transferÊncia de calor ii - puc-rio · transferÊncia de calor ii profa....
TRANSCRIPT
TRANSFERÊNCIA DE CALOR II
Profa. Mônica F. Naccache h1p://naccache.usuarios.rdc.puc-‐rio.br/Cursos/
Trans_Calor_II.html Sala 153-‐L
naccache@puc-‐rio.br
1 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Termodinâmica: estuda as interações de energia entre um sistema e a vizinhaça (calor e trabalho). Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza da interação.
• Transferência de calor: estuda os mecanismos de transferência de calor, e relações para o cálculo das taxas de transferência de calor.
Exemplos: Projetos de paredes refratárias, calor perdido em equipamentos, trocadores de calor, etc.
2 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Modos de transferência de calor
3 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Condução • Mecanismo: movimentos randômicos translacionais (difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)
• Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por condução
4
€
q"xfluxo calor porunid .area(W /m2)
= −kcondutividadetérmica(W /mK )
dTdx
gradientetemperatura
1 D:
Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Convecção • Mecanismo: difusão + energia transferida pelo
movimento macroscópico do fluido (advecção) • Convecção forçada: movimento do fluido é causado por
agentes externos (bombas, ven_ladores, etc.) • Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a
forças de empuxo, que surgem devido a diferenças de densidade, causadas por diferenças de temperatura
• Convecção mista: natural+forçada • Evaporação/Condensação: casos especiais de convecção,
onde a energia é transferida na forma de calor latente.
5 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Convecção (cont.) • Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção
€
q"= h(Ts −T∞)h -‐ coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K) Ts -‐ temperatura da superecie T∞ -‐ temperatura do fluido
Exemplo: Em convecção natural, har ≈ 10 W/m2K e hágua ≈ 100 W/m2K ⇒ q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo, um corpo na água perde mais calor do que um no ar)
Tar=20 0C
Tágua=20 0C
6 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Convecção (cont.)
• Ordem de grandeza de h (W/m2K): – Convecção natural: gases -‐ 2 a 25 líquidos -‐ 50 a 1000 – Convecção forçada: gases -‐ 25 a 250 líquidos -‐ 50 a 20000 – Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000
7 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Radiação • Energia emi_da pela matéria (sólido, líquido ou gás) a temperatura finita. O transporte ocorre por ondas eletromagné_cas. Não é necessário um meio material para a propagação de energia.
• Lei de Steffan-‐Boltzman: Fluxo máximo de radiação que pode ser emi_da por uma superecie
€
q"=σTs4
σ = 5.67x10−8W /m2K 4 → cte Steffan Boltzman
A superecie que emite radiação de acordo com esta relação é chamada de corpo negro
8 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Radiação (cont.) • Para uma superecie real:
• Radiação incidente: €
q"= εσTs4
ε → emissividade0 ≤ ε ≤1
€
q"inc = q"ref +q"trans+q"abs
⇒1=q"refq"inc
= ρ−refletividade
+q"transq"inc
=τ− transmissividade
+q"absq"inc
=α−absortividade
9 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Princípios Fundamentais
• Equações de conservação: massa, quan_dade de movimento linear, energia, conservação de massa de espécies químicas
• Equações cons_tu_vas: lei de Fourier, lei da viscosidade de Newton, lei de Newton da convecção, lei de Stefan-‐Boltzman
10 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Hipótese de cononuo • Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas caracterís_cas
• Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares
• Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc …
11 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Consequências da hipótese de cononuo • Mecanismos de transporte:
– Transporte associado ao campo de velocidade macroscópico u
– Mecanismo de transporte “molecular”: contribuição de superecie nas eqs. momentum e energia.
• Na formulação cononua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular
• Incerteza nas condições de contorno
12 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Derivada material ou convectada • Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo
número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superecie é zero:
• Derivada material ou convectada:
€
DBDt
=∂B∂t
+ u•∇B
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] = 0
Derivada no tempo da massa total associada a Vm
Sm(0), Us=u(x)
U(x) n
Vm(0)
Vm(t)
Sm(t)
n
t
expressa a variação com o tempo seguindo uma par5cula material
13 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Derivada parcial com relação ao tempo:
• Derivada total:
€
∂B∂t
≡∂B∂t$
% &
'
( ) z
expressa a variação com o tempo, numa posição fixa
€
DBDt
=∂B∂t
+ v•∇Bexpressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário
14 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Teorema do Transporte de Reynolds • O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-‐D, quando ambos integrando e limites de integração variam
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]& ' (
) * +
Adicionando e subtraindo o termo:
€
B t + δt( )dVVm ( t )∫
€
DDt
B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡
δt→0lim 1
δtB t + δt( )dV - B t + δt( )dV
Vm ( t )∫Vm ( t+δt )
∫[ ]= lim 1
δtB t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]'
( ) *
+ ,
+1δt
B t + δt( )dV Vm ( t )∫ − B t( )dV
Vm ( t )∫[ ]
≡∂B∂tdV
Vm( t )∫
15 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
€
DDt
B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =
∂B∂t
+∇ • Bu( )%
& ' (
) * dV
Vm ( t )∫
€
lim 1δt
B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]%
& ' (
) * = lim 1
δtB t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]%
& ' (
) *
= B t( )u•nδdAAm ( t )∫
Usando o teorema da divergêngia, chega-‐se a forma final para o Teorema de Transporte:
Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u:
€
D*
Dt*B x,t( )dV
V *m ( t )∫[ ] =∂B∂t
+∇ • Bu*( )%
& ' (
) * dV
V *m ( t )∫
D*
Dt*≡∂∂t
+ u* •∇16 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de Conservação de Massa
• A equação de conservação de massa (con_nuidade) pode ser derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte:
€
DDt
ρdVVm ( t )∫[ ] =
∂ρ∂t
+∇ • ρu( )&
' ( )
* + dV
Vm ( t )∫ = 0
€
∂ρ∂t
+∇ • ρu( ) = 0 ou DρDt
+ ρ∇ • u( ) = 0
€
∇ • (ρu) = ρ ∇ •u + u •∇ ρ17 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Em coordenadas cartesianas:
€
∂ρ∂t +
∂ ρu( )∂x +
∂ ρv( )∂y +
∂ ρw( )∂z = 0
Em coordenadas cilíndricas:
€
∂ρ∂t +
∂ rρur( )r ∂r +
∂ ρuθ( )r ∂θ +
∂ ρuz( )∂z = 0
18 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Casos par_culares
• Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1)
Obs: a validade da equação acima não implica na incompressibilidade do fluido
• Regime permanente:
€
∇ •u ≡ div u = 0
€
∇ • ρu ≡ div ρu = 0
19 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Taxa de deformação
• A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas
20 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Tensor taxa de deformação
€
Dij =taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = jmetade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j# $ %
D =12
∇v( ) + ∇v( )T[ ] parte simétrica de ∇v( )
∇v( ) =D+WW : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))
Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j
€
w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =
12εijk
∂vk∂z j
−εijk∂v j
∂zk
&
' ( (
)
* + + ei = εijk
∂vk∂z j
ei = rot v( )vetor vor_cidade: representação polar de W
21 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• A direção de w é a do eixo de rotação do fluido • Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do vetor
vor_cidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sen_do da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra”
• Se podemos escrever
€
w = 0 esc. irrotacionalw ≠ 0 esc. rotacional
€
v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre
22 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Tensor Taxa de Deformação:
€
D =12
˙ γ
23 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
24 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de conservação de momentum
• Da Segunda Lei de Newton:
• Aplicando num volume material de fluido: €
taxa variação quantidademovimento linear num corpoem relação a um ref inercial
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
soma das forçasagindo sobre ocorpo
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
€
DDt
ρudVVm ( t )∫[ ] =
soma das forçasagindo em Vm (t)$
% &
'
( )
25 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Tipos de força • Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.
