UNIVERSIDAD SANTA MARAFACULTAD DE CONTADURA PBLICAMATEMTICAS ITURNO: MAANA

DERIVADAS

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Gil, Lizmari

Puerto la Cruz, Febrero de 2014DERIVADASEn matemticas, la derivada de una funcin es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una funcin es un concepto local, es decir, se calcula como el lmite de la rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez ms pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funcin en un punto dado.

La derivada de una funcin f en un punto x se denota como f(x). La funcin cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada funcin derivada de f, denotada por f. El proceso de encontrar la derivada de una funcin se denomina diferenciacin, y es una de las herramientas principales en el rea de las matemticas conocida como clculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina clculo diferencial.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica, Qumica y Biologa, o en ciencias sociales como la Economa y la Sociologa.

La derivada de en es entonces el lmite del valor del cociente diferencial, conforme las lneas secantes se aproximan a la lnea tangente:

TEOREMAS PARA DERIVAR Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de la funcin lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raz cuadrada

Derivada de una raz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una funcin

Derivada de un producto

Derivada de una constante partida por una funcin

Derivada de un cociente

Derivada de la funcin exponencial

Derivada de la funcin exponencial de base e

Derivada de un logaritmo

Como , tambin se puede expresar as:

Derivada del logaritmo neperiano

APLICACIN DE LA DERIVADA EN EL CONTEXTO LABORAL ADMINISTRATIVO ECONMICO CONTABLE

Las derivadas en economa son una herramienta muy til puesto que por su misma naturaleza permiten realizar clculos marginales, es decir hallar la razn de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad econmica que se est considerando: costo, ingreso, beneficio o produccin.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantneo en la variable dependiente por accin de un pequeo cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal lnea de pensamiento fue posible desde la economa neoclsica, primero con Carnot, y luego con Len Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovacin analtica como la revolucin marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o produccin marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, produccin total.Las derivadas en sus distintas presentaciones (Interpretacin geomtrica, Razn de cambio, variacin Instantnea, etc.,) son un excelente instrumento en Economa, para toma de decisiones, optimizacin de resultados (Mximos y Mnimos).

FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDASi x es el nmero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:Y = f (x)Donde:, en la prctica x se toma siempre positivo. Si: f > 0 ; la funcin es de oferta Si: f < 0; La funcin es de Demanda.El punto de interseccin de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

EJEMPLOSa. El ingreso total mensual de un pequeo industrial est representado por Bs, cuando produce y vende x unidades mensuales. Actualmente el industrial produce 100 unidades al mes y planea incrementar la produccin mensual en 1 unidad. Estime el ingreso que producir la unidad 101.Solucin:

Este resultado es una aproximacin al ingreso que se genera al producir y vender la unidad 101.b. En una fbrica se determin que el ingreso est dado por , cuando se vende x unidades de un cierto artculo al mes. Actualmente se producen 175 unidades y se planea incrementar la produccin en 1 unidad.a) Cul es el ingreso marginal al producir la unidad 176?

Este resultado es una aproximacin al ingreso que se genera al producir y vender la unidad 176.

c. El ingreso de una pequea empresa est dado por Bs, cuando se producen x unidades mensuales. Para este tiempo se producen 185 unidades y se proyecta un incremento de la produccin en 1 unidad. Calcula la funcin de ingreso marginal

d. En el departamento de artculos de sonido de una tienda se ti ene que el ingreso total por las grabadoras que se venden mensualmente es de donde x es el nmero de grabadoras vendidas. Actualmente se venden 1 999 unidades y se planea incrementar la produccin y venta en 1 unidad cada semana

TEOREMA DEL VALOR MEDIOEl teorema del valor medio o de Lagrange establece que Sea f es una funcin continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto tal que:

La interpretacin geomtrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

EJEMPLOSa. Se puede aplicar el teorema de valor medio a en [0, 2]?Solucin: es continua en [0, 2] y derivable en (1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio

b. Determinar a y b para que la funcin

cumpla las hiptesis del teorema de valor medio en el intervalo [2, 6].

TEOREMA DE ROLLEEl teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, en el que f(a) = f(b). Si una funcin es: Continua en [a, b] Derivable en (a, b)

f(a) = f(b)Entonces, existe algn punto c (a, b) en el que f'(c) = 0.La interpretacin grfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.

EJEMPLOSa. Es aplicable el teorema de Rolle a la funcin en el intervalo [2, 2]?En primer lugar calculamos el dominio de la funcin.

La funcin es continua en el intervalo [2, 2] y derivable en (2, 2), porque los intervalos estn contenidos en. Adems se cumple que f(2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

b. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la funcin:

En primer lugar comprobamos que la funcin es continua en x = 1.

En segundo lugar comprobamos si la funcin es derivable en x = 1.

Como las derivadas laterales no coinciden, la funcin no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

BIBLIOGRAFA[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

[2] https://docs.google.com/document/d/11m8dEWTp05ptJw_Z1Maq4zEcREJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=en

[3] http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13090w/Mate2_Lic_4aEd_05.pdf

[4] http://www.dervor.com/teoremas/teorema_valor_medio.html

[5] http://www.vitutor.com/fun/6/teorema_rolle.html