene interés en comprender la vibración de estas estructuras cuando se les aplica una fuerza lateral (u horizontal) en la parte superior o un movimiento horizontal del terreno debido a un sismo.Estas estructuras se llaman simples porque pueden idealizarse como una masa “m” concentrada o agrupada soportada por una estructura sin masa con rigidez k en la dirección lateral. Dicha idealización es apropiada para esta galería con un techo de concreto pesado sostenido por columnas ligeras de tubo de acero, que pueden suponerse carentes de masa.El techo de concreto es muy rígido y la flexibilidad de la estructura en la dirección lateral (u horizontal) la proporcionan en su totalidad las columnas. El sistema idealizado se muestra en la figura 4.3a con un par de columnas que soportan la longitud tributaria del techo de concreto. Este sistema tiene una masa concentrada m igual a la masa del techo mostrado, y su rigidez lateral k es igual a la suma de las rigideces de las columnas tubulares individuales.

a) Cargas HorizontalesEn la figura 4.3b se muestra una idealización similar, la cual es apropiada para el tanque cuando se encuentra lleno de agua. Como el chapoteo del agua no es posible en un tanque lleno, se trata de una masa concentrada m sostenida por una torre relativamente ligera que puede considerarse como carente de masa. La torre en voladizo que soporta el depósito de agua proporciona la rigidez lateral k a la estructura. Para la siguiente idealización se asumirá que el movimiento lateral por una fuerza horizontal aplicada a estas estructuras es pequeño suponiendo que las estructuras de soporte se deforman dentro de su límite elástico lineal.

Figura 4.1 Galería del Hotel Macuto Sheraton, cerca de Caracas, Venezuela, se dañó por el sismo del 29 de julio de 1967. El evento con magnitud 6.5, que se ubicó a unas 15 millas del hotel, deformó en exceso las columnas de tubo de acero, produciendo un desplazamiento permanente del techo de 9

pulgadas.

Figura 4.2 Este tanque de concreto reforzado sobre una sola columna de concreto de 40 pies de altura, que se encuentra cerca del aeropuerto de Valdivia, no sufrió daños por los sismos chilenos de mayo de 1960. Cuando el tanque está lleno de agua, la estructura puede analizarse como un sistema

de un grado de libertad.

Figura 4.3 a) Galería Idealizada b) Tanque de Agua Idealizado c) Vibración Libre debida a un desplazamiento inicial.

b) SismosEn las regiones propensas a sismos el principal problema de dinámica estructural que afecta a los ingenieros estructurales es el comportamiento de las estructuras sometidas a movimientos de la base de la estructura inducidos por sismos. El desplazamiento del terreno se indica por ug, el desplazamiento total (o absoluto) de la masa por ut, y el desplazamiento relativo entre la masa y el terreno por u (figura 4.4). Aquí se opta por utilizar el concepto de equilibrio dinámico. A partir del diagrama de cuerpo libre que incluye la fuerza de inercia fI, mostrada en la figura 4.4.b.

Figura 4.4 a) Idealización del desplazamiento del terreno b) Concepto del equilibrio dinámico.

Sólo el movimiento relativo u entre la masa y la base, debido a la deformación estructural, produce fuerzas elásticas y de amortiguamiento (es decir, el componente de cuerpo rígido del desplazamiento de la estructura no produce fuerzas internas)Las ecuaciones de movimiento para la estructura sometida a dos excitaciones distintas [la aceleración del terreno üg(t) y la fuerza externa = –müg(t)] son una misma. Así, el desplazamiento relativo o deformación u(t) de la estructura debida a la aceleración del terreno üg(t) será idéntica al desplazamiento u(t) de la estructura si su base fuese estacionaria y se sometiera a una fuerza externa = –müg(t). Entonces, como se muestra en la figura 4.5, el movimiento del terreno puede sustituirse por la fuerza sísmica efectiva (que se indica mediante el subíndice “ef”):

Figura 4.5 Fuerza Sísmica: Movimiento Horizontal del Terreno

Aunque los componentes rotacionales del movimiento del terreno no se miden durante los sismos, éstos pueden estimarse a partir de los componentes de traslación medidos, lo cual es de interés para aplicar los conceptos anteriores a esta excitación. Con este propósito, se muestra la figura 4.6, que puede considerarse como una idealización del tanque de agua de la figura 4.2, sometida a una rotación θg de la base. El desplazamiento total ut de la masa se compone de dos partes: u asociada con la deformación estructural y un componente de cuerpo rígido hθg, donde h es la altura de la masa por encima de la base.

