transformée de laplace

GPA535. (C) R. AISSAOUI 1

Transformée de Laplace

0

( ) ( ) stL f t f t e dt


Objectifs du cours

• Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler

• Revoir la transformée de Laplace• Détermination de la fonction de transfert • Décomposition de la réponse en fractions

partielles• Introduction à la modélisation


IntroductionPour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrée et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système.


IntroductionLa mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent.


Introduction• des lois de la mécanique pour les mouvements des corps

solides en translations et/ou en rotation• des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les

systèmes à composants passifs et actifs) • des lois magnétiques (moteur à courant continu,…)• des lois de l’écoulement des fluides la thermodynamique…


Mécanique (Loi de Newton)• En translation : somme des forces agissant sur un corps =

accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps

• En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité


Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff)

• Somme des tensions dans une maille est nulle

• Somme des courants traversant un nœud est nulle


Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade.


SYSTÈME LINÉAIRE INVARIANT DANS LE TEMPS (S.L.I.T.)

1

1 01

1

1 01

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n n

n nn n

m m

m mm m

d c t d c ta a a c tdt dtd r t d r tb b b r tdt dt


Transformée de Laplace• C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des

équations différentielles. • Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous

forme de fonctions algébriques à variable complexe. • L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une

opération algébrique dans le plan complexe. • La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques

graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système.

• La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent.


Transformée de Laplace

( 0)( 0) 0; 0d x tx td t

Résolution des équations différentielles qui régissent les S.L.I.T. Exemple :

2 ( ) ( )2 5 ( ) 3 sin (5 )d x t d x t x t td t d t

22( ) ( )2 ( ) 5 td x t d x t x t e t

d t d t

( 0)( 0) 2; 1d x tx td t

Conditions initiales nulles

Conditions initiales


Variable complexe et fonction complexe

Variable complexe. Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante:

Complexe conjugué

Complexes j

2

,

1j

s j

Représentation géométriques des nombres complexes


Im

2 2

(cos sin )

(cos sin )

s j OM j

s j

On définit alors:Module de s

Phase de s1 10; tan ; 0; tan ;

2 2s OM

arg( )s s

Re0

Ms +


Opérations dans l’ensemble des complexes

Addition:

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

( ) ( )( ) ( )

s s s j js j

Multiplication:1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1

1 2

1 2

( )( )( ) ( )

s s s j js js s s

s s s


Division de 2 nombres complexes

1 1 1 1 1 2 2 1 22

2 2 2 2 2 2 2 2

1 21

2

( )( )( )( )

s j j j s ss j j j s

s sss

2

2s1

2

11 2

2

ss

s s ss


Exemples: déterminer le module et l’argument des complexes suivants

( 2.5 3 )( 0.5 4 )4 32 54 32

j jjjjj


Fonctions TI - Matlab


THÉORÈME D’EULER

Le développement en série de puissance des fonctions circulaires sinus et cosinus s’écrivent:

2 4 6

cos 12! 4! 6!θ θ θ

3 5 7

sin3! 5! 7!



2 3( ) ( )cos sin 1 ( )2! 3!j jj j

Or on sait que la fonction ex se développe par

Alors le théorème d’Euler:

cos sin jj e

2 3

12! 3!

x x xe x


cos sin jj e cos sin jj e

Alors1cos ( )21sin ( )2

j j

j j

e e

e ej



2 2( )(cos( ) sin( )) js j s e

s s

Tout nombre complexe peut s’écrire sous une forme exponentielle

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

s j j

s j


VARIABLE COMPLEXE – FONCTION COMPLEXE (suite)

Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit:

( ) x yF s F jF Où Fx et Fy sont des quantités réelles.

2 2x yAmplitude Module (F F )

1y xPhase Angle tan (F F )

x yConjuguée de F(s) F jF

+


EXEMPLE DE FONCTION COMPLEXE

1F(s) s 1

2K(s 2)(s 10)F(s) s(s 1)(s 5)(s 15)


Exemple - TI


TRANSFORMÉE DE LAPLACE

Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe

Et L désigne l’opérateur de la T.L. alors:

0

[ ( )] ( ) ( ) stL f t F s f t e dt

Condition d’existence = convergence de l’intégrale


TRANSFORMÉE DE LAPLACE INVERSE

Le processus inverse est définit:

1 1( ( )) ( ) ( )2

c jst

c j

L F s f t F s e dsj

Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toute les valeurs singulières (pôles) de F(s). Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME


SIGNAUX DE COMMANDE (Tableau 1.1 p.19)


TRANSFORMÉE DE LAPLACE (Tableau 2.1p. 41)


2 2cos( )

at s ae ts a

TRANSFORMÉE DE LAPLACE

2 2sin( )

ate ts a

Fonction sinus amortie

Fonction cosinus amortie


Propriétés de la transformée de Laplace

• Linéarité (items 2 et 3)• Décalage fréquentiel (item 4)• Décalage temporel (item 5)• Modification d’échelle (item 6)• Dérivation (items 7, 8 et 9)• Intégration (item 10)• Théorème de la valeur finale (item 11)• Théorème de la valeur initiale (item 12)


Propriétés des transformée de Laplace


Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques.

Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière.

Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue.

La transformée de Laplace sert à :


FONCTION DE TRANSFERT


Étape à suivre pour déterminer la réponse d’un système

1. Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties.

2. Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff)

3. Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s))

4. Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/ R(s)5. Déterminer la réponse à partir de C(s)6. C(s) = N(s) / D(s) 7. Décomposer en fraction partielle 8. Identifier les composants et leurs transformée de Laplace

inverse (Tables)


Décomposition en fraction partielle d’une fonction complexe

• Les racines du dénominateur et distincts• Les racines du dénominateur sont réelles et multiples• Les racines du dénominateurs sont complexes ou imaginaires

pures

Racines réelles distinctes

21( 1 1)2

( 1 2) ( 1 2)KK


1 22( )( 1)( 2) ( 1) ( 2)

K KF ss s s s

Pour déterminer K1

21( 1)2

( 2) ( 2)s KK

s s

On donne à s la valeur qui annule le terme de K2 (s+1=0) donc s =-1



2 2 2( )( 1)( 2) ( 1) ( 2)

F ss s s s

La décomposition nous permet de retrouver grâce au tableau 2.1 la réponse temporelle f(t)

2( ) (2 2 ) ( )t tf t e e u t



1 2

1 2

1 2

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

n

n

n

mm

N s N sF sD s s p s p s p

KK KF ss p s p s p

s pK

1 2

( )

( )( ) ( )m

N s

s p s p s p |

( ) ms pns p

Exemple


2( )( 1)( 2)

F ss s s


Réponse

1 2 2( )( 1) ( 2)

F ss s s


Racines réelles multiples et distinctes

1 2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )...( )r

n



1 2

1 2 11

1 1 1 2

1 1

2 11 1 2 1 3 1 1

11 1

2

( ) ( )( )( ) ( ) ( )...( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

1(

rn

r rr r

n

n

r

rr

rrnr

n

i


K K K KF ss p s p s p s pKs p

F s s p F s

F s K K s p K s p K s p

K s pK s ps p s p

Ki

1

111

( ) | 1,1)!

i

s pi

d F s i rds


Racines complexes

2

1( )2 17

F ss s


Exemple 1 racines multiples (TI)


Exemple 1 (TI)


Racine complexe


Ça ne fonctionne pas ?


Utilisation de s_ à la place de s


La réponse


La réponse temporelle

(4 ) (4 )( ) ( ) 0.5 0.5i t i tf t u t ie ie


Quelle est la forme de f(t)?

4 4

4

4

4

4

( ) ( ) 0.5 0.5

( ) ( ) 0.5

( ) ( ) 0.5

( ) ( )2

( ) ( ) sin( )

t it t it

t it it

t it it

it itt

t

f t u t ie e ie e

f t u t ie e e

if t u t ie e ei

e ef t u t e

i

f t u t e t

Sinusoide amortie

Exemple-2

• 1

• 2

• 3

• 4

2 3

1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s

2 2 3

1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s


3

1( )( 3)

G ss s

2

1 1 1 127( 3) 27 9 ( 1)s s s s

2 2 3

1 1 1 127( 3) 27 9 3s s s s


Exemple -3

• Soit l’équation différentielle suivante :

• Déterminer la réponse C(s) dans le domaine de Laplace en fonction de R(s) (conditions initiales nulles)

2

22 ( ) 14 ( ) 32 ( ) ( )d dc t c t c t r tdt dt


Exemple -3

• Déterminer la valeur de la réponse c(t) à l’instant t tend vers l’infini en supposant que l’entrée r(t) est une fonction échelon de valeur 4

transformée de laplace

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