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Equation Chapter 1 Section 1

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Efectos de desequilibrio de tensión en máquinas de

inducción

Dpto. Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Autor: Rafael Rodríguez Berdún

Tutor: José María Maza Ortega

Sevilla, 2018

iii

Trabajo Fin de Grado

Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales

Efectos de desequilibrio de tensión en máquinas de

inducción

Autor:

Rafael Rodríguez Berdún

Tutor:

José María Maza Ortega

Profesor titular

Dpto. de Ingeniería Eléctrica

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2018

v

Trabajo Fin de Grado: Efectos de desequilibrio de tensión en máquinas de inducción

Autor: Rafael Rodríguez Berdún

Tutor: José María Maza Ortega

El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2018

El Secretario del Tribunal

vii

Dedicado a todo aquel que

alguna vez creyó en mi...

ix

Resumen

La importancia de los motores de inducción en el día a día de la vida humana está ampliamente demostrada. El

hecho de que haya más de 300 millones de motores a nivel mundial, que consumen el equivalente al 40% de la

producción mundial de electricidad dejan claro la necesidad de controlar su funcionamiento. Por ello, comprobar

la eficiencia de estas máquinas eléctricas es una tarea vital, tanto en el marco mediambiental, para intentar reducir

en lo posible el impacto medioambiental que produce la generación de energía, que es utilizada en el uso de los

motores de inducción, mediante el uso de combustibles fósiles, como en el marco económico, ya que reducir las

posibles pérdidas de los motores generaría un beneficio al disminuir los costes eléctricos.

En este trabajo abordamos los efectos que producen los desequilibrios de tensión en las máquinas de inducción

mediante simulaciones, usando como datos de partida los valores de resistencia y reactancia obtenidos a partir

de los datos de catálogo de los motores y usando el método de componentes simétricas.

xi

Abstract

The importance of induction motors nowadays is amply demonstrated. The fact that there are more than 300

million induction motores worldwide, which consume the equivalent of 40% of world electricity production

make clear the need to control their operation. Therefore, check the efficiency of these electrical machines is a

vital task, both in the environmental framework, to try to reduce as much as possible the environmental impact

produced by the generation of energy, which is used in the use of induction motors, using fossil fuels, as in the

economic framework, since reducing the possible losses of the engines would generate a benefit by reducing

electrical costs.

In this thesis, we address the effects of voltage imbalances in induction machines using simulations, using as

starting data the resistance and reactance values obtained from the catalog data of the motors and using the

symmetric component method.

xiii

Índice

Resumen ix

Abstract xi

Índice xiii

Índice de Tablas xv

Índice de Figuras xvii

Notación xxi

1 Introducción 1 1.1. Motores de Inducción en la Industria 1 1.2. Motores de Inducción en la Industria 2 1.3. Magnitud y grados de desequilibrio 4

1.3.1. Indices de desequilibrio 5 1.4. Objetivos del Trabajo 7

2 Desarrollo de los Fundamentos Teóricos 9 2.1. Funcionamiento del motor asíncrono 9 2.2. Teorema de Fortescue para Sistemas Desequilibrados 11

2.2.1. Secuencia de fases 12 2.2.2. Teorema de las componentes simétricas para tensiones de fase 12 2.2.3. Teorema de las componentes simétricas para tensiones de línea 14

2.3. Elementos necesarios para el estudio 14 2.3.1. Impedancias de secuencia 15 2.3.2. Intensidades de Secuencia 16 2.3.3. Diagrama y balance energético 17 2.3.4. Pérdidas en funcionamiento desequilibrado y rendimiento 18

3 Desarrollo práctico 25 3.1. Método sin tener en cuenta las pérdidas en el hierro 25 3.2. Conclusión del primer caso 29 3.3. Método teniendo en cuenta las pérdidas en el hierro 30 3.4. Conclusión del segundo caso 34

4 Análisis de un conjunto de motores 37 4.1. Conjunto de motores seleccionado 37 4.2. Desequilibrio del 2% 38 4.3. Desequilibrio del 5% 38 4.4. Desequilibrio del 10% 39 4.5. Desequilibrio del 15% 39 4.6. Conclusiones 40

ANEXOS 43

Bibliografía 49

xv

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3.1. Valores de los componentes intrínsecos del motor de inducción 24

Tabla 3.2. Valores de los componentes intrínsecos del motor incluyendo rama magnetización 29

Tabla 4.1. Motores seleccionados para el estudio 35

Tabla 4.2. Resultados de los motores con VUF 2% 36




xvii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1. Elaboración Propia. Demanda de la energía eléctrica en el sector industrial.

Fuente: MME, BEN 2008 – año 2007 1

Figura 1.2. Ejemplos de Sistemas Trifásicos Equilibrados y Desequilibrados.

Fuente: www.mecfi.es 3

Figura 1.3. Elaboración Propia. Desequilibrio de Tensiones en el sistema de distribución de USA.

Fuente: EPRI. 4

Figura 2.1. Constitución de un motor asíncrono.

Fuente: www.monografias.com 6

Figura 2.2. Ejemplo de un circuito monofásico equivalente

Fuente: Ingenieria Eléctrica Fravedsa 9

Figura 2.3. Ejemplo de un circuito trifásico conexión estrella-estrella

Fuente: www.wordpress.com 9

Figura 2.4. Secuencia de fases, tanto directa como inversa

Fuente: www.monografias.com 10

Figura 2.5. Circuito equivalente de secuencia directa

Fuente: SciELO 12

Figura 2.6. Circuito equivalente de secuencia inversa

Fuente: SciELO 12

Figura 2.7. Flujo de Potencia del motor de inducción operando en condiciones desequilibradas

Fuente: Enrique Quispe 14

Figura 3.1. Modelo motor inducción para secuencia

Fuente: maquinaselecgrupo4 28

Figura 4.1 Relación entre el VUF y el rendimiento. Elaboración propia

Fuente: Propia 40

Figura 4.2 Relación entre el Rendimiento y el deslizamiento. Elaboración propia

Fuente: Propia 41

Figura 4.3 Ralación entre el Rendimiento y el índice de carga. Elaboración propia

Fuente: Propia 41

Figura A.1 Script de Matlab sobre las impedancias del primer caso. Elaboración propia

Fuente: Propia 43

Figura A.2 Script de Matlab sobre las pérdidas del primer caso. Elaboración propia

Fuente: Propia 44


Fuente: Propia 44


Fuente: Propia 44

Figura A.5 Script de Matlab sobre las pérdidas del segundo caso. Elaboración propia

Fuente: Propia 45


Fuente: Propia 45


Fuente: Propia 46

Figura A.8 Script de Matlab sobre las pérdidas del caso alternativo. Elaboración propia

Fuente: Propia 46


Fuente: Propia 47

xxi

Notación

TWh Teravatios-hora

PVU

VUF

CUF

R.M.S

Porcent Voltage Unbalance

Voltage Unbalanced Factor

Current Unbalanced Factor

Root Means Square, Raíz Cuadrada Media.

1

1 INTRODUCCIÓN

1.1. Motores de Inducción en la Industria

Los sistemas accionados por motores eléctricos de inducción son los más empleados en la industria, debido a su

durabilidad, relativa sencillez a la hora de operar y al reducido coste por su mantenimiento, su alto rendimiento

y su capacidad para ser conectado directamente a una fuente de corriente alterna.

Según un estudio realizado por la Comunidad de Madrid [1] el 46.7% de la energía consumida en el mundo

pertenece al segmento de la industria, añadiendo que el 68% de dicha energía se emplea en accionar motores de

inducción. Además, se estima que hay más de 300 millones de motores a nivel mundial, con un consumo

aproximado a 7400 TWh cada año, un equivalente al 40% de la producción mundial de electricidad. En la Figura

1.1 se muestra la distribución de la demanda de la energía eléctrica en el sector industrial.

Figura 1.1 Distribución de demanda eléctrica en el sector industrial

“Nuestras virtudes y nuestros defectos son

inseparables, como la fuerza y la materia. Cuando se

separan, el hombre deja de existir”

- Nikola Tesla -

68%

10,50%

16%

2%3%

0,50%Consumo Energético Industrial

Equipo Accionado Electromecánico Calentamiento Directo

Calentamiento Proceso Iluminación Otros

2 Introducción

2

Además, teniendo en cuenta que aproximadamente el 68% de toda la generación mundial de energía eléctrica

se produce mediante el uso de combustibles fósiles [2], cuya combustión origina emisiones de gases

perjudiciales para el medio ambiente y, por lo tanto, para los seres humanos (efecto invernadero, cambio

climático, transtornos respiratorios…).

Con estos datos, se puede contemplar la importancia del uso eficiente de los motores de inducción, ya que por

un lado se obtiene una mejora económica al reducir las pérdidas en el uso (el coste de la energía utilizada en los

motores eléctricos es, aproximadamente, 1 billón de Euros), y, por otro lado, se alcanza un beneficio

medioambiental, porque si se reduce el consume energético, disminuyen también las emisiones de gases nocivos

a la atmósfera.

Dentro de estas máquinas eléctricas, el motor trifásico de inducción es el que tiene una mayor aplicación mundial

en cualquiera de los sectores donde se necesite un motor eléctrico, debido a varios factores:

• Autoarranque: Es posible producir campos magnéticos rotatorios con bobinados estacionarios usando

el sistema trifásico.

• Mejora en la potencia instantánea: En un sistema monofásico, la potencia instantánea es una función

del tiempo y fluctúa al doble de la frecuencia de la tensión de alimentación. Esta fluctuación de potencia

causa vibraciones considerables en los motores monofásicos. Por ello el rendimiento de los sistemas

monofásicos es pobre. Sin embargo, la potencia instantánea en los sistemas trifásicos es constante.