Figura 4.6 Fuerza Sísmica Efectiva: Movimiento Rotacional del Terreno

5. Desarrollo de EjemplosPor lo general, la solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema de un solo grado de libertad no es posible si la excitación [fuerza p(t) o aceleración del terreno üg(t)] varía arbitrariamente con el tiempo o si el sistema no es lineal. Tales problemas pueden abordarse mediante métodos numéricos paso a paso en el tiempo para la integración de ecuaciones

diferenciales. Existe una gran cantidad de información los métodos para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en el área general de la mecánica aplicada. Esta información incluye el desarrollo matemático de estos métodos, su precisión, su convergencia y sus propiedades de estabilidad, así como sus aplicaciones computacionales.En este trabajo solo se incluye una breve presentación de algunos métodos que son muy útiles en el análisis de la respuesta dinámica de los sistemas de 1GDL. Esta presentación tiene por objeto proporcionar sólo los conceptos básicos que sustentan a estos métodos.

Ejemplo 1Un sistema de 1GDL tiene las propiedades siguientes: m = 0.2533 kip-s2/pulg, k = 10 kips/pulg, Tn=1 s (ωn = 6.283 rad/s) y ζ = 0.05. Determine la respuesta u(t) de este sistema para la p(t) definida por la fuerza de pulso sinusoidal de medio ciclo que se muestra en la figura, (a) mediante la interpolación lineal por partes de p(t) con Δt = 0.1 s y (b) mediante la evaluación de la solución teórica.

Solución:1.- Cálculos iniciales

e−ζωnΔ t = 0.9691ωD = ωn √(1 −ζ 2) = 6.275

sen (ωD Δt) = 0.5871cos (ωD Δt) = 0.8095

Si se sustituye esto en la tabla 3.2.1, obtenemos las siguientes constantes:A = 0.8129 B = 0.09067 C = 0.01236 D = 0.006352A’ =−3.5795 B’ = 0.7559 C’= 0.1709 D’ = 0.1871

2.- Aplicamos las ecuaciones de recurrencia. Los cálculos resultantes se resumen en las siguientes tablas.3.- Verificamos la exactitud de los resultados numéricos calculando la solución teórica.

Solución numérica usando la interpolación Lineal de la Excitación:

ti pi CpiDpi+1 Bu.i u.i Aui ui

ui Teorica

00,00

00,00

00,03

20,00

00,00

00,00

00,00

0 0,0000,1

5,000

0,062

0,055

0,085

0,936

0,026

0,032 0,033

0,2

8,660

0,107

0,064

0,278

3,068

0,185

0,227 0,233

0,3

10,000

0,124

0,055

0,440

4,856

0,515

0,634 0,649

0,4

8,660

0,107

0,032

0,429

4,732

0,922

1,134 1,161

0,5

5,000

0,062

0,000

0,175

1,934

1,211

1,490 1,524

0,6

0,000

0,000

0,000

-0,27

3

-3,01

61,17

71,44

8 1,481

0,7

0,000

0,000

0,000

-0,67

7

-7,46

30,73

50,90

4 0,925

0,8

0,000

0,000

0,000

-0,80

5

-8,87

70,04

70,05

8 0,059

0,9

0,000

0,000

0,000

-0,62

7

-6,91

7

-0,61

6

-0,75

8 -0,775

10,00

00,00

00,00

0

-0,22

8

-2,51

7

-1,01

1

-1,24

3 -1,272

ti pi C'piD'pi+1 A'ui ui B'u,i ui.

