transparencias matematica financiera
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7/25/2019 TranspAreNcias MateMatica FinancierA
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TEMA 1: MATEMTICASFINANCIERAS
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CONTENIDO1.1 C .
L : ; . V A F. T E. T N E I.
1.2 R . S . V . C . R .
V : ;; .
1.3 V : V A N: VAN. T I R: TIR.
R:1. , M, MGH, 2008: C. 1, 2, 3, 4, 5 9.
2. , H/P/W, PH, 12, 2008: C. 5
-
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1.11.11.11.1 C .
E 1:
6000 .
.
. 2%
:
+ , = .
C I
A UNA OPERACIN FINANCIERA :
2% , L.
A
, , , .
-
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, .
E
. Q ?:
T :
1. , ,
2.
E
6000 () 2%
( ) () 6120 ()
1. P: 6000 2. L : 2% 3. T: 1 4. C: 6120
.
L ,
-
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E C
L .
?
N . L .
P A 6000 6000 .
P A 6000 6120 , .
-
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U .
D () , , .
NOTACIN
D 0
E: 100 5% .
= 5%
0= 100 ( )
1=100+0,05100=100+5=105 ( 1)
2= 100+0,05100+0,05100=110 ( 2)0, 1 2
.
P C0 C .
-
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C
S : ( ) , ( ).
C ( ): . E , C0
. A C 0
?
0 1 2 3 .. 0 ()
D ( ): . E, ,C , C0, C0 .
()
0 1 2 3 ..
0 ? D
-
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EJEMPLOS:
1. A 3% C 4 ?
2. E .
2000 E 2000 3 4% .
Q A E? ?
-
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C , :
,
.
E ,
L
. :
,
,
P
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EL RDITO Y EL INTERS
E
, , .
E , , :
P .P .P .
L , , , :
L ,
E , E .
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S (R) .
S (%), .
S 1 Q C2 2, :
A , , , .
1
12
C
CC
R
=
:
().S () , :
R .
12
1
12
12 tt
CCC
tt
Rr
=
=
-
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EJEMPLOS1. E A
2%.2. U 1.000 1.100 . C ? Y ?
02,060012
600060006120
1
12==
=
=
C
CCR
10%.
P 2 :E ( )
5%.
1,010001000112 ==
=
=
CR
05,0
02
01,0
12
=
=
=
tt
Rr
-
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1.1.1 C S
L ( ). D , .
E ( ) .
, (R ), .
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S C0 . E
, , , .
G (=):
D :
I
C= C0+ C0= C0(1 + )
A (1 + ) .
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E:
1. C 50.000 5% 1 ?
C1= 50.000 (1 + 0,05 1) = 52.500 .
OBSERVAMOS: , (5% = 0,05),
, , , , , , .
2. C 50.000 5% 3 ?
C1= 50.000 (1 + 0,05 3/12) = 50.625
3. L C A T , 3000 3%
.S 5000 C A?
C3
= 5000(1+0.03 3) = 5450
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OBSERVAMOS : S ,
. S
C= C0(1 + )
4. C 50.000 E 5% 50.625 E?
=(( C /C )1) / =((50.625 / 50.000) 1) / 0,05 = 0,25 = 3
OBSERVAMOS: V ,
= ((C/ C0) 1) /
5. C 50.000 , 3 , 50.625 ?.
= ((50.625 / 50.000) 1) / (3/12) = 0,05 = 5%
-
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OBSERVAMOS: P , .
I = C0
C , :
6. Q 300 4 7% ?0 1 2 ... 0 0
:
= C0 = 0 4 = 300 0,07 4 = 84
:
4= 300 (1 + 0,07 4) = 384
= 384 300 = 84
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EJERCICIOS
1. C
D 1.000 5 1.500 .
2. C
U 2.000 4% 2.640. D .
3. C
Q 300 7% ?
4. C
S 2000 4%. Q
7 ?
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Y EL CCULO DEL CAPITAL INICIAL?
S , , C0 , .
C0= C/ (1 + )
A , , ( , C0 )
E:
Q 5% 50.625 .
C0= 50.625 / (1 + 0,05 3/12) = 50.000 .
-
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1.1.2 D , D
S
, . E .N .
E (C) . D : ( ) .
S , , , .
E , , , ( ). P
D = Ct
C0
-
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ID
T II D
ID .
E (C0) ().
, , 0
C = C0(1 + )
P
C 0= C/(1 + )
A 1/(1+) .
