trabalho - geometria diferencial - 1ª parte
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Universidade de BrasıliaDepartamento de MatematicaDisciplina: Geometria DiferencialProfessora: Wang QiaolingMestrando: Pedro Ernesto Araujo EloyMatrıcula: 11/0081781
Lista de Exercıcios
Manfredo Perdigao do Carmo, Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies
Capıtulo 1 - Secao 1.2 - Pagina 6
1) Encontre uma curva parametrizada α(t) cujo traco seja o cırculo x2 + y2 = 1 demaneira que α(t) percorra o cırculo no sentido anti-horario e tenhamos α(0) = (0, 1).
2) Seja α(t) uma curva parametrizada que nao passa pela origem. Se α(t0) e o pontodo traco de α mais proximo da origem e α′(t0) 6= 0, mostre que o vetor posicao α(t0) eortogonal a α′(t0).
3) Considere uma curva parametrizada α(t) tal que a sua derivada segunda α′′(t) sejaidenticamente nula. O que podemos dizer a respeito de α?
4) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada e seja v ∈ R3 um vetor fixado. Admitaque α′(t) seja ortogonal a v para todo t ∈ I e que α(0) tambem seja ortogonal a v. Proveque α(t) e ortogonal a v para todo t ∈ I.
5) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada, com α′(t) 6= 0 para todo t ∈ I. Mostreque |α(t)| e uma constante nao nula se e somente se α(t) e ortogonal a α′(t) para todo t ∈ I.
Capıtulo 1 - secao 1.3 - paginas 8 a 13
1) Mostre que as retas tangentes a curva parametrizada regular α(t) = (3t, 3t2, 2t3)fazem um angulo constante com a reta y = 0, z = x.
2) Um disco circular de raio 1 no plano xy gira sem escorregar ao longo do eixo Ox. Afigura descrita por um ponto da circunferencia do disco e chamada uma cicloide (Figura 1).
a) Obtenha uma curva parametrizada α : R→ R2 cujo traco seja uma cicloidee determine seus pontos singulares.
b) Calcule o comprimento de arco da cicloide correspondente a uma rotacaocompleta do disco.
1
Figura 1: A cicloide
3) Seja OA um diametro, de comprimento 2a, de um cırculo S1 e sejam OY e AV asretas tangentes a S1, respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r e tracada a partir deO e encontra o cırculo S1 em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Opde maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, oponto p descreve uma curva chamada a cissoide de Diocles. Tomando O como a origemdo plano xy, OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que
a) O traco de
a(t) =
(2at2
1 + t2,
2at3
1 + t2
), t ∈ R,
e a cissoide de Diocles (t = tan θ, ver Figura 2).
b) A origem (0, 0) e um ponto singular da cissoide.
c) A medida que t→∞, α(t) se aproxima da reta x = 2a, e α′(t)→ (2a, 0).Assim quando t → ∞, a curva e a sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemosque x = 2a e uma assıntota da cissoide.
Figura 2: A cissoide de Diocles
2
4) Seja α : (0, π)→ R2 dada por
a(t) =
(sin t, cos t+ log tan
t
2
)onde t e o angulo que o vetor α′(t) faz com o eixo Oy. O traco de α e chamado de
tractriz.
Figura 3: A tractriz
Mostre que
a) α e uma curva diferenciavel, parametrizada, regular exceto em t = π2.
b) O comprimento do segmento da tangente da tractriz entre o ponto detangencia e o eixo Oy e constante igual a 1.
5) Seja α : (−1,+∞)→ R2 dada por
α(t) =
(3at
1 + t3,
3at2
1 + t3
)Prove que:
a) Para t = 0, α e tangente ao eixo Ox.
b) Quando t→∞, α(t)→ (0, 0) e α′(t)→ (0, 0).
c) Considerando a curva com a orientacao oposta, quando t → −1, a curvae a sua tangente se aproximam da reta x+ y + a = 0.
3
A figura obtida completando-se o traco de α de forma que ele se torne simetrico emrelacao a reta y = x e chamada o folium de Descartes (Ver Figura 4)
Figura 4: O folium de Descartes
6) Seja α(t) =(aebt cos t, aebt sin t
), t ∈ R, a > 0 e b < 0 constantes, uma curva
parametrizada.
a) Mostre que quando t→ +∞, α(t) aproxima-se da origem, espiralando emtorno dela (por causa disto, o traco de α e chamada a espiral logarıtmica; ver Figura 5).
b) Mostre que α′(t)→ (0, 0) quando t→ +∞ e que
limt→+∞
∫ t
t0
|α′(t)|dt
e finito; isto e, α tem comprimento de arco finito em [t0,∞).