ui. Teorica

00,00

00,00

00,93

60,00

00,00

00,00

00,00

0 0,000

0,1

5,000

0,855

1,620

-0,11

40,03

20,70

70,93

6 0,957

0,2

8,660

1,480

1,871

-0,81

40,22

72,31

93,06

8 3,1380, 10,0 1,70 1,62 - 0,63 3,67 4,85 4,967

3 00 9 02,26

8 4 1 6

0,4

8,660

1,480

0,936

-4,05

91,13

43,57

74,73

2 4,841

0,5

5,000

0,855

0,000

-5,33

21,49

01,46

21,93

4 1,978

0,6

0,000

0,000

0,000

-5,18

41,44

8

-2,28

0

-3,01

6 -3,085

0,7

0,000

0,000

0,000

-3,23

50,90

4

-5,64

2

-7,46

3 -7,635

0,8

0,000

0,000

0,000

-0,20

80,05

8

-6,71

0

-8,87

7 -9,081

0,9

0,000

0,000

0,000

2,712

-0,75

8

-5,22

9

-6,91

7 -7,077

10,00

00,00

00,00

04,45

0

-1,24

3

-1,90

2

-2,51

7 -2,575

Conclusión: Verificamos la exactitud de los resultados numéricos, la solución numérica basada en la interpolación lineal por partes de la excitación coincide bastante bien con la solución teórica. La discrepancia surge porque la curva sinusoidal de medio ciclo se sustituyó por la serie de líneas rectas que se muestran en la figura. Con un Δt más pequeño, la aproximación lineal por partes estaría más cerca de la curva sinusoidal de medio ciclo y la solución numérica sería más exacta.Ejemplo 2Resuelva el ejercicio anterior mediante el método de la diferencia central usando Δt=0.1 s

Solución:1.- Cálculos iniciales:

m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592u0 =0 u0˙ = 0

ü0 = (p0 −c˙u0 −ku0)/m = 0u−1 = u0 – (Δt) ˙u0 + (Δt)2 ü0 / 2 = 0

k^= m/(Δt)2 +c/(2 Δt) = 26.13a = m/(Δt)2 -c/(2 Δt) = 24.53

b = k - 2m/(Δt)2 = -40.66

2.- Cálculos para cada paso de tiempopi ˆ = pi −aui−1 −bui = pi −24.53ui−1 +40.66uiui+1 = pi ˆ/k = pi ˆ/ 26.13

Los pasos de cálculo realizados anteriormente se repiten para i = 0, 1, 2, 3…, lo que conduce a la siguiente tabla, donde también se incluye el resultado teórico.

Solución numérica usando el método de la diferencia central:

ti pi ui-1 ui pi ˆ ui+1ui+1 teorico

00,00

00,00

00,00

0 0,0000,00

0 0,0330,1

5,000

0,000

0,000 5,000

0,191 0,233

0,2

8,660

0,000

0,191

16,442

0,629 0,649

0,3

10,000

0,191

0,191

30,893

1,183 1,161

0,4

8,660

0,629

0,629

41,300

1,581 1,524

0,5

5,000

1,183

1,183

40,265

1,541 1,481

0,6

0,000

1,581

1,581

23,881

0,914 0,925

0,7

0,000

1,541

1,541

-0,646

-0,02

5 0,059

0,8

0,000

0,914

0,914

-23,43

1

-0,89

7 -0,775

0,9

0,000

-0,02

5

-0,02

5

-35,86

0

-1,37

3 -1,272

10,00

0

-0,89

7

-1,37

3

-33,80

6

-1,29

4 -1,267

Ejemplo 3Resuelva el anterior ejercicio mediante el método de la aceleración promedio constante con Δt =0.1 s.

Solución:1.- Cálculos iniciales

m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592u0 =0 u0˙ = 0 p0 = 0

ü0 = (p0 −c˙u0 −ku0)/m = 0Δt = 0.1

a1 =4 m / (Δt)2 +2 c / (Δt) = 104.5;a2 =4 m / (Δt) + c = 10.29

a3 = m = 0.2533.k^ = k +a1 = 114.5

2.-Cálculos para cada paso de tiempo, i = 0, 1, 2, …p ˆ i+1 = pi+1 +a1 ui +a2 u˙i +a3üi = pi+1 +104.5 ui +10.29u ˙i +0.2533

u i+1 = (p ˆ i+1 )/ k^ = (p ˆ i+1 )/ 114,5u ˙ i+1 = (2 / (Δt) ) (u i +1 - u i) - u˙i

üi+1 = (4 / (Δt)2 ) (u i +1 - u i) – (4/(Δt))u˙i - üi

3.-Los pasos de cálculo anteriormente realizados se repiten para los pasos de tiempo sucesivos y se resumen en la siguiente tabla, donde también se incluye el resultado teórico.

