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  • Setembro | Outubro || 2010

    Trabalhar os nmeros racionais numa perspectivade desenvolvimento do sentido de nmeroJoana Brocardo

    O Programa de Matemtica do Ensino Bsico (PMEB) (Ponte et al., 2007) perspectiva uma abordagem do tema Nmeros e Operaes com signifi cativas diferenas em re-lao ao que estava previsto no programa anterior. Assume-se o desenvolvimento de sentido do nmero como o pano de fundo que contextualiza e orienta o trabalho com os nme-ros e das operaes e altera-se a perspectiva e o ano de esco-laridade em que determinados tpicos so introduzidos. A introduo e trabalho em torno dos racionais no ne-gativos uma das alteraes signifi cativas assumidas pelo PMEB, e este aspecto que abordo neste artigo. Comeo por explicitar as alteraes introduzidas e por avanar argu-mentos que as justifi cam. De seguida, discuto um conjunto de ideias que considero basilares para trabalhar os nmeros racionais numa perspectiva de desenvolvimento do sentido de nmero.

    Os nmeros racionais no negativos: o que se altera e porquPerceber a evoluo e a mudana do currculo de Matem-tica fundamental para interiorizar o que se passa a valori-zar e porqu. No PMEB, no caso do tema Nmeros e Opera-es, destacam-se duas alteraes signifi cativas embora com flego bastante diferente: a um nvel mais pontual, identi-fi ca-se a introduo, desde o 1. ciclo, das vrias representa-es dos nmeros racionais e, a um nvel de fundo, identifi -ca-se a ideia de subordinar o trabalho em torno dos nmeros racionais a uma perspectiva de desenvolvimento de sentido de nmero. O que poder justifi car estas alteraes? Ser que se trata de uma evoluo pouco signifi cativa ou, pelo contrrio, ela encerra uma viso diferente sobre os nmeros e as operaes que importa reter e aprofundar?

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  • Educao e Matemtica | nmero 109

    Nmeros decimais1 versus fraces2 Nos programas de Matemtica anteriores ao de 2007, em-bora surgissem algumas referncias importncia do clculo no algortmico, a verdade que todo o 1. ciclo era pers-pectivado considerando a introduo rpida dos algoritmos tradicionais das operaes aritmticas e o seu uso repetido na resoluo de exerccios e problemas. Sendo o foco domi-nante o clculo algortmico, era expectvel que para alm dos nmeros naturais, s se incluissem os nmeros represen-tados na forma decimal, uma vez que quando se introduzem estes nmeros se generaliza a estrutura decimal do sistema de numerao e se usam as mesmas regras de clculo. Alm disso, com os decimais percorre-se um caminho semelhante (paralelo at) ao dos naturais, em direco ao algoritmo de cada uma das operaes aritmticas, a partir das regras j de-fi nidas para estes nmeros. Numa perspectiva didctica em que rapidamente se co-meava a trabalhar com base nas unidades, dezenas ou centenas, era relativamente fcil fazer a transio para as dcimas, centsimas ou milsimas. Para os alunos que aprendiam a ter de representar os nmeros e os clculos usando uma grelha tipo CDU, a introduo dos decimais era mais uma oportunidade de continuar a usar o mesmo tipo de representao.

    C D U U d c

    4 5 1 7, 4 3

    Os algoritmos usados para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir nmeros decimais so os mesmos que os usados para os nmeros naturais. Numa perspectiva de grande valori-zao dos algoritmos tradicionais, importava insistir no seu uso, alterando o conjunto numrico mas persistindo no mesmo tipo de estrutura numrica.

    7 2 3 3 1 7, 2 3 3, 11 0 3 2 3 1 0 3 2, 3

    1 0 0, 1 0

    No programa actual, o foco do trabalho em torno dos N-meros e Operaes no o clculo algortmico. Por isso, os nmeros racionais na sua representao fraccionria po-dem ser introduzidos antes dos decimais3. Embora prevendo, como natural, uma abordagem intuitiva a partir de situ-aes de partilha e de diviso da unidade em partes iguais, recorrendo a modelos e representao em forma de fraco nos casos mais simples (Ponte et al., 2007, p. 15), conside-ra-se que se deve trabalhar com estes nmeros que, do ponto de vista histrico, surgiram muito antes dos decimais, atri-buindo-lhes sentido a partir de contextos signifi cativos.

    Perspectivar o desenvolvimento de sentido de nmero Uma das caractersticas que destaco como muito positiva no PMEB o facto de nele se considerar que o trabalho em torno do tema Nmeros e Operaes deve ser perspectivado em termos de desenvolvimento do sentido de nmero. Do

    meu ponto de vista, importa perceber bem o signifi cado des-ta diferena basilar relativamente a programas anteriores e analisar algumas das suas consequncias a partir de um olhar sobre trs aspectos que dizem respeito aos racionais. Um primeiro, diz respeito valorizao do clculo, con-siderando os seus diferentes tipos e no apenas o algortmi-co. Contrariamente ao que muitos podero pensar, traba-lhar o sentido de nmero envolve ser exigente em termos de clculo e na escolha do tipo que melhor se adequa ao clcu-lo a efectuar. No podemos pensar, por exemplo, que tudo vai bem se os alunos: usarem o algoritmo para calcular 23,5 + 12,5 ou 6 : 15; no souberem calcular automaticamente 12 0,6 ou

    1,25 100; recorrerem calculadora para calcular 123,6 103,5 ou

    0,75 24.

