transmiterea informatiilor prin fibre optice

117
TRANSMITEREA INFORMAT ¸ IILOR PRIN FIBRE OPTICE Notit ¸e de curs at˘ alin Agheorghiesei Ias ¸i–2004

Upload: flavius-ionut-radulescu

Post on 09-Aug-2015

159 views

Category:

Documents


24 download

DESCRIPTION

Transmiterea informatiilor prin fibre optice

TRANSCRIPT

Page 1: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

TRANSMITEREA INFORMATIILOR PRIN

FIBRE OPTICE

Notite de curs

Catalin Agheorghiesei

Iasi–2004

Page 2: Transmiterea informatiilor prin fibre optice
Page 3: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

Cuprins

Prefata iii

1 Propagarea luminii ın ghiduri de unda 1

1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Ghiduri de unda bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Cuplajul radiatiei optice ın ghidurile de unda . . . . . . . . . . . . . 34

2 Fibre optice 43

2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Atenuarea si dispersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Utilizarea fibrelor optice ın comunicatii 89

3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Componentele liniilor de transmisie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3 Modularea, multiplexarea si cuplajul semnalelor . . . . . . . . . . . 97

Bibliografie 109

i

Page 4: Transmiterea informatiilor prin fibre optice
Page 5: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

Prefata

Astazi nu se poate imagina comunicatii de telefonie, transmisii de date, etc.

fara implicarea fibrelor optice sau a satelitilor artificiali. Se poate spune ca pe

Pamant fibrele optice sunt suverane ın timp ce ın spatiu domnesc satelitii asupra

comunicatiilor. Intre cele doua ”regate” exista o relatie de buna vecinatate si

ıntelegere reciproca prin schimburi bilaterale de biti ın folosul ambelor parti.

Cursul este structurat pe mai multe teme:

1. Propagarea undelor electromagnetice

2. Fibre optice, generalitati

3. Transmisia informatiei prin cablurile optice

4. Fibre optice dopate cu Erbium (amplificarea optica)

5. Sisteme de transmisie WDM1 – multiplexare prin ımpartirea lungimii de

unda.

6. Efecte de limitare a performantelor sistemelor de transmisie

Primul subiect abordat este o recapitulare a notiunilor legate de ecuatiile de

propagare a undelor luminoase ın spatiul liber si ıntr-un ghid de unda.

Capitolul intitulat fibrele optice prezinta fibrele optice monomod sau multi-

mod prin prisma caracteristicilor de propagare ale undelor luminoase, moduri

de propagare, atenuarea ın fibrele optice, exemple de aplicatii, etc.

Transmisia prin cablurile optice trateaza modul ın care se realizeaza o linie

de comunicatie ce utilizeaza fibrele optice: surse de lumina, fotodetectorilor. In

1en. Wavelength Division Multiplexing.

iii

Page 6: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

iv PREFATA

literatura de specialitate dispozitivele care realizeaza transferul ıntre fibra optica

si liniile clasice de transmisie se numesc dispozitive optoelectronice.

Noile tehnologii dezvoltate ın ultimul timp cuprind fibre cu amplificare optica

si liniile de transmisie WDM.

Performantele sistemelor de transmisie cu fibre optice au fost ımbunatatite ın

principal prin eliminarea pe cat posibil a unor efecte de pierdere ın materialul

fibrei, prin pierderi la cuplajul optoelectronic, etc. Toate aceste efecte de limitare

a performantelor liniilor de transmisie sunt descrise ıntr-un capitol separat.

Scurt istoric

Transmiterea de informatii cu ajutorul luminii nu este o idee noua. Inca din

antichitate se transmiteau semnale simple cu ajutorul focului la distante foarte

mari. Astazi s-a ajuns la o retea mondiala de cabluri optice care transmit un

volum de informatii enorm:

O 800 ı.e.n. In Grecia erau transmise semnale folosind focul;

O 400 ı.e.n. Apar statiile releu

O 150 ı.e.n. se transmit coduri alfabetice

O 1960 inventarea laserului permite utilizarea unor fascicule de lumina diri-

jate si coerente;

O 1966 se realizeaza fibre optice cu pierderi de aproximativ 1000dB/km dato-

rate ın special impuritatilor;

O 1970 primele fibre optice competitive cu retelele de Cu (Corning) avand

pierderi doar de 20dB/km

O din 1990 fibre optice cu rata de pierdere de 0, 16dB/km care permit transmi-

terea informatiilor sute de km fara utilizarea repetoarelor.

O Astazi se poate transmite ın mod curent cu viteza de 1Gb/s adica 30000pag/s2

sau 7500 convorbiri telefonice3.21 pagina de text contine ın medie 16Kbit.31 voce digitizata necesita o viteza de transmisie de aproximativ 64Kbit/s.

Page 7: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

V

O Maine rata de transmisie va creste la 10Gb/s pe cablurile transoceanice, rea-

lizarea de parti optoelectronice integrate si a calculatoarelor optice (cuan-

tice).

Avantajele transmisiei de informatii prin fibre optice

1. potential enorm privind banda de transmisie;

2. unda purtatoare de frecventa foarte mare (≈ 1014Hz);

3. pierderi mici de informatii (α . 0, 2dB/km chiar pentru sticla);

4. repetoarele pot fi eliminate;

5. securitate crescuta pentru transmiterea de informatii: nu pot fi aflate datele

transmise fara a afecta semnalul;

6. fibrele optice sunt neutre din punct de vedere electric ceea ce nu mai presu-

pune utilizarea de antene sau legaturi pentru potentialul de referinta. Dea-

semenea neutralitatea electrica conduc la utilizarea cu succes a fibrelor op-

tice ın mediu ostil.

Page 8: Transmiterea informatiilor prin fibre optice
Page 9: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

CAPITOLUL 1

Propagarea luminii ın ghiduri de unda

Cuprins1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Reflexia totala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Constanta de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghiduluide unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Frecventa de taiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Relatia de dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Modurile transversal magnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Propagarea campurilor multimod . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghiduluide unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Constantele de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Numarul maxim de moduri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Distributiile campului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Ghiduri de unda bidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Ghiduri de unda rectangulare cu oglinzi . . . . . . . . . . . . . 30

Ghid de unda rectangular dielectric . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tipuri de ghiduri de unda dielectrici . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

Page 10: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

1.5 Cuplajul radiatiei optice ın ghidurile de unda . . . . . . . . . . 34

Cuplaj de intrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Cuplaj ıntre ghiduri de unda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Comutarea prin cuplajul fazei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.1 Introducere

Fibrele optice utilizate ın transmiterea de informatii sunt un caz particular al

ghidurilor de unda pentru radiatiile luminoase. Aceste fibre optice sunt de fapt

ghiduri de unda de forma cilindrica sau eliptica. In acest capitol vom discuta

teoria propagarii radiatiilor luminoase prin ghiduri de unda de diferite forme.

Ghidul de unda este un dispozitiv prin care unda luminoasa (dar nu numai)

este transmisa dintr-un punct ın alt punct cu o pierdere cat mai mica a caracteris-

ticilor undei (frecventa, energie, polarizare, etc.).

In vid, dar si ın medii cu omogene si izotrope din punct de vedere al caracte-

risticilor optice (indice de refractie n, permitivitate electrica relativa εr), lumina se

propaga rectiliniu. Schimbarea directiei de propagare a luminii se realizeaza prin

reflexie si refractie la nivelul unei suprafete de separatie ıntre doua medii transpa-

rente cu indici de refractie diferiti. Astfel, prin plasarea unei oglinzi sau a unui

mediu transparent ın fasciculul luminos se poate schimba directia de propagare

a acestui fascicul conform legii Snell a reflexiei si refractiei (Figura 1.1):

(1.1) n1 sin i1 = n2 sin i2

unde:

n1 este indicele de refractie al mediului de unde provine radiatia luminoasa;

n2 este indicele de refractie al mediului ın care patrunde lumina (aici se va

considera n2 = −n1 daca are loc fenomenul de reflexie);

Directiile de propagare a undei reflectate si, respectiv a undei refractate sunt de-

terminate de unghiurile i′1, respectiv, i2 cu normala ın punctul de incidenta. Fas-

Page 11: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.1. INTRODUCERE 3

Figura 1.1

Reflexia si refractia luminii la nivelulul unei suprafete de separatie Σ ıntre doua medii

omogene cu indici de refractie n1 si n2.

ciculele luminoase reflectate sau refractate pot fi ımprastiate, difractate sau foca-

lizate prin utilizarea diverselor instrumente optice: fante colimatoare, retele de

difractie, lentile, prisme, etc. Acest tip de transmisie ın spatiu liber este de baza

ın realizarea instrumentelor optice clasice.

Una din conditiile realizarii unui ghid de unda (schimbarea directiei de pro-

pagare a luminii) este relativ usor de ındeplinit prin folosirea unor oglinzi sau

a unei lame transparente. Totusi, din cauza ca cele doua fenomene (reflexia si

refractia) apar simultan iar energia undei reflectate sau refractate este, ın general,

mai mica decat a undei incidente ghidul de unda astfel realizat nu are caracteris-

tici foarte bune. La aceasta concluzie contribuie si faptul ca geometria sistemului

de transmisie a informatiei cere utilizarea unui numar mare de oglinzi. Din feri-

cire, exista posibilitatea ca unda reflectata sa preia toata energia undei incidente

atunci cand are loc reflexia totala interna la nivelul suprafetei de separatie Σ.

Page 12: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

4 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Reflexia totala

Reflexia totala1 se produce doar daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii

(Figura 1.2):

• reflexia are loc la suprafata de separatie dintre doua medii transparente

atunci cand unda incidenta se provine din mediul cu indice de refractie

n1 astfel ıncat:

(1.2) n1 > n2

• unghiul de incidenta a undei incidente i trebuie sa fie mai mare decat un

unghi limita:

(1.3) i ≥ l = arcsinn2

n1

Optica geometrica explica reflexia totala prin faptul ca, ın conditiile date, raza

incidenta nu mai sufera si o refractie ın punctul de incidenta deoarece nu mai

poate fi satisfacuta legea refractiei (1.1) pentru i ≤ l:

(1.4) sin i′ ≥ n1

n2≥ 1

ceea ce este imposibil pentru ca sin i′ ≤ 1.

In optica electromagnetica se demonstreaza ca atunci cand sunt ındeplinite

conditiile reflexiei totale unda refractata devine o unda evanescenta care se ate-

nueaza foarte repede pe o distanta x ≈ λ fata de suprafata de separatie Σ.

1.2 Ghiduri de unda cu oglinzi plane

Vom considera un ghid de unda format din doua oglinzi plane ideale (coe-

ficient de reflexie 1) paralele infinite asezate la distanta d (Figura 1.3) Un astfel

1John Tyndall (1820-1893) a fost primul fizician care a realizat un studiu amanuntit asupra

reflexiei totale interne.

Page 13: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 5

Figura 1.2

Reflexia totala a undei unde incidente la suprafata de separatie dintre doua medii cu

indici de refractie n1 > n2.

de ghid optic este greu de realizat mai ales din cauza costurilor ridicate pentru

confectionarea oglinzilor. Totusi, vom analiza acest caz pentru definirea unor

notiuni care vor interveni atunci cand se vor analiza fibrele optice. Astfel, vom

considera ca ıntr-un astfel de sistem patrunde o raza de lumina care formeaza cu

planul oglinzii O1 un unghi:

θ =π

2− i

In punctul de incidenta A are loc reflexia pe oglinda O1 astfel ıncat raza reflec-

tata parcurge spatiul dintre oglinzi si ajunge la oglinda O2 ın punctul C unde

re loc o noua reflexie. Aceste reflexii se repeta de-a lungul axei Oz paralela cu

suprafata oglinzilor ghidului de unda. In acest mod ın tot spatiul dintre oglinzi

campul electromagnetic este datorat interactiunii campurilor electromagnetice

corespunzatoare razelor reflectate pe oglinda O1 si a razelor reflectate pe oglinda

O2. Acest camp electromagnetic va trebui anumite conditii pentru a realiza o

Page 14: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

6 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Figura 1.3

Un ghid de unda format din doua oglinzi plane ideale (O1 si O2) paralele.

transmisie cat mai buna a semnalului de la un capat la celalalt al ghidului de

unda.

Se definesc modurile (proprii) ghidului de unda ca fiind campurile electromagne-

tice care au aceeasi distributie transversala si de polarizare la orice distanta de-a

lungul axei ghidului de unda. Pentru studiul acestor moduri proprii vom con-

sidera ca raza optica ca fiind o unda transversal electromagnetica (TEM) plana

caracterizata de: lungimea de unda λ = λ0/n, numarul de unda k = nk0 cu n

indicele de refractie al mediului dintre oglinzi. Unda plana este considerata a fi

polarizata pe directia x si vectorul de unda k ın planul yz ıncat unghiul dintre

vectorul de unda si directia Oz este ±θ dupa cum se analizeaza unda reflectata

pe oglinda O1 sau O2. In punctele de incidenta ın care are loc reflexia se produce

si un salt de faza egal cu π ıntre unda incidenta si cea reflectata. Pentru a gasi mo-

durile ghidului de unda se impune conditia ca dupa 2 reflexii succesive pe cele

Page 15: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 7

doua oglinzi sa se reproduca situatia initiala ıncat unda sa nu-si modifice am-

plitudinea, polarizarea (directia de oscilatie) si faza2. In timpul cat unda plana

reflectata (ın punctul A) parcurge spatiul dintre oglinzi AC, unda incidenta ar

parcurge spatiul AB. Dupa reflexia ın punctul C conditia de mai sus se realizeaza

doar daca diferenta de faza ıntre unda reflectata ın C si faza undei incidente ın A

este un numar ıntreg de 2π:

(1.5)2π |AC|

λ− 2π − 2π |AB|

λ= 2πq q = 0, 1, 2, . . .

In relatia de mai sus se pot ınlocui expresiile pentru AC si AB functie de caracte-

risticile ghidului de unda (indicele de refractie n si distanta dintre oglinzi d) si de

caracteristicile fasciculului incident (lungimea de unda λ si unghiul θ). Astfel:

(1.6) |AC| = dsin θ

din 4ADC(D ≡ π/2). Pentru calculul |AB| din 4ABC(B ≡ π/2) rezulta AB =

AC cos 2θ ıncat:

(1.7) |AC| − |AB| = |AC| (1− cos 2θ) = 2d sin θ

Conditia (1.5) devine conform relatiei (1.7):

(1.8) sin θm = mλ

2dunde: m = q + 1, m = 1, 2, . . .

Relatia (1.8) exprima conditia ca unda sa fie ghidata de cele doua oglinzi plane

cu pastrarea tuturor caracteristicilor undei plane incidente. Aceasta conditie poate

fi exprimata functie de unghiul dintre directia de deplasare a undei incidente si

planul oglinzii θ. Astfel, fiecarui numar ıntreg m ıi corespunde un anume ”mod”

de propagare a undei de lungime de unda λ prin ghidul caracterizat de distanta

dintre oglinzi d. Pentru m = 1 se obtine unghiul cel mai mic θ1 = sin−1 λ2d , cele-

lalte moduri cu m > 1 sunt denumite, de obicei, moduri mai oblice datorita faptu-

lui ca θm > θ1. In plus, atunci cand relatia (1.8) este satisfacuta fazele undelor re-

flectate difera fata de fazele undelor incidente cu qπ unde q = (m− 1) = 0, 1, . . .2Aceasta conditie este cunoscuta si sub denumirea de conditia de self-consistenta.

Page 16: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

8 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

astfel ıncat intensitatea campului electric rezultant va fi egala cu suma algebrica

dintre unda incidenta si unda reflectata:

• pentru m = 2k + 1 (mod impar) intensitatile celor doua unde se aduna;

• pentru m = 2k (mod par) intensitatile celor doua unde se scad.

Componenta vectorului de unda pe directia y este ky = nk0 sin θ si conform

(1.8) rezulta:

kym = nk0 sin θm =2π

λsin θm =

= mπ

d(1.9)

Trebuie remarcat faptul ca pe directia y vectorul de unda kmy este cuantificat si

depinde doar de proprietatile geometrice ale ghidului de unda (prin distanta d).

Este de asteptat, de aici, ca pe directia y modurile proprii de propagare a undei

sa fie asimilate unei unde stationare.

Constanta de propagare

Unda ghidata este compusa din doua unde plane distincte care fac unghiul

±θ cu axa de propagare z si au vectorii de unda cu urmatoarele componente:

• k1(0, ky, kz);

• k2(0,−ky, kz)

Componentele vectorilor de unda pe axa y sunt date de relatia (1.9). Deoarece pe

directia axiala z componentele vectorilor de unda a celor doua unde sunt identice

kz se defineste astfel constanta de propagare: β = kz = k cos θ si conform (1.8)

rezulta:

(1.10) β2m = k2(1− sin2 θm) = k2 − m2π2

d2

Se observa ca modurile superioare (mai oblice) au constante de propagare mai

mici (Figura 1.4).

Page 17: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 9

sin

....

2d

/2

1

m

k y=nk 0si

n

nk0cos nk0

md

kym

nk0

m

1

2

3

M

m

Figura 1.4

Unghiurile θm corespunzatoare modurilor de propagare prin ghidul de unda si constantele

de propagare βm corespunzatoare.

Distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghidului de unda

Pentru a calcula distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghidului

de unda se tine cont de faptul ca intensitatea rezultanta a campului electric este

suma vectoriala dintre intensitatea campului pentru unda care se deplaseaza spre

Page 18: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

10 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

oglinda de sus:

E↗ ∝ Am exp(jkymy− jβmz)

si pentru unda care se deplaseaza spre oglinda de jos:

E↘ ∝ exp[j(m− 1)]Am exp(+jkmy − jβmz)

(la y = 0 cele doua unde difera printr-o diferenta de faza (m− 1π))3

Datorita faptului ca modurile de propagare depind de m care introduce diferenta

de faza vor exista moduri simetrice atunci cand intensitatile campurilor se aduna si

moduri antisimetrice cand intensitatile campurilor se scad. intensitatea campului

electric total va fi:

(1.11) Ex(y, z) = amum(y) exp(−jβmz)

unde:

(1.12) um(y) =

√2d cos mπy

d , m = 2k− 1√2d sin mπy

d , m = 2k

si:

(1.13) am =

√2dAm, m = 2k− 1

j√

2dAm, m = 2k

In relatia (1.11) am este amplitudinea modului m iar um(y) sunt functii ortogonale

pe intervalul [−d/2, d/2]:

(1.14)∫ d/2

−d/2um(y)ul(y)dy = δml

unde δml este simbolul lui Kroneker:

(1.15) δml =

1, m = l

0, m 6= l

3In relatiile de mai sus s-a neglijat variatia ın timp a campului electric deoarece este aceeasi

pentru cele doua unde exp(jωt) si se calculeaza doar distributia spatiala a campului ın interiorul

ghidului de unda.