Solución numérica usando el método de la aceleración promedio constante:

ti pi pi ˆ u..i u.i uiui Teorico

00,00

0 0,000 0,0000,00

00,00

0 0,0000,1

5,000 5,000

17,467

0,873

0,044 0,033

0,2

8,660 26,636

23,180

2,906

0,233 0,233

0,3

10,000 70,084

12,372

4,683

0,612 0,649

0,4

8,660

123,954

-11,51

84,72

61,08

3 1,161

0,5

5,000

163,847

-38,16

12,24

21,43

1 1,524

0,6

0,000

162,945

-54,67

2

-2,40

01,42

3 1,481

0,7

0,000

110,171

-33,70

0

-6,81

80,96

2 0,925

0,8

0,000 21,846

-2,121

-8,60

90,19

1 0,059

0,9

0,000

-69,199

28,442

-7,29

3

-0,60

4 -0,775

10,00

0

-131,00

747,37

0

-3,50

3

-1,14

4 -1,272

Ejemplo 4Resuelva el problema anterior mediante el método de la aceleración lineal utilizando Δt = 0.1 s.

Solución:1.-Cálculos iniciales

m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592u0 =0 u0˙ = 0 p0 = 0

ü0 = (p0 −c˙u0 −ku0)/m = 0Δt = 0.1

a1 =6 m / (Δt)2 +3 c / (Δt) = 156,8;a2 =6 m / (Δt) +2c = 15.52

a3 = 2m+c (Δt) /2 = 0.5146k^ = k +a1 = 166,8

2.-Cálculos para cada paso de tiempo, i = 0, 1, 2, …p ˆ i+1 = pi+1 +a1 ui +a2u˙i +a3üi = p i+1 +156,8 ui +15,52u ˙i +0.5146ü

u i+1 = (p ˆ i+1 )/ k^ = (p ˆ i+1 )/ 166,8u ˙ i+1 = (3 / (Δt) ) (u i +1 - u i) - 2u˙i – (Δt) üi / 2üi+1 = (6 / (Δt)2 ) (u i +1 - u i) – (6/(Δt))u˙i - 2 üi

Solución numérica usando el método de aceleración lineal:

ti pi pi ˆ u..i u.i uiui Teorico

00,00

0 0,000 0,0000,00

00,00

0 0,0000,1

5,000 5,000

17,990

0,900

0,030 0,033

0,2

8,660 36,575

23,657

2,982

0,219 0,233

0, 10,0 102,82 12,13 4,77 0,61 0,649

3 00 2 7 2 7

0,4

8,660

185,599

-12,73

14,74

21,11

3 1,161

0,5

5,000

246,496

-39,94

32,10

81,47

8 1,524

0,6

0,000

243,873

-56,04

5

-2,69

11,46

3 1,481

0,7

0,000

158,654

-33,06

9

-7,14

70,95

1 0,925

0,8

0,000 21,231 0,489

-8,77

60,12

7 0,059

0,9

0,000

-115,95

931,94

9

-7,15

4

-0,69

5 -0,775

10,00

0

-203,56

850,11

1

-3,05

1

-1,22

1 -1,272

3.-Los pasos anteriormente se repiten para los pasos de tiempo sucesivos y se resumen en la siguiente tabla donde también se incluye el resultado teórico.

Ejemplo 5Un sistema de 1GDL tiene las mismas propiedades que en el ejemplo anterior, excepto que la relación fuerza restauradora-deformación es elasto plástica con deformación de cedencia uy=0.75pulg y fuerza de cedencia fy = 7.5 kips (figura). Determine la respuesta u(t) de este sistema (que inicia desde el reposo) a la fuerza de pulso sinusoidal de medio ciclo que se muestra en la figura del problema inicial, utilizando el método de la aceleración promedio constante con Δt=0.1s y la iteración de Newton-Raphson.

Solución:Paso 1- Cálculos iniciales

m = 0.2533 k = 10 c = 0.1592u0 =0 u0˙ = 0 p0 = 0

a) Determinación del estado: ( fS)0 = 0 y (kT)0 = k = 10b) ü0 = (p0 −c˙u0 –(fs)0)/m = 0c) Δt = 0.1d) a1 =4 m / (Δt)2 +2 c / (Δt) = 104,5040;

a2 =4 m / (Δt) +c = 10,2912a3 = m = 0.2533

Paso 2.- Como ejemplo, los cálculos de los pasos se implementan de la siguiente manera para el paso de tiempo que comienza en 0.3 s y termina en 0.4 s.

