trabajode edo aplicaciones
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚFACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA
Ingeniero : Guevara Yanqui, Víctor
Cátedra : Simulación de procesos Químicos
Alumno : Mendoza Vargas, Eder
Semestre : IX
Fecha : 27 – set.
Modelo matemático de vaciado de tanques
RESUMEN
La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las practicas más
utilizadas en la industria. Todo proceso que se lleva a cabo en un tanque incluye un
proceso de vaciado del mismo. Es por ello la gran importancia de esta operación y su
estudio.
Para el presente informe se elaboro un modulo con una altura de 0.215m y un diámetro
de 0.162m el cual tiene un diámetro de descarga del fluido en la parte central de la base
de un diámetro de 0.0047625 m
Partiendo de la energía potencial determinamos el modelo matemático que
describe el vaciado de un tanque cilíndrico con un orificio en el centro de la base, con
un tiempo de descarga real de 322.41seg, y así se determino el coeficiente de descarga
del tanque usando para ello el caudal real ( ) y el teórico (
), determinando un Cd igual a 0.4769.
El modelo matematice que describe el tiempo de vaciado del tanque elaborado es
Simulando este modelo matemático can matlab se obtuvo un tiempo de descarga de
337.41 segundos, cual no está muy lejos del valor obtenido experimentalmente
OBJETIVO
Simular un modelo matemático que describe el vaciado de un tanque cilíndrico vertical
y comprobar los resultados de manera experimental, confrontados en una grafica.
OBJETIVO ESPECIFICO:
1. Resolver el modelo matemático que describe el vaciado de un tanque cilíndrico
vertical.
2. Elaborar el modulo (tanque cilíndrico vertical, con una agujero en el centro de la
base) para obtener datos experimentales.
3. Determinar el tiempo de descarga de forma experimental
4. Determinar el Coeficiente de Descarga.
5. Determinar el modelo matemático que describe el tiempo de vaciado del modulo
elaborado.
6. Simular modelo matemático obtenido usando el matlab.
MARCO TEÓRICO
Para el diagrama siguiente, consideremos un sistema isotérmico con un fluido
newtoniano, incomprensible, con densidad, viscosidad y composición constantes.
VACIADO DE TANQUES
Considerando que la salida de agua a través de un agujero de bordes agudos en le fondo
de un tanque lleno de agua hasta un altura h es igual a la velocidad del agua que cae
libremente desde una altura h
Conociendo esto igualaremos la energía cinética con la energía potencial:
(1)
De aquí despejamos v tenemos:
(2)
Donde:
g = aceleración de la gravedad
v = velocidad del agua que sale
h = altura
Observaciones:
En la práctica trabajaremos con un cilindro. Del cual determinaremos la altura de agua
(h) que queda en el tanque a un tiempo t (en segundos).
Datos:
h = altura del cilindro
V = Volumen de agua
R = radio mayor del cilindro
r = radio del agujero en el fondo del cilindro
A0 = Área perteneciente al agujero en el fondo del cilindro
Luego el área de escape del agua será:
Hallando la ecuación diferencial
El volumen de agua que sale del cilindro por unidad de tiempo (velocidad de agua que
sale del cono) es:
(3)
Pero debido al rozamiento existe un gasto K de agua que queda en el cono circular
entonces la ecua. (1) queda
(4)
Luego:
(5)
Despejando las diferenciales tenemos:
(6)
El volumen será:
Si :
(7)
Igualando la ecuación (6) y la (7)
(8)
Despejando las integrales tenemos:
(9)
Integrando (4)
Solución General
(10)
Hallando la cte. C teniendo los valores iniciales
Para:
t = 0 tenemos un h = h0
Reemplazando en la solución general tenemos:
Reemplazando en la Solución General tenemos:
(11)
Despejando:
(12)
Si:
Entonces, el tiempo de vaciado del tanque en cualquier instante es:
(13)
Finalmente el tiempo de vaciado del tanque será:
(14)
Donde:
La constante k es el Coeficiente de Descarga, depende de la forma del oricio:
Si el oricio es de forma rectangular, la constante k = 0.8
Si el oricio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0.75
Si el oricio es de forma circular, la constante k = 0.6
Calculo del Coeficiente de descarga
Caudal Real (QR)
QR = V / tDonde:QR : Caudal real (m3/s ).V: volumen (m3).t: tiempo (s).
