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TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

El póquer y el cálculo de probabilidades

Jorge Carrillo Cordón

MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS

Tutor: Jesús Murillo RamónFacultad de Letras y de la Educación

Curso 2010-2011

MATEMÁTICAS

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012

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TRABAJO FIN DE MÁSTER

Máster en Profesorado-Matemáticas

Autor: Jorge Carrillo Cordón

Director: Jesús Murillo Ramón

Jorge Carrillo Cordón Máster en Profesorado-Matemáticas Trabajo Fin de Máster

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INTRODUCCIÓN: .................................................................................................................................. 4

1) MARCO TEÓRICO: .......................................................................................................................... 5

PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE: ......................................................................................5

TEORÍAS DE APRENDIZAJE: ..........................................................................................................6

CARACTERÍSTICAS DE UN BUEN PROFESOR: ................................................................................11

OPINIÓN PERSONAL: .................................................................................................................12

2) UNIDAD DIDÁCTICA: .................................................................................................................... 15

CONTEXTO GENERAL DEL CENTRO: .................................................................................15

Contexto Social, Cultural y Escolar: .......................................................................................... 15

Instalaciones: ............................................................................................................................... 17

Programas y actividades: ........................................................................................................... 17 GRUPO-CLASE: ....................................................................................................................18

UNIDAD DIDÁCTICA DE PROBABILIDAD EN 2º BACHILLERATO DE CIENCIAS

SOCIALES: ............................................................................................................................18

Introducción: ................................................................................................................................ 18

Competencias Básicas: .............................................................................................................. 19

Objetivos generales: ................................................................................................................... 20

Objetivos didácticos: ................................................................................................................... 21

Contenidos: .................................................................................................................................. 22

Materiales y Recursos didácticos: ............................................................................................. 25

Metodología: ................................................................................................................................ 25

Sesiones: ..................................................................................................................................... 28

Actividades: .................................................................................................................................. 46

Atención a la diversidad: ............................................................................................................ 46

Evaluación:................................................................................................................................... 47

Anexos: ........................................................................................................................................ 51

Prueba inicial para 2º BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES: “PROBABILIDAD” .... 51

Ejercicios de refuerzo y ampliación de Cálculo de Probabilidades (2º Bachillerato CCSS) 52

Examen final para 2º BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES: “PROBABILIDAD” ..... 57

3) PROYECTO DE INNOVACIÓN: ................................................................................................... 60

INTRODUCCIÓN: ........................................................................................................................60

PROYECTO DE INNOVACIÓN “EL PÓQUER Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES”: .............................61

Justificación del proyecto: .......................................................................................................... 61

Objetivos: ..................................................................................................................................... 62

Desarrollo del Proyecto: ............................................................................................................. 63

Ejemplo de la actividad: .............................................................................................................. 66

Temporización y Evaluación: ..................................................................................................... 71

4) REFERENCIAS:.............................................................................................................................. 72


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Introducción:

El objetivo principal de este Máster en Profesorado es el de formar a

futuros profesores. Para ello, el Máster está estructurado en dos bloques

diferenciables, uno lo forman las clases teóricas y el otro es el periodo de

prácticas en un instituto de secundaria. Las clases teóricas están formadas por

las siguientes asignaturas:

Asignaturas comunes:

- Aprendizaje y desarrollo de la personalidad (Psicología).

- Procesos y contextos educativos (Pedagogía).

- Sociedad, familia y educación (Sociología).

Asignaturas específicas:

- Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.

- Complementos para la formación disciplinar.

- Innovación docente e iniciación a la investigación educativa.

En este Trabajo Fin de Máster se intenta reflejar el trabajo realizado

durante todo el curso.

La primera parte del trabajo consiste en un marco teórico sobre el

proceso de enseñanza-aprendizaje, teorías de aprendizaje y características de

un buen profesor. También he incluido mi opinión personal. En esta parte

queda reflejado el trabajo realizado en las clases teóricas, especialmente, en

las asignaturas comunes y en la asignatura de “Aprendizaje y enseñanza de las

matemáticas”.


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La segunda consta del desarrollo de una de las unidades impartidas en

el instituto durante el periodo de prácticas.

Y la última parte es un proyecto de innovación que se puede aplicar a la

unidad que he desarrollado. En esta parte del trabajo se refleja el trabajo

realizado durante todo el curso en las asignaturas específicas, principalmente

la asignatura de “Innovación docente e iniciación a la investigación educativa”.

1) Marco teórico:

Proceso de enseñanza-aprendizaje:

Antes de hablar del proceso de enseñanza-aprendizaje, vamos a

reflexionar sobre los sujetos que intervienen en él: el profesor y el alumno. Para

ello he elegido estas dos frases:

“Una cosa es saber y otra saber enseñar”.

“Enseñar a quien no tiene curiosidad por aprender es sembrar un campo

sin ararlo”.

La primera frase nos hace reflexionar sobre el papel del profesor en el

proceso de enseñanza-aprendizaje, quiere decir que el buen profesor no es el

que sabe más sino que mejor sabe enseñar. Para ser un buen profesor es

cierto que hay que tener un gran dominio de la materia pero no es un requisito

suficiente. En la Historia han existido grandes matemáticos que fracasaron

como profesores.


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La segunda frase nos hace pensar en el otro sujeto, el alumno. Para que

el proceso se pueda realizar correctamente es necesario que el alumno esté

dispuesto a aprender, si el alumno no pone nada de su parte difícilmente se

podrá llevar a cabo un aprendizaje significativo.

Sin embargo, en este proceso actúan factores que hacen que sea más

complejo. Uno de estos factores es el contexto determinado en el que se

encuentran los sujetos del proceso, principalmente el contexto social y cultural.

Es decir, no es lo mismo el proceso que se puede dar en un instituto privado de

una gran ciudad al que se puede dar en un instituto de un pueblo más pequeño

donde una gran parte del alumnado son extranjeros.

El profesor transmite sus conocimientos a los alumnos a través de unos

procedimientos o unos instrumentos. La finalidad por la cual el profesor

transmite esos contenidos es la de alcanzar unos objetivos marcados. Por lo

tanto, podemos definir el proceso de enseñanza-aprendizaje como: El acto

mediante el cual el profesor muestra contenidos educativos (conocimientos,

hábitos, habilidades) a un alumno, a través de unos medios, en función de unos

objetivos y dentro de un contexto.

Teorías de aprendizaje:

Los profesionales definen el aprendizaje como un cambio más o menos

permanente de la conducta, que ocurre como resultado de la práctica. De esta

definición podemos destacar las tres características fundamentales del

aprendizaje:


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- El aprendizaje es un proceso que produce un cambio.

- Se adquiere como resultado de la experiencia.

- Los efectos del aprendizaje tienen que ser relativamente permanentes.

Las teorías de aprendizaje describen la manera en que los teóricos

creen que las personas aprendan nuevas ideas y conceptos. Las principales

teorías de aprendizaje son: la teoría conductista, la teoría cognitiva y la teoría

constructivista.

Teoría conductista:

Para el conductismo el aprendizaje se explica y se reduce a una

relación funcional entre dos variables: la ejecución y la práctica, prescindiendo

de lo que ocurre en el interior del sujeto que aprende. El aprendizaje consiste

en la adquisición de repertorios de respuestas, sin intervención de procesos

mentales superiores intermedios que para las concepciones cognitivas, serán

el núcleo central del aprendizaje. Es decir, el alumno es un ser pasivo al que el

profesor le presenta una serie de estímulos, materiales o experiencias,

previamente programados de un modo secuencial y lógico, y que, cuando el

alumno responde correctamente, su respuesta se ve inmediatamente

reforzada.

Teoría cognitiva:

Para la teoría cognitiva los factores fundamentales del aprendizaje son

los procesos mentales que ocurren en el interior del sujeto.

En lugar de explicar el aprendizaje en función de asociaciones estímulo-

respuesta, las explicaciones cognitivas describen el aprendizaje como un


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proceso que implica adquisición o reorganización de estructuras cognoscitivas

que permiten al individuo procesar y almacenar la información. Esta nueva

concepción nos ofrece una novedad importante: el alumno es ya un individuo

cognitivo que adquiere conocimientos o informaciones que el profesor le

transmite y progresa paso a paso hasta dominar la totalidad de los contenidos

curriculares. Aquí la clave es aprender conocimientos. El alumno es también

más activo, aunque todavía no llegue a tener el control sobre el proceso del

aprendizaje.

