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7/24/2019 Trabajo de Lgica Matemtica.docx

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Trabajo de Lgica MatemticaGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 -

Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemt!o alemn, n"entor !on #ede$nd % &regede la teor'a de !onuntos, ue es la base de las matemt!as modernas* +ra!as a susatre"das n"estga!ones sobre los !onuntos nfntos fue el rmero !aaz deformalzar la no!n de nfnto bao la forma de los n.meros transfntos (!ardnales %ordnales)*

/" aueado or esodos de deresn, atrbudos orgnalmente a las !r't!asre!bdas % sus falldos ntentos de demostra!n de la 0tess del !ontnuo, aunuea!tualmente se !ree ue ose'a alg.n to de deresn !!lo-man'a!a* Ho% en d'a, la!omundad matemt!a re!ono!e lenamente su trabao, % admte ue sgnf!a un salto

!ualtat"o mortante en el ra!o!no lg!o*

Georg Ferdinand Cantor(San Petersburgo, 1845 - Halle, 2lemana, 1918) atemt!o alemn de orgen ruso* l

o"en antor ermane! en usa unto a su famla durante on!e a7os, 0asta ue ladel!ada salud de su adre les oblg a trasladarse a 2lemana* n 186 ngres en la

n"ersdad de :ur!0, ero tras la muerte de su adre, un a7o desu;s, se traslad a lan"ersdad de


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Partendo de las deas !ontendas en una obra stuma de


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2dems de las n"estga!ones de !ar!ter lg!o-matemt!o, ussell, en efe!to, 0ab'arealzado, !on sngular fortuna, el estudo de roblemas so!ales % ;t!o-ol't!os, %

ubl!ado, en !onse!uen!a, teDtos !omoMatrimonio y moral(Marriage and Morale,199),La conquista de la felicidad(The Conquest of appiness, 193C) %La educacin

y el orden social(!ducation and the "ocial #rder, 193)* n tales obras el autor se

re"elaba es!rtor del!ado % agudo, a uen el ra!onalsmo % la elegante ron'a ndu!'ana solu!ones !on fre!uen!a arad!as, ero semre mu% estmulantes*

n 195C re!b el remo Iobel de @teratura* n 195, a los o!0enta a7os, se un'a en!uartas nu!as a dt0 &n!0, % en 1953 ubl!ada la no"ela "atans en los su$ur$ios yotras narraciones("atan in the "u$ur$s and #ther "tories)* n 1955 do a la mrentael testamento esrtual de 2lbert nsten, % se manfest abertamente en fa"or de la

ro0b!n de la guerra atm!a % de los !onfl!tos b;l!os en general*

ussell re!0az ronto el dealsmo metaf's!o en ue fue edu!ado* Su teor'a del

!ono!mento es realsta % uere !one!tar, a semeanza de la de su !olega +* dardoore, !on las ntu!ones del sentdo !om.n ordnaro* Por un lado, es el 0eredero de la"etusta trad!n del emrsmo brtn!o, una !orrente flosf!a unda semre ales'rtu del lberalsmo % de la Llustra!n, ue retende redu!r todo !ontendo!ognt"o a los datos de la eDeren!a sensble* Por otro, es el lg!o !ontemorneoms amb!oso, obsesonado !on la dea de un lenguae smbl!o erfe!to, ue elmnetoda ambgOedad eDres"a* l resultado de todas estas reo!ua!ones es el llamadoatomsmo lg!o de ussell, una sobra metaf's!a emrsta ue se !uenta entre losmeores logros de la flosof'a !ontemornea*

n susPrincipia mathematica(191C-1913), es!rtos en !olabora!n !on 2lfred Iort0J0te0ead, rouso la solu!n de roblemas lg!os ue "en'an atormentando a laflosof'a % a la matemt!a de las .ltmas d;!adas* Sus trabaos en la teor'a de tos %en la teor'a de las des!r!ones ueden !tarse entre lo ms reresentat"o del estloanal't!o de flosofar, ue arte de la lg!a ara tratar de es!lare!er rome!abezasse!ulares de la 0stora del ensamento*

ussell !onsderaba msn del ntele!tual la dfusn de una !ultura ue 0abt.e a los0ombres a la re"sn de sus roas deas % a la toleran!a mutuaK la !en!a, en !aldadde tal, no basta ara la fel!dad de los seres 0umanos, uenes, en la !onse!u!n de tal

obet"o, deben a!udr al arte, al amor % al reseto re!'ro!o* Io fue un eemlo de!on"en!onalsmo n de ad0esn a los "alores estable!dos*


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seDual, el d"or!o % otros temas "n!ulados a la moraldad seDual* n su obra!l Poderen los hom$res y en los pue$los(1938), eDamn la !ategor'a del oder, amlndola anumerosos atrbutos so!ales, mltares, !ent'f!os, .bl!os % e!onm!osK lo msnteresante de su anlss es la tess ue fgur d;!adas desu;s !omo uno de loselementos !la"es de la flosof'a moderna de ue entre tales nsttu!ones % fguras no