-
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E:
S 100 3 10%. C
C (
C0= C/ (1 + ) =100/(1+0,13)=76,92
P
D= 100 76,92 = 23,08 :D= 76,92 0,1 3 = 23,08
-
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II D
L (C) ().E .
E .
(., )
80.000 60
. 12% .
CLARAMENTE NO LE DA 80.000. E 60 N . C 12% C60=80.000
C0 .Q ? R
I= C =80.000 012 (60/360)=1.600
HAY ALGO RARO EN ESTA FRMULA????
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I= C
!!!E !!! A D
P , N
C0=80.0001.600=78.400
OBSERVACIONES
L 360 , .
E , N P .
C N , .
-
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L
E , C0, , C, ,
C0 = C I = CC = C (1 )
P , :
C0 = C (1 )
Y , ,C = C0/(1 )
OBSERVACIN:
R : C0= C/(1 + )
D N?
-
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T
A N C0=78.400,
C0
= C
/(1 + )=80.000/ (1+0,12 (60/360))=79.968
N 12% . E
78.400 60 80000 ?
L N
(C= C0(1 + ))
E N 12,245% .
0,122448r(60/360))r78.400(180.000 =+=
-
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C ( ):
S , , C :
S :
)1(0 dtCC t =
C
I rt
C+
=
10
dt
dr
dt
d
dt
dt
tdt
dt
tdttr
dtrtrtdtrt
C
dtC
t
t
=
=
=
+=
=
=++
=+
=
111
1
1
1111
1
111
1
11
1
11)1(
-
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EJEMPLO
S 100 3 10% . C ?
S = 10%, :
0,1 = = 0,076923 = 7,6923%1 + 3 0,1
C:
C 10%( ):
100C0= = 76,92 D= 100 76,92 = 23,08
1 + 3 0,1
C 7,6923% ( ):
C0= 100 (1 0,076923 3) = 76,92
D= 100 0,076923 3 = 23,08
1 1 3 C C
-
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1.1.3 C C
L ,
, , , ( ) .
L ( ).
G (=):
-
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C , ( ). L
:M 0: C0M 1: C1= C0+ I1= C0+ C0 = C0 (1 + )M 2: C2= C1+ I2= C1+ C1 = C1 (1 + ) = C0(1 + ) (1 + ) = C0(1 + )
2
M 3: C3= C2+ I3= C2+ C2 = C2(1 + ) = C0(1 + )2 (1 + ) = C0(1 + )3M : C= C0(1 + )
F
E (C) , (C0), () () .
E . E .
A , , , .
A (1 + ) .
-
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EJEMPLOS
1. C 200 5% 10
.
C10= 200 (1 + 0,05 )10 = 325,78
2. CLCULO DEL TIEMPO:C 5600 10%, ?
T
tt
3. CLCULO DEL CAPITAL INICIAL: C 2 1.500 , 6% ?
D C= C0 (1 + )
1.334,99)06,01(
500.1
)1( 20 =+=+= tt
r
C
C
aos27,7,1)(1ln2ln,10)(1ln2ln
,,
=== tt
-
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4. CLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Q 300 4 7% ?
C :
C4= 300 (1 + 0,07)4 = 393,24
Y :
I4= 393,24 300 = 93,24 .
5. CLCULO DEL TIPO DE INTERS: D 1.000 12 1.601,03 .
T
P 4%
04,01000.1
03,601.1
1000.1
03,601.1
)1(000.103,601.1121212
=
=+=+=
r
rrr
1 1 5 C
-
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1.1.5 C
:
4% P , , , , , ,, .
E :
: 4%
D ?C ( ?). P .
U ( 4% ( ).
L ,
L .
E
-
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E :
L 4%
. E , .
P , 2% , C
0,
I = 0,02 C0 ( (0,04)/2 C0 )
S 4% :
I = 0,01 C0 ( (0,04)/4 C0 )
E , ,
=/ C1
/ . (
)
C
-
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C (1 + )?
EJEMPLOE 1000 :
1. C : 4%
2. C 4%
3. C 4%
P .
1. C : 4% , . E , , 2%.P 1
C1
= 1000 (1 + 0,02)2=1040,4
-
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2. C : 4% , . E
, , 1%.P 1
C1= 1000 (1 + 0,01)4= 1040,6
3. C : 4% , . E , , 0,333333%.
C1= 1000 (1 + 0,00333333)12= 1040,7E , , , , / C1
P :
S , :
n
n
rCC
+= 101
tn
tnrCC
+= 10
-
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EV , 12.000,
13.500 . T , 4% . C ?