Estas máquinas están diseñadas para trabajar con unas condiciones específicas que se adjuntan en la placa

de características, denominadas condiciones nominales, cuando son alimentados por un sistema trifásico

simétrico de tensiones de forma de onda sinusoidal y valor idéntico a la tensión nominal.

1.2. Motores de Inducción en la Industria

Los sistemas de producción de energía eléctrica generan tensiones trifásicas de idéntica magnitud, pero

desfasadas entre ellas 120º, por lo que pueden representarse como tres fasores que tienen el mismo valor

absoluto, pero que están retrasados 120º, que constituyen un sistema trifásico equilibrado o balanceado.

Debido a diversos factores y procesos de transporte y distribución de la energía eléctrica, las tensiones

pueden llegar a los usuarios con cambios, ya sea tanto en la magnitud, como en el ángulo, como en ambas,

por lo que se considera que el sistema trifásico está desequilibrado.

En la figura 1.2 tenemos un ejemplo de un sistema trifásico equilibrado y de otro sistema trifásico

desequilibrado.

Efectos del desequilibrio de tensión en máquinas de inducción 3

3

Figura 1.2 Ejemplos de Sistemas Trifásicos Equilibrados y Desequilibrados

La mayor parte de los desequilibrios en los suministros trifásicos son debidos a las cargas monofásicas, y a su

inadecuado reparto en el sistema trifásico, aunque también hay otras posibles causas como impedancias

asimétricas de las bobinas de los transformadores, bancos de transformadores conectados en triangulo abierto o

estrella abierta, cortocircuitos en alguna de las líneas del sistema no detectados, etc…

Un estudio realizado el año 2000 sobre el desequilibrio de tensión en el sistema de distribución de Estados

Unidos realizado por el Electric Power Research Institute [3] , indica que aproximadamente el 66% del sistema

de distribución eléctrico de USA tiene un porcentaje de desequilibrio de tensión (Porcent Voltage Unbalance

PVU) menor a 1%, el 98% del sistema de distribución tiene un porcentaje de desequilibrio de tensión menor a

3 % y cerca del 2% del sistema de distribución de Estados Unidos tiene un porcentaje de desequilibrio de tensión

mayor al 3%, por lo que se comprueba que el desequilibrio de tensiones es uno de los fenómenos de la calidad

de la potencia eléctrica que más se manifiesta en las instalaciones eléctricas, por lo que mantiene el interés de su

estudio hoy en día.

Cuando un motor eléctrico trifásico trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones, se generan efectos no

deseados sobre las características de la máquina, entre los que se encuentran los siguientes: aumento de las

pérdidas, aumento de la temperatura en los bobinados, disminución del rendimiento, desequilibrio de las

corrientes de línea, disminución de la potencia entregada, disminución del tiempo de vida útil del aislamiento,

etc.

4 Introducción

4

Figura 1.3. Desequilibrio de Tensiones en el sistema de distribución de USA

Para estudiar los casos de sistemas asimétricos se usa el método desarrollado por Fortescue, que descompone el

sistema desequilibrado para poder estudiar y cuantificar, de forma mucho más sencilla, los efectos perjudiciales

que se generan en los motores que trabajan con sistemas trifásicos desequilibrados.

1.3. Magnitud y grados de desequilibrio

La duda que más se genera cuando se trata sobre este tipo de fenómenos es la dificultad de cuantificar el

desequilibrio tanto en las tensiones como en las corrientes.

En el apartado anterior se ha hecho referencia a un concepto llamado PVU, pero realmente no se ha llegado a

desarrollar esa idea en profundidad, por lo que puede resultar confuso.

El desequilibrio son variaciones tanto del módulo valor como del desfase o ángulo que tenga como de ambos,

por lo que es complicado cuantificarlo numéricamente y comprobar cual puede ser más nocivo para un Sistema

eléctrico determinado.

Durante años, la comunidad científica ha trabajado para poder clasificar y caracterizar los desequilibrios de una

forma estandar, con la que todos pudieran trabajar mediante el mismo patrón.

Fue el propio Charles Legeyt Fortescue [4], en 1918, el primero que realize un estudio sistemático sobre los

sistemas de desequilibrio.

En ese articulo propone descomponer el sistema trifásico desequilibrado en tres sistemas trifásicos equilibrados

que poseen la misma magnitud, el sistema de secuencia cero, el sistema de secuencia directa y el sistema de

secuencia inversa. El efecto total sobre el motor se consigue sumando los tres. Además, Fortescue demostró que

el sistema de secuencia cero no genera campo en el entrehierro, por lo que no debe considerarse en la conversión

de potencia.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

<1% <3% >3%

66%

98%

2%

% S

iste

mas

de

Dis

trib

uci

ón

U.S

.A

% Desequilibrio de Tensiones (PVU)

Desequilibrio de Tensiones en el sistema de distribución de USA


5

1.3.1. Indices de desequilibrio

A partir de la idea fundamental de la descomposición de los sistemas trifásicos en los sistemas de secuencia,

también llamados componentes simétricas, se han ido desarrollando ideas y trabajos para poder cuantificar este

desequilibrio.

Distintas asociaciones, comunidades e incluso países han tomado índices distintos para poder valorar el

desequilibrio de sus sistemas eléctricos. A continuación, se resumen los índices más populares y utilizados por

la comunidad científica.

En 1925, R.D. Evans y C.F. Wagner [5] propusieron dos índices para caracterizar el desequilibrio tanto de

tensiones como de corrientes, proponiendo el factor de desequilibrio de tensión VUF (1.1) y el factor de

desequilibrio de corriente CUF (1.2).

Son factores que vinculan la magnitud de la componente de secuencia inversa con la componente de secuencia

directa:

𝑉𝑈𝐹 =|𝑉2|

|𝑉1| (1.1)

𝐶𝑈𝐹 =|𝐼2|

|𝐼1| (1.2)

Donde |𝑉2| es el valor absoluto de la magnitud del fasor de tensión de secuencia inversa y |𝑉1| es el valor

absoluto de la magnitud del fasor de tensión de secuencia directa.

El índice VUF fue aceptado por la comunidad científica y actualmente es usado en Europa, Estados Unidos y

gran parte del mundo.

La National Electrical Manufacturer Association (NEMA) [6] acepta el valor VUF del método de componentes

simétricas, pero además añade un nuevo índice relacionado con motores y generadores, el PVU (1.4), el cual se

menciona ligeramente en el punto 1.2, que se usa de forma alternativa al VUF, usando las tensiones de línea y

calculando la máxima desviación. Este valor está muy difundido en la industria, ya que es un valor fácilmente

calculable.

Siendo 𝑉𝑎𝑏, 𝑉𝑏𝑐, 𝑉𝑐𝑎, los valores R.M.S de las tensiones de línea, el índice PVU se calcularía de la siguiente

manera:

𝑃𝑉𝑈 =𝑀𝐷𝑉

𝑉𝑃∙ 100 (1.4)

6 Introducción

6

Donde:

• VP es la tensión promedio de las tensiones de línea: 𝑉𝑎𝑏+𝑉𝑏𝑐+𝑉𝑐𝑎

3

• MDV es la máxima desviación de tensión: 𝑀𝑎𝑥|𝑉𝑎𝑏 − 𝑉𝑃|, |𝑉𝑏𝑐 − 𝑉𝑃|, |𝑉𝑐𝑎 − 𝑉𝑃|

En 1969, el IEEE Power System Engineering Committee, propone una defición complementaria (1.5) al PVU,

usando la medición de fase-neutro, evitando el uso de las componentes simétricas para simplificar el cálculo.

𝑃𝑉𝑈𝑅 =𝑀𝐷𝑉𝐹

𝑉𝐹𝑃∙ 100 (1.5)

Donde:

• 𝑉𝐹𝑃 es la tension de fase promedio: 𝑉𝑎+𝑉𝑏+𝑉𝑐

3

• 𝑀𝐷𝐹𝑉 es la máxima desviación de la tension de fase: 𝑀𝑎𝑥|𝑉𝑎 − 𝑉𝐹𝑃|, |𝑉𝑏 − 𝑉𝐹𝑃|, |𝑉𝑐 − 𝑉𝐹𝑃|

Siguiendo la cronología de estos factores, en 1990 De Oliveira [7] propone unos índices de estudio añadiendo

el componente de los fasores, y no solo tomando la magnitud del componente en valor absoluto, el grado de

desequilibrio de tensión (1.6) y el grado de desequilibrio de corriente (1.7):

𝐾𝑣 =𝑉2

𝑉1= |

𝑉2

𝑉1|∠𝜃𝑣 = |𝐾𝑣|∠𝜃𝑣 (1.6)

𝐾𝐼 =𝐼2

𝐼1= |

𝐼2

𝐼1| ∠𝜃𝐼 = |𝐾𝐼|∠𝜃𝐼 (1.7)

Como se puede apreciar, los factores de De Oliveira son los mismos que los desarrollados por Fortescue y

Evans, con la diferencia de que el primero usa los fasores con magnitud y ángulo, miestras que los segundos

solo usaban el valor absoluto del fasor.

Por último, en el 2000 Wang [8], propone complementa el factor VUF con el previamente desarrollado por

De Oliveira, creando el CVUF (1.8), usando tanto magnitudes como los ángulos de las secuencias directa

e inversa:

𝐶𝑉𝑈𝐹 =|𝑉2|∠𝜃2

|𝑉1|∠𝜃1= 𝑉𝑈𝐹∠𝜃2 − 𝜃1 (1.8)

Aunque, como se ha comentado con anterioridad, los indices de desequilibrios son muy usados y aceptados por

la comunidad científica, tienen algunos defectos.


