transformée hyperbolique en ondelettes pour la...
TRANSCRIPT
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee hyperbolique en ondelettes pour lacaracterisation d’images autosimilaires anisotropes
Roux, S.G.1; Clausel, M.2; Vedel, B. 3; Jaffard, S. 4; Abry, P.1
1 Laboratoire de Physique, CNRS, UMR 5672, Ecole Normale Superieure de Lyon.
2 Laboratoire Jean Kuntzmann, Universite de Grenoble, UMR 5224 Grenoble.
3 LMAM, Universite de Bretagne Sud, Universite Europeenne de Bretagne,Campus de Tohannic, Vannes.
4 Departement de Mathematiques, Unversite Paris XII, CNRS, UMR 8050, Creteil.08/05/11 16:49UMR CNRS 8050 - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Page 1 sur 2http://cms-math.univ-mlv.fr/archive.umr8050/index.html
Accueil
Actualité
ÉvénementsPost-DoctorantsInvitésSéminairesCongrès
Généralités
HistoriqueOrganigrammeMembresPlans d'accès / How to comePlans des Bureaux
Recherche
ThèmesThèsesContrats / CoopérationPrix et Distinctions
Enseignement
Formation doctoraleUFR de Marne-la-ValléeUFR de Paris XII
Ressources locales
WebmailDocumentationAppels d'offreBibliothèque de Marne-la-Vallée
Le "Septuaginta Duarum Basium Vacuum"et le "Septuaginta Duarum Basium
Solidum" reproduits ici sont deux dessinsde ...
Adresse postale
Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques AppliquéesUniversité Paris-Est - Marne-la-Vallée5, boulevard DescartesCité Descartes - Champs-sur-Marne77454 Marne-la-Vallée cedex 2
Direction
Directeur François BOUCHUT
Téléphone +33 (0)1 60 95 76 85
Fax +33 (0)1 60 95 75 45
Directeur adjoint Raphaël DANCHIN
Téléphone +33 (0)1 45 17 65 93
Le Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées est une Unité Mixtede Recherche CNRS (UMR 8050) et se situe sur deux sites géographiquesdistincts:
Noisy-Champs (Marne-la-Vallée)
Créteil (Paris-XII)
Journee ANR Mataim Paris, 3 juillet 2012Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Outline
Anisotropie et autosimilarite.
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropes.
Transformee Hyperbolique en Ondelettes.
Estimation : procedure, performance ....
Bootstrap et test statistique d’isotropie.
Conclusions et perspectives.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Anisotropie et autosimilarite
Image anisotrope : caracteristiques dependantes de la direction.
x = (x1, x2) ∈ R2
Autosimilarite classique : {X (ax)} L= {aH0X (x)}.H0 indice d’autosimilarite
(Mouvement Brownien Fractionnaire)
Autosimilarite matricielle : {X (aE0x)} L= {aH0X (x)}.E0 matrice d’anisotropie,
(Schertzer et Lovejoy, 1985)
Tr(E0) = m ⇒ unicite de H0.E0=Id : champ isotrope, autosimilarite classique.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Champs aleatoires gaussiensautosimilaires
etanisotropes
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
OSRGF : definition
Champs 2D : x = (x1, x2) ∈ R2 et ξ = (ξ1, ξ2) ∈ R2
Xf ,E0,H0(x) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)−(H0+1)dW (ξ) ,
• f fonction positive, continue telle que
f (aE0ξ) = af (ξ) ξ ∈ R2, Tr(E0) = 2.∫(1 ∧ |ξ|2)f (ξ)dξ < +∞
• W mesure de Wiener 2D.
(Bonami et Estrade, 2003)
(Bierme, Meerschaert et Scheffler, 2009)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
OSRGF : definition
Xθ0,α0,H0(x) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1)fθ0,α0(ξ)−(H0+1)dW (ξ) ,
• fθ0,α0(ξ) = (|ζ1|1/α0 + |ζ2|1/(2−α0)),
ζ = (ζ1, ζ2) = Rθ0ξ, Rθ0 =
(cos(θ0) − sin(θ0)sin(θ0) cos(θ0)
).