Figura 5: A espiral logarıtmica
10) (Retas como caminhos mais curtos.) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada.Seja [a, b] ⊂ I e defina α(a) = p, α(b) = q.
4
a) Mostre que, para qualquer vetor constante v, |v| = 1,
(q − p) · v =
∫ b
a
α′(t) · vdt ≤∫ b
a
|α′(t)|dt.
b) Defina
v =q − p|q − p|
e mostre que
|α(a)− α(b)| ≤∫ b
a
|α′(t)|dt,
isto e, a curva com menor comprimento de α(a) a α(b) e o segmento de reta ligandoestes pontos.
Capıtulo 1 - Secao 1.4 - Paginas 17 a 19
1) Verifique se as seguintes bases sao positivas:
a) A base {(1, 3), (4, 2)} em R2.
b) A base {(1, 3, 5), (2, 3, 7), (4, 8, 3)} em R3.
2) Considere um plano P em R3 dado pela equacao ax + by + cz + d = 0. Mostre
que o vetor (a, b, c) e perpendicular ao plano e que |d|√a2+b2+c2
mede a distancia do plano a
origem (0, 0, 0).
3) Determine o angulo de interseccao entre dois planos 5x + 3y + 2z − 4 = 0 e3x+ 4y − 7z = 0.
4) Dados dois planos aix + biy + ciz + di = 0, i = 1, 2 prove que uma condicao ne-cessaria e suficiente para que eles sejam paralelos e
a1
a2
=b1
b2
=c1
c2
onde fazemos a convencao de que se o denominador e zero, o numerador correspon-dente tambem e zero (dizemos que dois planos sao paralelos se eles coincidem ou nao seintercectam).
5) Mostre que a equacao de um plano passando por tres pontos nao colineares p1 =(x1, y1, z1), p2 = (x2, y2, z2), p3 = (x3, y3, z3) e dada por
5
(p− p1) ∧ (p− p2) · (p− p3) = 0
onde p = (x, y, x) e um ponto arbitrario do plano e, por exemplo, p−p1 denota o vetor(x− x1, y − y1, z − z1).
6) Dados dois planos nao-paralelos aix+ biy+ ciz+ di = 0, i = 1, 2, mostre que a retade interseccao pode ser parametrizada como
x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3t
onde (x0, y0, z0) pertence a interseccao e u = (u1, u2, u3) e o produto vetorial u = v1∧v2,vi = (ai, bi, ci), i = 1, 2.
7) Prove que uma condicao necessaria e suficiente para que o plano
ax+ by + cz + d = 0
e a reta x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3t sejam paralelos e
au1 + bu2 + cu3 = 0.
8) Prove que a distancia ρ entre duas retas nao paralelas
x− x0 = u1t, y − y0 = u2t, z − z0 = u3tx− x1 = v1t, y − y1 = v2t, z − z1 = v3t
e dada por
ρ =|(u ∧ v) · r||u ∧ v|
onde u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), r = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1).
9) Determine o angulo de intersecao entre o plano 3x + 4y + 7z + 8 = 0 e a retax− 2 = 3t, y − 3 = 5t, z − 5 = 9t.
11) a) Mostre que o volume V de um paralelepıpedo gerado por tres vetoreslinearmente independentes u, v, w ∈ R3 e dado por V = |(u ∧ v) · w|, e defina otextitvolume orientado em R3.
b) Prove que
6
V 2 =
∣∣∣∣∣∣u · u u · v u · wv · u v · v v · ww · u w · v w · w
∣∣∣∣∣∣12) Dados os vetores v 6= 0 e w, mostre que existe um vetor u tal que u ∧ v = w se e
somente se v e perpendicular a w. O Vetor u esta unicamente determinado? Se nao, quala solucao mais geral?
13) Sejam u(t) = (u1(t), u2(t), u3(t)) e v(t) = (v1(t), v2(t), v3(t)) aplicacoes dife-renciaveis do intervalo (a, b) em R3. Mostre que se as derivadas u′(t) e v′(t) satisfazem ascondicoes
u′(t) = au(t) + bv(t), v′(t) = cu(t)− dv(t)
onde a, b, c sao constantes, entao o vetor u(t) ∧ v(t) e constante.
