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Transformada de Laplace

Transformada de Laplace (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 1 / 76

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Roteiro1 Introdução

Definição da TransformadaTransformada de Laplace de Algumas FunçõesTransformada de DerivadasSolução de Equações Diferenciais Lineares

2 Inversão por Frações ParciaisRaízes Distintas, Reais ou ComplexasRaízes Múltiplas

3 Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformadade Laplace

4 Natureza Qualitativa das Soluções5 Propriedades Adicionais das Transformadas de Laplace6 Exemplos

Equação Diferencial de Primeira Ordem (Geral)Equação Diferencial de Primeira OrdemEquação Diferencial de Segunda Ordem (Geral)Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes ReaisDiferentes)Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Complexas)Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Múltiplas)Sistema com Interação

7 Atividades Complementares



Introdução à Transformada de Laplace

O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta que propor-ciona a solução de equações diferenciais lineares com coeficientesconstantes, de maneira sistemática e relativamente simples.

Uma classe importante do controle se restringe à resolução dessestipos de equações. Portanto, destaca-se a importância da Transfor-mada de Laplace no controle de processos.

A transformação de uma equação diferencial resulta em uma equaçãoalgébrica, onde a variável s substitui a variável independente (como otempo, t).



Introdução à Transformada de Laplacecontinuação

E s p a ç oO r i g i n a l

E q u a ç ã o D i f e r e n c i a l+

C o n d i ç õ e s I n i c i a i s e d e C o n t o r n o

S o l u ç ã o d oP r o b l e m a O r i g i n a l

E s p a ç o d aT r a n s f o r m a d ad e L a p l a c e

E q u a ç ã o A l g é b r i c a S o l u ç ã o

T r a n s f o r m a d ad e L a p l a c e

T r a n s f o r m a d aI n v e r s a

d e L a p l a c eL

L - 1

Figura: Esquema da transformação e solução da equação diferencial



Definição da Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace de uma função f (t) é

F (s) = L{f (t)} =

∫ ∞

0f (t)e−stdt

A Transformada de Laplace é linear

L{a1f1(t) + a2f2(t)} = a1L{f1(t)}+ a2L{f2(t)}



Transformada de Laplace de Algumas Funções

Item F (s) f (t)1 1 δ(t), impulso unitário

21s u?(t), degrau unitário

31s2 t , rampa

41sn (n = 3, 4, . . .)

tn−1

(n−1)!

51

s+a e−at

61

τs+11τ e−t/τ

71

(s+a)n (n = 2, 3, . . .)tn−1e−at

(n−1)!

81

(τs+1)n (n = 2, 3, . . .)tn−1e−t/τ

τn(n−1)!

9s

(s+a)2 e−at(1− at)10

1s(s+a)

1a(1− e−at)

111

s(τs+1) 1− e−t/τ

121

s(τs+1)n 1− e−t/τ∑n−1

i=0(t/τ)i

i!



Transformada de Laplace de Algumas Funçõescontinuação

Item F (s) f (t)13

1(s+a)(s+b)

1(b−a)(e

−at − e−bt)

141

(τ1s+1)(τ2s+1)1

(τ2−τ1)(e−t/τ1 − e−t/τ2)

15s

(s+a)(s+b)1

(a−b)(ae−at − be−bt)

16s+c

(s+a)(s+b)(c−a)(b−a)e

−at + (c−b)(a−b)e

−bt

17τ3s+1

(τ1s+1)(τ2s+1)1τ1

(τ1−τ3)(τ1−τ2)

e−t/τ1 + 1τ2

(τ2−τ3)(τ2−τ1)

e−t/τ2

181

s(s+a)(s+b)1

ab

[1 + 1

(a−b)(be−at − ae−bt)]

191

(s+a)(s+b)(s+c)e−at

(b−a)(c−a) + e−bt

(a−b)(c−b) + e−ct

(a−c)(b−c)

20(s+d)

(s+a)(s+b)(s+c)(d−a)e−at

(b−a)(c−a) + (d−b)e−bt

(a−b)(c−b) + (d−c)e−ct

(a−c)(b−c)

211

s2+a21a sen(at)

221

s(s2+a2)1a2 [1− cos(at)]




Item F (s) f (t)23

ss2+a2 cos(at)

24a cos(φ)+s sen(φ)

s2+a2 sen(at + φ)

251

(s+a)2+b21b e−at sen(bt)

26s+a

(s+a)2+b2 e−at cos(bt)27 e−as δ(t − a), impulso unitário em t = a

28e−as

s u?(t − a), degrau unitário em t = a

29w

(τs+1)(s2+w2)

(wτ

τ2w2+1

)e−t/τ + 1√

τ2w2+1sen(wt + θ)

onde θ = arctg(−wτ)

301

s2(τs+1)τ(e−t/τ + t/τ − 1)

311

s(τ1s+1)(τ2s+1) 1 + 1(τ2−τ1)

(τ1e−t/τ1 − τ2e−t/τ2)

32τ3s+1

s(τ1s+1)(τ2s+1) 1 + (τ3−τ1)(τ1−τ2)

e−t/τ1 + (τ3−τ2)(τ2−τ1)

e−t/τ2

33 f (s)e−as f (t − a)