7

En concreto, en 1998 Lee [22] presentó 8 ejemplos de desequilibrio que tienen el mismo índice VUF y PVU,

pero presentan diferentes carcterísticas de operación o que poseen el mismo módulo, pero el ángulo es distinto,

cosa que ambos índices son incapaces de medir.

Aún teniendo en cuenta las limitaciones que se observan en estos indices, se van a valorar los efectos del

desequilibrio en los motores de inducción utilizándolos.

1.4. Objetivos del Trabajo

El objetivo fundamental de este trabajo reside en, a partir de los parámetros del modelo de circuito de una

máquina de inducción, desarrollar una aplicación informática capaz de cuantificar las pérdidas energéticas y de

rendimiento que se producen en las máquinas eléctricas que trabajan con desequilibros de tensión y comparar

los efectos que se producen en los motores dependiendo del grado de desequilibrio con el que se esté trabajando.

Para ello usaremos [9] en el que se obtienen los parámetros de motores de inducción a partir de datos de

catálogo..

8 Introducción

8

9

2 DESARROLLO DE LOS

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

En este apartado se van a tratar los fundamentos teóricos que se han usado para realizar este trabajo, incluyendo

modelos, teoremas y ecuaciones necesarias para ello.

2.1. Funcionamiento del motor asíncrono

Los motores asíncronos están fundamentalmente compuestos por dos partes muy características, el rotor, que

puede ser de dos tipos, de jaula de ardilla o bobinado, y el estator, donde se encuentran las bobinas inductoras

trifásicas, que se encuentran desfasadas 120º entre sí en el espacio.

Figura 2.1 Constitución de un motor asíncrono

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que

ignoramos es el océano”

- Sir Isaac Newton -

10 Desarrollo de los Fundamentos Teóricos

10

Según el teorema de Ferraris, cuando circula un sistema de corrientes trifásicas en equilibrio sobre las bobinas

inductoras que se encuentran en el estator, se induce un campo magnético que gira alrededor del rotor, lo cual

produce una tensión eléctrica según la Ley de Inducción de Faraday o Ley de la inducción electromagnética,

que establece lo siguiente: “La tensión inducida en un circuito cerrado es directamente proporcional a la

rapidez con que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito

como borde”.

∮ ⋅𝐶

𝑑𝑙 = −ⅆ

ⅆ𝑡∫ ∙ 𝑑𝐴 𝑠

(2.1)

donde:

• es el campo eléctrico,

• 𝑑𝑙 es el elemento infinitesimal del contorno C,

• es la densidad de campo magnético.

• 𝑑𝐴 es una superficie aleatoria, cuyo borde es C. Ambas direcciones están dadas por la regla de la mano

derecha.

En nuestro caso, teniendo en cuenta las N vueltas de la bobina, la ley de Faraday queda así:

𝜀 = −𝑁ⅆΦ

ⅆ𝑡 (2.2)

La tensión inducida genera una corriente eléctrica que origina el efecto Laplace o efecto motor: “Todo conductor

por el que circula una corriente eléctrica, inmerso en un campo magnético experimenta una fuerza que lo tiende

a poner en movimiento” y el efecto Faraday o efecto generador: “En todo conductor que se mueva en el seno de

un campo magnético se induce una tensión”

Teniendo en cuenta todo lo anterior, el campo magnético, que gira a la velocidad de sincronismo, creado por las

bobinas del estator, corta los conductores del rotor generando una fuerza elecromotriz de inducción.

La actuación del campo giratorio y de las corrientes que circulan por los conductores del rotor, originan una

fuerza electrodinámica, que es la causante del giro del rotor en el motor.

Es imposible que las velocidades de giro del rotor y del campo mágnetico creado por el estator sean las mismas

en este tipo de máquinas, ya que si ambas giraran en sincronismo estaríamos hablando de un motor síncrono,

motores que no presentan pares de arranque, por lo que son necesarios diferentes métodos externos para arrancar

y acelerar la máquina hasta llevarla al punto del sincronismo (se suelen usar las máquinas síncronas como

generadores). Esta diferencia relativa de velocidades se conoce como deslizamiento (s) y es una variable muy

recurrente en el estudio de los motores asíncronos, como se verá más adelante.

https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_inducida

https://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9ctrico

https://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo

https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_magn%C3%A9tico

https://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)

https://es.wikipedia.org/wiki/Densidad_de_campo_magn%C3%A9tico

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_mano_derecha

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_mano_derecha


11

2.2. Teorema de Fortescue para Sistemas Desequilibrados

El estudio de un circuito trifásico equilibrado no suele tener excesiva complejidad, ya que puede ser analizado

mediante el denominado “equivalente monofásico”, con el cual se consigue la misma solución, pero de forma

mucho más sencilla. Pero el análisis es mucho más complejo cuando el circuito no es simétrico.

En las figuras se puede observar un ejemplo de circuito equivalente monofásico (izquierda) y un ejemplo de un

circuito trifásico estrella-estrella (derecha).

Figura 2.2 Circuito monofásico equivalente Figura 2.3 Circuito trifásico conexión estrella-estrella

Un circuito puede ser asimétrico o desequilibrado por varias razones:

• Cuando la fuerza electromotriz inducida de los generadores de alimentación no son las adecuadas, es

decir, mismo valor absoluto y un desfase de 120º entre ellas.

• Cuando las cargas del sistema o las impedancias de red están desbalanceadas

Sea cual sea el motivo del desequilibrio, trabajar con sistemas así es complejo y tedioso, además de que producen

efectos nocivos tanto en las máquinas como en el sistema eléctrico en sí.

Para el análisis de estos circuitos, Charles Legeyt Fortescue presentó en 1918 su trabajo, con el cual se puede

descomponer un sistema desequilibrado en varios sistemas equilibrados, asimismo nombrados componentes

simétricas del sistema inicial. Esta última denominación es la que da nombre al método.

La idea básica del método es considerar que todo circuito trifásico desequilibrado puede ser expresado como la

suma o composición de tres sistemas simétricos, los cuales son mucho más sencillos de resolver que el problema

inicial. Aunque este método pueda dar solución a sistemas polifásicos, este trabajo se centrará en el uso del

teorema en los circuitos trifásicos y son especialente utiles en el análisis del rendimiento de maquinaria eléctrica

cuando trabaja con sistemas de tensiones desbalanceados.


12

2.2.1. Secuencia de fases

Al tratarse de sistemas de corriente alterna en circuitos trifásicos, se debe de fijar la idea de orden o secuencia

de fases.

Si se toman tensiones senoidales de una frecuencia cualquiera, la tensión de una fase del generador alcanza un

cierto punto de su ciclo, por ejemplo, un máximo positivo, en un instante dado. Un cierto instante más tarde, la

tensión de otra fase alcanza el mismo punto de su ciclo, y lo mismo sucede con la tercera fase.

Si el máximo de la tensión de la fase A, es seguido por el máximo de la fase B, y a su vez por el máximo de la

fase C, se dice que el orden de fases es ABC.

Por el contrario, si el máximo de la tensión de la fase A es seguido por el máximo de la fase C y luego por la

fase B, se dice que el orden de fases es ACB.

El sentido de rotación de los fasores que se define como el normal internacionalmente es el antihorario. En la

figura 2.4 se representan tanto el sistema ABC como el ACB, ambos equilibrados.

Figura 2.4 Secuencia de fases, tanto directa como inversa

Además de estos dos sistemas, se utiliza un tercero en el que las fases pulsan al tiempo, demoninado secuencia

cero.

2.2.2. Teorema de las componentes simétricas para tensiones de fase

También conocido como el teorema de Fortescue, es el utilizado en la simplificación de sistemas desequilibrados

para su posterior resolución.

Este teorema aplicado a un sistema de tres vectores, como puede ser el diagrama fasorial de tensiones de un

circuito trifásico, genera la descomposición del primero en tres sistemas diferentes:


13

• Sistema de secuencia directa o positiva, con la misma secuencia de fases que el inicial (ABC).

• Sistema de secuencia inversa o negativa, con la secuencia de fases contraria a la original (ACB).

• Sistema de secuencia homopolar, tres fasores monofásicos con la misma magnitud y fase.

Teniendo en cuenta que la terna asimétrica se puede dividir en tres ternas simétricas, se pueden trabajar con este

trío de sistemas como si fueran unos sistemas equilibrados, empleando el equivalente monofásico, y aplicando

el principio de superposición, hayando la solución del sistema desequilibrado.

Se puede indicar el teorema de Fortescue de forma matricial, tal y como se observa a continuación:

(

𝑉𝑎𝑉𝑏

𝑉𝑐

) = (1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

)(

𝑉𝑎0

𝑉𝑎1

𝑉𝑎2

) (2.3)

Donde:

• 𝑎 se denomina como vector operador de giro y tiene un valor de 1120°.

• (𝑉𝑎𝑉𝑏

𝑉𝑐

) son las tensiones trifásicas de fase desequilibradas.

• (

𝑉𝑎0

𝑉𝑎1

𝑉𝑎2

) son las tensiones de componentes simétricas de fase.

Desarrollando ese sistema matricial se puede obtener el valor de las componentes simétricas para unos valores

de tensiones desequilibradas iniciales, quedando el sistema matricial de la siguiente forma:

(

𝑉𝑎0

𝑉𝑎1

𝑉𝑎2

) =1

3(1 1 11 𝑎 𝑎2

1 𝑎2 𝑎)(

𝑉𝑎𝑉𝑏

𝑉𝑐

) (2.4)

Para las corrientes eléctricas, el teorema sigue la misma norma, simplemente sustituyendo las tensiones por las

intensidades, como se puede ver a continuación:

(0𝐼1𝐼2

) =1

3(1 1 11 𝑎 𝑎2

1 𝑎2 𝑎)(

𝐼𝑎𝐼𝑏𝐼𝑐

) (2.5)


14

2.2.3. Teorema de las componentes simétricas para tensiones de línea

En el caso del teorema de las componentes simétricas para tensiones de línea el sistema matricial queda de

la siuiente forma:

(

𝑉𝑎𝑏

𝑉𝑏𝑐

𝑉𝑐𝑎

) = (1 1 11 𝑎2 𝑎1 𝑎 𝑎2

)(

𝑉0

𝑉1

𝑉2

) (2.6)

Donde las tensiones de línea se definen como se puede observar a continuación:

𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 ; 𝑉𝑏𝑐 = 𝑉𝑏−𝑉𝑏 ; 𝑉𝑐𝑎 = 𝑉𝑐 − 𝑉𝑎 (2.7)

El resto del apartado anterior se puede tratar de la misma forma si se tienen en cuenta los datos que se acaban

de desarrollar.

