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Variables complexesTransformee de Laplace – Transformee en Z

Nicolas Dobigeon

Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT

http://www.enseeiht.fr/[email protected]

Nicolas Dobigeon Variable complexe - TL & TZ 1 / 96

http://www.enseeiht.fr/~dobigeon

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles

Fonctions holomorphes

Integration et theoreme de Cauchy

Theoreme des residus

Transformee de Laplace

Transformee en Z


Generalites

Introduction

Plan du cours

GeneralitesIntroductionLimites - continuite

Fonctions usuelles





Transformee en Z


Generalites

Introduction

Le plan complexe

Le plan complexe est le plan muni d’un repere orthonormal direct(O; u, v). La correspondance

R2 → C(x , y) 7→ z = x + iy

est une bijection.On confond le point M (x , y) et son affixe z = x + iy .Si z 6= 0, la representation du nombre complexe z sous la formemodule/argument s’ecrit

z = ρe iθ

ou ρ = |z | = OM est le module de z et θ = arg z est une mesure en

radians de l’angle

(u,−→OM

)definie modulo 2π c’est-a-dire a 2kπ pres,

k ∈ Z.


Generalites

Introduction

Fonction complexe de la variable z

A toute fonction f de la variable complexe :

f :

C → C

z = x + iy 7→ f (z) = P(x , y) + iQ(x , y)

on associe une fonction F :

F :

R2 → R2

(x , y) 7→ F (x , y) = (P(x , y),Q(x , y))


Generalites

Limites - continuite

Plan du cours

GeneralitesIntroductionLimites - continuite

Fonctions usuelles





Transformee en Z


Generalites



C est un espace vectoriel sur R muni de la norme ‖z‖ = |z |.Soient f une fonction de la variable complexe et z0 = x0 + iy0 et l deuxnombres complexes.

Definition : limite

limz−→z0

f (z) = l ou f (z) −→z−→z0

l

signifie :∀ε > 0, ∃η > 0, |z − z0| < η =⇒ |f (z)− l | < ε

Definition : continuite

f continue en z0 ⇐⇒ limz−→z0

f (z) = f (z0)

⇐⇒ P(x , y) et Q(x , y) continues en (x0, y0)


Generalites



On admettra sans demonstration que les operations sur les limites ou lesfonctions continues sont identiques a celles obtenues pour des fonctionsde R2 → R ou de R→ R

Attention !Si P(x , y) continue au point (x0, y0), alors

x 7→ P(x , y0) est continue en x = x0

y 7→ P(x0, y) est continue en y = y0

Mais la reciproque est fausse !


Generalites


Infini complexe

L’infini complexe note ∞ est l’unique nombre complexe satisfaisant lesproprietes suivantes avec a ∈ C :

∞×∞ = ∞, |∞| =∞∞/a = ∞, a/∞ = 0, a×∞ =∞

I Representation sur la sphere de Poincare,

I Extensions des notions de limites au voisinage de l’infini.


Fonctions usuelles

Fonctions algebriques

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuellesFonctions algebriquesFonctions definies par des series entieresFonctions multiformes





Transformee en Z


Fonctions usuelles



Fonctions Definition Continuite TG associeez 7−→ z + a C C Translationz 7−→ a z C C Similitudez 7−→ 1

z C∗ C∗ Inversion puis symetrie Ox

z 7−→ az+bcz+d C \

− d

c

C \

− d

c

...


Fonctions usuelles

Fonctions definies par des series entieres

Plan du cours

Generalites






Transformee en Z


Fonctions usuelles


Fonction exponentielle

Definition

ez =∞∑n=0

zn

n!

Proprietes

ez |z=x = ex

ez1+z2 = ez1ez2

ex+iy = ex (cos y + i sin y)

e−z =1

ez

On retrouve les memes relations fonctionnelles que dans R.


Fonctions usuelles


Fonctions hyperboliques et trigonometriques

Fonctions hyperboliques

ch z =ez + e−z

2, sh z =

ez − e−z

2, thz =

shz

chzExemple : resolution de ch z = 0.

Fonctions trigonometriques

cos z =e iz + e−iz

2, sin z =

e iz − e−iz

2i, tan z =

sin z

cos zExemple : resolution de sin z = 2.


