INTRODUCCIÓN A L MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

contenido1 Introducción 51.1 ¿Cuál es el método de los elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 ¿Cómo funciona el FEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Formulación de ecuaciones de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2 Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ecuaciones de elementos finitos para la transferencia de calor 112.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 finitos elemento de discretización de las ecuaciones de transferencia de calor . . . .122.3 Diferentes problemas de tipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 FEM para Mecánica De Sólidos problemas 153.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Ecuaciones de elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Montaje del sistema de ecuaciones global. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Elementos Finitos 214,1 elemento triangular de dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Elementos isoparamétricos bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.1 Las funciones de la forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.2 matriz de deformación - desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.3 Propiedades del elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.4 Integración de elementos cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.5 Cálculo de deformaciones y tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Elementos isoparamétricos tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Funciones de forma 4.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 matriz de deformación - desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.3 Propiedades del elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.4 computación eficiente de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.5 Integración de la matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.6 Cálculo de deformaciones y tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.7 La extrapolación de tensiones y deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3134 CONTENIDO5 Discretización 335.1 modelo discreto del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.2 Generación de malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.1 Los generadores de malla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.2 técnica de Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.3 triangulación de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 de la Asamblea y la solución 37

6.1 Desmontaje y montaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Algoritmo de desmontaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3 Asamblea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3.1 Algoritmo de la Asamblea para los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.3.2 Algoritmo Asamblea de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4 Desplazamiento condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.1 especificación explícita de desplazamiento antes de Cristo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.4.2 Método de la gran cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5 Solución de ecuaciones de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.1 Los métodos de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.2 Método directo LDU con matriz de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.5.3 Ajuste de la factorización LDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.5.4 método del gradiente conjugado previo de adaptación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Capítulo 1introducción1.1 ¿Cuál es el método de elementos finitos?El método de los elementos finitos (FEM) es una técnica numérica para la solución de problemas que se describen por ecuaciones diferenciales parciales o se pueden formular como la minimización funcional. Un dominio de interés es representado como un conjunto de elementos finitos. Aproximar funciones en elementos finitos se determinan en función de los valores nodales de un campo físico que se busca. Un problema físico continua es transformado en un problema de elementos finitos discretos con los valores nodales desconocidas. Para un problema lineal un sistema de ecuaciones algebraicas lineales debe ser resuelto. Los valores contenidos en elementos finitos se pueden recuperar utilizando los valores nodales.Dos características de la FEM son dignos de ser mencionados:1) Pieza sabio aproximación de los campos físicos de elementos finitos proporciona una buena precisión incluso con aproximar funciones simples (aumentando el número de elementos que podemos lograr cualquier precisión). 2) Localidad de aproximación conduce a sistemas de ecuaciones dispersos por un problema de datos discretos. Esto ayuda a resolver los problemas con gran número de incógnitas nodales.

1.2 ¿Cómo funciona el FEM?Para resumir, en términos generales cómo funciona el método de los elementos finitos se indican los pasos principales de lo finito procedimiento de solución de elementos a continuación.1. Discretice del continuo. El primer paso consiste en dividir una región solución en elementos finitos. La malla de elementos finitos es generada normalmente por un programa de preprocesador. La descripción de malla consiste de varios conjuntos principales de las cuales son las coordenadas nodales y conectividades de los elementos.2. Seleccionar funciones de interpolación. Funciones de interpolación se utilizan para interpolar las variables de campo sobre el elemento. A menudo, se seleccionan polinomios como funciones de interpolación. El grado del polinomio depende del número de nodos asignados al elemento.3. Encuentra las propiedades de los elementos. La ecuación de la matriz para el elemento finito debe establecerse que relaciona los valores nodales de la función desconocida para otros parámetros. Para esta tarea diferenteenfoques pueden ser utilizados, los más convenientes son: el enfoque variacional y el método de Galerkin.4. Montar las ecuaciones de los elementos. Para encontrar el sistema de ecuaciones global para toda la solución región que debe reunir todos los elementos de las ecuaciones. En otras palabras, debemos combinar elementos locales ecuaciones para todos los elementos utilizados para la discretización. Conectividades elementos se utilizaron para el montaje

proceso. Antes de la solución, las condiciones de frontera (que no se tienen en cuenta en las ecuaciones de elementos) deben imponer.

Figura 1.1: Dos elementos lineales unidimensionales y la función de interpolación elemento interior.