0a% eraru'a alguna, slo rela!ones ms o menos dnm!as ue se solaan unas aotras seg.n las !r!unstan!as 0str!as*

n 1945 ubl! la amlaistoria de la filosofa occidental, obra mresonante or suerud!n, el oder ersuas"o a tra";s de rela!ones orgnales entre flsofos %tenden!as, % sobre todo or la maestr'a de la rosa, no eDenta de ngeno % sentdo del0umor, lo ue ro!a el a!er!amento amable de los le!tores a este lbro monumental

or su eDtensn % rostos*

Lgica y flosoa de las matemticas

ussell tu"o una gran nfluen!a en la lg!a matemt!amoderna* l flsofo % lg!oestadoundense Jllard unedo ue el trabao de ussell reresentaba la ms grandenfluen!a sobre su roo trabao*

l rmer lbro matemt!o de ussell,!nsayo so$re los fundamentos de la geometra(An essay on the foundations of geometry), fue ubl!ado en 189=* ste trabao fuefuertemente nfluen!ado or Lmmanuel Aant* ussell ronto se do !uenta ue el!on!eto al!ado 0ar'a mosble el esuema esa!o-temode2lbert nsten, al !ual!onsderaba !omo sueror a sus roos sstemas* #esde a0' en adelante, re!0az todoel rograma de Aant en lo rela!onado a las matemt!as % a lageometr'a, % sostu"o ue

su trabao ms temrano en esa matera !are!'a de "alor*

Lnteresado en la defn!n de n.mero, ussell estud los trabaos de +eorge Sur la logue des relatons a"e! les al!atons R la t0;ore des s;res?, %>2!er!a de los n.meros !ardnales?*

ussell al fnal des!ubr ue +ottlob &rege 0ab'a llegado de forma ndeendente a

defn!ones eu"alentes ara *,sucesor% n+meroK la defn!n de n.mero esa!tualmente referda !omo la defn!n &rege-ussell* n gran manera fue ussell
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Willard_Quinehttps://es.wikipedia.org/wiki/Immanuel_Kanthttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Boolehttps://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morganhttps://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morganhttps://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peircehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schr%C3%B6derhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peanohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Willard_Quinehttps://es.wikipedia.org/wiki/Immanuel_Kanthttps://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempohttps://es.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmerohttps://es.wikipedia.org/wiki/George_Boolehttps://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttps://es.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morganhttps://es.wikipedia.org/wiki/Charles_Sanders_Peircehttps://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schr%C3%B6derhttps://es.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Fregehttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peanohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomahttps://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica


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uen trao a &rege a la aten!n del mundo angloarlante* Hzo esto en 19C3, !uandoubl!Principia mathematica, en el !ual el !on!eto de !lase es neDtr!ablementelgado a la defn!n de n.mero* l a;nd!e de este trabao detallaba una aradoasurgda en la al!a!n de &rege ara las fun!ones de segundo -% ms alto- orden uetomaban fun!ones de rmer orden !omo argumento, ara luego ofre!er su rmer

esfuerzo en resol"er lo ue luego ser'a !ono!da !omo la aradoa de ussell* 2ntes dees!rbr Prn!os, ussell se 0ab'a enterado de la rueba de antor sobre ue noeDst'a el n.mero !ardnalms grande, lo ue ussell !onsderaba un error* @a Paradoaantora su "ez fue !onsderada (or eemlo, or rossle%) !omo un !aso ese!al de laParadoa de ussell* sto 0zo ue ussell analzara las !lases, donde era sabdo uedado !ualuer n.mero de elementos, el n.mero de !lases resultantes es ma%or ue sun.mero* sto, a su "ez, lle" al des!ubrmento de una !lase mu% nteresante, llamada la!lase de todas las !lases* ontene dos tos de !lasesM auellas !lases ue se !ontenen as' msmas, % auellas ue no* @a !onsdera!n de esta !lase lo lle" a en!ontrar unafalta gra"e en el llamado rn!o de !omrensn, el !ual %a 0ab'a sdo asumdo or

los lg!os de la ;o!a* #emostr ue resultaba en una !ontrad!!n, donde G es unmembro de G, s % solo s, G no es un membro de G* sta se 0a llegado a !ono!er !omola Paradoa de ussell, la solu!n ue fue esbozada en un a;nd!e de Prn!os, % laue ms tarde desarroll !omo una teor'a !omleta, lateor'a de los tos* 2arte deeDoner una ma%or n!onssten!a en la teor'a ntut"a de !onuntos, el trabao deussell !onduo dre!tamente a la !rea!n de lateor'a aDomt!a de !onuntos* sto

aralz el ro%e!to de &rege de redu!r la artm;t!a a lg!a* @a Eeor'a de los Eos %mu!0o del trabao subse!uente de ussell 0an en!ontrado al!a!ones r!t!as en las!en!as de la !omuta!n% la te!nolog'a de la nforma!n*

ussell !ontnu defendendo el log!smo, la "sn ue la matemt!a es en un sentdomortante redu!ble a la lg!a, % unto a su eD-rofesor 2lfred Iort0 J0te0ead,es!rb la monumentalPrincipios de las Matemticas, un sstema aDomt!oen el !ualtodas matemt!as ueden ser fundadas* l rmer "olumen dePrincipiosfue ubl!adoen 191C, % es en gran manera atrbudo a ussell* s ue nng.n otro trabao,estable! la ese!aldad de la lg!a matemt!a o smbl!a* #os "ol.menes msfueron ubl!ados, ero su lan orgnal de n!ororar la geometr'a en un !uarto"olumen nun!a fue lle"ada a !abo, % ussell nun!a meor los trabaos orgnales,aunue se refr a nue"os desarrollos % roblemas en su refa!o de la segunda ed!n*2l !omletarPrincipios, tres "ol.menes de eDtraordnaro razonamento abstra!to %