Teoría constructivista:

El constructivismo, no se limita a recibir los conocimientos del profesor

de una manera pasiva, sino que es él mismo el que los construye utilizando sus

experiencias y conocimientos previos para comprender y asimilar las nuevas

informaciones. El aprendizaje ahora consiste en la asimilación de

conocimientos, pero esa asimilación no es mecánica. El conocimiento que

asimila el alumno no es una copia del conocimiento que le ofrece el profesor,

sino que es una construcción o elaboración que el alumno realiza activamente

relacionando los nuevos contenidos con los conocimientos o experiencias

que previamente posee.

Así, mientras que en las concepciones anteriores, el papel del

profesor consistía en enseñar o transmitir conocimientos, ahora el papel

del profesor consiste en ayudar a aprender.


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Por lo tanto, lo podemos resumir así:

- Es un proceso de construcción activa por parte del sujeto, el cual

mediante su actividad física y mental determina sus reacciones ante la

estimulación ambiental.

- No depende sólo de la estimulación externa, también está determinado

por el nivel de desarrollo del sujeto.

- Es un proceso de reorganización cognitiva.

- Las relaciones sociales favorecen el aprendizaje, siempre que produzca

contradicciones que obliguen al sujeto a reestructurar sus

conocimientos.

- La experiencia física es una condición necesaria para que se produzca

el aprendizaje, pero no es suficiente, se necesita además la actividad

mental.

Las tres teorías tienen ventajas y desventajas. Por ejemplo, la teoría

conductista ignora los problemas educativos:

- Enseña a seguir ciegamente procedimientos primando el

aprovechamiento de las destrezas e ignorando el desarrollo de las

habilidades generales.

- Se prima el individualismo, la sumisión y la pasividad.

- Se enfatiza en el conocimiento oficial, el del libro de texto, ignorando las

diferencias que surgen entre lo que se pretende enseñar, lo enseñado y

lo aprendido.


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Las grandes desventajas que tiene la teoría cognitiva son:

- Su fruto no es inmediato, es difícilmente observable y sumamente

complicado de medir cuantitativamente.

- Faltan materiales de clase y orientaciones didácticas concretas, claras y

precisas.

- Como propuesta didáctica se queda corta.

- No basta con decir que la motivación debe ser interna si no se dice

cómo se logra esto.

- No se puede rechazar el libro de texto como ayuda al profesor.

En cuanto a la teoría constructivista la gran desventaja que existe es que:

- Dificulta la organización de un plan de educación masiva y la evaluación,

ya que cada estudiante se organiza con su propio ritmo de aprendizaje.

De entre las tres yo me quedaría con la última, con la teoría constructivista. Es

cierto que es difícil de implantar especialmente entre los más jóvenes pero creo

que es el mejor enfoque para el aprendizaje.

Estas son las principales ventajas del enfoque constructivista:

- Promueven la autonomía en los estudiantes.

- Generan procesos de interacción, planificación y evaluación

participativos.

- Son flexibles y dinámicos y se adecuan a las necesidades del grupo.

- Permite la interacción y la coparticipación en el proceso de aprendizaje

entre estudiantes que se encuentren en puntos geográficos alejados o

remotos.

- Propicia el desarrollo de las destrezas del pensamiento, la

interdisciplinariedad y el trabajo cooperativo.


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Este enfoque se puede resumir en esta frase: “El aprendizaje consiste en

enseñar a los alumnos, no lo que deben pensar, sino a pensar”.

Para lograr que este tipo de aprendizaje funcione es muy importante la

motivación del alumno. Es un hecho constatado frecuentemente que muchos

alumnos carecen del interés y la motivación necesarios para aprender.

Normalmente, estos alumnos prestan poca atención y trabajan poco. No

parece importarles el hecho de suspender y su único interés parece ser

abandonar cuanto antes el centro escolar. Por otra parte, esta ausencia de

interés se traduce a veces en comportamientos que perturban el trabajo escolar

de sus compañeros. Si un alumno no tiene esa motivación interna puede

provocar su fracaso escolar, sin embargo, el profesor debe saber transmitir esa

motivación por las matemáticas a sus alumnos. Esto nos lleva a hablar de las

características de un buen profesor.

Características de un buen profesor:

Un buen profesor ha de conseguir:

- Mantener relaciones sociales positivas con el grupo-clase y con cada

miembro, lo que requiere consideración y comprensión social.

Comunicación positiva.

- Mentalidad abierta: integración en el grupo de todos sus miembros.

- Capacidad intelectual.

- Motivar a cada individuo y al grupo. Trato individual

- Debe organizar la clase, marcando planes, objetivos y métodos. De esta

manera guía al alumno.


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- Controlar el logro de los objetivos propuestos y las aportaciones de los

alumnos.

- Procurar un clima positivo en el grupo, una atmósfera de seguridad, en

la que el alumnado se sienta miembro aceptado y útil.

- Debe enseñar al alumnado modos de trabajar juntos y de respetar las

opiniones ajenas.

- Mantener la disciplina y el orden necesario para posibilitar el trabajo.

Opinión personal:

Como hemos explicado anteriormente el proceso de enseñanza-

aprendizaje es un proceso muy complejo. No consiste solamente en que el

profesor le enseñe unos conocimientos al alumno sino que influyen varios

factores que hacen que el aprendizaje pueda variar. Creo que es muy

importante para ser un buen profesor conocer el contexto del centro donde va a

impartir, como hemos dicho antes, no es lo mismo un instituto privado que uno

público, uno que está en una gran ciudad que uno de un pueblo. Dentro de este

contexto del instituto o centro es muy importante también conocer al alumnado.

Todo profesor tiene que saber cómo motivar al alumnado, creo que si el

profesor conoce cómo es el alumno, cómo es su familia, su forma de vida, etc,

será más fácil encontrarle una motivación.

En cuanto a las teorías de aprendizaje, yo pondría en práctica la teoría

constructivista, especialmente en matemáticas. Pienso que a los alumnos hay

que enseñarles a pensar, no deben ser meras máquinas de hacer cuentas o

repetir un algoritmo para resolver un ejercicio.


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En la actualidad la resolución de problemas es considerada la parte más

esencial de la educación matemática. A través de buenos problemas podemos

conseguir que el alumnado experimente la potencia y utilidad de las

Matemáticas en el mundo que les rodea con una metodología lúdica y

transformando las realidades abstractas en algo más concretas.

Mediante la resolución de problemas se puede conseguir una gran

motivación por parte de los alumnos siempre y cuando se incluyan la aplicación

de estos problemas en situaciones de la vida diaria. En mi opinión, la siguiente

frase resume cómo es la visión de la enseñanza matemática por una gran parte

del alumnado y cómo un buen profesor debe cambiar esa visión:

“La matemática ha constituido, tradicionalmente, la tortura de los

escolares del mundo entero, y la humanidad ha tolerado esta tortura para sus

hijos como un sufrimiento inevitable para adquirir un conocimiento necesario;

pero la enseñanza no debe ser una tortura, y no seríamos buenos profesores si

no procuráramos, por todos los medios, transformar este sufrimiento en goce,

lo cual no significa ausencia de esfuerzo, sino, por el contrario, alumbramiento

de estímulos y de esfuerzos deseados y eficaces”.

Pese a que creo que la el mejor aprendizaje que se puede seguir es

mediante el enfoque constructivista, en la unidad didáctica que he desarrollado

a continuación he seguido un enfoque más cognitivo. Se trata de una unidad de

2ª de Bachillerato y la falta de tiempo ha conllevado a utilizar este enfoque.

Todo esto está explicado en la metodología de la Unidad Didáctica. Sin

embargo, creo que se puede implantar un modelo constructivista. En mi caso

concreto, los alumnos a los que he impartido esta unidad formaban un grupo


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muy participativo, mostraban mucho interés y exponían siempre sus dudas, por

ello creo que el modelo constructivista se podría aplicar sin mucha dificultad.