S 12.000 .S
?.C , , , 2%.P :
V 12989, ,
.
( ) ( ) 1298902,1000.1202,01000.121
4222
02 ==+=
+=
n
n
r
CC
-
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1.1.6 T E
T . D , .
E
V 10000 :
1. 12% 2. 11.66%
3. 11.387%
C ? C :
1. C1=10000(1+0.12) = 11200
2. C1=10000 (1+ (0.1166/2))2 = 11200
3. C1=10000(1+0.11387/12)12 = 11200
E
E : C
-
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E : C 12% .
S 4 . S 4 12% , , ,
( )
%12,121212,0)101,1(4
1,014
112
12,01
41
12
12,01
41
34
4
124
124
4
12
0
4
4
0
===
+=+
+=
+
+=
+
r
rrC
rC
E 12% 4 = 12.12%.
E , ,
, :
11t
k
n
n
k
r
n
r
+=
+
E
-
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C 1.000
48% ( ) ?
P ,
C1= 1000 (1 + (0,48 / 12))12 = 1000 (1 + 0,4)12 = 1.601,032
( C= C0(1 + ) )
1.601,032 = 1000(1 + 1)
1.601,032 / 1000 1=
= 601.032
L 60.10% 48% . E , 48% 60.10%
. E T.A.E
EL T.A.E. (T A E T A E)
-
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L T.A.E. . L .
P , 6'5% , 6'66%, T.A.E.
C T.A.E.:
P C0
. A
Q C ?
B , TAE, C, .S TAE C0, C1=(1+TAE)C0. I
n
n
n
rCC
+= 101
11TAE1)TAE1(1)TAE1( 00
+=
+=+
+=+
n
n
n
n
n
n
n
r
n
r
n
r
CC
Ejemplos
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1. Se deposita en un banco 550.000 ptas. el 1 de enero, y otras 550.000 ptas.el 1 de julio. A final de ao se recibe del banco 1.200.000 ptas. Calcular elTAE de la operacin.
Se calcula el tipo de inters efectivo semestral ( r ):Como
( ) ( ) ( )
3255
20.1121
000.550
000.200.11000.5501000.550000.200.11
22
201
++=++++=
+++=+=
rrrrr
rrrCC n
Por lo que el tipo de inters anual capitalizables 2 veces al ao ser r2 = 2rConocido el tipo de inters efectivo, se calcula su equivalente TAE:
Se aplica la frmula,
9429%5.decires1094295.2-
== rr
12,239%TAE
decir,es,0,1223912
059429,021TAE1TAE
2
=
=
+=
+=
n
n
n
r
2. Tenemos un dinero ahorrado y hemos decidido abrir una cuenta ahorro ydi ti t tid d b i h h h l i i t f t
-
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distintas entidades bancarias nos han hechos las siguientes ofertas:
i. La entidad A ofrece un tipo de inters del 8% nominal capitalizablesemestralmente.
ii. La entidad bancaria B ofrece un tipo anual capitalizable mensualmentedel 8.6%
iii. La entidad bancaria C ofrece un tipo anual capitalizable bimestralmente
del 8.4%En que entidad bancaria deberamos ingresar el dinero ?
Para hacer la calculamos el TAE de cada opcin.
i. Entidad A:
ii. Entidad B:
iii. Entidad C:
8,16%TAEdecir,es
,0,081612
08,01TAE1TAE
2
=
=
+=
+=
n
n
n
r
8,9472%TAEdecir,es
1094728.112
086,01TAE1TAE 2-
12
=
=
+=
+=
n
n
n
r
BLAESOPCINMEJORLA8,6995%TAEdecir,es
1069958.1
6
084,01TAE1TAE 2-
6
=
=
+=
+=
n
n
n
r
1.8 C
-
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Y ,, , , , . D , , . S
S , ,
n
n
rCC
+= 101
tr
nt
n
nt
n eCCr
Cr
CC
=
+=
+= 01001 1lim1lim
Haciendo los clculos
tr
nt
ntr
nnn
n
nt
n
enrel
rtnr
rt
n
nr
nr
t
n
n
r
tl
n
rntl
n
rl
= +=
=+
=
+
=
+
=
+=
+=
1lim
)/(1lim
/1)/(1
/
lim1
1lnlim)ln(
1lnlim)ln(1lim
2
2
0/0tipoexpresinunaa1pasandoLHopitalhacemos0logaritmostomando
Ejemplo
-
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j pIngresamos 18.000 en una cuenta que ofrece un inters anual del 8% encapitalizacin continua