Page 19: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 11

Functiile um(y) reprezinta de fapt functii de distributie pentru intensitatea campului

electric a unei unde TE ın interiorul ghidului de unda pe directia transversala y.

Remarcam faptul ca aceste functii sunt ortogonale (1.15). Fiecare mod poate fi

privit pe directia transversala ca o unda stationara care se deplaseaza pe directia

z (Figura 1.5). Modurile de ordin superior (cu o valoare mare pentru m) au o

oglind

z

y

d/2

-d/2

0

m=1

2

3

6. . .

oglind

Figura 1.5

Distributia intensitatii campului electric ın ghidul de unda cu oglinzi plane paralele.

valoare mai mare pentru vectorul de unda ky si se deplaseaza cu o constanta de

propagare β mai mica. Intensitatea campului electric la suprafata oglinzilor este

nula ıncat sunt satisfacute conditiile de marginire ıntotdeauna.

Frecventa de taiere

In relatia (1.8) numarul modului m nu poate lua orice valoare deoarece sin θm ≤1 astfel ıncat numarul de moduri care ındeplinesc conditia de self-consistenta

este:

(1.16) M =[

2dλ

]

Page 20: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

12 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

In concluzie, lumina poate fi transmisa printr-un astfel de ghid de unda ın

mai multe ”moduri”. Totusi, numarul real de moduri care propaga puterea op-

tica depinde de sursa de excitare si este limitat la o valoare maxima M. Numarul

modurilor ”suportate” de ghidul de unda este direct proportional cu raportul dλ

(Figura 1.6). Daca 2dλ rezulta M = 0 si ghidul de unda nu poate suporta nici un

0

1

2

3

4

5

6

min

Num

r de

mod

uri M

c/2d

Figura 1.6

Numarul de moduri care se pot propaga prin ghidul de unda este limitat si exista o

valoare minima pentru frecventa unei unde care se mai poate propaga prin ghid.

mod self-consistent. Exista, asadar, o limitare ın propagarea undelor prin ghi-

durile de unda. Astfel, pentru un ghid de unda dat (d fixat) lungimea de unda

maxima pentru care mai exista propagare este:

(1.17) λmax = 2d

si este denumita de multe ori lungime de unda de taiere. Acestei lungimi de unda

limita ıi corespunde o frecventa de taiere:

(1.18) νmin =c

2d

Page 21: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 13

Daca

(1.19) 1 <2dλ≤ 2 ⇔ λ ∈ [d, 2d]

prin ghid se poate propaga doar modul m = 1. In acest caz un astfel de ghid se

numeste ghid monomod4.

Numarul maxim de moduri creste direct proportional cu frecventa undei:

(1.20) M =ν · 2d

c

Relatia de dispersie

Viteza de propagare a informatiei nu este viteza de faza a undei ci viteza de

grup:

(1.21) vg =dω

Pentru a afla viteza de grup pentru un anumit mod de propagare ın relatia (1.10)

se tine cont de faptul ca k = ωc si se obtine astfel relatia de dispersie:

(1.22) β2m =

c

)2 − m2π2

d2

Daca mediul dintre oglinzi este nedispersiv, c 6= c(ω) atunci prin derivarea

relatiei (1.22):

2βmdβm

dω=

c2 ⇒ dω

dβm= βm · c2

ω=︸︷︷︸

βm=k cos θm

kc2

ωcos θm

astfel ıncat viteza de grup pentru modul m este data de relatia:

(1.23) vm = c cos θm

La aceeasi concluzie se poate ajunge si din considerente geometrice atunci cand

se examineaza propagarea undei plane (Figura 1.3) ın zig-zag.

4en. single-mode.

Page 22: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

14 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Modurile transversal magnetic

In sectiunile anterioare a fost studiat modul de propagare transversal elec-

tric (TE) atunci cand vectorul intensitate camp electric E al undei este paralel cu

directia x. Similar se poate considera modul transversal magnetic atunci cand

vectorul inductie magnetica B este paralel cu axa x.

Analiza modurilor de propagare pentru ghidul de unda TM se realizeaza ın

acelasi mod ca si pentru modurile TE rezultand acelasi numar maxim de moduri:

M = 2dλ astfel ıncat numarul total de moduri suportate de ghidul de unda se du-

bleaza: Mt = 2M (M moduri TE si alte M moduri TM). In acest caz componentele

Ez ale intensitatii campului electric sunt date de relatia:

(1.24) Ez(y, z) =

am

√2d cos mπy

d exp(−jβmz) m = 2k− 1

am

√2d sin mπy

d exp(−jβmz) m = 2k

unde:

(1.25) am =

√2dAm m = 2k− 1

j√

2dAm m = 2k

In modul TM vectorul intensitate camp electric E este perpendicular pe directia

de propagare si face un unghi π/2 + θm cu axa z atunci cand unda se propaga

catre oglinda de sus si π/2− θm atunci cand unda se propaga catre oglinda de jos.

In acest fel se pot obtine componentele campului electric pe directia y. Deoarece

Ey = Ez cot θ se obtine:

(1.26) Ez(y, z) =

am

√2d cot θm cos mπy

d exp(−jβmz) m = 2k− 1

am

√2d cot θm sin mπy

d exp(−jβmz) m = 2k

Este de remarcat faptul ca:

limy→±d/2

Ez(y, z) → 0

oricare ar fi valoarea lui z astfel ıncat conditiile de marginire se realizeaza ın orice

punct de pe suprafata oglinzilor si ın cazul modului TM.

Page 23: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.2. GHIDURI DE UNDA CU OGLINZI PLANE 15

Daca se tine cont de faptul ca ıntre valoarea intensitatii campului electric E si

valoarea intensitatii campului magnetic H este satisfacuta relatia:

EH

= η

unde η este impedanta mediului dintre oglinzi:

(1.27) η =η0

n=

√µ0ε0

n

atunci se poate afla si intensitatea campului magnetic

(1.28) Hx(y, z) =Ex

η

Propagarea campurilor multimod

Modurile de propagare nu sunt singurele forme ın care o unda electromag-

netica poate fi transmisa prin ghidul de unda. De fapt, orice camp electromag-

netic care satisface conditia de marginire (este nul la nivelul oglinzilor) dar cu o

distributie de camp arbitrara ın planul transversal (x− y) se poate propaga prin

ghidul de unda. Totusi, puterea optica se ımparte pe mai multe moduri de pro-

pagare. Deoarece la moduri diferite le corespund constante de propagare diferite

si diferite viteze de grup distributia campurilor ın interiorul ghidului de unda se

schimba pe masura ce se propaga prin acesta.

Atunci cand intensitatea campului electric este polarizata pe directia x, sa-

tisface conditia de marginire se poate face o dezvoltare a valorilor intensitatii

campului dupa diferite moduri de propagare:

(1.29) Ex(y, z) =M

∑m=0

amum(y) exp(−jβmz)

unde am sunt amplitudinile modurilor. Un exemplu de propagare a unei unde

multimod este prezentat ın Figura 1.7.

Page 24: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

16 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

z

y

(c)

(b) z

y

(a)

z

y

Figura 1.7

Variatia intensitatii unei unde cu: (a) m = 1; (b) m = 2 si (c) o suma celor doua

moduri.

Page 25: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 17

1.3 Ghiduri de unda cu dielectrici plani

Un ghid de unda plan dielectric este format dintr-un strat de material die-

lectric asezat ıntre doua medii cu indici de refractie mai mici decat a stratului

central. Lumina este ghidata n interiorul stratului dielectric prin reflexie interna

totala. In dispozitivele ın care stratul ghid are caracteristicile unui strat subtire se

foloseste notiunea de film mediul de sub film se numeste substrat iar mediul care

acopera filmul se numeste patura sau ınvelis.

Vom considera un strat dielectric cu fete plan-paralele de grosime d si indice

de refractie n1 ınconjurat de un mediu cu n2 < n1 (Figura 1.8). Toate materialele

Figura 1.8

Ghid de unda dielectric plan format dintr-un strat dielectric de grosime d cu indice de

refractie n1 cu un substrat si un ınvelis cu indicele de refractie n2 < n1

dielectrice sunt considerate a fi fara pierderi de camp. Razele de lumina care fac

un unghi θ cu axa z sunt reflectate total la marginile stratului daca:

(1.30) θ ≤ θc =π

2− sin−1

(n2

n1

)= cos−1

(n2

n1

)

Page 26: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

18 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

unde cu θc s-a notat unghiul complementar unghiului limita l pentru care se mai

poate produce reflexia totala (1.3). Razele cu θ > θc se refracta ısi pierd o parte

din energie.

Formalismul matematic pentru determinarea modurilor de propagare a ghi-

dului de unda presupune rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell ın cele doua medii

dielectrice tinand cont de conditiile de marginire. Acest formalism matematic

este dificil prin complexitatea calculelor pe care le implica. Pentru a simplifica

studiul modurilor de propagare vom scrie solutiile ecuatiilor lui Maxwell sub

forma unei unde armonice plane TEM care se propaga ıntre cele 2 suprafete de

separatie.

Distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghidului de unda

Consideram ca ın stratul de dielectric se propaga o unda plana monocroma-

tica TEM cu lungimea de unda λ = λ0n1

care se propaga sub unghiul θ < θc cu axa

z, are viteza de faza c1 = c0n1

si vectorul de unda k(0, n1k0 sin θ, n1k0 cos θ). Pen-

tru determinarea modurilor de propagare se impune conditia ca unda rezultanta

dupa 2 reflexii succesive sa nu fie afectata (planul de polarizare sa se reproduca

si diferenta de faza sa fie un numar ıntreg de 2π). Diferenta de drum geometric

dupa 2 reflexii succesive este:

|AC| − |AB| = 2d sin θ

Prin reflexia totala se introduce deasemenea o diferenta de faza ϕr. In aceste

conditii conditia de self-consistenta se poate scrie:

(1.31)2π

λ· 2d sin θ − 2ϕr = 2πm m = 0, 1, 2, . . .

sau

(1.32) 2kyd− 2ϕr = 2πm

Page 27: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 19

Conditia (1.32) este analoaga conditiei impuse ın cazul ghidului de unda cu oglinzi

(1.5) ın care ϕr = π. Tinand cont de faptul ca prin reflexia unei unde plane TE

polarizate pe directia x, diferenta de faza ϕr este data de relatia:

(1.33) tanϕr

2=

√sin2 θc

sin2 θ− 1

rezulta ca ϕr scade de la π pana la 0 atunci cand θ ∈ [0, θc]. Din relatia (1.31) se

obtine

tan(

πd sin θ

λ−m

π

2

)= tan

( ϕr

2

)

si conform (1.33) rezulta:

(1.34) tan(

πdλ

sin θ −mπ

2

)=

√sin2 θc

sin2 θ− 1

Ecuatia (1.34) este o ecuatie transcendenta cu variabila sin θ. Solutiile acestei

ecuatii determina modurile de propagare caracterizate de θm. O metoda pen-

tru a afla solutiile aproximative ale acestei ecuatii este metoda grafica. Membrul

stang al ecuatiei de mai sus are graficul format din 2 familii de curbe:

• tan(

πdλ sin θ

)daca m = 2k;

• cot(

πdλ sin θ

)daca m = 2k− 1;

iar membrul drept al ecuatiei reprezinta tan ϕr2 functie monoton descrescatoare

care atinge valoarea minima 0 pentru sin θ = sin θc. Solutiile ecuatiei (1.34) sunt

date de punctele de intersectie dintre graficele functiilor corespunzatoare celor

2 membri ai ecuatiei (Figura 1.9). In aceeasi figura cu cercuri sunt reprezentate

si solutiile corespunzatoare modurilor ghidului de unda cu oglinzi ideale cand

ϕr = π. Pentru ghidul de unda plan dielectric unghiurile de propagare care

determina modurile ghidului sunt cuprinse ın intervalul θm ∈ [0, θc].

Constantele de propagare

Pentru modurile TE caracterizate de unghiurile de propagare θm se obtine un

vector de unda k(0, n1k0 sin θm, n1k0 cos θm). Proiectiile vectorilor de unda km pe

Page 28: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

20 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

S

S

SS

S

m=4m=3m=2m=1

sin 2d

membrul stâng membrul drept

S solu ia ecua iei

m=0

Figura 1.9

Solutiile pentru modurile de propagare pentru un ghid de unda dielectric plan.

directia de transmisie a ghidului de unda z determina constantele de propagare

ale fiecarui mod:

(1.35) βm = n1k0 cos θm

Deoarece cos θm are valori cuprinse ıntre 1 si cos θc = n2/n1 rezulta constante de

propagare cu valori cuprinse n intervalul n2k0 si n1k0 (Figura 1.10).

Numarul maxim de moduri

Atunci cand s-au obtinut grafic valorile pentru fiecare mod de propagare (Fi-

gura 1.9) abscisa este ımpartita ın intervale egale cu λ/2d si cum sin θ ≤ sin θc

numarul maxim de moduri TE permise este 5:

(1.36) M =[

sin θc

λ/2d+ 1

]

5Aici cu paranteze patrate [·] s-a notat functia parte ıntreaga.

Page 29: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 21

n2k0

n1k0sin c

n1k0

ky

n2k0

m

kz=n1k0

1

2

3

M

m

Figura 1.10

Constantele de propagare corespunzatoare diferitelor moduri ale ghidului de unda plan

paralel cu dielectric.

Acest numar maxim de moduri se mai poate scrie substituind ın relatia de mai

sus cos θc = n2/n1:

(1.37) M =[

1 + 2d

λ0NA

]

unde:

(1.38) NA =√

n21 − n2

2

este apertura numerica a ghidului de unda (este sinusul unghiului de incidenta

care este permis razelor de lumina la patrunderea din aer ın stratul ghid de unda

ıncat sa aiba loc reflexia totala interna).

Spre deosebire de ghidul de unda cu oglinzi ideale, ghidul de unda dielectric

nu are frecventa sau lungime de unda de taiere deoarece ın dielectric modul TE

cu m = 0 este permis ıntotdeauna (Figura 1.11). Totusi, fiecare mod m = 1, 2, . . .

Page 30: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

22 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Num

rul m

axim

de

mod

uri M

c0/(NA 2d)

Figura 1.11

Numarul de moduri TE functie de frecventa pentru un ghid de unda plan cu dielectric.

are frecventa de taiere. Daca λ/2d > sin θc sau 2dλ0

NA < 1 este permis doar un

singur mod. Acest lucru se poate ıntampla daca stratul de dielectric este suficient

de subtire sau cand lungimea de unda este suficient de mare. Numarul maxim

de moduri permise de acest ghid de unda poate fi scris si functie de frecventa

undei:

(1.39) M =

1 +

NAc0

2d

ν

Exemplu: Intr-un ghid de unda alcatuit dintr-un start de AlxGa1−x As aflat

ıntre doua straturi AlyGa1−y As prin modificarea concentratiilor x, y de Al rezulta

indici de refractie diferiti. Se pot alege concentratii astfel ıncat pentru λ0 = 0.9µm,

n1 = 3, 5 si n1 − n2 = 0, 05. Intr-un astfel de ghid de unda pentru un strat de

grosime d = 10µm numarul maxim de moduri este M = 14 si pentru d < 0, 76µm

ghidul de unda este monomod.

Page 31: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 23

Distributiile campului electromagnetic

Spre deosebire de ghidul de unda cu oglinzi plane studiat ın sectiunea ante-

rioara, ın cazul ghidului de unda dielectric va trebui sa se afle distributia de camp

atat ın interiorul ghidului cat si ın substrat si ın ınvelis (numit aici camp extern).

Campul intern

Campul intern este compus din cele doua unde TE care se propaga sub un-

ghiurile±θm fata de axa z cu vectorii de unda k(0,±n1k0 sin θm, n1k0 cos θm). Cele

doua unde au aceeasi valoare a amplitudinii si o diferenta de faza mπ ın centrul

ghidului. Din acest motiv componenta Ex(y, z) este:

Ex(y, z) = amum(y) exp(−jβmz)

unde:

βm = n1k0 cos θm

este constanta de propagare, am este o constanta si functiile de distributie pentru

camp sunt:

um(y) ∝

cos(

2π sin θmλ

), m = 2k;

sin(

2π sin θmλ

), m = 2k + 1

− d2≤ y ≤ d

2si λ =

λ0

n1(1.40)

Se observa ca desi intensitatea campului electric are o variatie armonica nu se

anuleaza la marginea stratului.

Campul extern

Valoarea campului ın exteriorul ghidului trebuie sa identic cu valoarea campului

intern ın toate punctele de marginire y = ±d/2. Din acest motiv variatia campului

Page 32: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

24 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

extern ın directia de propagare z trebuie sa fie de tip exp(−jβmz). Se stie ca in-

tensitatea campului electric al undei trebuie sa satisfaca si ecuatia Helmholtz:(∇2 + n2

2k20

)Ex(y, z) = 0(1.41)

si substituind ın aceasta ecuatie Ex(y, z) = amum(y) exp(−jβmz) rezulta:

d2um

dy2 − γ2mum = 0(1.42)

cu notatia:

γ2m = β2

m − n22k2

0(1.43)

Cum pentru modurile ghidate (corespunzatoare reflexiei totale) βm > n2k0 ıncat

γ2m > 0 si solutiile ecuatiei diferentiale (1.42) sunt functii exponentiale de tipul

exp(−γmy) si exp(γmy). Deoarece intensitatea campului electric trebuie sa des-

creasca atunci cand y → ±∞ se alege:

(1.44) um(y) ∝

exp(−γmy), y > d/2

exp(γmy), y < −d/2

Marimea γm este cunoscuta sub numele de coeficient de extinctie iar unda este o

unda evanescenta.

Coeficientul de extinctie corespunzator unui mod de propagare m poate fi

scris functie de unghiul θm conform βm = n1k0 cos θm si cos θc = n2/n1 rezulta:

(1.45) γm = n2k0

√cos2 θm

cos2 θc− 1

Pentru modurile superioare (m mare) unda patrunde mai adanc ın substrat sau

ın ınvelis deoarece θm este direct proportional cu m si coeficientul de extinctie γm

ia valori mai mici (Figura 1.12).

Determinarea coeficientilor de proportionalitate din relatiile (1.40) si (1.44) se

face prin impunerea conditiei de ortogonalitate pentru functiile um(y):

(1.46)∫ ∞

−∞um(y)ul(y)dy = δml

Page 33: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 25

Figura 1.12

Distributia intensitatii campului electric ıntr-un ghid de unda plan dielectric pentru di-

ferite valori ale modului de propagare m.

