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Transferencia de Masa

1649

Grupo 3

2014-08-11 3ª

2014-08-11

Contenido

Similitud de las propiedades conservativas;

Transporte por convección;

Transporte por difusión molecular;

Balance general de una propiedad conservativa;

Ecuación de continuidad;

Balance de molar de un componente de interés, A.

Referencia principal. Brodkey, Capítulos 2 y 3.

t v G

0

Flux de : v

0vt

0A AB A A A AC D C v C Rt

S

Similitud en el transporte por convección de momentum, energía y masa

v v

3 3

masa velocidad L momentum L

t tL L

C pq C T v 3C

calorias Lq

tL

A An C v3

A

moles A Ln

tL

Flux convectivo de Concentración de velocidad

3 Concentración de

L

v

Sea una propiedad conservativa

Transporte de Momentum por difusión molecular

Sistema: una tabla de superficie A está colocada en el fondo de un estanque; inicialmente

(t=0) la tabla está quieta (v=0); “de repente” (t >0), se le aplica a la tabla una fuerza

tangencial constante F, para moverla a una velocidad constante v0; esta condición se

mantiene hasta que el sistema alcanza el estado estacionario (no hay dependencia de las

características del sistema respecto del tiempo).

Sea y la dirección en la que se mueve la tabla; y considere que el fluido se mueve en

régimen laminar, es decir que el fluido se mueve en capas y que éstas no se mezclan unas

con otras.

Algunas unidades

; pero, no hay esfuerzos negativos2 12 1 y yx x v v v 0 0

Fluidos Newtonianos:y

xy

dv

dx

y

xy

dvv

dx

2 2 2 2

masa aceleraciónfuerza L 1 L 1 1= = masa = masa

A t tL t L L

2

1 1momentum

t L

2

momentum = flux de momentum difusivo ... unidades del flux convetivo

t L

2

1 1masa velocidad

t L

2 3

23

3

momentum momentumComo:

L L

t L

1

LL L =

t

2

concentración de momemtL

tu

1

Lm

como: gradiente1

L

2

2momentumconcentración de momemtum

L

tt L

3

2 2 2

3

2momentum mL a1 1 1

L L L

saL L L

t t tL L tv v v

2

Si constaL

tnte v

2

3

m m

tLL

L

tv v

mcomo: ... unidades de viscosidad

tL

... v Newton

Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)

caloriasFlujo de calor:

tCQ

2 2

flujo de calor calorias 1Flux de calor: = =

tL LCq

2

0

02

mol C L

mo

cal cal=

tL tL l LCCq

22

0

3 0

L 1 m Lol calC =

t L L mol C t

1

LC pq C T

2 1

2 1

z

p p

C p

C T C Tq C T

z z

Transporte por difusión molecular de energía térmica (calor)

22

0

3 0

L 1 m Lol calC =

t L L mol C t

1

LC pq C T

2 1

2 1

z

p p

C p

C T C Tq C T

z z

Asumiendo que es independiente de la temperatura pC T

2 1 2 1Como: ; T T z z

2 1

2 1

p p

p p zC z

C T C Tq C T C T

z z

Transporte molecular de masa (moles de A)

moles de Flujo molar de :

tA

AA j

2 2

flujo molar de moles 1Flux molar de :

tL LA

A AA n

2

2 3

2

2

2moles L L

t

1 moles =

t Lt L

L 1

LL LA

A AC

2 1

2 1

A

A AB z

A

A

C Cn D C

z z

2 1 2 1Además : ; A Az z C C

2 1

2 1

0 no hay flux negativoA A

A AB AB Az

C Cn D D C

z z

2 1

2 1

0A A

A AB AB Az

C Cn D D C

z z

Transporte de masa (moles de A)

: A AB ALey de Fick n D C

:

flux molar de

Coeficiente de difusión molecular de en

Gradiente de la concentración molar de

A

AB

A

Ley de Fick

n A

D A B

C A

Similitud en el transporte por difusión de momentum, energía o masa

2

C p

L

tq C T

2

tv

L

2

gradiente de la concentraciónL

tde momentum

Cuando es cons tante : - v ... Newton

2

Cq gradiente de la concentracióL

n de c lt

a or

PCuando C es cons tante : q k T ... Fourier

2

AA

L

tn C

2

An gradiente de la concentración molar AL

tde

AB AAn D C ... Fick

Transporte de una propiedad conservativa φ por difusión molecular

Flux de φ por difusión molecular: Ψ

δ: coeficiente de la difusión molecular de φ

: gradiente de

ψ: concentración de φ

Concentración de

Flux de por convección: v

Transporte de una propiedad conservativa φ por convección y por

difusión molecular .