    Um segundo aspecto diz respeito valorizao da constru-o do sentido que os nmeros podem progressivamente ir assumindo para os alunos. Seja qual for o conjunto numri-co de que falemos, as crianas comeam por dar sentido ao que so e podem representar os nmeros que pertencem a esse conjunto. Seja a propsito de nmeros naturais, frac-cionrios ou decimais a aprendizagem decorre seguindo um processo de colocar e retirar rtulos (labelled e unlabelled no original, Galen et al., 2009). Inicialmente, os nmeros es-to directamente ligados a objectos: 5 peas de Lego, trs quartos de uma pizza, a mesa tem 1 metro e 5 centmetros de comprimento. Quando comea a lidar com os nmeros naturais, uma criana pode saber que 5 peas de Lego mais 4 peas de Lego so 9 peas de Lego, mas no saber quanto 5 + 4. Os nmeros 5 e 4 so ainda rtulos que liga s pe-as de Lego. S depois de passar por numerosas experincias em que lida com os nmeros como rtulos de cubos, lpis, berlindes, etc., que consegue comear a retirar os rtulos e a pensar em 5 e 4 sem estarem relacionados com objectos concretos, dando-lhes o estatuto de objectos em si mesmos. Nesta altura a criana v 5 e 4 como nmeros e sabe que 5 mais 4 igual a 9. O mesmo se passa com os racionais. A criana sabe que trs quartos de pizza mais um quarto de pi-zza uma pizza. S depois de muitas experincias usando fraces como rtulos que comea a poder (e a ser vanta-joso em termos da sua aprendizagem) retir-los e a compre-ender que o rtulo no importante para o sentido que atri-bue a , a e aos clculos associados. Nesta altura percebe, por exemplo, que + = 1 ou que 1 = . Este processo de rotular e retirar rtulos evidencia que as crianas no conseguem compreender um trabalho nu-mrico que passe, rapidamente, do exemplo para a defi nio e para a manipulao abstracta dos nmeros e das operaes entre eles. A fi gura 1 ilustra um tipo de proposta muito co-mum em alguns manuais: mesmo numa fase inicial em que no pode ser compreendido o que um sistema de numera-o de posio, ilustra-se a representao dos nmeros num baco e propem-se exerccios cujo resultado sempre o n-mero que se est a dar.

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    Este processo tambm signifi ca que a ordem de introduo dos vrios conjuntos numricos deve ser cuidadosamente pensada de acordo com a complexidade dos contextos que permitem rotular e a complexidade da representao que se introduz. Muitos contextos ligados representao na forma de fraco partilha equitativa de objectos e relao par-te-todo a partir da diviso de uma unidade em partes iguais so inicialmente mais acessveis aos alunos do que os as-sociados representao decimal. Estes ltimos envolvem o uso de unidades de medida padronizadas que so demasiado abstractas para poderem ser introduzidas logo no incio do 1. ciclo. A nica excepo, em termos de contexto facili-tador da introduo dos decimais, o uso do dinheiro. No entanto, para alm de implicar que as crianas estejam sem-pre a colocar rtulos no mesmo tipo de contexto, o dinhei-ro um contexto pobre para essa rotulao uma vez que faz mais apelo ao uso de nmeros naturais do que de nmeros decimais. Finalmente, um terceiro aspecto, diz respeito aten-o dada construo de relaes numricas. Trabalhar de acordo com uma perspectiva de desenvolvimento de senti-do do nmero implica incluir explicitamente a explorao de propriedades e relaes numricas ciclicamente revisita-das. Esta explorao intencional de propriedades e relaes numricas est muito relacionada com o planeamento cui-dadoso de modos de trabalhar o clculo mental, tanto com nmeros inteiros, como com nmeros racionais. Por exemplo, saber usar o conceito de dobro de um n-mero vai muito alm de saber calcular o dobro de um nme-ro natural. Envolve conseguir mobilizar este conceito para calcular 2410 1205; 1 0,5 ou metade de 50%. Tambm, conhecer as propriedades das operaes vai muito alm da sua enumerao e representao simblica. Implica conse-guir identifi car situaes em que elas facilitam o clculo e ser capaz de as usar de forma fl exvel e produtiva. Por isso que nenhum aluno deve usar uma calculadora para determi-

    nar 12 13 ou 12,5 24. Dever ser quase imediato pensar que 12 13 igual a 130 + 26, ou seja, 156. Para calcular 12,5 24 pode usar a propriedade associativa (no caso par-ticular da relao dobro-metade) obtendo 25 12 = 50 6 = 100 3 = 300.

    Trs princpios para trabalhar os nmeros racionaisPara alm de compreender possveis razes que fundamen-tam determinadas opes de carcter curricular, importa ao professor refl ectir sobre os modos de as concretizar ao n-vel da sua prtica. Nos pontos seguintes proponho trs prin-cpios que considero importantes para orientar a aco do professor no que se refere ao trabalho com os racionais.

    Princpio 1. Usar contextos e modelos

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