Inversões que Apresentam Respostas com Decaimento Oscilatório

ξ < 1; A =√

(1− ξ2); B =√

(1− ξ2)/τ ; C = ξ/τ

Item F (s) f (t)34

1τ2s2+2ξτs+1

1Aτ e−ct sen(Bt)

351

s(τ2s2+2ξτs+1)1− 1

Ae−ct sen(Bt + φ)

onde φ = arctg(B

C

)36

τ1s+1τ2s2+2ξτs+1

1Aτ

[1− 2τ1C +

( τ1τ

)2]1/2

e−ct sen(Bt + φ)

onde φ = arctg(

τ1B1−τ1C

)



Transformada de Derivadas

A Transformada de Laplace tem a propriedade singular de transformara operação de diferenciação em relação a t em uma multiplicação pors:

L{

df (t)dt

}= sF (s)− f (0), f (0) = f (t = 0)

L{

d2f (t)dt2

}= s2F (s)− sf (0)− f ′(0), f ′(0) = f ′(t = 0)

L{

dnf (t)dtn

}= snF (s)− sn−1f (0)− sn−2f ′(0)− · · · −

sf n−2(0)− f n−1(0), f (i)(0) = f (i)(t = 0)



Solução de Equações Diferenciais Lineares

Na resolução de equações diferenciais por Transformada de Laplace,as funções fi(t) são convertidas em suas transformadas e as equaçõesalgébricas resultantes são resolvidas para as funções Fi(s) desconhe-cidas. Segue-se o seguinte procedimento:

1 obter a Transformada de Laplace de ambos os membros daequação (as condições iniciais são incorporadas neste passo nastransformadas das derivadas)

2 resolver algebricamente a equação resultante para aTransformada de Laplace da função desconhecida

3 achar a função de t que possui a Transformada de Laplace obtidano passo 2. Esta função satisfaz a equação diferencial e ascondições iniciais e, conseqüentemente, é a função desejada(obter a Transformada Inversa de Laplace, L−1)



Inversão por Frações Parciais

As equações diferenciais a serem resolvidas são todas da forma geral

andnydtn + an−1

dn−1ydtn−1 + · · ·+ a1

dydt

+ a0y =

bmdmudtm + bm−1

dm−1udtm−1 + · · ·+ b1

dudt

+ b0u (1)

onde y (i)(0) = y (i)(t = 0) e u(i)(0) = u(i)(t = 0).

A função desconhecida é y(t) (resposta do sistema). A fun-ção u(t) é chamada de função perturbação (entrada do sistema).an, an−1, · · · , a1, a0, bm, bm−1, · · · , b1, b0 são coeficientes constantes.



Inversão por Frações Parciaiscontinuação

Quando a Transformada de Laplace é aplicada em ambos os lados daequação (1), as condições iniciais são introduzidas e, então

Y (s)

U(s)=

cmsm + cm−1sm−1 + · · ·+ c1s + c0

sn + dn−1sn−1 + · · ·+ d1s + d0=

N(s)

D(s)

onde N(s) e D(s) são polinômios em s que representam o numeradore o denominador, com graus m e n, respectivamente.



Inversão por Frações Parciaiscontinuação

Sendo o grau de D(s) maior do que o de N(s), Y (s) pode ser expandidaem frações parciais, após fatorar o polinômio D(s), tal que

Y (s)

U(s)=

N(s)

(s − p1) (s − p2) · · · (s − pn)

onde p1, p2, · · · , pn são as raízes reais ou complexas do polinômioD(s). D(s) é conhecido como a equação característica ou polinômiocaracterístico e [p1, p2, · · · , pn] são os pólos do sistema representadopor Y (s)/U(s).

Determinadas essas raízes, o próximo passo depende da natureza deseus valores e da frequência em que elas aparecem.



Inversão por Frações ParciaisRaízes Distintas, Reais ou Complexas

Quando as raízes são reais ou complexas, mas distintas, pode-se es-crever Y (s) como a soma de frações parciais, com um termo para cadaraiz pi :

Y (s)

U(s)=

N(s)

D(s)=

N(s)

(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)

Y (s)

U(s)=

A1

s − p1+

A2

s − p2+ · · ·+ An

s − pn(2)

Para calcular o coeficiente Ai , multiplique ambos os lados da equação(2) por (s−pi). Após substituir s por pi , todos os termos do lado direitoda equação (2) desaparecem, com exceção de Ai . Portanto,

Ai =

[(s − pi)

N(s)

D(s)

]s=pi

=N(pi)

(pi − p1)(pi − p2) · · · (pi − pn)

Procedimento análogo é utilizado para encontrar os demais coeficien-tes.



Inversão por Frações ParciaisRaízes Distintas, Reais ou Complexas (continuação)

Cada termo da expansão em frações parciais com uma raiz real resul-tará em um termo no domínio do tempo, tal que a Transformada Inversade Laplace será

Ai

s − pi

L−1=⇒ Aiepi t

Existindo uma raiz complexa, necessariamente uma outra raiz écomplexa conjugada da primeira: pj = aj + ıbj e pk = ak − ıbk , ondeaj = ak e bj = bk .

