tranformacion de Laplace

El objetivo de este tema es el desarrollo de técnicas para el análisis de circuitos con una amplia gama de entrada y salidas. Dichos circuitos están modelados a través de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones describen el comportamiento total de la respuesta de los circuitos. Se han contemplado métodos matemáticos para determinar, de manera sistemática, las soluciones a las ecuaciones diferenciales. Ahora se presenta un método muy poderos, la transformación de Laplace, la cual involucra la conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas, facilitando así en gran medida el proceso de solución.

Definición

La transformada de la place es una transformación integral de una función F(t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia complejo, lo que da por resultado F(s).

Dada una función F(t), su transformada de Laplace, denotada por F(s) o L[F(t)], se define como,

Respuestas natural y forzadas

Hay una exelente razon matematica para considerar que la respuesta completa deba tener dos partes(respuesta forzada y la respuesta natural). La razon se basa en el hecho de que la solucion de cualquier ecuacion diferencial lineal puede expresarse como la suma de dos partes: solucion complementaria(respuesta natural) y la solucion particular(respuesta forzada).Sin entrar en detalles sobre la teoria general de las ecuaciones diferenciales, se procedera a examinar una ecuacion general del tipo que se estudio en la seccion anterior:

se podra identificar Q como una funcion forzada y expresada como Q(t) para subrayar su dependencia general del tiempo. se simplifica la explicacion si se supone que P es una constante positiva.Despues se supondra que Q es constante, restringiendo de ese modo el uso se funciones rozadas de cd.

la respuesta natural

Se observa primero que en un circuito sin fuente, Q debe ser cero y la solucion consiste en la respuesta natural

Se puede ver que la constante P nunca es negativa en un circuito solo con resistencias, inductores y capacitores; su valor depende nada mas de los elementos pasivos del circuitos y de su interconexion en el circuito. Por lo tanto la respuesta natural se aproxima a cero cuando el tiempo aumenta sin limites. Este debe ser el caso del circuito RL simple debido a que la energia inicial se disipa de modo gradual en la resistencia, en forma de calor. T ambien hay circuitos idealizados en los que P es cero; en tales circuitos la respuesta natural no se desvanece.

En consecuencia, se vera que uno de los dos termicos que conforman la respuesta completa tiene la forma de la respuesta natural; incluye una amplitud que dependera (aunque a menudo no sera igual) del valor inicial de la respuesta completa, y por ello tambien del valor inicial de la funcion forzada

La respuesta forzada

A continuacion se puede ver que el primer termino de la ecuacion [30] depende de la forma funcional de Q(t), la funcion forzada. Siempre que se tiene un circuito en el que la respuesta natural se devanece conforme t se vuelve infinita, el primer termino debe describir por completo la forma de la respuesta despues de que desaparecio la respuesta forzada; tambien se conoce como respuesta de estado permanente, solucion particular o integral particular.

Por ahora, se decide considerar solo los problemas que implican la aplicacion repentina de fuente de cd, asi que Q(t) sera entonces una constante para todos los valores del tiempo. Si se desea, se evalua ahora la integral en la ecuacion [30] para obtener la respuesta forzada

En el caso del circuito RL en serie Q/P representa la corriente constante Vo/R y I/P la constante de tiempo t. Se observa que la respuesta forzada podria haberse obtenido sin evaluar la integral, debido a que debe ser la respuestacompleta en el tiempo infinito; corresponde solo a la tension de la fuente dividida por la resistencia en serie. ello quiere decir que la respuesta forzada se obtiene por inspeccion del circuito final.

Determinacion de la respuesta completa

Se utiliza el circuito simple RL en serie para ilustrar la forma de determinar la respuesta completa mediante la adicion de la respuesta natural y forzada.EL circuito presente ya se analizo, pero por un metodomas largo. La respuesta deseada es la corriente i(t) asu que se expresa primero esta corriente como la suma de la corriente natural y de la corriente forzada, esto es

La forma funcional de la respuesta natural debe ser la misma que la que se obtuvo sin fuente alguna.Por lo tanto, se sustituye la fuente de tension de escalon por un cortocircuito y se reconoce el lazo en serie RL anterior. De tal modo,

donde la amplitud A aun debe determinarse; ademas, debido a que la condicion inicial se aplica a la respuesta completa, no se puede suponer simplemente A=i(0).

A continuacion se analiza la respuesta forzada. En este problema particular la respuesta forzada debe ser constante, debido a que la fuente es una constante Vo para todos los valores positivos de tiempo. Por lo tanto, despues de que la respuesta natural se desvanece, no hay tension en el inductor, por consiguiente, aparece una tension Vo en los extremos de R, de modo que la respuesta forzada es simplemente

Observar que la respuesta forzada esta por completo determinada; no hay una amplitud desconocida. A continuacion se combinan las dos respuestas para obtenes

y se aplica la condicion inicial para evaluar A. la corriente es cero antes de I=0, ademas, no es posible que cambie de valor en forma instantanea, puesto que es la corriente que fluye por un inductor.En consecuencia, la corriente es nula inmediatamente despues de t=0, y

Observar con todo cuidado que A no es el valor inicial de i, pues A=-Vo/R, en tanto que i80)=0. Al considerar los circuitos sin fuente, se encuentra que A fue el valor inicial de la respuesta. Sin

embargo, cuando se presentan funciones forzadas, se debe determinar primero el valor inicial de la respuesta y luego sustituirlo en la ecuacion de la respuesta completa para determinar A.

ecuacion en exponencial [30]