transformada de laplace
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TRANSFORMADA DE LAPLACE
CABUDARE, 28 de Marzo de 2012.
UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICE RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE MANTENIMIENTO MECÁNICO
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONESESCUELA DE COMPUTACIÓN
ESCUELA DE ELÉCTRICA
Alumno: Fremy Daniel Salazar Guedez C.I. 16.950.699Materia: Matemática IV Carrera: Ing. Mantenimiento Mecánico
1).Utilizar la definición de transformada de laplace y resolver la siguiente función.
Solución al No 1
F (t) = 53
t2 - √7 + 5 cos √3 t
Definición:
f ( s )=L {f ( t ) }=∫o
x
e❑−st f (t )dt
∫o
x
e−s .t( 53t2−√7+5 cos√3t )dt
53∫o
x
e−s . t t2dt−√7∫0
x
e−s .t dt+5∫0
x
e−s . t cos√3 . t . dt
Resolvemos cada una de las integrales:
Primera integral:
53∫o
x
e−s . t. t 2 dt
U= t2
du= 2t dt
ʃ dv = ʃ e-st dt = - Se – s.t
Utilizamos la integración por parte.
u . v - ʃ v. du
t2 . (- s.e –s. t ) – ∫o
x
−s . e−s . t .2t . dt
-s.t2.e-s.t + 2 ʃ t . s.e-s.t dt
Integramos de Nuevo por partes:
U= t du= dt
1
ʃdv = ʃs.e-s.t = - s2 e-s.t
2( - s2t + s2 ʃe-st dt
-2 s2 t + 2 s3 e-st
Luego:
-s.t2.e-s.t – 2.s2 t – 2.s3 e-s.t
Luego evaluamos la primera integral.
(- sx2 e-5 x – 2 s 2 x – 2 s3 e-5x) – (-2 s3 e –s (0))
Resultado de la primera integral.
Segunda integral.
−√7∫0
x
e−s .t dt=+s √7 e−s .t X
O
Evaluamos:
s√7e-sx + s√7e-s (0)
Resultado de la segunda integral.
Tercera integral.
s∫o
x
e−st cos√3 t . dt
U= cos√3 t
du= -√3 sen √3 t. dt
∫ dv=∫e−st=−S e−st
-sx2 e-s x -2 s2 x – 2 s3 e-s x + 2 s3
s√7e-sx + s√7
x
0
u . v−∫V .du
−Se−st.cos√3 t−s √3∫e−st . sen √3 t . dt
Integramos de Nuevo.
U= sen √3 t
Du= √3 . cos√3 t
∫ dv=∫e−st . dt=−Se−st
−Se−st . sen √3 . t−∫ Se−st .√3 cos√3 t. dt
Luego.
s∫o
x
e−st cos√3 . t . dt=−S e−st cos√3 t
−Se−st . sen √3 . t−s∫o
x
e−st √3 cos √3 t. dt
s∫o
x
e−st cos√3 . t . dt+s∫o
x
e− st .√3cos√3 t dt=−Se−st cos √3 t−Se−st Sen √3 t
s√3+s∫o
x
e−st cos√3 t . dt=−S e−st .cos√3t−Se− st sen√3 t
∫o
x
e−st cos√3t dt=−s e−s t cos√3 t−S e−st sen√3 tS√3+S
Evaluando.
Resultado de la tercera integral:
Luego unimos los tres resultados de las tres integrales
∫o
x
e−st cos√3t . dt=−se− sxcos√3x−S e−sx . sen√3 xS √3+S
53 [−Sx
2 e−Sx−2S2 X−2S3 e−Sx+2S3+S √7e−Sx+S √7
(−Se−sx .cos √3 X−S e−sx . Sen√3 X2 ) ]
2).- Utilizar propiedades y tabla para determinar la transformada de Laplace enuncie las
propiedades antes de resolver. Simplifique los resultados.
A) F (t)= 72 e4 t (
23 cos2√5 t +2 cosh 2√3 t - at 7).
F (t)= 73
e4 t. cos2√5 t +7 e4 t2 cosh 2√3 t – 14 e4 t.t 7).
C (1s
). 1s−a
.s
s2+a2 + + c (1s
).1s−a
. s
s2+a2 - C (1s
). 1s−a
. n¡
sn+1
Ver tabla las propiedades que se aplicaron:
Fueron la 1), 2), 3), 4), 5), y 7).
