transformations finies

Lois de comportementen transformations finies

Samuel Forest

Centre des Materiaux/UMR 7633Mines Paris ParisTech/CNRSBP 87, 91003 Evry, [email protected]

Bibliographie (1)Les ouvrages de reference en francais -

[1] J. Mandel. Cours de mecanique des milieux continus. EditionsJacques Gabay, Paris, 1966–1994.

[2] J. Mandel. Plasticite classique et viscoplasticite. CISM Coursesand Lectures No. 97, Udine, Springer Verlag, Berlin, 1971.

[3] J. Mandel. Introduction a la mecanique des milieux continusdeformables. Academie Polonaise des Sciences, Varszawa, 1974.

[4] C. Truesdell. Introduction a la mecanique rationnelle des milieuxcontinus. Masson, Paris, 1974.

[5] P. Germain. Cours de mecanique des milieux continus T.I./Theoriegenerale. Masson, Paris, 1973.

[6] P. Germain. Mecanique, tomes I et II. Ellipses, Paris, 1986.

[7] F. Sidoroff. Les grandes transformations. rapport GRECO, no 51,1982.

[8] P. Ladeveze. Sur la theorie de la plasticite en grandesdeformations. rapport interne LMT No.9, 1980.

[9] P. Rougee. Mecanique des Grandes Transformations. SpringerVerlag, 1997.

2/146

Bibliographie (2)Les ouvrages de reference en anglais -

[10] C. Truesdell and W. Noll. The non-linear field theories ofmechanics. Handbuch der Physik, edited by S. Flugge, reeditionSpringer Verlag 1994, 1965.

[11] R.W. Ogden. Non–linear elastic deformations. Dover, New York,1984–1997.

[12] C. Teodosiu. Large plastic deformation of crystalline aggregates.CISM Courses and Lectures No. 376, Udine, Springer Verlag, Berlin,1997.

[13] P. Haupt. Continuum Mechanics and Theory of Materials.Springer Verlag, 2000.

[14] I-S. Liu. Continuum Mechanics. Springer, 2002.

[15] A. Bertram. Elasticity and Plasticity of Large Deformations.Springer, 2005.

3/146

Bibliographie (3)Supports de ce cours accelere -

[16] J. Besson, G. Cailletaud, J.-L. Chaboche, and S. Forest.Mecanique non lineaire des materiaux. Hermes, 2001.

[17] S. Forest and M. Amestoy. Mecanique des milieux continus.Cours de l’Ecole des Mines de Paris, Les Presses de l’Ecole des Mines,a paraıtre, 2008.

Plate–forme d’enseignement Mecanique Materiaux StructuresSite Web mms2.ensmp.fr

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http://mms2.ensmp.fr/

Plan1 Cinematique et statique du milieu continu

Transformations, deformationsVitesses de deformationsContraintesChangement de referentiel

2 Formulation des lois de comportementPrincipe d’indifference materielleGroupe des symetries materiellesLe crible de la thermodynamique

3 Elastoviscoplasticite en transformations finiesDecomposition multiplicativeFormulation en referentiels locaux objectifsExemple : le glissement simple

4 Milieux continus generalises en transformations finiesCinematique et statique du milieu de CosseratElastoviscoplasticte de Cosserat

5 Conclusions et recommandations

Corps materiel M

M

M

( , )E R

Le corps materielMest un ensemble depoints materiels

Cinematique et statique du milieu continu 8/146

Placement de reference dans l’espace physique

M

Ω0

M

X

( , )E R

p0

• Ω0 est laposition occupeedans l’espacephysique E munid’un referentielR a un instantdonnee t0

• le point materielM ∈M occupela position Xdans cetteconfiguration

• on l’adopteracommeconfigurationde reference


Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω Ω0 t

M

X x

( , )E R

p p0 t

• Ωt est laposition actuelleoccupee par lecorps materieldans l’espacephysique E al’instant t

• le point materielM ∈M occupela position xdans cetteconfiguration

• on l’appelleconfigurationactuelle


Configuration actuelle dans l’espace physique

M

Ω Ω0 t

M

X x

( , )E R

p p0 t

Φ

• La transformation

x = Φ(X , t)

fait passer de Ω0 aΩt

• La transformationest supposeebijective etbicontinue

X = Φ−1(x , t)

? pas de fission!? pas de fusion!


Configuration intermediaire du corps materiel

M

Ω

Ω

Ω0 t

τ

M

X x

x( )τ

( , )E R

p p

p

0

τ

t

Φ

• La position de Ma 0 ≤ τ ≤ t estnotee Ωτ s’appelleconfigurationintermediaire ducorps materiel

• La transformationΦ(X , τ)0≤τ≤t

contient l’histoirede deformationdu corps materielentre ces instants


Transformation du milieu continu

Ω

Ω

Ω0 t

τ

X x

x( )τ

( , )E R

Φ

• La transformation

x = Φ(X , t)

fait passer de Ω0 aΩt

• Le deplacementdu point materielest defini par

u (X , t) = x − X

u (X , t) = Φ(X , t)−X


Champs de tenseurs sur MDes grandeurs physiques et thermomecaniques peuvent etre attachees a

chaque point du corps materiel.

• cas des milieux a microstructure sous–jacente : “solides”L’element de volume dV ∈ Ω0 centre en X devient dv ∈ Ωt

centre en x . dV et dv contiennent les memes particulesmaterielles.champs de fonctions tensorielles F (X , t)

c’est l’approche lagrangienne ou materielle

• cas des milieux sans microstructure sous–jacente : “fluides”Les particules materielles sont interchangeables et nonidentifiees. On ne s’interesse qu’aux quantites moyennes(vitesses) relatives aux particules traversant dv centre aupoint geometrique x ∈ Ωt a l’instant tchamps de fonctions tensorielles f (x , t)

c’est l’approche eulerienne ou spatiale

• Les points de vue lagrangien et eulerien sont equivalents :

f (x , t) := F (Φ−1(x , t), t), F (X , t) := f (Φ(X , t), t)Cinematique et statique du milieu continu 14/146

Un exemple de transformation du milieu continu

x (t) = Q∼(t).X + c (t)

xi = Qijxj + cj

Q∼

tenseur d’ordre 2 orthogonal : Q∼.Q∼

T = Q∼

T .Q∼

= 1∼ avecdetQ

∼= 1

Il s’agit d’unmouvement de corps rigide= rotation(t)+translation(t)d’ensembleLa rotation et la translation ne doivent pas dependre de X . La

dependance en t peut etre quelconque (acceleration non nulle).