A Transformada Inversa de Laplace dos pares complexos forma a ex-pressão

Aj

s − (aj + ıbj)+

Ak

s − (ak − ıbk )L−1=⇒ Aje(aj+ıbj )t + Ake(ak−ıbk )t



Inversão por Frações ParciaisRaízes Distintas, Reais ou Complexas (continuação)

Aplicando a identidade trigonométrica ex+ıy = ex(cos y + ı seny) noresultado da transformada inversa, esta resulta em

(Aj + Ak )eaj t cos(bj t) + (Aj − Ak )eaj t ı sen(bj t)

Utilizando uma outra identidade trigonométrica a1 cos b + a2 senb =

a3 sen(b + φ), onde a3 e φ são calculados de a3 =√

a21 + a2

2 e φ =

tan−1(a1/a2), obtém-se

2eaj t√

Aj · Ak sen(bj t + φ), com

φ = tan−1[

Aj + Ak

(Aj − Ak )ı

]



Inversão por Frações ParciaisRaízes Múltiplas

Se o polinômio D(s) apresentar raízes múltiplas, o fator (s − pi)n do

denominador de Y (s) dará origem a n termos na expansão em fraçõesparciais, tal que

Y (s)

U(s)=

N(s)

D(s)=

Ai,n

(s − pi)n +Ai,n−1

(s − pi)n−1 + · · ·+ Ai,2

(s − pi)2 +Ai,1

(s − pi)(3)

A constante Ai,n pode ser determinada da forma usual, pela multi-plicação por (s − pi)

n e fazendo s = pi . As outras constantes sãodeterminadas por sucessivas multiplicações do resultado da diferenci-ação da equação (3), após substituir s por pi .

Os termos apresentados na equação (3) conduzem à seguinte expres-são como transformada inversa:[

Ai,n

(n − 1)!tn−1 +

Ai,n−1

(n − 2)!tn−2 + · · ·+ Ai,2t + Ai,1

]epi t



Solução de Equações Diferenciais Lineares com aTransformada de Laplace

Resumindo: as seguintes etapas são executadas1 obter a Transformada de Laplace de ambos os membros da

equação2 resolver algebricamente a equação resultante3 inversão da transformada — técnica da expansão em frações

parciais



Solução de Equações Diferenciais Lineares com aTransformada de Laplacecontinuação

Forma Geral: modelo LTIEm notação vetorial {

x = Ax + Bu, x0 = 0y = Cx + Du

Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados das duasequações do modelo LTI, substituindo X(s) obtido da resolução da pri-meira equação na equação da saída Y(s). Ao final obtém-se uma rela-ção entre a saída e a entrada, Y(s)/U(s), conhecida como Função deTransferência (ou Matriz Função de Transferência), denominada deG(s):

Y(s) = [C(s − A)−1B + D︸︷︷︸G(s)

]U(s)



Solução de Equações Diferenciais Lineares com aTransformada de Laplacecontinuação

Essa equação permite a conversão entre a representação do sistemada forma em Espaço de Estado (LTI: domínio do t) para o da formaFunção de Transferência (domínio s).



Natureza Qualitativa das Soluções

A informação sobre a forma da solução y(t) pode ser diretamente ob-tida das raízes (pólos) do denominador de Y (s) chamado de equaçãocaracterística.A natureza qualitativa da solução de y(t) está relacionada à localizaçãodas raízes (pólos) da equação característica no plano complexo:

p 1

p 2p 3 p 4

p 5p 6

p 2 * p 3 *

p 4 *( - a 1 , 0 )

( - a 2 , b 2 )

( - a 2 , - b 2 )

( 0 , b 3 )

( 0 , - b 3 )

( a 4 , b 4 )

( a 4 , - b 4 )

( a 5 , 0 )( 0 , 0 )

e i x oi m a g i n á r i o

e i x or e a l

e s t á v e l i n s t á v e l

Pólos Termos em y(t) para t > 0p1 A1e−a1t

p2, p∗2 e−a2t [A1 cos(b2t) + A2 sen(b2t)]p3, p∗3 A1 cos(b3t) + A2 sen(b3t)p4, p∗4 ea4t [A1 cos(b4t) + A2 sen(b4t)]

p5 A1ea5t

p6 A1



Natureza Qualitativa das Soluçõescontinuação

Observa-se, então, que:pólos à esquerda do eixo imaginágio (semi-plano esquerdo)correspondem a respostas que decrescem exponencialmentecom o tempo: sistemas estáveispólos à direita do eixo imaginágio (semi-plano direito)correspondem a respostas que crescem exponencialmente com otempo: sistemas instáveispólos complexos conjugados fazem a resposta oscilar com otempo

com amplitudes decrescentes (sistemas estáveis) quandolocalizados no semi-plano esquerdocom amplitudes crescentes (sistemas instáveis) quandolocalizados no semi-plano direitocom amplitudes constantes (no limite de estabilidade) quandolocalizados sobre o eixo imaginário



Natureza Qualitativa das Soluçõescontinuação

pólos sobre a origem indicam uma resposta constante no tempoé óbvio que para uma dada entrada, u(t), deve-se considerar asraízes adicionais introduzidas pelo denominador de U(s) para seter um quadro completo da resposta qualitativa do sistema