14) Encontre todos os vetores unitarios que sao perpendiculares ao vetor (2, 2, 1) eparalelos ao plano pelos pontos (0, 0, 0), (1,−2, 1), (−1, 1, 1).
Capıtulo 1 - Secao 1.5 - Paginas 26 a 31
Salvo mencao em contrario, α : I → R3 indicara uma curva parametrizada pelo com-primento de arco s, com curvatura k(s) 6= 0, para todo s ∈ I.
1) Dada uma curva parametrizada (helice)
α(s) =(a cos
s
c, a sin
s
c, bs
c
), s ∈ R
onde c2 = a2 + b2,
a) Mostre que o parametro s e o comprimento de arco.
b) Determine a curvatura e a torcao de α
c) Determine o plano osculador de α
d) Mostre que as retas contendo n(s) e passando por α(s) encontram o eixoOz sob um angulo constante igual a π/2.
e) Mostre que as retas tangentes a α fazem um angulo constante com o eixoOz
2) Mostre que a torcao τ de α e dada por
7
τ(s) = −α′(s) ∧ α′′(s) · α′′′(s)
|k(s)|2
3) Suponha que α(I) ⊂ R2 (i.e. α e uma curva plana), escolha uma base ortonormale1, e2 de R2, e considere k com um sinal, como fizemos no texto. Translade o vetor t(s)de modo que sua origem va na origem de R2. Considere a curva parametrizada s→ t(s),chamada indicatriz tangente de α. Seja θ(s) o angulo de e1 a t(s) na orientacao de R2.Prove que (note que estamos admitindo k 6= 0).
a) A indicatriz tangente e uma curva parametrizada regular.aab) dt/ds = (dθ/ds)n, isto e, k = dθ/ds.
4) Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um pontofixo. Mostre que os traco da curva esta contido em um cırculo.
5) Uma curva parametrizada regular α tem a seguinte propriedade: todas as suastangentes passam por um ponto fixo.
a) Prove que o traco de α e (o segmento de) uma reta.
b) A conclusao ainda e valida se α nao e regular?
6) Uma translacao por um vetor w em R3 e uma aplicacao A : R3 → R3 dada porA(p) = p + v, p ∈ R3. Uma aplicacao linear ρ : R3 → R3 e uma transformacao ortogonalquando ρu · ρv = u · v para vetores quaisquer u, v ∈ R3. Um movimento rıgido em R3
e o resultado da composicao de uma translacao com uma transformacao ortogonal comdeterminante positivo (incluımos esta ultima condicao pois espera-se que movimentosrıgidos preservem orientacoes).
a) Demonstre que o medulo de um vetor e o angulo θ entre dois vetores,0 ≤ θ ≤ π, sao invariantes por transformacoes ortogonais com determinante positivo.
b) Mostre que os produto vetorial de dois vetores e invariante por trans-formacoes ortogonais com determinante positivo. A afirmacao continua verdadeira casonao seja levada em conta a condicao sobre o determinante?
c) Mostre que o comprimento de arco, a curvatura, e a torcao de uma curvaparametrizada sao (nos pontos onde estao definidas) invariantes por movimentos rıgidos.
9) Dada uma funcao diferenciavel k(s), s ∈ I, mostre que a curva plana parametrizadaque tem k(s) = k como curvatura e dada por
α(s) =
(∫cos θ(s)ds+ a,
∫sin θ(s)ds+ b
)onde
8
θ(s) =
∫k(s)ds+ φ
e que a curva fica determinada a menos de uma translacao pelo vetor (a, b) e umarotacao de angulo φ.
11) Frequentemente uma curva plana e dada em coordenadas polares: ρ = ρ(θ), a ≤θ ≤ b.
a) Mostre que o comprimento de arco e
∫ b
a
√ρ2 + (ρ′)2dθ
onde o sımbolo ’ denota derivacao em relacao a θ.