Dans un repere cartesien orthonorme dont le troisieme axe est l’axede rotation x1

x2

x3

=

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

X1

X2

X3

+

c1

c2

c3


Le gradient de la transformation

Φ

X

xdX dx

application lineaire tangente associee a Φ

Φ(X + dX )− Φ(X ) =∂Φ

∂X.dX + o(X ,dX )

element de fibre materielle dX initiale et dx actuelle

F∼(X , t) =∂Φ

∂X= Grad Φ = 1∼ + Gradu , dx = F∼.dX

Le gradient de la transformation F∼ est une caracterisation locale de la

transformation (F∼(X , t = 0) = 1∼)


Le gradient de la transformation

Le gradient en coordonnees cartesiennes orthonormees (e i )i=1,3

dxi = FijdXj , avec Fij =∂xi

∂Xj= δij +

∂ui

∂Xjet F∼ = Fij e i ⊗ e j

dx1 =∂Φ1

∂X1dX1 +

∂Φ1

∂X2dX2 +

∂Φ1

∂X3dX3

dx2 =∂Φ2

∂X1dX1 +

∂Φ2

∂X2dX2 +

∂Φ2

∂X3dX3

dx3 =∂Φ3

∂X3dX1 +

∂Φ3

∂X3dX2 +

∂Φ3

∂X3dX3

dx1

dx2

dx3

=

F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33

dX1

dX2

dX3

les composantes de F∼ sont sans dimension physique


Transport d’un element de volume

• volume elementaire initial dV et actuel dv

dV = dX 1.(dX 2∧dX 3) = [dX 1,dX 2,dX 3] = det(dX 1,dX 2,dX 3)

dv = [dx 1,dx 2,dx 3] = [F∼.dX 1,F∼.dX 2,F∼.dX 3]

dv = J dV

J = detF∼ > 0

jacobien de la transformation

• transformation isochore en un point ou en tout pointun materiau est dit incompressible s’il ne peut subir que destransformations isochores

J = 1


Conservation de la masse

ρ dv = ρ0 dV = ρ J dV =⇒ ρ0 = Jρ

interpretation en terme de changement de variable dans uneintegrale sur un domaine materiel D(t)∫

D(t)ρ(x , t) dv =

∫D0

ρ(Φ(X , t), t) J︸︷︷︸ρ0(X )

dV

avec D0 = Φ−1(D(t))


Transport d’un element de surface

Φ

X

x

N n

dS = dX 1 ∧ dX 3 = dS N , ds = dx 1 ∧ dx 3 = ds n

l’element de surface est defini par les directions materiellesorthogonales dX 1 et dX 3 qu’il contient. Le vecteur element desurface dS ne se transforme pas comme une fibre materielle :

ds = J F∼−T .dS

dS et ds (resp. N et n ) ne sont pas constitues des memes pointsmateriels


Les tenseurs de Cauchy–Green

Φ

X

xdX 1 dX 2

dx 1dx 2

dx 1.dx 2 = (F∼.dX 1).(F∼.dX 2) = dX 1.F∼T .F∼.dX 2 = dX 1.C∼ .dX 2

le tenseur de Cauchy–Green droit C∼ = F∼T .F∼ instaure une metrique sur Ω0

dX 1.dX 2 = dx 1.B∼−1.dx 2

le tenseur de Cauchy–Green gauche B∼ = F∼.F∼T instaure une metrique sur

Ωt

(C∼ et B∼ sont symetriques et definis positifs, B∼ 6= C∼T !!)


Variation de longueurs

• variation de longueurs

‖dx ‖2 − ‖dX ‖2 = dX .(C∼ − 1∼).dX = dx .(1∼ − B∼−1).dx

• allongement relatif

dX = ‖dX ‖M

λ(M ) =‖dx ‖‖dX ‖

=√

M .C∼ .M = ‖F∼.M ‖ = ‖U∼ .M ‖

• interpretation des composantes de C∼

λ(e 1) =√

C11 =√

F 211 + F 2

21 + F 231

C11 designe donc le carre de l’allongement du premier vecteur de

base


Variation d’angles

• variation d’angle entre deux elements de fibre materielle

dX 1 = |dX 1|M 1, dX 2 = |dX 2|M 2

dx 1 = |dx 1|m 1, dx 2 = |dx 2|m 2

cos Θ = M 1.M 2

cos θ = m 1.m 2

• angle de glissement γ des directions M 1 et M 2 dans le plande glissement (M 1,M 2)

γ := Θ− θ

Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)

sin γ =

• interpretation des composantes de C∼ : M 1 = E 1 et M 2 = E 2

sin γ =


Variation d’angles

• variation d’angle entre deux elements de fibre materielle

dX 1 = |dX 1|M 1, dX 2 = |dX 2|M 2

dx 1 = |dx 1|m 1, dx 2 = |dx 2|m 2

cos Θ = M 1.M 2

cos θ = m 1.m 2 =M 1.C∼ .M 2

λ(M 1)λ(M 2)

• angle de glissement γ

γ := Θ− θ

Si Θ = π/2 (directions initialement orthogonales)

sin γ =M 1.C∼ .M 2

λ(M 1)λ(M 2)

• interpretation des composantes de C∼ : M 1 = E 1 et M 2 = E 2

sin γ =C12√C11C22


Mesures de deformation (1)

• candidatsC∼,B∼ ,U∼ ,V∼

• quelques regles supplementaires conventionnelles pour une mesurede deformation :

? elle est symetrique et sans dimension physique ;? elle est nulle pour un mouvement de corps rigide et en F∼ = 1∼ ;? son developpement limite autour de F∼ = 1∼ s’ecrit

12 (H∼ + H∼

T ) + o(H∼ )

H∼ = F∼ − 1∼ = Gradu

• les tenseurs de Green–Lagrange et d’Almansi

E∼ :=1

2(C∼ − 1∼), A∼ :=

1

2(1∼− B∼

−1)

E∼ =1

2(H∼ + H∼

T + H∼T .H∼ )

Eij =1

2(∂ui

∂Xj+∂uj

∂Xi+∂uk

∂Xi

∂uk

∂Xj)

• mesures lagrangiennes / mesures euleriennes de deformation


“Mesures” de deformations (2)

E∼ =1

2(C∼−1∼) tenseur de Green− Lagrange,Eij =

1

2(ui,j+uj,i+uk,iuk,j)

A∼ =1

2(1∼− B∼

−1) = τ−1F−1F (E∼) tenseur d′Almansi

E∼1= U∼ − 1∼, A∼−1

= 1∼− V∼−1

E∼n=

1

n(U∼

n − 1∼), A∼n=

1

n(V∼

n − 1∼)