Un camp electromagnetic TE arbitrar poate fi descompus ıntr-o suma de mo-

duri de propagare ın interiorul ghidului dielectric:

(1.47) Ex(y, z) = ∑m

amum(y) exp(−jβmz)

Distributia modurilor TM se poate determina asemanator ca ın cazul ghidu-

lui de unda cu oglinzi plan paralele. Componenta Ez(y, z) este asemanatoare cu

proiectia pe x a vectorului intensitate camp electric din unda TE. Prin utiliza-

rea ecuatiilor lui Maxwell se pot determina si celelalte componente ale campului

pentru unda TM.

Observatie: Distributia campului pentru modul m = 0 a undei TE este asema-

natoare ca forma unui fascicul Gaussian. Spre deosebire de fasciculul Gaussian

lumina nu se ımprastie pe directia transversala pe directia de propagare. In ghi-

dul de unda, tendinta luminii de a fi ımprastiata este compensata de ghidarea

prin stratul de dielectric (Figura 1.13).

Page 34: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

26 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Figura 1.13

Un fascicul Gauss de lumina si modul m = 0 pentru propagarea ıntr-un ghid de unda

plan dielectric.

Factorul de confinare

Definim factorul de confinare pentru un ghid de unda cu dielectrici ca fiind

raportul dintre puterea transmisa prin strat si puterea totala incidenta ın ghid:

(1.48) Γ =

∫ d/20 u2

m(y)dy∫ ∞0 u2

m(y)dy

si are valoare maxima pentru modul corespunzator unui θm minim (modul cu m

minim).

Viteza de grup

Viteza de grup poate fi determinata daca se tine cont de relatia: k2y = (ω/c1)2−

β2 si conform relatiei de self-consistenta (1.32) se obtine:

(1.49) 2d

[(ω

c1

)2

− β2

]1/2

= 2ϕr + 2πm

Page 35: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 27

Cum cos θ = β/(ω/c1) si conform definitiei unghiul complementar limita cos θc =

n1/n1 = c1/c2 se poate calcula tan ϕr din (1.33):

(1.50) tan2 ϕr

2=

β2 −ω2/c22

ω2/c21 − β2

Inlocuind aceasta relatie ın (1.49) rezulta:

(1.51) tan2

d2

[(ω

c1

)2

− β2

]1/2

− mπ

2

=

β2 −ω2/c22

ω2/c21 − β2

Relatia (1.51) este relatia de dispersie pentru ghidul de unda cu dielectric (v. Fi-

gura 1.14).

Figura 1.14

Graficul relatiei de dispersie pentru un ghid de unda plan paralel cu dielectric.

Vitezele de grup corespunzatoare diferitelor moduri de propagare au valori

cuprinse ıntre c1 si c2 8vitezele de faza corespunzatoare stratului de propagare si

Page 36: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

28 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

substratului. Pentru o valoare a pulsatiei data ω, modurile cel mai putin ınclinate

(m = 0) se propaga cu viteza de grup cea mai apropiata de c1. Modul cel mai

oblic (m = M) are o viteza de grup apropiata de c2. Acest lucru nu este sur-

prinzator deoarece o mare parte a energiei undei oblice se propaga si ın substrat

cu viteza c2 (v. Figura 1.15). Este de remarcat faptul ca diferenta maxima dintre

Figura 1.15

Viteza de grup pentru diferite moduri de propagare ıntr-un ghid de unda plan paralel cu

dielectric.

timpii de propagare a diferitelor moduri ın acest tip de ghid de unda pe distanta

L este:

(1.52) στ =Lc1

unde ∆ = (n1 − n2)/n1.

Prin derivarea relatiei de dispersie se obtine:

(1.53)2d2ky

(2ω

c21

dβ− 2β

)= 2

∂ϕr

∂β+ 2

∂ϕr

∂ω

Substituind dω/dβ = vg, ky/(ω/c1) = sin θ si ky/β = tan θ si introducand para-

metrii:

(1.54) ∆z =∂ϕr

∂β, ∆τ = −∂ϕr

∂ω

Page 37: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.3. GHIDURI DE UNDA CU DIELECTRICI PLANI 29

se obtine viteza de grup ın ghidul de unda dielectric:

(1.55) v =d cot θ + ∆z

d csc θ/c1 + ∆τ

Asa cum am vazut si ın cazul ghidului de unda plan paralel cu oglinzi d cot θ

este distanta parcursa pe directia z atunci cand unda se reflecta pe cele doua

oglinzi. Aceasta distanta este parcursa ın timpul d csc θ/c1. Raportul dintre cele

doua marimi este tocmai viteza de grup vg = c1 cos θ pentru ghidul de unda

cu oglinzi. Expresia (1.55) indica faptul ca undele parcurg o distanta mai mare

decat ın cazul utilizarii oglinzilor cu ∆z ıntr-un timp ∆τ. Acest lucru poate fi

explicat prin patrunderea undelor ın stratul care margineste miezul ghidului de

unda ceea ce este echivalent cu o deplasare laterala a directiilor de transmisie ın

ghid (v. Figura 1.16) Acest efect de ”patrundere a razei” chiar la reflexie totala se

Figura 1.16

Reflexia totala cu saltul de faza corespunzator este echivalent cu parcurgerea unei

distante suplimentare ∆z cu viteza c1/ cos θ

numeste efect Goos-Hanchen. Se poate arata ca ∆z/∆τ = ω/β = c1 cosθ. Astfel,

modurile mai ınclinate au viteza de grup mai mare pe frontiera ghidului fata de

modurile mai putin ınclinate. Acest fenomen determina viteza de grup rezultanta

astfel ıncat viteza de grup a modurilor mai ınclinate este mai mare decat pentru

modurile cu m mic, spre deosebire de cazul unui ghid cu oglinzi plane paralele.

Page 38: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

30 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

1.4 Ghiduri de unda bidimensionale

Ghidurile de unda bidimensionala ghideaza lumina pe directia de propagare

z si o confineaza pe celelalte doua directii x si y. Principiile de functionare sunt

aceleasi ca si pentru ghidurile de unda unidimensionale tratate ın sectiunile ante-

rioare, doar tratarea matematica este mai dificila datorita complexitatii relatiilor.

Ghiduri de unda rectangulare cu oglinzi

Consideram o unda electromagnetica plana care se propaga printr-un ghid

optic bidimensional cu sectiune transversala patrata (Figura 1.17). Unda plana

Figura 1.17

Ghid de unda bidimensional cu sectiune patrata si modurile de propagare.

este caracterizata printr-un vector de unda k(kx, ky, kz). Componentele kx si ky

pentru diferite moduri de propagare sunt:

2kxd = 2πmx, mx = 1, 2, . . .

2kyd = 2πmy, my = 1, 2, . . .(1.56)

Page 39: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.4. GHIDURI DE UNDA BIDIMENSIONALE 31

ıncat fiecare mod este determinat de doua numere naturale nenule (mx, my) si

pentru a calcula constanta de propagare β = kz din:

k2x + k2

y + β2 = n2k20(1.57)

unde n este indicele de refractie al materialului din interiorul ghidului de unda.

Numarul de moduri pentru ghidul de unda bidimensional M se poate determina

daca se stie ca k2x + k2

y ≤ n2k20, inecuatie care reprezinta interiorul unui sfert de

disc de raza nk0 (Figura 1.17):

M2D ' 2π(nk0)2/4

(π/d)2 = 2aria 1/4 cercaria celula

= 2d2

(n · 2π

λ0

)2

4π= 2

π

4

(2dλ

)2(1.58)

aici factorul 2 s-a introdus deoarece pentru fiecare mod de propagare exista 2

moduri distincte de polarizare. Prin compararea acestui numar M2D cu numarul

de moduri pentru ghidul de unda unidimensional (1.16):

M = 22dλ⇒ M2D . M2

Distributia intensitatii campului electric ın interiorul ghidului de unda bidi-

mensional poate fi regasita prin generalizarea distributiei ın cazul unidimensio-

nal (ın fapt este aceeasi distributie unidimensionala pe x si pe y dupa numerele

de ordine ale modurilor respective mx si my).

Ghid de unda rectangular dielectric

Pentru un ghid de unda dielectric cu sectiune transversala patrata (Figura 1.18)

o unda plana cu vectorul de unda k(kx, ky, kz) se propaga fara pierderi de energie

prin ghid daca:

k2x + k2

y ≤ n21k2

0 sin2 θc unde(1.59)

θc = cos−1( n2

n1

)

Page 40: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

32 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Figura 1.18

Ghid de unda dielectric bidimensional cu sectiune transversala patrata.

este unghiul limita complementar pentru a avea loc reflexia totala ın ghidul die-

lectric.

Spre deosebire de ghidul de unda cu oglinzi unde modurile sunt echidistante,

pentru ghidurile cu dielectrici ıntre doua valori consecutive pentru kx si ky nu este

o valoare constanta dar media intervalelor dintre vectorii de unda este tot pi/d

(la fel ca la oglinzi) ıncat numarul de moduri:

(1.60) M = 2(π/4)(n1k0 sin θc)2

(π/d)2 ' 2π

4

(2dλ0

)2

NA2

unde NA =√

n21 − n2

2 este apertura numerica a ghidului de unda. Atunci cand

s-a considerat ca modurile pentru ghidurile de unda bidimensional cu dielectric

sunt uniform distribuite ”ın medie”, eroarea este cu atat mai mica cu cat numarul

de moduri M este mai mare.

Page 41: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.4. GHIDURI DE UNDA BIDIMENSIONALE 33

Tipuri de ghiduri de unda dielectrici

In practica ghidurile de unda rectangulare cu dielectric se pot realiza sub di-

verse forme dupa tehnologia de fabricare utilizata (Figura 1.19) sau dupa modul

de utilizare (Figura 1.20).

Figura 1.19

Diferite tipuri de ghiduri de unda: (a) banda, (b) inclus, (c) crestat, (d) banda depusa.

Figura 1.20

Diferite utilizari pentru ghiduri de unda: (a) drept, (b) ındoit S, (c) ın Y, (d) Mach-

Zehnder, (e) cuplor directional, (f) intersectie

Ghidurile de unda bidimensionale cu dielectric sunt realizate din mai multe

materiale dielectrice:

• Ti:LiNbO3 se realizeaza prin difuzia Titanului ın substratul de oxid de Litiu

si Niobiu avand ca efect cresterea indicelui de refractie.

• GaAs straturi de GaAs combinate cu AlGaAs de indice de refractie mai mic;

Page 42: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

34 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

• Sticla se realizeaza diverse straturi de sticla prin schimb de ioni.

Ghidurile de unda bidimensionale cu dielectric sunt utilizate ın dispozitivele op-

tice si optoelectronice, ın modulatoare si comutatoare optice.

1.5 Cuplajul radiatiei optice ın ghidurile de unda

Cuplaj de intrare

Mod excitare

Lumina se propaga ın ghidurile de unda sub forma de moduri:

(1.61) E(y, z) = ∑m

amum(y) exp(−jβmz)

unde am este amplitudinea intensitatii campului electric, um(y) este distributia

transversala (presupusa reala) si βm este constanta de propagare pentru modul

m. Valoarea amplitudinii am depinde de natura luminii de ”excitare” a ghidului

de unda. Daca sursa de radiatii corespunde doar unui anumit mod al ghidului

de unda atunci prin ghid se va propaga doar acel mod. O sursa, ınca, este ca-

racterizata de o distributie notata cu s(y) ce poate excita mai multe moduri cu

diferite amplitudini. Fractiunea din puterea sursei transferata catre un anumit

mod de propagare depinde gradul ın care se aseamana distributiile s(y) si um(y).

Altfel spus se poate dezvolta s(y) ıntr-o serie de functii um(y) cu diferite ponderi

(Figura 1.21):

(1.62) s(y) = ∑m

amum(y)

unde coeficientii am sunt amplitudinile modului m:

(1.63) am =∫ +∞

−∞s(y)um(y)dy

(s-a tinut seama de ortogonalitatea functiilor um (1.46)).

Page 43: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.5. CUPLAJUL RADIATIEI OPTICE IN GHIDURILE DE UNDA 35

Figura 1.21

Sursa de lumina excita anumite moduri de propagare ın interiorul ghidului de unda.

Cuplori de intrare

Lumina de la o sursa de radiatii va trebui sa patrunda ın ghidul de unda

astfel ıncat sa se realizeze conditiile de reflexie totala ın interiorul ghidului (Fi-

gura 1.22). Intr-un ghid de unda monomod acest lucru este greu de realizat da-

Figura 1.22

Cuplajul direct al radiatiei ın ghidul de unda.

torita faptului ca stratul de propagare are dimensiuni mici si cuplajul direct este

ineficient iar sursa ar trebui sa aiba aceeasi polarizare pentru acel mod.

Daca ghidul de unda este de tip multimod, cantitatea de energie cuplata poate

fi calculata folosind optica geometrica. Un rol important aici ıl joaca apertura

Page 44: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

36 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

numerica:

(1.64) NA = sin θa = n1 sin θc = n1

√1−

(n2

n1

)2

=√

n21 − n2

2

La un cuplaj cu eficienta maxima lumina incidenta trebuie sa fie focalizata pe

ghidul de unda sub un unghi mai mic cel mult egal cu θa.

Lumina poate fi cuplata direct si de la o sursa cu semiconductori (LED sau

dioda laser) prin alinierea capatului fibrei cu ghidul de unda lasand un spatiu

mic prin care se regleaza cuplajul maxim (Figura 1.23).

Figura 1.23

Cuplajul direct ıntre LED (sau dioda laser) si ghidul de unda.

Cuplor cu prisma

Energia radiatiei optice poate fi cuplata sau decuplata ın/din ghidul de unda

folosind o prisma cu indice de refractie np > n2 situata la distanta dp de ghid

(Figura 1.24).

O unda incidenta este reflectata ın prisma sub unghiul θp. Atat unda inci-

denta cat si unda reflectata total au o constanta de propagare βp = npk0 cos θp.

Distributia campului transversal se extinde peste suprafata de separatie ıntre

prisma-aer-ghid de unda si scade exponential.. Daca distanta dp este suficient

de mica, unda este cuplata pe un mod cu o constanta de propagare βm ' βp.

Page 45: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.5. CUPLAJUL RADIATIEI OPTICE IN GHIDURILE DE UNDA 37

Figura 1.24

Cuplajul cu prisma.

Cuplaj ıntre ghiduri de unda

Daca doua ghiduri de unda sunt suficient de apropiate atunci campurile elec-

tromagnetice din ghiduri se pot suprapune. Puterea optica poate fi transferata

ıntre ghiduri si fenomenul poate fi utilizat pentru realizarea cuplorilor si comu-

tatoarelor optice.

Se considera 2 ghiduri de unda planari format din doua straturi de grosime d

separate la distanta 2a si indici de refractie n1 si n2 marginiti de un mediu cu indi-

cele de refractie n (Figura 1.25). Studiul modurilor de propagare ın aceasta struc-

tura se realizeaza prin rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell tinand cont de conditiile

de marginire. Totusi, o teorie aproximativa, denumita teoria modurilor cuplate are

rezultate satisfacatoare si se poate utiliza ın locul teoriei electromagnetice.

Teoria modurilor cuplate presupune ca modurile de propagare caracteristic

fiecarui ghid de unda ın parte ın absenta celuilalt ghid raman cu aceleasi con-

stante de propagare β1 si β2 dar si aceleasi distributii transversale de camp u1(y)

si u2(y). Totusi, amplitudinile acestor unde sunt afectate atunci cand se realizeaza

cuplajul se modifica si vor depinde de z: a1(z) si a2(z).

Page 46: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

38 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Figura 1.25

Cuplajul dintre ghiduri de unda dielectrici planari.

Cuplajul ıntre ghidurile de unda poate fi considerat ca un efect de ımprastiere

a campului electromagnetic dintr-un ghid ın celalalt.

Se poate arata ca amplitudinile a1(z) si a2(z) sunt solutii ale unor ecuatii

diferentiale cuplate (numite ecuatiile modurilor cuplate):

da1

dz= −jC21 exp(j∆βz)a2(z)(1.65)

da2

dz= −jC12 exp(−j∆βz)a1(z)(1.66)

unde ∆β = β1 − β2 este diferenta dintre valorile constantelor de propagare pen-

tru cele doua ghiduri de unda (altfel spus, eroarea de faza pe unitatea de lungime)

si

C21 =n2

2 − n2

2k2

0

β21

∫ a+d

au1(y)u2(y)dy(1.67)

C12 =n2

1 − n2

2k2

0

β22

∫ −a

−a−du2(y)u1(y)dy(1.68)

sunt coeficientii de cuplaj. Sa presupunem ca ın ghidul 2 nu exista initial nici o

unda electromagnetica, adica a2(0) = 0 si a1(0) 6= 0 si solutiile de tip armonic

Page 47: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.5. CUPLAJUL RADIATIEI OPTICE IN GHIDURILE DE UNDA 39

pentru ecuatiile modurilor cuplate sunt:

a1(z) = a1(0) exp(

j∆βz2

)(cos γz− j

∆β

2γsin γz)(1.69)

a2(z) = a1(0)C12

jγexp

(−j

∆βz2

)sin γz(1.70)

unde:

γ2 =(

∆β

2

)2

+ C2 si(1.71)

C =√C12C21(1.72)

cum puterea undei electromagnetice transmise prin fibra optica este proportionala

cu patratul modulului amplitudinii undei rezulta:

P1(z) = P1(0)[

cos2 γz +(

∆β

)sin2 γz

](1.73)

P2(z) = P1(0)|C12|2

γ2 sin2 γz(1.74)

Relatiile de mai sus descriu modul ın care puterea undelor se propaga prin ghi-

durile de unda cuplate. Mai mult, se observa ca puterea este schimbata ıntre

ghidurile de unda cu perioada 2π/γ (Figura 1.26). Cazul particular cand ghidu-

rile de unda sunt identice n1 = n2, β1 = β2 implica si conservarea puterii cand

C12 = C21 = C iar relatiile pentru puteri sunt:

P1(z) = P1(0) cos2 Cz(1.75)

P2(z) = P1(0) sin2 Cz(1.76)

Intr-un astfel de dispozitiv se poate realiza cuplarea unei parti din puterea optica

dintr-un ghid ın altul (Figura 1.27) Astfel, la distanta z = L0 = π/2C, numita

distanta de transfer, puterea este transferata ın ıntregime din ghidul 1 ın ghidul

2 (Figura 1.28). Daca lungimea de transfer se ınjumatateste la L0/2, atunci pe

cuplor puterea se ımparte egal 50/50 (dispozitiv care actioneaza ca un cuplor

3− dB, de tip ”beamsplitter” - ımparte semnalul ın doua jumatati).