Fonctions usuelles


Fonctions hyperboliques et trigonometriques

ProprietesFonctions Ensemble de definition Ensemble de Continuite

exp C Cch C Csh C Cth C\

i(π2

+ kπ), k ∈ Z

C\i(π2

+ kπ), k ∈ Z

cos C Csin C Ctan C\

π2

+ kπ, k ∈ Z

C\π2

+ kπ, k ∈ Z

Formules de passagecos iz = ch zsin iz = i sh z

tan iz = i th zet

ch iz = cos zsh iz = i sin zth iz = i tan z


Fonctions usuelles

Fonctions multiformes

Plan du cours

Generalites






Transformee en Z


Fonctions usuelles



A tout z de C correspond une seule valeur de ez . Par contre a tout z deC∗, correspond une infinite de valeurs de arg z . Pour distinguer ces deuxsituations, on definit des fonctions dites uniformes ou multiformes

Definitions

I Une fonction f est appelee uniforme si a chaque valeur de z necorrespond qu’une seule valeur de f (z).

I Une fonction f est appelee multiforme si a chaque valeur de zcorrespondent plusieurs valeurs de f (z).


Fonctions usuelles



Exemples

I La fonction “argument d’un nombre complexe” :

C∗ −→ Rz 7−→ arg z

est une fonction multiforme.

I Les fonctions vues precedemment sont uniformes.

Etude des fonctions multiformesPour etudier les fonctions multiformes, on les “rendra uniformes” par ladefinition de leurs determinations de rang k.


Fonctions usuelles


Fonction argument

La determination de rang k de l’argument est

C\Ox+ −→ ]2kπ, 2 (k + 1)π[

z 7−→ θ = argk z

Remarques

I Le demi-axe Ox+ est appele l’axe de coupure.

I Quand k = 0, on parle de “determination principale”.


Fonctions usuelles


Fonction argument : autre definition

La determination de rang k de l’argument est

C\Dα −→ ]α + 2kπ, α + 2 (k + 1)π[

z 7−→ θ = argk,α z

Remarques

I Avec cette definition, la demi-droite Dα d’origine O et d’angle α est lacoupure.


Fonctions usuelles



Definitions

I Valeurs de continuite : Valeurs sur les bords superieur et inferieur de lacoupure.

I Le point O origine de la coupure est appele point de branchement oupoint de ramification.

Remarques

I Representation de la coupure,

I Chemins fermes entourant le point de branchement → changement dedetermination

I Chemins fermes n’entourant pas le point de branchement → pas dechangement de determination


Fonctions usuelles


Fonctions puissance

La determination de rang k de z 7→ z1n est

C \ Ox+ → Sk

z 7→ z1n

(k) = |z |1n e i

1n argk (z) = ρ

1n e i

θn e i

2kπn

θ ∈ ]0, 2π[

Cette correspondance est une bijection de C \Ox+ dans le secteur ouvertSk delimite par les deux droites D 2kπ

net D 2(k+1)π

nissues de O et faisant

respectivement avec Ox+ les angles 2kπn et 2(k+1)π

n .


Fonctions usuelles


Fonctions puissance

Extensions

I Fonction z 7→ (z − a)1n .

I Fonction z 7→ (z − a)α, α ∈ R.

Exemple

Determination de z 7→ (z + 1)12 .


Fonctions usuelles


Fonction logarithme

La determination de rang k de z 7→ log(z) est C \ Ox+ → Bk

z = |z |e iθ+i2kπ 7→ logk(z) = ln |z |+ argk(z)= ln ρ+ iθ + i2kπ

ou Bk est la bande ouverte definie par : z / Imz ∈ ]2kπ, 2(k + 1)π[ .

Extension

I Fonction z 7→ zα, α ∈ C definie par zαk = eα logk (z).



Fonctions differentiable a 2 variables

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles

Fonctions holomorphesFonctions differentiable a 2 variablesDerivation d’une fonction de la variable complexeFonctions holomorphesComplement : fonctions harmoniques




Transformee en Z





Une fonction P (x , y) est differentiable au point (x0, y0) lorsqu’elle estdefinie dans un ouvert contenant ce point et que :

∆P = A (x0, y0) h + B (x0, y0) k + ‖(h, k)‖ ε (h, k)

avec∆P = P (x0 + h, y0 + k)− P (x0, y0)

etlim

‖(h,k)‖→0ε (h, k) = 0



Derivation d’une fonction de la variable complexe

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z




Definition de la derivabilite

Definitionf (z) derivable en z0 si et seulement si

limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0

existe. On note :

f ′ (z0) = limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0

Exemple 1f (z) = z

limz→z0

z − z0

z − z0= 1, donc f est derivable en z0.

Exemple 2f (z) = z2

limz→z0

z2 − z20

z − z0= lim

z→z0

(z + z0) = 2z0, donc f est derivable en z0.




Definition de la derivabilite

Contre-exempleg(z) = z

z − z0

z − z0=

(x − x0)− i (y − y0)

(x − x0) + i (y − y0)

=1− i y−y0

x−x0

1 + i y−y0x−x0

=1− im

1 + im

qui depend de la pente m du chemin donc :

limz→z0

z − z0

z − z0n’existe pas

⇒ f n’est pas derivable en z0.