• Forças de contato ou de superecie: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t)
26 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Segunda Lei de Newton para Vm
• Vetor tensão t: força local de superecie por unidade de área
• Usando o Teorema do Transporte
€
DDt
ρudVVm ( t )∫$ % &
' ( )
taxa variação QML em Vm
= ρgdV
Vm ( t )∫força gravitacional
+ tdAAm ( t )∫
força agindo sobre a superfície de Vm
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg&
' (
)
* + dVVm ( t )
∫ = tAm ( t )∫ dA
27 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Tensor das tensões • Seja l a dimensão caracterís_ca de
Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim, da eq. de momentum aplicada ao tetraedro:
€
liml→0
tAm ( t )∫ dA→ 0
Princípio de equilíbrio da tensão
€
t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0
Logo:
28 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Então:
€
ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3
€
t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0
No limite l →0:
€
t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]Tensor das tensões T
t(x p ,n) = n•T(x p )
€
tAm ( t )∫ dA = n•T
Am ( t )∫ dA = ∇ •T( )
Vm ( t )∫ dV
Então:
29 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de momentum linear • A equação de momentum fica então:
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T&
' (
)
* + dVVm ( t )
∫ = 0
Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo:
€
∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T
Combinando a eq. acima com a eq. con_nuidade:
€
ρ∂ u( )∂t
+ u•∇ u( )%
& '
(
) * = ρg +∇ •T Equação de
Cauchy
30 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de momento angular
• Observando as equações de massa e momentum, vemos que temos mais incógnitas (u, p, T) do que equações
• Generalização da Segunda Lei de Newton:
€
DDt
x × ρu( )dV = soma dos torques agindo sobre VmVm( t )∫
€
Taxa de variação de momento angular em Vm
31 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
€
DDt
x × ρu( )dV = x × n•T( ) + r[ ]Am ( t )∫
Torque forças superfície Vm( t )
∫ dA + x × ρg + ρc[ ]Vm ( t )∫
Torque forças corpo
dV
Hipótese: torques devido a pares de forças nulos (r=0, c=0). Obs: fluidos ferrosos, c≠0. Aplicando o Teo Transporte (lado esquerdo) e o Teo divergência:
€
x ×∂ ρu( )∂t
+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T'
( )
*
+ , + ε T
. / 0
1 2 3 dV
Vm ( t )∫ = 0
€
ε ijk =
+1 se (ijk) for permutação par de (123)-1 se (ijk) for permutação ímpar de (123)0 qualquer outro caso (algum índice igual)
#
$ %
& %
Usando a Eq. momentum linear e considerando que Vm é arbitrário, chega-‐se a ε°T=0, e portanto: T=TT, i.e., o tensor das tensões tem que ser simétrico. Obs: se c≠0, ε°T-‐ρc=0, e T não é simétrico.
Assim:
32 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de conservação de Energia “A taxa de variação de energia com o tempo, das energias
interna e ciné_ca de um corpo, com relação às estrelas fixas é igual a taxa de trabalho das forças que agem sobre ele mais a taxa de transferência de energia para o corpo”
€
˙ E at = ˙ E e − ˙ E s + ˙ E g
33 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• : velocidade local do meio cononuo • ρu: energia interna (representa en. ciné_ca adicional a nível molecular)
• Primeira Lei da Termodinâmica
€
DDt
ρv2
2
+ ρu#
$ %
&
' ( dV
Vm ( t )∫
taxa de variação de energia em Vm
=
Taxa de trabalhofeito sobre Vm pelas forças externas
*
+ ,
- ,
.
/ ,
0 ,
+
Fluxo de caloratravés dasfronteiras de Vm
*
+ ,
- ,
.
/ ,
0 ,
+
Taxa de energiagerada internamente
*
+ ,
- ,
.
/ ,
0 ,
€
v 2 = v⋅ v
34 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de conservação de energia na forma diferencial
€
DDt
ρv2
2
+ ρu#
$ %
&
' ( dV
Vm ( t )∫ = t(n) • v[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) • v[ ]dV − q•n[ ]dA + ˙ q dV
Vm ( t )∫Am ( t )∫Vm ( t )∫
q: vetor fluxo de calor (cruza a superecie de Vm). Posi_vo quando calor é transferido a Vm
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência, e igualando o integrando a zero:
€
∂ ρe( )∂t
taxa var. en.
+ div ρe v( )fluxo en. por convecção
= ˙ q em. gerada
− divqfluxo calor cond. + ρ v⋅ g
trab. forçagravitacional
+ div Tv( )trab. forçasviscosas e de pressão
€
e = u + v 2 /2div Tv( ) = vdivT+ tr Tgradv( )
35 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Balanço de Energia Mecânica: u•(eq. Cauchy)
• Balanço de Energia Térmico: subs_tuindo a eq. acima na Eq. conservação energia €
ρ2Dv 2
Dt= ρg( ) • v+ v• divT( )
€
ρDuDt
variação en.interna por un. vol.
= ˙ q
geraçãoen. por un.vol.