Page 48: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

40 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

Figura 1.26

Puterea este schimbata periodic ıntre ghidurile de unda cuplate

Figura 1.27

Puterile optice ın doua ghiduri identice.

Page 49: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

1.5. CUPLAJUL RADIATIEI OPTICE IN GHIDURILE DE UNDA 41

Figura 1.28

Doua configuratii de cuplori optici cu ghiduri de unda.

Comutarea prin cuplajul fazei

Un ghid de unda cuplor cu lungimea fixa L0 = π/2C, de exemplu, are o rata

de transfer a puterii atunci cand se introduce o variatie mica a constantelor de

propagare ∆β (diferenta de faza pe unitatea de lungime). Se defineste transferul

de putere ca fiind raportul dintre puterea la iesire pe ghidul de unda 2 si puterea

la intrare ın ghidul de unda 1: T = P2(0)/P1(0). Conform cu relatiile (1.74) si

Figura 1.29

Functia de transfer de putere.

Page 50: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

42 CAPITOLUL 1. PROPAGAREA LUMINII IN GHIDURI DE UNDA

(1.71) rezulta:

(1.77) T =(π

2

)2sinc2

1

2

√1 +

(∆βL0

π

)2

unde functia sinc(x) = sin(πx)/(πx) Transferul de putere T = 1 atunci cand

∆βL0 = 0 si scade pana la 0 cand ∆βL0 =√

3π (Figura 1.29) Dependenta pute-

rii transferate de ∆β poate fi utilizata ın constructia cuplorilor comandati electric.

Daca ∆βL0 are o valoare stabilita ıntre 0 si√

3π unda electromagnetica este comu-

tata de pe un ghid pe altul cu diverse rapoarte de puteri. In plus, daca materialul

celor ghidurilor de unda sunt active electro-optic (indicele de refractie variaza

prin aplicarea unui camp electric extern), atunci se poate modifica diferenta ∆β

dupa dorinta si implicit se poate realiza un cuplaj controlat de la distanta.

Page 51: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

CAPITOLUL 2

Fibre optice

Cuprins2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie . . . . . . . . . . . . . 44

Raze ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Apertura numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Undele ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Fibre monomod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie . . . . . . . . . . 61

Unde ghidate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Constantele si vitezele de propagare . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4 Atenuarea si dispersia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Atenuarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Dispersia radiatiilor optice prin fibrele optice . . . . . . . . . . . 76

Propagarea pulsului de energie luminoasa . . . . . . . . . . . . 85

2.1 Introducere

O fibra optica este un ghid de unda dielectric cilindric realizat din materiale cu

pierderi mici cum este sticla de siliciu SiO2. Fibra optica are un miez central (de

43

Page 52: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

44 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

raza a) ın care se propaga lumina (Figura 2.1). Miezul este ınconjurat de un strat

cu indice de refractie mai mic decat al miezului (de raza b). Intr-o astfel de fibra

optica lumina poate fi ghidata cu pierderi foarte mici de doar 0, 16dB(≈ 3, 6%).

Figura 2.1

Reprezentarea schematica a unei fibre optice.

Daca diametrul miezului este mic atunci ın fibra optica se poate propaga doar

un singur mod (fibra se va numi fibra optica monomod). Pe masura ce diametrul

fibrei se mareste se pot propaga din ce ın ce mai multe moduri (fibra optica mul-

timod). Propagarea undelor ın fibrele optice multimod presupune existenta unor

diferente ıntre vitezele de grup ale diferitelor moduri. Acest lucru duce la largirea

pulsurilor pe masura ce unda traverseaza fibra (efect numit dispersie modala) ceeadispersia modala

ce limiteaza viteza de transmisie a comunicatiilor pe fibra optica.

Dispersia modala poate fi redusa prin utilizarea fibrelor optice cu gradient de

indice de refractie astfel ıncat are o valoare maxima ın centrul miezului si este

minim la margine (Figura 2.2).

2.2 Fibre optice cu salt de indice de refractie

A Astazi fibrele cu salt de indice de refractie se produc ın geometrii standard

pentru care raportul dintre diametrul miezului si a stratului exterior 2a/2b poate

fi: 8/125, 50/125, 62.5/125, 85/125, 100/140 (valorile sunt trecute ın µm). Indicii

de refractie pentru miez n1 si pentru ınvelis n2 au valori apropiate astfel ıncat

Page 53: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 45

Figura 2.2

(a) Fibra optica multimod cu salt de indice de refractie; (b) fibra optica monomod; (c)

fibra optica cu gradient de indice de refractie

variatia relativa a acestor indici:

(2.1) ∆ =n1 − n2

n1¿ 1

Fibrele optice cu salt de indice de refractie sunt realizate din sticla de siliciu SiO2

de puritate mare si variatia indicelui de refractie se realizeaza prin doparea sticlei

cu Ti, Ge, boron cu diferite concentratii. Astfel: n1 = 1, 44 ÷ 1, 46 functie de

lungimea de unda folosita si ∆ = 0, 001÷ 0, 002.

Page 54: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

46 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.3

Reflexia totala a unei raze din planul meridional.

Raze ghidate

Conditia de reflexie totala ın fibra optica θ > l = sin−1 n2n1

pentru unghiuri de

incidenta sau θ < θc < cos−1 n1n2

pentru unghiurile complementare. Razele care

se propaga ıntr-un plan meridional (plan care contine axa fibrei) raman incluse ın

acest plan fara schimbarea unghiului de incidenta (Figura 2.3) si cum n1 ≈ n2

rezulta ca θc are o valoare foarte mica ıncat toate razele ghidate de catre fibra ın

plan meridional sunt aproximativ paraxiale.

O raza ınclinata este identificata poate fi descrisa prin planul de incidenta

(paralel cu axa fibrei) care contine raza si unghiul pe care ıl face raza cu axa.

Planul de incidenta intersecteaza marginile cilindrice dintre miez si ınvelis sub

un unghi φ cu normala la suprafata de marginire, la o distanta R fata de axa

fibrei. Raza este identificata si de unghiului θ cu axa fibrei. Cand φ 6= 0 (R 6= 0)

raza se numeste ınclinata spre deosebire de raza meridionala pentru care φ = 0

si R = 0.

O raza ınclinata se reflecta repetat ın planele care fac unghiul φ cu suprafata

de separatie miez-ınvelis si urmeaza o traiectorie tip elice restransa ıntr-o patura

cilindrica de raza interna R si externa a (Figura 2.4). Proiectia traiectoriei ın planul

(x− y) este un poligon regulat, nu neaparat ınchis. Se poate arata ca aceasta raza

se reflecta total daca θ (unghiul format de raza cu axa z este mai mic decat θc.

Page 55: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 47

Figura 2.4

Propagarea unei raze ınclinate ıntr-o fibra optica.

Apertura numerica

O raza incidenta patrunde din aer ıntr-o fibra optica sub un unghi θa fata de

normala la planul de incidenta. Se pune problema de a calcula cat de mare trebuie

sa fie unghiul θa astfel ıncat raza refractata sa fie reflectata total ın interiorul fibrei.

Conform legii Snell la suprafata aer-miez:

1 · sin θa = n1 sin θc = n1

√1− cos2 θc = n1

√1−

(n2

n1

)2

=√

n21 − n2

2 = NA

Am definit astfel apertura numerica a fibrei ca fiind sinusul unghiului de incidenta

maxim pe care ıl poate avea o raza cand patrunde din aer ın miezul fibrei pentru

ca mai apoi sa fie reflectata total (altfel spus, sa fie o raza ghidata de fibra). Atunci

cand diferenta relativa a indicilor de refractie este mica se mai poate aproxima:

(2.2) NA =√

n21 − n2

2 ≈ n1√

2∆

si unghiul θa se mai numeste si unghi de acceptare a fibrei (Figura 2.5). Aper-

Page 56: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

48 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.5

O unda este ghidata de catre fibra optica daca are un unghi de incidenta mai mic decat

θa (unghiul de acceptare ce determina ın spatiu un con de acceptare).

tura numerica descrie capacitatea fibrei de a ghida lumina. Trebuie mentionat si

faptul ca razele de lumina refractate la capatul fibrei sunt cuprinse ıntr-un con cu

deschiderea θa.

Undele ghidate

Vom analiza ın continuare modurile de propagare pentru undele ghidate (un-

dele electromagnetice care satisfac conditiile de reflexie totala la interfata dintre

miez si ınvelisul exterior al fibrei).

Page 57: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 49

Distributiile spatiale ale campului electromagnetic

Ca si ın cazul modurilor de propagare ıntr-un ghid de unda dielectric rectan-

gular si ın cazul propagarii printr-o fibra optica atat intensitatea campului electric

cat si intensitatea (sau inductia) campului magnetic satisfac ecuatia Helmholtz:

∇2U + n2k20U = 0

unde cu U s-a notat unul din cei doi vectori ai campului electromagnetic si k0 =

2π/λ0. Ecuatia este satisfacuta de campul electromagnetic atat ın miezul fibrei

(unde n = n1 pentru r < a) cat si ın ınvelis (ın care n = n2 pentru r > a; se

presupune ca raza ınvelisului b este suficient de mare). In coordonate cilindrice

ecuatia Helmholtz se scrie:

(2.3)∂2U∂r2 +

1r

∂U∂r

+1r2

∂2U∂z2 + n2k2

0U = 0

cu U = U(r, φ, z) (Figura 2.6) Vom cauta solutiile ecuatiei de mai sus cores-

Figura 2.6

Componentele vectorului intensitate camp electric ın coordonate cilindrice.

punzatoare undelor care se propaga pe directia z cu o valoare a constantei de

propagare β. Din acest motiv solutia U o presupunem a fi de tip armonic pe

directia z: U ∝ e−jβz; periodica dupa unghiul φ cu perioada 2π: U ∝ e−jlφ cu

Page 58: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

50 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

l ∈ Z astfel ıncat presupunem ca:

(2.4) U(r, φ, z) = u(r)e−jlφe−jβz

si introducand aceasta functie ın ecuatia (2.3) rezulta:

(2.5)d2udr2 +

1r

dudr

+(

n2k20 − β2 − l2

r2

)u = 0

Undele sunt ghidate atunci cand n2k0 < β < n1k0 si se definesc marimile:

k2T = n2

1k20 − β2(2.6)

γ2 = β2 − n22k2

0(2.7)

cu alte cuvinte, undele sunt ghidate de fibra atunci cand k2T > 0 si γ2 > 0 (kT si γ

sunt marimi reale). In aceste conditii ecuatia (2.5) se rescrie ın miezul fibrei:

(2.8)d2udr2 +

1r

dudr

+(

k2T −

l2

r2

)u = 0 (r < a)

si ın ınvelisul miezului:

(2.9)d2udr2 +

1r

dudr−

(γ2 +

l2

r2

)u = 0 (r > a)

Ecuatiile (2.8) si (2.9) au ca solutii nebanale si marginite functii de tip Bessel:

(2.10) u(r) ∝

Jl(kTr) r < a

Kl(γr) r > a

unde Jl(x) sunt functiile Bessel de speta I de ordin l; Kl(x) sunt functii Bessel

modificate de ordin l (functii Bessel de speta II).

Functia Jl(x) oscileaza ca un sin sau cos atenuat pentru x À 1:

Jl(x) '√

2πx

cos[

x−(

l +12

2

](2.11)

iar Kl(x) descreste exponential cu x pentru x À 1:

Kl(x) '√

π

2x

(1 +

4l2 − 18x

)exp(−x)(2.12)

Page 59: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 51

Figura 2.7

Functiile Bessel pentru doua moduri de propagare: (a) l = 0 si (b) l = 3.

Cele doua functii sunt reprezentate ın Figura 2.7 Cei doi parametri kT si γ deter-

mina profilul radial al campului electromagnetic. Astfel, o valoare mare pentru

kT ınseamna o variatie periodica mai rapida a distributiei campului ın miez, ın

timp ce o valoare mare pentru γ determina o scadere mai rapida a campului un-

dei ın ınvelis. Din definitiile celor doi parametri (2.6) si (2.7) se observa ca suma

patratelor celor doi parametri este o constanta pentru o lungime de unda data:

(2.13) k2T + γ2 = (n2

1 − n22)k2

0 = NA2k20

astfel ıncat atunci cand kT creste γ scade si campul va patrunde mai adanc ın

ınvelis iar pentru kT > NA · k0 si γ2 < 0 si unda ınceteaza sa se propage doar ın

limitele miezului (dispare reflexia totala).

Parametrul fibrei V

Se pot defini doi parametri X si Y adimensionali conform relatiilor:

(2.14) X = kTa; Y = γa

si ıntre cei doi parametri este valabila relatia:

(2.15) X2 + Y2 = V2

Page 60: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

52 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

unde V = NA · k0a:

(2.16) V = 2πa

λ0NA

este un parametru important de care depinde numarul de moduri pentru fibra

optica si constantele lor de propagare. Acest parametru se numeste parametrul

fibrei sau, mai scurt, parametrul V. O unda electromagnetica este ghidata de catre

fibra optica daca X < V.

Moduri de propagare

Modurile de propagare sunt determinate de constantele de propagare con-

form relatiei de dispersie (sau ecuatie caracteristica) β = β(a/λ0, n1, n2). Pentru de-

terminarea modurilor de propagare se impun conditiile de continuitate pentru

fiecare unda ın punctele ın care r = a (la interfata miez-ınvelis). Vor rezulta astfel

constantele de propagare ce vor depinde si de ordinul l al functiilor Bessel: βlm.

In acest fel modurile de propagare sunt sunt descrise de l si m: numere care vor

descrie distributia radiala si azimutala (de exemplu, l = 0 descrie propagarea

undelor meridionale). In plus, fiecarei perechi de numere l, m va fi caracterizata

si de 2 stari independente de polarizare pentru vectorii E si H.

Ecuatia caracteristica pentru o fibra cu ghidare slaba

Marea majoritate a fibrelor optice sunt fibre denumite cu ghidare slaba pen-

tru care ∆ ¿ 1 ceea ce determina ca doar razele paraxiale sa fie ghidate de

catre aceste fibre. In acest caz componentele longitudinale pentru intensitatea

campului electric si magnetic au valori mult mai mici decat componentele trans-

versale si unda este practic de tip transversal electromagnetic TEM. Un mod de

propagare liniar polarizat pe o directie ın planul (x, y) se noteaza LPlm. Daca se

impune conditia ca functia de distributie radiala a campului electromagnetic u(r)

Page 61: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 53

sa fie continua si cu derivata continua ın punctele r = a din (2.8) si (2.9) rezulta:

(2.17)(kTa)J′l (kTa)

Jl(kTa)=

(γa)K′l(γa)Kl(γa)

unde J′l si K′l sunt derivatele functiilor Bessel care satisfac identitatile:

J′l (x) = ±Jl±1(x)∓ lJl(x)

x

K′l(x) = −Kl∓1(x)∓ lKl(x)

x

De aici se poate deduce ecuatia caracteristica:

(2.18) XJl±1(X)

Jl(X)= ±Y

Kl±1(Y)Kl(Y)

si cum ıntre X si Y sunt legate prin relatia X2 + Y2 = V2 fiind date valorile pentru

V si l rezulta ca ecuatia caracteristica (2.18) este o ecuatie de o singura variabila X.

Radacinile acestei ecuatii determina modurile de propagare. Sa mai observam ca

ecuatia de mai sus ramane neschimbata daca se schimba semnul pentru l deoa-

rece J−l(x) = (−1)l Jl(x) si K−l(x) = Kl(x). Ecuatia (2.18) are solutii care pot fi

aflate grafic prin reprezentarea celor functie de X a membrului stang din relatie si

respectiv a membrului drept. Solutiile sunt reprezentate de intersectiile ıntre gra-

ficele celor doua functii (Figura 2.8). Se afla astfel solutii Xlm cu m = 1, 2, . . . , Ml

si corespunzator se va gasi valori pentru kTlm, γlm si constantele de propagare

βlm corespunzatoare.

Fiecare mod are o distributie radiala distincta. De exemplu: LP01(l = 0, m =

1) pentru V = 5 si LP34(l = 3, m = 4) pentru V = 25 sunt moduri reprezentate ın

Figura 2.7. Cum modurile (l, m) si (−l, m) sunt moduri care au aceeasi constanta

de propagare este interesant sa se analizeze distributia spatiala a superpozitiei

acestor unde: amplitudinea complexa a sumei este proportionala cu ulm(r) cos(lφ) exp(−jβlmz)

si intensitatea este proportionala cu u2lm cos2 lφ (Figura 2.9).

Page 62: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

54 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.8

Solutia grafica a ecuatiei caracteristice (2.18).

Figura 2.9

Distributiile radiale ale intensitatilor pentru modurile: (a) LP01 si (b) LP34.

Page 63: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 55

Taierea modurilor si numarul de moduri

Este evident din Figura 2.8 ca pe masura ce parametrul V creste va creste si

numarul de moduri (date de intersectiile celor doua curbe) pentru ca ın ecuatia

caracteristica (2.18) membrul stang nu depinde de V, iar membrul drept se ex-

tinde spre dreapta cand V creste. Considerand semnele minus ın ecuatia carac-

teristica (2.18) rezulta o intersectie a membrul stang din ecuatie cu axa X pentru

Jl−1(x) = 0. Aceste radacini vor fi notate cu Xlm cu m = 1, 2, . . .. Numarul de

moduri pentru acelasi l este egal cu numarul de radacini pentru functia Jl−1(x).

Din acest motiv numarul de moduri Ml < V. Modul (l, m) este permis daca

V = Xlm. Daca V descreste atunci modul (l, m− 1) ısi poate atinge punctul de

taiere s.a.m.d. Cea mai mica radacina pentru Jl−1(x) este X01 = 0 pentru l = 0

si urmatoarea valoare X11 = 2, 405 pentru l = 1. Atunci cand V < 2, 405 toate

modurile cu exceptia modului fundamental LP01 sunt taiate (nu se pot propaga).

Fibra optic va functiona doar ca un ghid monomod. O reprezentare a numarului

de moduri Ml functie de V este de tip scara si creste cu o unitate atunci cand se

ajunge la fiecare radacina Xlm a functiei Bessel Jl−1(x) (vezi tabelul 2.1).

