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TRANSFORMADA DE LAPLACE E OPERADORES LINEARES
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O DOMÍNIO DE LAPLACE
• Usualmente trabalhamos com situações que variam
no tempo (𝑡), ou seja, trabalhamos no domínio do
tempo.
• O domínio de Laplace é um domínio “imaginário”,
onde no lugar de 𝑡 temos uma variável 𝑠.
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O DOMÍNIO DE LAPLACE
É possível converter uma função no domínio do tempo
para uma função no domínio de Laplace e, da mesma
forma, é possível converter uma função no domínio de
Laplace para uma função no domínio do tempo.
A ferramenta utilizada nessa conversão é a chamada
Transformada de Laplace
൝ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓 𝑡3
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O DOMÍNIO DE LAPLACE
A grande vantagem do domínio de Laplace é que
podemos aplicar a transformada de Laplace em um
determinado problema, resolver o problema, muitas
vezes de uma maneira mais fácil no domínio de
Laplace, e aplicar a transformada inversa no
resultado, obtendo assim o resultado no domínio do
tempo.
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CONCEITO DE DERIVAÇÃO
A velocidade média de um carro é denotada como:
Δ𝑣 =Δ𝑥
Δ𝑡Usualmente, velocímetros de carros não medem velocidade média, e sim velocidade instantânea.
Para calcular a velocidade instantânea precisamos considerar Δ𝑡 → 0, ou seja, tão próximo de zero quanto possível.
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CONCEITO DE DERIVAÇÃO
Quando medimos velocidade instantânea, utilizamos
como notação:
𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡
O operador 𝑑 especifica infinitesimais, valores que
são tão próximos de zero quanto possível.
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CONCEITO DE DERIVAÇÃO
• Considere um função qualquer 𝑓(𝑡), a derivada
dessa função é dada por:
𝑓′ 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
Onde 𝑓′(𝑡) é chamada derivada de 𝑓(𝑡) e retorna a
inclinação de 𝑓(𝑡) em um instante 𝑡 qualquer.
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OPERADOR DE DERIVAÇÃO
• Encontrar a derivada de uma função nem sempre é
simples.
• Para evitar trabalhar com derivadas, podemos
trabalhar no domínio de Laplace, onde a derivada
de uma função é representada por um operador 𝑠aplicado àquela função no domínio de Laplace
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OPERADOR DE DERIVAÇÃO
• Considere uma função 𝑓(𝑡), cuja transformada de
Laplace é dada por 𝐹(𝑠). A derivada de 𝑓(𝑡) é
definida no domínio de Laplace como:
ℒ 𝑓′ 𝑡 = 𝑠𝐹 𝑠
Dessa forma podemos fazer contas que envolvam
derivadas sem ter que calculá-las de fato.
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CONCEITO DE INTEGRAÇÃO
• Em um gráfico de velocidade × tempo, a área sob a curva do gráfico é a distância percorrida.
• Na matemática, a área abaixo da curva de um gráfico é dada pela operação de integração:
𝑥 𝑡 = න0
𝑡
𝑣 𝜏 𝑑𝜏
Onde 𝑥(𝑡) é a distância percorrida até o tempo 𝑡 e 𝑣 𝑡 é a velocidade no tempo 𝑡.
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OPERADOR DE INTEGRAÇÃO
• A integração é uma operação difícil, nem sempre
tem solução exata.
• É possível, porém, resolver alguns problemas de
integração no domínio de Laplace. Realizar a
integração, no domínio de Laplace, é equivalente a
dividir a função pelo operador 𝑠.
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OPERADOR INTEGRAÇÃO
• Considere uma função 𝑓(𝑡) cuja transformada de
Laplace é dada por 𝐹(𝑠). A transformada de
Laplace da integral de 𝑓(𝑡) é dada por:
ℒ න0
𝑡
𝑓 𝜏 𝑑𝜏 =𝐹 𝑠
𝑠
Possibilitando trabalharmos com integrais sem
resolvê-las no tempo.
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EQUAÇÕES COM DERIVADAS(EQUAÇÕES DIFERENCIAIS)
• Podemos ter equações utilizando derivadas, onde o
objetivo não é encontrar um valor, e sim uma
função que atenda aquela equação, como por
exemplo:
𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡= 𝑓 𝑡
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EQUAÇÕES COM DERIVADAS(EQUAÇÕES DIFERENCIAIS)
• Nessas equações podemos ter derivadas de ordens
mais elevadas:
𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡2+𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡= 𝑓(𝑡)
Onde 𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡2é a derivada da derivada de 𝑓 𝑡 .
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TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE
• Cada bloco dos diagramas que desenhamos pode
ser definido por uma equação diferencial, por
exemplo:
𝑢 𝑡 =𝑑𝑢 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑒(𝑡)
Usualmente, aplicados a Transformada de Laplace a
essas equações diferenciais, trabalhando com
controle no domínio de Laplace.15
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TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE
• Aplicando a transformada em:
𝑢 𝑡 =𝑑𝑢 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑒 𝑡
Onde 𝑢(𝑡) é a saída e 𝑒(𝑡) é a entrada do sistema.
• Obtemos
𝑈 𝑠 = 𝑠𝑈 𝑠 + 𝐸(𝑠)
Aplicando os operadores a cada parte da equação.
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CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• Considere o Transformada de Laplace obtida:
𝑈 𝑠 = 𝑠𝑈 𝑠 + 𝐸(𝑠)
Damos o nome de função de transferência à divisão
da saída pela entrada no domínio de Laplace:
𝑈 𝑠
𝐸(𝑠)=
1
1 − 𝑠
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CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• Dessa forma, os operadores que definimos podem
ser representados como funções da variável 𝑠.
• Nosso controlador então passa a ser representado
por 𝐶 𝑠 e a planta por 𝑃 𝑠
+u(t) y(t)e(t)r(t)
+-
C(𝑠) P(𝑠) +u(t) y(t)e(t)r(t)
+-
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𝑠 + 2
𝑠
3𝑠 + 1
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MANIPULAÇÃO DE BLOCOS E SIMPLIFICAÇÃO DE SISTEMAS
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POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• Trabalhamos em controle com funções de transferência racionais, ou seja, elas são representadas pela divisão de dois polinômios em
𝑠.
• Para que o sistema possa ser implementado no mundo real, é necessário que o grau do polinômio do denominador seja maior ou igual ao grau do polinômio do numerador.
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POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
• Os valores de 𝑠 que zeram o numerador da FT são
chamados de zeros.
• Os valores de 𝑠 que zeram o denominador da FT
são chamados de polos.
• Esses valores pertencem ao conjunto dos números
complexos (𝑠 ∈ ℂ).
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ESTABILIDADE COM BASE NOS POLOS
• Se todos os polos do sistema tem parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável.
• Se existem um ou mais polos com parte real nula, mas os demais tem parte real negativa, o sistema é marginalmente estável.
• Caso ao menos um polo tenha parte real positiva, o sistema é instável.
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SISTEMAS DE 1ª ORDEM
• Sistemas de 1ª ordem
apresentam a seguinte
função de transferência:
𝐺 𝑠 =𝑘
𝜏𝑠 + 1
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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 1ª ORDEM
• O ganho em estado estacionário é dado por 𝑘 e
representa o ganho que o sistema aplica na entrada.
• A constante de tempo é dada por 𝜏 e representa o
tempo necessário para o sistema alcançar
aproximadamente 63% do valor final.
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SISTEMAS DE 2ª ORDEM
• Um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte
função de transferência:
𝐺 𝑠 =𝜔𝑛2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2
Onde 𝜔𝑛 é a frequência natural e 𝜁 é a constante de
amortecimento.
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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM
Os sistemas de segunda ordem podem ser
classificador em três categorias, dependendo do valor
de 𝜁
• Superamortecido se 𝜁 > 1
• Criticamente amortecido se 𝜁 = 1
• Subamortecido se 0 < 𝜁 < 1
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CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM
Sistema Superamortecido Sistema Criticamente Amortecido Sistema Subamortecido
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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSTEMPO DE SUBIDA
O tempo de subida tr("rise time") é o tempo necessário para o sinal de saída variar de 10% a 90% do valor final (ou para sistemas subamortecidos de 0% a 100%).
𝑡𝑟 =1,8
𝜔𝑛
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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSCONSTANTE DE TEMPO
• A constante de tempo de um sistema é dada pelo
expoente do envelope exponencial que acompanha
o decaimento de um sistema subamortecido de um
processo de segunda ordem.
𝜏 =1
𝜁 𝜔𝑛
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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSSOBRELEVAÇÃO MÁXIMA
• A sobrelevação máxima percentual 𝑀𝑝 é a
diferença entre o valor máximo de pico atingido e o
valor final em percentual do valor final.
𝑀𝑝 = 100𝑒−
𝜁𝜋
1−𝜁2 %
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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOSTEMPO DE ACOMODAÇÃO
• O tempo de acomodação 𝑡𝑎 ("settling time" 𝑡𝑠) é o
tempo gasto para o sinal acomodar (entrar e não
sair mais) da faixa de ±2% ou ±5% do valor final.
𝑡𝑎2%
≈4
𝜁𝜔𝑛
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CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS
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