2.- Cálculos para i = 3a) Inicio en j = 1

u(1)i+1 = ui = 0,6121

( fS)(1)i+1 = ( fS)i = 6,1206

(kT )(1)i+1 = (kT )i = 10

b) p ˆ i+1 = pi+1 + 104.5ui +10.29 u ˙ i +0.2533 üi = 123.9535

Paso 3: Primera iteración, j = 1

a) Rˆ (1)i+1 = pˆ i+1 −( fS)(1)

i+1 −104.5u(1)i+1= 123,9535 −6,1206 −63,9630 =

53,8698.

b) Verificación de la convergencia: como [Rˆ (1)i+1 ]= 53,8698 excede a εR =

10−3, elegido para este ejemplo, se realiza lo siguiente:

c) (k ˆT )(1)i+1 = (kT )(1)i+1 +a1 = 10 +104,5040 = 114,5040.

d) Δu(1) = Rˆ(1)i+1 ÷( k ˆ T )(1)

i+1 = 53,8698 ÷114,5040 = 0,4705e) u(2)

i+1 = u(1) i+1 + Δu(1) = 0,6121 +0,4705 = 1,0825.f) Determinación del estado: ( fS)(2)i+1 y (kT )(2)i+1

( fS)(2)i+1 = ( fS)i +k(u(2)

i+1 −ui ) = 6,1206 +(10 ×0,4705) = 10,8253

Porque ( fS)(2)i+1 > fy ,

( fS)(2)i+1 = fy = 7,5 y (kT )(2)

i+1 = 0

Paso 4´: Segunda iteración, j = 2a) R(2) ˆ i+1 = pˆi+1 −( fS)(2)

i+1 −104.5u(2)i+1

R(2) ˆ i+1 = 123,9535 – 7,5 – 113,1282 = 3,3253

g) Verificación de la convergencia: como Rˆ (2)i+1 = 3,3253 excede a εR , se realizan los pasos anteriores:

h) (k ˆT )(2)i+1 = (kT )(2)

i+1 +a1 = 0 +104,5040 = 104,5040.i) Δu(2) = Rˆ(2)i

+1 ÷( k ˆ T )(2)i+1 = 3,3253 ÷104,5040 = 0,0318

j) u(3)i+1 = u(2) i+1 + Δu(2) = 1,0825 +0,0318 = 1,1143.

k) Determinación del estado: ( fS)(3)i+1 y (kT )(3)

i+1

( fS)(3)i+1 = ( fS)i +k(u(3)

i+1 −ui ) = 6,1206 +(10 ×0,5023) = 11,1434

Porque ( fS)(3)i+1 > fy ,

( fS)(3)i+1 = fy = 7,5 y (kT )(3)

i+1 = 0

Paso 5´: Tercera iteración, j = 3a) R(3) ˆ i+1 = pˆi+1 −( fS)(3)

i+1 −104.5u(3)i+1

R(3) ˆ i+1 = 123,9535 – 7,5 – 116,4535 = 0

l) Verificación de la convergencia: como[ Rˆ (3)i+1 ]= 0 menor a εR , se

omiten los pasos anteriores y se establece que u4 = u(3)4 = 1,1143

Paso 6.- Cálculo de la velocidad y aceleración

u˙i+1 = (2/ Δ t)(ui+1 −ui ) –u.i = (2/0.1) (1.1143 −0.6121) −4.683 = 5.3624

üi+1 = (4)/ (Δ t)2 (ui+1 −ui ) −(4/ Δ t)( u.i – üi) =(4)/ (0,1)2 (1,1143 −0,6121 ) −(4/ 0,1)(4,6833 – 12,3719) = 1,2103

Estos cálculos para el paso de tiempo de 0.3 a 0.4 segundos se resumen en la siguiente tabla:Después de reemplazar i por i + 1, se repiten los pasos anteriores para los pasos de tiempo sucesivos.