Tabela 2.1

Parametrii de taiere pentru modurile LP0m si LP1m.

l\ m: 1 2 3

0 0 3.832 7.016

1 2.405 5.520 8.654

Daca se numara toate modurile posibile M indiferent de valoarea l se obtine

o variatie functie de parametrul V ca ın Figura 2.10. In acest grafic este de tip

scara cu salturi la fiecare radacina pentru Jl−1(x). La fiecare radacina se adauga

cate doua moduri deoarece pentru fiecare l > 0 se gaseste si modul −l identic cu

exceptia faptului ca se schimba semnul unghiului φ (modul acesta corespunde

razelor cu traiectorie elicoidala dar de sens opus). In plus, fiecarui mod i se aso-

Page 64: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

56 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.10

Numarul total de moduri functie de parametrul V a fibrei optice.

ciaza cate 2 stari de polarizare.

Numarul de moduri (Fibre cu V mare)

Pentru fibrele cu V mare, functia Jl±1(X) are un numar mare de radacini ın

intervalul 0 < X < V. Atunci cand X À 1 functia Bessel poate fi aproximata de

o functie sinusoidala si radacinile de taiere Xlm sunt aproximate de relatia:

(2.19) Xlm '(

l + 2m− 12± 1

2' (l + 2m)

π

2, l = 0, 1, . . . ; m À 1

Pentru o valoare l fixata distanta dintre doua radacini consecutive este π astfel

ıncat numarul de radacini Ml satisface relatia (l + 2Ml)π/2 = V de unde Ml 'V/π − l/2. Deci Ml descreste liniar cu l (Figura 2.11) ıncepand de la valoarea

V/π pentru l = 0 si terminand cu Ml = 0 cand l = lmax unde l = lmax = 2V/π.

Numarul total de moduri este: M = ∑lmaxl=0 Ml. Cum numarul de termeni este

foarte mare atunci numarul de moduri M se poate determina prin raportul dintre

aria triunghiului format de dreapta Ml cu axele. Astfel:

Page 65: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 57

Figura 2.11

Numarul de moduri ıntr-o fibra cu V mare este aproximat de aria triunghiului determinat

de legatura ıntre l, m si parametrul fibrei optice V.

M ' 412

2Vπ

=4

π2 V2(2.20)

unde 4 este datorat starilor de polarizare si solutiilor simetrice. Expresia (2.20)

este analoaga celei obtinute pentru un ghid de unda dielectric rectangular (1.60).

Reamintim ca aproximatia de mai sus este valabila doar ın cazul cand V este un

parametru cu valoare mare. Diferenta fata de valorile corecte sunt reprezentate

prin comparatie ın Figura 2.10.

Constantele de propagare (Fibre optice cu V mare)

Constantele de propagare se determina din ecuatia caracteristica (2.18) pentru

fiecare solutie Xlm de unde βlm =√

n21k2

0 − X2lm/a2.

Pentru V À 1, cea mai drastica aproximare pentru calculul constantelor de

propagare presupune ca Xlm au valori egale cu valorile de taiere a modurilor xlm.

Aceasta este echivalent cu a presupune ca ramurile din Figura 2.8 sunt aproxi-

mate de drepte verticale ıncat Xlm = xlm. Cum V À 1, numarul de radacini este

Page 66: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

58 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

mare si se pot folosi aproximatiile deduse pentru xlm si:

βlm =

√n2

1k20 − (l + 2m)2 π2

4a2(2.21)

cum:

M =4

π2 V2 =4

π2 NA2a2k20 =

4π2 (2n2

1∆)k20a2(2.22)

rezulta:

βlm = n1k0

√1− 2

(l + 2m)2

M∆(2.23)

Deoarece ∆ are o valoare mica se utilizeaza aproximarea (1 + δ)1/2 ' 1 + δ/2

pentru |δ| ¿ 1 se obtine relatia aproximativa pentru constantele de propagare:

βlm = n1k0

[1− (l + 2m)2

M∆

](2.24)

Cum l + 2m variaza ıntre 2 si ' 2V/π =√

M (v. Figura 2.11), βlm variaza apro-

ximativ ıntre n1k0 si n1k0(1− ∆) (Figura 2.12).

Vitezele de grup (Fibre cu V mare)

Pentru a determina viteza de grup vlm = dω/dβlm se va exprima constan-

tele de propagare βlm explicit functie de ω prin substitutia n1k0 = ω/c1 si M =

(8/π2)a2ω2∆/c21. De aici si din (2.24) rezulta (se mai tine cont si de faptul ca

∆ ¿ 1):

vlm ' c1

[1− (l + 2m)2

M∆

](2.25)

Deoarece valorile minime si maxime pentru l + 2m sunt 2 si√

M viteza de grup

va fi cuprinsa aproximativ ıntre c1 si c1(1 − ∆) = c1(n2/n1). Din acest motiv

vitezele de grup a modurilor de ordin mic sunt apropiate de viteza de faza din

miezul fibrei iar modurile de ordin mare au viteze de grup mai mici. Raportul

dintre viteza de grup cea mai mare si cea mai mica este egal cu raportul indicilor

de refractie ıntre miezul fibrei si ınvelis ∆.

Page 67: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.2. FIBRE OPTICE CU SALT DE INDICE DE REFRACTIE 59

Figura 2.12

(a) Constantele aproximative pentru βlm la o fibra optica cu V mare functie de l, m;

(b) Constanta de propagare exacta β01 pentru modurile fundamentale LP01 functie de

V, pentru V À 1 se obtine aproximativ β01 ' n1k0.

Fibre monomod

Asa cum am mai amintit, o fibra cu raza miezului a si apertura numerica

NA functioneaza ca o fibra monomod ın modul fundamental LP01 daca V =

2π(a/λ0)NA < 2.405. Altfel spus, fibra este monomod daca are diametrul mie-

zului mic si are o apertura numerica mica (cu n2 apropiat de n1). sau prin ope-

rarea la lungimi de unda suficient de mari. Modul fundamental are o distributie

spatiala Gaussiana si este modul care confineaza cel mai mult puterea undei elec-

tromagnetice ın miezul fibrei.

Se pot enumera o serie de avantaje pentru fibrele monomod atunci cand sunt

utilizate ın comunicatii. Astfel, diferite moduri au viteze de grup diferite si

determina aparitia unei ıntarzieri a semnalului ıncat pulsurile de lumina au o

ımprastiere ın timp (se largesc). Pe de alta parte, ın fibrele optice monomod

aceasta ımprastiere ın timp este mult mai mica decat ın cazul fibrelor modale.

Un alt dezavantaj al fibrelor multimod consta ın interferenta aleatorie a modu-

Page 68: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

60 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

rilor si se obtine un asa numit zgomot modal. Fenomenul este asemanator pierderii

ın claritate a semnalului radio datorita cailor multiple de transmisie (interferenta

distructiva ıntre doi transmitatori). In fibra monomod unda se transmite pe o

singura cale fara zgomot modal.

Datorita marimilor mici si a aperturilor numerice mici fibrele optice mono-

mod sunt excelente pentru integrarea cu tehnologia optoelectronica. Totusi, acelasi

lucru face ca fibrele monomod sunt mai fragile mai ales la ımbinarile cu partile

electronice ale retelelor de comunicatii.

Schimbarea polarizarii ın fibrele optice monomod

Intr-o fibra optica cu sectiune transversala circulara, fiecare mod se poate pro-

paga cu doua stari de polarizare distincte cu aceeasi constanta de propagare. Din

acest motiv, modul fundamental LP01 ıntr-o fibra optica monomod pot fi pola-

rizate pe doua directii x si y respectiv perpendiculare cu aceeasi constanta de

propagare si aceeasi viteza de grup. In principiu, nu exista un schimb de putere

Figura 2.13

(a) Fibra ideala (b) Cuplajul aleator ıntre polarizarile undelor.

ıntre cele doua componente polarizate liniar. In practica, datorita anumitor de-

Page 69: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 61

fecte constructive a fibrei se poate ıntampla ca puterile optice pe cele doua directii

de polarizare sa fie cuplate aleator ıncat lumina ısi schimba aleator starea de pola-

rizare dupa propagarea prin fibra (Figura 2.13). Daca ne intereseaza doar puterea

totala transmisa prin fibra acest fenomen de schimbare aleatorie a polarizarii nu

pune probleme datorita faptului ca este ınregistrata doar puterea totala transmisa

prin fibra.

In alte domenii de utilizare a fibrelor optice, de exemplu ın comunicatiile op-

tice coerente, dispozitive optice integrate, senzori optici bazati pe tehnici de inter-

ferometrie, trebuie mentinuta starea de polarizare a luminii si se va evita folosirea

fibrelor optice cu sectiune circulara. In aceste cazuri se utilizeaza de obicei fibre

cu sectiune transversala eliptica sau ın care au fost induse anizotropii ai indicelui

de refractie pentru eliminarea degenerarii starii de polarizare.

2.3 Fibre optice cu gradient de indice de refractie

Obtinerea fibrelor optice cu gradient de indice de refractie a permis reducerea

ımprastierii pulsului datorita faptului ca diferitelor moduri de propagare prin

fibra multimod le corespund viteze de grup diferite. Miezul unei astfel de fibre

optice are un indice de refractie care variaza radial fiind maxim ın centrul fibrei si

descreste pana la o valoare corespunzatoare indicelui de refractie al ınvelisului.

Viteza de faza pentru propagarea undelor luminoase ın acest caz este minima

ın centrul fibrei si creste gradual cu departarea de centru. Razele modului de

propagare ce se apropie cel mai mult de axa fibrei se vor propaga pe drumul cel

mai scurt cu viteza cea mai mica. Razele modului cel mai oblic se propaga pe

distante mai lungi ın marea majoritate a timpului ıntr-un mediu unde viteza de

faza este mai mare. Ca o consecinta imediata diferentele ıntre timpii de propagare

si ıntre vitezele de grup pentru diferite moduri se reduc.

Indicele de refractie al miezului fibrei optice n(r) are o valoare care depinde

de pozitia radiala r iar indicele de refractie al ınvelisului este constant si egal cu

Page 70: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

62 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

n2. Valoarea maxima pentru n(r) este n(0) = n1 si pentru r = a rezulta n(a) = n2

(v. Figura 2.14)

Figura 2.14

Geometria si profilul indicelui de refractie pentru fibra optica cu gradient de indice de

refractie.

O functie care ındeplineste conditiile de marginire de mai sus pentru profilul

indicelui de refractie n(r) este functia putere de forma:

n2(r) = n21

[1− 2

( ra

)p∆

], r ≤ a(2.26)

unde:

∆ =n2

1 − n22

2n21

≈ n1 − n2

n1(2.27)

si p o marime numita gradul profilului indicelui de refractie ce defineste forma aces-

tui profil. Astfel: pentru p = 1, n2(r) este o functie liniara de r; pentru p = 2

profilul este patratic etc. Daca p → ∞ atunci n2(r) se apropie de functia treapta

(v. Figura 2.15).

Propagarea razelor de lumina ıntr-un mediu cu gradient de indice de refractie

a fost discutata ın Sectiunea 1.3 Razele meridionale au traiectorii oscilatorii pla-

nare iar celelalte raze de lumina se propaga pe traiectorii elicoidale cu puncte de

ıntoarcere ce determina doua suprafete cilindrice (v. Figura 2.16)

Page 71: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 63

Figura 2.15

Profilul indicelui de refractie pentru o fibra optica pentru care n2(r) variaza ca o functie

putere pentru diferite grade p.

Unde ghidate

Modurile fibrei cu gradient de indice de refractie pot fi determinate prin re-

zolvarea ecuatiei Helmholtz (2.3) cu n = n(r) astfel ıncat se obtin distributiile

spatiale ale componentelor campului ce vor trebui sa satisfaca ecuatiile lui Max-

well cu conditiile de marginire ın centrul fibrei si la interfata miez-ınvelis. Aceasta

abordare este dificila, desi nu imposibila. Din acest motiv, vom utiliza o teorie

aproximativa bazata pe reprezentarea distributiei de camp pentru o unda cuasi-

plana ce se propaga ın miezul fibrei pe traiectoria unei raze optice ghidate. O

unda cuasi-plana este o unda caracterizata la un moment dat si ıntr-un punct dat

de aceeasi ecuatie ca si unda plana dar ısi schimba directia de propagare si am-

plitudinea putin pe masura ce se propaga. Aceasta aproximatie ne permite sa

utilizam notiuni de optica geometrica pentru determinarea constantelor de pro-

pagare pentru modurile ghidate iar metoda de calcul este denumita metoda WKB

(Wentzel-Kramers-Brillouin) si se poate aplica doar fibrelor optice cu un numar

mare de moduri (cu parametru V mare).

Page 72: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

64 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.16

Raze ghidate ın interiorul fibrei optice cu gradient de indice de refractie (a) raze meri-

dionale; (b) raze ınsurubate.

Unde cuasi-plane

In modelul undelor cuasiplane vom considera solutia ecuatiei Helmholtz de

tipul:

U(r) = a(r) exp[−jk0S(r)](2.28)

unde a(r) si S(r) sunt functii reale de pozitie ce variaza putin ın comparatie cu

lungimea de unda λ0 = 2π/k0. In plus marimea S(r) satisface ecuatia eikonal ın

mod aproximativ: |∇S|2 ≈ n2 si ca raza se se propaga ın directia gradientului

lui S (∇S). Daca se alege k0S(r) = k0s(r) + lφ + βz unde s(r) este o functie ce

Page 73: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 65

variaza putin cu r atunci ecuatia eikonal devine:

(k0

dsdr

)2

+ β2 +l2

r2 = n2(r)k20(2.29)

Frecventa spatiala locala a undei ın directia radiala este data de derivata partiala

a fazei k0S(r) ın raport cu r:

kr = k0dsdr

(2.30)

astfel ıncat (2.28) devine:

U(r) = a(r) exp(−j

∫ r

0krdr

)exp(−jlφl) exp(−jβz)(2.31)

si (2.29) permite calculul pentru frecventa spatiala locala:

k2r = n2(r)k2

0 − β2 − l2

r2(2.32)

Pentru a gasi semnificatia fizica a notiunii de unda cuasiplana, ın relatiile de mai

sus vom defini: kφ = l/r ıncat exp(−jlφ) = exp(−jkφrφ) si pentru kz = β gasim

ca k2r + k2

φ + k2z = n2(r)k2

0. Astfel: o unda cuasiplana are un vector de unda local

k de marime n(r)k0 si componente ın coordonate cilindrice (kr, kφ, kz). Cum n(r)

si kφ sunt functii de r, kr depinde si el de r. Directia lui k se se schimba ıncet

cu r (v. Figura 2.17) urmand o traiectorie elice similara cu cea a razei ınsurubate

prezentata anterior. Pentru a determina regiunea de propagare din miezul fibrei

cu gradient de indice de refractie trebuie impusa conditia ca frecventa spatiala

radiala kr sa aiba o valoare reala, altfel spus: k2r > 0. Pentru a afla k2

r = n2(r)k20 −

l2

r2 − β2 vom utiliza o metoda grafica (Figura 2.18):

• se reprezinta n2(r)k20 ın functie de r (curba groasa din Figura 2.18a);

• termenul l2/r2 este scazut rezultand curba cu linie ıntrerupta;

• valoarea lui β2 este reprezentata prin linia continua subtire verticala

• k2r este reprezentat de diferenta dintre linia ıntrerupta si linia subtire con-

tinua adica de regiunea hasurata;

Page 74: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

66 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.17

(a) vectorul k = (kr, kφ, kz) ın coordonate cilindrice; (b) unda cuasiplana.

• se observa ca regiunea pentru care k2r este pozitiv este cuprinsa ıntre rl si Rl

pentru care:

n2(r)k20 −

l2

r2 − β2 = 0 r = rl si r = Rl(2.33)

In concluzie: unda cuasiplana care se propaga ıntr-o fibra optica cu gradient de

indice de refractie se propaga ıntr-o regiune limitata ın sectiune transversala de

razele rl si Rl ca si ın cazul razei elicoidale.

Rezultatele de mai sus pot fi generalizate si ın cazul fibrelor cu salt de indice

de refractie ın care n(r) = n1 pentru r < a si n(r) = n2 pentru r > a. In acest

caz o unda cuasiplana este ghidata ın miez prin reflexia la interfata ınvelis-miez,

r = a. Regiunea de confinare a razelor este rl < r < a (Figura 2.18b) unde:

n21k2

0 −l2

r2l− β2 = 0(2.34)

In ınvelis (r > a) si langa centrul miezului (r < rl), k2r are valoare negative si

unda se amortizeaza devenind unda evanescenta. Observam ca rl depinde de β:

Page 75: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 67

Figura 2.18

Determinarea regiunii de propagare a undei cuasiplane ın fibrele optice cu gradient de

indice de refractie.

pentru valori mari ale lui β (sau l mare), rl ia valori mari, unda fiind confinata

ıntr-un strat cilindric subtire de la marginea miezului.

Modurile de propagare

Modurile de propagare ale fibrei cu gradient de indice de refractie sunt de-

terminate prin impunerea conditiei de reproducere a undei dupa un pas al elicei

ıntre rl, Rl si retur. Lungimea traiectoriei pe directia azimutala corespunde unui

unghi la centru de 2π ce trebuie astfel ıncat unda se va reproduce pe aceasta lun-

gime daca variatia fazei este un multiplu de 2π: kφ2πr = 2πl; l = 0,±1,±2, . . ..

Aceasta conditie este evident satisfacuta daca kφ = l/r; ın plus, lungimea radiala

pentru o propagare pe elicea completa trebuie sa corespunda unei variatii de faza

Page 76: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

68 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

multiplu de 2π:

2∫ R

rl

krdr = 2πm; m = 1, 2, . . . , Ml(2.35)

Aceasta conditie, analoaga conditiei de reproducere a undei pentru ghidurile de

unda plane (1.5) corespunde unei ecuatii caracteristice din care se pot calcula con-

stantele de propagare βlm pentru diferite moduri de propagare. In Figura 2.19 au

Figura 2.19

Constantele de propagare si regiunile de confinare a radiatiilor optice pentru diferite

moduri de propagare.

fost marcate schematic valorile pentru constantele de propagare si se observa ca

pentru modul m = 1 constanta de propagare β are cea mai mare valoare (aproxi-

mativ n1k0) si pentru m = Ml are cea mai mica valoare (aproximativ n2k0).

