Una función f es simétrica si al doblar su gráfica por un eje de simetría ésta se superpone.

Existen dos tipos de simetrías:

1. Funciones simétricas respecto al eje de ordenadas OY (también se llaman funciones pares).

2. Funciones simétricas respecto al origen (también llamadas funciones impares).

Estudiar si la función es simétrica se llama estudio de la simetría o, al tratarse de funciones pares o impares, estudio de la paridad.

Las funciones que no son simétricas son asimétricas.

Funciones pares

Una función par es una función simétrica respecto al eje de ordenadas OY. Es decir, si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas encima de la otra parte, la gráfica se solaparía.

Las funciones pares son las que cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento (-x) y la imagen de este elemento (x) coinciden, es decir:

Funciones impares Una función impar es una función simétrica respecto al

origen O. Si plegásemos la gráfica por el eje de ordenadas (OY) y después de nuevo por el eje de abscisas (OX), la gráfica se solaparía.

En las funciones impares se cumple que la imagen del opuesto de un elemento (-x) es la imagen opuesta de dicho elemento (x), es decir:

Método de estudio de la simetría Para estudiar la simetría debemos de estudiar cual es la

imagen de –x.

1. Si f(-x) = f(x), entonces la función es par y simétrica respecto al eje de ordenadas OY.

2. Si por el contrario f(-x) = –f(x), entonces la función es impar y simétrica respecto al origen O.

3. En el caso de que no se cumplan ninguna de las dos anteriores hipótesis, la función es asimétrica.

Ejemplos Ejemplo 1

Sea la función f(-x) = x4-3x2. Vamos a estudiar la simetría de la función evaluando f(-x).

Vemos que f(-x) = f(x), por lo que f es una función par.

Ejemplo 2 Ahora tenemos la función f(-x) = x3-4x. Análogamente,

estudiamos la simetría:

En este caso, f(-x) = –f(x), siendo la función simétrica impar.

Ejemplo 3 Por último, ahora tenemos la función f(-x) = x3-4x2+3.

Estudiemos la simetría evaluando f(-x).

No se cumplen ninguna de las dos condiciones, por lo tanto la función es asimétrica.

TRANSFORMACIONES

El estudio de este tópico nos permitirá construir gráficas de una manera más rápida sin tener que hacer uso de tablas de valores ni depender de una calculadora gráfica.

Traslación vertical

¿Cómo comparas las gráficas de y = x2 + 2 y y = x2 - 3 con la gráfica de y = x2? Observa las gráficas a continuación.

Observa que la gráfica de y = x2 + 2 sube dos unidades desde el origen y la gráfica de y = x2 - 3 baja tres unidades desde el origen.

Nota: La gráfica de la ecuación de la forma y = f(x) + k es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia arriba si k es positiva y desplazada hacia abajo si k es negativa. De manera que, la gráfica de y = f(x) + k se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar verticalmente la gráfica de y = f(x), k unidades hacia arriba si k es positiva y k unidades hacia abajo si k es negativa.

Traslación horizontal

¿Cómo comparas las gráficas de y = (x + 2)2 y y = (x - 2)2 con la gráfica de y = x2? Observa las gráficas a continuación.

Observa que la gráfica de y = ( x + 2)2 se mueve dos unidades hacia la izquierda y la gráfica de y = (x - 2)2 se mueve dos unidades hacia la derecha.

Nota: La gráfica de y = f(x + h) es la gráfica de y = f(x) desplazada hacia la derecha si h es negativa y desplazada hacia la izquierda si h es positiva. De manera que, la gráfica de y = f( x + h) se puede obtener de la gráfica de y = f(x) al trasladar horizontalmente la gráfica de y = f(x), h unidades hacia la izquierda si h es positiva y h unidades hacia la derecha si h es negativa.

Ejemplos para discusión:

1) Dibuja las gráficas de en un mismo plano. Indica el tipo de traslación.

2) Dibuja las gráficas de en un mismo plano. Indica el tipo de traslación.

Ejercicio: A continuación hay varias gráficas que muestran traslaciones verticales y horizontales de la gráfica de f(x) = │x│. Escribe la función apropiada de cada una de ellas.

Reflexión

Cuando la gráfica de y = f(x) es reflejada en el eje de x. Por ejemplo: g(x) = -x2 es una reflexión de f(x) = x2. Veamos las gráficas a continuación:

Expansión y contracción vertical

Sea y = Af(x). Si A>1, entonces la gráfica de y = Af(x) es una expansión vertical de f(x). Si 0<A<1, entonces la función y = Af(x) es una contracción vertical de la gráfica de y = f(x).

f(x)= 2x2 expansión de f(x) = x2f(x) = 0.5x2 contracción de f(x) = x2