b) Mostre que a curvatura e
k(θ) =2(ρ′)2 − ρρ′ + ρ2
{ρ2 + (ρ′)2}3/2
12) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular (nao necessariamente pelocomprimento de arco) e seja β : J → R3 uma parametrizacao de α(I) pelo comprimentode arco s = s(t), medido a partir de t0 ∈ I (ver Observacao 2). Seja t = t(s) a funcaoinversa de s e faca dα/dt = α′, d2α/dt2 = α′′, etc. Prove que
a) dt/ds = 1/ |α′| , d2t/ds2 = −(α′ · α′′)/ |α′|4
b) A curvatura de α em t ∈ I e
k(t) =|α′ ∧ α′′||α′|3
c) A torcao de α em t ∈ I e
τ(t) = −(α′ ∧ α′′) · α′′′
|α′ ∧ α′′|2
d) Se α : I → R2 e uma curva plana α(t) = (x(t), y(t)), a curvatura comsinal (ver Observacao1) de α em t e
k(t) =x′y′′ − x′′y′(
(x′)2 + (y′)2)3/2
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13) Suponha que τ(s) 6= 0 e k′(s) 6= 0 para todo s ∈ I. Mostre que uma condicaonecessaria e suficiente para que α(I) esteja contida em uma esfera e que
R2 + (R′)2T 2 = const.
onde R = 1/k, T = 1/τ e R′ e a derivada de R em relacao a s.
14) Seja α : (a, b)→ R2 uma curva parametrizada regular plana. Suponha que existet0, a < t0 < b, tal que a distancia |α(t)| do traco de α a origem seja maxima em t0. Provaque a curvatura k de α em t0 satisfaz |k(t0)| ≥ 1/ |α(t0)|.
15) Mostre que o conhecimento da funcao vetorial b = b(s) (vetor binormal) de umacurva α, de torcao nao nula por toda parte, determina a curvatura k(s) e o valor absolutoda torcao τ(s) de α.
16)Mostre que o conhecimento da funcao vetorial n = n(s) (vetor normal) de umacurva α, de torcao nao nula por toda parte, determina a curvatura k(s) e a torcao τ(s)de α.
17) De uma maneira geral, uma curva α e chamada uma helice se as retas tangentesde α fazem um angulo constante com uma direcao fixa. Supondo que τ(s) 6= −, s ∈ I,prove que:
a) α e uma helice se e somente se k/τ = const.
b) α e uma helice se e somente se as retas contendo n(s) e passando por α(s)sao paralelas a um plano fixo.
c) α e uma helice se e somente se as retas contendo b(s) e passando por α(s)fazem um angulo constante com uma direcao fixa.
d) A curva
α(s) =
(a
c
∫sin θ(s)ds,
a
c
∫cos θ(s)ds,
b
cs
)onde c2 = a2 + b2, e uma helice, e k/τ = a/b.
Capıtulo 2 - Secao 2.2 - Paginas 76 a 81
1) Mostre que o cilindro {(x, y, x) ∈ R3;x2 + y2 = 1} e uma superfıcie regular, e en-contre parametrizacoes cujas vizinhancas coordenadas cubram o cilindro.
2) O conjunto {(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e x2 + y2 ≤ 1} e uma superfıcie regular? O con-junto {(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e x2 + y2 < 1} e uma superfıcie regular?
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3) Mostre que o cone de duas folhas, com o vertice na origem, isto e o conjunto{(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 − z2 = 0}, nao e uma superfıcie regular.
4) Seja f(x, y, z) = z2. Prove que 0 nao e um valor regular de f , mas ainda assimf−1(0) e uma superfıcie regular.
5) Seja P = }(x, y, z) ∈ R3;x = y} (um plano) e seja X : U ⊂ R2 → R3 dada por
X(u, v) = (u+ v, u+ v, uv)
onde U = {(u, v) ∈ R2;u > v}. Evidentemente, X(U) ⊂ P . Sera que X e uma para-metrizacao de P?
6) Apresente uma outra demonstracao para a Prop.1, aplicando a Prop.2 a h(x, y, z) =f(x, y)− z.
7) Seja f(x, y, z) = (x+ y + z − 1)2.
a) Localize os pontos crıticos e os valores crıticos de f .
b) Para quais valores de c o conjunto f(x, y, z) = c e uma superfıcie regular?
c) Responda as questoes dos itens a e b para a funcao f(x, y, z) = xyz2.
8) Seja X(u, v) como na Def. 1. Verifique que dXq : R2 → R3 e injetiva se e somente se
∂X
∂u∧ ∂X∂v6= 0
9) Seja V um conjunto aberto do plano xy. Mostre que o conjunto
{(x, y, z) ∈ R3; z = 0 e (x, y) ∈ V }
e uma superfıcie regular.
10) Seja C a ”figura 8”no plano xy e seja S a superfıcie cilındrica sobre C (Fig. 6);isto e,
S = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ C}
O conjunto S e uma superfıcie regular?
