transformada de fourier transformada de fourier contínua e discreta
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Transformada de Fourier
Transformada de Fourier Contínua e Discreta
Jean Baptiste Joseph Fourier
0 0 01
( ) ( cos sin )n nn
f t a a n t b n t
Série Trigonométrica de Fourier
Seja f(t) uma função periódica de período T. A série de Fourier para esta função é a representação em forma de
uma soma infinita de cossenos e senos.
0
0
( )
01 ( )
t T
ta f t dt
T
0
0
0
0
( )
0
( )
0
2 ( )cos
2 ( )sin
t T
n t
t T
n t
a f t n tdtT
b f t n tdtT
a0 é o valor médio de f(t), assim a0 é a componente d-c, ou, digamos, a amplitude da componente de "freqüência zero da série trigonométrica.
Série Exponencial de Fourier
0( ) jn tn
n
f t F e
00
0
1 ( )t T jn t
n tF f t e dt
T
/ 2 / 2( )
0 / 2 / 2
A tf t
t T
0
0
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
1 ( )
1
T jn tdtn
jn t
F f t eT
Ae dtT
0
0 0
/ 2
0 / 2
/ 2 / 2
0
00
0
0
22
2 sin( / 2)
sin / 2/ 2
jn t
jn jn
A ejn T
e eAn T jA n
n T
nAT n
Exemplo
A função entre colchetes tem a forma sen(x) / x . Essa função desempenha um papel importante na teoria de comunicações e é conhecida como a função de amostragem. Abreviada como:
( )( ) sen xSa xx
0( )2nAFn Sa
T
02T
e
0
2n n
T
( )A nFn SaT T
0( ) ( ) jn t
n
A nf t Sa eT T
e
Transformada de Fourier
[ ( )] ( ) j tf t f t e dt
1 1[ ( ] ( )2
j tF F e d
Função Impulso
( ) 1t dt
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t t t dt f t t dt f t
Tempo t 0
1 (t)
Representa a propriedade da amostragem
Transformada de Fourier que Envolvem Funções Impulso
[ ( )] 1t
[ ( )] ( ) j tt t e dt
A Transformada de Fourier de uma Função Impulso
Sinais Senoidais Eternos
0 0 0[cos ] [ ( ) ( )]t
/2
0 0/2
[cos ] lim cos . j tt t e
0 00
( ) ( )[cos ] lim{ [ ] [ ]}2 2 2 2
t Sa Sa
Da mesma forma, podemos mostrar que:
0 0 0[ ] [ ( ) ( )]sen t j
Representação Gráfica
Propriedade de Deslocamento em Freqüência
00( ) ( )j tf t e F
Freqüentemente, nos sistemas de comunicação, deseja-se transladar o espectro de freqüência. Essa translação é geralmente feita multiplicando-se um sinal f(t) por um sinal senoidal. Esse processo é conhecido como modulação.
Observe que:0 0
01( )cos ( ) ( )2
j t j tf t t f t e f t e
0 0 01( )cos ( ) ( )2
f t t F F
O Processo de modulação translada o espectro de freqüência. A figura abaixo mostra um exemplo de translação em freqüência causada pela modulação.
Diferenciação e Integração no Tempo
( ) ( )df j Fdt
( ) ( )f t F
1( ) ( )t
f d Fj
Exemplo
Avalie a transformada de Fourier de uma função trapezoidal.
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )( )
d f A t b t a t a t bdt b a
00( ) j tt t e
2( ) ( )( )
j b j a j a j bAj F e e e eb a
2
2 cos cos( )( )A a bF
b a
Teorema da Convolução
1 2( ) ( ) ( )f t f f t d
Dadas duas funções, formamos a integral.
A integral da convolução também é expressa como:
1 2( ) ( )* ( )f t f t f t
Convolução de uma Função com uma Função Impulso Unitária
1 2 1 2( )* ( ) ( )f t t t t f t t t
( )* ( ) ( ) ( ) ( )f t t f t d f t
Isso é facilmente verificado, utilizando a propriedade da amostragem
Podemos verificar também que:
( )* ( ) ( )f t t T f t T
1 2 1 2( )* ( ) ( )t t t t t t t