Por otro lado, la relación de la tensión simétrica de fase y de línea, partiendo de la suposición de que nuestra

secuencia es a-b-c, es la siguiente:

𝑉𝑎1 = (𝑉1

√3)∠ − 30° (2.8)

2.3. Elementos necesarios para el estudio

Para poder calcular las pérdidas de un motor cuando trabaja con un sistema desequilibrado de tensión y, por

ende, calcular las variaciones de rendimiento entre máquinas eléctricas que funcionan de forma equilibrada

respecto a las máquinas que trabajan con sistemas asimétricos, necesitamos dos valores específicos muy

importantes, la impedancia equivalente del circuito y la corriente que circula por ella.


15

2.3.1. Impedancias de secuencia

Las impedancias de secuencia son determinadas por los circuitos equivalentes, ya sea la impencia de secuencia

directa como la de secuencia inversa.

Figura 2.5 Circuito equivalente de secuencia directa Figura 2.6 Circuito equivalente de secuencia inversa

En las dos figuras de arriba se puede observar el circuito equivalente de secuencia directa (figura 1.8) y el circuito

equivalente de secuencia inversa (figura 1.9).

Los valores de reactancias y resistencias que se ven en las figuras son datos intrínsecos de cada motor. La parte

del estator es la misma para ambas secuencias, mientras que los valores relativos a las características del rotor

varían de una a otra. Esto sucede debido a que los valores de 𝑋𝑟′ y 𝑅𝑟

′ dependen de la frecuencia, la cual es mayor

cuando el rotor gira de forma inversa debido al aumento del par eléctrico. Por ello el valor de la resistencia

rotórica aumenta cuando el rotor trabaja de forma inversa y la reactancia rotórica disminuye.

Según el trabajo de Miloje M. Kostic [13], el valor de las resistencias y reactancias rotóricas de la secuencia

inversa se puede obtener a partir de las resistencias y reactancia rotóricas de la secuencia directa de la siguiente

forma:

𝑅𝑟′ = 𝑅𝑟 ∙ √2 (2.9)

𝑋𝑟′ = 𝑋𝑟 √2⁄ (2.10)

Con estos valores, se pueden obtener el valor, tanto de la impedancia de secuencia directa:

𝑍1 = [𝑅𝑠 +𝑅𝑟𝑠

∙𝑋𝑚2

(𝑅𝑟𝑠

)2+(𝑋𝑟+𝑋𝑚)2

] + 𝑗 [𝑋𝑠 +(𝑅𝑟𝑠

)2∙𝑋𝑚+𝑋𝑟∙𝑋𝑚∙(𝑋𝑟+𝑋𝑚)

(𝑅𝑟𝑠

)2+(𝑋𝑟+𝑋𝑚)2

] (2.11)


16

Como inversa:

𝑍2 = [𝑅𝑠 +𝑅𝑟′

2−𝑠∙𝑋𝑚

2

(𝑅𝑟′

2−𝑠)2

+(𝑋𝑟′+𝑋𝑚)

2] + 𝑗 [𝑋𝑠 +

(𝑅𝑟′

2−𝑠)2

∙𝑋𝑚+𝑋𝑟′∙𝑋𝑚∙(𝑋𝑟

′+𝑋𝑚)

(𝑅𝑟′

2−𝑠)2

+(𝑋𝑟′+𝑋𝑚)

2] (2.12)

Donde:

• 𝑅𝑠 es el valor de la resistencia estatórica cuando la máquina está trabajando en secuencia directa.

• 𝑅𝑟 es el valor de la resistencia rotórica cuando la máquina está trabajando en secuencia directa.

• 𝑋𝑚 es la reactancia de la rama de magnetización.

• 𝑋𝑠 es el valor de la reactancia estatórica cuando la máquina está trabajando en secuencia directa.

• 𝑋𝑟 es el valor de la reactancia rotórica cuando la máquina está trabajando en secuencia directa.

• 𝑠 es el deslizamiento al que está trabajando el motor.

• 𝑅𝑟′ es el valor de la resistencia rotórica cuando la máquina está trabajando en secuencia inversa.

• 𝑋𝑟′ es el valor de la reactancia rotórica cuando la máquina está trabajando en secuencia inversa.

En el caso que se presenta en este trabajo, se han tomado estos valores intrinsecos de cada motor a partir de [9]

2.3.2. Intensidades de Secuencia

La corriente es el apartado más crucial cuando se trata de estudiar la pérdida de potencia y energía que ocurre

en cualquier tipo de circuito.

En este caso, se necesitan calcula las intensidades que recorren tanto el circuito equivalente de secuencia directa

como el de secuencia inversa. Para ello, teniendo en cuenta el cálculo de las impedancias de secuencia del

apartado anterior, (2.11) y (2.12), podemos calcular las intensidades de secuencia directa e inversa de la siguiente

forma:

𝐼1 = 𝑉𝑓1

𝑍1 ; 𝐼2 =

𝑉𝑓2

𝑍2 (2.13)


17

Donde:

• 𝑉𝑓1 es la tensión de fase de la secuencia directa.

• 𝑉𝑓2 es la tensión de fase de la secuencia inversa.

• 𝐼1 es la corriente de la secuencia directa.

• 𝐼2 es la corriente de la secuencia inversa.

2.3.3. Diagrama y balance energético

Figura 2.7

Las máquinas eléctricas son menos eficientes cuando trabajan con sistemas desequilibrados, como podemos

observar en la grafica anterior, en la que se detallan todas las pérdidas ocasionadas en un motor de inducción

cuando opera en condiciones asimétricas, obtenidas mediante los circuitos equivalentes de secuencia directa e

inversa que se han relatado anteriormente en este trabajo (Figuras 2.5 y 2.6).


18

Desgranando los valores observados, la potencia de entrada al motor tiene dos componentes, 𝑃1 y 𝑃2, que son

las potencias activas de la secuencia directa e inversa respectivamente, mientras que la potencia que sale del

motor, la potencia que realmente es útil y que sirve para realizar la función para la que se usa el motor, es la

potencia que la máquina es capaz de transmitir al eje, dicha potencia de salida se denomina 𝑃𝑒𝑗𝑒.

En el funcionamiento estándar de un motor de inducción con un sistema equilibrado, en el que el rotor siempre

gira en el mismo sentido del campo electromagnético que genera el estator, las pérdidas que se producen son

debidas al efecto Joule, tanto en el estator como en el rotor, las pérdidas del circuito magnético de la máquina y

las pérdidas mecánicas de fricción y ventilación que se producen en los motores cuando se transforma energía

en trabajo. Pero en el caso de que la máquina funcione con un sistema asimétrico de tensiones se generan unas

pérdidas adicionales, las que ocasiona el motor cuando trabaja en secuencia inversa, ya que, como se vió en el

apartado 2.2.1, el sentido de rotación de fasores de este sistema es el contrario al del funcionamiento normal, lo

que se traduce en la generación de un par contrario al sentido normal de la máquina, un par que “frena” la

rotación y que se caracterizan como pérdidas, ya que, obviamente, el motor trabajaría de una forma más óptima

si no existiera este par que se opone al giro normal.

Por lo tanto, cuando el motor de inducción trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones, se tiene en cuenta

la transformación de ese sistema en un sistema de componentes simétricas que contiene el sistema de secuencia

directa y de secuencia inverso. El primero sigue la misma forma de operación que un sistema equilibrado,

mientras que, con el segundo, todas las potencias que se generan con este sistema se consideran pérdidas,

incluida la potencia mecánica que pudiera producir, ya que esta se opone al funcionamiento de la máquina.

Se pueden dividir las pérdidas del motor según donde se produzcan, ya sea en el estator o en el rotor, y también

según en la secuencia que se produzcan, directa o inversa. Siguiendo este patrón, se van a separar a continuación

las pérdidas según la primera opción.

2.3.4. Pérdidas en funcionamiento desequilibrado y rendimiento

En el estator se producen pérdidas debidas al efecto Joule, se pueden separar en las pérdidas debidas al

funcionamiento de la máquina en secuencia directa e inversa, por lo que usando los circuitos equivalentes de las

figuras 2.5 y 2.6 se obtienen las ecuaciones para las potencias Joule en secuencia directa e inversa (2.14)

respectivamente:

𝑃𝑗1𝑠 = 3 ∙ 𝑅𝑠 ∙ 𝐼12

(2.14)

𝑃𝑗2𝑠 = 3 ∙ 𝑅𝑠 ∙ 𝐼22


19

Las pérdidas en el núcleo de la máquina se pueden representar de la siguiente forma, separando el valor referido

a la secuencia directa y a la secuencia inversa (2.15).