C.N.S. de derivabilite

ProprieteUne fonction de la variable complexe f est derivable au point z0 = x0 + iy0 siet seulement si :

I P (x , y) et Q (x , y) sont differentiables au point (x0, y0) et

I les conditions de Cauchy sont verifiees :∂P∂x

(x0, y0) = ∂Q∂y

(x0, y0)∂P∂y

(x0, y0) = − ∂Q∂x

(x0, y0)

RemarqueLa demonstration de la C.N.S. de derivabilite permet d’obtenir

f ′ (z0) =∂P

∂x(x0, y0) + i

∂Q

∂x(x0, y0)

f ′ (z0) =∂Q

∂y(x0, y0)− i

∂P

∂y(x0, y0)




Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z





DefinitionOn appelle fonction holomorphe sur un ouvert A de C une fonction qui estderivable en tout point de A. Notation : f ∈ H/A.

ProprietesLes proprietes sont identiques a celles des fonctions derivables dans R. Soient fet g ∈ H/A.

I λf + µg ∈ H/A et (λf + µg)′ = λf ′ + µg ′

I fg ∈ H/A et (fg)′ = f ′g + fg ′

I Si ∀z ∈ A, g (z) 6= 0, alors :

1

g∈ H/A et

(1

g

)′= − g ′

g 2

I Si f ∈ H/A, g ∈ H/f (A) , alors :(g f ) ∈ H/A et (g f )′ = (g ′ f ) f ′

I Si f est bijective de A sur f (A) , alors :

f −1 ∈ H/f (A) et(f −1

)′=

1

f ′ f −1




Derivation des fonctions usuelles

Fonctions algebriquesOn derive formellement par rapport a z comme pour les fonctions de lavariable reelle par rapport a x :

(az)′ = a

(zm)′ = mzm−1, m ∈ Z

Fonctions definies par des seriesTheoreme de derivation des series entieres :La fonction f (z) = a0 + a1z + ...+ anz

n + ... de rayon de convergence R estholomorphe sur le disque ouvert d (O,R). Sa derivee est la somme de la seriederivee terme a terme. Ainsi

(ez)′ = ez

(chz)′ = shz

(cos z)′ = − sin z

etc ...

On derive par rapport a z comme on derive dans R par rapport a x .




Derivation des fonctions multiformes

I Derivee de logk z

Z = logk (z) = ln ρ+ iθ + 2ikπ

definie de C \ Ox+ dans Bk .

On rappelle que exp (logk (z)) = z . La derivation par la formule de lafonction reciproque donne :

z = f (Z) =⇒ z ′ = f ′ (Z)

Z = f −1 (z) =⇒ Z ′ =1

f ′ (f −1 (z))

Donc :

z = exp (Z) =⇒ z ′ = exp (Z)

Z = logk (z) =⇒ Z ′ =1

exp (logk (z))=

1

z

La constante additive disparaıt. Ainsi :

logk z holomorphe sur C \ Ox+ et (logk)′ (z) = 1z




Derivation des fonctions multiformes

I Derivee de zα(k), α ∈ C

zα(k) = exp (α logk (z))

On obtient par derivee des fonctions composees :[zα(k)

]′= [α [logk (z)]]′ exp [α logk (z)]

Donc : [zα(k)

]′=α

zzα(k)

La derivee possede la meme constante multiplicative (on retrouve lameme uniformite). Ainsi

zα(k) holomorphe sur C \ Ox+ et[zα(k)

]′=α

zzα(k)



Complement : fonctions harmoniques

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z





Si on avait le temps...



Generalites

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles


Integration et theoreme de CauchyGeneralitesLemmes de JordanIntegration des fonctions holomorphes



Transformee en Z



Generalites

Chemin

I Un chemin de C est une application continue γ : [a, b]→ C, [a, b]etant un intervalle de R.

I Si γ(a) = γ(b), γ s’appelle un lacet.

I γ est C 1 par morceaux si γ′(t) existe et est continue sur lesintervalles de R de la forme [tj−1, tj ] avec t0 = a < t1 < ... < tn = b.



Generalites

Integrale curviligne complexe

Soit f (z) definie sur un chemin C 1 par morceaux γ

Soit la subdivisionn∪

k=1zk−1zk de ce chemin avec ξk ∈ zk−1zk ,

zk = γ(tk), z0 = γ (a) et zn = γ (b).