E∼0= log U∼ = P∼

log(1 + λ1) 0 00 log(1 + λ2) 00 0 log(1 + λ3)

P∼−1

A∼0= logV∼


“Mesures” de deformations (3)1D :

C = (l

l0)2, B = (

l

l0)2, E1 =

l − l0l0

, A−1 =l − l0

l

E2 =1

2((

l

l0)2−1), A−2 =

1

2(1−(

l0l)2), E0 = log

l

l0, A0 = log

l

l0


Transformations homogenes

• transformation homogene : F∼(X , t) = F∼(t)

etat initial homogene heterogene

lorsque tous les carres deformes sont superposables, ladeformation est homogene

• consequence sur le champ de deplacement :

x (t) = F∼(t).X + c (t)

pour tout couple de points materiels

x 1 − x 2 = F∼.(X 1 − X 2)


Extension simple

x1 = X1(1 + λ)x2 = X2

x3 = X3

F∼ = 1∼+λe 1⊗e 1, [F∼] =

1 + λ 0 00 1 00 0 1

R∼ = 1∼, U∼ = F∼


Glissement simple

x1 = X1 + γX2

x2 = X2

x3 = X3

, F∼ = 1∼ + γe 1 ⊗ e 2, [F∼] =

1 γ 00 1 00 0 1


Glissement simple

C∼ = 1∼+γ(e 1⊗e 2+e 2⊗e 1)+γ2e 2⊗e 2, [C∼ ] =

1 γ 0γ 1 + γ2 00 0 1

Les valeurs propres de C∼ sont

λ1 =1

2(γ2 + 2 + γ

√γ2 + 4) = (

1

2(γ +

√γ2 + 4))2

λ2 =1

2(γ2 + 2− γ

√γ2 + 4) = (

1

2(−γ +

√γ2 + 4))2

λ3 = 1

Les vecteurs propres de C∼ et U∼ sont

V 1 =1

2(−γ +

√γ2 + 4)e 1 + e 2

V 2 =1

2(−γ −

√γ2 + 4)e 1 + e 2

V 3 = e 3


Glissement simple

U∼ =

26666664

1q1 + (γ/2)2

γ

2q

1 + (γ/2)20

γ

2q

1 + (γ/2)2

1 + γ2/2q1 + (γ/2)2

0

0 0 1

37777775

V∼ =

26666664

1 + γ2/2q1 + (γ/2)2

γ

2q

1 + (γ/2)20

γ

2q

1 + (γ/2)2

1q1 + (γ/2)2

0

0 0 1

37777775

R∼ =

1√1 + (γ/2)2

γ

2√

1 + (γ/2)20

−γ

2√

1 + (γ/2)2

1√1 + (γ/2)2

0

0 0 1

la rotation propre est une rotation autour de e 3 d’angle tan θ = −γ

2


Champ des vitesses

• champ de vitesses

V (X , t) =∂Φ

∂t(X , t)

• descriptions materielle/spatiale (lagrangienne/eulerienne)

v (x , t) := V (Φ−1(x , t), t)

plus generalement

f (x , t) := F (X , t), avec x = Φ(X , t)

• derivee temporelle en suivant le mouvement

F (X , t) :=d

dtF (X , t) =

∂F

∂t(X , t)

=d

dtf (x , t) =

∂f

∂t(x , t) +

∂f

∂x.v (x , t) = f (x , t)


Le champ de gradient des vitesses

• evolution instantanee d’un vecteur materiel transporte par lemouvement

dx = F∼.dX•︷︸︸︷

dx = L∼.dx , avec L∼ = F∼.F∼−1

• le tenseur gradient des vitesses

F∼ =∂2Φ

∂t∂X(X , t) =

∂2Φ

∂X ∂t(X , t)

= GradV (X , t) = (grad v (x , t)).F∼

L∼(x , t) = grad v (x , t) = F∼.F∼−1


Tenseur vitesse de deformations

• evolution instantanee du produit scalaire de deux elements de fibresmateriellesd’une part...

•︷︸︸︷dx 1.dx 2 = dx 1.L∼

T .dx 2 + dx 1.L∼.dx 2 = 2dx 1.D∼ .dx 2

... et d’autre part•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷dX 1.C∼.dX 2 = dX 1.C∼.dX 2 = 2dX 1.E∼.dX 2

d’ou ...

E∼ =1

2C∼ = F∼

T .D∼ .F∼, D∼ :=1

2(L∼ + L∼

T )

tenseur vitesse de deformation ou taux de deformation

• taux d’allongement relatif :

dx = ‖dx ‖ m , m unitaire λλ =

•︷︸︸︷‖dx ‖‖dx ‖ = m .D∼ .m


Taux de glissement angulaire

Φ

X

xdX 1 dX 2

dx 1dx 2

• angle de glissement : γ = Θ− θ

γ = −θ•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷‖dx 1‖ ‖dx 2‖ cos θ = 2dx 1.D∼ .dx 2

Si θ = π2 a l’instant t donne,

γ = 2m 1.D∼ .m 2

ou m 1 = dx 1/‖dx 1‖, m 2 = dx 2/‖dx 2‖• cas particulier, m 1 = e 1, m 2 = e 2 =⇒ γ = 2D12


Directions orthogonales dans le mouvement

• Consequence 1 : m 1,m 2 2 elements de fibres materiellescoıncidant a l’instant t avec 2 directions principalesorthogonales de D∼ restent orthogonales a l’instant t

• Consequence 2 : Les triedres de directions materielles deux adeux orthogonales et qui le restent a l’instant t sont lestriedres des directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales du tenseur D∼ des taux dedeformation. Lorsque les valeurs propres de D∼ sont distinctes,un tel triedre est unique.


Le tenseur vitesse de rotation

• evolution d’une direction de fibre materielle m = dx /‖dx ‖m = L∼.m − (m .D∼ .m )m

• cas ou m est parallele a une direction principale de D∼

W∼ := L∼ −D∼ =1

2(L∼ − L∼

T )

m = W∼ .m =×W ∧m

tenseur vitesse ou taux de rotation

• Consequence : Le triedre orthonorme des vecteurs unitairesportes par les directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales de D∼ , evolue selon unmouvement de solide rigide dont le taux de rotation a l’instantt vaut W∼ .