Caudal Teórico (QT)
QT = Ao ( 2g * h ) ½
Donde:QT: Caudal teórico (m3/s ).A: Area (m2).g: gravedad (m/s2).h: Altura (m).
Coeficiente De Descarga (CD)
Cd = QR /QT
Donde:CD : Coeficiente de descargaQR : Caudal real (m3).QT : Caudal teórico (m3).
PARTE EXPERIMENTAL
Materiales
Modulo
o cilindro vertical con agujero de área Ao
o soporte
cubeta
cronometro
agua
regla
Procedimiento:
Montar el modulo con en la grafica
Llenar en cilindro previamente marcado con la altura inicial h0, tapando el agujero de la
base.
Tomar el tiempo desde el momento que se abre el agujero considerando como el tiempo
t0, y anotar el tiempo cada vez que desciende un centímetro desde la altura inicial.
Elaborar una grafica con los resultados obtenidos
Simular el modelo matemático obtenido para el vaciado de tanque usando el matlab
RESULTADOS OBTENIDOS
Datos del modulo
h = 0.215 m
D = 0.162 m
D0 = 3/16 pulg = 0.0047625 m
Calculo de A0
Pruebas realizadas
Altura de trabajo h0 = 0.15 m
TablaN°1 Datos experimental
PRUEBAS
N°Distancia
cmTiempo (seg)
Tiempo (seg)
Tiempo (seg)
1 15 0 0 02 14 12.25 11.94 12.973 13 25.54 24.41 24.724 12 38.93 34.91 37.495 11 53.66 47.58 50.6766 10 68.9 60.25 64.687 9 85.07 73.95 79.318 8 101.66 88.47 94.869 7 120.4 105.16 110.82
10 6 139.87 120.4 128.7511 5 161.09 137.09 148.5212 4 183.4 157.79 171.0813 3 210.32 180.04 194.9714 2 243.9 207.13 226.3915 1 295.3 239.88 268.7216 0 350.85 304.96 311.41
Tiempo de vaciado del tanque:
t1 = 350.85 seg
t2 = 304.96 seg
t3 = 311.41 seg
Promedio = 322.41 seg
Grafica de las 3 pruebas
Calculo del Coeficiente de descarga
CAUDAL REAL (QR)
QR = V / t
t = 322.41 seg
CAUDAL TEORICO (QT)
QT = Ao ( 2g * h ) ½
COEFICIENTE DE DESCARGA (Cd)
Cd = QR /QT
Reemplazando en la ecuacion (14) se tiene:
(15)
Que es el modelo matemático que describe el vaciado del tanque
Ajuste Lineal de la prueba 2 (Polinomio de grado 6)
La ecuacion del Grafico 2 es:
Prueba de los resultados con el modelo matemático, para h = 0.150 m
distancia pruebasm seg
0 0.000.01 87.120.02 123.200.03 150.890.04 174.240.05 194.800.06 213.400.07 230.490.08 246.410.09 261.36
0.1 275.490.11 288.940.12 301.790.13 314.110.14 325.97
Tiempo de Vaciado del tanque 0.15 337.41
CODIGO DE MATLAB UTILIZADO.% inicio del archivo tanque.m%================function tanque2%================%clc; clear all; format compact;global D2 Qe D1 mu rho E L Ke Ks g gc% caracteristicas f\'isicas del agua
mu = 0.001; % kg /(m s)rho = 1000;% kg/m^3%tanqueD1 = 0.14; %m% Valores a cambiar dependiendo del tubo utilizado (2,3, \'o 4)L =32/100%tuboD2 = 0.355/100; %m% Tubo descarga:% Diametro ext 0.162 m% Diametro int 0.0047625 mKe =0.05; % K de entradaKs =0.1; % K de salidag = 9.81;% m/s^2gc = 9.81; % (kg m /s^2)/kgfQe = 0; % flujo volumetrico a la entraD1 del tanquez0 = za;% altura inicial en la superficie del tanqueE=4.5E-6 %m% ========================================ts = [0,300];% segundos% ==========================================[t,z] = ode15s(@bmasa2,ts,z0); % solucion de la ec. dif.