Definition : ∫γf (z)dz = lim

n→∞

n∑k=1

f (ξk)(zk − zk−1)

avec maxk|zk − zk−1| →

n→∞0



Generalites


Avec les notations suivantes

zk = xk + iyk

zk − zk−1 = ∆xk + i∆yk

ξk = ak + ibk

f (ξk) = P(ak , bk) + iQ(ak , bk)

on obtient ∫γf (z)dz = lim

n→∞

n∑k=1

P(ak , bk)∆xk − Q(ak , bk)∆yk

+i limn→+∞

n∑k=1

Q(ak , bk)∆xk + P(ak , bk)∆yk

avec maxk|∆xk | → 0 et max

k|∆yk | → 0. D’ou∫

γ

f (z)dz =

∫γ

(Pdx − Qdy) + i

∫γ

(Qdx + Pdy)



Generalites


Conditions suffisantes d’existence

P et Q continues sur γou f continue sur γ

Calcul pratique : γ parametre∫γf (z)dz =

∫ b

af (γ (t)) γ′ (t) dt

Chemins usuels

I Segment de droite parallele a l’axe des abscisses,z = x + iy0, x ∈ [x1, x2]

I Segment de droite parallele a l’axe des ordonnees,z = x0 + iy , y ∈ [y1, y2]

I Arc de cercle de rayon R0

z = R0eiθ, θ ∈ [θ1, θ2]

I Segment de droite passant par l’originez = ρe iθ0 , ρ ∈ [ρ1, ρ2]



Generalites


Proprietes elementaires de l’integralea) Linearite ∫

γ

(λf (z) + µg(z))dz = λ

∫γ

f (z)dz + µ

∫γ

g(z)dz

b) Sens de parcours du chemin γ∫γ−

f (z)dz = −∫γ+

f (z)dz

γ− = γ+ parcouru en sens inverse.

c) Integrale d’une constante f (z) = K

n∑k=1

f (zk)(zk − zk−1) = K(zn − z0) = K(γ(b)− γ(a))



Lemmes de Jordan

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z



Lemmes de Jordan

Lemmes de Jordan1er lemme de Jordan

HypothesesCr (a, r) arc de cercle de centre a et de rayon rlimr→0( resp. ∞) supCr

|(z − a) f (z)| = 0

Conclusion

limr→0( resp. ∞)

∫Crf (z)dz = 0

Preuve ∣∣∣∣∫Cr

f (z)dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ β

α

f (a + re iθ)rie iθdθ

∣∣∣∣∣6

∫ β

α

∣∣rf (a + re iθ)∣∣ dθ

6 (β − α) supCr

|(z − a) f (z)|



Lemmes de Jordan

Lemmes de Jordan2ieme lemmes de Jordan

Hypotheselim∞ supCr

|f (z)| = 0

Conclusions

lim∞∫Cre imz f (z)dz = 0 pour m > 0 et Cr = C+

r

lim∞∫Cre imz f (z)dz = 0 pour m < 0 et Cr = C−r

lim∞∫Cremz f (z)dz = 0 pour m < 0 et Cr = C d

r

lim∞∫Cremz f (z)dz = 0 pour m > 0 et Cr = C g

r

Preuve :

|Ir | =

∣∣∣∣∫Cr

e imz f (z)dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ π

0

e imre iθ f (re iθ)ire iθdθ

∣∣∣∣≤ 2r sup

Cr

|f (z)|∫ π

2

0

e−mr sin θdθ

≤ supCr

|f (z)| πm

(1− e−mr ) (car sin θ >2θ

π)



Integration des fonctions holomorphes

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z




Theoreme de CauchyDomaine 1 connexe (ou simplement connexe)

Hypothesesf holomorphe sur Ω ouvert non vide de CSoit D ⊂ Ω un domaine simplement connexe de contour C

Conclusion ∫Cf (z)dz = 0

Preuve : utiliser la formule de Green Riemann∫C+

Adx + Bdy =

∫ ∫D

(∂B

∂x− ∂A

∂y

)dxdy




Theoreme de CauchyDomaine n connexe - Generalisation

Exemple d’un domaine 2 connexe∫C

f (z)dz =

∫C+

1

f (z)dz +

∫C−

2

f (z)dz = 0

Frontiere orientee−→τ vecteur tangent−→n normale interieure orientee

(−→τ ,−→n ) = +π

2

Pour δD = C+1 ∪ C−2 , on a ∫

δD

f (z)dz = 0




Theoreme de CauchyApplication

Soit f holomorphe sur un domaine simplement connexe D.

a) Definition de∫ b

af (z)dz

Soient deux points a et b de DSoient γ1, γ2 deux chemins inclus dans D d’origine a etd’extremite b. Alors∫

γ1

f (z)dz =

∫γ2

f (z)dz =

∫ b

a

f (z)dz

b) Definition de Fz0 (u) =∫ u

z0f (z)dz , u ∈ C

Fz0 (u) est independante du chemin joignant z0 et uinclu dans DFz0 (u) est une primitive de f (z) telle que F ′z0