• Attention : Le triedre des directions principales de D∼ netournent pas a la vitesse W∼ ... (voir le cas du glissementsimple)


Decomposition du gradient des vitesses

• vitesse de deformation + vitesse de rotation

L∼ = D∼ + W∼

parties symetrique et antisymetrique

• decomposition polaireF∼ = R∼ .U∼

L∼ = F∼.F∼−1 = R∼ .R∼

T + R∼ .U∼ .U∼−1.R∼

T

attention, le dernier terme n’est pas necessairementsymetrique... En general,

W∼ 6= R∼ .R∼T

• vecteur vitesse de rotation ∀y , W∼ .y =×W ∧y

×W 1 = −W23 = 1

2(∂v3∂x2

− ∂v2∂x3

)×W 2 = −W31 = 1

2(∂v1∂x3

− ∂v3∂x1

)×W 3 = −W12 = 1

2(∂v2∂x1

− ∂v1∂x2

)

,×W =

1

2rot v


Mouvement de corps rigide

x = Q∼(t).X + c (t)

v (x , t) = W∼ (t).x + v 0(t) =×W (t) ∧ x + v 0(t)

W∼ = Q∼.Q∼

T v1

v2

v3

=

v01

v02

v03

+

0 −r qr 0 −p−q p 0

x1

x2

x3

=

v01

v02

v03

+

pqr

∧ x1

x2

x3


Le glissement simple

[L∼] =

0 γ 00 0 00 0 0

[D∼ ] =

0

γ

20

γ

20 0

0 0 0

[W∼ ] =

0

γ

20

− γ2

0 0

0 0 0

Remarquer que les directions principales de D∼ ne tournent pas.Pour autant, W∼ n’est pas nul...


Le glissement simple

[W∼ ] =

0

γ

20

− γ2

0 0

0 0 0

, [R∼ ] =

1√

1+(γ/2)2γ

2√

1+(γ/2)20

−γ2√

1+(γ/2)21√

1+(γ/2)20

0 0 1

θW = − γ

2, tan θR = −γ

2, θR = − γ

2

1

1 + γ2/4


Le tourbillon ponctuel



• cinematique

v (r , θ, z , t) =Γ

2πre θ

les lignes de courant sont des cercles de centre O

• gradient des vitesses

L∼ = − Γ

2πr2(e r ⊗ e θ + e θ ⊗ e r )

• la transformation est localement isochore

traceD∼ = div v = 0

• l’ecoulement est irrotationnel

W∼ = 0

• circulation de v autour de O∮

v .e θ rdθ = Γ


Le vorticimetre


Le vorticimetre (1)

• directions unitaires caracterisant le croisillon m 1 et m 2

m 1 = L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1

m 2 = L∼.m 2 − (m 2.D∼ .m 2)m 2

• Evolution de l’angle entre un axe du croisillon et une directionfixe de l’espace a

− sinϕ1 ϕ1 = m 1.a = a .L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1.a

Le choix de a n’importe pas si l’on s’interesse a ϕ seulement.Prenons

ϕ1 = (a = m 2,m 1) = −π2

=⇒ ϕ1 = m 2.L∼.m 1

ϕ2 = (a = m 1,m 2) =π

2=⇒ ϕ2 = −m 1.L∼.m 2


Le vorticimetre (2)

• Lorsque l’assemblage est rigide (m 1.m 2 = 0 a chaqueinstant), sa vitesse de rotation sera la moyenne des vitessesinstantanees precedentes :

ϕ =ϕ1 + ϕ2

2= m 2.W∼ .m 1

= m 2.(×W ∧m 1) =

×W ∧(m 1 ∧m 2) =

×W .e z

• La vitesse de rotation du croisillon rigide est exactementdonnee par le taux de rotation du fluide W∼ . Le vorticimetrepermet de mesurer ce taux de rotation.

• Dans le cas du tourbillon simple, W∼ = 0. Le vorticimetre netourne pas!


Puissance de deformationSoit σ∼(x , t) un champ de contraintes verifiant les equations locales de ladynamique pour les efforts imposes (cas regulier)

• Puissance des efforts appliques sur un domaine materiel D ⊂ Ωt

Pc(v ) + Pe(v ) =

∫∂D

t .v ds +

∫Dρf .v dv

• Puissance du champ d’acceleration

Pa(v ) :=

∫Dρa .v dv

• Puissance des efforts interieurs

P i (v ) := −∫D

σ∼ : D∼ dv , σ∼ : D∼ ∼ MPa.s−1 = Wm−3

• on aPc(v ) + Pe(v ) + P i (v ) = Pa(v )

−∫D

σ∼ : D∼ dv +

∫∂D

t .v ds +

∫Dρf .v dv =

∫Dρa .v dv


Principe des puissances virtuelles

• enonce (cas regulier) : Le champ des contraintes σ∼ etd’acceleration a dans un corps materiel soumis aux effort ρfet t , verifient les equations locales de la dynamique si etseulement si la puissance des efforts interieurs, a distance etde contact equilibre la puissance du champ d’acceleration danstout mouvement virtuel v ? et sur tout sous–domaine D ⊂ Ωt :

P i (v ?) + Pc(v ?) + Pe(v ?) = Pa(v ?)

−∫D

σ∼ : D∼? dv +

∫∂D

t .v ? ds +

∫Dρf .v ? dv =

∫Dρa .v ? dv


Le tenseur des contraintes nominales

Φ

N

n

t TS

• le tenseur des contraintes nominales

t ds = T SdS = S∼.N dS , avec S∼ := Jσ∼ .F∼−T

tenseur des contraintes nominales, dit de Boussinesq.


Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• puissance des efforts interieurs∫D

σ∼ : D∼ dv =

∫D0

Π∼ : E∼ dV

Π∼ = J F∼−1.σ∼ .F∼

−T = F∼−1.S∼

tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• densite massique de puissance des efforts interieurs

σ∼ : D∼ρ

=Π∼ : E∼ρ0

couples de contraintes et deformations conjuguees

• transport convectif du vecteur traction

T dS := F∼−1.t ds = F∼

−1.T S dS = Π∼ .N dS


Retour sur les transports convectifs

espace tangentinitial

espace tangentactuel

F

F

T

F

1

F

T

dx = F∼.dX

ds = JF∼−T .dS

T dS = F∼−1.t ds

T M dS = F∼T .t ds

= C∼ .Π∼ .N dS

tenseur descontraintes deMandel


Transports convectifs

τF−1F (T∼) = F∼−1.T∼ .F∼

τF−1F−T (T∼) = F∼−1.T∼ .F∼

−T

τFT F−T (T∼) = F∼T .T∼ .F∼

−T

τFT F (T∼) = F∼T .T∼ .F∼.

conservation du produit scalaire de deux tenseurs par transport ?

