OCR Document

Universidad Tecnolgica NacionalRegional Reconquista

ANLISIS MATEMTICO II Clase Trabajo Prctico

Unidad Temtica 4: INTEGRALES MLTIPLES

1. Calcular la integral doble de la funcin dada, representando previamente la regin de integracin. Verificar el resultado obtenido cambiando el orden de integracin. a) f(x; y)= 3xy2 ; R = {(x; y) R2/ -1xO ; 2xy2x2} b) f(x; y)= y/x ; R = {(x; y) R2/ 1/2x1} ; - (x+1)1/2 y -x3} c) f(x; y)= 5xy - x2y ; R = {(x; y) R2/ Oyx ; y2; 0x3} d) f(x; y)= x2 yx ; R = {(x; y) R2/ 1x 4 ; O y 3+ x}

2. a) Calcular dxdy siendo R el tringulo limitado por los ejes coordenados y la recta de, ecuacin x+y= 1 b) Calcular seny dydx siendo R el tringulo limitado por las rectas de ecuacin 2y=x; 2x=y; x=

3. Hallar el rea limitada por: a) Las parbolas y= 2x-x2 e y= 3x2 -6x. b) las rectas x=y; x=2y; x+y= 60; x+3y= 60.

4. Calcular el volumen de los slidos indicados: a) Limitado por x2 + y2=1; z= x+2y; en el primer octante. b) Bajo el paraboloide z= 3x2 + y2 y encima de la regin acotada por y = x;x= y2 -y c) x2+y216; 0 z x+y+2 ; x 0; y O. d) Limitado por los planos coordenados y el plano x+y+z= 1.

5. Dibujar el recinto y calcular en coordenadas polares:

a) x=4 y=

dx dy x=0 y=0b) xydA, donde R es la regin en el primer cuadrante que est entre los crculos :x2 + y2 = 4 yx2 + y2 = 25c) donde R es la regin que est dentro del cardioide r= 1 +sen y fuera del crculo r=l.d) El volumen del slido que est bajo el plano: 6x + 4y + z = 12 Y encima del disco con el crculo frontera x2 + y2=y.

6. Una carga elctrica se distribuye sobre el disco unitario x2 + y21, de manera que la densidad de carga en un punto est dado por: (x;y) = 1 +x2 +y2 (medida en coulombs por metro cuadrado). Encuentre la carga total sobre el disco. 7. Una placa delgada acotada por x2+4y2= 12 y x= 4y2 tiene una densidad variable dada por (x; y)=kx. Halle la masa de la placa

8. Una lmina ocupa la parte del disco x2 + y2 1 en el primer cuadrante. Determine su centro de masa si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje x para cualquier punto.

9. Una lmina con densidad constante ocupa la regin bajo la curva y=senx de x=O a x =. Determine los momentos de inercia Ix e Iy.

10. Utilice una integral triple para determinar el volumen del slido dado: a) El slido acotado por el cilindro elptico 4x2 + z2 = 4 y los planos y=O; y= z+2. b) El slido encerrado por los paraboloides z= x2 + y2 y z= 18 - x2 - y2

11. Emplee coordenadas esfricas o cilndricas segn resulte ms apropiado: a) Calcule y dv; donde D es el slido que est entre los cilindros x2 + y2 = 1 y x2 + y2= 4, encima del plano "xy" y debajo del plano z= x+2. En el primer octante. b) Determine: el volumen y el centroide de la regin E acotada por el paraboloide z= x2 + y2 y z = 36 - 3x2 - 3y2 c) Determine el volumen del slido que est encima del cono = /3 y debajo de la esfera r = 4cos . d) Calcular la masa de una semiesfera de radio 4 y centro en el origen si para cada punto (x; y; z) de la misma.

e) 2 dx dy (x2+y2) dz 0 0

12. Evale la integral al llevar a cabo un cambio de variables apropiado. xydA donde R es la regin acotada por las rectas: 2x-y=1; 2x-y= -3; 3x+y=1; y 3x+y= -2.

13. Encuentre el rea de la parte del plano 3x+2y+6z= 6 en el primer octante.