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Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Transferência de CalorCondução em Paredes Planas e Cilíndricas
Prof. Rodolfo RodriguesUniversidade Federal do Pampa
BA000200 – Fenômenos de TransporteCampus Bagé
15 de maio de 2017
Rodolfo Rodrigues Fenômenos de Transporte
Transferência de Calor: Condução 1 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
A condução é o transporte de energia em um meio devido aum ∆T e o mecanismo físico é a atividade atômica/molecularaleatória;
A equação da taxa de condução é a lei de Fourier;
Esta lei é fenomenológica, isto é, é desenvolvida a partir defenômenos observados ao invés de princípios fundamentais;
Da observação chegou-se a:
qx ∝ A∆T∆x
(1)
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Transferência de Calor: Condução 2 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Figura 1: Experimento de condução térmica em regime permanente.Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 3 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
A lei de Fourier, para uma direção x, é dada por:
q′′x =qx
A= −k
dTdx
(2)
O fluxo térmico, q′′x , é uma grandeza vetorial que é normal àárea da seção transversal A ;
Sua direção será sempre normal a uma superfícieisotérmica;
Uma forma geral da equação da taxa da condução (lei deFourier) é:
qqq′′ = −k∇∇∇T = −k(iii∂T∂x
+ jjj∂T∂y
+ kkk∂T∂z
)(3)
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Transferência de Calor: Condução 4 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Figura 2: Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria atemperaturas e pressões normais.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 5 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
(a) (b)
Figura 3: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) sólidos e(b) líquidos não metálicos saturados.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 6 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
(a) (b)
Figura 4: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) líquidosnão-metálicos saturados e (b) gases a pressões normais.
Fonte: Incropera et al. (2008).
Rodolfo Rodrigues Fenômenos de Transporte
Transferência de Calor: Condução 7 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Lei de Fourier
Propriedades Termofísicas
São de 2 categorias:Propriedades de transporte: viscosidade cinemática, µ,(transporte de momento) e condutividade térmica, k , (transportede calor); ePropriedades termodinâmicas: massa específica, ρ, e calorespecífico, cp .
Outras propriedades relevantes:Capacidade térmica volumétrica, ρcp (J/(m3.K)), mede acapacidade de um material armazenar energia térmica;Difusividade térmica, α (m2/s):
α =kρcp
(4)
que mede a capacidade de um material de conduzir energiatérmica em relação à sua capacidade de armazená-la.
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Transferência de Calor: Condução 8 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Ao se aplicar a lei de conservação de energia em umvolume de controle diferencial chega-se a equação dadifusão térmica ou equação do calor;
A equação do calor permite determinar a distribuição detemperaturas em um meio a das condições impostas emsuas fronteiras;
Sua forma geral, em coordenadas cartesianas, é:
∂
∂x
(k∂T∂x
)+
∂
∂y
(k∂T∂y
)+
∂
∂z
(k∂T∂z
)+ q̇ = ρcp
∂T∂t
(5)
onde q̇ é a taxa de geração de energia por volume (W/m3).
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Transferência de Calor: Condução 9 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Figura 5: Volume de controle diferencial, dx dy dz, para a análise da condução emcoordenadas cartesianas (x, y, z).
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 10 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Sua forma geral, em coordenadas cilíndricas, é:
1r∂
∂r
(kr∂T∂r
)+
1r2
∂
∂φ
(k∂T∂φ
)+
∂
∂z
(k∂T∂z
)+ q̇ = ρcp
∂T∂t
(6)
Figura 6: Volume de controle diferencial, dr · rdφ · dz, para a análise da condução emcoordenadas cilíndricas (r , φ, z).
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 11 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Simplificações: Coordenadas Cartesianas
Condutividade térmica, k , constante:
∂2T∂x2
+∂2T∂y2
+∂2T∂z2
+q̇k
=1α
∂T∂t
(7)
Regime permanente:
∂
∂x
(k∂T∂x
)+
∂
∂y
(k∂T∂y
)+
∂
∂z
(k∂T∂z
)+ q̇ = 0 (8)
Regime permanente, unidimensional e sem geração deenergia:
ddx
(k
dTdx
)= 0 (9)
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Transferência de Calor: Condução 12 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Condições de Contorno e Inicial
Determinar a distribuição de temperaturas em um meiodepende de resolver a equação do calor a partir decondições existentes nas fronteiras e em um algum instanteinicial;
A equação do calor é de 2a ordem em relação ao espaço ede 1a ordem em relação ao tempo;
Assim, necessita de 2 condições de contorno (C.C.) e 1condição inicial (C.I.);
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Transferência de Calor: Condução 13 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Tabela 1: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0).