11) Mostre que o conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3; z = x2 − y2} e uma superfıcie regular,verifique que as aplicacoes nos itens a e b sao parametrizacoes de S:
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Figura 6: Superfıcie
a) X(u, v) = (u+ v, u− v, 4uv), (u, v) ∈ R2.
b) X(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u2), (u, v) ∈ R2, u 6= 0.
Quais partes de S sao cobertas por estas parametrizacoes?
12) Mostre que X : U ⊂ R3 dada por
X(u, v) = (a sinu cos v, b sinu sin v, c cosu) a, b, c 6= 0
onde 0 < u < π, 0 < v < 2π, e uma parametrizacao do elipsoide.
x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1
Descreva geometricamente as curvas u = const. sobre o elipsoide.
13) Encontre uma parametrizacao para o hiperboloide de duas folhas {(x, y, z) ∈ R3;−x2 − y2 + z2 = 1}.
16) Uma maneira de definir um sistema de coordenadas para a esfera S2, dada porx2 + y2 + z2 − 1
2= 1, e considerar a chamada projecao estereografica π : S2−{N} → R2,
que leva um ponto p = (x, y, z) da esfera S2 menos o polo norte N = (0, 0, 2) sobre oplano xy (Fig. 7). Seja (u, v) = π(x, y, z), onde (x, y, z) ∈ S2 − {n} e (u, v) ∈ plano xy.
a) Mostre que π−1 : R2 → S2 e dada por
π−1
x = 4u
u2+v2+4
y = 4vu2+v2+4
z = 2(u2+v2)u2+v2+4
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Figura 7: Projecao estereografica
b) Mostre que, utilizando a projecao estereografica, e possıvel cobrir a esferacom duas vizinhancas coordenadas.
19) Seja α : (−3, 0)→ R2 definida por (Fig. 8)
α(t)
= (0,−(t+ 2)), se t ∈ (−3,−1),
= curva parametrizada regular ligando p = (0,−1) a q = ( 1π, se t ∈ (−1,− 1
π),
= (−t, sin(
1t
)), se t ∈ (− 1
π, 0),
Figura 8: A escala horizontal e distinta da escala vertical
E possıvel definir a curva ligando p a q de forma que todas as derivadas de α sejamcontınuas e α nao tenha auto-intersecoes. Seja C o traco de α.
a) C e uma curva regular?
b) Considere as retas normais ao plano R2 e que passam por C, formandoassim um cilindro S. S e uma superfıcie regular?
Capıtulo 2 - Secao 2.3 - Paginas 94 a 97
1) Seja S2 = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 1} a esfera unitaria e seja A : S2 → S2 aaplicacao antıpoda A(x, y, z) = (−x,−y,−z). Mostre que A e um difeomorfismo.
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2) Seja S ⊂ R3 uma superfıcie regular e π : S → R2 a aplicacao que leva cada p ∈ S emsua projecao ortogonal sobre R2 = {(x, y, z) ∈ R3; z = 0}. A aplicacao π e diferenciavel?
3) Mostre que o paraboloide z = x2 + y2 e difeomorfo a um plano.
4) Construa um difeomorfismo entre o elipsoide
x2
a2+ y2
b2+ z2
c2= 1
e a esfera x2 + y2 + z2 = 1.
5) Seja C ⊂ R3 uma superfıcie regular, e seja d : S → R dada por d(p) = |p− p0|,onde p ∈ S, p0 ∈ R3, p0 /∈ S; isto e, d e a distancia de p a um ponto fixo p0 que nao estaem S. prove que d e diferenciavel.
6) Prove que a definicao de aplicacao diferenciavel entre superfıcies nao depende daescolha de parametrizacoes.
7) Prove que a relacao ”S1”e difeomorfa a S2”e uma relacao de equivalencia no con-junto das superfıcies regulares.
8) Sejam S2 = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 1} eH = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 − z2 = 1}.Denote por N = (0, 0, 1) e S = (0, 0,−1), respectivamente, os polos norte e sul, e considereF : S2 − {N} ∪ {S} → H definida da seguinte maneira: Para cada p ∈ S2 − {N} ∪ {S},seja q o ponto de intersecao entre a perpendicular ao eixo Oz que passa por p, e o eixoOz. Considere a semi-reta l comecando em q e contendo p. Entao {F (p)} = l ∩H (Fig.9). Prove que F e diferenciavel.
Figura 9: Hiperboloide e esfera
11) Prove que as rotacoes de uma superfıcie de revolucao S em torno de seu eixo saodifeomorfismos de S.