Numarul maxim de moduri de propagare

Numarul total de moduri poate fi determinat prin adunarea numarului de

moduri Ml pentru l = 0, 1, . . . , lmax. Notam cu qβ numarul de moduri cu o con-

Page 77: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 69

stanta de propagare mai mare decat o anumita valoare β data. Pentru fiecare

valoare l, numarul de moduri Ml(β) cu constante de propagare mai mare ca β

este un numar multiplu de 2π din integrala (2.35), adica:

Ml(β) =1π

∫ Rl

rl

krdr =1π

∫ Rl

rl

√n2(r)k2

0 −l2

r2 − β2dr(2.36)

unde rl si Rl sunt razele de confinare corespunzatoare constantei de propagare β

determinate din (2.33). In acest caz numarul total de moduri avand constanta de

propagare mai mare decat β este:

qβ = 4lmax(β)

∑l=0

Ml(β)(2.37)

unde lmax(β) este valoarea maxima a lui l pentru care se obtine un mod marginit

cu constanta de propagare mai mare decat β, adica pentru care valoarea maxima

a functiei n2(r)k20− l2/r2 este mai mare decat β2. Numarul total de moduri M este

qβ pentru β = n2k0. Factorul 4 din (2.37) corespunde pentru 2 polarizari posibile

si 2 polaritati pentru unghiul φ, traiectorii elice pozitive si negative (dupa sensul

de ınsurubare al traiectoriei) pentru fiecare (l, m). Daca numarul de moduri este

suficient de mare, putem ınlocui suma din (2.37) cu o integrala ıncat:

qβ ≈ 4∫ lmax(β)

0Ml(β)dl(2.38)

Pentru fibrele cu un profil al indicelui de refractie de tip functie putere, ınlocuim

(2.26) ın (2.36) si rezultatul ın (2.38) prin evaluarea integralei se obtine:

qβ = M

1−(

βn1k0

)2

2∆

p+2p

(2.39)

ın care

M ≈ pp + 2

n22k2

0a2∆ =p

p + 2· V2

2(2.40)

Page 78: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

70 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Aici ∆ = n1−n2n1

este variatia relativa a indicelui de refractie si V = 2π aλ0

NA este

parametrul V al fibrei optice. Cum qβ = M la β = n2k0, numarul de moduri este

ıntradevar numarul total de moduri.

pentru fibrele cu salt de indice de refractie p → ∞ rezulta:

qβ ≈ M

1−(

βn1k0

)2

2∆

=

V2

2(2.41)

Expresia de mai sus a fost obtinuta ıntr-o forma asemanatoare atunci cand au fost

studiate fibrele optice cu salt de indice de refractie conform (2.20).

Constantele si vitezele de propagare

Constantele de propagare

Constanta de propagare βq a modului q se poate calcula din (2.39) si prin

renotarea marimilor qβ cu q si β cu βq se obtine:

βq = n1k0

√1−

( qM

) pp+2 ∆ q = 1, 2, . . . , M(2.42)

Deoarece diferenta relativa a indicilor de refractie ∆ are o valoare mica ıncat ∆ ¿1 se poate folosi formula aproximativa pentru puterea unui binom (1 + δ)1/2 ≈1 + δ/2 si din formula (2.42) se obtine o formula aproximativa pentru calculul

constantei de propagare:

βq ≈ n1k0

[1−

( qM

) pp+2 ∆

](2.43)

Se observa ca βq scade de la o valoare de aproximativ n1k0 (pentru q = 1) pana la

n2k0 (pentru q = M) ca si ın Figura 2.20. Pentru fibrele optice cu salt de indice de

refractie p → ∞ constanta de propagare poate fi calculata dupa formula:

βq ≈ n1k0

(1− q

M∆

)(2.44)

Expresia relatiei de mai sus este identica cu (2.21)daca q este ınlocuit cu (l + 2m)2

unde l = 0, 1, . . . ,√

M si m = 1, 2, . . . ,√

M/2− l/2.

Page 79: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.3. FIBRE OPTICE CU GRADIENT DE INDICE DE REFRACTIE 71

Figura 2.20

Dependenta constantelor de propagare βq de ordinul modului de propagare q =

1, 2, . . . , M.

Vitezele de grup

Pentru a determina viteza de grup pentru un anumit mod de propagare vq =dωdβq

se exprima constanta de propagare βq ca o functie de pulsatia ω prin ınlocuirea

relatiei (2.40) ın (2.42) si tinand cont de relatia n1k0 = ωc1

. In acest caz se obtine

(conform aceleiasi aproximatii (1 + δ)−1 ≈ 1− δ) si pentru c1 si ∆ independente

de pulsatia ω (se ignora dispersia materialului):

vq ≈ c1

[1− p− 2

p + 2

( qM

) pp+2 ∆

](2.45)

pentru fibra optica cu salt de indice de refractie p → ∞ si viteza de grup se poate

calcula astfel:

vq ≈ c1

(1− q

M∆

)(2.46)

cand viteza de grup variaza de la c1 pana la c1(1 − ∆), rezultat identic cu cel

obtinut ın (2.25).

Profilul optim pentru indicele de refractie

Din relatia (2.45) se poate deduce ca pentru p = 2 viteza de grup a radiatiilor

ce se propaga prin fibra optica este constanta vq ≈ c1 oricare ar fi q, cu alte cuvinte

Page 80: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

72 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

toate modurile se propaga cu aceeasi viteza de grup c1. O astfel de fibra optica

s-ar comporta ca o fibra de tip monomod cu o dispersie modala minima. Totusi,

pentru determinarea relatiei (2.45) s-au folosit cateva aproximatii ıncat pentru

determinarea vitezei de grup cu mai multa exactitate se mai considera un termen

ın dezvoltarea Taylor al binomului (1 + δ)1/2 ≈ 1 + δ/2− δ2/8 si pentru p = 2

se obtine:

vq ≈ c1

(1− q

M∆2

2

)(2.47)

si viteza de grup variaza de la c1 pana la c1(1− ∆2/2) la q = M. In comparatie

cu fibra optica cu salt de indice de refractie, pentru care viteza de grup variaza ın

intervalul c1 si c1(1− ∆), fibra cu gradient de indice de refractie de profil para-

bolic are o variatie relativa a vitezei de grup proportionala cu ∆2/2 (Figura 2.21)

In conditii ideale fibra optica cu gradient de indice de refractie reduce diferentele

Figura 2.21

Vitezele de grup pentru o fibra cu salt de indice de refractie p → ∞ si pentru o fibra cu

gradient optim de indice de refractie p = 2.

de viteze de grup cu un factor ∆/2 astfel ıncat dispersia modala fata de fibra cu

salt de indice de refractie se micsoreaza simtitor. Cum toata analiza de mai sus

s-a facut pe baza unor aproximatii factorul ∆/2 nu este atins ın practica. Mai

mult, pentru p = 2 numarul de moduri M de propagare prin fibra cu gradient de

Page 81: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 73

indice de refractie este:

M ≈ V2

4(2.48)

unde V = 2π(a/λ0)NA. Acest numar este egal doar cu o jumatate din numarul

de moduri de propagare pentru o fibra cu salt de indice de refractie cu aceeasi

parametru n1, n2 si a.

2.4 Atenuarea si dispersia

Atenuarea si dispersia sunt cele doua fenomene fizice care limiteaza performantele

fibrelor optice si a canalelor de transmisie de date. Atenuarea limiteaza marimea

puterii optice transmise iar dispersia limiteaza rata de transmisie a datelor deoa-

rece determina ımprastierea temporala a pulsurilor de date.

Atenuarea

Coeficientul de atenuare

Unda luminoasa care se propaga prin fibra optica are o valoare a puterii ce

scade exponential cu distanta de propagare datorita absorbtiei si a ımprastierii.

Coeficientul de atenuare α este de obicei definit ın unitati dB/Km:

α =1L

10lg1T(2.49)

unde T = P(L)P(0) este raportul puterilor transmise pentru o fibra de lungime L

(exprimata ın Km). Relatia ıntre α si T este reprezentata ın Figura 2.22 pentru

L = 1Km. O atenuare de 3dB, de exemplu, corespunde unei valori T = 0, 5;

pentru 10dB T = 0, 1 si pentru 20dB T = 0, 01. Pierderile ın dB se aduna ın timp

ce rapoartele de transmisie se ınmultesc. Din aceasta cauza pentru o distanta z ın

Km pierderea este αz dB si raportul puterilor:

P(z)P(0)

= 10−αz/10 ≈ exp(−0, 23αz)(2.50)

Page 82: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

74 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.22

Relatia ıntre T si coeficientul de transmisie α masurat ın dB.

cu α masurat ın dB/Km. Daca coeficientul de atenuare α este exprimat ın Km−1

atunci:

P(z)P(0)

= exp−αz(2.51)

ce exprima legea clasica a atenuarii. Pentru ca ın comunicatiile prin fibra optica

α se exprima ın dB/Km raportul puterilor este definit de relatia (2.50).

Absorbtia

Coeficientul de absorbtie al sticlei de Si (Si O2) depinde puternic de lungimea

de unda (v. Figura 2.23). Acest material are doua benzi de absorbtie puternica:

ın IR mijlociu datorita tranzitiilor de vibratie si ın UV datorita tranzitiilor elec-

tronice si moleculare. Intre cele doua benzi de absorbtie se formeaza fereastra de

transmisie ce ocupa regiunea corespunzatoare IR apropiat.

Page 83: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 75

Figura 2.23

Variatia coeficientului de absorbtie al sticlei de siliciu cu lungimea de unda λ0.

Imprastierea

Imprastierea Rayleigh este un alt efect intrinsec ce contribuie la atenuarea pute-

rii luminoase transmise prin fibra optica. Acest fenomen se datoreaza centrelor

de ımprastiere din fibra formate prin variatia aleatoare a pozitiei unor atomi ın

cristalul de oxid de siliciu. Amplitudinea campului ımprastiat este proportionala

cu ω4 sau 1/λ40 astfel ıncat undele cu λ0 de valoare mica sunt ımprastiate mai

mult fata de undele cu λ0 mari (efect similar cu ımprastierea luminii solare de

moleculele din atmosfera, motiv pentru care cerul pare a fi albastru). Atenuarea

data de ımprastierea Rayleigh descreste cu 1/λ40: legea Rayleigh. In domeniul vi-

zibil ımprastierea Rayleigh este mai semnificativa fata de coada de absorbtie din

UV dar devine neglijabila ın comparatie cu absorbtia IR pentru lungimi de unda

mai mari decat 1, 6µm.

Page 84: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

76 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Fereastra transparenta a sticlei de siliciu va fi marginita de ımprastierea Ray-

leigh catre lungimile de unda scurte si de absorbtia IR la lungimi de unda mari

(v. Figura 2.23).

Efecte extrinseci

Fata de efectele de limitare prezentate mai sus ın fibrele optice folosite ın

comunicatii se mai manifesta si efecte extrinseci legate de absorbtia molecule-

lor de impuritati, ın special de benzile de vibratie ale radicalului OH asociat cu

vaporii de apa si cu impuritatile de ioni metalici. Progresele tehnologice ın reali-

zarea fibrelor optice de sticla au facut posibila eliminarea impuritatilor metalice

dar impuritatile de OH sunt mai greu de eliminat. Lungimile de unda utilizate ın

mod curent pentru transmiterea informatiilor prin fibre optice sunt astfel selec-

tate pentru a evita aceste benzi de absorbtie. Pierderile prin ımprastierea luminii

pot fi accentuate si de materialele dopante introduse pentru realizarea gradien-

tului de indice de refractie, de exemplu.

Coeficientul de atenuare a radiatiei luminoase ghidate ın fibrele de sticla de-

pind absorbtia si ımprastierea ın miezul si ınvelisul fibrelor. Cum fiecare mod

este caracterizat de diferite distante de penetrare ın ınvelis astfel ıncat razele par-

curg diferite distante efective rezulta ca si coeficientul de atenuare este diferit

functie de modul de propagare. In general coeficientul de atenuare are o valoare

mai mare pentru modurile de ordin mare. Fibrele monomod au coeficienti de

atenuare mai mici decat fibrele multimod (v. Figura 2.24). Pierderile sunt intro-

duse deasemenea de variatiile aleatorii ın geometria fibrei si de anumite ındoiri

ale fibrei.

Dispersia radiatiilor optice prin fibrele optice

Atunci cand un puls scurt de energie luminoasa se propaga printr-o fibra op-

tica energia este ”dispersata” ın timp astfel ıncat pulsul se ımprastie ıntr-un inter-

Page 85: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 77

Figura 2.24

Variatia coeficientului de atenuare a radiatiei optice ın fibrele de siliciu multimod si

monomod.

val de timp mai mare. In cazul fibrelor optice dispersia este data de 4 fenomene

distincte:

• dispersia modala;

• dispersia de material;

• dispersia de ghid de unda si

• dispersia neliniara.

Dispersia modala

Dispersia modala se manifesta ın cazul fibrelor multimod ca efect al vitezelor

de grup diferite pentru diferite moduri. Un puls de lumina ce intra la z = 0

ıntr-o fibra optica ce suporta M moduri de propagare se ımprastie ın M pulsuri

luminoase ce se propaga ıntr-un timp τq = L/vq pe o lungime L de fibra cu

Page 86: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

78 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

viteza de grup a modului q vq si q = 1, M. Daca vmin si vmax sunt vitezele de

grup minima si maxima atunci pulsul receptionat se ımprastie ıntr-un interval de

timp L/vmin − L/vmax. Cum modurile de propagare nu sunt excitate ın general

ın proportii egale, forma finala a pulsului este are un profil neted (v. Figura 2.25).

O estimare a largimii pulsului este data de abaterea patratica medie denumita ın

Figura 2.25

Imprastierea pulsurilor de lumina datorita dispersiei modale prin fibra optica.

acest caz raspuns temporal al fibrei optice: στ = 12(L/vmin − L/vmax).

Intr-o fibra optica cu salt de indice de refractie si numar mare de moduri:

vmin∼= c1(1 − δ) si vmax = c1. Cum ın acest caz se poate folosi aproximatia

(1− ∆)−1 ≈ 1 + ∆ timpul de raspuns al fibrei este:

στ∼= L

c1· ∆

2(2.52)

adica este o fractie ∆/2 din timpul de propagare L/c1.

Dispersia modala este mult mai mica ın fibrele optice cu gradient de indice

de refractie decat pentru fibrele optice cu salt de indice deoarece vitezele de grup

au valori mult mai apropiate. Pentru o fibra optica care are un profil optim de

indice de refractie si cu un numar mare de moduri de propagare: vmax = c1 si

vmin = c1(1− ∆2/2) ıncat timpul de raspuns va fi:

στ =Lc1· ∆2

4(2.53)

Se observa ca aceasta valoare pentru timpul de raspuns este mai mica decat (2.52)

cu un factor ∆/2.

Page 87: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 79

Exemplu: Daca o fibra optica cu salt de indice de refractie este caracterizata

de ∆ = 0, 01 si n1 = 1, 46 atunci pulsurile luminoase se ımprastie la o rata de

aproximativ στ/L = ∆/2c1 = n1∆/2c0 ≈ 24ns/Km; pentru L = 100Km re-

zulta o ımprastiere temporala de aproximativ 2, 4µs. Daca aceeasi fibra optica

are un gradient de indice de refractie optimizat atunci rata de largire a pulsului

este aproximativ egala cu n1∆2/4c0 ≈ 122ps/Km mult mai mica decat ın cazul

precedent.

Observatii: Atat pentru cazul unei fibre multimod cu salt de indice de refractie

cat si ın cazul unei fibre cu gradient de indice de refractie largirea temporala a

pulsurilor de lumina sunt proportionale cu lungimea L a fibrei. Aceasta dependenta

nu se pastreaza neaparat daca fibrele optice depasesc o anumita lungime dato-

rita fenomenului de cuplaj ıntre modurile de propagare. Cuplajul intermodal

apare pentru moduri care au constante de propagare aproximativ egale ca efect

al imperfectiunilor din fibra (neregularitati ale suprafetelor de separatie sau neo-

mogenitati ale indicelui de refractie) ce permit energiei undei luminoase sa se

distribuie ıntre diferite moduri. In anumite conditii, timpul de raspuns στ a fi-

brelor cu moduri cuplate este proportional cu L pentru valori mici ale acestuia

si cu√

L atunci cand lungimea fibrei depaseste o anumita valoare critica ceea ce

conduce la o rata de ımprastiere a pulsurilor mai mica.

Dispersia de material

Materialele din care sunt confectionate fibrele optice, de exemplu sticla, sunt

materiale optic dispersive astfel ıncat un puls luminos ce se propaga ıntr-un me-

diu dispersiv de indice de refractie n va avea o viteza de grup v = c0/N cu

N = n − λ0dndλ0

. Cum pulsul luminos este format dintr-un pachet de unde cu

o anumita compozitie spectrala rezulta o ımprastiere a acestuia deoarece fiecare

componenta spectrala din puls va avea o viteza de grup proprie. Largimea tem-

porala a unui puls de largime spectrala σλ(nm) dupa propagarea pe distanta L

Page 88: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

80 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

este:

στ =∣∣∣∣

ddλ0

Lv

∣∣∣∣ σλ =∣∣∣∣

ddλ0

LNc0

∣∣∣∣ σλ

de unde raspunsul temporal al fibrei datorita dispersiei de material va fi:

στ = |Dλ| σλL(2.54)

unde:

Dλ = −λ0

c0· d2n

dλ20

(2.55)

este coeficientul de dispersie al materialului. Acest tip de dispersie se numeste dis-

persie de material.

Dependenta coeficientului de dispersie de lungimea de unda Dλ pentru o

sticla de siliciu este reprezentata ın Figura 2.26. Se observa ca la lungimi de unda

Figura 2.26

Coeficientul de dispersie al sticlei de siliciu functie de lungimea de unda.

mai mici decat 1, 3µm coeficientul de dispersie are valori negative astfel ıncat pa-

chetele de unda cu lungimi de unda mai mari se propaga mai repede decat cele cu

Page 89: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 81

lungimi de unda mai mici. Astfel, pentru λ0 = 0, 87µm Dλ∼= −80ps/Km · nm;

pentru λ0 = 1, 55µm Dλ∼= +17ps/Km · nm iar pentru λ0 = 1, 312µm Dλ

∼=0ps/Km · nm1.

Exemplu: Pentru un coeficient de dispersie Dλ ≈ −80ps/Km · nm cores-

punzator unei lungimi de unda λ0 = 0, 87µm, o sursa cu largimea spectrala

σλ = 50nm (un LED, de exemplu) are o rata de ımprastiere ıntr-o fibra mono-

mod ın lipsa altor surse de dispersie este: |Dλ| σλ = 45ns/Km. Un puls de lu-

mina care se propaga pe distanta L = 100Km ın fibra se largeste temporal pana la

στ = |Dλ| σλL = 0, 5µs. Daca pulsul provine de la o dioda laser atunci σλ = 2nm

si pentru λ0 = 1, 3µm coeficientul de dispersie este 1ps/Km · nm rezultand o rata

de ımprastiere de doar 2ps/Km corespunzatoare unei largiri de puls la 100Km de

0,2ns.