Hay que tener en cuenta que estas pérdidas, dependiendo del procedimiento de cálculo, se pueden no tener en

cuenta, por ellos en algunas figuras de circuitos no se tiene en cuenta la 𝑅𝑓𝑒 y solo se cuenta la 𝑋𝑚:

𝑃𝑓𝑒1 = 3 ∙𝜀12

𝑅𝑓𝑒

(2.15)

𝑃𝑓𝑒2 = 3 ∙𝜀22

𝑅𝑓𝑒

Donde la fuerza electromotriz (𝜀) se obtiene de las siguientes relaciones:

𝜀1 = 𝑈1 − 𝑍𝑠𝐼1

(2.16)

𝜀2 = 𝑈2 − 𝑍𝑠𝐼2

Además, es necesario conocer la potencia en el entrehierro (2.17):

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ1 = 𝑃1 − 𝑃𝑗1𝑠 − 𝑃𝑓𝑒1

(2.17)

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ2 = 𝑃2 − 𝑃𝑗2𝑠 − 𝑃𝑓𝑒2

Donde 𝑃1 y 𝑃2 son las potencias de entrada en secuencia positiva y negativa.

A partir del valor de la potencia en el entrehierro se puede calcular tanto la potencia joule de pérdidas en el rotor

(2.18), como la potencia mecánica de salida del rotor (2.19) y se puede observar que ambas guardan una relación

directa con el deslizamiento (s) con el que está trabajando la máquina.

La primera, para ambas secuencias, se obtienen a continuación:

𝑃𝑗1𝑟 = 𝑠 ∙ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ1

(2.18)

𝑃𝑗2𝑟 = (2 − 𝑠) ∙ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ2


20

Mientras que la segunda, para ambas secuencias, se calcula de la siguiente forma:

𝑃𝑚𝑒𝑐1 = (1 − 𝑠) ∙ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ1 (2.19)

𝑃𝑚𝑒𝑐2 = (2 − 𝑠 − 1) ∙ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ2

Estas ecuaciones cumplen con la otra posibilidad de calcular esos valores, como se puede ver tanto en las

ecuaciones (2.20) como en las (2.21).

Asi que el valor de la potencia en el entrehierro se puede obtener con las siguientes ecuaciones:

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ1 = 3 ∙𝑅𝑟

𝑠∙ 𝐼1

2

(2.20)

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ2 = 3 ∙𝑅𝑟

′

2 − 𝑠∙ 𝐼2

2

Mientras que la potencia mecánica convertida por cada secuencia quda definida de la siguiente manera:

𝑃𝑚𝑒𝑐1 = 3 ∙ 𝑅𝑟 ∙ (1 − 𝑠

𝑠) ∙ 𝐼1

2

(2.21)

𝑃𝑚𝑒𝑐2 = 3 ∙ 𝑅𝑟′ ∙ (

𝑠 − 1

2 − 𝑠) ∙ 𝐼2

2

Teniendo en cuenta las pérdidas mecánicas por fricción y ventilación, las cuales serán un valor constante y

predeterminado por el fabricante, se consigue obtener el valor de la potencia mecánica de salida en el eje (2.22),

para secuencia directa, a partir de la ecuación (2.19):

𝑃𝑒𝑗𝑒1 = 3 ∙ 𝑅𝑟 ∙ (1−𝑠

𝑠) ∙ 𝐼1

2 − 𝑃𝑓𝑣 (2.22)

Además, la potencia mecánica que genera el motor cuando trabaja con secuencia negativa (2.19), se puede

observar que el valor de la potencia de salida total (2.23) es la suma de ambas potencias mecánicas y restando

el valor de las pérdidas por fricción y ventilación:

𝑃𝑒𝑗𝑒 = 3 ∙ 𝑅𝑟 ∙ (1−𝑠

𝑠) ∙ 𝐼1

2 + 3 ∙ 𝑅𝑟′ ∙ (

𝑠−1

2−𝑠) ∙ 𝐼2

2 − 𝑃𝑓𝑣 (2.23)


21

En la ecuación anterior, a priori, se podría observar una incongruencia, ya que al principio de este apartado se

comentó que toda la potencia utilizada, malgastada o generada por el motor de inducción en la secuencia inversa

se considera pérdida al realizar el balance energético (en la figura 2.7 se puede analizar gráficamente este

razonamiento). Pero, en la ecuación de la potencia de salida total de la máquina (2.23), el término

correspondiente a la potencia en el eje generada por la secuencia inversa este sumando, por lo que, inicialmente,

estaría aportando energía y no causando pérdidas.

Este problema se puede explicar de la siguiente forma, el motor de inducción en su zona de operación, trabaja

en torno a unos valores de deslizamiento estandarizados, entre 0.01 y 0.05 aproximadamente, por lo que si esos

valores se sustituyeran en la ecuación (2.23) se obtendría que en esa zona de funcionamiento el valor de la

potencia mecánica generada por la secuencia inversa tendría un valor negativo, es decir, que estaría

disminuyendo el valor de la potencia de salida total de la máquina, tal y como se preveía inicialmente, y

disipándose en forma de pérdidas en el cobre del circuito equivalente de secuencia inversa.

Este valor negativo de la potencia mecánica generada por la secuencia inversa (2.19), se puede interpretar como

la potencia que el motor gasta en vencer el par producido por el flujo mágnetico de secuencia negativa, que al

girar de forma contraria al giro en funcionamiento normal, se opone al movimiento del rotor, por lo que produce

un aumento de pérdidas respecto al funcionamiento de motor con un sistema equilibrado, ya que cuando el

sistema es simétrico, no existe secuencia inversa, por lo que se reducen las pérdidas de forma considerable, tema

sobre el que versará el siguiente capítulo del trabajo.

Relacionando todo lo mencionado anteriormente, y tomando un valor medio del deslizamiento en el punto de

funcionamiento del motor, se puede reducir y simplificar la ecuación (2.23) a una más simple:

𝑃𝑒𝑗𝑒 ≈ 3 ∙ 𝑅𝑟 ∙ (1−𝑠

𝑠) ∙ 𝐼1

2 −3

2∙ 𝑅𝑟

′ ∙ 𝐼22 − 𝑃𝑓𝑣 (2.24)

Demostrando que el desequilibrio de tensiones tiene un efecto sobre la reducción de la potencia de salida del

motor. Teniendo en cuenta que el valor aproximado ‘3

2’ es un valor independiente del valor de deslizamiento, se

puede observar que el efecto de reducción será más notorio cuando a máquina opere a una potencia menor que

la potencia nominal.

Las pérdidas totales del motor de inducción (2.25) es la suma de todos los efectos que se han estudiado en este

apartado, quedando de la siguiente forma:

𝑃𝑝𝑒𝑟ⅆ𝑇 = 3 ∙ (𝑅𝑠 ∙ 𝐼12 + 𝑅𝑚 ∙ 𝐼𝑚1

2 + 𝑅𝑟 ∙ 𝐼12 + 𝑅𝑠 ∙ 𝐼2

2 + 𝑅𝑚 ∙ 𝐼𝑚22 + 𝑅𝑟

′ ∙ 𝐼22) + 𝑃𝑓𝑣 (2.25)


22

Y la eficiencia del motor (2.26), cuando trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones, queda definida en

la siguiente ecuación:

𝜂 =𝑃𝑒𝑗𝑒

𝑃1+𝑃2=

𝑃𝑒𝑗𝑒

𝑃𝑒𝑗𝑒+𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑇 (2.26)

Sabiendo que el valor de las pérdidas totales es mayor cuando se trabaja con un sistema desequilibrado, ya que

hay que sumar a la energía que se disipa de forma normal en el motor, las pérdidas del mismo en secuencia

inversa, el rendimiento de la máquina que funciona con un sistema asimétrico de tensiones disminuye cuanto

mayor sea el desequilibrio con el que trabaja.

En el próximo capítulo se desarrollará esta teoría a efectos prácticos, usando un motor tipo para definir

numéricamente este hecho.


23


24

25

3 DESARROLLO PRÁCTICO

Como se ha mencionado al final del capítulo anterior, a continuación, se van a desarrollar las ideas teóricas

expuestas en el apartado precedente.

Para ello, se va a trabajar con dos motores distintos y con dos metodologías distintas. La primera seguirá el

estudio de J.E Williams [1], mientras que la segunda toma como referencia a [12] Enrique Ciro Quispe Oqueña

y su tesis sobre el efecto del desequilibrio en ls máquinas eléctricas.

3.1. Método sin tener en cuenta las pérdidas en el hierro

En este caso se va a usar un motor de inducción con rotor doble jaula de ardilla, para darle un alto par de arranque

con corrientes de arranque moderadas. Dicha máquina posee las siguientes características:

• Potencia de 7.355 kW

• Funciona a 220 V

• Tiene 2 pares de polos

• Rendimiento del 89.96%

Además, el motor está conectado en estella y trabaja a plena carga, por lo que las resistencias y reactancias del

circuito equivalente serán las mostradas en la tabla 3.1:

“El hecho fundamental nunca falla; su prueba siempre

es verdadera.”

- Michael Faraday -

26 Desarrollo práctico

26

Tabla 3.1 Impedancias relativas al motor de inducción

Tipo de impedancia Valor en Ohmios por cada

fase

𝑅𝑠 (resistencia del estator) 0.153 Ω

𝑋𝑠 (reactancia del estator) 0.500 Ω

𝑋𝑀 (reactancia de la rama

de magnetización) 14.3 Ω

𝑅𝑟 (reactancia del rotor en

secuencia directa) 0.188 Ω

𝑅𝑟′ (reactancia del rotor en

secuencia inversa) 0.507 Ω

𝑋𝑟 (reactancia del rotor en


𝑋𝑟′ (reactancia del rotor en


Usando las ecuaciones (10) y (11) que se desarrollaron en el capítulo anterior para determinar las impedancias

de secuencia directa e inversa en un motor de inducción y sustituyendo los valores anteriores de la máquina que

se está usando como ejemplo, usando un deslizamiento (s) de 0.04, se obtiene lo siguiente:

𝑍𝑒𝑞1 = 𝑅𝑒𝑞1 + 𝑋𝑒𝑞1 = 4.0145 + 2.4268𝑗 = 4.691 ∠31.153° Ω (3.1)

𝑍𝑒𝑞2 = 𝑅𝑒𝑞2 + 𝑋𝑒𝑞2 = 0.3950 + 0.9705𝑗 = 1.048 ∠67.853° Ω (3.2)

Estos cálculos se han generado usando el programa matlab Anexo I, este y todos los demás scripts usados en

este trabajo se añadirán en el apartado de anexos.