(u) = f (u)



Theoreme pour un domaine borne D

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles



Theoreme des residusTheoreme pour un domaine borne DApplication au calcul integralApplication a la sommation de series


Transformee en Z





Hypothesesf holomorphe sur Ω\ ∪

jzj , Ω ouvert non vide de C

zj points singuliers isoles de fD ⊂ Ω domaine simplement connexe de contour ∂D inclus dans ΩConclusion ∫

∂D+ f (z)dz = 2iπ∑zj∈D

resf (zj)

avec (definition de resf (zj)) :

resf (zj) = limr→0

12iπ

∫C+(zj ,r)

f (z)dz




Remarques et definition

I Point singulier isole (psi)zj est un psi de f (z) si et seulement si ∃r > 0 tel que f estholomorphe sur d(zj , r)\ zj, d(zj , r) designant le disque de centrezi et de rayon ri .

I Calcul du residu a l’aide du developpement de LaurentSi zj est un psi, on admet que f possede un developpement ditdeveloppement de Laurent dans d(zj , r)\zj :

f (z) =∞∑n=1

bn(z − zj)n

+∞∑n=0

an(z − zj)n

On en deduit alors :∫C+(zj ,r)

f (z)dz =∞∑n=1

∫C+

bn(z − zj)n

dz +∞∑n=0

∫C+

an(z − zj)ndz





On pose z − zj = re iθ et on obtient

∞∑n=1

∫ 2π

0

bnidθ

rn−1e i(n−1)θ+ i

∞∑n=0

∫ 2π

0

anrn+1e i(n+1)θdθ

Toutes les integrales sont nulles (verification facile) sauf :∫ 2π

0

bnidθ

rn−1e i(n−1)θavec n = 1

Donc : ∫C+(zj ,r)

f (z)dz =

∫ 2π

0

b1idθ = 2iπb1

Conclusion : resf (zj) est le coefficient du terme en 1z−zj de la

partie principale du devt de Laurent de f .





I Calcul des residus pour un pole d’ordre pOn effectue le developpement de Taylor de ϕ(z) = (z − zj)

pf (z) quiest holomorphe sur V (zj)

ϕ(z) = ϕ(zj) + ...+(z − zj)

p−1

(p − 1)!ϕ

(p−1)(zj )

+ ...

d’ou le developpement de Laurent de f :

f (z) =ϕ(zj)

(z − zj)p+ ...+

ϕ(p−1)(zj )

(p − 1)!(z − zj)+ ...

donc

resf (zj) = 1(p−1)!ϕ

(p−1)(zj )

= 1(p−1)!

dp−1

dzp−1 [(z − zj)pf (z)]

∣∣∣z=zj

En pratique :I pour p > 2, on effectue le developpement de Laurent,I pour p = 2, on peut utiliser resf (zj) = d

dz (z − zj)2f (z)

∣∣z=zj

,

I pour p = 1, on a resf (zj) = limz→zj

(z − zj)f (z)





Cas particulier interessant : zj pole d’ordre 1, f (z) = P(z)Q(z) , P(zj) 6= 0

On developpe Q(z) :

Q(z) = 0 + (z − zj)Q′(zj) +

(z − zj)2

2!Q ′′(zj) + ...

donc

limz→zj

(z − zj)f (z) =P(zj)

Q ′(zj)

Cette formule est interessante pour certains calculs de residus commecelui de f (z) = 1

sin z en z = 0. En effet :

resf (0) =P(0)

Q ′(0)=

1

cos 0= 1



Application au calcul integral

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z




Integrales du type I : I =∫∞−∞ f (x)dx

Le plus souvent, on prend f (z) et le contour est constitue d’une partierectiligne qui donne I et de parties circulaires qui ferment le contour.Exemple : Calculer

I =

∫ +∞

−∞

x2 + 1

x4 + 1dx




Integrales contenant une fonction multiforme

Exemple : montrer que pour a ∈ ]0, 1[

J =

∫ ∞0

xa−1

1 + xdx =

π

sin (πa)




Integrales trigonometriques

I =

∫ 2π

0

R(cos θ, sin θ)dθ

ou R est une fraction rationnelle. On pose z = e iθ et on exprime cos θet sin θ en fonction de z .On se ramene alors au calcul d’une integrale sur le cercle unite.Exemple : montrer que

J =

∫ 2π

0

dθ

5 + 3 sin θ=π

2



Application a la sommation de series

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z





Voir TD.



Definition

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles




Transformee de LaplaceDefinitionProprietesTransformee de Laplace inverseApplications

Transformee en Z



Definition

Definition

Ensemble des fonctions transformablesE est l’ensemble des fonctions f definies sur R+ telles que• f est localement integrable i.e.