13) Mostre que a definicao, dada no texto (Def. 1), de diferenciabilidade de umafuncao f : V ⊂ S → R e equivalente ao seguinte: f e diferenciavel em p ∈ V se e a
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restricao a V de uma funcao diferenciavel definida em um conjunto aberto de R3 con-tendo p. (Se tivessemos comecado com essa definicao de diferenciabilidade, poderıamoster definido uma superfıcie regular como um conjunto que e localmente defiomorfo ao R2;ver Observacao 3.)
Capıtulo 2 - Secao 2.4 - Paginas 104 a 108
1) Mostre que a equacao do plano tangente em (x0, y0, z0) a uma superfıcie regulardada por f(x, y, z) = 0, onde 0 e um valor regular de f , e
fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0) + fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0
2) Determine os planos tangentes a x2 + y2− z2 = 1 nos pontos (x, y, 0) e mostre queeles nao todos paralelos ao eixo Oz.
3) Mostre que a equacao do plano tangente a uma superfıcie que e o grafico de umafuncao diferenciavel z = f(x, y), em um ponto p = (x0, y0), e dada por
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0, z0)(x− x0) + fy(x0, y0, z0)(y − y0)
Lembre-se da definicao de diferencial df de uma funcao f : R2 → R, e mostre que oplano tangente e o grafico da diferencial dfp.
4) Mostre que os planos tangentes a uma supefıcie dada por z = xf(yx
), x 6= 0, onde
f e uma funcao diferenciavel, passam todos pela origem (0, 0, 0).
5) Se uma vizinhanca coordenada de uma superfıcie regular pode ser parametrizadana forma
X(u, v) = α1(u) + α2(v)
onde α1 e α2 sao curvas parametrizadas regulares, mostre que os planos tangentes aolongo de uma curva coordenada fixa desta vizinhanca sao todos paralelos a uma reta.
6) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular com curvatura diferente de zeroem todos os pontos. Considere a superficie tangente a α (Exemplo 5 da secao 2.3)
X(t, v) = α(t) + vα′(t), t ∈ I, v 6= 0
Mostre que os planos tangentes ao longo da curva X(const., v) sao todos iguais.
7) Seja f : S → R dada por f(p) = |p− p0|2, onde p ∈ S e p0 e um ponto fixo de R3
(ver Exemplo 1 da secao 2.3). Mostre que dfp(w) = 2w · (p− p0), w ∈ TpS.
8) Prove que se L : R3 → R3 e uma aplicacao linear e S ⊂ R3 e uma superfıcie regularinvariante por L, i. e., L(S) ⊂ S, entao a restricao L|S e uma aplicacao diferenciavel e
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dLp(w) = L(w), p ∈ S, w ∈ TpS
9) Mostre que a superfıcie parametrizada
X(u, v) = (v cosu, v sinu, au), a 6= 0
e regular. Calcule o seu vetor normal N(u, v) e mostre que, ao longo da reta coorde-nada u = u0, o plano tangente de X gira em torno deste reta de tal modo que a tangentede seu angulo com o eixo Oz e proporcional ao inverso da distancia (v =
√x2 + y2) do
ponto X(u0, v) ao eixo Oz.
10) (Superfıcies Tubulares) Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular comcurvatura diferente de zero em todos os pontos e parametrizada pelo comprimento dearco. Seja
X(s, v) = α(s) + r (n(s) cos v + b(s) sin v) ,r = const. 6= 0, s ∈ I, v ∈ (0, 2π)
uma superfıcie parametrizada (o tubo de raio r em torno de α), onde n e o vetornormal e b e o vetor binormal de α. Mostre que, quando X e regular, o seu vetor normalunitario e dado por
N(s, v) = − (n(s) cos v + b(s) sin v)
11) Mostre que as normais de uma superfıcie parametrizada dada por
X(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)) , f(u) 6= 0, g′ 6= 0
passam todas pelo eixo Oz.
12) Mostre que cada uma das equacoes (a, b, c 6= 0)
x2 + y2 + z2 = axx2 + y2 + z2 = byx2 + y2 + z2 = cz
define uma superfıcie regular e que elas se intersectam ortogonalmente.
13) Um ponto crıtico de uma funcao diferenciavel f : S → R definida em uma su-perfıcie regular S e um ponto p ∈ S tal que dfp = 0.
a) Seja f : S → R dada por f(p) = |p− p0| , p ∈ S, p0 /∈ S (cf. Exercıcio 5,secao 2.3). Mostre que p ∈ S e um ponto crıtico de f se e somente se a reta ligando p ap0 e normal a S em p.
b) Seja h : S → R dada por h(p) = p · v, onde v ∈ R3 e um vetor unitario(cf. Exemplo 1, secao 2.3). Mostre que p ∈ S e um ponto crıtico de h se e somente se v e
16
um vetor normal a S em p.