Teniendo los valores de las impedancias, se toma un valor aleatorio de desequilibrio de tensiones, para poder

calcular los efectos en el motor de inducción.


27

Para este caso se va a tomar un VUF del 10%, por lo que la tensión de fase de secuencia negativa, teniendo en

cuenta la ecuación (1.1) y que se esta trabajando a 220 V a plena carga, queda de la siguiente manera:

𝑉2𝑓 = 0.1 ∙220

√3= 12.7 𝑉 (3.3)

A partir de ese valor de tensión y sabiendo el valor de la impedancia de secuencia negativa, se puede calcular el

valor de la corriente de secuencia negativa, como se puede observar a continuación:

𝐼2 =𝑉2𝑓

𝑍2=

12.7

1.048= 12.12 𝐴 (3.4)

𝐼1 =𝑉2𝑓

𝑍2=

127.02

4.691= 27.08 𝐴 (3.5)

Además, se ha calculado el valor de la intensidad de corriente de secuencia positiva, ya que sabiendo el valor

del VUF (10%) podemos obtener el valor de 𝑉1𝑓, mientras que el valor de la impedancia de secuencia directa se

ha calculado con anterioridad.

Esa corriente 𝐼2 es la que genera las pérdidas del motor en secuencia inversa, ya sea como pérdidas Joule o como

potencia que genera el par creado por el motor en secuencia negativa que se opone al movimiento normal del

campo.

Usando tanto la corriente de secuencia inversa como el valor de resistencia del estator, se pueden obtener las

pérdidas de Joule generadas por la secuencia negativa en el motor siguiendo la ecuación (13.2).

𝑃𝑗2𝑠 = 3 ∙ 𝑅𝑠 ∙ 𝐼22 = 3 ∙ 0.153 ∙ 12.122 = 67.425 𝑊 (3.6)

En el trabajo de J.E. Williams se indica que reduce el circuito a una impedancia equivalente, (3.1) y (3.2), la cual

esta formada el valor de la impedancia del estator más el paralelo de la impendancia del rotor con la reactancia

de magnetización.

Por lo tanto, se puede considerar que la potencia del entrehierro, la potencia que le llega al rotor, se obtiene de

la siguiente forma:

𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ = 3 ∙ (𝑅𝑒𝑞2 − 𝑅1) ∙ 𝐼22 (3.7)

Donde el valor de la resistencia utilizada es el valor de la resistencia equivalente del circuito completo menos la

resistencia estatórica.


28

Por otro lado, sabiendo que las pérdidas en el entrehierro y las pérdidas Joule en el rotor estan relacionadas (3.8)

de la siguiente manera:

𝑃𝑗2𝑟 = (2 − 𝑠) ∙ 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒ℎ (3.8)

Se obtiene el siguiente valor de pérdidas Joule en el rotor (3.9) del motor de inducción cuando trabaja en

secuencia inversa:

𝑃𝑗2𝑟2 = (2 − 𝑠) ∙ 3 ∙ (𝑅𝑛𝑒𝑔 − 𝑅1) ∙ 𝐼22 = 1.96 ∙ 3 ∙ 0.242 ∙ 12.122 = 209.025 𝑊 (3.9)

Por lo tanto, sumando (3.6) y (3.9), se obtienen el total de las pérdidas de secuencia inversa (3.10) del estator y

del rotor cuando el motor trabaja con un sistema desequilibrado con un VUF del 10%.

𝑃𝑛𝑒𝑔 = 276.45 𝑊 (3.10)

Estas pérdidas son adicionales a las pérdidas del motor cuando funciona en secuencia directa, por lo que es

necesario obtener el valor de dichas pérdidas para poder estudiar los resultados.

Con los datos iniciales podemos calcular las pérdidas cuando la máquina trabaja a plena carga con un sistema

equilibrado de tensiones (3.11):

𝑃𝑒𝑞 = 𝑃𝑁 ∙ (1

𝜂− 1) = 820 𝑊 (3.11)

Usando las mismas ecuaciones anteriores, pero para calcular las pérdidas del sistema directo, se obtienen los

siguientes resultados:

𝑃𝑗1𝑠 = 3 ∙ 𝑅𝑠 ∙ 𝐼12 = 3 ∙ 0.153 ∙ 27.082 = 336.60 𝑊 (3.12)

𝑃𝑗1𝑟 = 3 ∙ 𝑠 ∙ (𝑅𝑒𝑞1 − 𝑅1) ∙ 𝐼22 = 3 ∙ 0.04 ∙ 3.857 ∙ 27.082 = 339.40 𝑊 (3.13)

Donde (3.12) y (3.13) son las pérdidas de secuencia directa en el estator y en el rotor respectivamente.

Sumando ambas se consiguen las pérdidas totales de secuencia directa (3.14):

𝑃1 = 676 𝑊 (3.14)

Entonces, simplemente con sumar tanto las pérdidas de secuencia directa como las de secuencia inversa, se


29

obtienen las pérdidas cuando el motor trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones (3.15)

𝑃𝐷𝑒𝑠𝑞𝑇 = 952.46 𝑊 (3.15)

Y el rendimiento (3.16) de la máquina cuando trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones es el siguente:

𝜂(%) =𝑃𝑁

𝑃𝑁+𝑃𝐷𝑒𝑠𝑞𝑇∙ 100 = 88.73 (3.16)

3.2. Conclusión del primer caso

Estudiando los resultados obtenidos en el apartado anterior se puede observar el aumento considerable de

pérdidas cuando el motor trabaja con un sistema desequilibrado de tensiones.

En primer lugar, se puede analizar lo importante que es el estudio de la secuencia inversa, ya que para el caso

particular que se ha realizado, cuando se trabaja con un VUF del 10% en el motor que se ha utilizado, causan

unas pérdidas de secuencia negativa de 276.5 W, lo que es un 33.72% de las pérdidas ocasionadas por el motor

cuando trabaja a pleno rendimiento con un sistema equilibrado.

Por otro lado, si se estudian las pérdidas del sistema asimétrico (3.15) se observa un aumento del 13.9% con

respecto a las pérdidas cuando el motor trabaja con un sistema equilibrado (3.11) con un VUF del 10%.

Los resultados respecto al rendimiento también son exclarecedores, ya que disminuye aproximadamente un

1.2 %

Con estos resultados, se plasma la importancia de controlar el desequilibrio en la red eléctrica, ya que el aumento

de las pérdidas con respecto al desequilibrio es considerable.


30

3.3. Método teniendo en cuenta las pérdidas en el hierro

Para este segundo caso se van a estudiar los efectos del desequilibrio en las pérdidas teniendo en cuenta las

pérdidas que se producen en el nucleo a partir de la fuerza electromotric (𝜀), tal y como se ha desarrollado

teóricamente en el capítulo 2.

Para este caso, se van a utilizar modelos de circuitos equivalentes que tengan en cuenta las pérdidas que ocurren

en la rama de magnetización y, a partir del equivalente Thévenin del circuito, obtener la impedancia equivalente

y obtener los valores necesarios para estudiar los efectos del desequilibrio.

En la figura 3.1 se puede observar un ejemplo de un circuito que tiene en cuenta la resistencia de magnetización,

en este caso para secuencia directa.

Figura 3.1 Modelo motor inducción

Basando los siguientes cálculos en la teoría desarrollada en el apartado 2.3.4, y usando los siguientes datos del

catálogo de motores desarrollado por Ismael Morera [14] se llegan a los siguientes resultados que se verán a

continuación.

En este caso se va a usar un motor de inducción con rotor doble jaula de ardilla. Dicha máquina posee las

siguientes características:

• Potencia de 11 kW

• Funciona a 400 V

• Tiene 2 pares de polos

• Rendimiento del 92%

• Deslizamiento (s) de 0.0166


31

Además, el motor está conectado en estella y trabaja a plena carga, por lo que las resistencias y reactancias del

circuito equivalente serán las mostradas en la tabla 3.2:

Tabla 3.2 Impedancias relativas al motor de inducción teniendo en cuenta la resistencia de magnetización.

Tipo de impedancia Valor en Ohmios por cada

fase

𝑅1 (resistencia del estator) 0.3495 Ω

𝑋1 (reactancia del estator) 2.757 ∙ 𝑒−16Ω

𝑋𝑀 (reactancia de la rama


𝑅2 (reactancia del rotor en


𝑅2′ (reactancia del rotor en


𝑋2 (reactancia del rotor en


𝑋2′ (reactancia del rotor en


𝑅𝑐 (resistencia de la rama


Sabiendo tanto los valores de resistencias y reactancias del motor y los parámetros de potencia, voltaje y demás,

se desarrolla el cálculo de las pérdidas del motor como se muestra a continuación.

Inicialmente se obtiene la impedancia equivalente, a partir de las impedancias de estator (3.3.1) y del rotor tanto

en secuencia directa como en secuencia inversa (3.3.2).