!omleo, ussell estaba eD0austo, % nun!a snt re!uerar !omletamente susfa!ultades ntele!tuales de tal esfuerzo realzado* 2unuePrincipiosno !a% resa delas aradoas de &rege, ms tarde fue demostrado or Aurt +Qdelue nPrincipios delas Matemticas, n otro sstema !onsstente de artm;t!a re!urs"a rmt"a odr'a,dentro de ese sstema, determnar ue !ada roos!n ue udera ser formuladadentro de ese sstema era de!dora, esto es, odr'a de!dr s esa roos!n o sunega!n era demostrable dentro del sstema (Eeorema de la n!omlettud de +Qdel)*

l .ltmo trabao sgnf!at"o de ussel en matemt!as % lg!a,Introduccin a lafilosofa matemtica, fue es!rto a mano mentras estaba en la !r!el or sus a!t"dades

antb;l!as durante la Prmera +uerra undal* ste trabao fue rn!almente unaeDl!a!n de su obra re"a % su sgnf!ado flosf!o*
https://es.wikipedia.org/wiki/Principia_mathematicahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_Cantor&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_Cantor&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clases_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russellhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_los_tipos&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_los_tipos&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_intuitiva_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_axiom%C3%A1tica_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_axiom%C3%A1tica_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tecnolog%C3%ADa_de_la_informaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Logicismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alfred_North_Whiteheadhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principios_de_las_Matem%C3%A1ticas&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_incompletitud_de_G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Primera_Guerra_Mundialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Principia_mathematicahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinalhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_Cantor&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoja_Cantor&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Clases_(teor%C3%ADa_de_conjuntos)&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Russellhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_los_tipos&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_intuitiva_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_axiom%C3%A1tica_de_conjuntoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tecnolog%C3%ADa_de_la_informaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Logicismohttps://es.wikipedia.org/wiki/Alfred_North_Whiteheadhttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Principios_de_las_Matem%C3%A1ticas&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_incompletitud_de_G%C3%B6delhttps://es.wikipedia.org/wiki/Primera_Guerra_Mundial


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l matemt!o % flsofo ngl;s


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.ltmos de las roos!ones ms generales* Pero las aradoas segu'an snresol"erseM !omo la del !retensem;ndes al de!r Eodos los !retenses mentenT !on lo !ual, al ser d!0o

or un !retense, la roos!n uedaba desmentda* #e esa manera se lleg alTeorema de la incompletitudde Aurt +odel ue afrma ue no 0a% un sstema!omleto de aDomas en el sentdo de ue semre ueda algo ue no uedeeDl!arse dentro de ese to de sstema de afrma!ones*

Sobre el log!smo traba ndeendentemente de ussell, en esa ;o!a ellg!o % matemt!o alemn +ottlob &rege* Para sus obet"os, &regentroduo una !ategor'a llamada "olumen del !on!eto* Io trataremos dedefnr esta !ategor'a sno de dar una dea de lo ue era ara &rege* l!on!eto lados del !uadradoT tene el msmo "olumenT ue el !on!etoesta!ones del a7oT, ";rt!es del !uadradoT, et!* Eodos e"dentemente, son

!onuntos rela!onados !on un !onunto de letras !omo a b ! dT % !laro estdefne el n.mero 4* sto ue are!e una banaldad, tene gran mortan!a enla teor'a de los n.meros ues !onsttu%e la forma abstra!ta de defnr lo ue esun n.mero natural*I.mero natural es el ente !om.n a !onuntos rela!onados entre sT* sto esf!l de entender, or eemloM el n.mero 1 es el ente !om.n a las 0oras deun relo trad!onal, a los astoles de Fes.s, a los meses del a7o, a las u"asue algunos !omen re!bendo el 27o Iue"o, et!

n defnt"a, el @og!smo no logr su obet"o de redu!r las matemt!as alo lg!a ero, en su ntento, se lograron aortes al ade!uado uso de la lg!amatemt!a a las matemt!as engeneral, ue s ben no las susttu%en !oad%u"an a su meor entendmento %maneo* @a lg!a matemt!a de la !ual


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Jttgensten% su nterreta!n lngO'st!a de la flosof'a*

l ensamento flosf!o de ussell se !entr referentemente en laese!ula!n a!er!a de la rela!n entre la realdad obet"a % la nterreta!no 0tess ue sobre ;sta 0a!emos* ste roblema es el ue de una forma uotra est resente !omo tema fundamental de refleDn en los dferentessstemas flosf!os ue 0an asado a la 0stora % semre es tema de debates es osble !ono!er en su esen!a, en su absoluta obet"dad, la !osa en sT$antana, el mundo eDteror a !ada ser, o s slo es osble el !ono!mentosubet"o a tra";s de lo ue aortan nuestros sentdos*

l dlema are!e no tener solu!n, !ono!er la !osa en sT sn la meda!nde los sentdos se nos resenta !omo el tratar de "er el mundo ue nos rodea o!omo d!e ussell lo ue est all

afueraT, sn los oos, o'rlo sn los o'dos* Sobre este tema se nos o!urre elsguente s'mlM magnemos un nd"duo ue de alguna manera 0a logrado""r desde ue tene uso de razn en una 0abta!n absolutamente !errada %ue slo tene !ono!mento de lo ue ;l suone 0a% all afueraT a tra";s delo ue obser"a en la antalla de un tele"sor ue le resenta mgenes delsuuesto mundo eDteror* 2l nd"duo le asalta la duda de s ser real lo ue"e o slo son mgenes de un "deo nstalado en su euo* 2 nuestro sueto sele osblta salr de la duda ra!t!ando una abertura en la ared de su0abta!n, ero nada smlar odemos ntentar los seres reales*

l nter;s !ent'f!o- flosf!o de ussell se deslaz tamb;n 0a!a la f's!aart!ularmente en su d"ulga!n rgurosa !omo se ad"erte en sus eD!elentesobras dd!t!as lA,C de los

-tomos% elA,C de la .elati&idad* l nombre de


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los cuales llam especies/ Este es"uerzo podr1a considerarse actualmente "uera delugar: no e5iste una Teor1a ;nica/

0eg8n los intuicionistas+ el origen de la Matemtica es la intuicin+considerada como la


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#a"d Hlbert 0ab'a na!do en AQngsberg (0o% Aalnngrado, usa), !udad de laPrusa orental stuada unto al