Flux de por difusión:

Flux total de : v

No se requiere definir a priori un Sistema Coordenado;

Postulados:

* Conservación: Las propiedades de interés son conservativas, lo cual

implica que no se crean ni se destruyen solo se transforman;

* Continuidad: Las propiedades conservativas son continuas en el

elemento de control.

Balance General de una Propiedad Conservativa φ .

Enfoque Vectorial

Considere un elemento diferencial de control está fijo ↔ w = 0

dV

Balance General de una Propiedad Conservativa PC en el elemento de control EC

Principio de Conservación a la PC de interés en el EC:

dV

Acumulación de PC

Rapidez entrada de por Difusión Rapidez salida de por DifusiónPC PC

Rapidez entrada de por Convección Rapidez salida de por ConvecciónPC PC

Rapidez de Transformación de PC

neta

ne

Acumulación de

Rapidez de transporte de por Difusión

Rapidez de transporte de por Convección

Rapidez de Transformación

ta

de

PC

PC

PC

PC

Transporte por Difusión molecular

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux diferencial por difusión molecular:

Flujo diferencial por difusión: ndA

Flujo diferencial de entrada por difusión: ndA

Flux positivo

El flux y v van en dirección opuesta

Flujo diferencial de salida por difusión: ndA

El flux y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Difusión Molecular

Flujo total de entrada =

ENA

ndA

=

ENA

ndA =

ENA

n dA

Flujo total de salida =

SAA

ndA =

SAA

n dA

Flujo Neto total = Flujo total de entrada – Flujo total de salida

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

dV

Difusión Molecular

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo Neto total =

EN SAA A

n ndA dA

=

EN SAA A

n dA

Flujo Neto total por Difusión = ECA

n dA

Rapidez Neta de Transporte por Difusión = ECA

n dA

RNTD = ECA

n dA

pc

flux =tiempo × área

pc flujo= flux × área = = rapidez

tiempo

Transporte por Convección

Flujo = (Flux)(Area Transversal)

Flux por Convección = v

Flujo diferencial por Convección =v ndA

Flujo diferencial de Entrada por Convección n v dAv ndA

n y v tienen direcciones opuestas

n y v tienen la misma dirección

Area transversal de flujo : ndA

Flujo = rapidez entrada (o salida)

Flujo diferencial de Salida por Convección n v dAv ndA

Flujo diferencial Neto por Convección EN SAn v dA n v dA

dV

Convección

Flujo diferencial por Convección EN SAneto n v dA n v dA

Flujo total por Convección EN SA

EN SA

A A

neto n v dA n v dA

dV

Área total del Elemento de Control = AEC = AEN+ASA

Flujo total por Conveción = ECA

neto n v dA

Rapidez Neta de transporte por Convección = ECA

n v dA

RNTC = ECA

n v dA

pc

flux =tiempo × área

pc flujo= flux × área = = rapidez

tiempo

Acumulación

dV Por definición:

d

dt

3

pc concentración de la propiedad conservativa

L

Cantidad de pc que tiene un elemento diferencial : d VV d

Acumulación de pc en el volumen diferencia l :d

dVd

dt

V

Acumulación de pc en todo el volumen control :

C CV

C

V

d d

dt dtV dV dV

Acumulación de

CV

dpc dV

dt

( )

C C CV V A

ddV dV n w dA

dt t

Acumulación A

CV

dVt

Suponiendo que el EC está fijo … v = v … w = 0

De acuerdo con el Teorema de Transporte, la Acumulación queda:

dV

Rapidez de Transformación de la pc

Rapidez de TransformacionDefiniendo:

Volumen G

Rapidez de Transformacion en el elemento diferencial : GdV dV

Rapidez de Transformacion en todo el volumen RT :

C

G

V

V dV

Sustituyendo [A], [RND], [RNC], [RT] en la ecuación de conservación se obtiene el modelo

matemático en términos de la concentración de la propiedad conservativa ψ

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

[RT] ...

