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Praia
Matemática A- Trabalho de Pares António Almeida e Rute Resende 11ºA
Problema nº9
Praia
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Numa praia da costa alentejana, mediu-se num determinado dia o nível médio das águas do mar, N, em metros, ao longo do tempo, t, em horas. Depois de registados os dados encontrou-se como modelo deste fenómeno periódico a seguinte função:
António Almeida e Rute Resende 11ºA
24,0,6
cos24)(
tttN
Nota: O argumento da função cosseno está expresso em radianos.
Enunciado do Problema:
Utilizando as capacidades da calculadora gráfica, introduziu-se a função N(t), com a janela de visualização , obtendo-se a seguinte representação gráfica:
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Esboço da função obtida
yx 8,030,0
t
N(t)
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Estudo da Função • A função apresentada é uma função
Cosseno. Assim, pôde-se retirar conclusões iniciais como:
• A função é par (paralela em relação ao eixo das ordenadas)
• O período da função é 12 ( 12 horas)
• A função não é injetiva ( existem diferentes horas com o mesmo nível médio de águas)
12H 24H
Período
Domínio da função com base no problema
t
N(t)
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Nível médio das águas às 14h
3
142
124
3cos24
3
7cos24
6
14cos24
6cos24
N
t
R.: Às 14h o nível médio das águas do mar era de 3 metros
Para calcular o nível médio das águas do mar às 14 horas, substituiu-se t por 14 e simplificou-se a expressão.
ktkt
ktk
t
k
t
k
t
ktktt
tt
128124
123
2412
3
12
6
1
2
6
3
4
6
1
2
6
3
2
23
4
62
3
2
62
1
6cos
16
cos256
cos24
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Valores de t para os quais N(t)=5
24,03228,2
24,02016,1
24,084,0
tttk
tttk
tttk
R.: O nível médio das águas do mar é 5 metros, às 4h, 8h, 16h e 20h
Calculou-se a hora em que o nível médio das águas do mar tinha o valor de 5 metros, igualando a expressão a 5.
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Horas da manhã em que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros
(3,4) (9,4) (21,4) (15,4)
Introduziu-se a função y=4 e, utilizando as capacidades da calculadora gráfica, calculou-se a interseção das duas funções obtendo os pontos assinalados em baixo:
Conclui-se que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros, entre as 3h e as 9h da manhã, e entre as 15h e as 21h. (Não inclusive)
1.5) Sabendo que as marés podem ser traduzidas por funções do tipo: , justifica graficamente se, no cotexto do problema, a pode ser igual a zero.
)( dcxbsenay
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Sabe-se que:
24,0,6
cos24)(
tttN
Logo
a b c
Igualando a a zero, obtém-se:
24,0,6
cos2)(
tttN
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se as duas funções N(t), com a janela de visualização , obtendo-se a seguinte representação gráfica:
24,0,6
cos24)(
tttN
24,0,6
cos2)(
tttN
yx 8,330,0
Igualando a a zero e através da representação, pôde-se concluir que, a é uma transformação da função (na vertical), elevando os valores de y quatro unidades.
Assim, sem esta transformação, y toma valores negativos, logo, é impossível o problema ser representado igualando a a zero. Isto porque N representa uma medida, que nunca pode ser negativa.
António Almeida e Rute Resende 11ºA
1.6) E se b fosse o simétrico do atual?
Como já concluído anteriormente b= -2, assim o simétrico de b é 2. Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se a função N(t), com a transformação indicada e a função N(t) original, com a janela de visualização obtendo a seguinte representação gráfica:
yx 8,030,0
24,0,6
cos24)(
tttN
24,0,6
cos24)(
tttN
Pôde-se concluir que, com esta transformação o problema continua a ser representado corretamente. No entanto, os valores de N são simétricos para os mesmo valores de t, exceto em N=4, onde as funções se cruzam.
N=4
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Conclui-se que…
A função N(t) representa uma medida, tal que, os seus valores são sempre positivos. Os a valores de t horas variam entre 0 e 24 porque o problema apresentado, diz respeito a valores de um dia completo.
A função tem um período de 12, neste caso 12 horas, sendo que para resolver o problema, utilizam-se os dois primeiros períodos ( ).
Para calcular valores de N, num certo valor de t, em horas, basta substituir t por esse mesmo valor.
Para calcular valores de t, para um certo valor de N, basta igualar a função a esse valor, obtendo números variáveis consoante uma incógnita k. Substituindo k, tendo em atenção o domínio da função N(t), obtém-se os valores de t correspondentes, neste caso, a um certo nível médio de águas do mar.
A função N(t) tem algumas transformações associadas, e substituindo esses valores por outros, ou por simétricos, as respostas ao problema tornam-se radicalmente diferentes, ou até impossíveis.
24,0t
António Almeida e Rute Resende 11ºA
Fim…