Dispersia ghidului de unda

S-a constatat ca vitezele de grup pentru diferite moduri de propagare ın fi-

brele optice depind de lungimea de unda chiar daca dispersia de material este

neglijabila. Aceasta dependenta este cunoscuta ca dispersia ghidului de unda si

se datoreaza dependentei distributiei de camp ın fibra optica de raportul dintre

raza miezului fibrei si lungimea de unda (a/λ0). Daca acest raport este modi-

ficat, prin schimbarea lungimii de unda λ0, se modifica raportul dintre puterile

optice din miez si ınvelis ducand la modificarea vitezei de grup a modului res-

pectiv de propagare. Dispersia ghidului de unda este mai accentuata ın fibrele

optice monomod, ın care nu se manifesta dispersia modala si la lungimi de unda

pentru care dispersia de material este mica.

Asa cum am stabilit ın acest capitol, viteza de grup v =(

dβdω

)−1si constanta

de propagare β sunt marimi determinate de ecuatia caracteristica data de para-

metrul V = 2π(a/λ0)NA = (a · NA/c0)ω. In absenta dispersiei de material

1S-a constatat ca στ pentru λ0 = 1, 312µm da o valoare foarte mica dar nu 0 pentru largirea

pulsului atunci cand se calculeaza mult mai precis σλ.

Page 90: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

82 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

(cand NA este independenta de omega), V este direct proportional cu ω astfel

ıncat:

1v

=dβ

dω=

dV· dV

dω=

a · NAc0

· dβ

dV(2.56)

Largirea pulsului asociata cu largirea spectrala a sursei σλ este data de timpul

de propagare L/v prin fibra de lungime L:

στ =∣∣∣∣

ddλ0

Lv

∣∣∣∣ σλ = |Dw| σλL(2.57)

unde:

Dw =d

dλ0

(1v

)= − ω

λ0· d

(1v

)(2.58)

este coeficientul de dispersie ın ghidul de unda. Substituind (2.56) ın (2.58) se

obtine:

Dw = −(

12πc0

)V2 d2β

dV2(2.59)

In concluzie: viteza de grup este invers proportionala cu dβ/dV si coeficientul

de dispersie ın ghidul de unda este proportional cu V2d2β/dV2. Dependenta

lui β de parametrul V al fibrei optice este reprezentata ın Figura 1.4 pentru mo-

dul fundamental LP01. Cum β variaza neliniar cu V, dispersia ghidului de unda

reprezentata prin coeficientul Dw este o functie de V si de aici de lungimea de

unda λ. Dependenta dispersiei Dw de lungimea de unda λ0 poate fi controlata

prin modificarea razei miezului sau a gradientului indicelui de refractie ın fibra.

Dispersia de material combinata cu dispersia de ghid de unda

Efectele combinate ale dispersiei de material si de ghid de unda (numita de

aici ınainte dispersie cromatica) poate fi determinata prin includerea dependentei

de lungimea de unda a indicilor de refractie n1 si n2 si de aici pentru NA atunci

cand se determina dβ/dω din ecuatia caracteristica. Desi, ın general, dispersia de

Page 91: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 83

ghid de unda este mai slaba decat dispersia de material aceasta duce la deplasa-

rea lungimii de unda pentru care dispersia totala cromatica este minima.

Cum dispersia cromatica limiteaza performantele fibrelor monomod, fibre

mai avansate pot reduce acest efect utilizand miezuri cu gradient de indice de

refractie selectate astfel ıncat lungimea de unda λ pentru care dispersia ghidului

de unda compenseaza dispersia materialului. Fibre cu dispersie deplasata au fost

realizate cu succes prin utilizarea unui miez cu indice de refractie ce variaza ın

trepte avand o raza redusa ca ın Figura 2.27. Aceasta tehnica poate fi utilizata

Figura 2.27

Profile de indici de refractie si dependenta de lungimea de unda a coeficientului de

dispersie de material (linie plina) si a dispersiei de ghid de unda (linie ıntrerupta) pentru

(a) fibre cu dispersie deplasata si (b) fibre cu dispersie plata.

pentru modificarea lungimii de unda pentru care dispersia cromatica nu se mai

manifesta de la 1, 3µm pana la 1, 55µm unde fibra optica are atenuarea ce mai

mica. Mai facem observatia ca si procesul de realizare a fibrelor optice cu gra-

dient de indice de refractie introduce pierderi datorita substantelor dopante. Au

Page 92: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

84 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

fost realizate si alte profile de fibre optice cu gradient de indice de refractie pen-

tru care dispersia cromatica este nula la 2 lungimi de unda si este redusa pentru

o lungime de unda situata ıntre cele doua valori. Aceste fibre optice sunt numite

fibre cu dispersie plata si au fost realizate prin utilizarea a 4 straturi cu gradient de

indice de refractie (v. Figura 2.27b).

Dispersia de material combinata cu dispersia modala

Efectul dispersiei de material asupra largirii pulsului ın fibrele multimod poate

fi determinat prin rezolvarea ecuatiei de dispersie pentru constantele de propa-

gare βq si determinarea vitezelor de grup a modurilor vq =(

dβqdω

)−1cu indicii

de refractie n1 si n2 exprimati functie de pulsatia ω. De exemplu, pentru o fibra

optica cu gradient de indice de refractie multimod constantele de propagare sunt

date de relatiile (2.39) si (2.43). Desi n1 si n2 depinde de ω se poate presupune ca

raportul ∆ = n1−n2n1

este aproximativ independent de ω. Utilizand aceasta aproxi-

mare se evalueaza vq prin derivarea constantei de propagare functie de pulsatie

si se obtine:

vq ∼= c0

N1

[1− p− 2

p + 2

( qM

) pp+2 ∆

](2.60)

unde:

N1 =d

dω(ωn1) = n1 − λ0

dn1

dλ0

este indicele de de refractie de grup a materialului din care este realizat miezul

fibrei. Cu aceasta aproximare expresia (2.45) ramane aceeasi numai ca indicele de

refractie n1 este ınlocuit cu indicele de refractie de grup N1. pentru o fibra cu salt

de indice de refractie (p → ∞) vitezele de grup a modurilor variaza de la c0/N1

pana la c0(1− ∆)/N1 astfel ıncat timpul de raspuns este:

στ∼= L

c/N1· ∆

2(2.61)

Page 93: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 85

Observatie: Daca ın ecuatiile (2.39) si (2.43) n1 si ∆ depind de lungimea de

unda atunci:

vq ∼= c0

N1

[1− p− 2− ps

p + 2

( qM

) pp+2 ∆

](2.62)

unde:

ps = 1n1

N1· ω

∆· d∆

Dispersia neliniara

Atunci cand intensitatea luminoasa a radiatiei ce se propaga prin fibra optica

este foarte mare, indicele de refractie al miezului fibrei depinde de valoarea in-

tensitatii datorita unor efecte optice neliniare. Acest efect produce asa-numita

dispersie neliniara a fibrei optice. Componentele undei cu intensitate mai mare de-

termina o deplasare de faza diferita fata de celelalte componente ale pulsului de

lumina astfel ıncat frecventa de oscilatie este modificata. Acest lucru determina o

alterare a pulsului care, ın anumite conditii, poate compensa dispersia de mate-

rial si pulsul se poate propaga fara modificarea formei (sub forma unei unde de

tip soliton).

Propagarea pulsului de energie luminoasa

Asa cum am discutat si ın paragrafele anterioare, propagarea pulsului de

energie luminoasa prin fibrele optice depinde de atenuare si de tipul de dispersie

din fibra.

Un puls optic cu puterea τ−10 p(t/τ0) si durata τ0, (unde p(t) este puterea pe

unitate de timp si arie) este transmis printr-o fibra multimod de lungime L. Pu-

terea optica receptionata la capatul fibrei este:

P(t) ∝M

∑q=1

exp(−0, 23αqL)σ−1q p

(t− τq

σq

)(2.63)

Page 94: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

86 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

unde M este numarul de moduri; q se refera la modul q, αq este coeficientul de

atenuare (dB/Km); τq = L/vq este timpul de tranzit; vq este viteza de grup;

σq > τ0 este largimea pulsului asociat modului q. La scrierea relatiei de mai sus

s-a presupus ca puterea optica incidenta este distribuita ın mod egal pe cele M

moduri de propagare ale fibrei. S-a presupus deasemenea ca forma pulsului p(t)

nu este alterata ci doar largita cu σq si ıntarziata cu τq ca rezultat al propagarii

(altfel spus, un puls initial gaussian este largit tot la o forma gaussiana).

Pulsul receptionat este compus din M pulsuri de largime σq centrat pe timpul

τq (Figura 2.28). Pulsul compus are o largime στ ce reprezinta raspunsul temporal

Figura 2.28

Raspunsul unei fibre optice multimod la un singur puls.

global al fibrei.

In ceea ce priveste dispersia globala pentru fibrele multimod se pot identifica

2 tipuri de dispersie: dispersia intermodala si dispersia intramodala.

Dispersia intermodala, sau simplu dispersia modala, este distorsiunea dato-

rata diferentei de timp de propagare τq pentru diverse moduri (este data de

semidiferenta dintre ıntarzierea maxima si cea minima): 12(τmax − τmin). Disper-

sia de material afecteaza dispersia modala datorita faptului ca se modifica timpii

de propagare. Dispersia modala este direct proportionala cu lungimea fibrei op-

tice L cu exceptia fibrelor lungi ın care domina cuplajul modurilor si dispersia

modala este proportionala cu√

L.

Page 95: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

2.4. ATENUAREA SI DISPERSIA 87

Dispersia intramodala este data de largirea pulsurilor asociate cu moduri indi-

viduale si este produsa de o combinatie de fenomene: dispersia de material si

dispersia de ghid de unda rezultand din largimea finita a pulsului optic initial:

σ2q ≈ τ2

0 + (DqσλL)2(2.64)

unde Dq este coeficientul de dispersie combinat ıntre dispersia de material si de

ghid de unda pentru modul q. Pentru o largire de puls initiala foarte scurta τ0 →0, relatia de mai sus devine:

σq ≈ DqσλL(2.65)

In Figura 2.29 este reprezentata schematic modul ın care se propaga un puls

de energie luminoasa ın diferite tipuri de fibre optice. In fibrele optice multimod

cu salt de indice de refractie dispersia modala este de obicei mult mai mare decat

dispersia de material sau de ghid de unda. Fibrele optice multimod cu gradient

de indice de refractie reduc dispersia intermodala care ajunge sa fie compara-

bila cu dispersia de material sau de ghid de unda. Fibrele optice monomod au

avantajul ca nu prezinta dispersie intermodala astfel ıncat propagarea pulsului

luminos este limitata doar de dispersia de material si de ghid de unda. Dispersia

cea mai mica este obtinuta ın fibra monomod pentru care se combina dispersia

de material si ghid astfel ıncat se anuleaza reciproc.

Page 96: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

88 CAPITOLUL 2. FIBRE OPTICE

Figura 2.29

Propagarea unui puls prin diferite tipuri de fibre optice.

Page 97: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

CAPITOLUL 3

Utilizarea fibrelor optice ın comunicatii

Cuprins3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.2 Componentele liniilor de transmisie . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Fibre optice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Surse optice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Detectori si receptori optici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Sisteme de fibre optice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3 Modularea, multiplexarea si cuplajul semnalelor . . . . . . . . . 97

Modularea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Multiplexare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Cuplori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.1 Introducere

Astazi, transmiterea de informatii ın toata lumea se realizeaza ın principal

prin utilizarea undelor electromagnetice din diverse domenii spectrale. Astfel,

undele radio si microundele sunt utilizate pentru transmiterea informatiilor ın

spatiul liber si lumina este utilizata pentru transmiterea informatiilor avand ca

suport de propagare fibrele optice.

89

Page 98: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

90 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

Un sistem de comunicatii prin fibre optice cuprinde 3 elemente de baza: o

sursa de lumina, fibre optice fara pierderi mari si cu valori mici ale dispersiei

si un fotodetector. Pe langa aceste elemente de baza un sistem de transmisie

a informatiei prin fibra optica mai poate contine accesorii optice cum ar fi: co-

nectori optici, cuplori, comutatori, dispozitive de multiplexare sau de ımbinare

pentru fibrele optice.

In acest capitol vor fi analizate rolul fiecarei componente ın parte dar si princi-

piile de realizare a comunicarii la distanta prin transmisii analogice sau digitale.

3.2 Componentele liniilor de transmisie

Fibre optice

Fibrele optice au fost studiate pe larg ın capitolul 2 unde au fost introduse

cateva marimi caracteristice fibrelor optice: diferenta relativa de indici de refractie

∆, apertura numerica NA, parametrul fibrei V, constante de propagare βlm, vi-

teza de grup vlm, relatia de dispersie, etc.

Fibre optice cu salt de indice de refractie

Vom urmari modul ın care se transmite un puls ıntr-o fibra optica de lungime

L (Figura 3.1). In cazul fibrelor optice cu salt de indice viteza de grup minima

este vmin ' c1(1− ∆) = c1(n2/n1) si viteza de grup maxima este vmax ' c1 =

c0/n1. Imprastierea unui impuls dupa parcurgerea unei distante L printr-o astfel

de fibra optica este descrisa de o marime de tipul abaterii patratice medii ın timp:

2στ = L/c1(1− ∆)− L/c1 ' (L/c1)∆. De aici:

στ ' L2c1

∆(3.1)

Marimea στ se mai numeste si raspuns temporal al fibrei optice multimod cu salt

de indice de refractie. Se observa ca latimea pulsului este direct proportionala cu

Page 99: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.2. COMPONENTELE LINIILOR DE TRANSMISIE 91

Figura 3.1

Comparatia fenomenului de dispersie modala pentru: (a) fibra multimod cu salt de indice

de refractie; (b) fibra cu gradient de indice de refractie si (c) fibra monomod

diferenta relativa a indicilor de refractie ∆. Acest efect de largire a pulsurilor de

lumina transmise printr-o fibra optica multimod se numeste dispersie modala.

Fibre cu gradient de indice de refractie

Intr-o fibra optica cu gradient de indice de refractie (Figura 3.1b) traiectoriile

razelor de lumina ghidate nu mai sunt drepte ci curbe cu pasul mai mic decat

ın cazul fibrelor cu salt de indice e refractie. Razele axiale parcurg cel mai scurt

drum cu cea mai mica viteza de faza (parcurg regiunea cu cel mai mare indice

de refractie) iar razele oblice parcurg distante mai lungi dar cu viteze de faza mai

Page 100: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

92 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

mari astfel ıncat eventualele ıntarzieri ıntre doua raze sunt minime. Din acest

motiv cea mai mare diferenta ıntre vitezele de grup pentru diverse moduri de

propagare este mult mai mica decat ın cazul fibrelor optice cu salt de indice de

refractie.

Daca fibra optica are un gradient de indice de refractie optim (cu profil pa-

rabolic) atunci toate modurile au aproximativ aceeasi viteza de grup. Pentru o

fibra optica cu parametru V mare numarul de moduri ce se pot propaga va fi

M = V2/4 aproximativ jumatate din numarul de moduri pentru o fibra cu salt

de indice de refractie cu acelasi V. Viteza de grup este cuprinsa atunci ıntre c1 si

c1(1− ∆2/2) astfel ıncat raspunsul fibrei la pulsul de lumina va fi:

στ ' L4c1

∆2(3.2)

fiind mai mic cu un factor ∆/2 fata de fibra optica echivalenta cu salt. Aceasta

reducere nu se regaseste si ın practica ın totalitate datorita dificultatii de a realiza

un profil de indice de refractie perfect parabolic.

Fibre optice monomod

Fibrele optice monomod au fost studiate pe larg si ın capitolul precedent si

sunt fibre cu raza si apertura numerica mici astfel ıncat V < 2, 405 (cea mai mica

radacina a functiei Bessel J0). Prin astfel de fibre optice se poate propaga fara pier-

dere de energie doar un singur mod. Se elimina astfel ımprastierea modala dar nu

se poate elimina ımprastierea data de dispersia cromatica datorata dispersiei ma-

terialului din care este realizata fibra optica (variatia indicelui de refractie n1 cu

lungimea de unda a radiatiei utilizate) si datorita largimii spectrale a radiatiilor

optice folosite (radiatia utilizata nu este perfect monocromatica si are o largime

finita).

Raspunsul fibrei optice monomod la un puls de lumina este determinat de

largimea spectrala a radiatiei optice la intrarea ın fibra σλ si de coeficientul de

Page 101: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.2. COMPONENTELE LINIILOR DE TRANSMISIE 93

dispersie al miezului fibrei D:

στ = |D| σλL(3.3)

Surse optice

Sursele optice utilizate ın transmiterea informatiilor prin fibrele optice depind

de natura aplicatiei (la distanta lunga, ın retelele locale, etc.). Principalii para-

metri care trebuiesc urmariti pentru realizarea surselor optice sunt:

• Puterea: sursele trebuie sa fie suficient de puternice pentru ca dupa parcur-

gerea distantelor mari prin fibra optica sa se obtina un semnal detectabil si

suficient de curat (cat mai putin afectat de zgomot)

• Viteza: trebuie ca sursa de lumina sa poata fi modulata cu o rata mare;

• Largimea spectrala: Sursa trebuie sa aiba o largime spectrala cat mai mica

pentru ca efectele de dispersie cromatica din fibra sa fie minime.

• Zgomotul: Sursa trebuie sa nu fie supusa unor fluctuatii aleatoare ın special

atunci cand se doreste realizarea unui sistem de comunicatii coerente.

• Alte calitati: sursele trebuie sa fie compacte, rezistente la schimbari ale conditiilor

de lucru (temperatura, umezeala, presiune, etc.), ieftine si cu timp de viata

cat mai mare.

De obicei drept surse de lumina se utilizeaza atat diodele electro-luminiscente

(LED-uri) cat si diodele laser.

Diodele laser au avantajul ca au o putere mai mare (zeci de mW), au viteze mai

mari (ın domeniul GHz) si o largime spectrala mai mica. Totusi, ele sunt sensibile

la variatii de temperatura. Diodele laser multimod sufera si de o repartitionare

a zgomotului, adica o distribuire aleatorie a puterii laser pe moduri ce conduce

la o fluctuatie aleatorie a intensitatii si deformarea pulsurilor transmise. Diodele

laser mai sufera si de un fenomen de modificare rapida a maximului frecventei

transmise atunci cand puterea optica este modulata (fenomenul se mai numeste

si ”tril” laser1 fiind asemanator cu modificarea rapida a frecventei ın cazul unui1din engl. chirping

Page 102: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

94 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

ciripit de pasare.).

