transformaciÓn de kennelly

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLOFACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA MECÁNICA

TEOREMA DE KENNELLYResistencias e Impedancias

02 de Agosto del 2010Electrotecnia y Electrónica BásicaIng. Luis Miguel Rivera Cardoso

Electrotecnia y Electrónica Básica Ingeniería Mecánica

T ransformación de Kennelly (Estrella-Triángulo)

El teorema de Kennelly (o transformación estrella-triángulo, a veces escrito Y- Δ), llamado así en homenaje a Arthur Edwin Kennelly, permite simplificar un circuito eléctrico, bien esté en forma de estrella o de triángulo.

Esto nos puede ser muy útil para analizar circuitos eléctricos complejos al poder transformarlos de tal manera que se nos pueda convertir, dicho circuito, en otro circuito equivalente en forma de estrella o de triángulo. Todo dependerá de la dificultad del circuito a analizar. Esto dado a que hay montajes de tres elementos que no pueden considerarse ni en serie ni en paralelo.

La transformación de una a la otra nos permite poder asociar las partes equivalentes al resto del circuito de forma tal que quedan en paralelo y/o serie y, de esta manera, poder resolver la respectiva resistencia equivalente.

Transformación de triángulo a estrella.

Como podemos observar en el dibujo, estamos transformando las tres resistencias que están en triángulo, en resistencias de un sistema en estrella. Las fórmulas para poder calcular las nuevas resistencias: Ra, Rb y Rc son las siguientes:

Ra=R1R3

R1+R2+R3

Rb=R1R2

R1+R2+R3

Rc=R2 R3

R1+R2+R3

Universidad Nacional de Trujillo


Transformación de estrella a triángulo.

Las fórmulas para calcular las nuevas resistencias son:

Ra=R1 R2+R2R3+R3R1

R3

Rb=R1 R2+R2R3+R3R1

R1

Rc=R1R2+R2R3+R3R1

R2

NOTA: Esto es especialmente útil cuando tenemos circuitos con muchas resistencias y queremos calcular la resistencia total del circuito.

Teorema de Kennelly para Impedancias



Una malla triangular ABC perteneciente a una red, y que solo tiene impedancias ZAB , Z AC , ZBC, puede sustituirse por una estrella NABC formada por las impedancias ZA , ZB , ZC, a condición de que:

ZA=Z ABZ AC

Z AB+Z AC+ZBC ZB=

Z ABZBCZAB+Z AC+ZBC

ZC=Z AC ZBC

Z AB+Z AC+ZBC

La comprobación es fácil. Para que se pueda reemplazar el triángulo por la estrella, es preciso que entre dos de los puntos A, B, C las impedancias sean iguales en ambos sistemas. Por tanto, aplicando la ley de los nudos y la ley de Ohm al triángulo obtenemos:

Ι A=Ι'+ Ι ' '=

V A−V B

Z AB+V A−V CZ AC

ΙB=Ι' ' '−Ι '=

V B−V CZBC

−V A−V B

Z AB

Por otro lado:

V A−V B=(V A−V N )+(V N−V B )=Z A Ι A−ZB ΙB

Del mismo modo:

V A−V C=Z A ΙA+ZC (Ι A+ ΙB)

V B−V C=ZB ΙB+ZC(ΙA+ ΙB)

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores:



Ι A(1− ZAZ AB

−Z AZ AC

−Z AZAC )=ΙB(

ZCZ AC

−Z BZ AB )

ΙB(1− Z BZBC

−ZCZBC

−ZBZ AB )=ΙA (

ZCZBC

−Z AZ AB )

Como la equivalencia debe ser para cualquier par de valores (Ι A , Ι B), solo se verificarán simultáneamente las dos ecuaciones si los coeficientes de Ι A y de ΙB son nulos, es decir

1−Z AZAB

−Z AZ AC

−Z AZ AC

=0

ZCZ AC

−ZBZ AB

=0

1−ZBZBC

−ZCZBC

−ZBZ AB

=0

ZCZBC

−Z AZ AB

=0

Y de estas expresiones deducimos las expuestas al principio.

Evidentemente también el recíproco, de estas mismas expresiones se deduce:

ZAB=Z AZ B+Z A ZC+ZB ZC

ZC

ZAC=Z AZB+Z A ZC+ZB ZC

ZB

ZBC=Z A ZB+ZA ZC+Z BZC

Z A

Otra forma de mostrar este teorema, sería:

Ecuaciones de Kennelly



Transformación Δ-Y

Transformación Y-Δ


transformaciÓn de kennelly

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