A∼ : B∼ = τF−1F (A∼) : τFT F−T (B∼) = τFT F (A∼) : τF−1F−T (B∼)


Changement de referentiel d’espace


Changements de referentielreferentiel (E ,E ), un autre referentiel (E ′,E ′)

• changement de referentiel euclidien

x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0

commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X ), c (t0) = 0

• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel ?? le gradient de la transformation? les tenseurs de Cauchy–Green? le gradient des vitesses


Changements de referentielreferentiel (E ,E ), un autre referentiel (E ′,E ′)

• changement de referentiel euclidien

x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0

commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X ), c (t0) = 0

• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel ?? le gradient de la transformation dx ′ = Q

∼.dx F∼

′ = Q∼.F∼

? les tenseurs de Cauchy–Green

C∼′ = C∼, B∼

′ = Q∼.B∼ .Q∼

T

? le gradient des vitesses

L∼′ = Q

∼.L∼.Q∼

T+Q∼.Q∼

T , D∼′ = Q

∼.D∼ .Q∼

T , W∼′ = Q

∼.W∼ .Q∼

T+Q∼.Q∼

T


“Derivation” objectivederivee particulaire d’un segment rigide dans un referentiel mobile :

u ′ = Q∼.Q∼

T .u ′

Elle est non nulle!

Soit alors

DJu ′ = u ′ −W∼ .u′

avec le taux de rotation du milieu W∼ = Q∼.Q∼

T

pour T∼ = u ⊗ v , on definit

T∼J = u J ⊗ v + u ⊗ v J

d’ouT∼

J = T∼ + T∼ .W∼ −W∼ .T∼

appelee derivee de Jaumann


Derivees convectives

T∼(1) = F∼(F∼

−1T∼F∼)·F∼−1 = T∼ − L∼T∼ + T∼L∼

T∼(2) = F∼(F∼

−1T∼F∼−T )·F∼

T = T∼ − L∼T∼ − L∼TT∼

T∼(3) = F∼

−T (F∼TT∼F∼

−T )·F∼T = T∼ + L∼

TT∼ − T∼L∼T

T∼(4) = F∼

−T (F∼TT∼F∼)·F∼

−1 = T∼ + L∼TT∼ + T∼L∼.

On remarquera que

T∼J =

1

2(T∼

(1) + T∼(3))

τJF−1F−T (T∼) = JF∼−1T∼F∼

−T

dont la derivee associee est :

T∼(5) =

1

JF∼(τJF−1F−T (T∼))•F∼

T = T∼ − L∼T∼ − T∼L∼T + T∼TrL∼

dite aussi derivee de TruesdellsCinematique et statique du milieu continu 83/146

Derivation dans un referentiel local objectif

repere local objectif : famille dereferentiels Ex ou Ex est le referentiellocal privilegie en x et Q

∼x la rotation

associee. Les referentiels locaux objectifsdoivent etre tels que

Q∼x ′ = Q

∼x Q∼

T

derivee de T∼ dans Ex :

DE,x T∼ = Q∼

Tx

•︷︸︸︷(Q∼x T∼Q

∼Tx )Q

∼x

DET∼ = T∼ + T∼Ω∼ El−Ω∼ El

T∼

ou Ω∼ El= Q

∼

T

x Q∼x

Ex Ex

E

E

Q

Q x

Q x x

x


Referentiels corotationnel et en rotation propre

• Referentiel corotationnel : il existe une famille unique dereferentiels locaux objectifs Ec

x telle qu’en tout point et achaque instant, le taux de rotation par rapport a ce referentielsoit nul ;

∀x ∈ Ω, W∼′ = Q

∼.Q∼

T + Q∼.W∼ .Q∼

T

pour que W∼′ = 0, il faut que −Q

∼Tc.Q∼ c

= Q∼

T

c.Q∼ c

= W∼(Q∼ cx (t) = Q

∼ c(x , t))

la derivee associee est :

DEcT∼ = Q∼

Tc.(Q∼ c.T∼ .Q∼

Tc

)·Q∼ c

= T∼ + T∼ .W∼ −W∼ .T∼

i.e. la derivee de Jaumann!

• Referentiel en rotation propre : decomposition polaire

F∼ = R∼ .U∼ = V∼ .R∼

Q∼ ER

= R∼T

ce referentiel depend de la configuration de reference


Necessite et forme de la loi de comportement

• la reponse actuelle depend a priori de l’histoire complete dedeformation

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0

(Φ(Y , s))

fonctionnelle–memoire F

Formulation des lois de comportement 87/146

Premieres simplifications

• principe du determinisme

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0

(Φ(Y , s))

theorie non locale

• principe de l’action locale

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,n>0

(Φ(X , s),

∂nΦ

∂X n (X , s)

)• milieu materiellement simple : theorie du premier gradient

σ∼(x , t) = F0≤s≤t

(Φ(X , s),F∼(X , s)

)


Cas thermoelastique

• Forme generale de la loi de comportement

σ∼(x , t) = F0≤s≤t

(Φ(X , s),F∼(X , s),T (X , s),G (X , s)

)• Loi de comportement thermoelastique

σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t),T (X , t))

• Loi de comportement elastique

σ∼ = FΩ0(F∼)


Principe d’objectivite des contraintes

Changement de referenriel euclidien pour le tenseur des contraintest ′ = Q

∼.t , df ′ = σ∼

′.ds ′, σ∼′ = Q

∼.σ∼ .Q∼

T

consequence : la densite de puissance virtuelle des efforts interieursest independante du referentiel d’observation

p(i)′ = σ∼′ : D∼

?′ = σ∼′ : (Q

∼.D∼

?.Q∼

T ) = (Q∼

T .σ∼′.Q∼) : D∼

? = p(i)

personne ne conteste ce principe (representation des efforts)...


Principe d’invariance de forme de la loi decomportement

• Prendre comme arguments de la loi de comportement desgrandeurs objectives.Exemple de grandeurs objectives liees a la matiere : F∼,D∼ etc.Contrexemple : W∼Les observateurs voient le meme tenseur...

• Comment se transforme la loi de comportement parchangement de referentiel ?

σ∼ = FΩ0(F∼)

σ∼′ = F ′

Ω0(F∼

′)

=⇒ F ′Ω0

(F∼′) = Q

∼.FΩ0(Q∼

T .F∼′).Q

∼T


Principe d’invariance de forme de la loi decomportement

• Principe d’invariance de forme (dit aussi principed’indifference materielle) :

F ′Ω0

= FΩ0

la matiere est indifferente a qui l’observe...la propriete physique du materiau (ex : sa rigidite) ne dependpas du referentiel d’observation

=⇒ FΩ0(Q∼ .F∼) = Q∼.FΩ0(F∼).Q

∼T

• Pour ceux qui contestent ce principe et privilegient lesreferentiels galileens pour des raisons physiques evidentes :elargir les arguments a des variables objectives immaterielles...