15) Mostre que se todas as normais a uma superfıcie conexa passam por um pontofixo, a superfıcie esta contida em uma esfera.
16) Seja w um vetor tangente a uma superfıcie regular S em um ponto p ∈ S, e sejamX(u, v) e X(u, v), sejam, respectivamente
w = α1Xu + α2Xv
e
w = β1Xu + β2Xv
Mostre que as coordenadas de w estao relacionadas por
β1 = α1∂u
∂u+ α2
∂u
∂v
β2 = α1∂v
∂u+ α2
∂v
∂v
onde u = u(u, v) e v = v(u, v) sao as expressoes da mudanca de coordenadas.
17) Duas superficies regulares S1 e S2 intersectam-se transversalmente se sempre quep ∈ S1 ∩ S2 entao TpS1 6= TpS2. Prove que se S1 e S2 intersectam-se transversalmente,entao S1 ∩ S2 e uma curva regular.
18) Prove que se uma superfıcie regular S encontra um plano p em um unico ponto,entao este plano coincide com o plano tangente a S em p.
19) Seja S ⊂ R3 uma superfıcie regular e P ⊂ R3 um plano. Se todos os pontos deS estao em um mesmo semi-espaco (fechado) definido por P , prove que P e tangente a Sem todos os pontos P ∩ S.
20) Mostre que as projecoes ortogonais do centro (0, 0, 0) do elipsoide
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
sobre seus planos tangentes constitui uma superfıcie regular dada por{(x, y, z) ∈ R3; (x2 + y2 + z2)
2= a2x2 + b2y2 + c2z2
}− {(0, 0, 0)}
21) Seja f : S → R uma funcao diferenciavel em uma superfıcie regular conexa S.Suponha que dfp = 0 para todo p ∈ S. Prove que f e constante em S.
24) (Regra da Cadeia) Mostre que se ϕ : S1 → S2 e ψ : S2 → S3 sao aplicacoesdiferenciaveis, definidas em superfıcies regulares, e p ∈ S1, entao
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d (ψ ◦ ϕ)p = dψϕ(p) ◦ dϕp
25) Prove que se duas curvas regulares C1 e C2 de uma superfıcie regular S sao tan-gentes em um ponto p ∈ S e se ϕ : S → S e um difeomorfismo, entao ϕ(C1) e ϕ(C2) saocurvas regulares que sao tangentes em ϕ(p).
Capıtulo 2 - Secao 2.5 - Paginas 118 a 121
2) Seja X(ϕ, θ) = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ) uma parametrizacao da esfera unitariaS2. Seja P o plano x = z cotα, 0 < α < π, e β o angulo agudo que a curva P ∩ S2 fazcom o semi-meridiano ϕ = ϕ0. Calcule cos β.
3) Obtenha a primeira forma fundamental da esfera na paramterizacao dada pelaprojecao estereografica (cf. Exercıcio 16, secao 2.2).
4) Dada a superficie parametrizada
X(u, v) = (u cos v, u sin v, log cos v + u) , −π2< v <
π
2
mostre que as duas curvas X(u1, v) e X(u2, v) determinam segmentos com compri-mentos iguais sobre todas as curvas X(u, const.).
5) Mostre que a area A de uma regiao limitada R da superfıcie z = f(x, y) e
A =
∫∫Q
√1 + f 2
x + f 2ydxdy,
onde Q e a projecao ortogonal de R sobre o plano xy.
6) Mostre que
X(u, v) = (u sinα cos v, u sinα sin v, u cosα)0 < u <∞, 0 < v < 2π, α = const.
e uma parametrizacao do cone tendo 2α como angulo do vertice. Na vizinhancacoordenada correspondente, prove que a curva
X (c exp(v sinα cot β), v) , c = const., β = const.,
intersecta as geratrizes do cone (v = const.) sob o angulo constante β.
7) As curvas coordenadas de uma parametrizacao X(u, v) constitui uma rede de Tche-bishef se os comprimentos de dos lados opostos de qualquer quadrilatero formado por elessao iguais. Mostre que uma condicao necessaria e suficiente para isto e
∂E
∂v=∂G
∂v= 0
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8) Prove que sempre que as curvas coordenadas constituem uma rede de Tchebyschef(ver Exercıcio 7) e possıvel reparametrizar a vizinhanca coordenada de tal maneira queos novos coeficientes da primeira forma fundamental sao
E = 1, F = cos θ, G = 1,
onde θ e o angulo formado pelas curvas coordenadas.