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 14 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Equação do Calor
Tabela 2: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0)(continuação).
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 15 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Resistências Térmicas
Para o caso particular da transferência de calorunidimensional sem geração interna de energia epropriedades constantes é aplicável o conceito deresistência térmica, Rt :
• Resistência térmica para a condução: Rt ,cond
• Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv
• Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad
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Transferência de Calor: Condução 16 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Resistências Térmicas
Assim, a equação da taxa de calor pode ser escrita como:
q =∆TRtot
(10)
onde Rtot é a resistência térmica total.
A resistência térmica total é calculada para:• Resistências térmicas em série:
Rtot =∑
Rt (11)
• Resistências térmicas em paralelo:
Rtot =1∑
(1/Rt )(12)
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Transferência de Calor: Condução 17 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Distribuição de Temperaturas
Para condução unidimensional em regime permanente em umaparede plana sem geração de calor:
ddx
(k
dTdx
)= 0 (13)
Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:
T(x) = C1x + C2 (14)
Para C.C.: T(0) = Ts,1 e T(L) = Ts,2, tem-se finalmente:
T(x) =Ts,2 − Ts,1
Lx + Ts,1 (15)
Disto tem-se que T varia linearmente com x.
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Transferência de Calor: Condução 18 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Para paredes planas, as resistências térmicas, Rt , sãodefinidas como:
• Resistência térmica para a condução:
Rt ,cond =L
kA(16)
• Resistência térmica para a convecção:
Rt ,conv =1
hA(17)
• Resistência térmica para a radiação:
Rt ,rad =1
hrA(18)
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Transferência de Calor: Condução 19 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 7: Transferência de calor através de uma parede plana. (a) Distribuição detemperaturas. (b) Circuito térmico equivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 20 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 8: Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 21 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 9: Parede composta em série-paralelo.Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 22 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Planas
Figura 10: Circuitos térmicos equivalentes para a parede composta em série-paralelo dafigura anterior.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 23 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Distribuição de Temperaturas
Para condução unidimensional em regime permanente em umaparede cilíndrica sem geração de calor:
1r
ddr
(kr
dTdr
)= 0 (19)
Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:
T(r) = C1 ln r + C2 (20)
Para C.C.: T(r1) = Ts,1 e T(r2) = Ts,2, tem-se finalmente:
T(r) =Ts,1 − Ts,2
ln (r1/r2)ln
(rr2
)+ Ts,2 (21)
Disto tem-se que T varia logaritmicamente com r .
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Transferência de Calor: Condução 24 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Para paredes cilíndricas, as resistências térmicas, Rt , sãodefinidas como:
• Resistência térmica para a condução:
Rt ,cond =ln(r2/r1)
2πLk(22)
• Resistência térmica para a convecção:
Rt ,conv =1
2πrLh(23)
• Resistência térmica para a radiação:
Rt ,rad =1
2πrLhr(24)
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Transferência de Calor: Condução 25 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Figura 11: Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies e circuito térmicoequivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 26 / 28
Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas
Condução: Paredes Cilíndricas
Figura 12: Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta e circuitotérmico equivalente.
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 27 / 28
Condução: Resumo dos Resultados
Tabela 3: Soluções unidimensionais, em regime permanente, da equação do calor semgeração.
Parede Plana Parede Cilíndrica
Equação do calord2Tdx2
= 01r
ddr
(r
dTdr
)= 0
Distribuição de temperaturas Ts,1 −∆TxL
Ts,2 + ∆Tln(r/r2)
ln(r1/r2)
Fluxo térmico (q′′) k∆TL
k∆Tr ln(r2/r1)
Taxa de calor (q) kA∆TL
2πLk∆Tln(r2/r1)
Resistência térmica (Rt ,cond)L
kAln(r2/r1)
2πLk
Fonte: Incropera et al. (2008).
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Transferência de Calor: Condução 28 / 28