Creo que este modelo sería más eficaz si se empieza a implantar desde

cursos anteriores. Quizá el que sea difícil de determinar si el alumno aprende o

no aprende hace desechar este tipo de enfoque. Sin embargo, este tipo de

aprendizaje se puede ir introducción poco a poco. Como he mencionado antes

se pueden proponer problemas que hagan al alumno reflexionar. Plantear

problemas que se puedan resolver de distintas formas hacen al alumno ver la

gran utilidad de las matemáticas y encontrar formas distintas de resolver un

mismo problema hace que el alumno este adquiriendo un conocimiento

mediante el proceso constructivista.


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2) Unidad Didáctica:

Antes de adentrarnos en el desarrollo de la Unidad Didáctica, voy a

explicar cómo es el instituto en el que he estado haciendo las prácticas y el

grupo-clase al que he impartido la Unidad. El instituto es el I.E.S. Celso Díaz de

Arnedo.

CONTEXTO GENERAL DEL CENTRO:

Contexto Social, Cultural y Escolar:

Para describir como es el centro vamos a explicar el ámbito en el que

está enmarcado Arnedo:

En cuanto al ámbito socioeconómico, Arnedo es una ciudad pequeña de

13.000 habitantes aproximadamente. Esta población es la tercera en

importancia de La Rioja, después de Logroño y Calahorra. Su economía está

basada en la industria del calzado. Durante los años 60 y 70 la ciudad conoció

un proceso migratorio importante, absorbió población de los pueblos limítrofes,

de Andalucía y Soria y logró de este modo rejuvenecer su pirámide de

población.

En el ámbito cultural comentar que la facilidad para acceder al mercado

de trabajo influía en un cierto desinterés por los estudios y la formación cultural.

No obstante, el índice de arnedanos con estudios universitarios ha aumentado

de manera significativa en los últimos veinte años, tal como ha sucedido en el

resto de España. Entre los padres destaca el alto porcentaje con estudios

primarios.


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Y en cuanto al ámbito laboral destacar que el nivel de paro está por

debajo de la media nacional. A ello contribuye el enorme desarrollo de la

economía sumergida que procura trabajo subalterno con pocas garantías.

El nombre de nuestro centro honra la figura del violinista arnedano Celso

Díaz. Nació en Arnedo el 28 de julio de 1887. Murió en Madrid el 3 de febrero

de 1953. (En el anexo he incorporado una biografía de Celso Díaz).

El instituto fue abierto en 1975 y su titularidad es pública. En él se

imparten las siguientes enseñanzas:

Enseñanza Secundaria Obligatoria (E.S.O.).

Programas de diversificación curricular.

Programas de P.C.P.I.

Refuerzo escolar P.R.O.A. en horario extraescolar.

Bachillerato de Ciencias Humanas y Sociales.

Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y la Salud.

Nuestro alumnado procede de familias de extracción social variada, si

bien mayoritariamente son hijos de obreros de la industria local.

En la actualidad, el centro tiene asignada una sección en Autol, donde

se imparte el primer ciclo de enseñanza secundaria para el alumnado de la

localidad.

También acoge alumnado de localidades limítrofes: Quel, Autol, Herce,

Sta. Eulalia y Arnedillo. El traslado de estos alumnos al centro- aquellos que

cursan enseñanza obligatoria- se produce con transporte gratuito contratado,

gestionado y financiado por el Ministerio de Educación.


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El número de alumnos y alumnas en el Centro es alrededor de 550, 80

de ellos cursan 1º y 2º de E.S.O. en la sección de Autol. Por su parte, el

número aproximado de alumnado en cada clase es 30.

Instalaciones:

El espacio físico del Centro consta de dos aularios: en uno de ellos se

imparte docencia a 1ºESO, 2ºESO y 3ºESO; en el otro, 4ºESO, 1ºBACH,

2ºBACH y PCPI.

En cuanto al equipamiento (mobiliario y material didáctico), el centro

dispone de gimnasio, y aulas específicas, algunas de ellas duplicadas por

responder a las necesidades de los dos edificios (música, tecnología,

laboratorio de idiomas, laboratorios de ciencias naturales, bibliotecas, aula de

informática y aula de audiovisuales).

El centro presta, además, el gimnasio para actividades deportivas

organizadas por el Ayuntamiento y otras entidades.

Programas y actividades:

El IES Celso Díaz mantiene relaciones, de acuerdo con las necesidades

de su labor educativa, con otros Centros docentes y con diversas instituciones

públicas (Ayuntamiento de Arnedo, Colegios de Primaria de Arnedo y de las

localidades limítrofes, Consejería de Medio Ambiente, Consejería de Sanidad,

Universidad de La Rioja...). Asimismo, el centro forma parte de programas de

un ámbito mayor que el propio instituto: Programa Globe, Red de Escuelas

Solares (con placas solares en el patio), Semana de la Ciencia, etc.


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GRUPO-CLASE:

El grupo de 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales está formado por trece

alumnos y alumnas. Cuatro de ellos proceden de Autol y el resto son de

Arnedo. También destacar una alumna que viene a clase como oyente.

Es un grupo de un buen nivel donde todos aspiran a seguir sus estudios en la

universidad. Son alumnos muy participativos y siguen muy bien las

explicaciones. Quizá el ser pocos en clase y llevarse bien, hace que pregunten

siempre las dudas que tienen. El que sean un grupo tan participativo hace que

se puedan plantear actividades para realizar en grupos. Por todo ello, son el

mejor grupo que me ha tocado en las prácticas.

UNIDAD DIDÁCTICA DE PROBABILIDAD EN 2º BACHILLERATO DE

CIENCIAS SOCIALES:

Introducción:

El currículo de las Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, que

son la base de un amplio abanico de métodos, técnicas y teorías aplicadas a la

economía, la empresa y demás ciencias sociales, se ha diseñado otorgando un

papel predominante a los procedimientos y las técnicas instrumentales

orientados a la resolución de problemas y actividades relacionadas con el

mundo de la economía, de la información y, en general, con todos aquellos

fenómenos que se deriven de la realidad social.

En las Matemáticas Aplicadas a las Ciencia Sociales es preferible indicar

que es necesaria una demostración y no realizarla, señalando la imposibilidad

de hacerlo por el nivel en el que nos encontramos, que ocultar partes


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importantes del quehacer matemático. Como ayuda metodológica puede ser de

gran utilidad el acceso a las tecnologías de la sociedad de la información, a fin

de favorecer en los alumnos la consecución y aplicación de los conocimientos

adquiridos.

También conviene destacar que los procesos que intervienen en la

resolución de un problema matemático contribuyen especialmente al desarrollo

de la capacidad de razonamiento de los alumnos, a la vez que les proveen de

actitudes y hábitos propios del quehacer matemático. Es por ello que deberá

practicarse actividades contextualizadas en la realidad social y en el quehacer

cotidiano de los alumnos.

Competencias Básicas:

Competencias básicas que se logran en esta unidad son:

Competencia de comunicación lingüística: Conocer el lenguaje

específico del cálculo de probabilidades para analizar correctamente los

sucesos aleatorios.

Competencia matemática: Analizar el concepto de probabilidad y la

necesidad de una formalización en la definición de probabilidad.

Conocimiento e interacción con el mundo físico: Interpretar el

funcionamiento de juegos de azar y su resolución mediante

probabilidades.

Tratamiento de la información y competencia digital: Resolver problemas

mediante hojas de cálculo.


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Competencia social y ciudadana: Conocer el uso de las probabilidades

para entender informaciones de tipo social que le pueden aparecer.

Competencia para aprender a aprender: Aprender a ser consciente de

sus fallos, a aprender a la vista de sus problemas para interpretar una

probabilidad dada, o saber autoevaluar sus conocimientos a la hora de

calcular probabilidades.

Competencia de autonomía e iniciativa personal: Resolver un problema

dado utilizando probabilidades.

Objetivos generales:

Los objetivos generales son:

Aplicar a situaciones diversas los contenidos matemáticos para analizar,

interpretar y valorar fenómenos sociales, con objeto de comprender los

retos que plantea la sociedad actual.

Adoptar actitudes propias de la actividad matemática como la visión

analítica o la necesidad de verificación. Asumir la precisión como un

criterio subordinado al contexto, las apreciaciones intuitivas como un

argumento a contrastar y la apertura a nuevas ideas como un reto.