% interpolando la altura z=34 m% td = interp1(z,t,L);% fprintf('tiempo de descarga: %8.2f seg\n',td)% Tubo extra% Diametro 4.5 cm% Altura 154.2 cm con todo y tubo de descarga% Tubo descarga 21.5 cmt1=tz1=(z*100-L*100)figure(1), plot(t,z1), xlabel('t [s]'), ylabel('z [cm]')title('Perfil te\'orico del altura en el tiempo, Tubo 1')grid%inicio del balance de masa%==========================function dzdt = bmasa2(t,z)%==========================%global D1 D2 Qe% Estimados iniciales para el factor de fricci\'on y la velocidadf0 = 0.02;v20 = 1; % m/sza = z; options= optimset('Display','off');[var,fun,flag]=fsolve(@bem,[f0,v20],options,za);if ( flag~=1 )fprintf('no convergio\n')endv2 = var(2);Qs = pi/4*D2^2*v2;dzdt = 4*(Qe-Qs)/(pi*D1^2);%balance de energ\'ia mec\'anica%==========================function fun = bem(varin,za)%==========================%global mu rho D2 E L Ke Ks g gcf = varin(1);v2 = varin(2);
Re = D2*rho*v2/mu;fun(1) = 1/sqrt(f) + 2*log10( E/(3.7*D2 ) + ...2.51/( Re*sqrt(f) ) );fun(2) = -za*g/gc + v2^2/(2*gc) + ...v2^2/(2*gc)*( f*L/D2 + Ke + Ks );RESULTADO DEL PROGRAMA
Altura (m) Tiempo (s)0.15 337.410.14 281.860.13 230.460.12 196.880.11 169.960.10 147.650.09 126.430.08 106.960.07 88.220.06 71.630.05 55.460.04 40.220.03 25.490.02 12.10.01 1.190.00 0
Tiempo de Descarga es de t = 337.41 seg
CONCLUSIONES
1. Se determino en siguiente modelo matemático:
El cual se determino igualando la energía cinética con la energía potencial.
2. Se elaboró un modulo con los siguientes datos
Altura = 0.215 m, diámetro mayor = 0.162 m, diámetro menor (D0) =
0.0047625 m, el cual se puede ver en los anexos y el plano del modulo.
3. El tiempo de vaciado del tanque de forma experimental es de 322.41 segundos
4. El coeficiente de Descarga determinado es de .
5. El modelo matemático que describe el tiempo de vaciado del modulo elaborado
es
6. Simulando el modelo matematico con matlab se determino un tiempo de
descarga de 337.41 segundos
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Con base en los resultados obtenidos para la descarga de tanque se puede a estimar que
la práctica se llevo a cabo de forma exitosa. Si bien los resultados para la columna no
resultan como esperados, más allá de desalentarnos representan un interés y motivación
en volver a estudiar.
El coeficiente de descarga calculado es de , el cual no está muy lejos del
valor teórico:
La constante Cd es el Coeficiente de Descarga, depende de la forma del oricio:
Si el oricio es de forma rectangular, la constante k = 0.8
Si el oricio es de forma triangular, la constante 0,65 ≤ k ≤ 0.75
Si el oricio es de forma circular, la constante k = 0.6
Esto se debe a que no se considera la fricción que ejerce el líquido sobre las paredes del
cilindro, que es una fuerza que reduce la velocidad de caída del fluido.
El coeficiente de descarga de este modelo se determino considerando un tanque
cilíndrico cuyo flujo era laminar y con un orifico en el centro de la base del cilindro a
diferencia de otros módulos que usaron una salida lateral en el cual el coeficiente de
descarga varia entre 0.4 y 0.5
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Ecuaciones Diferenciales – Becerril Espinoza Jose Ventura – Tecnicas de
Solucions y Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales – Primera Edición 2004
2. Ecuaciones Diferenciales – Zill D. G. – Sexta Edición 1997
3. Solución de Problemas de Ingeniería con Matlab – Dolores M. Etter - Segunda
Edicion-2005
ANEXOS
Taladro broca de 3/16 pulg
Perforando el cilindro
Modulo armado
Nivel de agua de 15 cm
Controlando el tiempo de vaciado
Chorro de agua del cilindro