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momento !la"e en ue &elD Alen logr ue fuera nombrado !atedrt!o en lan"ersdad de +Qttngen, donde ermane!er'a el resto de su "da* Por esta ;o!atrabaaba sobre teor'a de n.meros algebra!os, !amo en el ue robablemente realzsus aorta!ones ms rofundas*

omo "emos, una oeada suerf!al a la a!t"dad matemt!a de Hlbert en estos a7os!la"e, de 1886 0asta 1899, odr'a dar la mresn de un n"estgador mu% bueno, eromu% ese!alzado* Ser'a uz df'!l re"er lo ue ba a "enr, el as!enso de Hlbert ala !umbre del mundo matemt!o % la !on"!!n general de ue fue uno de los .ltmosmatemt!os un"ersales, ue domn todos los !amos de su ds!lna* Pero los0storadores 0an mostrado !mo %a en los a7os de AQngsberg 0ab'a do dando !ursossobre todos los !amos de la matemt!a, n!lu%endo la geometr'a % la teor'a defun!ones* Su slda forma!n generalsta estaba ben a"anzada, % tamb;n su grannter;s or los fundamentos* n 189C, Alen re!b'a uno de sus art'!ulos sobre teor'a den"arantes !on el !omentaroM no tengo dudas de ue es el art'!ulo ms mortantesobre lgebra general ue 0an ubl!ado los at0emats!0e 2nnalen 0asta la fe!0aT* G

el msmo a7o, le des!rb'a en !arta al oderos'smo mnstro rusano de edu!a!n!omo la estrella as!endente entre los "enes matemt!os alemanes* l 0e!0o de ue,en 1893, la #/ W#euts!0e at0emat$er /erengungX le en!argase a Hlbert Vunto!on el mundalmente re!ono!do n$os$V es!rbr un nforme sobre la teor'a den.meros, es buena muestra del alto !on!eto ue se ten'a de sus !aa!dades*

Eenendo en !uenta, ues, ue la a!t"dad de Hlbert ba ms all de lo ue muestranestr!tamente sus ubl!a!ones, se uede sn embargo (al modo de Je%l) eDamnar sus!ontrbu!ones es!rtas d"d;ndolas en er'odos* Hasta 1893, trabaos sobre formasalgebra!as % ante todo n"arantes algebra!osK de 1893 a 1899, teor'a de n.merosalgebra!os, ubl!ando en 189= el !;lebre :a0lber!0tK entre 1899 % 19C3, trabaossobre fundamentos de la geometr'a ue mar!aron el estlo aDomt!o modernoK entre19C4 % 191, d"ersos roblemas de anlssM el rn!o de #r!0let, !l!ulo de"ara!ones, e!ua!ones ntegralesK de 19C9 a 1916, roblemas de f's!a ter!a,n!lu%endo su !on!urren!a !on nstenK % or fn, desde 1918, !ontrbu!ones a losfundamentos de la matemt!a*

@as rmeras !ontrbu!ones mortantes de Hlbert fueron sobre n"arantesalgebra!os* Hasta el momento Paul +ordan 0ab'a estable!do, sobre una basealgor'tm!a de !oml!ados !l!ulos, ue eDste una base fnta ara los n"arantes %!o"arantes de las formas bnaras* n 1888 Hlbert abord la !uestn !on un enfoue

abstra!to, !onuntsta, estable!endo teoremas de eDsten!a generales a la manera de#ede$nd* Pronto logr resol"er el !aso general ara formas de n "arables,estable!endo el teorema de la base fnta* 2 la "sta de su demostra!n, +ordan lees!rb a Alen ue ;sta no satsfa!'a los ms 'nfmos reustos ue 0a!emos a unademostra!n matemt!aT* S'ntoma de la d"sn rofunda ue searaba enton!es a los!onstru!t"stas, !omo de!mos 0o%, de los matemt!os de tenden!a moderna* Alendeb uedar mu% mresonado !uando Hlbert se neg a !ambar una !oma en suart'!ulo, d!endo ue a falta de una refuta!n !on!lu%ente, auello era m .ltma

alabraT*

2l resol"er roblemas !entrales de la teor'a de n"arantes, la obra de Hlbert !ontrbu%

a ue ;sta erdera arte del atra!t"o % la mortan!a !entral ue 0ab'a tendo* Ylmsmo nun!a "ol" al tema* 2lgo dstnto fue su efe!to sobre la teor'a de n.meros


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algebra!osM el en!argo ue le 0zo la #/ do lugar a un trabao mu% sstemt!o %rofundo, su Lnforme sobre la teor'a de los n.meros algebra!os* s ben se trataba deuna mresonante sstematza!n de los resultados re"os de #ede$nd % Arone!$er,aumentada or nue"os resultados, ese!almente sobre !ueros de +alos* n art'!ulos

ubl!ados los a7os sguentes (1899, 19C), estas nue"as deas !ondueron a los

resultados ms orgnales de Hlbert en este !amo, dando n!o a la teor'a de !uerosde !lases*

l ;ahl$erichtse !on"rt en la obra de referen!a ara los ese!alstas or mu!0osa7osK tal !omo eseraba n$os$, releg los trabaos de #ede$nd % Arone!$er a unsegundo lano* #e todos modos, su eDos!n no era tan moderna !omo la del rmero,% en los a7os 19C, re!samente en el +Qttngen ue lderaba Hlbert, mm% Ioet0er!atane un mo"mento de "uelta a #ede$nd* so s', la eDos!n de Hlbertresultaba mu% tersa % elegante ara los matemt!os de 19CC, % sus m;todos estaban!udadosamente elegdos tanto ara resol"er roblemas art!ulares !omo ara admtrgeneralza!ones* ra la mar!a de la !asa, de su mu% ese!al estlo de trabao*