Elaborar juicios y formar criterios propios sobre fenómenos sociales y

económicos, utilizando tratamientos matemáticos. Expresar e interpretar

datos y mensajes, argumentando con precisión y rigor y aceptando

discrepancias y puntos de vista diferentes como un factor de

enriquecimiento.


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Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas

para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones

nuevas con autonomía, eficacia, confianza en sí mismo y creatividad.

Utilizar un discurso racional como método para abordar los problemas:

justificar procedimientos, encadenar una correcta línea argumental,

aportar rigor a los razonamientos y detectar inconsistencias lógicas.

Hacer uso de variados recursos, incluidos los informáticos, en la

búsqueda selectiva y el tratamiento de la información gráfica, estadística

y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole,

interpretando con corrección y profundidad los resultados obtenidos de

ese tratamiento.

Adquirir y manejar con fluidez un vocabulario específico de términos y

notaciones matemáticas. Incorporar con naturalidad el lenguaje técnico y

gráfico a situaciones susceptibles de ser tratadas matemáticamente.

Utilizar el conocimiento matemático para interpretar y comprender la

realidad, estableciendo relaciones entre las matemáticas y el entorno

social, cultural o económico y apreciando su lugar, actual e histórico,

como parte de nuestra cultura.

Objetivos didácticos:

Con esta unidad pretendemos que el alumnado logre los siguientes objetivos:

Describir los resultados de los fenómenos y experimentos aleatorios.

Utilizar técnicas y principios diversos de recuento para asignar

probabilidades. Usar la regla de Laplace en casos sencillos.


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Diferenciar las situaciones correspondientes a sucesos independientes y

dependientes.

Calcular las probabilidades de sucesos equiprobables mediante la regla

de Laplace.

Calcular probabilidades haciendo uso de las principales propiedades que

posee la probabilidad.

Utilizar técnicas y principios diversos de recuento para asignar

probabilidades condicionadas.

Usar la definición para el cálculo de probabilidades condicionadas de

casos sencillos.

Calcular las probabilidades condicionadas, organizando la información en

tablas de contingencia y diagramas de árbol.

Diferenciar las situaciones correspondientes a sucesos independientes y

dependientes.

Calcular probabilidades haciendo uso de la propiedad de la probabilidad

total.

Calcular probabilidades utilizando el teorema de Bayes en casos

sencillos.

Contenidos:

Conceptos:

Experimentos aleatorios. Espacio muestral

Sucesos

Operaciones con sucesos

Probabilidad


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Propiedad de la probabilidad

Regla de Laplace

Experimentos compuestos. Diagramas de árbol

Sucesos dependientes e independientes

Probabilidad condicionada

Probabilidad compuesta o del producto

Sucesos dependientes e independientes

Probabilidad en tablas de contingencia y diagrama de árbol

Probabilidad total

Teorema de Bayes

Procedimientos:

Distinguir experimentos aleatorios de experimentos deterministas.

Obtención del espacio muestral de experimentos aleatorios.

Efectuar operaciones con sucesos.

Efectuar diagramas de árbol y otros diagramas para calcular

probabilidades de sucesos.

Aplicación de la ley de Laplace para calcular probabilidades sencillas.

Distinguir entre sucesos compatibles e incompatibles.

Distinguir entre sucesos dependientes e independientes.

Cálculo de probabilidades condicionadas.

Cálculo de probabilidades totales.

Cálculo de probabilidades “a posteriori”.


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Actitudes:

Las actitudes que debemos intentar que el alumno o la alumna asuma

como propias no se restringen al ámbito matemático: confianza en uno mismo,

utilización correcta de todas las herramientas a su alcance, curiosidad por

conocer, claridad y sencillez.

Pero concretando en esta unidad destacamos las siguientes:

Valoración positiva de la utilidad de las matemáticas para interpretar y

describir situaciones relacionadas con el azar y referidas a las ciencias o

a la vida cotidiana.

Respeto e interés por las estrategias diferentes de las propias y

seguidas en la resolución de problemas referidos al cálculo de

probabilidades.

Valoración crítica de las informaciones de tipo probabilístico que se

transmiten a través de los medios de comunicación.

Curiosidad e interés por el análisis de problemas relacionados con el

recuento y la probabilidad, como los juegos de apuestas (loterías,

quiniela, etc.).

Gusto por la representación gráfica clara y precisa mediante diagramas de

árbol.


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Materiales y Recursos didácticos:

Se utilizarán los siguientes recursos didácticos:

Libro de texto: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II.

Ejercicios y problemas del libro de texto.

Hojas de ejercicios de ampliación y refuerzo (ver en los anexos).

Calculadora Científica.

Metodología:

Concebimos la metodología como la forma concreta en la que se

organizan, regulan y se relacionan entre sí los diversos componentes que

intervienen en el proceso de aprendizaje: objetivos, contenidos, actividades,

recursos y medios didácticos; y, especialmente, alumnado, profesorado y

comunidad educativa.

La metodología es esencial en la consecución de las metas educativas

propuestas. Vamos a tratar de conseguir estas metas mediante un aprendizaje

significativo. Para ello necesitamos conocer previamente el nivel de los

alumnos como su desarrollo evolutivo. Para conseguir que el alumno adquiera

con facilidad los contenidos trataremos de realizar ejercicios de su vida

cotidiana los cuales les resulten motivadores.

Entonces se propondrán actividades dirigidas a:

Conocer las ideas previas de los alumnos y su grado de elaboración

(preguntar sobre lo que saben antes de explicar algo).

Modificar sus ideas iniciales construyendo de forma significativa nuevos

conocimientos. El profesor es mediador y plantea actividades de


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aprendizaje para modificar las concepciones iniciales, para que el

alumno dé pasos progresivos a nivel de identidad y elaboración

personal, abriendo la posibilidad de llevar a cabo una reflexión crítica

sobre ellos.

Fomentar el rigor en el uso de lenguajes (principalmente en las

definiciones y en los Ejercicios-Ejemplo que se realizarán en clase).

Potenciar los siguientes aspectos:

La reflexión sobre lo realizado.

La recogida de datos.

Elaboración de conclusiones.

Recopilación de lo que se ha aprendido.

Analizar el avance en relación con las ideas previas (punto de partida).

Facilitar al alumno la reflexión sobre: habilidades de conocimiento,

procesos cognitivos, control y planificación de la propia actuación, la

toma de decisiones y la comprobación de los resultados.

El proceso de enseñanza-aprendizaje entendemos que debe cumplir los

siguientes requisitos:

Partir del nivel de desarrollo del alumnado y de sus aprendizajes previos.

Asegurar la construcción de aprendizajes significativos a través de la

movilización de sus conocimientos previos y de la memorización

comprensiva.

Posibilitar que los alumnos y las alumnas realicen aprendizajes

significativos por sí solos.


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Favorecer situaciones en las que los alumnos y alumnas deben

actualizar sus conocimientos (trabajar en grupo, es decir, dedicar

algunas sesiones a la realización de ejercicios en grupos reducidos).

Proporcionar situaciones de aprendizaje que tienen sentido para los

alumnos y alumnas, con el fin de que resulten motivadoras (plantear

problemas y ejercicios de su vida cotidiana que sean motivadores).

Como pautas de reflexión metodológica, proponemos:

Promover el aprendizaje significativo, ya que para conseguir verdaderos

aprendizajes escolares es necesaria la actividad constructiva del

alumno. Desde esta perspectiva planteamos las actividades de

enseñanza-aprendizaje, con una intención clara, dentro de unas tareas

que tienen sentido para el alumno y que así hemos experimentado en

nuestra actividad docente, consideradas de manera que los alumnos

puedan adquirir, por sí solos, su sentido, significatividad y utilización

para otros contextos diferentes.

Practicar el aprendizaje interactivo, básico para la construcción del

conocimiento, pero sin caer en el activismo, sino fomentando la

participación de nuestros alumnos en las tareas de aula (sesiones

dedicadas a realizar ejercicios en grupos).

Propiciar la motivación, organizando una secuencia clara, sencilla y

asequible que conecte a los alumnos con la realidad y el entorno en el

que se desenvuelven (trataremos ejercicios y problemas de la vida

cotidiana para propiciar esa motivación).


