TRABAJO COLABORATIVO 3

PATRI JUDID BOTELLO GARCIACódigo: 37557694

100412_25

Tutor:RICARDO GOMEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTACIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGICAS E INGENIERIA

ECUACIONES DIFERENCIALESCURUMANI CESAR

2011

Ecuaciones Diferenciales1

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros.

En el presente trabajo colaborativo efectuaremos aplicaciones de la unidad 3 del módulo de Ecuaciones Diferenciales usaremos las series matemáticas y en especial la serie de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.

En los Ejercicios que se establecen a continuación se evidenciaran todo lo estudiado en esta unidad y así mismo a través de los juegos lúdicos presentados de manera creativa aprenderemos más de este fascinante mundo de las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales2

OBJETIVOS

Aplicar los conceptos básicos de series matemáticas.

Reconoce la diferencia entre la aplicación de las series de potencias para ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

Reconocer funciones y series especiales

Aplicaciones de las actividades creativas con el propósito de profundizar en el aprendizaje de manera lúdica de las tres unidades vistas del módulo de ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales3

Hallar El Radio De Convergencia De La Siguiente Serie:

A. ∑n=1

∞ ( x−3)n

n3

Solución:

Aplicando la razón obtenemos:

limn→∞|Cn+1

Cn |<1 Para que exista convergencia,

Nuestro Cn+1 se calcula así:

Cn+1=( x−3 )n+1

(n+1 )3 Y el Cn es:

Cn=( x−3 )n

n3 Procedemos a calcular el límite de este cociente.

limn→∞| ( x−3 )n+1

(n+1 )3

( x−3 )n

n3|<1 , Aplicando la regla de la oreja.

limn→∞| n

3 (x−3 )n+1

( x−3 )n (n+1 )3|=limn→∞|n

3 ( x−3 )n ( x−3 )( x−3 )n (n+1 )3 |=|x−3| lim

n→∞| n3

(n+1 )3|<1

El límite vale uno y aplicando propiedades de valor absoluto obtenemos

−1<( x−3 )<1

Ecuaciones Diferenciales4

Sumamos 3 a cada parte del intervalo.

−1+3<( x−3+3 )<1+3

2<x<4

Y el intervalo de convergencia es (2,4)

Por lo tanto el radio de convergencia es uno.

RTA: R=1

B. ∑n=1

∞ (−1)n

n xn

Solución

an = (−1)n

n xn

an+1 = (−1)n+1

n+1 xn+1 luego aplicando el límite y reemplazando.

|limn→∞

an+1

an | = |limn→∞ (−1)n+1

n+1xn+1

(−1)n

nxn | operando

|limn→∞ n(−1)n+1 xn+1

n+1(−1)n xn | Entonces

|limn→∞

n(−1)n+1 . xn+1.(−1)−n. x−n

n+1 | Eliminando

|limn→∞

n (−11 )xn+1

1| Entonces sacando el valor absoluto de x

Ecuaciones Diferenciales5

1 2 3 4

R=1

x

|x| |limn→∞ −nn+1|

|x| |limn→∞ −nnnn+

1n| = |x|.1 = x entonces según el criterio para el radio de convergencia.

R = 1u =

1x < 1 se tendría para todos los x números reales diferentes de 1

2. Mediante series de potencias resolver la ecuación diferencial y escríbala en forma de serie

∑n=0

∞

Cn Xn.

A. y' + y = 0

Solución

y=∑n=0

∞

Cn Xn

Paso 2. Derivamos la ecuación anterior.

y=∑n=0

∞

nCn Xn−1

Paso 3. Sustituimos los resultados anteriores en la ecuación diferencial a solución.

y' + y= = ∑n=0

∞

nCn Xn−1+∑

n=0

∞

Cn Xn=0

∑n=0

∞

nCn Xn−1=−∑

n=0

∞

CnXn

Paso 4. Comparamos coeficientes de los miembros y hallamos los valores c.

Ecuaciones Diferenciales6

∑n=0

∞

(n+1 )Cn+1Xn=∑

n=0

∞

−Cn Xn=0

Obtenemos la fórmula de recurrencia.

(n+1) Cn+1=−Cnde donde

Cn+1=Cnn+1

; n≥0

En términos de C0, la fórmula genera los siguientes resultados.

C1=−C0

C2=C1

2=

−C0

2

C3=C2

3=

−C0

2.3=

−C0

3!

C4=4=−−C0

2.3.4=

−C0

4 !

Cn=−C0

n !

Paso 5. Sustituimos en la solución en serie del paso 1. De tal manera que la serie encontrada es la solución general de la ecuación diferencial dada.

y= ∑n=0

∞ −C0

n!X n=C0∑

n=0

∞ (−1)n!

X n

y= C0 e−x

3. Mediante Series De Potencias Resolver La Ecuación Diferencial Y Escríbala En Forma De Serie.

A. (x+1) y' – (x + 2) y = 0

Ecuaciones Diferenciales7

BIBLIOGRAFIA

CARLOS IVÁN BUCHELI CHAVES. Módulo de Ecuaciones Diferenciales, Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD – San Juan de pasto 2010

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