2 rosto de Ioet0er, 0a% ue men!onar ue Hlbert fue un 0ombre rogressta,sngularmente lbre de reu!os na!onales % ra!alesT !omo demostr durante las+uerras, % a"anzado en !uanto a la ntegra!n de la muer* uando su rouesta de0abltar a mm% Ioet0er !omo Pri&atdo2ent troez !on una fuerte oos!n, %algunos reguntaban !mo una muer ba a estar en las reunones de &a!ultad, se d!eue 0zo el !;lebre !omentaroM aballeros, la &a!ultad no es nng.n estable!mentode ba7osT*

n el ;ahl$ericht, Hlbert enfatzaba ue la artm;t!a 0ab'a aberto !amnosfundamentales en el !amo del lgebra % la teor'a de fun!ones, ara se7alar V!onreferen!as a #ede$nd, Jeerstrass % antorV ue en general, el desarrollo modernode la matemt!a ura 0a su!eddo ante todo bao el sgno del n.meroT* G a!to segudo0ablaba tamb;n de una artmetza!n de la geometr'aT, orentada a un desarrollo

uramente lg!o del tema, a estudar esa rama de la matemt!a sguendo el modelo dela teor'a de n.meros en !uanto a rgor % !omle!n en los fundamentos, % a lantrodu!!n dre!ta del n.mero en la geometr'a* Puede "erse au' la romesa dees!rbr los !;lebres &undamentos de la geometr'a (1899), ue aare!eron !on o!asnde una !eremona en +Qttngen de 0omenae a +auss*


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Sobre el concepto de conjunto

l !on!eto de !onunto se en!uentra a un n"el tan elemental ue no es osble dar unadefn!n re!sa del msmo* Palabras !omo !ole!!n, reunn, agrua!n, % algunasotras de sgnf!ado smlar, se usan en un ntento de des!rbr a los !onuntos, ero no

ueden !onsttur una defn!n, ues son smlemente un reemlazo de la alabra!onunto* on todo, en la teor'a ntut"a de !onuntos lo anteror es admsble, % sea!eta la eDsten!a de un un"erso o domno de obetos a artr del !ual se !onstru%enlos !onuntos, as' !omo tamb;n ermte tratar !onuntos !omo una entdad sngular* Ioes de mortan!a la naturaleza de los obetos, sno el !omortamento de un !onunto!omo entdad matemt!a*

#e lo d!0o anterormente, are!e natural ntrodu!r una rela!n dd!a de ertenen!a*l s'mbolo usual ara reresentar esta rela!n es el s'mbolo , una "ersn de la letragrega (;slon)* @os segundos argumentos de la rela!n son llamados !onuntos, %los rmeros argumentos son llamados elementos* 2s', s la frmula

se !umle, se d!e ue es un elemento del !onunto * S a!etamos ue todo es un!onunto, enton!es los rmeros % segundos argumentos de ertene!en al msmodomno*

@a nega!n de se es!rbe *


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ser uno de sus elementos! y as ! de nue$o una contradiccin# %s!no puede ni ser un elemento de s mismo ni no serlo#

En un intento de eliminar esta paradoja! Russell y +,ite,ead desarrollaronla teora de tipos y la expusieron en un libro titulado Principia Mathematica#Si bien esta teora eliminaba la paradoja de Russell! resultaba demasiadocomplicada como para poseer inter-s# La teora de conjuntos de .ermelo!muc,o ms simple a ni$el lgico! lograba eliminar tanto la paradoja deRussell como todas las dems "ue surgan en el sistema de antor y en elde /rege#

Los axiomas de .ermelo0/raen1el@a teor'a de !onuntos de :ermelo-&raen$el toma !omo rmt"os los !on!etos deconjunto% de pertenencia% !onsta de los dez aDomas sguentesM

%/ .5ioma de e5tensionalidad/#os !onuntos e son iguales(lo ue se reresenta

or ) .n!amente s !ontenen los msmos elementos* s formalmente, % en lasmbolog'a usual,

7/ .5ioma del conjunto -ac1o/Dste un !onunto (reresentado or Z) sn elementos*sto es,

I/ .5ioma de pares/#ados !ualesuera !onuntos e , eDste otro !onunto,reresentado or , !u%os elementos son .n!amente e * sto es,

J/ .5ioma de la unin/#ada !ualuer !ole!!n de !onuntos , eDste un !onunto,

reresentado or % llamado uninde , ue !ontene todos los elementos de !ada!onunto de * sto es,

K/ .5ioma del conjunto potenciaPara !ualuer !onunto eDste otro !onunto,

reresentado or , ue !ontene todos los sub!onuntos de * n s'mbolos,

)/ Es=uema a5iomtico de especi"icacin/Sea una frmula de un lenguae dermer orden ue !ontenga una "arable lbre * nton!es, ara !ualuer !onunto

eDste un !onunto !u%os elementos son auellos elementos de ue !umlen *

&ormalmente,
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_extensionalidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_extensionalidad


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B/ Es=uema a5iomtico de reemplazo/S es una senten!a tal ue ara

!ualuer elemento de un !onunto el !onunto eDste, enton!es

eDste una fun!nf4'


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2 dferen!a del sgno de la gualdad, el s'mbolo no fgura dentro del lenguae dermer orden !on el ue se !onstru%e la teor'a F, ues la defn!n antes dada deber'aen ese !aso ser ntrodu!da !omo un aDoma ue establez!a el emleo de , !osa ue nose 0a 0e!0o au'* n su lugar, la smbolog'a se emlea smlemente ara

reresentar la frmula del lenguae de la teor'a de !onuntos*

n "sta del aDoma de eDtensonaldad % de la defn!n anteror, resulta ue uede

robarse ue dos !onuntos e son guales s uede robarse ue e *

El axioma del conjunto vaco

l aDoma del !onunto "a!'onos da un !onunto sn elementos* ste aDoma se resent

usando el s'mbolo * sto est ustf!ado, ues el aDoma de eDtensonaldad nos d!e

ue este !onunto es .n!o*

Demostracin

l aDoma del !onunto "a!'o uede dedu!rse de otro aDoma ms d;bl, ue afrma laeDsten!a de un !onunto, dgamos , % del esuema de ese!f!a!n !on la frmula

al!ada a este !onunto * 2s', el !onunto "a!'o es el !onunto

!on el t;rmno unades!r!n mroa*

El axioma de pares

!L a'ioma de pares, un aDoma de la teor'a de :ermelo-&raen$el,estable!e ue, dados