28

Sesiones:

SESIÓN 1:

En esta primera sesión realizaremos una prueba para conocer el nivel que

nuestros alumnos tienen sobre la Probabilidad. Esta prueba se puede ver en

los anexos de la Unidad Didáctica.

SESIÓN 2:

El objetivo de la primera sesión es la introducción a la Probabilidad. Para ello,

en esta sesión vamos a dar varias definiciones y nos adentraremos en las

operaciones con sucesos.

Definiciones:

Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios

resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va

a ser observado en la realización del experimento. Por ejemplo, lanzar un dado

es un experimento aleatorio.

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados de un

experimento o fenómeno aleatorio. A este conjunto lo denotaremos con la letra

E.

Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos

del espacio muestral E.


29

Algunos tipos de sucesos:

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del

experimento.

Sucesos compuestos son los que están formados por dos o más resultados

del experimento.

Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio.

Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa con el símbolo

del conjunto vacío, Ø.

Ejercicio-Ejemplo:

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes

experimentos aleatorios:

a) Lanzar tres monedas.

b) Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.

c) Extraer dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres

negras.

Soluciones:

a) Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el

siguiente espacio muestral:

E = {(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}

b) En este caso el espacio muestral es:

E = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}


30

c) Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:

E = {BB, BN, NN}

Operaciones con sucesos:

1) Inclusión: Se dice que A está incluido en B si todo suceso elemental de

A pertenece también a B. Se representa por A B.

2) Unión: Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, llamamos suceso unión de A y B al suceso que se realiza

cuando lo hacen A o B. Se representa por A B.

3) Intersección: Si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, llamamos suceso intersección de A y B al suceso que se

realiza cuando lo hacen A y B. Se representa por A B.

Ocurre a veces que la intersección de dos sucesos, A y B, es el suceso

imposible; en este caso decimos que los sucesos A y B son

incompatibles. Cuando no sucede esto, decimos que A y B son

compatibles.

4) Suceso Contrario: Para un suceso cualquiera A de un experimento

aleatorio, llamamos suceso contrario del suceso A al suceso que se

verifica cuando no se verifica A, y recíprocamente. Se representa por .

Ejercicio para hacer en casa: Ejercicio 1, página 300 del libro.

Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes

experimentos aleatorios:

a) Se lanzan al aire 3 monedas y se anotan los resultados de las caras

obtenidas.


31

b) Se lanzan 3 dados y se anota la suma de los puntos de las caras

superiores.

c) Se lanzan al aire 2 dados y se anota la suma de los puntos de las caras

superiores.

SESION 3:

El objetivo de esta sesión es introducir nuevas propiedades de sucesos,

las leyes de Morgan y la definición de Probabilidad.

Propiedades:

A Ā = E

A Ā = Ø

Ē =

= E

Leyes de Morgan:

= Ā

= Ā

Ejercicio-Ejemplo:

Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos un

experimento, que consiste en sacar una bola de la urna, anotar el número y


32

devolverla a la urna. Consideramos estos dos sucesos: A = {salir un número

primo} y B = {salir un número cuadrado}. Responde a las cuestiones siguientes:

a) Calcula los sucesos A B y A B.

b) Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?

c) Encuentra los sucesos contrarios de A y B.

Soluciones:

Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales siguientes: A =

{2,3,5,7} y B = {1,4,9}. A partir de estos conjuntos, tenemos:

a) La unión e intersección de A y B son: A B = {1,2,3,4,5,7,9} y A B = Ø.

b) Al ser A B = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.

c) El suceso contrario de A es Ā = {1,4,6,8,9}.

El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}.

Definición de Probabilidad:

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar

a cabo un experimento aleatorio.

Llamamos probabilidad a toda aplicación P que para cada suceso (A) se le

asigna un número entre 0 y 1, se denota P(A). Esta aplicación verifica los

siguientes axiomas:

Axioma 1: P(E) = 1

Axioma 2: P(A) ≥ 0


33

Axioma 3: Si A y B son dos sucesos incompatibles, entonces la probabilidad

del suceso unión es la suma de las probabilidades. P(A B) = P(A) + P(B)

Propiedades de la Probabilidad:

P(Ā) = 1 – P(A)

P( ) = P(Ē) = 1 – P(E) = 0

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Esto se cumple cuando A y B son sucesos

compatibles.

Definición:

A – B = Conjunto de todos los elementos que son de A pero no son de B.

A – B = A .

Ejercicio para casa:

Por una encuesta realizada entre los estudiantes de Bachillerato de un instituto,

se sabe que el 40% lee el periódico y el 30% lee alguna revista de información

general.

Además, el 20% lee periódicos y revistas. Con estos datos, ¿cuál es la

probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, lea el periódico o revista?

Solución:

Llamamos PE al suceso «lee el periódico» y R al suceso «lee revista». Las

probabilidades que proporciona el enunciado son:

P(PE) = 0,4 P(R) = 0,3 P(PE R) = 0,2


34

La probabilidad pedida es: P(PE R) = P(PE) + P(R) – P(PE R) = 0,4 +0,3 –

0,2 = 0,5

SESIÓN 4:

En esta sesión vamos a introducir la Regla de Laplace y vamos a realizar

ejercicios-ejemplos.

Regla de Laplace:

(Solo se puede aplicar cuando los casos son equiprobables)

La probabilidad de un suceso A formado por h sucesos elementales es igual al

cociente entre el número de resultados favorables y el número de resultados

posibles. Así,

Ejercicio-Ejemplo:

En una bolsa hay tres bolas numeradas del 1 al 3. Consideramos el siguiente

experimento aleatorio: sacamos una bola y anotamos su número, sin devolverla

a la bolsa sacamos otra bola y anotamos su número y sin devolver esta a la

bolsa sacamos la tercera bola y anotamos su número.

Soluciones:

Calcula la probabilidad de sacar los números en orden creciente o decreciente:


35

El espacio muestral, E, lo determinamos

mediante un diagrama de árbol:

Por tanto, el espacio muestral y el suceso

A = {sacar los números en orden}, son:

E = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

A = {123, 321}

Y la probabilidad pedida es:

Ejercicio-Ejemplo:

De una baraja española de 40 cartas se extrae una al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea bastos o menor de cinco?

Soluciones:

Llamamos B al suceso «sacar bastos» y ME al suceso «sacar menor que 5».

Nos están pidiendo calcular la probabilidad de que sea bastos o menor de

cinco, por tanto nos están pidiendo la .

E

112 123

13 132

221 213

23 231

331 312

32 321


36

SESIÓN 5:

En esta sesión vamos a diferenciar entre sucesos dependientes y sucesos

independientes y vamos a realizar ejercicios.

Sucesos dependientes e independientes:

Para dos sucesos A y B que pueden provenir de experiencias compuestas,

decimos que A y B son independientes si cumplen:

Para dos sucesos A y B que pueden provenir de experiencias compuestas,

decimos que A y B son dependientes si cumplen:

Los sucesos A y B, cuando son dependientes, cumplen:

= probabilidad de B condicionada a A, es decir, probabilidad de B

una vez que ha ocurrido A.

Por lo tanto, podemos introducir la definición de probabilidad condicionada:

Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto del suceso A, y lo

denotamos por P(B/A) al cociente


37

Ejercicio-Ejemplo:

Lanzamos un dado cúbico con las caras numeradas del uno al seis y leemos el

número que aparece en la cara superior. Consideramos los sucesos siguientes:

A = {obtener un número primo}, B = {obtener un múltiplo de 2}, y C = {obtener

un múltiplo de 3}.

Estudia la independencia de los sucesos:

a) A y B

b) B y C

Soluciones:

Los sucesos del enunciado y sus intersecciones están formados por los

sucesos elementales siguientes:

A = {2, 3, 5}; B = {2, 4, 6}; C = {3, 6}; A∩B = {2} B∩C = {6}

Veamos, en cada caso, si los sucesos pedidos cumplen la condición de

independencia:

a) Las probabilidades son:

Los sucesos A y B no son independientes, es decir, son dependientes.


38

b) Las probabilidades son:

Los sucesos B y C son independientes.

Ejercicio para realizar en clase:

Determina si los sucesos A y B son compatibles o incompatibles, dependientes

o independientes, sabiendo que:

Soluciones:

Al ser,

los sucesos A y B son compatibles, es decir, su intersección es distinta del

suceso imposible, A∩B ≠ .

