Transformada de Hough

• Processamento global para a detecção de linhas retas numa imagem

• Nenhum conhecimento é necessário a respeito da posição das linhas

• Método robusto que pode ser generalizado a outras formas geométricas

• Suponha que para uma imagem de n pontos queiramos encontrar subconjuntosdestes pontos que sejam colineares:

Ideia 1: Encontrar todas as linhas determinadas por cada par de pontos e, então,encontrar todos os subconjuntos de pontos constituindo uma linha em particular.

linhas as todasencontrar se para )( i.e., 1)/2,-n(n : 2nOdeComplexidae

linhas as todascom ponto cada de comparação para )( i.e., ],2/)1([ 3nΟnnn

10 retas

Idéia 2: Transformada de Hough (1962)

• Considere um ponto da imagem e a equação geral da reta: ),( ii yx

baxy ii

• Pelo ponto passam infinitas retas (no plano contínuo) com valores de a e b variáveis.

),( ii yx

x

y

ix

iy

Todas estas retas obedecem à equação , com a e b variáveis. baxy ii

Assim, escrevendo a equação da reta na forma:

, ii yaxb

e considerando o plano ab (espaço de parâmetros), definimos uma reta de inclinação e ponto de intersecção ix iy

a

b

iy

inclinação ix

Um outro ponto introduzido no plano xy também terá uma retano espaço ab. Esta reta intersecciona a primeira no ponto (a’, b’) corres-pondente aos parâmetros da reta que une a .

),( jj yx

),( jj yx),( ii yx

a

b

b’

a’

ii yaxb

jj yaxb

x

y

),( ii yx

),( jj yx

inclinação a’

b’

Assim, todos os pontos pertencentes à mesma reta em xy têm intersecção,no plano ab, no ponto (a’,b’).

Implementação

• Subdivide-se o espaço de parâmetros em células acumuladoras

),( e ),( maxminmaxmin bbaa são os valores mínimos e máximos permitidos para ainclinação e intersecção das retas, respectivamente. Cada célula (i,j), com acumuladorA(i,j), guarda o número de ocorrências de . ji ba ,

• Inicialmente, estas células têm valor zero

• Para cada ponto no plano xy, considera-se o parâmetro a igual aos valorespossíveis de a (na subdivisão do espaço ab) e calcula-se b na equação:

kk yx ,

kk yaxb

• Se um valor de resulta em , então A(p,q) = A(p,q)+1 pa qb

• No final, M valores em A(i,j) corresponde a uma reta com M pontos e parâmetros

ji ba , isto é, ji bxay

Obs.: Este método define nk computações, para k incrementos de a e b no planoab, e n pontos da imagem.

Exemplo

x

y

(1,2)

(2,1)

-3

-2

-1012

345

-2 -1 0 1 2

a

b

y = -x + 3

kk yaxb )2,1(),( kk yx

a = -1 b = 3

a = 0 b = 2

a = 1 b = 1

a = 2 b = 0

a = -2 b = 4

11

11

1

)1,2(),( kk yx

a = -2 b = 5

1

a = -1 b = 3

2

a = 0 b = 1

1

a = 1 b = -1

1

a = 2 b = -3

1

espaço de parâmetros

3

Problema:Os valores de a e b tendem para infinito à medida que as retas se tornam verticais.

Alternativa: Considerar a representação normal da reta (em coordenadas polares):

ysenx cos

é a distância perpendicular da reta à origem do plano xy e é o

ângulo desta reta perpendicular, em relação ao eixo x.o90 o90

As curvas obtidas no espaço são senoidais ao invés de retas

o45

Original Contornos

Exemplo 1

Contornos Detecção de linhas

Exemplo 2

Original Contornos

ContornosDetecção de linhas

Generalização

• A transformada de Hough pode ser aplicada a qualquer função da forma g(v,c) = 0,em que v é um vetor de coordenadas e c, o de coeficientes.

Por exemplo, a função 2

32

22

1 )()( ccycx

pode ser considerada para a determinação de círculos na imagem centrados em

),( 21 cc e de raio Neste caso, o espaço de parâmetros define.3c ),,( 321 ccc

o plano tridimensional .321 ccc

• O processo de detecção é o mesmo definido anteriormente: a partir dos pontosx, y, considera-se, por exemplo, os valores de e para se encontrar 1c 2c 3cno plano 321 ccc devidamente subdividido.

Redução da complexidade computacional

• Introduzir a informação do gradiente dos contornos

Algoritmo:

1. A(a,b) = 0

2. calcular ∆x e ∆y (usando o operador Sobel, por exemplo)

3. Se magnitude do gradiente no ponto (x,y) > Limiar, calcular

4. Calcular b = -ax+y

5. Incrementar acumulador: A(a,b)=A(a,b)+1

6. Repetir passos 3-5 para todos os pontos do contorno

7. Pontos de máximo (picos) em A(a,b) representam retas de parâmetro a,b

x

ya

Detecção de bordas em grafos

• Abordagem global de detecção de pontos de borda

• Representa os segmentos de borda em forma de grafos, e realiza buscasde caminhos de custo mínimo associados a contornos significativos.

Um grafo: G = (N,A)

N = conjunto finito, não-vazio de nósA = diferentes pares de N denominados arcos ou arestas),( ji nn

Num grafo orientado, é dito sucessor do nó pai jn inA expansão de um nó identifica os seus eventuais sucessores

Um custo pode ser associado a cada arco do grafo G. ),( ji nnc ),( ji nn

A sequência de nós , com cada sendo um sucessor de , knnn ,...,, 21 in 1iné denominada caminho de a in kn

O custo de um caminho pode ser dado por:

k

iii cncc

21 ),(

elemento de borda

Borda = sequência conexa de elementos de borda

Custo de cada elemento de borda:

(7) imagem da cinza de nível máximo o é H ,)]()([),( qfpfHqpc

Exemplo

p q

convenções do trajeto:

início da borda linha 1final da borda linha 3

O grafo

as bordas

os custos

1

2

3

1 2 3caminho de custo mínimo