∫ A

0f (t)dt <∞, ∀A

• Il existe x0 tel que∫∞

0e−x0t f (t)dt <∞

Transformee de LaplacePour f ∈ E , on definit sa transformee de laplace

F (p) ,∫∞

0e−pt f (t)dt p ∈ C

Notation : F (p) = TL(f (t))



Definition

DefinitionConvergences

Convergence simple

Theoreme 1Si F (p) existe pour p = p0 = x0 + iy0 alorsF (p) existe ∀p tel queRep > Rep0 = x0

Consequence : x ∈ R,F (p) <∞ admet une borne inferieure notee xcappelee abscisse de convergence simple de F .

Convergence absolue

Theoreme 2Si∫∞

0

∣∣e−pt f (t)∣∣ dt existe pour p = p0 = x0 + iy0 alors∫∞

0

∣∣e−pt f (t)∣∣ dt existe ∀p tel queRep > Rep0 = x0

Consequence :x ∈ R,

∫∞0

∣∣e−pt f (t)∣∣ dt <∞ admet une borne inferieure

notee xca appelee abscisse de convergence absolue de F (on a bien sur xc ≤xca)

Exemple : f (t) = ekt sin[ekt], k > 0, xc = 0 et xca = k.

Remarque : en pratique, on a le plus souvent xc = xcaNicolas Dobigeon Variable complexe - TL & TZ 65 / 96


Definition

Definition

Theoreme fondamentalSi f (t) est continue par morceaux sur R+,alors F (p) =

∫∞0

e−pt f (t)dt est holomorphe sur ]xc ,+∞[ etdonc indefiniment derivable sur ]xc ,+∞[ avec

dnF (p)dpn =

∫∞0

dn

dpn [e−pt f (t)] dt

Consequence : obtention de xc a partir de F (p)

Si F (p) fonction de la variable complexe p est la transformeede Laplace d’une fonction f (t) qui admet dans C des psi sket des points de ramification rj , alors xc = supRe(sk , rj)

Exemples : F (p) = 1p(p−2) xc = 2

F (p) = 1p+1 xc = 0



Proprietes

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z



Proprietes

Proprietes usuelles

a) LineariteTL (λf + µg) =λF (p) + µG (p)

En general, xc = sup(xcf , xcg ).b) Derivation* par rapport a p

TL (−1)ntnf (t) =dn

dpnF (p)

* par rapport a t (f continue sur [0,+∞[)

TL [f ′(t)] = pF (p)− f (0+)

Generalisation

TL[f (n)(t)

]= pnF (p)− pn−1f (0+)− ...− f (n−1)(0+)

Application : resolution d’equations differentielles lineaires



Proprietes

Proprietes usuelles

c) Integration* TL d’une primitive

TL

[∫ t

0

f (u)du

]=

F (p)

p

Abscisse de convergence : sup(xc , 0)* Primitive d’une TL

TL

[f (t)

t

]=

∫ ∞p

F (s)ds



Proprietes

Proprietes usuelles

d) Translation* par rapport a p

TL[eat f (t)

]= F (p − a)

Abscisse de convergence : xc + Re(a).* par rapport a t

TL [f (t − a)U(t − a)] = e−apF (p)

Abscisse de convergence : xcRemarque : Application aux fonctions periodiques.e) Similitude

TL[f( tk

)]= kF (kp) k > 0

Abscisse de convergence : xck



Proprietes

Proprietes usuelles

f) Convolution

TL

[∫ t

0

f (u)g(t − u)du

]= F (p)G (p)

g) Theoremes de la valeur initiale et de la valeur finale

limt→0+

f (t) = limp→∞

pF (p)

limt→∞

f (t) = limp→0

pF (p)

h) Transformee des seriesSeries de terme general an

tn

n!de rayon de convergence Rc =∞

TL[∑∞

n=1 antn

n!

]=∑∞

n=1an

pn+1

Exemple : Montrer que TL[

sinωtt

]= Arctg ωp

Utiliser deux methodes : Devt en serie et TL[x(t)t

]Nicolas Dobigeon Variable complexe - TL & TZ 71 / 96


Proprietes

Quelques transformees de Laplace

Fonction TL ConvergenceU(t) 1

p xc = 0

eαt 1p−α xc = Reα

e iωt 1p−iω xc = 0

ch (αt) pp2−α2 xc = supRe(α,−α)

sh (αt) αp2−α2 xc = supRe(α,−α)

cosωt pp2+ω2 xc = 0

sinωt ωp2+ω2 xc = 0

t 1p xc = 0

tn, n ∈ N n!pn+1 xc = 0

tα, α ∈ R Γ(α+1)pα+1

avec Γ(x) =∫∞

0e−ttx−1dt et Γ(n + 1) = nΓ(n) = n!