−divqganho en.por condução
−p div vaumento rev. deen. int. por compressão
+ tr τ∇ v( )aumento irrev. en. int. pordissipação viscosa
€
T = −pΙ + τ
D ≡ 12∇ v+∇ vT( )
∇ v ≡ 12∇ v+∇ vT( )parte simétrica
+12∇ v+∇ vT( )
parte anti-simétrica
=D+W
D:Tensor taxa de deformação
W: Tensor vor_cidade
36 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Usando a entalpia específica: h≡u+p/ρ o balanço de energia térmico fica:
• Novas incógnitas: u (ou h), q • Relações entre u (ou h) e θ e p podem ser ob_das assumindo o equilíbrio termodinâmico: €
ρDhDt
= ˙ q − div q +DpDt
+ tr τ∇v( )
€
dh = CPdθ +1ρ−θ
∂ 1/ ρ( )∂θ
&
' (
)
* + p
, - .
/ .
0 1 .
2 . dp
⇒DhDt
= CPDθDt
+1ρ−θ
∂ 1/ ρ( )∂θ
&
' (
)
* + p
, - .
/ .
0 1 .
2 .
DpDt
37 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação de energia em termos da temperatura
• A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração):
€
ρCpDθDt
= tr τ∇v( )dissipação viscosa
− div q − ∂ lnv∂ lnθ(
) *
+
, - p
DpDt
trabalho de compressão
€
ρCvDθDt
= tr τ∇v( )dissipação viscosa
− div q − θ∂p∂θ v
divv
trabalho de compressão
38 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Segunda Lei da Termodinâmica
• Princípio da desigualdade de entropia
€
DDt
ρs( )Vm ( t )∫ dV +
n•qθAm ( t )
∫ dA ≥ 0
Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência:
€
ρDsDt
+∇ •qθ
%
& ' (
) * ≥ 0
Usando relações termodinâmicas, chega-‐se a:
€
1θtr τ∇v( ) + p∇ • v( ) − q •∇θ
θ 2≥ 0
39 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Comentários • A solução de problemas de mecânica dos fluidos é ob_da com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia
• A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações cons_tu_vas para τ e q
• Incógnitas: u (3), τ (9), q (3), θ e p (total:17) • Equações: Conservação de massa (1), momento linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas τij para 6).
• Temos então 14 incógnitas e 5 equações
⇒Equações cons_tu_vas para τ e q
40 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equações cons_tu_vas • Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio cononuo
• Equações cons_tu_vas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura)
41 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Princípios que devem ser sa_sfeitos
• Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu
• Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma parocula não influencia a tensão nesta parocula
• Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações cons_tu_vas) têm que ser indiferentes ao referencial
42 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação cons_tu_va para q: Lei de Fourier
• A equação foi proposta a par_r da observação de que
• A equação sa_sfaz ao princípio de obje_vidade (indiferença ao referencial)
• Processo de troca de calor é considerado instantâneo
• Fluido é considerado homogêneo • A equação proposta foi validada experimentalmente
€
q = − KTensor condutividadetérmica, > 0
•∇θ
€
q = q ∇θ ,derivadas de θ de maior ordem( )
43 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Lei de Fourier de condução de calor
• Para um fluido isotrópico, o fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI):
• A Segunda Lei impõe que k>0 €
q = −k∇θ Lei de Fourier
44 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
D: parte simétrica de
Equação cons_tu_va para o tensor das tensões -‐ Fluido Newtoniano
€
T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )τ: tensão desviadora Considerando que τ sa_sfaz ao princípio de obje_vidade, é simétrico e depende apenas da história do movimento:
€
τ = τ D( )
€
∇u : 12∇u−∇uT( )Ω: parte an_-‐simétrica de
€
∇u : 12∇u+∇uT( )
45 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
Equação cons_tu_va para Fluidos Newtonianos
• A forma mais geral para Τ é:
• A forma linear mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é:
€
T = x0Ι + x1D+ x2D⋅ ⋅D
xk = xk ΙD ,ΙΙD ,ΙΙΙD( )
€
T = −p + λtrD( )I+ 2µD
Equação ConsLtuLva para Fluidos Newtonianos
46 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio
• Se o fluido for também incompressível:
• A equação cons_tu_va é sa_sfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares
• Observa-‐se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é sa_sfeita por T e q
• A Segunda Lei é sa_sfeita se:
€
trD =∇ • u = 0T = −pI+ 2µD
€
λ +23
µ#
$ %
&
' (
viscosidade de bulk
≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0
47 Profa. Mônica Naccache PUC-‐Rio