transformasi linier (kajian fungsi antar ruang vektor) · pdf filependidikan matematika ps....
TRANSCRIPT
![Page 1: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/1.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline TRANSFORMASI LINIER(Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan MatematikaPS. Sistem Informasi
University of JemberIndonesia
Jember, 2009
![Page 2: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/2.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
![Page 3: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/3.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
![Page 4: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/4.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Outline
Outline
1 Pengertian dan Sifat Transformasi Linier
2 Transformasi Linier Antar Ruang Riil
3 Matriks Transformasi Linier
![Page 5: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/5.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
![Page 6: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/6.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
![Page 7: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/7.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
![Page 8: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/8.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Definisi
Jika F : V −→ W adalah fungsi dari ruang vektor V keruang vektor W , maka F merupakan transformasi linierjika
1 F (u + v) = F (u) + f (v), ∀u, v ∈ V2 F (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k
Contoh 1
Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : Rn −→ Rm
dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier,yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks
![Page 9: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/9.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 2
Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier
Contoh 3
Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol
![Page 10: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/10.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 2
Misalkan T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]yakni perputaran R2 melalui sudut θ, merupakantransformasi linier
Contoh 3
Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v) = 0,∀v ∈ Vmerupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi nol
![Page 11: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/11.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 4
Pemetaan T : V −→ V dengan aturan
T (v) = v ,∀v ∈ V
merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas
Catatan
Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V
![Page 12: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/12.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 4
Pemetaan T : V −→ V dengan aturan
T (v) = v ,∀v ∈ V
merupakan transformasi linier yang dinamakantransformasi identitas
Catatan
Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka Tdisebut operator linier pada V
![Page 13: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/13.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 5
Pemetaan T : V −→ V yang didefinisikan oleh
T (v) = kv
dengan k skalar, merupakan operator linier pada V . Jikak > 1, T disebut dilasi . Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi
![Page 14: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/14.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 6
Misal V ruang hasilkali dalam dan W subruang yangmemiliki
S = {w1, w2, ..., wr}
sebagai basis ortonormal. Misal T : V −→ W denganaturan
T (v) =< v , w1 > w1+ < v , w2 > w2 + ...+ < v , wr > wr
merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksiortogonal dari V pada W
![Page 15: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/15.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 7
Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh
T (v) = (x , y , 0)
Contoh 8
Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan
T (v) = (v)S
merupakan transformasi linier dari V ke Rn.
![Page 16: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/16.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 7
Misalkan V = R3 dengan hasilkali dalam Euclidis.{(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untukbidang xy . Jika v = (x , y , z) adalah sebarang vektor padaR3 maka proyeksi ortogonal dari R3 pada bidang xydiberikan oleh
T (v) = (x , y , 0)
Contoh 8
Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satubasisnya. Maka T : V −→ Rn dengan aturan
T (v) = (v)S
merupakan transformasi linier dari V ke Rn.
![Page 17: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/17.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 9
Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v0 adalahsebarang vektor tetap di V . Maka T : V −→ R denganaturan
T (v) =< v , v0 >
merupakan transformasi linier
![Page 18: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/18.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 10
Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riilyang kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1 dan misalkan Wadalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsiyang turunan pertamanya kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1.Maka D : W −→ V dengan aturan
D(f ) = f ′
merupakan transformasi linier
![Page 19: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/19.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi Linier
Contoh 11
Misal V = C [0, 1], maka J : V −→ R dengan aturan
J(f ) =
∫ 1
0f (x)dx
merupakan transformasi linier.
![Page 20: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/20.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
![Page 21: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/21.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
![Page 22: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/22.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
![Page 23: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/23.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Sifat Transformasi Linier
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Sifat 1
T (0) = 0
Sifat 2
T (−v) = −t(v),∀v ∈ V
Sifat 3
T (v − w) = T (v)− T (w),∀v , w ∈ V
![Page 24: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/24.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 25: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/25.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 26: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/26.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 27: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/27.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 28: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/28.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 29: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/29.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
Kernel (atau ruang nol ) dari T adalah
ker(T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}
Jangkauan dari T adalah
R(T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v) = w}
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
ker(T ) subruang pada V
R(T ) subruang pada W
![Page 30: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/30.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
![Page 31: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/31.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
![Page 32: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/32.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
![Page 33: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/33.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Definisi
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka
dim(ker(T )) disebut nulitas T
dim(R(T )) disebut rank T
Contoh 1
Misal T : R2 −→ R2 adalah perputaran R2 melalui sudut π4 ,
maka R(T ) = R2 dan ker(T ) = {0}. Sehingga
rank(T ) = 2
dannulitas(T ) = 0
![Page 34: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/34.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Dimensi Kernel dan Jangkauan
Contoh 2
Misal T : Rn −→ Rm adalah perkalian oleh matriks Aberukuran m × n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A danker(T ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga
rank(T ) = dim(ruang kolom A) = rank(A)
dan
nulias(T ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)
![Page 35: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/35.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Teorema Terkait Dimensi
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka
rank(T ) + nulitas(T ) = n
Teorema
Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah
n − rank(A)
![Page 36: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/36.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Teorema Terkait Dimensi
Teorema
Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = nmaka
rank(T ) + nulitas(T ) = n
Teorema
Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruangpemecahan dari Ax = 0 adalah
n − rank(A)
![Page 37: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/37.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
![Page 38: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/38.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
![Page 39: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/39.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Problem
Jika T : Rn −→ Rm adalah sebarang transformasi linier,maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuranm × n sehingga T adalah perkalian oleh A?