Forme reduite de la loi de comportementLa loi d’elasticite s’ecrit sous la forme reduite

σ∼(X , t) = R∼(X , t).FΩ0(U∼ (X , t)).R∼T (X , t)

ou, de maniere equivalente,

Π∼ = FΠΩ0

(C∼)

Π∼ = FΠΩ0

(E∼)


Changement de configuration de reference

Ω0

Ω0

Ω0

P

Ω0

P

P

Ωt

F

F

F

F

P∼ est une applicationlineaire quelconque(inversible mais non

necessairement orthogo-

nale)

F∼ = F∼.P∼−1


Changement de configuration de referenceX −→ X

• formes de la loi de comportement

σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t))

σ∼(x , t) = FΩ0(F∼(X , t))

FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼.P∼)

• deux configurations de reference sont materiellementindiscernables si

FΩ0 = FΩ0

la loi de comportement doit alors verifier pour un tel P∼

FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼.P∼)

une telle transformation P∼ s’appelle symetrie materielle(abus de langage courant, car ce ne sont pas que dessymetries...)


Le groupe des symetries materielles

• L’ensemble des symetries materielles d’un milieu materiel parrapport a une configuration de reference Ω0 a une structurede groupe

GΩ0 ⊂ U(E )

ou U(E ) ⊂ GL(E ) est le groupe unimodulaire (| detP∼ |= 1)

• Regle de Noll : Si Ω0 et Ω0 sont deux configurations d’unmilieu materiel et si P∼ est le gradient de la transformation de

Ω0 vers Ω0, alors

GΩ0= P∼ .GΩ0 .P∼

−1


Milieux elastiques isotropes

• un milieu materiel est dit isotrope par rapport a laconfiguration Ω0 si

GΩ0 = GO(E )

• la fonction FΠΩ0

est alors dite isotrope

Q∼.FΠ

Ω0(C∼).Q

∼T = FΠ

Ω0(Q∼.C∼ .Q∼

T )


Milieux elastiques isotropes

• un milieu materiel est dit isotrope par rapport a laconfiguration Ω0 si

GΩ0 = GO(E )

• la fonction FΠΩ0

est alors dite isotrope

Q∼.FΠ

Ω0(C∼).Q

∼T = FΠ

Ω0(Q∼.C∼ .Q∼

T )

• theoreme de representation des fonctions isotropes

Π∼ = α01∼ + α1C∼ + α2C∼2

les αi sont des fonctions quelconques des invariants principauxde C∼d’ou, dans la description eulerienne,

σ∼ = β01∼ + β1B∼ + β2B∼2


• cas particulier :GΩ0 = U(E )

• la loi de comportement est donc telle que

FΩ0 = FΩ0, ∀P∼ ∈ U(E )

• decomposition de F∼ en une partie spherique et une partieunimodulaire

F∼ = F∼sph.F∼, F∼ : Ω0 −→ Ω0

on montre alors que FΩ0(F∼) = FΩ0(F∼sph) = FΩ0

(F∼sph)

la loi de comportement est donc de la forme σ∼ = f (J1∼)

• principe d’indifference materielle

σ∼′ = f (F∼

sph′) = f (J1∼) = σ∼

σ∼ = Q∼.σ∼ .Q∼

T , ∀Q∼∈ GO(E )

σ∼ ne peut etre qu’une homothetie...


Fluides elastiques

• cas particulier :GΩ0 = U(E )

• la loi de comportement est donc telle que

FΩ0 = FΩ0, ∀P∼ ∈ U(E )

• la loi de comportement est de la forme

σ∼ = −p(ρ)1∼

ou sa representation lagrangienne

Π∼ = JF∼−1.σ∼ .F∼

−T = −pJC∼−1

c’est un fluide elastique!


Une definition (mecanique) des fluides et des solides

• Un corps materiel est un fluide si, pour une configuration Ω0,le groupe des symetries materielles coıncide avec le groupeunimodulaire :

GΩ0 = U(E )

Le groupe des symetries materielles est alors le meme quelleque soit la configuration de reference.Un fluide ne possede pas de configuration de referenceprivilegiee.Un fluide est isotrope par rapport a toutes ses configurations.

• Un corps materiel est un solide s’il existe une configurationΩ0 par rapport a laquelle le groupe des symetries materiellesest un sous–groupe du groupe orthogonal :

GΩ0 ⊂ GO(E )

Une telle configuration est dite sans distorsion. C’est uneconfiguration privilegiee pour l’ecriture de la loi decomportement du solide.


Classification des corps materielson classe les corps materiels (non necessairement elastiques) en fonction

de leur groupe de symetrie

GLE




GLE

UE (fluides)




GLE

UE (fluides)

GOE

(solidesisotropes)


Classification des corps materielsGL

E

UE (fluides)

GOE

(solidesisotropes)

CristalE

(solides anisotropes)

(solides tricliniques)



E

UE (fluides)

(impossible)

GOE

(solidesisotropes)

CristalE

(solides anisotropes)




E

UE (fluides)

(impossible)

GOE

(solidesisotropes)

CristalE

(solides anisotropes)(cristaux liquides)



Milieux materiels visqueux

• on a generalise le comportement du “ressort” a un milieumateriel tridimensionnel

∆lF

F = kδl σ∼ = R∼ .FΩ0(C∼).R∼T

• comment generaliser le comportement d’un “amortisseur” aun milieu materiel tridimensionnel ?

∆lF

F = ηl σ∼ = FΩ0(ρ,D∼ )



• changement de configuration de reference

L∼ = F∼.F∼−1 =

•︷︸︸︷F∼.P∼ .(F∼.P∼)−1 = L∼

ce sont des fluides !



• changement de configuration de reference

L∼ = F∼.F∼−1 =

•︷︸︸︷F∼.P∼ .(F∼.P∼)−1 = L∼

ce sont des fluides visqueux, dits de Reiner–Rivlin (1945)

• changement de referentiel

Q∼.FΩ0(D∼ ).Q

∼T = FΩ0(Q∼ .D∼ .Q∼

T )

FΩ0 est une fonction isotrope de son argument

σ∼ = α01∼ + α1D∼ + α2D∼2

les αi sont des fonctions de ρ et des invariants de D∼il est remarquable que les principes fondamentaux conduisentdans ce cas a une forme si precise de la loi de comportement!Remarquer toutefois que l’on s’est restreint d’emblee au casde fluides en choisissant σ∼ = FΩ0(D∼ )...


Quelques lois de comportement illicites

Pourquoi les lois suivantes sont–elles inacceptables ?

