Transformada de LaplaceLatransformada de Laplacees un tipo detransformada integralfrecuentemente usada para la resolucin de ecuaciones diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de unafuncinf(t) definida (enecuaciones diferenciales, en anlisis matemtico o enanlisis funcional) para todos losnmeros positivost 0, es la funcinF(s), definida por:

siempre y cuando la integral est definida. Cuandof(t) no es una funcin, sino unadistribucincon una singularidad en 0, la definicin es

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versin unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de LaplaceF(s) tpicamente existe para todos los nmeros realess>a, dondeaes una constante que depende del comportamiento de crecimiento def(t).es llamado eloperadorde la transformada de Laplace.ndice[ocultar] 1Perspectiva histrica 2Propiedades 2.1Linealidad 2.2Derivacin 2.3Integracin 2.4Dualidad 2.5Desplazamiento de la frecuencia 2.6Desplazamiento temporal 2.7Desplazamiento potencian-sima 2.8Convolucin 2.9Transformada de Laplace de una funcin con periodop 2.10Condiciones de convergencia 2.11Teorema del valor inicial 2.12Teorema del valor final 3Tabla de las transformadas de Laplace ms comunes 4Relacin con otras transformadas 5Vase tambin 6Referencias 6.1Bibliografa de consulta 6.2Enlaces externosPerspectiva histrica[editar]La transformada de Laplace recibe su nombre en honor delmatemticofrancsPierre-Simon Laplace, que la present dentro de suteora de la probabilidad. En 1744,Leonhard Eulerhaba investigado un conjunto de integrales de la forma:

como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundiz en ellas y pronto abandon su investigacin.Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler, tambin investig ese tipo de integrales, y las lig a la teora de la probabilidad en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

que algunos historiadores interpretan como autnticas transformadas de Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atencin de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la idea de Euler, trat de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso ms all, y reenfoc el problema para en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como hoy en da se entienden. Us una integral de la forma:

anloga a latransformada de Mellin, con la que transform una ecuacin diferencial en una ecuacin algebraica de la que busc su solucin. Plante alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma reconoci que el mtodo deJoseph Fourierpara resolver por medio deseries de Fourierlaecuacin de difusinpodra relacionarse con su transformada integral para un espacio finito con soluciones peridicas.Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido, al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad ajeno a su moderna aplicacin en la fsica y la ingeniera, y ser tratadas sobre todo como objetos matemticos meramente tericos.La moderna aplicacin de las transformadas de Laplace y toda su teora subyacente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teora de vibraciones, el ingeniero inglsOliver Heaviside(1850-1925) descubri que los operadores diferenciales podan tratarse analticamente como variables algebraicas. De acuerdo con el"clculo operacional", si se tiene una ecuacin diferencial de la forma: