transformada de laplace ejercicios propuestos
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Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermin Toro
Cabudare Edo. Lara
Ejercicios Transformada
De Laplace
Alemairy Dávila
20.469.468
Matematica IV
Tarea de Transformada de Laplace:
1. Utilizando la definición de transformada calcule: a) L { Cosh2t}
Solucion:
𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 = lim!→!
𝑒!!"𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡.𝑑𝑡!
!
𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 = lim!→!
1
𝑠! − 2! 𝑒!!"(𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑡) 𝑚0
𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 = lim!→!
𝑒!!"
𝑠! + 4 𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑚 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑚 −1
𝑠! − 4 (−𝑠)
𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 = lim!→!
𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑚 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑚
𝑒!" 𝑠! − 4 +𝑠
𝑠! − 4
𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 =𝑠
𝑠! − 4
b) L {t Cosh3t}
Solucion:
𝐿 𝑡. 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 = 𝐿 𝑡 . 𝐿 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡
lim!→!
𝑒!!"𝑡.𝑑𝑡!
! . lim!→!
𝑒!!"𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡.𝑑𝑡!
!
Como se observa cada integral se resuelve por una integral por parte, hacemos esta evaluacion en la primera integral. Sustituyendo,
lim!→!
𝑒!!"
−𝑠 𝑡 −𝑒!!"
−𝑠 𝑑𝑡!
!. lim!→!
𝑒!!"𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡.𝑑𝑡!
!
lim!→!
−𝑒!!"
𝑠 𝑡 +1𝑠 𝑒!!"𝑑𝑡. lim
!→!𝑒!!"𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡.𝑑𝑡
!
!
!
!
lim!→!
−𝑒!!"
𝑠 𝑡 −𝑒!!"
𝑠!𝑚0 . lim!→!
𝑒!!"
𝑠! − 3! (𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑡)𝑚0
lim!→!
−𝑒!!"
𝑠 𝑚 −𝑒!!"
𝑠! − 0−1𝑠! . lim
!→! 𝑒!!"
𝑠! − 9 𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑚 − 3𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑚 −1
𝑠! − 4 (−𝑠)
lim!→!
−𝑒!!"
𝑠 𝑚 −𝑒!!"
𝑠! +1𝑠! . lim!→!
𝑠𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑚 − 2𝑠𝑒𝑛ℎ3𝑚
𝑒!" 𝑠! − 9 +𝑠
𝑠! − 9
𝐿 𝑡. 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 =1𝑠! .
𝑠𝑠! − 9
𝐿 𝑡. 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑡 =1
𝑠 𝑠! − 9
2. Calcule las siguientes transformadas:
a) L{ t2 Cosh2t} Solución: 𝐿 𝑡! ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡 = 𝐿 𝑡2 .𝐿{𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} 𝑡! = !!
!!!! ; cosh 𝑎𝑡 = !
!!!!!
𝐿{𝑡! ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =2𝑠3 ∗
𝑠𝑠! − 4
𝐿{𝑡! ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =2𝑠
𝑠5 − 4𝑠3
𝐿{𝑡! ∗ 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑡} =2
𝑠! 𝑠! − 4
b) 𝑳 𝒆𝟒𝒕𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕
Solución:
𝐿 𝑒!! . 𝐿{𝑠𝑒𝑛5𝑡}
Desarrolando cada uno con la tabla de transformada de laplace,
𝑳 𝒆𝟒𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕 =𝟏
𝒔 − 𝟒∗
𝟓𝒔𝟐 + 𝟐𝟓
𝑳 𝒆𝟒𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕 =𝟓
𝒔 − 𝟒 (𝒔𝟐 + 𝟐𝟓)
𝑳 𝒆𝟒𝒕 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕 =5
𝑠3 − 4𝑠2 + 25𝑠− 100
c) 𝑳 𝒕𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒕
Solución:
𝐿 𝑡! . 𝐿 𝑐𝑜𝑠2𝑡 . 𝐿{𝑐𝑜𝑠2𝑡}
𝑳 𝒕𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒕 =2𝑠3 ∗
𝒔𝒔𝟐 + 𝟒 𝟐 ∗
𝒔𝒔𝟐 + 𝟒 𝟐
𝑳 𝒕𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒕 =2𝑠3 ∗
𝑠2𝑠4 + 8𝑠2 + 16
𝑳 𝒕𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒕 =2𝑠 ∗
1𝑠4 + 8𝑠2 + 16
𝑳 𝒕𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝒕 =2
𝑠5 + 8𝑠3 + 16𝑠
3. Utilizando fracciones parciales determine la siguiente transformada inversa:
L-1 { !!! !!!!!!! !. !!! . !!!
}
Solución: 𝑠! + 2𝑠 + 2
𝑠 − 1 !. 𝑠 + 1 . 𝑠 − 2 =𝐴
(𝑠 − 1)+𝐵
𝑠 − 1 ! +𝐶
𝑠 + 1+𝐷
𝑠 − 2
𝑠! + 2𝑠 + 2 ≡ 𝐴(𝑠 − 1)( 𝑠 + 1) 𝑠 − 2 + 𝐵 𝑠 + 1 𝑠 − 2 + 𝐶 𝑠 − 1 ! 𝑠 + 2 + 𝐷 𝑠 − 1 !(𝑠 + 1) 𝑠! + 2𝑠 + 2 ≡ 𝐴 𝑠! − 1 𝑠 − 2 + 𝐵 𝑠! − 𝑠 − 2 + 𝐶 𝑠! − 2𝑠 + 1 𝑠 − 2 + 𝐷(𝑠! − 2𝑠 + 1)(𝑠 + 1)
𝑠! + 2𝑠 + 2 = 𝐴 𝑠! − 2𝑠! − 𝑠 + 2 + 𝐵 𝑠! − 𝑠 − 2 + 𝐶 𝑠!−2𝑠! + 𝑠−2𝑠! + 4𝑠 − 2 + 𝐷(𝑠!−2𝑠! + 𝑠 + 𝑠! − 2𝑠 + 1)
𝑠! + 2𝑠 + 2 = 𝐴 𝑠! − 2𝑠! − 𝑠 + 2 + 𝐵 𝑠! − 𝑠 − 2 + 𝐶 𝑠!−4𝑠! + 5𝑠 − 2 + 𝐷(𝑠!−𝑠! − 𝑠 + 1)
Asi, A+C+D=0 ⟶ 𝐶 = −𝐴 − 𝐷 -2A+B − 4C−D=1 -A – B +5C − D=2
2A − 2B – 2𝐶 + 𝐷 = 2 Luego sustituyendo C en las demas ecuaciones: −2𝐴 + 𝐵 − −4𝐴 − 4𝐷 − 𝐷 = 1⟹ −2𝐴 + 𝐵 + 4𝐴 + 4𝐷 − 𝐷 = 1⟹ 2𝐴 + 𝐵 + 3𝐷 = 1
−𝐴 − 𝐵 − 5𝐴 − 5𝐷 − 𝐷 = 2⟹ −4𝐴 − 𝐵 − 6𝐷 = 2
Asi,
𝐴 = !"!
; 𝐵 = − !! ;𝐶 = − !
!" ;𝐷 = !"
!
Ahora sustituimos cada uno de esos valores:
𝑠! + 2𝑠 + 2𝑠 − 1 !. 𝑠 + 1 . 𝑠 − 2 =
− 134(𝑠 − 1)+
− 52𝑠 − 1 ! +
− 112
(𝑠 + 1)+103
(𝑠 − 2)
𝑠! + 2𝑠 + 2
𝑠 − 1 !. 𝑠 + 1 . 𝑠 − 2
= −134 𝐿!!
1𝑠 − 1
−52𝐿!!
1(𝑠 − 1)!
−112𝐿!!
1𝑠 + 1
+103𝐿!!
1𝑠 − 2
𝑠! + 2𝑠 + 2
𝑠 − 1 !. 𝑠 + 1 . 𝑠 − 2 = −134∗ 𝑒4𝑡 −
52 𝑡 ∗ 𝑒𝑡 −
1
12∗ 𝑒−𝑡 +
10
3∗ 𝑒−2𝑡
4. Utilice el Teorema de convolución para determinar la transformada inversa:
L-‐1 { !!!.(!!!)!
}
Solución:
𝐿!!1𝑠! .
1(𝑠 + 1)!
𝐿!!1𝑠! =
𝑡!
2!⟹𝑡!
2
𝐿!! 1
(𝑠 + 1)! = 𝑡 ∗ 𝑒!
sustituimos,
𝑡!
2 ∗ 𝑡 ∗ 𝑒! =
12 𝑡
! ∗ 𝑒!
16 𝑢!𝑒(!!!)𝑑𝑢⟹
!
!
16 𝑢!𝑒!𝑒!!𝑑𝑢⟹
16 𝑒
! 𝑢!!
!𝑒!!
!
!𝑑𝑢