Simplificando tenemos factor común.
C (1s
).1s−a
s
s2+a2 + s
s2−a2 - ( n!
sn+1¿
B) F (t)= 35t 6 senh2t−5
sen3 t
t 2
F (t)= 185t senh2t−3 t
sen3 t
t 2
Aplicando las formulas
2), 8), 6) Y 3) tenemos:
185
. (1s
). a
s2+a2 - 3 (1
s2 ) .a
s2+a2
C) F(t)= L
Aplicamos las propiedades:
5), 4) y 3).
-4.1
s2+a2 - 18 . 1s−a + 12.
n!
sn+1
f 11 (t) Si F (t)=
34
cos 2t - 2 e−3 t + 35
t 5
f , (t) = - 84
sen 2t + 6 e−3 t+3 t 4
f ¿ (t) = - 4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3
f(t) =L -4 cos 2t - 18 e−3 t+12 t 3
n!
sn+1
−4
s2+a2 - 12n !
sn+1
3) Aplicar tabla, simplificación y método correspondiente para determinar L−1 F (S) = F (t)
Ver tabla de transformada inversa.
a) L−1 7 ( s - 34 ) - √5 5 (s-5) + √7 7s -4 4√5
3 ( s - 34
¿2 - 12 9 (s2 - 10 s + 25¿3 8s2−18 s2 +47
F (t)= + + c eat+ c + ebt coshat+¿¿ c
c. ebt senata
b) 4s + 7 6s - 4
s2 + 53
s + 174
s2 - 13
s + 20
Solucion:
F (t) =
c. t n−1 eat
(n−1 ) !
c eat- c
sen ata
++ +
- -L−1
c osat cebt senata
- ebt cos ¿̂
s2 + 2 s + 3
Solucion:
4) Utilizar el teorema de Convolucion y determine:
Solucion:
F *g = 1
√2 π ∫ ∞
−∞ f ( ¿ g (x-u) du
F ( u¿= 2√5=¿¿ C
g (x-u)= s3 (s3 + 2) = t n−1 ( cos at)
Luego:
F *g = 1 ∫ ∞−∞ C. ( t n−1 ) cos at dt
c)
s2 + 2 s + 3
L−12√5
s3 ( s2 + 2 )
(n-1) !
(n-1) !√2π
5) Determine el semiperiodo del seno de Fourier para F(X) =4X ; 0 ¿ X ¿ 1.
Realizar el espectro de la función.
Solución:
an= 0 bn= 2l
∫ l0
f (X) - sen nπ x . dx
2∫10
4x. sen π x dx
u . v− ʃ v . du u= 4x Du= 4. dx
Du= ∫ sen πx=−π cos π x
2 ( 4x. ( - π cos π x ) - ∫−¿¿ π cos π x. 4 dx
-8 π x π x+4 π∫ cos π x . dx
-8 π x. cos π x+4 π .π sen πx
( -8 π cos π+4 π 2 . sen π ) - (0)
L
1
0
8+0= 8
1
0
El espectro de esta función es:
6). Desarrolle la expansión y realice el espectro de fourir de la función.
F ( x) =
Solución:
1 si 0 ≤ x ≤ 1
(2 - x) si 1 ≤ x ≤ 2T=2
-1-2 1 2
F (X)
Periodo
0-1 1
F (X)
4X
F (t ) L {F (t ) }=f (s )
c
c( 1s )
t ( 1
s2 )tn ( n !sn+1 )eat 1
s−a
cos at s
s2+a2
senata
s2+a2
cosh at s
s2−a2
Tabla de transformada directa de Laplace de funciones elementales utilizadas en el trabajo realizado. (Enumeradas)
1
2
3
4
5
6
7
senata
s2−a2
L−1 { f (s ) } F (t )
C (1s ) C
( 1
s2 ) t
( 1
sn ) tn−1
(n−1 ) !
( 1s−a ) eat
1
(s−a )ntn−1eat
(n−1 ) !
s
s2+a2 cos at1
s2+a2senata
1
s2−a2
senhata
Tabla de transformada inversa de laplace.
8
s
s2−a2 cosh at
(s−b )(s−b )2+a2 ebt cosat
1
(s−b )2+a2ebt senata
( s−b )(s−b )2−a2 ebt cosh at
1
(s−b )2−a2ebt senhat
a