Solusi
Jika e1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn dan A adalahmatriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalahT (e1), T (e2), ..., T (en), maka dapat dibuktikan bahwa
T (x) = Ax ,∀x ∈ Rn
Dengan demikian setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm
dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yaknimerupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m × n
![Page 40: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/40.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
![Page 41: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/41.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
![Page 42: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/42.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
![Page 43: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/43.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
![Page 44: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/44.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari Rn ke Rm
Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teoremaberikut.
Teorema
Jika T : Rn −→ Rm adalah transformasi linier, dan jikae1, e2, ..., en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalahperkalian oleh A dimana
A = [T (e1), T (e2), ..., T (en)]
Catatan
Matriks A disebut matriks baku untuk T
Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriksitu sendiri. (Buktikan!)
![Page 45: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/45.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Rotasi
Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]
Refleksi terhadap sumbu y
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[−1 00 1
]
![Page 46: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/46.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Rotasi
Jika T : R2 −→ R2 adalah perputaran terhadap titik asalmelalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah
A =
[cos θ − sin θsin θ cos θ
]
Refleksi terhadap sumbu y
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu y , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[−1 00 1
]
![Page 47: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/47.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Refleksi terhadap sumbu x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 −1
]
Refleksi terhadap garis y = x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah
A =
[0 11 0
]
![Page 48: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/48.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Refleksi terhadap sumbu x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap sumbu x , makamatriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 −1
]
Refleksi terhadap garis y = x
Jika T : R2 −→ R2 adalah refleksi terhadap garis y = x ,maka matriks baku untuk T adalah
A =
[0 11 0
]
![Page 49: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/49.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[k 00 1
]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 k
]
![Page 50: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/50.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Ekspansi dan Kompresi dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (kx , y). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[k 00 1
]Ekspansi dan Kompresi dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah ekspansi atau kompresi dalamarah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x , y)ke (x , ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 00 k
]
![Page 51: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/51.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Geseran dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 k0 1
]Geseran dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 0k 1
]
![Page 52: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/52.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Transformasi dari R2 ke R2
Geseran dalam arah x
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah x denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x + ky , y).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 k0 1
]Geseran dalam arah y
Jika T : R2 −→ R2 adalah geseran dalam arah y denganfaktor k , maka akan memetakan titik (x , y) ke (x , y + kx).Sehingga matriks baku untuk T adalah
A =
[1 0k 1
]
![Page 53: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/53.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Efek Geometri dari Transformasi Matriks
Resume
Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.
Teorema
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.
![Page 54: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/54.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Efek Geometri dari Transformasi Matriks
Resume
Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untukgeseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakanmatriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teoremaberikut dapat dibuktikan kebenarannya.
Teorema
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan daritransformasi-transformasi tersebut dengan urutan yangsesuai.
![Page 55: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/55.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 56: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/56.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 57: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/57.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 58: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/58.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 59: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/59.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 60: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/60.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Hasil Lanjutan
Jika T : R2 −→ R2 adalah perkalian oleh matriks A yanginvertibel, maka
1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah
sebuah garis lurus melalui titik asal3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah
garis-garis lurus yang sejajar4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan
titik P dan Q adalah segmen garis yangmenghubungkan bayangan P dan bayangan Q
5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jikadan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri
![Page 61: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/61.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Masalah
Jika untuk setiap transformasi linier T : Rn −→ Rm dapatdinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuksebarang transformasi linier T : V −→ W secara umum?
![Page 62: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/62.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
![Page 63: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/63.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
![Page 64: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/64.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
![Page 65: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/65.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u1, u2, ..., un}dan W berdimensi m dengan basis B′ = {v1, v2, ..., vm}.
Maka ∀x ∈ V , [x ]B ∈ Rn dan [T (x)]B′ ∈ Rm.
Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkanpemetaan dari Rn ke Rm dengan memetakan [x ]B ke[T (x)]B′ .
Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakanmenggunakan perkalian dengan matriks A, yakni
A [x ]B = [T (x)]B′
![Page 66: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/66.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
![Page 67: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/67.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
![Page 68: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/68.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]
![Page 69: TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) · PDF filePendidikan Matematika PS. ... ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m ×n. ... Matriks](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052205/5a740de67f8b9ad22a8bacd2/html5/thumbnails/69.jpg)
TransformasiLinier
Antonius CP
Pengertiandan Sifat TL
TL antarRuang Riil
Matriks TL
Matriks Transformasi Linier
Ide Dasar
Matriks A berbentuk
A = [[T (u1)]B′ , [T (u2)]B′ , ..., [T (un)]B′ ]
Matriks A disebut matriks untuk T yang bertaliandengan basis B dan B’ dan disimbolkan
[T ]B,B′
Jika T operator linier, maka matriks untuk T yangbertalian dengan basis B adalah
[T ]B = [[T (u1)]B , [T (u2)]B , ..., [T (un)]B]