Solución numérica usando el método aceleración promedio constante:

ti piRˆi o Rˆi (j)

kT o KT(j)

k ˆT o k ˆT (j) Δu(j)

ui 0 ui(j+1)

( fSi)j+1 u ˙ i üi

0 0 10 0 0 0

0,1 5 5 10 114,504

0,0437 0,0437

0,4367

0,8733

17,4666

0,2 8,66 21,6355 10 114,504

0,1889 0,2326

2,3262

2,9057

23,1801

0,3 10 43,4481 10 114,504

0,3794 0,6121

6,1206

4,6833

12,3719

0,4

8,6603 53,8698 10 114,504

0,4705 1,0825 7,5

3,3253 0 114,5040,031

8 1,1143 7,55,362

4 1,2103

0,5 5 55,9918 0 114,504

0,5071 1,6214 7,5

4,7792

-12,873

50,6 0 38,423 0 114,504

0,3677 1,9891 7,5

2,5742

-31,227

0,7 0 11,0816 0 114,504 0,106 2,0951 7,5

-0,453

4

-29,324

2

0,8 0 -19,5936 0 114,504

-0,187

5 1,90765,625

1

1,8749 10 114,5040,016

4 1,9245,788

8-

2,969

-20,987

6

0,9 0 -41,6593 10 114,504

-0,363

8 1,56022,150

6

-4,307

5 -5,783

1 0 -47,9448 10 114,504

-0,418

7 1,1415

-2,036

6

-4,066

810,596

2

Durante los siguientes tres pasos de tiempo (después de 0.4 s), el sistema está en la rama de cedencia ab. En otras palabras, la rigidez ki = 0 se mantiene constante y no es necesaria una iteración. Entre 0.6 y 0.7 s la velocidad cambia de signo positivo a negativo, lo que implica que la deformación comienza a disminuir, el sistema comienza a descargarse a lo largo de la rama bc, y la rigidez ki = 10. Sin embargo, se ha ignorado este cambio durante el paso de tiempo, lo que implica que el sistema permanece en la rama ab y no se requiere una iteración.El cálculo para el paso de tiempo que inicia en 0.6 s puede hacerse más preciso al buscar, mediante un proceso iterativo, el instante en el cual u ˙ = 0. Entonces, los cálculos pueden llevarse a cabo con la rigidez ki = 0 durante la primera parte del paso de tiempo y con ki = 10 en la segunda parte del paso de tiempo. De manera alternativa, puede usarse un paso de tiempo más pequeño para mejorar la precisión.Observe que la solución durante un paso de tiempo no es exacta porque el equilibrio se satisface sólo al principio y al final de dicho paso, no en todos los instantes de tiempo que están dentro del mismo. Esto implica una violación a la ecuación del balance de energía. La discrepancia en el balance de energía, que por lo general se calcula al final de la excitación, es una indicación del error en la solución numérica.

Ejemplo 6

Repita el ejemplo anterior usando la iteración de Newton-Raphson modificada dentro de cada paso de tiempo con Δt = 0.1 s.Solución.- El procedimiento anterior se modifica para utilizar la rigidez inicial al comienzo de un paso de tiempo como la rigidez constante para todas las iteraciones en dicho paso de tiempo. Los cálculos en los pasos 1 y 2 son idénticos a los presentados en el ejemplo 5, pero el paso 3 ahora es diferente. Para ilustrar estas diferencias, el paso 3.0 con el método de iteración Newton-Raphson modificada se realizó para el paso de tiempo que comienza en 0.3 s y termina en 0.4 s.

Paso 3: Primera iteración, j = 1

m) Rˆ (1)i+1 = pˆ i+1 −( fS)(1)

i+1 −104.5u(1)i+1= 123,9535 −6,1206 −63,9630 =

53,8698.

n) Verificación de la convergencia: como [Rˆ (1)i+1 ]= 53,8698 excede a εR ,

se realiza lo siguiente:o) (k ˆT )i+1 = (kT )i+1 +a1 = 10 +104,5040 = 114,5040.p) Δu(1) = Rˆ(1)

i+1 ÷( k ˆ T )(1)i+1 = 53,8698 ÷114,5040 = 0,4705

q) u(2)i+1 = u(1) i+1 + Δu(1) = 0,6121 +0,4705 = 1,0825.

r) Determinación del estado: ( fS)(2)i+1

( fS)(2)i+1 = ( fS)i +k(u(2)

i+1 −ui ) = 6,1206 +(10 ×0,4705) = 10,8253

Porque ( fS)(2)i+1 > fy ,

( fS)(2)i+1 = fy = 7,5

Paso 4´: Segunda iteración, j = 2b) R(2) ˆ i+1 = pˆi+1 −( fS)(2)

i+1 −104.5u(2)i+1

R(2) ˆ i+1 = 123,9535 – 7,5 – 113,1282 = 3,3253

s) Verificación de la convergencia: como Rˆ (2)i+1 = 3,3253 excede a εR , se realizan los pasos anteriores:

t) (k ˆT )i+1 = 114,5040.u) Δu(2) = Rˆ(2)i

+1 ÷( k ˆ T )(2)i+1 = 3,3253 ÷104,5040 = 0,0318

v) u(3)i+1 = u(2) i+1 + Δu(2) = 1,0825 +0,0292 = 1,1116.