!ualesuera dos !onuntos e , eDste otro !onunto, reresentado or , !u%oselementos son .n!amente e * sto es,

(3)

#el aDoma de ares se tene, a artr de dos !onuntos e , el !onunto [ \* ste!onunto se llamapar desordenadode e * S se al!a el aDoma de ares a un solo!onunto , se obtene el ar [ \ !u%o .n!o elemento es, ob"amente, , % or ello

uede reresentarse !omo * 2 este .ltmo !onunto uede al!rsele de nue"o elaDoma de ares, dando lugar al !onunto [[ \\, !onunto al !ual uede al!arsetamb;n el aDoma de ares, obten;ndose el !onunto [[[ \\\, % as' su!es"amente*ste ro!eso de !onstru!!n de !onuntos uede al!arse al .n!o !onunto dado %

!ono!do eDl'!tamente, , obten;ndose una sere nfnta de !onuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descripci%C3%B3n_impropia&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descripci%C3%B3n_impropia&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Axiom%C3%A1tica_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiom%C3%A1tica_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel#Eqnref_3https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADohttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Descripci%C3%B3n_impropia&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Axiom%C3%A1tica_de_Zermelo-Fraenkelhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttps://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel#Eqnref_3


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El axioma de unin

%rtculo principal(Axioma de unin

S es una !ole!!n de !onuntos, enton!es la unn !ontene auellos % solo

auellos elementos ue estn en alg.n !onunto de * S , un!onunto !on elementos, enton!es es !om.n es!rbr

ara reresentar la unn de los !onuntos de * s f!l "er ue

de modo ue el aDoma de unn % el aDoma de ares garantzan la eDsten!a del

!onunto ara !ualesuera !onuntos e , un0e!0o ue no uede dedu!rse smlemente del esuema de ese!f!a!n unto !on los

aDomas restantes* 2 dferen!a de la unn, la nterse!!n de !onuntos es dedu!ble aartr del aDoma de ares % el esuema de ese!f!a!n* fe!t"amente, ues sedefne el !onunto medante

% or tanto eDste* s general, se defne el !onunto

El axioma del conjunto potencia

l aDoma del !onunto oten!anos da un !onunto ue !ontene a todos los

sub!onuntos de !ualuer !onunto* Por tanto, * Puesto ueara !ualuera ue sea el !onunto , uede 0a!erse uso del esuema de ese!f!a!nara obtener el !onunto
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_uni%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_uni%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potencia


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S es otro !onunto, smlarmente se obtene al !onunto !omo un sub!onunto de

* @uego

de manera ue el aDoma de ares uede dedu!rse del aDoma del !onunto oten!a, elesuema de ese!f!a!n % el aDoma de unn* 2s' ues, no todos los aDomas de Fson ndeendentes*

El esquema axiomtico de especifcacinl esuema de ese!f!a!n resulta ser una "ersn lmtada o d;bl del aDoma de&rege* Para este .ltmo, era osble tener un !onunto !u%os elementos satsfa!'an !erta

roedad* on ello &rege garantzaba demasado % daba lugar en su sstema a aradoas!omo la de ussell, entre otras* Por otra arte, el esuema de ese!f!a!n "a dea!uerdo !on una do!trna de redu!!n del tama7o* Permte obtener !onuntos a artr deotros, % !u%o tama7o es menor ue el de auellos de los ue 0an sdo obtendos* stoml!a ue, ne!esaramente, !ontemos !on !onuntos re"amente dados* Por tanto,nun!a es osble ensar en la frmula , ues el !onunto no uede ser obtendosn ms ue s' msmo* @a aradoa de ussell surge re!samente de !onsderar ue

!onuntos mu% grandes ueden ser obtendos de forma gratuta sn ms ue ese!f!ar!uales son sus elementos* Utras aradoas ue tenen ue "er !on el gran tama7o de los!onuntos, uedan eD!ludas de Fmedante el esuema de ese!f!a!n* 20ora ben,el !alf!at"o de esuema se debe a ue no es un .n!o aDoma, sno ue este afrma(metamatemt!amente) ue !ualuer eDresn de la forma

donde es una frmula del lenguae de la teor'a de !onuntos es un aDoma de F*2s', s !onsderamos la eDsten!a de un !onunto !omo un aDoma, el !onunto "a!'oser'a tamb;n un aDoma resultante de al!ar el esuema de ese!f!a!n al !onunto

!on la frmula *

l esuema de ese!f!a!n no es ndeendente en F, ues se dedu!e del esuemade reemlazo, ntrodu!do or &raen$el % S$olem el msmo a7o % de formandeendente*


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Esquema axiomtico de reemplazo

l esuema aDomt!o de reemlazod!e ue s es un !onunto % es una frmula !on

dos "arables lbres e , tales ue ara !ada eDste un .n!o tal ue se

!umle, enton!es eDste un !onunto tal ue s % solo s *

Para mostrar !omo el esuema de ese!f!a!n se dedu!e del esuema de reemlazo,se !onsdera la frmula

donde !ualuer elemento de un !onunto * S , enton!es !ertamente eDste un

.n!o tal ue (ues es msmo), or lo ue la 0tess del esuemade reemlazo se !umle, !on lo ue eDste un !onunto tal ue

lo ue es lg!amente eu"alente a ue eDste un !onunto tal ue

@a formula!n ue se 0a dado del aDoma de reemlazo fue ntrodu!da or rmera"ez or &raen$el W199X, % aare! tamb;n en los trabaos de 0ur!0 W194X* naforma ms d;bl de este esuema aDomt!o a are!e en los trabaos de Ears$ W1948X*@a formula!n orgnal, dada or &raen$el W191] % 19=X % S$olem W19]3 %199X, es en esen!a !omo sgueM