• E0 =
(α0 00 2− α0
), 0 < α0 < 2.
• 0 < H0 < min(α0, 2− α0).
⇒ autosimilarite : {Xθ0,α0,H0(aE0x)} L= {aH0Xθ0,α0,H0(x)}, ∀a > 0.
(Clausel et Vedel, 2010)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
OSRGF : synthese
Xθ0,α0,H0(x) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1) fθ0,α0(ξ)−(H0+1) dW (ξ) ,
θ0 = 0, α0 = 0.7, H0 = 0.6.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
OSRGF : synthese
Xθ0,α0,H0(x) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1) fθ0,α0(ξ)−(H0+1) dW (ξ) ,
θ0 = π/3, α0 = 0.7, H0 = 0.6.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
OSRGF : synthese(θ0 = 0, α = 1, H = 0.2) (θ0 = 0, α = 0.7,H = 0.2) (θ0 = 0, α = 0.3, H = 0.2)
(θ0 = π/6, α = 0.7, H = 0.2) (θ0 = π/4, α = 0.7, H = 0.2) (θ0 = π/3, α = 0.7, H = 0.2)
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique enOndelettes
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee en ondelettes Dyadique 2D
TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).
TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).
(H,L) (H,H)
(L,L) (L,H)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel carre de taille (2j , 2j).
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee en ondelettes Dyadique 2D
TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).
(H,L) (H,H)
(L,L) (L,H)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel carre de taille (2j , 2j).
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee en ondelettes Dyadique 2D
TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).
(H,L) (H,H)
(L,L) (L,H)
0 12
12
ξ2
ξ1
(H,L) (H,H)
(L,H)
0 12
12
(LH,LH)
(LL,LL) (LL,LH)
(LH,LL)
ξ2
ξ1
Support frequentiel carre de taille (2j , 2j).
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee en ondelettes Dyadique 2D
TOD 1D : ϕ fonction d’echelle (filtre L) , ψ ondelette mere (filtre H).TOD 2D : 1 fonction d’echelle, 3 ondelettes (4 filtres LL, HL, LH, HH).Base de L2(R) :
ψ(1)j ,k1,k2
(x1, x2) = 2jψ(2jx1 − k1)ψ(2jx2 − k2),
ψ(2)j ,k1,k2
(x1, x2) = 2jϕ(2jx1 − k1)ψ(2jx2 − k2),
ψ(3)j ,k1,k2
(x1, x2) = 2jψ(2jx1 − k1)ϕ(2jx2 − k2),
ϕk1,k2(x1, x2) = ϕ(x1 − k1)ϕ(x2 − k2),
∀(x1, x2) ∈ R2, ∀(k1, k2) ∈ Z2 et ∀j ∈ N.
Support frequentiel carre de taille (2j , 2j).
Coefficient en ondelettes : d(i)j ,k1,k2
=< ., ψ(i)j ,k1,k2
> pour i = 1, 2, 3.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique en ondelettes
1 etape THO = 1 etape TOD
+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);
(H,L) (H,H)
(L,L) (L,H)
0 12
12
ξ2
ξ1
(H,H)
(L,L)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).
(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique en ondelettes
1 etape THO = 1 etape TOD+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);
(H,L) (H,H)
(L,L) (L,H)
0 12
12
ξ2
ξ1
(H,H)
(L,L)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique en ondelettes
1 etape THO = 1 etape TOD+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);
(H,H)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
0 12
12
ξ2
ξ1
(LH,LH)
(LL,LL) (LL,LH)
(LH,LL)
(H,H)
(L,L)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique en ondelettes
1 etape THO = 1 etape TOD+TOD 1D des colonnes de (L,H);+TOD 1D des lignes de (H,L);
(H,H)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
0 12
12
ξ2
ξ1
(LH,LH)
(LL,LL) (LL,LH)
(LH,LL)
(H,H)
(LH,LH)
(LL,LL)
0 12
12
ξ2
ξ1
Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Transformee Hyperbolique en ondelettes
Base de L2(R) :
ψj1,j2,k1,k2(x1, x2) = 2(j1+j2) ψ(2j1x1 − k1)ψ(2j2x2 − k2),
ψ0,j2,k1,k2(x1, x2) = 2j2 ϕ(x1 − k1)ψ(2j2x2 − k2),
ψj1,0,k1,k2(x1, x2) = 2j1 ψ(2j1x1 − k1)ϕ(x2 − k2),
ψ0,0,k1,k2(x1, x2) = ϕ(x1 − k1)ϕ(x2 − k2),
∀(x1, x2) ∈ R2, ∀(k1, k2) ∈ Z2 et ∀(j1, j2) ∈ N2.