5. Resuelve el sistema de ecuaciones global. El elemento finito sistema ecuación global es normalmente escasa, simétrica y definida positiva. Los métodos directos e iterativos se pueden utilizar para la solución. Los valores nodales de la función buscada se producen como resultado de la solución.6. Calcular los resultados adicionales. En muchos casos es necesario calcular los parámetros adicionales. Para ejemplo, en problemas mecánicos deformaciones y las tensiones son de interés, además de desplazamientos, la cual se obtienen después de la solución del sistema de ecuaciones mundial.

1.3 Formulación de ecuaciones de elementos finitosVarios enfoques pueden ser utilizados para transformar la formulación física del problema a su elemento finito analógica discreta. Si la formulación física del problema se conoce como una ecuación diferencial a continuación, la método más popular de su formulación de elementos finitos es el método de Galerkin. Si el problema físico puede ser formulado como la minimización de una formulación variacional luego funcional del elemento finito ecuaciones se utiliza generalmente.1.3.1 Método de GalerkinVamos a usar ejemplo sencillo de una sola dimensión para la explicación de la formulación de elementos finitos utilizando el Método de Galerkin. Supongamos que tenemos que resolver numéricamente la ecuación diferencial siguiente:

ad2ud x2 +b=0 , 0≤ x≤2L

Con las condiciones de contorno

u¿x=0=0

ududx

¿x=2L=R

Donde u es una solución desconocida. Vamos a resolver el problema con dos unidimensional lineal elementos finitos como se muestra en la figura. 1.1. Puño,

considere un elemento finito presentado a la derecha de la figura. El elemento tiene dos nodos y aproximación de la función u (x) se puede hacer de la siguiente manera:

u=N 1u1+N2u2=[N ] {u }

[N ]=[N1 N2 ]

{u }={u1u2 }

1.3. Formulación de ecuaciones de elementos finitos.

Donde Ni son las llamadas funciones de forma que se utilizan para la interpolación de u (x) el uso de sus valores nodales. Valores nodal u1 y u2 son incógnitas que debe determinarse a partir del sistema de ecuaciones mundial discreta. Después de sustituir u(x) expresa a través de sus valores nodales y las funciones de forma, en el diferencial ecuación, que tiene la siguiente forma aproximada:

N1=1−x−x1

x2−x1

N2=x−x1

x2−x1

que se utilizan para la interpolación de u (x) el uso de sus valores nodales. Valores nodal u1 y u2 son incógnitas que debe determinarse a partir del sistema de ecuaciones mundial discreta. Después de sustituir u expresa a través de sus valores nodales y las funciones de forma, en el diferencial ecuación, que tiene la siguiente forma aproximada:

ad2

d x2 [N ] {u }+b=ψ

donde A es un residuo distinto de cero debido a la representación aproximada de una función dentro de un elemento finito. El método de Galerkin proporciona minimización residual términos multiplicadores de la ecuación anterior por funciones de forma, integrando sobre el elemento e igualando a cero:

∫x1

x2

[N ]T a d2

d x2[N ] {u }dx+∫

x1

x2

[N ]T bdx=0

El uso de la integración por partes lleva a la siguiente forma discreta de la ecuación diferencial para el elemento finito:

∫x1

x2

[ dNdx ]T

a[ dNdx ]dx {u }−∫x1

x2

[N ]T bdx−{01}a dudx ¿x=x2+{10}a dudx ¿x= x1

=0

Por lo general, dicha relación para un elemento finito se presenta como:

[k ] {u }= {f }

[k ]=∫x1

x2

[ dNdx ]T

a[ dNdx ]d x

{ f }=∫x1

x2

[N ]T bdx+{01}a dudx ¿x= x2−{10}a dudx ¿x= x1

Por lo general, dicha relación para un elemento finito se presenta como:

En la mecánica de sólidos [k] se llama matriz de rigidez y FFG se llama vector de carga. En el sencillo consideradacaso de los dos elementos finitos de longitud L matrices de rigidez y los vectores de carga se puede calcular fácilmente:Las relaciones anteriores proporcionan ecuaciones de elementos finitos para los dos elementos finitos separados. Un mundialsistema de ecuaciones para el dominio con 2 elementos y nodos 3 se puede obtener por un conjunto de elementoecuaciones. En nuestro caso simple que es claro que los elementos interactúan entre sí en el nodo con mundialnúmero 2. El sistema de ecuaciones mundial ensamblado es:un