𝑍𝑠 = 𝑅1 + 𝑗𝑋1 (3.3.1)

𝑍1𝑟 = 𝑅2 + 𝑗𝑋2

(3.3.2)

𝑍2𝑟 = 𝑅2′ + 𝑗𝑋2

′


32

Donde, si realizamos el paralelo en la rama de magnetización (3.3.3) (siguiendo el esquema de la figura 3.1), se

puede llegar a la siguiente conclusión:

𝑍𝑝 =𝑅𝑐∙𝑗𝑋𝑀

𝑅𝑐+𝑗𝑋𝑀 (3.3.3)

Por lo que la impedancia equivalente de secuencia directa e inversa (3.3.4) se obtienen de la siguiente manera:

𝑍𝑒𝑞1 = 𝑍𝑠 +𝑍𝑝∙𝑍1𝑟

𝑍𝑝+𝑍1𝑟= 9.4924 + 6.7146𝑗 = 11.6271∠35.274°

(3.3.4)

𝑍𝑒𝑞2 = 𝑍𝑠 +𝑍𝑝∙𝑍2𝑟

𝑍𝑝+𝑍2𝑟= 0.4989 + 1.3908𝑗 = 1.4776∠70.266°

Realizando los cálculos en el capítulo Anexos II del apartado anexos.

Teniendo el valor de las impedancias equivalentes y siguiendo el procedimiento detallado en el apartado 2.3.4,

se puede desarrollar la obtención de las pérdidas del motor para cada secuencia.

Inicialmente, se va a tomar un VUF del 10%, igual que el del caso anterior, y a continuación, se obtienen las

tensiones de entrada tanto para secuencia directa como de secuencia inversa respectivamente (3.3.5), obtenidas

a partir de la ecuación del VUF (1.1) necesarias para los cálculos posteriores:

𝑈1 = 400 𝑉 ; 𝑈2 = 40 𝑉 (3.3.5)

A partir de esas tensiones, se pueden obtener también las intensidades de secuencia (3.3.6):

𝐼1 =𝑈1𝑓

𝑍𝑒𝑞1= 16.2153 − 11.4701𝑗 = 19.86∠ − 35.274°

(3.3.6)

𝐼2 =𝑈2𝑓

𝑍𝑒𝑞2= 5.2776 − 14.7117𝑗 = 15.629∠ − 70.265°

Usando ese valor de las intensidades, se consiguen los valores de las potencias, tanto de entrada (3.3.7), como

de las pérdidas en cada secuencia.

𝑃1 = √3 ∙ 𝑈1𝐼1 cos𝜑1 = 11234 𝑊

(3.3.7)

𝑃2 = √3 ∙ 𝑈2𝐼2 cos𝜑2 = 365.65 𝑊


33

Mientras que el valor de la fuerza electromotriz (3.3.8) se obtiene de la siguiente forma:

𝜀1 = 𝑈1 − 𝑍𝑠 ∙ 𝐼1 = 394.33𝑒 + 4.0085𝑗

(3.3.8)

𝜀2 = 𝑈2 − 𝑍𝑠 ∙ 𝐼2 = 38.1556 + 5.1413𝑗

El cual es necesario para obtener las pérdidas en el hierro (3.3.9), tal y como se puede observar en la siguiente

ecuación:

𝑃𝑓𝑒1 =3 ∙ 𝜀1

2

𝑅𝑐= 501.674 𝑊

(3.3.9)

𝑃𝑓𝑒2 =3 ∙ 𝜀2

2

𝑅𝑐= 4.782 𝑊

Además, se debe obtener el valor de las pérdidas Joule tanto en el estator (3.3.10) como en el rotor (3.3.11)

para desarrollar las pérdidas en el entrehierro (3.3.12):

𝑃𝑗𝑠1 = 3 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐼12 = 413.6 𝑊

(3.3.10)

𝑃𝑗𝑠2 = 3 ∙ 𝑅1 ∙ 𝐼22 = 256.11 𝑊

𝑃𝑗𝑟1 = 𝑠 ∙ 𝑃𝑎1 = 172 𝑊

(3.3.11)

𝑃𝑗𝑟2 = (2 − 𝑠) ∙ 𝑃𝑎2 = 207.76 𝑊

𝑃𝑎1 = 𝑃1 − 𝑃𝑗𝑠1 − 𝑃𝑓𝑒1 = 10319 𝑊

(3.3.12)

𝑃𝑎2 = 𝑃2 − 𝑃𝑗𝑠2 − 𝑃𝑓𝑒2 = 104.75

Con los valores obtenidos en el apartado, se pueden calcular las pérdidas totales de cada secuencia (3.3.13) de

la siguiente forma:


34

𝑃𝑡𝑜𝑡1 = 𝑃𝑗𝑠1 + 𝑃𝑗𝑟1 + 𝑃𝑓𝑒1 = 1087.3 𝑊

(3.3.13)

𝑃𝑡𝑜𝑡2 = 𝑃𝑗𝑠2 + 𝑃𝑗𝑟2 + 𝑃𝑓𝑒2 = 468.65 𝑊

Sumando estas pérdidas a las pérdidas constantes por ventilación y funcionamiento que possen todos los

motores, las cuales están especificadas en el catálogo de Ismael Morera [9], obtenemos las pérdidas totales

(3.3.14) de este motor de inducción específico:

𝑃𝑝𝑒𝑟ⅆ𝑇 = 𝑃𝑡𝑜𝑡1 ∙ 𝑃𝑡𝑜𝑡2 ∙ 𝑃𝑓𝑣 = 1882.6 𝑊 (3.3.14)

Mientras que el rendimiento del motor (3.3.15), cuando trabaja con un VUF del 10% se desarrolla con la

siguiente ecuación:

𝜂(%) =𝑃𝑁

𝑃𝑁+𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑇∙ 100 = 85.39% (3.3.15)

3.4. Conclusión del segundo caso

En referencia a los dos casos que se han estudiado, se observa un mayor aumento de las pérdidas sufridas por el

desequilibrio de tensiones cuando se tienen en cuenta las pérdidas en el hierro.

Centrandose en este segundo caso, el rendimiento del motor cuando trabaja con un sistema equilibrado es del

92% (este valor ha sido calculado a partir de los datos de catálogo), dato que baja considerablemente cuando

funciona con un VUF del 10%, hasta el dato calculado anteriormente, 85.39%, una diferencia aproximada del

7%, por lo que se puede observar la importancia que tienen los sistemas desequilibrados y, en la medida de lo

posible, intentar reducirlos.

En el próximo capítulo, se va a desarrollar este segundo caso para varios motores con distintas potencias,

variando el VUF, para observar las variaciones en las pérdidas.


35


36

37

4 ANÁLISIS DE UN CONJUNTO

DE MOTORES

En este capítulo se van a desarrollar los cálculos realizados en los casos anteriores para el catálogo de motores

que realizó Israel Morera [9], en el cual vienen dados los parámetros internos de la serie de máquinas eléctricas

que utilizó.

Esta lista de motores la someteremos a una serie de tensiones desequilibradas, para estudiar la progresión que

siguen las pérdidas y el rendimiento a medida que se aumenta el desequilibrio, a partir de términos como el VUF

o el PVU.

Todos los cálculos necesarios para llegar a las conclusiones que se irán exponiendo a partir de ahora se realizan

con scripts desarrollados en Matlab y se añadirán a los Anexos.

4.1. Conjunto de motores seleccionado

Se han elegido 4 motores característicos, todos con una tensión de línea a la entrada de 400 V y una frecuencia

de 50 Hz, y cuyos parámetros se detallan a conttinuación:

“La electricidad es el alma del universo”

- John Wesley-

38 Análisis de un conjunto de motores

38

Tabla 4.1 Motores seleccionados

Motor

P. Nom (kW)

Rend. Plena carga (%)

Pares de

Polos Factor Poten.

R. Estator

(Ω)

X. Estator

(Ω)

R.

Rotor (Ω)

X. Rotor

(Ω)

R. FE (Ω)

X. M (Ω)

1 11 92 2 0,83 0,3495 2,7574∙𝑒−16

0,233 2,087

929,98

23,962

2 22 93,1 2 0,84 0,139 6,1261∙𝑒−10

0,093 1,221

488,216

13,841

3 55 94,4 1 0,9 0,041 0,0949 0,0272 0,413 185,355 8,881

4 90 95,5 3 0,84 0,0198

0,0331

0,01319

0,2827

154,815

3,5798

Ahora se va a realizar todo el procedimiento visto en el capitulo anterior para los anteriores motores, modificando

el VUF y observando como van variando las pérdidas.

4.2. Desequilibrio del 2%

Realizando el método desarrollado anteriormente y aplicandolo al catálogo de motores que se ha expuesto en la

tabla 4.1, se obtienen los siguientes resultados que se exponen a continuación:

Tabla 4.2 Resultados para VUF 2%

Motor

P. Nom (kW)

Tensión Directa

(V)

Tensión Inversa

(V)

VUF (%)

Pérdidas Directa (W)

Pérdidas Inversa

(W)

Rendimiento Desequilibrio

(%)

Rendimiento Plena carga

(%)

1 11 400 8 2 1087.3 18.74 90.86 92

2 22 400 8 2 1943.2 23.20 91.79 93,1

3 55 400 8 2 4100.7 33.32 93.01 94,4

4 90 400 8 2 5224.9 46.05 94.47 95,5

Se puede observar que en este caso, el rendimiento decrece muy poco, ya que las pérdidas de la secuencia inversa

son muy reducidas.


Ahora se va a trabajar con un VUF del 5%, los resultados de estos cálculos se añaden a la tabla añadida a

continuación.


39


Motor

P. Nom (kW)

Tensión Directa

(V)

Tensión Inversa

(V)

VUF (%)

Pérdidas Directa (W)

Pérdidas Inversa

(W)


(%)


(%)

1 11 400 8 5 1087.3 117.16 90.13 92

2 22 400 8 5 1943.2 144.99 91.33 93,1

3 55 400 8 5 4100.7 208.24 92.74 94,4

4 90 400 8 5 5224.9 287.84 94.23 95,5

En este segundo caso, las pérdidas de secuencia inversa son más notorias, reduciendo hasta en un 2 % el

rendimiento.



continuación.