Support frequentiel de taille (2j1 , 2j2).Coefficient en ondelettes : dj1,j2,k1,k2 =< ., ψj1,j2,k1,k2 >, j1, j2 ≥ 0.
(DeVore, Konyagin et Temlyakov, 1998)
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
Estimation
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
Invariance d’echelle
Coefficient en ondelettes : dj1,j2,k1,k2 =< ., ψj1,j2,k1,k2 >.Fonctions de structure :
S(q, j1, j2) =1
Nj1,j2
∑(k1,k2)∈Z2
|dj1,j2,k1,k2 |q ∼ 2τ(q,j1,j2),
Nj1,j2 nombre de coefficients aux echelles (j1, j2),q ∈ R, q > −2.
On montre :
S(q, αj , (2− α)j) ≈ 2j qα
(1−(H+1) max( α
α0, 2−α
2−α0)).
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
Estimation : theorie
Soit l’anisotropie α :
τ(q, α) = lim infj→∞
−α log2(S(q, [αj ], [(2− α)j ]))
j,
([jα] partie entiere de jα)Estimateurs : {
αq = argmaxατ(q, α);
Hq = τ(q, αq)/q.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image
log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1
j21 3 5 7
1
3
5
7
α = 1.5;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Interpolation
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
1 3 5 7
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1.5;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Interpolation
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
1 3 5 7
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1.5;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Interpolation
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
1 3 5 7
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1.5;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Regression
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
H(α)
1 3 5 7
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Regression
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
H(α)
1 3 5 7
−1
0
1
2
3
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1.5;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Interpolation
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
1 3 5 7
−4.5
−4
−3.5
−3
−2.5
−2
α
H
.0 1 2
−0.5
0
0.5
1
• Regression nonponderee
• toutes les echellessont utilisees.
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
α
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1;
αj1 +1 = (2− α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Regression
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
H
1 3 5 7
−2
−1
0
1
2
3
α
H
.α
H
0 1 2
−0.5
0
0.5
1
αq = argmaxατ(q, α);
H = τ(q, αq)/q;
θ0 = 0 : procedure d’estimation
Image log2(S(q = 2, j1, j2))
j 1j2
α
α0
1 3 5 7
1
3
5
7
α = 1;
αj1 +1 = (2−α)j2 +1;
γ =2− αα
;
Regression
j
αlog2(S
(q,α
j,[(2−
α)j]))
H H0
1 3 5 7
−2
−1
0
1
2
3
α
H
.α
H
α0
H0
0 1 2
−0.5
0
0.5
1
αq = argmaxατ(q, α);
H = τ(q, αq)/q;
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 = 0 : performances d’estimation
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 de taille (210 × 210):
moyenne et ecart type des estimes (H et α)
H = 0.2 H = 0.7
Hα
α
H
α
α
0.7 0.8 0.9 10.2 0.4 0.6 0.8 10.6
0.7
0.8
0.7
0.8
0.9
1
0.2
0.4
0.6
0.8
10.1
0.2
0.3
0.4
Estimation de H se degrade quand l’anisotropie augmente;Bonne estimation de α quelque soit la rugosite.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 = 0 : performances d’estimation
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 de taille (N × N) :Eα
−α0
log2(N)
8 9 10 11 12 13−0.1
0
0.1
log2(N)
EH−
H0
8 9 10 11 12 13−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
log 2(σ
α)
log2(N)
8 9 10 11 12 13−8
−6
−4
−2
log 2(σ
H)
log2(N)
8 9 10 11 12 13
−8
−6
−4
α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.6H0 = 0.3 (◦), H0 = 0.5 (?), H0 = 0.7 (.).