σ∼ = ηx ⊗ x

σ∼ = ηv ⊗ v

B∼ = ηtnσ∼

σ∼ = ηD∼


Thermodynamique

• energieρe = σ∼ : D∼ + ρr − div q

ρ0e = Π∼ : E∼ + ρ0r − div Q

• entropie, inegalite de Clausius-Duhem

−ρ(e − T s)−q

T.gradT + σ∼ : D∼ ≥ 0

−ρ(Ψ + sT ) + σ∼ : D∼ −q

T.gradT ≥ 0

−ρ0(e − T s) + Π∼ : E∼ −Q

T.gradT >= 0

• dissipation

Dth = −q

T.gradT

D i = −ρ(Ψ + sT ) + σ∼ : D∼


Dissipation

• fonctions d’etat : energie interne e0(E∼, s0)energie libre de Helmholtz ψ(E∼,T ) = e0 − Ts0

• inegalite de Clausius–Duhem (dissipation volumique D)

D = Π∼ : E∼ − ρ0(ψ0 + T s0)−Q .Grad T

T≥ 0

• corps elastiques Π∼ = FΠΩ0

(E∼,T ), ψ0(E∼,T )

ψ0 =∂ψ0

∂E∼: E∼ +

∂ψ0

∂TT

D = (Π∼ − ρ0∂ψ0

∂E∼) : E∼ − ρ0(

∂ψ0

∂T+ s0)T −Q .

Grad T

T≥ 0


Lois d’etat des corps thermoelastiques

• relations d’hyperelasticite

Π∼ = ρ0∂ψ0

∂E∼, s0 = −∂ψ0

∂T

ψ0 s’appelle le potentiel d’elasticite (dissipation intrinsequenulle) remarque : ∂ψ0

∂Grad T = 0

• dissipation residuelle thermique

D = −Q .Grad T

T= −ρ0

ρq .gradT ≥ 0

loi de Fourier (loi de comportement thermique)

Q = −K∼ (E∼,T ).Grad T

il n’y a pas de potentiel thermique (dissipation totale)

• on peut utiliser d’autres mesures de deformation. En eulerien

σ∼ = 2ρ∂Ψ

∂B∼.B∼

(implique isotropie...)Formulation des lois de comportement 117/146

Hyperelasticite isotrope

• theoreme de representation pour les fonctions isotropes devariables tensorielles d’ordre 2

ψ0(E∼,T ) ≡ ψ0(I1, I2, I3,T )

les invariants principaux de E∼ sont

I1(E∼) := traceE∼, I2(E∼) :=1

2traceE∼

2, I3(E∼) :=1

3traceE∼

3

• lois de comportement hyperelastique

Π∼ = ρ0∂ψ0

∂I1

∂I1∂E∼

+ ρ0∂ψ0

∂I2

∂I2∂E∼

+ ρ0∂ψ0

∂I3

∂I3∂E∼

Π∼ = ρ0∂ψ0

∂I11∼ + ρ0

∂ψ0

∂I2E∼ + ρ0

∂ψ0

∂I3E∼

2

a rapprocher de la loi des corps elastiques isotropes dejaetablie

Π∼ = α01∼ + α1E∼ + α2E∼2


Exemple de loi elastique non hyperelastique

La loi suivante n’est pas hyperelastique

Π∼ =α

2(traceE∼

2) 1∼,∂α0

∂I2= 2 6= ∂α1

∂I1= 0

Pour le voir, on considere par exemple deux trajets, avecλ : 0 −→ 1 :

[E∼1(λ)] =

λ 0 00 λ 00 0 0

, [E∼2(λ)] =

λ 0 00 λ2 00 0 0

,W1 =

∫ tB

tA

2αλλ dt =2

3α, W2 =

∫ tB

tA

α

2(λ2+λ4)(1+2λ)λ dt =

41

60α

Le travail depend donc du trajet de deformation...


Hypoelasticite

5σ∼ = f (D∼ )

ou σ∼ est une derivee objective.Ce type de lois souffre des memes maux que les lois elastiques...


Plasticite anisotrope en transformations finiesexistence d’un triedre directeur

F p~

F~

e

F~

F∼ = F∼e .F∼

p

configuration intermediaire relachee isocline (locale, inaccessible(ecrouissage cinematique, viscoplasticite))archetype : le monocristal [Mandel 1973]plastic spin ? : il doit faire partie de la LDC

Elastoviscoplasticite en transformations finies 123/146

Materiaux standards generalises (1)

• deformation elastique et tenseur de contraintes sur laconfiguration intermediaire :

E∼e =

1

2(F∼

e .F∼eT − 1∼), Π∼

e =ρi

ρF∼

e−1.σ∼ .F∼e−T

energie libre Ψ(E∼e ,T ,α∼)

• puissance des efforts interieurs

1

ρσ∼ : (F∼.F∼

−1) =1

ρi(Π∼

e : E∼e+ (F∼

et .F∼e .Π∼

e) : (F∼p.F∼

p−1))

• l’inegalite de Clausius-Duhem s’ecrit alors :

ρ(Π∼

e

ρi− ∂Ψ

∂E∼e ) : E∼

e−ρ(s+∂Ψ

∂T)T−ρ∂Ψ

∂α∼: α∼+M∼ : F∼

p.F∼

p−1 ≥ 0

lois d’etat :

Π∼e

ρi=

∂Ψ

∂E∼e , X∼ = ρ

∂Ψ

∂α∼, s = −∂Ψ

∂T


Materiaux standards generalises (2)

• dissipation residuelle : D = M∼ : F∼p.F∼

p−1 − X∼ : α∼tenseur de Mandel :

M∼ := F∼eT .F∼

e .Π∼

e

ρi

• potentiel de dissipation Ω(M∼ ,X∼)

F∼p.F∼

p−1 =∂Ω

∂M∼, α∼ =

∂Ω

∂X∼


Approche en referentiel local objectif

On considere une loi de la forme :

σ∼∗ = f (D∼

∗)

ou σ∼∗ = Q

∼∗.σ∼ .Q∼

∗T et D∼∗ = Q

∼∗.D∼ .Q∼

∗T sont les contraintes ettaux de deformations lues dans un referentiel local objectif.

Exemple : referentiel corotationnel, cas isotrope

σ∼c = λ(TrD∼

c)1∼ + 2µD∼c

et revenons dans le referentiel d’observation, on trouve:

Q∼

cT .σ∼c .Q

∼c = σ∼

J = λ(TrD∼ )1∼ + 2µD∼

ou l’on reconnaıt la derivee de Jaumann.

avantage : f quelconque... inconvenient : hypoelastique...