Transformee de Laplace inverse

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z



Transformee de Laplace inverse

Formule d’inversion

X (p) =

∫ ∞0

x(t)e−ptdt =

∫ ∞0

x(t)e−ate−j2πftdt

avec p = a + j2πf .Analogie avec la transformee de Fourier

X (f ) = TF (x(t)) =∫R x(t)e−j2πft

x(t) = TF−1(X (f )) =∫R X (f )e+j2πftdf

Donc :

X (p) = TF[x(t)e−atU(t)

]d’ou la formule d’inversion :

x(t)U(t) = 12iπ

∫D↑ X (p)eptdp

On applique alors le theoreme des residus a X (p)ept

Exemple : X (p) = 1√p



Applications

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en Z



Applications

Equations differentielles a coefficients constants

y (n) + a1y(n−1) + ...+ any(t) = f (t)

Conditions initiales

y(0) = b0, y′(0) = b1, ..., y

(n−1)(0) = b(n−1)

Transformation par Laplace

TL [any(t)] = anY (p)TL[y (n)(t)

]= pnY (p)− pn−1y(0+)− ...− y (n−1)(0+)

TL [Ωn(y)] = Ωn(p)Y (p)− Qn−1(p)TL [f (t)] = F (p)

Probleme algebrique

Ωn(p)Y (p) = Qn−1(p) + F (p)

Y (p) = Qn−1(p)Ωn(p) + F (p)

Ωn(p) = Y1(p) + Y2(p)



Applications

Equations differentielles a coefficients constants

a) Y1(p) fraction rationnelle

Y1(p) =Qn−1(p)∏r

i=1(p − pi )ki

ou pi est une racine d’ordre ki avec∑r

i=1 ki = nDecomposition en elements simples :

Y1(p) =r∑

i=1

Ai1

p − pi+

Ai2

(p − pi )2 + ...+

Aiki

(p − pi )ki

d’ou

y1(t) =∑r

i=1 epi t[Ai1 + Ai2t + ...+ Aiki t

ki−1]

b) Y2(p) = F (p)Ωn(p) = F (p)× 1

Ωn(p)

donc :

y2(t) =

∫ t

0

f (u)Rn(t − u)du

La solution du probleme est alors y(t) = y1(t) + y2(t)Nicolas Dobigeon Variable complexe - TL & TZ 77 / 96


Applications

EDP a plusieurs variables

La TL permet de reduire l’equation d’une dimension.Exemple :Probleme a 2 dimensions spatio-temporel corde vibrante f (x , t)

∂2f∂x2 − 1

c2∂2f∂t2 = 0

Conditions initiales

f (x , 0) = ϕ(x)∂f

∂t(x , 0) = ψ(x)

Conditions aux limites

f (∞, t) = 0f (0, t) = g(t)



Applications


Solution a l’aide de la TL (par exemple, p est un considere comme unparametre)

F (x , p) =

∫ ∞0

e−pt f (x , t)dt

TL

[∂f

∂t

]= pF (x , p)− f (x , 0)

= pF (x , p)− ϕ(x)

TL

[∂2f

∂t2(x , t)

]= p2F (x , p)− pf (x , 0)− ∂f

∂t(x , 0)

= p2F (x , p)− pϕ(x)− ψ(x)

TL

[∂2f

∂x2(x , t)

]=

∫ ∞0

e−pt∂2f (x , t)

∂x2dt

=∂2

∂x2

∫ ∞0

e−pt f (x , t)dt =d2F (x , p)

dx2



Applications


On obtient alors :

d2F (x,p)dx2 − p2F (x , p) = pϕ(x) + ψ(x)

avec

F (∞, p) = TL [f (∞, t)] = 0

G (p) = TL [g(t)] = TL[f (0, t)] = F (0, p)

Probleme a une dimension (equation differentielle + conditions limites).


Transformee en Z

Definition

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles





Transformee en ZDefinitionProprietesTransformee en Z inverseApplicationsLien entre les transformees en Z et de Laplace


Transformee en Z

Definition

Definition

DefinitionOn definit la transformee en Z d’une suite x(n), n ∈ Z par :

X (z) =+∞∑

n=−∞

x(n)z−n z ∈ C

Notation :X (z) = TZ(x(n))

Vocabulaire : TZ bilaterale et TZ unilaterale


Transformee en Z

Definition

Definition

Domaine de convergenceLa region de convergence est l’ensemble des nombres complexes z tels que laserie X (z) converge.