w) Determinación del estado: ( fS)(3)i+1 +1

( fS)(3)i+1 = ( fS)i +k(u(3)

i+1 −ui ) = 6,1206 +(10 ×0,5000) = 11,1157

Paso 5´: Tercera iteración, j = 3a) R(3) ˆ i+1 = pˆi+1 −( fS)(3)

i+1 −104.5u(3)i+1

R(3) ˆ i+1 = 123,9535 – 7,5 – 116,1631 = 0.2904

x) Verificación de la convergencia: como[ Rˆ (3)i+1 ]= 0.2904

excede a εR , se realizan los pasos anteriores y se establece que:(k ˆT )i+1=114.5040

Δ u= R(3) ˆ i+1 / (k ˆT )i+1 = 0.2904/114.5040=0.0025U(4)˙i+1 = U(3)˙

i+1 + Δ u(3) = 1.1116 + 0.0025=1.1141

Determinación del estado (fs)(4)˙i+1

(fs)(4)˙i+1 = (fsi) + k(u (4)˙

i+1 – ui) = 6.1206+(10*0.5020) = 11.1410

Porque: (fs)(4)˙i+1 > fy, (fs)(4)˙

i+1 = fy = 7.5

Estos cálculos y los realizados para las iteraciones adicionales, durante el paso de tiempo que va de 0.3 a 0.4 s, se muestran en la tabla:

ti piRˆi o Rˆi (j)

kT o KT(j)

k ˆT o k ˆT (j) Δu(j)

ui 0 ui(j+1)

( fSi)j+1 u ˙ i üi

0 0 10 0 0 00,1 5 5 10 114,504 0,0437 0,0437

0,4367

0,8733

17,4666

0,2 8,66 21,6355 10 114,504 0,1889 0,2326

2,3262

2,9057

23,1801

0,3 10 43,4481 10 114,504 0,3794 0,6121

6,1206

4,6833

12,3719

0,4

8,6603 53,8698 10 114,504 0,4705 1,0825 7,5

3,3253 0,02904 1,1116 7,5

0,2904 0,00253 1,1141 7,5

0,025360,00022

1 1,1143 7,5

0,002210,00001

93 1,1143 7,55,362

3 1,2095

0,5 5 55,9912 0 104,504 0,5071 1,6214 7,5

4,7791

-12,873

40,6 0 38,4222 0 104,504 0,3677 1,9891 7,5

2,5741

-31,227

0,7 0 11,081 0 104,504 0,106 2,0951 7,5

-0,453

4

-29,324

20,8 0 -19,5936 0 104,504 -0,1875 1,9076 5,625

1,875 0,01794 1,92565,804

4

-0,1794

-0,00171

7 1,93385,787

3

0,017170,00016

43 1,9245,788

9

0,001643

-0,00001

57 1,9245,788

8-

2,969

-20,987

9

0,9 0 -41,66 10 114,504 -0,3638 1,5602

2,1505

-4,307

6-

5,7824

1 0 -47,945 10 114,104 -0,4187 1,1414

-2,036

7

-4,066

810,596

9

La iteración de Newton-Raphson original converge con mayor rapidez que la modificada, como es evidente al comparar las tablas del ejercicio 5 y 6 que resumen los resultados de los dos métodos, respectivamente. Observe lo siguiente: Los resultados de la primera iteración son idénticos en los dos casos porque ambos usan la rigidez tangente inicial. En consecuencia, la fuerza restauradora ( fS) (2)i+1 y la fuerza residual ˆR(2)i+ son idénticas. Si en la segunda iteración se usa la rigidez tangente actual (kT )(2)i+1 y el valor asociado de (ˆkT )(2)i+1, el método de Newton-Raphson original

conduce a una fuerza residual menor ˆR(3)i+1 = 0 (ejemplo 5) en comparación con ˆR(3)i+1 = 0.2904 del método de Newton-Raphson modificado (ejemplo 6). Como ahora en cada iteración la fuerza residual ˆR( j ) i+1 es más pequeña, se logra la convergencia en menos iteraciones; para el paso de tiempo de este ejemplo se requieren dos iteraciones del método de Newton-Raphson original (ejemplo 5), mientras que con el método de Newton-Raphson modificado se necesitan cinco (ejemplo 6).Ejemplo 7El tanque lleno de agua del ejemplo, con 80 pies de altura, se somete a la fuerza p(t) que se muestra en la figura, causada por una explosión sobre el nivel de la tierra. Determine la fuerza cortante basal máxima y el momento flexionante en la base de la torre que soporta al tanque.