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : procedure d’estimation
Appliquer :
1) Rotation : Iθ = RθI ;
2) Estimation de H et α sur Iθ ⇒ (Hθ, αθ) ;
Remarquer :
i) α(θ) fonction π-periodique;
ii) α(θ0 + θ) = α(θ0 − θ);
iii) θ = θ0, α ' α;
iv) θ = θ0 + π/2, α ' 2− α;
v) θ = θ0 + π/4, α ' 1.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
α
(α0 = 0.7, H0 = 0.6)
H
θ
(α0 = 0.3, H0 = 0.2)
θ
(α0 = 0.7, H0 = 0.2)
θ
0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.70.2
0.6
1
1.4
1.8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.9
1.1
1.3
θ0 = π/3
θ0 = 0
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
α
(α0 = 1, H0 = 0.6)
H
θ
(α0 = 1, H0 = 0.2)
θ
(α0 = 1, H0 = 0.2)
θ
0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.70.2
0.6
1
1.4
1.8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.9
1.1
1.3
θ0 = π/3
α0 = 1
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
α
(α0 = 0.7, H0 = 0.6)
H
θ
(α0 = 0.3, H0 = 0.2)
θ
(α0 = 0.7, H0 = 0.2)
θ
0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π0 π
4
π
23π
4
π
0.2
0.3
0.4
0.5
0.7
0.9
1.1
1.3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.70.2
0.6
1
1.4
1.8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.9
1.1
1.3
θ0 = π/3
α0 = 1
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0
〈α〉 − α0 〈H〉 − H0 % rej.
(std,MSE)
(std,MSE) (std,MSE)
(π/3, 0.7, 0.6)0.01
0.00 -0.10100
(0.03,0.00)
(0.04,0.00) (0.02,0.01)
(π/3, 0.7, 0.2)0.01
0.01 -0.05100
(0.03,0.00)
(0.04,0.00) (0.02,0.00)
(π/3, 0.3, 0.2)-0.01
0.01 -0.09100
(0.02,0.00)
(0.05,0.00) (0.09,0.02)
(0, 1, 0.6)0.07
0.00 -0.01
(0.31,0.01)
(0.08,0.01) (0.03,0.00)8
(0, 1, 0.2)0.08
-0.01 -0.01
(0.25,0.01)
(0.08,0.01) (0.03,0.00)11
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0
〈H〉 − H0 % rej.
(std,MSE) (std,MSE)
(std,MSE)
(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00
-0.10100
(0.03,0.00) (0.04,0.00)
(0.02,0.01)
(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01
-0.05100
(0.03,0.00) (0.04,0.00)
(0.02,0.00)
(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01
-0.09100
(0.02,0.00) (0.05,0.00)
(0.09,0.02)
(0, 1, 0.6)0.07 0.00
-0.01
(0.31,0.01) (0.08,0.01)
(0.03,0.00)8
(0, 1, 0.2)0.08 -0.01
-0.01
(0.25,0.01) (0.08,0.01)
(0.03,0.00)11
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
For θ0 = 0For θ0 6= 0 inconnu
θ0 6= 0 : performance d’estimation
100 realisations de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0 〈H〉 − H0
% rej.
(std,MSE) (std,MSE) (std,MSE)
(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00 -0.10
100
(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.01)
(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01 -0.05
100
(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.00)
(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01 -0.09
100
(0.02,0.00) (0.05,0.00) (0.09,0.02)
(0, 1, 0.6)0.07 0.00 -0.01
(0.31,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)
8
(0, 1, 0.2)0.08 -0.01 -0.01
(0.25,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)
11
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrapet
test d’isotropie
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2
Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
(H,H)
(LH,H)
(LLH,H)
(H,LH)
(LH,LH)
(LL,LL)
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);
- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);
- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);
- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);
- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2 Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
.
.