2ara todo conjunto y cual"uier uncin defnida en ! existe unconjunto tal "ue para todo #

l esuema de reemlazo fue ntrodu!do or &raen$el % S$olem !on la fnaldad deeDtender la fuerza del esuema de ese!f!a!n, as' !omo tamb;n osbltar el !onteode n.meros ordnales ms all de lo ue ermte el aDoma de nfntud*

Axioma de infnitud

l aDoma de nfntud, ntrodu!do (aunue no en la forma en ue se 0a resentadoau') or :ermelo 19C8, ermte la obten!n de los n.meros naturales !omo !onuntos

dentro de :&* n t;rmnos generales, este aDoma da un !onunto nfntoseg.n#ede$nd, ues garantza la eDsten!a de un !onunto sobre el !ual eDste al menos
https://es.wikipedia.org/wiki/Esquema_axiom%C3%A1tico_de_reemplazohttps://es.wikipedia.org/wiki/Esquema_axiom%C3%A1tico_de_reemplazohttps://es.wikipedia.org/wiki/1908https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinitohttps://es.wikipedia.org/wiki/Esquema_axiom%C3%A1tico_de_reemplazohttps://es.wikipedia.org/wiki/1908https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_infinito


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una fun!n n%e!t"a % no sobre%e!t"a (ue !laramente no eDste ara

un !onunto fnto)* s de!r, la fun!n es tal ue % , or lo ue

el rango de es un sub!onunto roo de su domno, * Pero, en ese !aso, laal!a!n

dada or , es b%e!t"a* @a !on!lusn es ue eDste una b%e!!n entre% uno de sus sub!onuntos roos* 20ora ben, el !onunto !u%a eDsten!a

garantza el aDoma de nfntud, !umleM

Pero es osble ue sub!onuntos de !umlan esto msmo (un sub!onunto as' de B sedenomna conjunto inducti&o)* S es el !onunto de todos los sub!onuntos ndu!t"osde , es no "a!'o, ues * 2s', uede formarse la nterse!!n

de todos los !onuntos ndu!t"os* ste !onunto es !laramente ndu!t"o, % sus

elementos son

msmos ue ueden ser !onsderados los n.meros naturales en F, % uede llamarse

* Se obser"a ue, de este modo, un n.mero natural es un !onunto ue!ontene a todos los n.meros naturales anterores a ;l* l !onunto de n.meros naturales

ueda de esta forma ben ordenado or la n!lusn* ualuer n.mero natural de laforma ara alg.n se llama su!esor de , % se reresenta or o or

* edante esta defn!n de ueden robarse los aDomas de Peano, !on lo ueen :& estos se !on"erten en teoremas (ms eDa!tamente, !uatro teoremas % unmetateorema) sen!llosM


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implica #

@a forma en ue se 0a resentado el aDoma de nfntud se debe a &raen$el, % ermte la!onstru!!n de los n.meros naturales !omo n.meros ordnales en el sentdo de "on

Ieumann* n esta forma fue utlzado or * * obnson en su E0e t0or% of !lassesW193=X (en donde resenta una modf!a!n del sstema de "on Ieumann), as' !omotamb;n or


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Axioma de eleccin%rtculo principal(Axioma de eleccin

2 dferen!a de los aDomas de :&, el aDoma de ele!!n es un aDoma no !onstru!t"o,en el sentdo de ue no determna un !onunto .n!o a artr de su nforma!n*

2dems, !omo uede obser"arse, !are!e de la ob"edad ue (aunue la !omledadnota!onal de estos 0aga en algunos !asos ensar lo !ontraro) !ara!terza a todos losotros aDomas* sto lle" a algunos matemt!os al ntento de robar el aDoma deele!!n a artr de los dems aDomas, !osa en lo ue todos ellos fra!asaron* stosntentos "anos de robar el aDoma de ele!!n desu;s de grandes esfuerzos, % !ertas

e!ulardades del msmo, algunos matemt!os ensaban %a en la osblendeenden!a del aDoma de ele!!n rese!to de los aDomas de :&, aunue no sab'anen ue dre!!n se en!ontraba la rueba de ello* +Qdel rob W193C]194CX ue elaDoma de ele!!n era !onsstente !on los aDomas de :&, or lo ue od'a emlearse

unto !on ellos sn temor de obtener !ontrad!!ones*

l aDoma de ele!!n fue resentado or ussell en 19C6 de manera esen!almentesmlar a la sguenteM

2ara todo conjunto no $aco de conjuntos disjuntos tal "ue !el producto cartesiano de es no $aco#

ussell llam a este rn!o 2Doma multl!at"o* l nombre de 2Doma de ele!!n(2usa0laDom) fue dado or :ermelo al rn!o ms general ue el de ussellM

2ara todo conjunto no $aco tal "ue ! existe una uncincuyos argumentos son elementos de ! tal "ue #

l nombre del aDoma se debe al 0e!0o de ue la fun!n elge un elemento de !adaelemento (!onunto) de *

:ermelo ntroduo el aDoma de ele!!n ara robar el teorema de buena ordena!nue afrma ue todo !onunto uede ser ben ordenado* ostr tamb;n ue el lema deAuratos$-:orn se dedu!e del aDoma de ele!!n* n realdad, el aDoma de ele!!nes eu"alente tanto al teorema de buena ordena!n !omo al lema de Auratos$-:orn