Solución: Para este tanque de agua, tenemos los siguientes datos, peso w = 100.03 kips, k = 8.2 kips/pulg, Tn = 1.12 s y ζ = 1.23%. La razón td/Tn = 0.08/1.12 = 0.071. Como td/Tn < 0.25, la función excitadora puede entenderse como un impulso puro de magnitud

∫0

0.8

p (t )dt=¿ ( 0.022 )[0+2 (40 )+2 (16 )+2 (4 )+0 ]=1.2kip−seg¿

Donde la integral se calcula por la regla trapezoidal. Si se desprecia el efecto del amortiguamiento, el desplazamiento máximo es:

uo =(I2π)/(k Tn) = (1.2*2π)/(8.2*1.12)= 0.821 pulg

La fuerza estática equivalente fSo asociada con este desplazamiento es:

fSo = kuo = (8.2)0.821 = 6.73 kips

Las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes que resultan sobre la altura de la torre se muestran en la figura. La fuerza cortante basal y el momento en la base son Vb = 6.73 kips y Mb = 538 kips-pie.

6. ConclusionesEl cálculo de la respuesta dinámica se efectúa utilizando un modelo matemático que describa cuantitativamente las propiedades mecánicas del modelo dinámico. Las características mecánicas que se necesitan para poder analizar el modelo dinámico son: características de masa (inercia), de rigidez y de amortiguamiento y para facilitar el cálculo numérico de la respuesta es necesario pre establecer un número finito de puntos para el cálculo de la respuesta, por tal razón se realiza la discretización.La elección del modelo dinámico depende directamente del método de discretización utilizado y también de las características físicas de los materiales que constituyen la estructura.Las aproximaciones debidas a la utilización de los modelos dinámicos y de los modelos matemáticos correspondientes, especialmente aquellas que se refieren a las características mecánicas de los materiales, tienen gran influencia sobre la exactitud de la respuesta.En este trabajo de investigación se desarrolló el problema de la dinámica estructural para estructuras simples que pueden idealizarse como sistemas con una masa concentrada soportados por una estructura sin masa, los cuales son resueltos mediante métodos numéricos paso a paso en el tiempo para la integración de ecuaciones diferenciales, sin embargo cabe aclarar que estos métodos no conducen a resultados exactos pero bastante aproximados.Los tres requisitos importantes para un procedimiento numérico son:

La convergencia (a medida que disminuye el paso de tiempo, la solución numérica debe acercarse a la solución exacta).

La estabilidad (la solución numérica debe ser estable en la presencia de errores numéricos de redondeo).

La precisión (el procedimiento numérico debe proporcionar resultados que estén lo suficientemente cerca a la solución exacta).

En este trabajo de investigación se presentaron tres tipos de procedimientos paso a paso en el tiempo: los métodos basados en la interpolación de la función de excitación, los métodos basados en expresiones de diferencias finitas de la velocidad y la aceleración, y los métodos basados en la variación supuesta de la aceleración. Para las dos primeras categorías se presentó un solo método, mientras que para el tercer grupo se estudiaron dos. De los modelos presentados y resueltos a través de Ejemplos se puede afirmar que:

Verificamos la exactitud de los resultados numéricos, la solución numérica basada en la interpolación lineal por partes de la excitación coincide bastante bien con la solución teórica. En el método aceleración promedio constante durante un paso de tiempo no es exacta porque el equilibrio se satisface sólo al principio y al final de dicho paso, no en todos los instantes de tiempo que están dentro del mismo, lo que implica una violación a la ecuación del balance de energía, la discrepancia en el balance de energía, que por lo general se calcula al final de la excitación, es una indicación del error en la solución numérica.El método de iteración de Newton-Raphson original converge con mayor rapidez que los anteriores métodos y en menores iteraciones.