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : procedure
THO coefficients dj1,j2,k1,k2
Bootstrap d∗j1,j2,k1,k2
For r=1, · · · , R :
S∗(r)(q, j1, j2) = 1Nj1,j2
∑ |d∗(r)j1,j2,k1,k2
|q,
S∗(r)(q, j1, j2) ∼ 2τ∗(r)(q,α),{
α∗(r)q = argmaxατ
∗(r)(q, α),
H∗(r)q = τ∗(r)(q, ˆα∗(r)
q)/q.
=⇒{σ∗α = stdr{α∗(r)
q }σ∗H
= stdr{H∗(r)q }
.
.
- Block de coef. dj1,j2,k1,k2 de taille (2nψ × 2nψ);- Independamment pour chaque echelle (j1, j2);
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : resultats
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 : R = 100 bootstraps ⇒ (α, H, σ∗α, σ∗H
)
P(α), P(α∗)
P(H)
P(α
)
α
P(α
)
0.5 0.8 1 1.2 1.5
0
50
100
0
50
100
α = 1, α = 0.8, α = 0.3.
α0 = 0.75;
α0 = 1;
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : resultats
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 : R = 100 bootstraps ⇒ (α, H, σ∗α, σ∗H
)
P(α), P(α∗)
P(H)
P(α
)
α
P(α
)
0.5 0.8 1 1.2 1.5
0
50
100
0
50
100
α = 1, α = 0.8, α = 0.3.
σMC(α), σBS(α) =< σ∗α >
EσBS(α
)/σMC(α
)
H0
.
0.3 0.5 0.7
0.5
1
1.5
α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.3.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : resultats
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 : R = 100 bootstraps ⇒ (α, H, σ∗α, σ∗H
)
P(H), P(H∗)
P(H
)
H
P(H
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
0
50
100
α =1, α = 0.8, α = 0.3.
H0 = 0.7;
H0 = 0.3;
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Bootstrap : resultats
100 realisations de Xθ0=0,α0,H0 : R = 100 bootstraps ⇒ (α, H, σ∗α, σ∗H
)
P(H), P(H∗)
P(H
)
H
P(H
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
0
50
100
α =1, α = 0.8, α = 0.3.
σMC(H), σBS(H) =< σ∗H>
PSfrag
EσBS(H
)/σMC(H
)
H0
.
0.3 0.5 0.70.5
1
1.5
2
α0 = 1, α0 = 0.8, α0 = 0.3.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Test d’isotropie
H0 : α0 − 1 = 0 (isotrope) et l’alternative : α0 − 1 6= 0.
100 real. (210 × 210), R = 100.
Soit t = α− 1,
et {t∗(r) = α∗(r) − α}Rr=1 ⇒ σ∗t.
Hypothese : t gaussien et σt = σ∗t
δ quantile ⇒ intervalle de confiance :T1−δ =
[−tδ/2σ
∗t, tδ/2σ
∗t
].
t ∈ T1−δ, H0 acceptee;
t /∈ T1−δ, H0 refusee.
δ = 0.1
t
−t∗(δ/2) t∗(δ/2)
RejectionRegions
AcceptanceRegion
P(t)
t.
−4 −2 0 2 40
5
10
15
20
25
30
H0 = 0.3, H0 = 0.5, H0 = 0.7
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Test d’isotropie
H0 : α0 − 1 = 0 (isotrope) et l’alternative : α0 − 1 6= 0.
100 real. (210 × 210), R = 100.Soit t = α− 1,
et {t∗(r) = α∗(r) − α}Rr=1 ⇒ σ∗t.
Hypothese : t gaussien et σt = σ∗t
δ quantile ⇒ intervalle de confiance :T1−δ =
[−tδ/2σ
∗t, tδ/2σ
∗t
].
t ∈ T1−δ, H0 acceptee;
t /∈ T1−δ, H0 refusee.
δ = 0.1
Pow
erof
test
β
α
.
.
0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
H0 = 0.3, H0 = 0.5, H0 = 0.7
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Bootstrap procedureBootstrap resultatsTest d’isotropie
Test d’isotropieQuantile δ = 0.1 (10%) :
100 realisations (R = 100) de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
(θ0, α0,H0)〈θ〉 − θ0 〈α〉 − α0 〈H〉 − H0 % rej.