1. Cul es el saldo de la cuenta pasados tres aos?2. Calcule la TAE .
1. Hemos dicho que , por tantotreCC
= 01
22.882000.18 308,0 == eC
2. Para calcular la TAE repetimos el procedimiento que usamos en lacapitalizacin continua donde t=1ao
En nuestro caso:
1TAE)TAE1()TAE1( 00 ==+=+ rrr
eeeCC
3287%8.TAE1032878.1TAE -208,0 === e
2 Series Aritmtica y Geomtrica
-
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y
2.1 Progresin Aritmtica
Una sucesin es una sucesin ( o progresin)aritmtica si hay un nmero real dtal que para todo entero positivo k,
El nmero d se le llama diferencial comn o diferencia de la sucesin, yaque .
daa kk +=+1
,...,,...,, 121 +kk aaaa
kk aad = +1
De forma que la expresin del n-simo trmino de una sucesin aritmticaen funcin del primer trmino de la sucesin es
E
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,..
E =3
)d(kaadkadadaa kkkk 1)1(... 1121 +=+==+=+=
312 )(ka k +=
2.2 C
-
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D S
P , 1 + ,
( ).
kkkkkk aaaaaaaaaS +++++++++=
12344321 ...
kk aaaS +++= ...21
1 +, () > 0. L
U
)1(2)1(2
)1()11(1
111
1111
++=+++=
++++=++=
+
+
kdaaakda
dnkadnaaa)d(kaa
nkn
nknk
P ,
-
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U S
)1(2..... 11221 ++=+==+=+ + kdaaaaaaa nknkk
...... 1321 kkck aaaaaaS +++++++=
Suma de los k primeros trminosde una progresin aritmtica
2
)(
)(2)(
)()...(2...)()(2
.......
1
11
121121
1221
k
kkkk
kkckkk
ckkkk
aak
SaakSaak
aaaaaaaaaS
aaaaaaS
+=
+=
+=
=+++++++++=
+++++++=
2.3 Progresin Geomtrica
-
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Una sucesin (o progresin) geomtricaest constituida por una secuencia
de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anteriorpor una constante denominada razno factorde la progresin. Por tanto,
1
21
comosucesindichageneraltrminoelescribirpodremosquelopor
sigeomtricasucesinunaes,...,,
= kk
k
ara
aaa
EJEMPLO:
15, 45, 135,405, es una progresin geomtrica con razn igual a 3.
NOTA Se suele reservar el trmino progresincuando la secuencia tiene unacantidad finita de trminos mientras que se usa sucesincuando hay una
cantidad infinita de trminos, si bien, esta distincin no es estricta.
1
=k raa
2.4 Clculo de la suma de los n primeros trminos de una sucesint i
-
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geomtrica
S :
= 1+ 2+ ... + 1+
Q :1. M .2. O
,
= 2+ 3+ ... + + 3. P :
= 1+ 2+ ... + 1+ (2+ 3+ ... + + )=1
P
r
ra
r
raaSraaSr
n
nnnn
=
==
11)1( 111
OBSERVACIN
-
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S < 1, . E, < 1, 0, :
r
a
r
raS
n
nnn
=
= 11limlim11
C > 1, .
E:
2
21
1
1
2
1...
16
1
8
1
4
1
2
11
0=
==+++++
=nn
3 . Rentas Financieras (http://www.matematicas-financieras.com)
-
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L
. S , : , , , ... E .
B : . S .
3.1. CONCEPTO
L .P :1. E , .2. P , , ,
( ).
3.2. ELEMENTOS
-
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: .
: .
: .
: .
: .
: .
.
Grficamente:
-
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3.3. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO (V)
E ( )
S = 0 ( 0 ) , , .
E: A 10% 1.000 ? N
S = ( ) ,
.E: A 10% 1.000 ? N
3.4. CLASIFICACIN DE LAS RENTAS
-
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.
i. Segnla cuanta
de lostrminos
Constante: cuando todos los capitales son iguales
Variable: cuando al menos uno
de los capitales esdiferente al resto
Variables siguiendo una ley matemtica( cuando lo hacen con un orden.)
Variables sin seguir una ley matemtica,( cuando varan aleatoriamente)
En progresineomtrica
En progresinaritmtica
ii. Segn elnmerode trminos
Temporal: tienen un nmero finito y conocido de capitales.
iii. Segn el
vencimientodel trmino
Perpetua: tienen un nmero infinito o demasiado grande de capitales
Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada perodo de tiempo.