La probabilidad de la intersección de los sucesos A y B se obtiene de la forma

siguiente:


39

Al ser,

los sucesos A y B son independientes.

SESIÓN 6:

Esta sesión la vamos a dedicar a realizar los siguientes ejercicios. Para ello

vamos a formar grupos de tres personas, entre los tres alumnos o alumnas

resolverán los siguientes ejercicios (pertenecen a los ejercicios finales del

tema). Esta sesión se realiza en grupos por las características del grupo-clase

explicado anteriormente.

Ejercicio nº13:

De una baraja de 40 cartas se extraen 3 naipes consecutivamente sin

reemplazamiento. Calcula la probabilidad de obtener la secuencia sota, caballo,

rey.

Ejercicio nº14:

De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una

bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea una bola roja.

b) Sea una bola verde.

c) Sea una bola roja o verde.


40

d) No sea roja.

Ejercicio nº15:

De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen, sucesivamente,

dos bolas. Halla la probabilidad de que sean:

a) Las dos negras.

b) Las dos rojas.

c) La primera roja y la segunda negra.

d) Una roja y otra negra.

Ejercicio nº16:

Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se sacan al azar tres bolas.

Calcula la probabilidad de que, al menos, una sea blanca.

Ejercicio nº18:

Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una onsulta médica,

deciden sortear el orden en que van a entrar.

a) Calcula la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres.

b) Determina si son independientes los sucesos S1 y S2, siendo:

S1: «la mujer entra antes que alguno de los hombres».

S2: «los dos hombres entran consecutivamente».

Ejercicio nº21:

Determina si son dependientes o independientes, compatibles o incompatibles,

los sucesos A y B que cumplen las condiciones siguientes:


41

a)

b)

SESIÓN 7:

Esta sesión la vamos a dedicar a realizar los ejercicios de Acceso a la

Universidad que aparecen en el libro y para casa los alumnos realizaran la

Autoevaluación del tema. Esta Autoevaluación consta de 10 ejercicios donde

se ha de aplicar todo lo visto en las sesiones anteriores.

SESIÓN 8:

En esta sesión vamos a ver el Teorema de la Probabilidad Total y realizaremos

ejercicios donde aplicaremos este teorema.

Definición:

Llamamos sistema completo de sucesos a una familia A1, A2, …, An de

sucesos que cumplen:

Son incompatibles dos a dos:

La unión de todos ellos es el suceso seguro:


42

Teorema de la Probabilidad total:

Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de

cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se

conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai); entonces la probabilidad

del suceso B viene dada por la expresión:

Ejercicio-Ejemplo:

Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad,

de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el

30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe

que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y

1%, respectivamente, para cada línea.

Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Solución:

El suceso Av= {sufrir una avería}

puede producirse en las tres líneas,

(L1, L2, L3). Según el teorema de la

probabilidad total y teniendo en cuenta

las probabilidades del diagrama de

árbol adjunto, tenemos:


43

Para casa hacer los 5 primeros ejercicios de la página 320 del libro de texto.

SESIÓN 9:

Esta sesión está dedicada al Teorema de Bayes y la realización de ejercicios

aplicando este teorema.

Teorema de Bayes:

Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de

cada uno de ellos es distinta de cero.

B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas

P(B/Ai).

Entonces las probabilidades P(Ai / B) vienen dada por la expresión:


44

Ejercicio-Ejemplo:

Tres máquinas, M1, M2 y M3, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente,

del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de

producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a) Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea

defectuosa.

b) Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la

probabilidad de haber sido producida por la máquina M2.

Soluciones:

Sean los sucesos D = {la pieza es defectuosa} y N ={la pieza no es

defectuosa}. La información del problema puede expresarse en el diagrama de

árbol anterior.

a) Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa,

P(D), por la propiedad de la probabilidad total:


45

b) Debemos calcular P(M2/D). Por el teorema de Bayes:

Para casa hacer los ejercicios de la página 322 y 323.

SESIÓN 10:

Esta sesión la vamos a dedicar a continuar haciendo ejercicios de Acceso a la

Universidad como en la sesión 6. También realizaremos otra Autoevaluación

que aparece en el libro de texto.

SESIÓN 11:

Realizaremos un examen referente a esta unidad.

El examen se puede ver en los anexos de esta Unidad Didáctica.


46

Actividades:

Las actividades que realizaremos son:

Cuestiones previas al estudio de la unidad (mediante la evaluación

inicial, ver en los anexos de esta Unidad Didáctica).

Ejercicios resueltos y propuestos intercalados con la exposición teórica

de contenidos (cada vez que se explica un contenido nuevo se realizan

Ejercicios-Ejemplos como se puede observar en cada sesión anterior).

Actividades de refuerzo y ampliación (ver en los anexos de esta Unidad

Didáctica)

Actividades de Acceso a la Universidad (son ejercicios planteados en el

libro, estos ejercicios se resolverán en el aula).

Actividades de autoevaluación (al final de la unidad se realizan las

actividades de Autoevaluación que aparecen en el libro).

Atención a la diversidad:

Para asegurar la igualdad de oportunidades a todos los alumnos y

alumnas tenemos una secuenciación graduada de actividades que hace

posible trabajar los mismos contenidos con diferentes niveles para atender a la

diversidad. En los anexos de esta Unidad Didáctica aparecen unas hojas de

ejercicios llamadas “Ejercicios de refuerzo y ampliación de Cálculo de

Probabilidades”, se puede observar que hay al comienzo de cada ejercicio

aparecen puntos negros indicando el grado de dificultad (de menor a mayor).

Estas hojas servirán para algunos alumnos de refuerzo, mientras que para

otros servirá de ampliación.


47

Evaluación:

La evaluación se puede entender como un proceso continuo de recogida

de información y de análisis, que nos permite conocer qué aprendizaje se está

consiguiendo, qué variables influyen en dicho aprendizaje y cuáles son los

obstáculos y dificultades que afectan negativamente al aprendizaje.

La evaluación del aprendizaje ha de efectuarse mediante el uso de

instrumentos y procedimientos adecuados a lo que se pretende medir u

observar. Los instrumentos y procedimientos deben ser variados y

orientadores.

Para la evaluación del proceso, se precisa ser crítico y a la vez reflexivo,

cuestionando constantemente lo que se hace, y procurando analizar los

principales elementos que pueden distorsionar el proceso educativo; de esta

forma podremos identificar los problemas e intentar poner remedio en la

medida de nuestras posibilidades.

La evaluación de la propia práctica docente constituye una de las

estrategias de formación más potentes que existen para la mejora de la calidad

del proceso de enseñanza-aprendizaje, permitiendo las correcciones oportunas

en su labor didáctica.

Para ello diferenciamos tres momentos que definen el proceso continuo

de enseñanza-aprendizaje: Evaluación inicial, Evaluación formativa y

Evaluación sumativa o final.


48

Evaluación Inicial:

Se realiza al comienzo del proceso para obtener información sobre la

situación de cada alumno y alumna, y para detectar la presencia de errores

conceptuales que actúen como obstáculos para el aprendizaje posterior. Esto

conllevará una atención a sus diferencias y una metodología adecuada para

cada caso.

Constará de una pequeña prueba sobre el conocimiento que poseen de

la probabilidad y sus aplicaciones. Esta prueba se realizará en la primera

sesión y no será de carácter negativo, simplemente es de carácter informativo

para el profesor. (Puede verse la prueba en los anexos)

Evaluación formativa:

Tipo de evaluación que pretende regular, orientar y corregir el proceso

educativo, al proporcionar una información constante que permitirá mejorar

tanto los procesos como los resultados de la intervención educativa. Es, por

tanto, la más apropiada para tener una visión de las dificultades y de los

procesos que se van obteniendo en cada caso. Con la información disponible

se valora si se avanza adecuadamente hacia la consecución de los objetivos

planteados. Si en algún momento se detectan dificultades en el proceso, se

tratará de averiguar sus causas y, en consecuencia, adaptar las actividades de

enseñanza-aprendizaje.