(std,MSE) (std,MSE) (std,MSE)
(π/3, 0.7, 0.6)0.01 0.00 -0.10
100(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.01)
(π/3, 0.7, 0.2)0.01 0.01 -0.05
100(0.03,0.00) (0.04,0.00) (0.02,0.00)
(π/3, 0.3, 0.2)-0.01 0.01 -0.09
100(0.02,0.00) (0.05,0.00) (0.09,0.02)
(0, 1, 0.6)0.07 0.00 -0.01
(0.31,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)8
(0, 1, 0.2)0.08 -0.01 -0.01
(0.25,0.01) (0.08,0.01) (0.03,0.00)11
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Another OSGRF
X(a,β) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,
f (ξ) = (ξ21 + ξ
2H2H1
2 )−(H1+(1+
H12H2
)), 0 < H1 < H2 < 1.
⇐⇒
Xθ0,α0,H0 with α0 = 2a/(1 + a), H0 = 2aH1/(1 + a) and θ0 = 0.
isotropie quand H2 = H1
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Another OSGRF
X(a,β) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,
f (ξ) = (ξ21 + ξ
2H2H1
2 )−(H1+(1+
H12H2
)), 0 < H1 < H2 < 1.
PSfrag
α.
H(α
)
0 0.5 1 1.5 2−1
−0.5
0
0.5
1
100 real.(210, 210)
H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Extended Fractional Brownian Fields (EFBF)
X(a,β) =
∫R2
(e i〈x , ξ〉 − 1)f (ξ)dW (ξ) ,
f (ξ) = |ξ|−2h(arg(ξ))−2,
H1 = max h(arg(ξ)), H2 = min h(arg(ξ)). H2 = H1 ⇒ isotropie.
H(α
)
.α
0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2
0.4
0.6
−1
−0.5
0
0.5
1
100 real.(210, 210)
H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Fractional Brownian Sheet (FBS)
BH1,H2(x) =
∫R2
(e i<x1,ξ1> − 1)(e i<x2,ξ2> − 1)
|ξ1|H1+ 12 |ξ2|H2+ 1
2
dWξ1,ξ2 ,
PSfrag
α.
H(α
)
.
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
100 real.(210, 210)
H1 = 0.8 et H2 = 0.2, H2 = 0.4, H2 = 0.6, H2 = 0.8.
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Test d’anisotropie
Quantile δ = 0.1 (10%) :
100 realisations (R = 100) de Xθ0,α0,H0 de taille (210 × 210).
Taux de rejection (en %)
H1 0.7 0.4H2 0.5 0.6 0.7 0.2 0.3 0.4
OSGRF II 100 84 15 100 99 7
EFBF 42 31 15 49 28 10
FBS 89 78 58 92 87 61
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Anisotropie ”built-in” versus ”superposee”
Xθ0=0,α0=1,H0=0.5
+ sinus (θ = π/8)
Xθ0=π/8,α0=0.6,H0=0.5
α
θ
.
0 π
4
π
23π
4
π
0.8
1
1.2
1.4
H
θ
.
0 π
4
π
23π
4
π0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite
Champs aleatoires gaussiens autosimilaires et anisotropesTransformee Hyperbolique en Ondelettes
Estimation de (θ0,H0, α0)Bootstrap et test d’isotropie
Autres modeles
Conclusions et perspectives
Analyse de champs autosimilaires anisotropes
- pertinence de la Transformee Hyperbolique en Ondelettes;
- procedures d’estimations rapides et efficaces;
- bonne estimation des differents parametres :angle de rotation, anisotropie et autosimilarite;
- test d’isotropie efficace.
Perspectives :
- multifractal anisotrope :synthese : sur base de triebel anisotrope;analyse : coefficients Leaders.
- Anisotropie ”built-in” versus ”superposee” ?
Journees ”Champs aleatoires” - 24/09/2012 Roux Stephane Transf. hyperbolique en ondelettes, anisotropie, autosimilarite