Conversão Entre LTI e Função de Transferênciaestudo de caso

Tanque de Aquecimento com Agitação

O modelo LTI (espaço de estado)(hT

)︸︷︷︸

x

=

(−0, 10 0

0 −1, 30

)︸︷︷︸

A

(hT

)︸︷︷︸

x

+

(1, 00 0 1, 00 0 0 0−86, 52 0, 10 −84, 52 0, 10 190, 04 1, 10

)︸︷︷︸

B

Fi1Ti1Fi2Ti2FstTst

︸︷︷︸

u

, x0 = 0

(hT

)︸︷︷︸

y

=

(1 00 1

)︸︷︷︸

C

(hT

)︸︷︷︸

x



Conversão Entre LTI e Função de Transferênciaestudo de caso (continuação)


pode ser transformado em modelo na forma função de transferência,utilizando

Y(s) = [C(s − A)−1B + D︸︷︷︸G(s)

]U(s)

cuja Matriz Função de Transferência, G(s), é calculada utilizando asinstruções no MATLABsysss=ss(A,B,C,D) % cria modelo em espaço de estado

systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência

ou instruções equivalentes no SCILABsysss=syslin(’c’,A,B,C) // cria modelo contínuo (c) em espaço

de estado com D = 0systf=ss2tf(sysss) // cria modelo em função de transferência





(h(s)T (s)

)︸︷︷︸

Y(s)

=

(1

s+0,10 0 1s+0,10 0 0 0

−86,52s+1,30

0,10s+1,30

−84,52s+1,30

0,10s+1,30

190,04s+1,30

1,10s+1,30

)︸︷︷︸

G(s)

Fi1(s)Ti1(s)Fi2(s)Ti2(s)Fst(s)Tst(s)

︸︷︷︸

U(s)





mostrando as 2 × 6 funções de transferências entre as 2 saídas[h(s)T (s)]T e as 6 entradas [Fi1(s)Ti1(s)Fi2(s)Ti2(s) Fst(s)Tst(s)]T ,Yi (s)Uj (s) :

h(s)

Fi1(s)=

1s + 0, 10

h(s)

Ti1(s)= 0

h(s)

Fi2(s)=

1s + 0, 10

h(s)

Ti2(s)= 0

h(s)

Fst(s)= 0

h(s)

Tst(s)= 0

T (s)

Fi1(s)=

−86, 52s + 1, 30

T (s)

Ti1(s)=

0, 10s + 1, 30

T (s)

Fi2(s)=

−84, 52s + 1, 30

T (s)

Ti2(s)=

0, 10s + 1, 30

T (s)

Fst(s)=

190, 04s + 1, 30

T (s)

Tst(s)=

1, 10s + 1, 30



Propriedades Adicionais das Transformadas deLaplace

Propriedades selecionadas de acordo com sua aplicabilidade em teoriade controle, lembrando que F (s) = L{f (t)}:

Teorema do Valor Finallim

t→∞[f (t)] = lim

s→0[sF (s)]

desde que sF (s) seja finita. Caso contrário, f (t) não apresenta limitequando t →∞.

Teorema do Valor Iniciallimt→0

[f (t)] = lims→∞

[sF (s)]

Translação da Transformada

L{e−at f (t)} = F (s + a)



Propriedades Adicionais das Transformadas deLaplacecontinuação

Transformada de uma Integral

L{∫ t

0f (t)dt

}=

F (s)

s

Translação da FunçãoL{f (t − t0)} = e−t0sF (s)

0 t 0

f

t

f ( t )f ( t - t 0 )



Equação Diferencial de Primeira Ordem

ExemploObtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeiraordem

a1dydt

+ a0y = b0u, y(t = 0) = y(0)

com a1, a0, b0 6= 0, y(0) = 0 e u é um degrau de amplitude A.




Solução

a1dydt

+ a0y = b0u, y(0) = 0

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

L{

a1dydt

+ a0y}

= L{b0u}

a1

sY (s)− y(0)︸︷︷︸=0

+ a0Y (s) = b0U(s)



Equação Diferencial de Primeira Ordemcontinuação

Resolvendo a equação no domínio da Transformada:

a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s)

(a1s + a0) Y (s) = b0U(s)

Y (s) =b0

a1s + a0U(s) ⇒ Y (s)

U(s)=

b0

a1s + a0ou

Y (s)

U(s)=

b0a0

a1a0

s + 1(a0 6= 0 e pólo p = −a0/a1)

Costuma-se chamar b0a0

= Kp e a1a0

= τp. Substituindo u pelo degrau deamplitude A:

Y (s)

U(s)=

Kp

τps + 1⇒ Y (s) =

Kp

τps + 1As

Y (s) =Kp

τps + 1As




Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela deTransformada de Laplace:

Y (s) =KpA

s(τps + 1)L−1=⇒ y(t) = KpA

(1− e−t/τp

)




ExemploObtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeiraordem

a1dydt

+ a0y = b0u, y(t = 0) = y(0)

com a1 = a0 = b0 = 1, y(0) = 0 e u é um degrau de amplitude unitário.