A lo largo de las clases se evaluará a los alumnos y alumnas con la

realización de los ejercicios propuestos para casa, también con la realización


49

de ejercicios en las sesiones en las que tendrán que trabajar en grupos. Se

tendrá en cuenta el comportamiento en el aula. Todo ello sumará un 20% de la

nota final.

Evaluación sumativa o final:

Se trata de valorar los resultados finales de aprendizaje y comprobar si

los alumnos y alumnas han adquirido los contenidos y competencias básicas

que les permitirán seguir aprendiendo cuando se enfrenten a contenidos más

complejos.

Se aplica al final de la unidad didáctica como comprobación de los

objetivos marcados. Se hará mediante un examen escrito (puede verse en los

anexos de esta Unidad Didáctica). La nota de esta prueba será el 80% de la

nota final.

Por tanto, la nota final será la media entre la evaluación formativa (que

supone el 20% de la nota final) y la evaluación final (que supone el 80% de la

nota final).

Criterios de Evaluación:

En el examen final los alumnos y alumnas deberán ser capaces de:

Diferenciar las experiencias o fenómenos aleatorios de los que no lo son.

Describir el espacio muestral de una experiencia aleatoria.

Operar con los sucesos de un espacio muestral.

Comprender los axiomas que definen la probabilidad.


50

Conocer y aplicar las propiedades de la probabilidad.

Calcular probabilidades haciendo uso de la regla de Laplace.

Utilizar los diagramas de árbol en la descripción de los experimentos

compuestos.

Conocer y comprender la definición de probabilidad condicionada de un

suceso.

Diferenciar las probabilidades condicionadas de las que no lo son.

Analizar la dependencia o independencia de sucesos a través de la

probabilidad condicionada.

Calcular probabilidades condicionadas, organizando la información en

diagramas de árbol.

Conocer y aplicar el teorema de la probabilidad total.

Utilizar el teorema de Bayes para calcular probabilidades a posteriori.


51

Anexos:

Prueba inicial para 2º BACHILLERATO DE

CIENCIAS SOCIALES: “PROBABILIDAD”

1- De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar

un caballo? ¿Y la de sacar un as o una espada?

2- Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad

de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?

3- Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de

puntos sea divisible por tres?

4- Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3

blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja.

¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?


52

Ejercicios de refuerzo y ampliación de Cálculo de

Probabilidades (2º Bachillerato CCSS)

● Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.

● Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos

dados.

● Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la e

aparezca la primera y la o la última.

● ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que

contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?

● Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al

azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?

● Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de

sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?

● De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un

caballo seguido de un tres, reintegrando l primera carta? ¿Y sin reintegrarla?

● Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que

sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar?

● Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas

al azar y se desea saber:

La probabilidad de que las tres bolas sean blancas.


53

La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

● Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas.

¿Y de que sean un as, un dos y un tres?

¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?

● Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis

blancas y cuatro negras. Si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la

probabilidad de que sean las dos negras?

●● Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de

puntos sea divisible por tres?

●● Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres

cifras, sin repetir cifras en cada número. Si se señala un número al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4?

¿Y de que sea múltiplo de 3?

●● Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en

los 6 lanzamientos?

●● Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3

blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué

probabilidad hay de que sean del mismo color?


54

●● En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50.

¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?

●● Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado. ¿Cuál es

la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado

a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos

sucesos? ¿Por qué?

●●● A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 50

francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:

¿Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete?

¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés?

¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma?

¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?

●●● En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres niños sacan,

sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la

probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y

el tercero las dos blancas.

●● Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro

monedas al aire y se pide:

La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces.

La probabilidad de obtener dos caras.


55

●● En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados,

12 celtas y 8 de las dos clases.

Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

¿Cuál es la probabilidad de que los tres fumen?

¿Cuál es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados?

●● Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron 25 defectuosas y se

eligen 5 de aquéllas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna

defectuosa entre las cinco elegidas?

●● En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 %

de enfermos de bronquitis, un 30% de neumonía y un 20 % con gripe. La

probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es,

respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido

dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo

dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.

●●● En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 %

de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de

hembras que de machos y se pide:

Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que

esté enfermo?

Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad

hay de que el citado individuo sea macho?


56

●●● La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que

apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.

La probabilidad de que no apruebe ninguna.

La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua.


57

Examen final para 2º BACHILLERATO DE

CIENCIAS SOCIALES: “PROBABILIDAD”

1- Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos

dados. (1 punto)

2- Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas

al azar y se desea saber: (1 punto)

La probabilidad de que las tres sean rojas.

La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.

La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.

La probabilidad de que todas sean de distinto color.

La probabilidad de que todas sean del mismo color.

3- Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes

sucesos: (1 punto)

A =obtener cruz en el primer lanzamiento.

B = obtener alguna cara.

Alumno/a: 2º Bachillerato CCSS Grupo: d


58

C = obtener dos cruces.

Se desea saber:

Si A y B son incompatibles.

Si A y B son independientes.

Si A y C son incompatibles.

Si A y C son independientes

4- En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso,

de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se

pide:

¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno?

Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y

repita el curso?

Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno

repita curso? (2 puntos)

5- La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A1 es 0,7, y

la probabilidad de que provenga de otra A2 es 0,3. Se sabe que la

fábrica A1 produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A2 un 8 por


59

mil. ¿Cuál es la probabilidad de que un artículo al azar no sea

defectuoso? Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál

es la probabilidad de que provenga de la fábrica A2? (2,5 puntos)

6- La plantilla de empleados de unos grandes almacenes está formada por

200 hombres y 300 mujeres. La cuarta parte de los hombres y la tercera

parte de las mujeres solo trabajan en el turno de mañana. Elegido uno

de los empleados al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o solo trabaje en el

turno de mañana?

b) Sabiendo que no solo trabaja en el turno de mañana, ¿cuál es la

probabilidad de que sea mujer? (2,5 puntos)


60

3) Proyecto de innovación:

Introducción:

Antes de adentrarnos en lo que es el proyecto de innovación vamos a

responder a varias preguntas:

¿Qué es un proyecto de innovación?

Un proyecto de innovación es aquel plan que te permite recrear una situación,

mejorar algún hecho o proceso introduciendo un componente creativo en su

diseño, desarrollo y evaluación.

¿Para qué innovar en el instituto?

Para recrear una situación que ayude a potenciar los procesos de aprendizaje,

para mejorar un proceso de enseñanza y para enfrentar un problema

identificado.

¿Cuándo decimos que algo es innovador?

Cuando aporta algo nuevo, cuando realiza modificaciones novedosa y cuando

es un hecho práctico.

¿Quiénes pueden y deben innovar en el centro?

Tanto los directivos del centro como los maestros, las familias y la comunidad

pueden y deben innovar para mejorar la enseñanza del alumnado.


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Proyecto de innovación “El Póquer y el cálculo de Probabilidades”:

El proyecto de innovación que planteo a continuación es un proyecto aplicado a

la unidad didáctica desarrollada anteriormente (“Probabilidad” de 2º de

Bachillerato de CCSS).

El método tradicional en el que el profesor imparte la clase y luego realiza

ejercicios sin parar mientras el alumno es el sujeto pasivo no es el modelo más

idóneo de aprendizaje. Por eso, este proyecto de innovación trata que el

alumno sea el sujeto activo. Consiste en que el alumno a través del Póquer

(juego de cartas) efectúe cálculo de probabilidades y reflexione sobre los

resultados obtenidos. Se trata de una modificación en la metodología,

especialmente en la resolución de ejercicios y en el ambiente de la clase, ya

que se pasa de trabajar individual a trabajar en grupos.

Justificación del proyecto:

Se considera que los juegos constituyen un aporte importante en la enseñanza

de la matemática. Es fundamental la elección del juego adecuado en los

distintos momentos del proceso de enseñanza-aprendizaje. Creo que es

interesante utilizar el Póquer, ya que es un juego conocido y que todo alumno

de 2º de Bachillerato ha jugado alguna vez.

Una de las razones que me ha hecho elegir este cambio metodológico es que

la unidad de Probabilidad se deja siempre para el final de curso y los alumnos

se encuentran desmotivados. La motivación del alumnado se conseguirá

rápidamente, ya que los alumnos conocen el juego y realizarán ejercicios y

cálculos de probabilidad de forma más entretenida. También el hecho de que

los ejercicios de probabilidades que se plantean a los alumnos siempre tengan


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que ver con cartas, dados, urnas, etc, me ha llevado a elegir un juego que

implícitamente nos lleve a resolver los mismo ejercicios pero de una forma más

motivante. Así los alumnos se dan cuenta de la aplicación de las matemáticas

(en este caso de la Probabilidad) en situaciones comunes.