C

G

V

dV

RNTD ... CA

ndA

[RNTC] ... CA

v ndA

[ [ [ [A] RNTD] RNTC] RT]

... [A]

CV

dVt

Como:

C C C C

G

V A A V

dV ndA v ndA dVt

Para tener la misma variable se aplica el Teorema de Divergencia:

C CA V

ndA dV

C CA V

v ndA v dV

Por lo tanto, la ecuación de transporte o balance de ψ queda:

C C C C

G

V V V V

dV dV v dV dVt

t v G

dV 0

VC

t v G

dV 0

VC

Esta ecuación se obtuvo considerando un elemento de control de volumen finito, es decir que

dV ≠ 0 ; por lo tanto, dicha igualdad se cumple si y solo si:

Ecuación de transporte (balance) en términos de ψ

t v G

0

Acumulación

Transporte por Difusión Molecular

Transporte por Convección Transformación

Expresión diferencial (balance diferencial) del transporte de una propiedad conservativa φ en

términos de la concentración de dicha propiedad ψ

Por lo tanto, la expresión del balance de una propiedad conservativa φ , puede expresarse en

términos de la concentración de dicha propiedad ψ y de la derivada material (el observador se

mueve con la misma velocidad que el elemento de control: v = w) de la siguiente manes:

Balance de una propiedad conservativa expresada en términos de la derivada material

Como: 0 G Gv vt t

Como: v v v

Para fluidos incompresibles: 0 v v v

v vt t

Derivada material:

Dv

Dt t

G

D

Dt

Ecuación de Continuidad… es un caso particular de Balance de Masa, que tiene las

siguientes restricciones

1. Solamente hay trasporte por convección;

2. No hay transformación.

En el balance de la propiedad conservativa φ , ψ representa a la concentración de φ , es

decir PC/volumen.

t v

G

0

Por lo tanto, en el modelo de transporte de masa en un sistema donde no cambia su

composición se cumple: φ = masa ; consecuentemente ψ = masa / volumen = densidad = ρ

Ecuación de Continuidad: v 0t

Como:

Gv 0t

0Gvt

0, porque ni ni son funciones de la posición

0, porque en las transformaciones químicas la masa total se conservaG

Balance molar por componente (A)

1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión

Ahora, en el Balance de la Propiedad Conservativa ψ se tiene:

Acumulación de A

Transporte de A por Difusión Molecular

Transporte de A por Convección

Rapidez de Reacción de A

3 3 ; A

A A

npcpc n C

L L

Como: 0Gvt

0A AB A A AC D C v C Rt

Balance molar por componente (A)1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión;3. El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la posición.

Acumulación de A

Transporte de A por Difusión Molecular

Transporte de A por Convección

Rapidez de Reacción de A

Como: 0A AB A A AC D C v C Rt

0A AB A A AC D C v C Rt

Balance molar por componente (A)

1. Hay transformación química;2. Hay trasporte por difusión;3. El volumen de control es constante (no es función de tiempo ni de posición);

Acumulación de A

Transporte de A por Difusión Molecular

Transporte de A por Convección

Rapidez de Reacción de A

4. El coeficiente de difusión molecular DAB no es función de la posición;5. El elemento de control intercambia materia a través de una interfase.

Intercambio vía interfase

0A AB A A A AC D C v C Rt

S

Balance diferencial molar de A en términos de su concentración:

CA

tD

ABC

A vC

A R

A

0

Unidades

CA

t

1

seg

mol

L3

mol

seg L3

DAB

CA

1

L

1

L

L2

sec

mol

L3

mol

seg L3

vCA

1

L

L

seg

mol

L3

mol

seg L3

A A 3

molR ,S

seg L

Transferencia de Masa

Fin de 2014-08-011 3ª