Lois de comportement elastoviscoplastiques enreferentiel local objectif

ε∼ = ε∼e + ε∼

p

ε∼p = f (σ∼ ,α∼)

σ∼ = C∼∼: ε∼

e

α∼ = h(α, ε∼p)

=⇒e∼ = Q

∼T .D∼ .Q∼ ,

s∼ = Q∼

T .ρ0ρ σ∼ .Q∼

=⇒

e∼ = e∼e + e∼

p

e∼p = f (s∼,α∼)

s∼ = C∼∼: e∼

e

α∼ = h(α∼ , e∼p)

• referentiel corotationnel : Q∼

tel que Q∼

T.Q∼

= W∼• referentiel en rotation propre : Q

∼= R∼

• quelques precautions : base experimentale, identification,complements de lois d’ecrouissage...


Cinematique du glissement simple2

1

2

1

γ

θθ

ο

οC C

F∼ = 1∼ + γe 1 ⊗ e 2

rotation des fibres materielles :

tan θ = tan θ0 + γ, θ =γ

1 + (tan θ0 + γ)2

< θL >=γ

π

π/2∫−π/2

1

1 + (tan θ0 + γ)2dθ0 =

γ

2(1 + γ2

4 )

< θe >=γ

π

π/2∫−π/2

1

1 + tan2θdθ =

γ

2

le referentiel corotationnel tourne sans arret! la rotation propre sature...Elastoviscoplasticite en transformations finies 130/146

Glissement simple en elasticite

• formulation lagrangienne

Π∼ = 2µ E∼ + λTrE∼ 1∼

Π∼ et E∼ sont respectivement le second tenseur dePiola-Kirchhoff et le tenseur de Green-Lagrange

• formulation eulerienne

σ∼ = 2µ log V∼ + λ Tr (log V∼) 1∼

V∼ intervient dans la decomposition polaire F∼ = V∼R∼• formulations en referentiel local objectif

s∼ = 2µ e∼ + λTr e∼ 1∼

Q∼

= Q∼ c

(corotationnel)

Q∼

= R∼ (rotation propre)


Glissement simple en elasticite

!"

#$%&'($

()$$$$

($$$$$

#*)$$$$

#$$$$$

)$$$$

$

+ )$$$$

+ #$$$$$


Glissement simple en plasticite

cas rigide plastique en referentiel corotationnel :

• critere f (s∼,R,X∼) = J2(s∼− X∼)− R

p =

√2

3D∼ : D∼ J2(s∼− X∼) =

√3

2(s∼

dev − X∼) : (s∼dev − X∼)

• regle d’ecoulement e∼ = p∂f

∂s∼• lois d’evolution

X∼ =2

3C e∼

p − D p X∼

• solution :8>><>>:σ11 = −σ22 =

C

D2 + 3(1− exp(−

D√

3γ)(cos γ +

D√

3sin γ))

σ12 =C

3exp(−

D√

3γ) sin γ +

DC√

3(D2 + 3)(1− exp(−

D√

3γ)(cos γ +

D√

3sin γ)) +

R√

3



05

1015

20γ 0.2

0.40.6

0.81

1.21.4

D

-300-200-100

0100200300400

ecrouissage cinematique



! ! "

ecrouissage isotrope


Theorie continue de la plasticite cristalline

decomposition multiplica-tive [Mandel, 1973]

F∼ = F∼e .F∼

p,

F∼p.F∼

p−1 =n∑

s=1

γsP∼s

P∼s = m s ⊗ n s

F p~

F~

e

F~

Loi de Schmid

τ s = P∼s : σ∼

s

γs =<| τ s | −r s

k>n signτ s

Loi d’ecrouissage r s = r0 + qn∑

r=1

hsr (1− exp(−b1vr ))


Le monocristal en glissement simple

e 1 = [100]/e 2 = [001]


Mecanique des milieux continus generalises

Principe de l’action locale: seule compte l’histoire d’un voisinagearbitrairement petit de la particule X

[Truesdell, Toupin, 1960] [Truesdell, Noll, 1965]

Milieu

Continu

action

locale

action

non localetheorie non locale: formulation integrale [Eringen, 1972]

milieumateriellementsimple: F

milieu nonmateriellementsimple

milieu de Cauchy (1823)(classique / Boltzmann)

milieud’ordre n

milieude degre n

Cosserat (1909)u R

micromorphe[Eringen, Mindlin 1964]u χ

second gradient[Mindlin, 1965]F F ∇

gradient de variableinterne [Maugin, 1990]u α

Milieux continus generalises en transformations finies 140/146

Le milieu de Cosserat en transformationsinfinitesimales

cinematique D.O.F. u ,Φ

µ

µ

+=

µ

σ

σ

σσ

σ11 31

11

31

21

12

3222

L

1

2

elasticite isotrope

σ∼ = λ 1∼ Tr e∼e + 2µ e∼

e + 2µce∼

e

µ∼

= α 1∼ Trκ∼e + 2β κ∼

e + 2γ κ∼e

deformation de Cosse-rat

eij = ui,j + εijkΦk

tenseur de courbure

κij = Φi,j

statiqueforces–contraintes

σij,j + fi = 0

couples de contraintes

µij,j − εijkσjk + ci = 0


Le milieu de Cosserat en transformations finies

• D.O.F. et gradientsd i = R∼ .d

0i

F∼ = 1∼ + u ⊗∇

Γ∼ =1

2ε∼ : (R∼ (R∼

T ⊗∇ ))

• hyperelasticite σ∼ = ρ R∼ .

∂ψ

∂]F∼.F∼

T

µ∼

= ρ R∼ .∂ψ

∂]Γ∼.F∼

T

• elastoplasticite]F∼ = ]F∼

e ]F∼p

]Γ∼ = ]Γ∼e + ]Γ∼

p

]Γ∼ = ]Γ∼e ]F∼

p + ]Γ∼p


Conclusions et recommandationsapplications : mise en forme, rupture...

• pas d’etat d’ame sur les mesures de deformation...

• pas de religion des derivees objectives...

• concentrer l’effort sur l’interpretation des resultatsexperimentaux!

• concentrer l’effort sur l’anisotropie et l’evolution del’anisotropie

• par souci d’efficacite, on peut adopter les formulations enreferentiel local objectif

• concernant les LDC :? generaliser les lois HPP? ne pas extrapoler, reidentifier (eventuellement sur structure),

completer les LDC? utiliser les informations donnees par les textures, ce qui evite

de developper des modeles purement phenomenologiques tropcomplexes

Conclusions et recommandations 146/146

transformations finies

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