Diodele LED sunt realizate ın doua structuri de baza: cu emisie de suprafata

sau cu emisie de margine. LED-urile cu emisie la suprafata sunt mai fiabile, mai

ieftine si mai simple dar au o largime spectrala mare (mai mult de 100nm ın banda

de 1.3 pana la 1.6µm). Atunci cand opereaza la putere maxima se pot realiza

modulari ın frecventa de pana la 100Mb/s dar se pot obtine si viteze mai mari

(de pana la 500Mb/s) daca se reduce puterea. Diodele cu emisie de margine sunt

asemanatoare diodelor laser (la care se ınlatura cavitatea rezonanta) si produc

mai multa putere si o largime spectrala mai mica ın dauna cresterii complexitatii

si costurilor.

Surse de 0.87µm

In acest caz se utilizeaza LED-uri AlGaAs sau AlGaAs/GaAs (cu emisie de

suprafata) dar si diode laser.

Surse de 1.3 si 1.65µm

In aceasta banda emit LED-uri InGaAsP cu puteri si viteze moderate sau hete-

rostructuri InGaAsP/InP ın sistemele monomod. Necesitatea unei latimi spec-

trale mici nu trebuie ındeplinita strict deoarece la 1.3µm dispersia materialului

este minima dar este cruciala la 1.55µm datorita dispersiei mari. Tehnologia prin

care se poate realiza cavitati laser cu feedback distribuit (DFB) si reflector Bragg

(DBR) permite obtinerea unor largimi spectrale de 5÷ 100MHz la cativa mW si

rate de modulare mai mari de 20GHz. Acesti laseri sunt probabil cei mai utilizati.

Surse de lumina cu lungimi de unda mai mari

Se mai lucreaza ın banda 2÷ 4µm si fibre cu pierderi foarte mici. Se utilizeaza

diode laser InGaAsSb/AlGaAsSb cu λ0 = 2, 27µm la T = 300K si puteri de

aproximativ 2W.

Page 103: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.2. COMPONENTELE LINIILOR DE TRANSMISIE 95

Detectori si receptori optici

Sunt utilizati, de regula doua tipuri de detectori: fotodioda p− i− n si foto-

dioda ın avalansa (APD). Fotodioda APD are avantajul unei amplificari ınaintea

amplificarii din circuitul electronic reducand zgomotul din circuit. Totusi, me-

canismul de amplificare introduce un zgomot ce duce la reducerea benzii de

receptie. Mai mult, fotodiodele APD necesita alimentarea cu ınalta tensiune si

sunt sensibile la variatii de temperatura.

Detectori la 0.87µm

Sunt utilizate fotodiodele p − i − n si APD. De regula fotodiodele APD cu

silicon sunt mai sensibile cu 10-15dB fata de celelalte fotodiode.

Detectori la 1.3 si 1.55µm

Fotodiodele cu silicon nu pot fi utilizate ın acest domeniu datorita faptului

ca diferenta dintre nivelele energetice ıntr-o astfel de dioda este mai mare decat

energia fotonilor. Se vor utiliza fotodiode p − i − n cu Ge si InGaAs datorita

stabilitatii lor termice si zgomotului relativ mic.

S-au realizat fotodiode APD cu zgomot mic ce permit benzi de amplificare

mult mai largi, de exemplu fotodioda SAGM (separa absorbtia de determinarea

nivelului si de multiplicare) Figura 3.2

La lungimi de unda mai mari se utilizeaza fotodiode fabricate din materiale

din grupele II-VI (de exemplu: HgCdTe) sau din grupele IV-VI (exemplu: PbSnTe)

Sisteme de fibre optice

Sistemele de comunicatii cu fibre optice poate fi realizat, ın principiu, uti-

lizand oricare din cele 3 tipuri de fibre optice (cu salt de indice de refractie, cu

gradient de indice de refractie si fibre monomod), oricare din sursele de lumina

Page 104: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

96 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

Figura 3.2

Structura unei fotodiode ın avalansa de tip SAGM

prezentate sau oricare din detectorii de tip fotodiode. Totusi, s-au creat cateva

standarde de sistem:

• Sistem 1: Fibre multimod la 0.87µm corespunde tehnologiei anilor 1970 cu fi-

bre cu salt sau cu gradient de indice de refractie. Sursa de lumina este LED

sau laser iar detectorii utilizati sunt de tip p− i− n sau APD. Performantele

acestui sistem sunt limitate de atenuarea mare a fibrelor si de dispersia mo-

dala.

• Sistem 2: Fibre monomod la 1.3µm Este un sistem ın care dispersia de material

este minima. Se utilizeaza surse LED sau laser si ambele tipuri de detectori.

Performanta sistemului este determinata de atenuarea fibrei.

• Sistem 3: Fibre monomod la 1.55µm La aceasta lungime de unda fibra are

atenuare minima si performantele sistemului vor fi determinate doar de

dispersia materialului. Aceasta dispersie se poate reduce atunci cand se

utilizeaza laseri ce emit un domeniu ıngust de frecvente (InGaAsP)

Toate aceste sisteme de transmisie a informatiei prin fibra optica sunt cunoscute

si sub denumirea de cele 3 generatii de sisteme de comunicatii optice.

Page 105: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 97

Marea majoritate a sistemelor utilizate astazi sunt de generatia a III-a. De

exemplu, cablul transatlantic AT&T TAT-9 (pus ın functiune ın 1991) utilizeaza

fibre monomod la 1.55µm cu laseri DBF InGaAsP, informatia este transmisa la o

viteza de 560Mb/s pe fiecare pereche de fibre; aproximativ 80000 de comunicatii

voce simultane sunt transmise 6000Km ıntre SUA si Canada pana ın Marea Bri-

tanie, Franta si Spania.

Un alt sistem interesant ın comunicatiile optice sunt sistemele de transmisie

cu solitoni. Solitonii sunt pulsuri optice foarte scurte 1÷ 50ps care se pot propaga

pe distante mari ın fibrele optice fara schimbarea formei de puls ca si cum mediul

de propagare este total nedispersiv. In astfel de sisteme se utilizeaza fibre optice

dopate cu Er pentru a compensa eventualele pierderi prin absorbtie. Prototipul

unui astfel de sistem poate transmite Gb/s la 12000Km distanta fara amplificare

intermediara.

Toate sistemele descrise mai sus utilizeaza detectia directa, ın care semnalul

luminos este detectat direct de fotodetector. Sistemele din generatia a IV-a utili-

zeaza detectia coerenta ın care pe detector mai ajunge si un semnal de referinta dat

de o sursa locala de lumina.

3.3 Modularea, multiplexarea si cuplajul semnalelor

Un sistem de comunicatii (Figura 3.3) realizeaza o legatura ıntre doua puncte

ın care o variabila fizica este modulata ıntr-un punct si observata ın alt punct. In

comunicatiile optice aceasta variabila poate fi intensitatea optica, amplitudinea

campului electric, frecventa, faza sau polarizarea. Pentru a transmite mai mult de

un mesaj pe aceeasi legatura acesta trebuie marcat cu un anume atribut fizic astfel

ıncat sa poata fi recunoscut de catre receptor. Acest proces poarta denumirea de

multiplexare. O retea de comunicatii este formata din mai multe legaturi ıntre

diferiti receptori si transmitatori. Din acest motiv mesajele transmise ıntre diferite

puncte din retea sunt transmise prin sisteme ce realizeaza cuplajul sau comutarea

Page 106: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

98 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

Figura 3.3

Sistem de comunicatii cu fibre optice.

semnalelor catre destinatar.

Modularea

Comunicatiile optice se pot clasifica dupa modul de modulare a mesajului:

• Modularea campului Campul optic are o frecventa foarte mare (2× 1014Hz la λ0 =

1, 5µm). Se poate modula amplitudinea (AM), frecventa (FM) sau faza (PM)

campului electromagnetic (Figura 3.4) Datorita frecventei mai ai campului

Figura 3.4

Diferite tipuri de modulare a campului electromagnetic

electromagnetic optic banda spectrala de transmisie a informatiei este mare

si, ın principiu, se poate transmite o cantitate mare de informatii.

Page 107: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 99

• Modularea intensitatii Intensitatea optica (sau puterea) poate fi variata con-

form unei reguli de modulare (de exemplu: directa proportionalitate Fi-

gura 3.5 Oscilatiile campului optic de 1014 pana la 1016Hz nu sunt legate

Figura 3.5

Modularea ın intensitate

de modulare; doar puterea este variata la transmitator si detectata la recep-

tor. Totusi, lungimea de unda a luminii poate fi utilizata pentru marcarea

diferitelor mesaje pentru multiplexare.

Desi modularea campului optic este asemanatoare cu cea realizata ın cazul unde-

lor radio sau microundelor, este greu de realizat deoarece:

• necesita o sursa cu amplitudine, frecventa si faza stabile fara fluctuatii. O

astfel de sursa este un laser cu o coerenta mare.

• modularea directa a fazei sau frecventei laserului este dificil de realizat fiind

necesar un modulator care ar utiliza de exemplu un efect electro-optic;

• datorita utilizarii unei surse cu grad mare de coerenta, fibrele multimod

vor induce un zgomot modal si vor trebui ınlocuite aceste fibre cu fibre

monomod.

• daca nu se foloseste o fibra care mentine polarizarea va trebui monitorizata

si controlata polarizarea undei;

Page 108: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

100 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

• receptorul trebuie sa fie capabil sa masoare amplitudinea si faza campului

optic. Acest lucru necesita utilizarea unui sistem de detectie de tip hetero-

dina.

Marea majoritate a sistemelor de comunicatii optice comerciale folosesc mo-

dularea ın intensitate. Puterea sursei este modulata prin varierea curentului in-

jectat ın LED sau ın dioda laser. Fibra poate fi monomod sau multimod iar recep-

torul masoara direct puterea.

Dupa ce s-a ales variabila de modulare se poate utiliza oricare din forma-

tele de modulare (analog, puls sau digital). De exemplu: modularea ın cod puls

(PCM), semnalul analog este esantionat periodic si esantioanele sunt cuantificate

ıntr-un numar finit de nivele ın cod binar sub forma unei secvente de biti ”1” si

”0” prin pulsuri transmise ın intervalul de timp ıntre doua esantioane (Figura 3.6)

Figura 3.6

Codul de modulare ın puls (PCM).

Page 109: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 101

Daca se adopta modularea intensitatii fiecare bit este reprezentat prin prezenta

sau absenta pulsului de lumina. Acest tip de modulare se numeste cod pornit-

oprit (OOK). Pentru modularea ın frecventa sau ın faza bitii sunt dati de doua

valori ale frecventei sau a fazei (modulari de tip deplasare ın frecventa (FSK) sau

deplasare ın faza (PSK) Figura 3.7).

Multiplexare

Prin multiplexare se pot transmite si receptiona mai multe semnale utilizand

aceeasi fibra (Figura 3.8). Acest lucru se poate obtine prin marcarea fiecarui sem-

nal cu o eticheta ce poate fi recunoscuta de receptor. Se utilizeaza doua standarde

de multiplexare: multiplexare prin divizarea frecventei (FDM) si multiplexarea

prin divizarea timpului (TDM). In FDM, undele purtatoare au frecvente diferite

si sunt modulate de diferite semnale. La receptor semnalele sunt identificate prin

utilizarea unor filtre acordate pe frecventele undelor purtatoare. In TDM, se mar-

cheaza diferite intervale de timp corespunzatoare esantioanelor corespunzatoare

diferitelor semnale. Receptorul cauta fiecare semnal la timpul marcat.

In sistemele de comunicatii optice bazate pe modularea intensitatii, se poate

realiza FDM prin utilizarea undelor sub purtatoare cu diferite frecvente. Undele

subpurtatoare sunt identificate de receptor prin utilizarea unor filtre electronice

sensibile la aceste frecvente (v. Figura 3.9). Este posibil ca pentru etichetele din

multiplexarea FDM sa se utilizeze chiar valorile frecventelor radiatiei purtatoare.

Daca frecventele semnalelor purtatoare au valori mult diferite ıntre ele (diferente

de sute GHz) multiplexarea este numita multiplexare prin divizarea lungimilor de

unda (WDM). Un sistem WDM utilizeaza surse de lumina cu diferite lungimi de

unda, fiecare modulata de un anumit semnal. Undele modulate sunt ”ameste-

cate” ın fibra optica utilizand cuplorii optici. Demultiplexarea este realizata la

receptor prin utilizarea unui filtru optic (si nu electronic ca pana acum) care se-

para diferitele lungimi de unda pe diferiti detectori.

Page 110: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

102 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

Figura 3.7

Exemple de modulari binare: (a) OOK/IM; (b) FSK/IM; (c) FSK cu modularea

campului; (d) PSK cu modularea campului.

Page 111: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 103

Figura 3.8

Transmisia informatiilor prin multiplexare.

Figura 3.9

Multiplexarea prin divizarea frecventei (FDM).

De exemplu:la λ0 = 1.55µm un interval ıntre frecvente ∆ν = 250GHz este

echivalent cu un interval de lungimi de unda |∆λ| = (λ20/c0) |∆ν| = 2nm. Din

acest motiv 10 canale ocupa o banda de 20nm. Deoarece frecventele undelor

purtatoare sunt mult diferite fiecare canal poate fi modulat cu rate foarte mari

fara a se ajunge la suprapuneri. Totusi, din perspectiva optica, un domeniu spec-

tral de 2nm este relativ ıngust si sursele optice folosite trebuie sa fie si mai ınguste

si frecvente foarte stabile ın acest domeniu spectral.

Demultiplexarea prin diviziunea lungimilor de unda necesita utilizarea fil-

Page 112: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

104 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

trelor optice pentru separarea diferitelor lungimi de unda. Filtrele se bazeaza

pe absorbtia selectiva, transmisia sau reflexia din filtrele interferentiale cu stra-

turi subtiri. Intr-o fibra optica, prin reflexia radiatiei la doua capete se obtine

un etalon Fabry-Perot care are proprietati de selectivitate si este un excelent fil-

tru optic. Alte filtre se bazeaza pe dispersia unghiulara a unei retele de difractie

(v. Figura 3.10) O alternativa pentru multiplexare si demultiplexare consta ın

Figura 3.10

Demultiplexoare cu filtre optice: (a) un strat cu gradient de indice de refractie transmite

o singura lungime de unda si reflecta alte lungimi de unda; (b) filtru cu retea de difractie.

detectia tip heterodina. Un semnal optic multiplexat cu frecvente purtatoare

ν1, ν2, . . . este mixat cu o frecventa a unui oscilator local νL si detectate. Fotocu-

rentul obtinut contine semnaturile diferitelor frecvente purtatoare la frecventele

de bataie: f1 = ν1 − νL, f2 = ν2 − νL, . . .. Aceste frecvente sunt separate utilizand

filtre electronice.

Page 113: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 105

Cuplori

Un sistem de comunicatii optice mai contine cuplori si comutatori cu rol de

a redirectiona semnalele luminoase catre destinatiile corespunzatoare. Comuta-

torii sunt cuplori carora li se poate transmite comenzi externe pentru alegerea

modului de transmitere a semnalelor.

In figurile urmatoare sunt descrise cateva tipuri de cuplori. In cuplorul T, un

Figura 3.11

Exemple de cuplori: (a) cuplor T; (b) cuplor stea; (c) cuplor directional.

semnal de intrare 1 este divizat ın doua semnale de iesire 2 si 3 iar orice semnal de

intrare pe 2 sau 3 determina un singur semnal la iesirea 1. In cuplorul stea orice

semnal pe oricare din punctele de intrare ajunge la celelalte puncte de iesire. In

cuplorul directional un semnal de intrare pe 1 sau 2 determina semnale de iesire 3

si 4 si invers. Cuplorul directional poate functiona si ca un comutator ıntre starea

paralela (conexiuni 1-3 si 2-4) ın starea ıncrucisata (conexiuni 1-4 si 2-3).

Un cuplor T este foarte util ıntr-o conexiune duplex (v. Figura 3.12). Cuplorii

sunt elemente esentiale ın realizarea retelelor (v. Figura 3.13).

Cuplorii optici se pot realiza prin utilizarea unor instrumente optice miniatu-

rale: divizoare de fascicule, lentile, lame cu gradient de indici de refractie, prisme,

filtre si retele de difractie compatibile cu dimensiunile mici ale fasciculelor optice.

tehnologia aceasta poarta numele de micro-optica. Dispozitivele integrate optice

pot fi si ele utilizate pentru cuplori ın sisteme cu ghiduri de unda monomod (v.

Figura 3.14).

Page 114: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

106 CAPITOLUL 3. UTILIZAREA FIBRELOR OPTICE IN COMUNICATII

Figura 3.12

O comunicatie duplex necesita utilizarea a doi cuplori T.

Figura 3.13

Exemple de retele de comunicatii ın care se utilizeaza cuplori: (a) cu magistrala; (b) ın

stea; (c) circulara.

Page 115: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

3.3. MODULAREA, MULTIPLEXAREA SI CUPLAJUL SEMNALELOR 107

Figura 3.14

(a) un cuplor T cu divizor de fascicul; (b) un cuplor stea cu fibre combinate si cu o

lama de mixare; (c) Un cuplor directional; (d) un cuplor directional cu dispozitiv optic

integrat.

Page 116: Transmiterea informatiilor prin fibre optice
Page 117: Transmiterea informatiilor prin fibre optice

Bibliografie

[1] V. Diaconu and M Parvulescu. Transmisiuni prin fibre optice. Editura militara,

Bucuresti, 1994.

[2] Sergiu Sisianu, Teodor Sisianu, and Oleg Lupan. Comunicatii prin fibre optice.

Editura ”Tehnica-Info”, Chisinau, 2003.

[3] Keigo Iizuka. Elements of Photonics, volume II. John Wiley & Sons, Inc., New

York, 2002. ISBN 0-471-22137-6.

[4] Pierre Lecoy. Telecommunications optiques. Hermes, Paris, 1992.

[5] D. Mihalache and D. Mazilu. Ghiduri de unda optice neliniare planare. Editura

Academiei Romane, Bucuresti, 1990.

[6] Valer Pop. Bazele Opticii. Editura universitatii ”Al.I. Cuza”, Iasi, 1988.

[7] E.A. Bahaa Saleh and Carl Teich Malvin. Fundamentals of photonics. Wiley

series in pure and applied optics. John Wiley and Sons, Inc, New York, 1991.

[8] Yasuharu Suematsu and Ken-Ichi Iga. Transmissions sur fibres optiques. Mas-

son, Paris, 1984.

109