Rappel : critere de Cauchy

limn→+∞

n√|un| < 1 =⇒

+∞∑n=0

un converge

On a une condition suffisante de convergence. A l’aide de ce critere, on montreque la serie X (z) converge des que :

0 ≤ R−x < |z | < R+x ≤ +∞

Exemple : X (z) =∑+∞

n=0 z−n converge pour |z | > 1


Transformee en Z

Proprietes

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles







Transformee en Z

Proprietes

Proprietes usuelles

LineariteTZ (ax(n) + by(n)) = aX (z) + bY (z)

Convergence : si R+ = min(R+x ,R

+y ) et R− = max(R−x ,R

−y ), alors le

domaine de convergence contient ]R−,R+[.Decalage

TZ (x(n − n0)) = z−n0X (z)

Meme domaine de convergence que pour X (z)Changement d’echelle

TZ (anx(n)) = X(za

)Domaine de convergence : |a|R−x < |z | < |a|R+

x


Transformee en Z

Proprietes

Proprietes usuelles

DerivabiliteLa transformee en Z definit une serie de Laurent qui est indefinimentderivable terme a terme dans son domaine de convergence.On en deduit :

TZ (nx(n)) = −z dX (z)

dz

Meme domaine de convergence que pour X (z)Produit de convolutionLe produit de convolution entre les suites x(n) et y(n) est defini par :

u(n) = x(n) ∗ y(n) =+∞∑

k=−∞

x(k)y(n − k)

On a alorsTZ (x(n) ∗ y(n)) = X (z)Y (z)

La region de convergence de U(z) peut etre plus large que l’intersectiondes regions de convergence de X (z) et de Y (z).


Transformee en Z

Transformee en Z inverse

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles







Transformee en Z


TZ inverse

La transformee en Z inverse est definie par :

x(n) =1

j2π

∫C+

X (z)zn−1dz

ou C est un contour ferme inclu dans l’anneau de convergence


Transformee en Z


TZ inverse

PreuveL’expression de la transformee en Z inverse decoule directement du calculde l’integrale

J(n, k) =

∫C+

zn−k−1dz

A l’aide du theoreme des residus, on montre :

J(n, k) =

0 si n 6= kj2π si n = k

On en deduit alors :

1

j2π

∫C+

X (z)zn−1dz =1

j2π

∫C+

( ∞∑k=−∞

x(k)z−k

)zn−1dz

=1

j2π

∞∑k=−∞

x(k)J(n, k)

= x(n)

Remarque : existence de tablesNicolas Dobigeon Variable complexe - TL & TZ 89 / 96

Transformee en Z

Applications

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles







Transformee en Z

Applications

Filtrage des signaux a temps discrets

Voir cours de traitement numerique du signal.


Transformee en Z

Applications

Application aux equations recurrentes

Etude d’un exemple : systeme lineaire du premier ordre

y(n)− ay(n − 1) = x(n) |a| < 1

L’entree de ce systeme est definie par :

x(n) = bnU(n) avec |b| < 1

ou U(n) est l’echelon de Heaviside.

I Determiner y(n) pour n ≥ 0 sachant que y(n) = 0 pour n < 0.

I Determiner la reponse impulsionnelle du systeme h(n) telle quey(n) = x(n) ∗ h(n).


Transformee en Z

Lien entre les transformees en Z et de Laplace

Plan du cours

Generalites

Fonctions usuelles







Transformee en Z


Transformees en Z et de Laplace

Soit x(t) un signal causal dont la transformee de Laplace est :

X (p) =

∫ ∞0

x(t)e−ptdt

On echantillonne ce signal a la periode T et on note X (z) sa transformeeen Z :

X (z) =∞∑n=0

x(nT )z−n

AlorsX (z) =

∑res X (p)

1−epT z−1


Transformee en Z


Transformees en Z et de Laplace

La formule inverse de la transformee de Laplace donne

x(t)U(t) =1

2iπ

∫D↑

X (p)eptdp

d’ou

X (z) =∞∑n=0

x(nT )z−n =∞∑n=0

[1

2iπ

∫D↑

X (p)epnTdp

]z−n

=1

2iπ

∫D↑

X (p)∞∑n=0

(z−1epT

)ndp

Dans la mesure ou∣∣z−1epT

∣∣ < 1, on a

X (z) =1

2iπ

∫D↑

X (p)1

1− z−1epTdp =

∑res

X (p)

1− epT z−1


Transformee en Z


Variables complexesTransformee de Laplace – Transformee en Z

Nicolas Dobigeon

Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT

http://www.enseeiht.fr/[email protected]


http://www.enseeiht.fr/~dobigeon

transform ee de laplace { transform ee en zdobigeon.perso.enseeiht.fr/teaching/complexe/cours...int...

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