(la ma%or'a de las "e!es smlemente llamado @ema de :orn)* @a sguente lstaenumera algunos rn!os eu"alentes en :& al aDoma de ele!!nM

5eorema de buena ordenacin#

Lema de 6urato7s1i0.orn#

Ley de tricotoma de cardinales#

2rincipio del maximal de 8ausdor9#

Lema de 5eic,m:ler05u1ey#
https://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Axioma_de_elecci%C3%B3n


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Ja!^a Ser_s$rob en 194= ue la 0tess del !ontnuo(un rn!o ad hocuedebe ser a!etado !omo aDoma de la teor'a de !onuntos) ml!a el aDoma deele!!n, s ben lo re!'ro!o no es !erto* Utro rn!o ue ml!a el aDoma deele!!n es el a'ioma de conjuntos inaccesi$les de Tars8iW1938]1939X*

l sstema aDomt!o de :& admte las demostra!ones or redu!!n al absurdo!omo m;todo ara demostrar teoremas* #ado un (resunto) !onunto nos basta !onllegar a una !ontrad!!n !on el resto de la teor'a desu;s de 0aber suuesto sueDsten!a ara demostrar ue no eDste tal !onunto* un eemlo t'!o es la noeDsten!a del !onunto de todos los !onuntos*

#e eDstr este !onunto / odr'amos defnr el !onunto , loue rremsblemente lle"a a la Paradoa de ussell, or lo !ual / no es un !onunto*

Pro!edmento gual nos lle"ar a demostrar la no eDsten!a de !onunto!onugado(!onunto de los elementos no ertene!entes al !onunto) dado un !onunto!ualuera, %a ue de ser as' eDstr'a su unn, or el aDoma de la unn, % esta ser'agual a /*

;tras propiedades de ./%rtculo principal(eoremas de incompletitud de !"del

Aurt +Qdelrob ue la !onssten!a lg!ade los aDomas de :& es ndemostrable* 2

lo sumo se ueden demostrar afrma!ones !omo s :& es !onsstente, enton!es Etamb;n lo es, es de!r la !onssten!a relat"a*n !uanto a la !omlettud, el roo+Qdel en sus teoremas de n!omlettud demostr ue s un sstema aDomt!o es losuf!entemente fuerte !omo ara !onstrur una artm;t!a re!urs"a, d!0o sstema no

uede ser !omleto% !onsstente*

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uando los matemt!os aradoas, n!lu%endo al msmo antor* ussell des!ubr suaradoa en 19C1, % la ubl! en sueron de esta aradoa, mu!0os se reguntaron slas matemt!as en realdad eran !onsstentes, % sobre todo "erdaderas, %a ue !ualuersuos!n matemt!a od'a basarse en una teor'a n!onsstente*

@a rmera rouesta ara solu!onar el roblema de las aradoas ro"no de unmatemt!o 0oland;s llamado


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#a"d Hlbert

@a !uarta resuesta a la aradoa fue de rnst :ermelo en 19C8 !on la aDomatza!nde la teor'a de !onuntos*

@a meor rueba de ue la teor'a de !onuntos no 0a logrado unf!ar a las matemt!ases ue ;stas se 0an ramf!ado en reas mu% dferen!adas, !omo la artm;t!a, ellgebra, la trgonometr'a % geometr'aK tamb;n se 0an searados dstntos !amos !omoel !l!ulo, la toolog'a, la teor'a de !onuntos, la teor'a de los n.meros % la estad'st!a*

l !on!eto de aradoa uede entenderse !omo uno de los sguentesM

1* na de!lara!n !ontrad!tora ue are!e ser !erta*

* 2uello ue eD0be ase!tos o !ualdades !ontrad!toras o neDl!ables*

3* na de!lara!n esen!almente !ontrad!tora basada en un razonamento "ldode suos!ones lg!as*

@as aradoas 0an eDstdo en las matemt!as desde sus !omenzos % 0an sdofundamentales ara una formalza!n ms !udadosa de sus teoremas % le%es* neemlo mu% antguo es la aradoa de :eno, la !ul !obr mortan!a en el desarrollodel !l!uloK !omo "eremos ms adelante, las aradoas de la teor'a de !onuntos 0an0e!0o ue los matemt!os !uestonen la !onssten!a de las matemt!as % "ean msall de lo ue 0asta a0ora se 0a formulado*


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2%R%>;% >E %=5;R( EL ;=?=5; >E 5;>;S L;S;=?=5;S

Sea el !onunto de todos los !onuntos* nton!es todo sub!onunto de es as' msmoun elemento de K luego, el !onunto oten!a de es un sub!onunto de K ero esto

ml!a ue la !ardnaldad del !onunto oten!a es menor o gual a la !ardnaldad de* Pero enton!es, seg.n el teorema de antor, la !ardnaldad de debe ser menor a la!ardnaldad del !onunto oten!a* 2s' ues, el !on!eto de !onunto de todos los!onuntos lle"a a una !ontrad!!n*

2%R%>;% >E R?SSELL

Sea : el !onunto de todos los !onuntos ue no son elementos de s' msmos* Seregunta `: es o no elemento de s' msmo S : no ertene!e a :, enton!es, or ladefn!n de :, : ertene!e a s' msmo* Pero s : ertene!e a :, enton!es or la

defn!n de :, : no ertene!e a s' msmo* n !ualuera de los dos !asos 0a%!ontrad!!n*

sta aradoa es anloga a la aradoa del barberoM n una aldea 0a% un barbero ueafeta solamente a los 0ombres ue no se afetan ellos msmos* Se regunta `2l barberou;n lo afeta

0ttM]]es*s!rbd*!om]do!]139=33]UIFIEUS-teora-%-roblemass!rbd


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+eorge anto (1845-1918) fue u;n n!o la teor'a de !onuntos a fnalesdel sglo BLB % el rn!o del BB*

trabajo de lógica matemática.docx

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