9) Mostre que a superfıcie de revolucao sempre pode ser parametrizada de modo que
E = E(v), F = 0, G = 1.
10) Seja P = {(x, y, z) ∈ R3; z = 0} o plano xy e seja X : U → P uma parametrizacaode P dada por
X(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ)
onde
U = {(ρ, θ) ∈ R2; ρ > 0, 0 < θ < 2π}
Calcule os coeficientes da primeira forma fundamental de P nesta parametrizacao.
14) (Gradiente em Superfıcies) O gradiente de uma funcao diferenciavel f : S → R euma aplicacao diferenciavel grad f : S → R3 que associa a cada ponto p ∈ S um vetorgrad f(p) ∈ Tp(S) ⊂ R3 tal que
〈grad f(p), v〉p para todo v ∈ TpS
Mostre que
a) Se E, F , G sao os coeficientes da primeira forma fundamental em umaparametrizacao X : U ⊂ R2 → S, entao grad f em X(U) e dado por
grad f =fuG− fvFEG− F 2
Xu +fvE − fuFEG− F 2
Xv
Em particular, se S = R2 com coordenadas x, y,
graf f = fxe1 + fye2,
onde {e1, e2} e a base canonica R2 (assim, a definicao dada coincide com a definicaousual do gradiente no plano).
b) Fixando p ∈ S e deixando v variar no cırculo unitario |v| = 1 em TpS,entao dfp(v) e maximo se e somente se v = grad f
|grad f | (assim, grad f(p) fornece a direcao da
variacao maxima de f em p).
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c) Se grad f 6= 0 em todos os pontos da curva de nıvel C = {q ∈ S; f(q) = const.},entao C e uma curva regular em S e grad f e normal a C em todos os pontos de C.
Capıtulo 3 - Secao 3.3 - Paginas 178 a 179
1) Mostre que, em um ponto hiperbolico, as direcoes principais bissextam as direcoesassintoticas.
2) Mostre que, se uma superfıcie e tangente a um plano ao longo de uma curva, entaoos pontos dessa curva sao parabolicos ou planares.
3) Seja C ⊂ S uma curva regular sobre uma superfıcie S com curvatura GaussianaK > 0. Mostre que a curvatura k de C em p ∈ S satisfaz
|k| ≥ min {|k1| , |k2|}
onde k1 e k2 sao as cuvaturas principais de S em p.
4) Suponha que uma superfıcie S tenha a propriedade |k1| ≤ 1, |k2| ≤ 1 em todos ospontos. E verdade que a curvatura k de uma curva em S tambem satisfaz |k| ≤ 1?
5) Mostre que a curvatura media H em p ∈ S e dada por
H =1
π
∫ π
0
kn(θ)dθ
onde kn(θ) e a curvatura normal em p na direcao que faz um angulo θ, com uma direcaofixa.
6) Mostre que a soma das curvaturas normais em um ponto p ∈ S, para qualquer parde direcoes ortogonais, e constante.
7) Mostre que se a curvatura media e zero em um ponto nao-planar, entao esse pontotem duas direcoes assintoticas ortogonais.
8) Para as superfıcies abaixo, descreva a regiao da esfera unitaria coverta pela imagemda aplicacao de Gauss:
a) Paraboloide de revolucao z = x2 + y2.
b) Hiperboloide de revolucao x2 + y2 − z2 = 1.
c) Catenoide x2 + y2 = cosh2 z.
9) Prove que
a) A imagem N ◦α pela aplicacao de Gauss N : S → §2 de uma curva regularparametrizada α : I → S que nao contem pontos planares ou parabolicos, e uma curva
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regular sobre a esfera S2 (chamada imagem esferica de α).
b) Se C = α(I) e uma linha de curvatura, e k a sua curvatura em p, entao
k = |knkN |
onde kn e a curvatura normal em p ao longo da reta tangente a C e kN e a curvatura daimagem esferica N(C) ⊂ S2 em N(p).
10) Suponha que o plano osculador de uma linha de curvatura C ⊂ S, que nao etangente a uma direcao assintotica, faca um angulo constante com o plano tangente a Sao longo de C. Prove que C e uma curva plana.
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