Solução

a1dydt

+ a0y = b0u, y(0) = 0


L{

a1dydt

+ a0y}

= L{b0u}

a1

sY (s)− y(0)︸︷︷︸=0

+ a0Y (s) = b0U(s)





a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s)

(a1s + a0) Y (s) = b0U(s)

Y (s) =b0

a1s + a0U(s) ⇒ Y (s)

U(s)=

b0

a1s + a0ou

Y (s)

U(s)=

b0a0

a1a0

s + 1(a0 6= 0 e pólo p = −a0/a1)

Substituindo os coeficientes a1 = a0 = b0 = 1 e u pelo degrau unitário:

Y (s)

U(s)=

b0a0

a1a0

s + 1⇒ Y (s) =

1s + 1

1s

Y (s) =1

s(s + 1)




Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela deTransformada de Laplace:

Y (s) =1

s(s + 1)L−1=⇒ y(t) = 1− e−t



Equação Diferencial de Segunda Ordem

ExemploObtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segundaordem

a2d2ydt2 + a1

dydt

+ a0y = b0u, y(t = 0) = y(0) e y ′(t = 0) = y ′(0)

com a2, a1, a0, b0 6= 0 e y(0) = y ′(0) = 0 e u é um degrau deamplitude A.



Equação Diferencial de Segunda Ordem

Solução

a2d2ydt2 + a1

dydt

+ a0y = b0u, y(0) = y ′(0) = 0


L{

a2d2ydt2 + a1

dydt

+ a0y}

= L{b0u}

a2

s2Y (s)− s y(0)︸︷︷︸=0

− y ′(0)︸︷︷︸=0

+ a1

sY (s)− y(0)︸︷︷︸=0

+ a0Y (s) =

b0U(s)



Equação Diferencial de Segunda Ordemcontinuação


a2s2Y (s) + a1sY (s) + a0Y (s) = b0U(s)(a2s2 + a1s + a0

)Y (s) = b0U(s)

Y (s) =b0

a2s2 + a1s + a0U(s) ⇒ Y (s)

U(s)=

b0

a2s2 + a1s + a0

ouY (s)

U(s)=

b0a0

a2a0

s2 + a1a0

s + 1

com a0 6= 0 e pólos p1 =

(−a1 +

√a2

1 − 4a2a0

)/a1 e

p2 =

(−a1 −

√a2

1 − 4a2a0

)/a1




Substituindo u pelo degrau de amplitude A:

Y (s)

U(s)=

b0a0

a2a0

s2 + a1a0

s + 1⇒ Y (s) =

b0a0

a2a0

s2 + a1a0

s + 1As

Y (s) =

b0a0

A

s(a2a0

s2 + a1a0

s + 1)

Costuma-se chamar b0a0

= Kp, a2a0

= τ2p e a1

a0= 2ζτp.

Neste caso, os pólos são descritos como p1 =(−ζ +

√ζ2 − 1

)/τp e

p2 =(−ζ −

√ζ2 − 1

)/τp.




Quando ζ = 1, os pólos são reais e iguais a p1 = p2 = −1/τp.

Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabelade Transformada de Laplace:

Y (s) =KpA

s(τ2p s2 + 2ζτps + 1)

=KpA

s(τps + 1)(τps + 1)

Y (s) =KpA

s(τps + 1)2L−1=⇒ y(t) = KpA

[1−

(1 + t

τp

)e−t/τp

]




Quando ζ > 1, os pólos são reais e distintos: p1 =(−ζ +

√ζ2 − 1

)/τp

e p2 =(−ζ −

√ζ2 − 1

)/τp.


Y (s) =KpA

s(τ2p s2 + 2ζτps + 1)

=KpA

s(τp1s + 1)(τp2s + 1)

Y (s)L−1=⇒ y(t) = KpA

[1− 1

τp1−τp2

(τp1e−t/τp1 − τp2e−t/τp2

)]onde τp1 =

(ζ +

√ζ2 − 1

)τp e τp2 =

(ζ −

√ζ2 − 1

)τp




Quando ζ < 1, os pólos são complexos conjugados: p1 =(−ζ +

√ζ2 − 1

)/τp e p2 =

(−ζ −

√ζ2 − 1

)/τp.


Y (s) =KpA

s(τ2p s2 + 2ζτps + 1)

Y (s)L−1=⇒ y(t) = KpA

[1− 1√

1−ζ2e−ζt/τp sen(wt + φ)

], onde

w =

√1− ζ2

τp

φ = arctg

(√1− ζ2

ζ

)Transformada de Laplace (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 45 / 76


Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes


a2d2xdt2 + a1

dxdt

+ a0x = b0u, x(t = 0) = x(0) e x ′(t = 0) = x ′(0)

com a2 = 1, a1 = 5, a0 = 4, b0 = −1 e x(0) = x ′(0) = 1 e u é umimpulso unitário.



Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes

Solução

d2xdt2 + 5

dxdt

+ 4x = −u, x(0) = x ′(0) = 1


L{

d2xdt2 + 5

dxdt

+ 4x}

= −L{δ(t)}s2X (s)− s x(0)︸︷︷︸=1

− x ′(0)︸︷︷︸=1

+ 5

sX (s)− x(0)︸︷︷︸=1

+ 4X (s) = −1



Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentescontinuação


s2X (s) + 5sX (s) + 4X (s) = s + 1 + 5− 1(s2 + 5s + 4)X (s) = s + 5

X (s) =s + 5

s2 + 5s + 4

Após fatorar o denominador de X (s), pode-se expandir X (s) em duasfrações parciais

s2 + 5s + 4 = (s + 4)(s + 1)

X (s) =s + 5

(s + 4)(s + 1)=

A1

s + 4+

A2

s + 1




Os coeficientes A1 e A2 podem ser determinados da seguinte maneira:

A1: multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciaispor s + 4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −4(uma das raízes do denominador de X (s))

s + 5(s + 4)(s + 1)

(s + 4) =A1

s + 4(s + 4) +

A2

s + 1(s + 4)

s + 5s + 1

= A1 +A2

s + 1(s + 4)

s = −4 ⇒ A1 =−4 + 5−4 + 1

= −13




A2: de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansãoem frações parciais por s + 1, simplificam-se os termossemelhantes e faz-se s = −1 (uma das raízes do denominador deX (s))

s + 5(s + 4)(s + 1)

(s + 1) =A1

s + 4(s + 1) +

A2

s + 1(s + 1)

s + 5s + 4

=A1

s + 4(s + 1) + A2

s = −1 ⇒ A2 =−1 + 5−1 + 4

=43




Calculando a transformada inversa de cada termo de X (s) utilizandouma tabela de Transformada de Laplace:

−1/3s + 4

L−1=⇒ −1

3e−4t

4/3s + 1

L−1=⇒ 4

3e−t

Desta forma,

x(t) =13

e−t[4− e−3t

]



Inversão por Frações Parciais: raízes complexas


a2d2xdt2 + a1

dxdt

+ a0x = b0u, x(t = 0) = x(0) e x ′(t = 0) = x ′(0)

com a2 = 1, a1 = −2, a0 = 5, b0 = 2 e x(0) = x ′(0) = 1 e u é umimpulso unitário.



Inversão por Frações Parciais: raízes complexas

Solução

d2xdt2 − 2

dxdt

+ 5x = 2u, x(0) = x ′(0) = 1


L{

d2xdt2 − 2

dxdt

+ 5x}

= 2L{δ(t)}s2X (s)− s x(0)︸︷︷︸=1

− x ′(0)︸︷︷︸=1

− 2

[sX (s)− x(0)︸︷︷︸=1

+ 5X (s) = 2



Inversão por Frações Parciais: raízes complexascontinuação


s2X (s)− 2sX (s) + 5X (s) = s + 1− 2 + 2(s2 − 2s + 5)X (s) = s + 1

X (s) =s + 1

s2 − 2s + 5

Após fatorar o denominador de X (s), pode-se expandir X (s) em duasfrações parciais

s2 − 2s + 5 = [s − (1 + ı2)][s − (1− ı2)]

X (s) =s + 1

[s − (1 + ı2)][s − (1− ı2)]=

A1

s − (1 + ı2)+

A2

s − (1− ı2)




Os coeficientes A1 e A2 podem ser determinados da seguinte maneira:

A1: multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciaispor s − (1 + ı2), simplificam-se os termos semelhantes e faz-ses = 1 + ı2 (uma das raízes do denominador de X (s))

s + 1[s − (1 + ı2)][s − (1− ı2)]

[s − (1 + ı2)] =

A1

s − (1 + ı2)[s − (1 + ı2)] +

A2

s − (1− ı2)[s − (1 + ı2)]

s + 1s − (1− ı2)

= A1 +A2

s − (1− ı2)[s − (1 + ı2)]

s = 1 + ı2 ⇒ A1 =1 + ı2 + 1

1 + ı2− (1− ı2)=

2 + ı22ı2

=1− ı

2




A2: de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansãoem frações parciais por s − (1− ı2), simplificam-se os termossemelhantes e faz-se s = 1− ı2 (uma das raízes do denominadorde X (s))

s + 1[s − (1 + ı2)][s − (1− ı2)]

[s − (1− ı2)] =

A1

s − (1 + ı2)[s − (1− ı2)] +

A2

s − (1− ı2)[s − (1− ı2)]

s + 1s − (1 + ı2)

=A1

s − (1 + ı2)[s − (1− ı2)] + A2

s = 1− ı2 ⇒ A2 =1− ı2 + 1

1− ı2− (1 + ı2)=

2− ı2−2ı2

=1 + ı

2





(1− ı)/2s − (1 + ı2)

L−1=⇒ 1− ı

2e(1+ı2)t

(1 + ı)/2s − (1− ı2)

L−1=⇒ 1 + ı

2e(1−ı2)t

Assim,

x(t) =1− ı

2e(1+ı2)t +

1 + ı

2e(1−ı2)t




Utilizando a identidade trigonométrica ex+ıy = ex(cos y + ı seny):

x(t) =1− ı

2{

et [cos(2t) + ı sen(2t)]}

+

1 + ı

2

et

cos(−2t)︸︷︷︸=cos(2t)

+ı sen(−2t)︸︷︷︸=− sen(2t)

x(t) =et

2{(1− ı)[cos(2t) + ı sen(2t)] + (1 + ı)[cos(2t)− ı sen(2t)]}

x(t) = et [cos(2t) + sen(2t)]




Utilizando a identidade trigonométrica a1 cos b + a2 senb = a3 sen(b +

φ), onde a3 e φ são calculados de a3 =√

a21 + a2

2 e φ = tan−1(a1/a2):

x(t) = et√

2 sen(2t + φ)

φ = arctg(

11

)= 45o



Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

ExemploObtenha a transformada inversa de

X (s) =1

(s + 2)(s + 1)3



Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas

SoluçãoPode-se expandir X (s) em suas frações parciais:

X (s) =1

(s + 2)(s + 1)3 =A1

s + 2+

A2

(s + 1)3 +A3

(s + 1)2 +A4

s + 1

Os coeficientes A1 e A4 podem ser determinados da seguinte maneira:A1: multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais

por s + 2, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = −2(uma das raízes do denominador de X (s))

1(s + 2)(s + 1)3 (s + 2) =

A1

s + 2(s + 2) +

A2

(s + 1)3 (s + 2)

A3

(s + 1)2 (s + 2) +A4

s + 1(s + 2)

1(s + 1)3 = A1 +

A2

(s + 1)3 (s + 2) +A3

(s + 1)2 (s + 2) +A4

s + 1(s + 2)

s = −2 ⇒ A1 =1

(−2 + 1)3 = −1



Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplascontinuação

A2: multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciaispor (s + 1)3, simplificam-se os termos semelhantes e faz-ses = −1 (uma das raízes do denominador de X (s))

1(s + 2)(s + 1)3 (s + 1)3 =

A1

s + 2(s + 1)3 +

A2

(s + 1)3 (s + 1)3 +

A3

(s + 1)2 (s + 1)3 +A4

s + 1(s + 1)3

1s + 2

=A1

s + 2(s + 1)3 + A2 + A3(s + 1) + A4(s + 1)2 (4)

s = −1 ⇒ A2 =1

−1 + 2= 1




A3: derivam-se ambos os lados da equação (4) com relação a s efaz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s)) naequação resultante

− 1(s + 2)2 =

A1(s + 1)2(2s + 5)

(s + 2)2 + A3 + 2A4(s + 1) (5)

s = −1 ⇒ A3 = − 1(−1 + 2)2 = −1

A4: derivam-se ambos os lados da equação (5) com relação a s efaz-se s = −1 (uma das raízes do denominador de X (s)) naequação resultante

2(s + 2)3 = A12(s + 1)

s2 + 5s + 7(s + 2)3 + 2A4

s = −1 ⇒ A4 =2

2(−1 + 2)3 = 1





−1s + 2

L−1=⇒ −e−2t

1(s + 1)3

L−1=⇒ t2e−t

2−1

(s + 1)2L−1=⇒ −te−t

1s + 1

L−1=⇒ e−t

Desta forma,

x(t) = e−t(

1− t +t2

2− e−t

)Transformada de Laplace (CP1) www.professores.deq.ufscar.br/ronaldo/cp1 DEQ/UFSCar 64 / 76


Sistema com Interação

ExemploObtenha a solução do conjunto de equações diferenciais lineares

dx1

dt= 2x1 + 3x2 + 1, x1(0) = 0

dx2

dt= 2x1 + x2 + et , x2(0) = 0



Sistema com Interação

SoluçãoAplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados dasequações: {

dx1dt = 2x1 + 3x2 + 1, x1(0) = 0

dx2dt = 2x1 + x2 + et , x2(0) = 0 L{

dx1dt

}= L{2x1 + 3x2 + 1}

L{

dx2dt

}= L{2x1 + x2 + et}

sX1(s)− x1(0)︸︷︷︸=0

= 2X1(s) + 3X2(s) + 1s

sX2(s)− x2(0)︸︷︷︸=0

= 2X1(s) + X2(s) + 1s−1



Sistema com Interaçãocontinuação

Resolvendo o sistema de equações no domínio da Transformada:{sX1(s)− 2X1(s)− 3X2(s) = 1

ssX2(s)− 2X1(s)− X2(s) = 1

s−1{(s − 2)X1(s)− 3X2(s) = 1

s−2X1(s) + (s − 1)X2(s) = 1

s−1[(s − 2) −3−2 (s − 1)

] [X1(s)X2(s)

]=

[ 1s1

s−1

][

X1(s)X2(s)

]=

[(s − 2) −3−2 (s − 1)

]−1 [ 1s1

s−1

]




A matriz inversa de[(s − 2) −3−2 (s − 1)

]−1

=1

(s − 2)(s − 1)− 6

[(s − 1) 3

2 (s − 2)

]Portanto,[

X1(s)X2(s)

]=

1(s − 2)(s − 1)− 6

[(s − 1) 3

2 (s − 2)

] [ 1s1

s−1

] X1(s) =

s−1s + 3

s−1(s−2)(s−1)−6 = (s−1)2+3s

(s2−3s−4)s(s−1)= s2+s+1

s(s−1)(s−4)(s+1)

X2(s) =2s + s−2

s−1(s−2)(s−1)−6 = 2(s−1)+s(s−2)

(s2−3s−4)s(s−1)= s2−2

s(s−1)(s−4)(s+1)




Pode-se expandir X1(s) e X2(s) em suas frações parciais{X1(s) = s2+s+1

s(s−1)(s−4)(s+1) = A1s + A2

s−1 + A3s−4 + A4

s+1

X2(s) = s2−2s(s−1)(s−4)(s+1) = B1

s + B2s−1 + B3

s−4 + B4s+1

Os coeficientes A1 a A4 e B1 a B4 podem ser determinados daseguinte maneira:




A1 e B1: multiplicam-se ambos os lados das expansões em fraçõesparciais por s, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 0(uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):{

s2+s+1s(s−1)(s−4)(s+1)s = A1

s s + A2s−1s + A3

s−4s + A4s+1s

s2−2s(s−1)(s−4)(s+1)s = B1

s s + B2s−1s + B3

s−4s + B4s+1s{

s2+s+1(s−1)(s−4)(s+1) = A1 + A2

s−1s + A3s−4s + A4

s+1ss2−2

(s−1)(s−4)(s+1) = B1 + B2s−1s + B3

s−4s + B4s+1s

s = 0 ⇒

{A1 = 1

(−1)(−4)(1) = 14

B1 = −2(−1)(−4)(1) = −1

2




A2 e B2: multiplicam-se ambos os lados das expansões em fraçõesparciais por s−1, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 1(uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

s2+s+1s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 1) = A1

s (s − 1) + A2s−1(s − 1) + A3

s−4(s − 1)+A4

s+1(s − 1)s2−2

s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 1) = B1s (s − 1) + B2

s−1(s − 1) + B3s−4(s − 1)+

B4s+1(s − 1){

s2+s+1s(s−4)(s+1) = A1

s (s − 1) + A2 + A3s−4(s − 1) + A4

s+1(s − 1)s2−2

s(s−4)(s+1) = B1s (s − 1) + B2 + B3

s−4(s − 1) + B4s+1(s − 1)

s = 1 ⇒

{A2 = 1+1+1

(1)(1−4)(1+1) = −12

B2 = 1−2(1)(1−4)(1+1) = 1

6




A3 e B3: multiplicam-se ambos os lados das expansões em fraçõesparciais por s−4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 4(uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

s2+s+1s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 4) = A1

s (s − 4) + A2s−1(s − 4) + A3

s−4(s − 4)+A4

s+1(s − 4)s2−2

s(s−1)(s−4)(s+1)(s − 4) = B1s (s − 4) + B2

s−1(s − 4) + B3s−4(s − 4)+

B4s+1(s − 4){

s2+s+1s(s−1)(s+1) = A1

s (s − 4) + A2s−1(s − 4) + A3 + A4

s+1(s − 4)s2−2

s(s−1)(s+1) = B1s (s − 4) + B2

s−1(s − 4) + B3 + B4s+1(s − 4)

s = 4 ⇒

{A3 = 16+4+1

(4)(4−1)(4+1) = 720

B3 = 16−2(4)(4−1)(4+1) = 7

30




A4 e B4: multiplicam-se ambos os lados das expansões em fraçõesparciais por s + 1, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s =−1 (uma das raízes do denominador de X1(s) e X2(s)):

s2+s+1s(s−1)(s−4)(s+1)(s + 1) = A1

s (s + 1) + A2s−1(s + 1) + A3

s−4(s + 1)+A4

s+1(s + 1)s2−2

s(s−1)(s−4)(s+1)(s + 1) = B1s (s + 1) + B2

s−1(s + 1) + B3s−4(s + 1)+

B4s+1(s + 1){

s2+s+1s(s−1)(s−4) = A1

s (s + 1) + A2s−1(s + 1) + A3

s−4(s + 1) + A4s2−2

s(s−1)(s−4) = B1s (s + 1) + B2

s−1(s + 1) + B3s−4(s + 1) + B4

s = −1 ⇒

{A4 = 1+(−1)+1

(−1)(−1−1)(−1−4) = − 110

B4 = 1−2(−1)(−1−1)(−1−4) = 1

10




Calculando a transformada inversa de cada termo de X1(s) e X2(s)utilizando uma tabela de Transformada de Laplace:

X1(s)

1/4s

L−1=⇒ 1

4−1/2s−1

L−1=⇒ −et

27/20s−4

L−1=⇒ 7e4t

20−1/10

s+1L−1=⇒ −e−t

10

X2(s)

−1/2s

L−1=⇒ −1

21/6s−1

L−1=⇒ et

67/30s−4

L−1=⇒ 7e4t

301/10s+1

L−1=⇒ e−t

10

Desta forma,

x1(t) =14− et

2+

7e4t

20− e−t

10

x2(t) = −12

+et

6+

7e4t

30+

e−t

10



Leitura I

Leitura Complementar

Próxima aula:

apostila do Prof. Wua, capítulos 9, 10 e 11 (volume I).

livro do Stephanopoulosb, capítulos 9, 10 e 11.

livro do Marlinc , capítulo 5.

livro do Seborg et al.c , capítulos 4, 5 e 6.

aKwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, 2002.

bStephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA,1984.

cMarlin, T. E., Process Control. Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance. 2nd Edition, McGraw-Hill,New York, USA, 2000.

d Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Doyle III, F. J., Process Dynamics and Control. 3rd Edition, John Wiley, New York,USA, 2011.



Vídeos I

e-Lessons Prof. MarlinDynamic Behavior of Typical Process Systems - Part I. Basic Process SystemsDynamic Behavior of Typical Process Systems - Part II. Complex ProcessStructures Dynamic Behavior of Typical Process Systems - Bonus Material:Parallel Systems


http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/cc-Chap_05_Part_I_Marlin_eLearn%20(Web)/index.html

http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/cc-Chap_05_Part_II_Marlin_eLearn%20(Web)/index.html

http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/cc-Chap_05_Part_II_Marlin_eLearn%20(Web)/index.html

http://www.pc-education.mcmaster.ca/PC_Ed%20eLearn/Chap_5_Marlin_Bonus%20(Web)/index.html

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transformada de laplace...introdução à transformada de laplace o método da transformada de...

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