Motor

P. Nom (kW)

Tensión Directa (V)

Tensión Inversa

(V)

VUF (%)

Pérdidas Directa

(W)

Pérdidas Inversa

(W)


(%)


(%)

1 11 400 8 10 1087.3 468.65 87.60 92

2 22 400 8 10 1943.2 579.98 89.71 93,1

3 55 400 8 10 4100.7 832.97 91.77 94,4

4 90 400 8 10 5224.9 1151.4 93.38 95,5

Con un 10% de desequilibrio, se puede observar de forma muy notoria tanto los aumentos de pérdidas como la

disminución de rendimiento, el cual alcanza caídas de hasta el 5%.



continuación.

40 Análisis de un conjunto de motores

40


Motor

P. Nom (kW)

Tensión Directa (V)

Tensión Inversa

(V)

VUF (%)

Pérdidas Directa

(W)

Pérdidas Inversa

(W)


(%)


(%)

1 11 400 8 15 1087.3 1054.5 83.70 92

2 22 400 8 15 1943.2 1304.9 87.14 93,1

3 55 400 8 15 4100.7 1874.2 90.20 94,4

4 90 400 8 15 5224.9 2590.6 92.01 95,5

En este último caso, las pérdidas de secuencia inversa son muy importantes (en el prrimer motor, casi igualan a

las pérdidas de secuencia directa), sufriendo caídas en el rendimiento de hasta el 9 %.

4.6. Conclusiones

Estudiando los resultados obtenidos en las tablas anteriores, se ve claramente cómo van aumentando las pérdidas

en el motor de inducción cuanto mayor es el desequilibrio (algo bastante previsible), pero, además, a medida

que aumenta el desequilibrio, las pérdidas aumentan de mayor forma, como se puede observar en la Figura 4.1,

la cual representa el rendimiento de cada uno de los cuatro motores anteriores respecto al factor de desequilibrio

usado en este caso.

.

Figura 4.1 Rendimiento frente a VUF (%)

En el Anexo III se va a incluir un script con la opción de dar como entrada directamente las tensiones de línea

que entran en el motor en vez de dar como entrada el VUF de desequilibrio que se va a comprobar para estudiar


41

el aumento de pérdidas a medida que aumenta la asimetría, ya que a priori no se puede saber cuál será el VUF

de unas tensiones cualquiera sin realizar el método de las componentes simétricas.

Cabe remarcar que el trabajo se ha realizado en el uso del VUF, ya que, como se mencionó en capítulos

anteriores, es el factor más utilizado por la comunidad científica y el que da una visión más sencilla y a la vez

más robusta y fiable de la posibilidad de medir algo tan complejo como el desequilibrio de tensiones.

Los datos anteriores se calculan con un deslizamiento nominal, para otros niveles de carga y, por lo tanto, para

otros deslizamientos, se pueden obtener los siguientes resultados

Aquí se puede observar, para el caso particular de un VUF al 5%, como cae el rendimiento de forma muy

acentuada cuando el deslizamiento aumenta y no trabaja en su punto nominal.

Nótese que el rendimiento decae de forma muy similar para los cuatro motores que se han usado en este trabajo

Siguiendo el método del deslizamiento, en el que se supone que el deslizamiento es proporcional a la carga, se

obtendrá la misma mediante el cociente entre el deslizamiento en las condiciones de funcionamiento frente al

deslizamiento nominal.

Para ese caso, y usando de nuevo los cuatro motores con un VUF del 5%, se genera la siguiente gráfica, donde

se puede observar la variación del rendimiento respecto al índice de carga aplicado al motor:

42

42


43

ANEXOS

En los anexos se van a desarrollar los procedimientos para los cálculos que se han visto en los distintos capítulos

del trabajo.

ANEXO I

En este anexo se va a exponer el script generado en Matlab para la resolución del caso en el que no se tienen en

cuenta las pérdidas en el hierro.

Para ese caso, las impedancias, tanto de secuencia directa, como de secuencia inversa, fueron realizadas con la

siguiente función de Matlab (Figura A.1), de elaboración propia.

Figura A.1

Mientras que todo el procedimiento del cálculo de las pérdidas para esta opción se generó con los siguentes

scripts de Matlab (figuras A.2, A.3 y A.4), que se puede observar a continuación:

44 ANEXOS

44

Figura A.2

Figura A.3

Figura A.4


45

ANEXO II

En este caso, se va a desarrollar el script (Figuras A.5, A.6 y A.7) usado para generar tanto las impedancias de

secuencia directa e inversa, como las pérdidas en el motor de inducción, cuando se tiene en cuenta los efectos

en el núcleo de hierro de la máquina.

Figura A.5

Figura A.6

46 ANEXOS

46

Figura A.7

Anexo III

Como se menciono en el final del capítulo anterior, se va a añadir a este trabajo el cálculo de las pérdidas

dando las tensiones de línea a la entrada del motor.

Para este caso es necesario inicialmente calcular las componentes simétricas del trío de tensiones

desequilibradas, como se puede observa en la figura A.8.

Figura A.8


47

A partir de los cálculos de las componentes simétricas, que en los casos anteriores eran muy simples, ya que, si

no cambia el valor de los ángulos, el problema pasa a ser trivial, como se ha expuesto en los scripts del Anexo

I y II.

Ahora se detalla la parte de la función que se utiliza para calcular las pérdidas en el motor, que vienen a ser

iguales a las fórmulas utilizadas en casos anteriores.

Figura A.9

48 ANEXOS

48


49

BIBLIOGRAFÍA

[1] J.E. Williams, Associate Member AIEE. Operation of Three-Phase Induction Motors on Unbalanced

Voltage, 1954

[2] Enrique Ciro Quispe Oqueña, Ingeniero Electricista. TESIS DOCTORAL sobre Efectos del

desequilibrio de tensiones sobre la operación del motor de inducción trifásico. Énfasis en la

caracterización del desequilibrio de tensiones y el efecto sobre la potencia nominal, 2012

[3] Electric Power Research Institute, Publishing by EPRI Distribution Center, California, USA. Voltage

Unbalance: Power Quality Issues, Related Standards and Mitigation Techniques. Effect on Unbalanced

Voltage on End Use Equipment Performance, 2000.

[2] Ching-Yin Lee, Effects of Unbalanced Voltage on the Operation Performance of a Three-Phase

Induction Motor, Department of Electrical Engineering National Taipei University of Technology, 1997

[3] C. Concordia, Fellow Member AIEE; L.K. Kirchmayer, Associate Member AIEE. Tie-Line Power

and Frequency Control of Electric Power Systems, 1954

[4] Charles Legeyt Fortescue, Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Poliphase

Networks, 1918.

[5] C.F. Wagner y R.D. Evans, Symmetrical Components. As Applied to the Analysis of Unbalanced Electrical

Circuits, 1933.

[6] NATIONAL ELECTRICAL MANUFACTURERS ASSOCATION NEMA, Standard Publication

ANSI/NEMA MG1-2003, Motors and Generators, 2003.

[7] S.E.M. DE OLIVEIRA, Operation of Three-Phase Induction Connected to One-Phase Supply, IEEE

Transaction on Energy Conversion, 1990.

[8] Y.J. WANG, Analysis of Effects of Three-Phase Voltage Unbalance on Induction Motors with Emphasis on

the Angle of the Complex Voltage Unbalance Factor, 2001

[9] Ismael Morera Alonso, Ingeniero Industrial, Identificación de Parámetros de Modelos de Motores de

Inducción a Partir de Datos de Catálogo, 2010

[10] Miloje M. Kostic, Nikola Tesla Institute of Electrical Engineering, Power System Department. Negative

Consequence of Motor Voltage Asymmetry and Its Influence to the Unefficient Energy Usage, 2010

50 Bibliografía

50

[11] Yaw-Juen Wang, Member IEEE. Analysis of Effects of Three-Phase Voltage Unbalance on

Induction Motors with Emphasis on the Angle of the Complex Voltage Unbalance Factor, 2001

[12] Jose Policarpo G. de Abreu; Alexander Eigeles Emanuel. Induction Motors Loss of Life Due to

Voltage Imbalance and Harmonics: A Preliminary Study, 2000

[13] Jawad Faiz, Senior Member IEEE; Hamid Ebrahimpour; Pragasen Pillay, Senior Member IEEE.

Influence of Unbalanced Voltage on the Steady-State Performance of a Three-Phase Squirrel-Cage

Induction Motor, 2004

[14] R.F. Woll, Fellow Member IEEE. Effect of Unbalanced Voltage on the Operation of Polyphase

Induction Motors, 1975

[15] Edward O. Lunn, University of British, Columbia. Induction Motors Under Unbalanced Conditions,

1936

[16] H.R. Reed, Member AIEE; R.J.W. Koopman, Associate AIEE. Induction Motors on Unbalanced

Voltages, 1936

[17] B.N. Gafford, Fellow Member AIEE; W.C. Duesterhoeft, JR, Associate Member AIEE; C.C.

Mosher III, Associate Member AIEE. Heating of Induction Motors on Unbalanced Voltages, 1959

[18] Gustavo L. Ferro, Ingeniero Electricista, profesor adjunto de laUniversidad Nacional de Mar de Plata. El

método de las componentes simétricas, 2015.

[19] INSTITUTE OF ELECTRICAL ELECTRONICS ENGINEERS IEEE, Recommended Practice for

Electric Power Distribution for Industrial Plan, 1994.

[20] Ching-Yin Lee, Effects of Unbalanced Voltage on the Operation Performance of a Three-Phase

Induction Motor, Department of Electrical Engineering National Taipei University of Technology, 1997

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