A continuación he realizado una lista con las razones o justificaciones para

llevar a cabo este proyecto:

- Motivar al alumno con situaciones atractivas y recreativas.

- Desarrollar habilidades y destrezas.

- Invitar e inspirar al alumno en la búsqueda de nuevos caminos.

- Romper con la rutina de los ejercicios mecánicos.

- Crear en el alumno una actitud positiva frente a los nuevos contenidos a

enseñar.

- Desarrollar hábitos y actitudes positivas frente al trabajo escolar en

grupo.

Objetivos:

- Que el alumno realice ejercicios de probabilidad.

- Maneje y aplique todos los conceptos que se han explicado en la

unidad.

- Desarrollar actitudes de trabajo en grupo.

- Motivar al alumno mediante algo que utiliza en su vida cotidiana.


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Desarrollo del Proyecto:

Antes de nada quiero dejar claro que con este proyecto no se quiere incitar a

los alumnos a la práctica del Póquer. Por ello, este proyecto no consiste en

jugar al Póquer sino utilizar el juego para la introducción del cálculo de

probabilidades.

Se trata de introducir todos los contenidos de la unidad utilizando el juego de

cartas y una vez explicados los contenidos utilizar el Póquer para su aplicación.

Se trabajará en grupos de tres o cuatro alumnos. Como hemos dicho antes no

vamos a jugar al Póquer, por tanto, no habrá fichas ni se realizarán apuestas.

La modalidad de Póquer más conocida es la Texas Hold’em y es la que vamos

a utilizar. El desarrollo del juego es:

1er Paso) Se reparten dos cartas a cada jugador.

2º Paso) Se destapan tres cartas en la mesa.

3er Paso) Se descubre otra carta en la mesa.

4º Paso) Se descubre una última carta en la mesa.

(Entre cada paso existe una ronda de apuestas por cada jugador, pero

nosotros esta parte la suprimimos).

Una vez terminado los cuatro pasos se procede a mostrar las cartas. El jugador

que ha creado la mano de póquer de cinco cartas de mayor valor posible,

utilizando cualquier combinación entre sus dos cartas de mano y las cinco

cartas comunitarias de la mesa, gana.


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Las manos de póquer a continuación están ordenadas por valor, de mayor a

menor:

Escalera real

Escalera de color

Póquer

Full

Color

Escalera

Trío

Dobles parejas

Una pareja

Carta alta

Este es el desarrollo del juego, pero nuestra intención es que los alumnos a

través del juego realicen cálculo de probabilidades.


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Como hemos dicho antes, se trabajará en grupos de tres o cuatro alumnos.

Cada alumno realizará el cálculo de la probabilidad de ganar la mano entre

cada uno de los pasos del juego, es decir, cada alumno realizará un cálculo lo

más aproximado posible porque desconoce cuáles son las cartas de sus

compañeros. Cada alumno anotará sus 4 resultados en su cuaderno. Una vez

terminado el juego se mostrarán las cartas de cada alumno.

Ahora, entre los tres o cuatro alumnos volverán a analizar las probabilidades de

cada uno de ganar, pero esta vez conociendo las cartas de cada uno. El

cálculo de estas probabilidades esta vez será exacto.

Después de haber calculado todos los datos se compararán con los que se

habían realizado sin conocer las cartas de cada alumno.

Entre los componentes del grupo reflexionarán sobre los datos calculados

previamente sin conocer las cartas de cada alumno y los resultados tras

mostrarlas. Se creará un debate o discusión entre los componentes del grupo y

será en este momento cuando los alumnos plantearán nuevos interrogantes,

por ejemplo, ¿qué hubiese pasado si en vez de salir una carta hubiese salido

otra?

Para comprobar los resultados se dejará a los alumnos utilizar un software que

permite elegir el número de jugadores, las cartas que se reparten y las que se

muestran en la mesa. A su vez este software calcula la probabilidad de ganar

que tiene cada jugador.


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Ejemplo de la actividad:

Veamos un ejemplo de desarrollo de la actividad:

El grupo está formado por cuatro alumnos: María, Jesús, Carmen y David.

1) Se reparten dos cartas a cada componente y cada uno anota la

probabilidad de ganar sin conocer las cartas de sus compañeros.

Ahora cada alumno anotará su probabilidad en su cuaderno.

2) Se muestran las tres primeras cartas y los alumnos vuelven a realizar su

cálculo.


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3) Se descubre la cuarta carta y vuelven a recalcular sus probabilidades.

4) Se descubre la última carta, se recalculan la probabilidad de ganar de

cada uno y se muestran las cartas de cada componente.


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5) Ahora entre los cuatro alumnos volverán a realizar las probabilidades y

se apoyarán en el software para comprobar que están bien los

resultados.

A continuación, se muestran las opciones de ganar que cada alumno tiene

paso a paso:


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Como podemos observar, gana Carmen porque tiene color. Jesús tiene

escalera del 10 al As, María tiene trío de Jotas y David solamente tiene

pareja de doses.

6) Este es el momento para el debate, discusión de resultados y la

reflexión. En este ejemplo, el debate puede transcurrir entre las

posibilidades de que David y María ganasen ya que tenían pareja de

mano. También como Jesús posiblemente se creería ganador ya que su

probabilidad de ganar era muy alta y al final no ha sido así.

La reflexión de los alumnos debe ir en caminada en ver cómo va

cambiando la probabilidad de ganar de cada uno mientras se van

descubriendo cartas.

Se propondrá una lista de preguntas que los alumnos pueden plantearse

entre ellos, por ejemplo:

- ¿Qué hubiese pasado si la última carta fuese un dos de corazones?

- ¿Qué carta tenía que salir al final para que ganase María?


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- ¿Existe alguna posibilidad de que al salir las tres primeras cartas la

probabilidad de ganar de David sea el 100%? Si la respuesta es

afirmativa, ¿cuáles son esas cartas?

- Sabiendo que la última carta era la jota de tréboles, ¿qué carta tenía que

salir en cuarta posición para que ganase María?

- ¿Con cuál de las cuatro manos te quedarías tras descubrir las tres

primeras cartas de la mesa?

Temporización y Evaluación:

El tiempo destinado para realizar este proyecto es de dos sesiones al finalizar

la unidad. La primera sesión se dedicaría a:

- Explicar a los alumnos en qué consiste.

- Como se realizará.

- La formación de los grupos.

- Planteamiento de dudas generales o específicas del juego.

- Funcionamiento del software que servirá de apoyo.

Una vez realizado todo esto, se comenzará la actividad.

En la segunda sesión se seguirá con la actividad y se destinarán los últimos 25

minutos a un debate general entre todos los alumnos. En este debate se

expondrán también las dudas que hayan podido surgir y que no se hayan

podido resolver previamente.

La participación del alumno en la actividad se tendrá en cuenta en el 20% de la

nota que comprende la realización de ejercicios para casa, la actitud en el aula,


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etc (este 20% queda reflejado en la Unidad Didáctica en el apartado de

Evaluación).

4) REFERENCIAS:

Proyecto Educativo de Centro, del I.E.S. Celso Díaz.

Reglamento de Régimen Interno, del I.E.S. Celso Díaz.

Plan de Convivencia, del I.E.S. Celso Díaz.

Reglamento de Organización y de Funcionamiento, del I.E.S. Celso

Díaz.

Programación Didáctica del Departamento de Matemáticas, del I.E.S.

Celso Díaz.

Página web del I.E.S. Celso Díaz:

http://www.iescelsodiaz.edurioja.org/

Página web de la editorial de libros editex: http://www.editex.es/

Página web: http://www.divulgamat.net/

Página web: http://www.valvanera.com/ricelso.htm

Página web: http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm

Página web: http://www.mat.ucm.es/~guzman/

Apuntes de las asignaturas cursadas en el Máter.

http://www.valvanera.com/ricelso.htm

http://www.oei.org.co/oeivirt/edumat.htm

http://www.mat.ucm.es/~guzman/


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