Prepagable: los capitales se sitan a principio de cada perodo.
iv. Segn elmomento
de valoracin
Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final.
Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen.
Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.
Entera: el trmino de la renta viene expresado en la misma unidad detiempo que el tanto de valoracin cualquiera que sea la unidad
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v. Segn laperiodicidaddel vencimiento
tiempo que el tanto de valoracin, cualquiera que sea la unidadtomada.
No entera: el trmino de la renta viene expresado en una unidad detiempo distinta a la del tanto de valoracin.
Fraccionada: el trmino de la renta se expresa en una unidad de tiempo
menor que aquella en la que viene expresada el tipo devaloracin de la renta.
vi. Segn laley financiera Simple: emplea una ley financiera a inters simple, para desplazar los
capitales.
Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalizacin compuesta.
Para el correcto empleo de las frmulas financieras de las rentas, ser necesarioclasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en funcin de lacombinacin que presente habr que aplicar una u otra, segn proceda.
EJEMPLOS
1. Cunto ha de ingresar Alberto hoy en una cuenta al 10% de inters anual si
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1. Cunto ha de ingresar Alberto hoy en una cuenta al 10% de inters anual siquiere devolver una deuda en tres aos a razn de 1.000 anuales?
Nos piden que calculemos el valor actual de una renta constante (trminos deigual cuanta = 1.000), temporal (tiene un nmero determinado de capitales = 3),pospagable (los trminos vencen al final del perodo), inmediata (los trminos de larenta son anuales ) y entera (trminos y tanto estn en la misma unidad de tiempo=
anual).2. Un ejemplo de renta prepagable seran los alquileres, que en general se pagan por
anticipado.
3. Como ejemplo de pospagable, los sueldos que suelen cobrarse a perodovencido.
4. Ingresamos cada tres aos la cantidad de 500 en una cuenta al 3% anualdurante 7 aos
Renta constante (trminos de igual cuanta = 500), temporal (tiene un nmerodeterminado de capitales = 7), y no entera (siendo una renta trienal el tanto esanual).
4 . Valoracin de Rentas constantes
4.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA
-
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, , ,
Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene unnmero determinado de capitales), pospagable (los trminos vencen al final delperodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos ytanto estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente secalcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).
4.1.1. Clculo del valor actual Representacin grfica:
Para actualizar la renta una opcin sera actualizar los capitales uno a uno y sumarestos valores actuales, as es como lo haremos para sacar nuestra frmula.
Ejemplo:
Qu cantidad deberamos depositar en una inversin cuyo tipo de inters anual
-
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p y pes del 10%, si queremos recibir al final de cada uno de los prximos 4 aos una
renta de 6.500?
Aunque no se especifique suponemos que la capitalizacin es compuesta (anual eneste caso), por lo que deberemos usar la frmula
Actualizamos los capitales uno a uno y sumamos estos valores actuales.
1. Para obtener 6.500 el primer ao debemos ingresar
( )
( )
t
tt
t
r
CCrCC
+
=+=
1
mismoloesquelo1 00
101
500.610
+
=C
2. Para obtener 6.500 el segundo ao debemos ingresar
3. Para obtener 6.500 el segundo ao debemos ingresar
4. Para obtener 6.500 el segundo ao debemos ingresar
Por lo que el valor actual ser
( )220
1,01 500.6+=C
( )330
1,01
500.6
+
=C
( )440
1,01500.6+
=C
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
geomtricaprogresinenestntrminoslosqueyahacerlasabemossuma
1,1
1
1,1
1
1,1
11
1,1
500.6
1,01
500.6
1,01
500.6
1,01
500.6
1,01
500.6324320
esta
V
+++=
+
+
+
+
+
+
+
=
En general: aplicando la definicin de valor actual y llevando los trminos uno a uno,descontando en rgimen de descuento compuesto al tipo de inters r, desde donde
-
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estn cada uno de los capitales hasta el origen, mediante la frmula
se obtiene el valor actual,V0 , donde n representa el nmero de capitales y r el tipo deinters de valoracin:
( )tt
rCC+
=
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
geomtricaprogresinunadetrminosprimeros-nlosdesumala
defrmulalausando12320 11...
11
111
11...
111 rrrr
C
r
C
r
C
r
C
r
CV
nn =
+
++
+
+
+
+
+
=
+
++
+
+
+
+
+
=
,Denotaremos por:
a la expresin que permite mover n capitales de una unidad monetariaequidistantes entre s hasta su origen al tipo de inters r.
De manera que:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )0
1
1razncon
1
11
1
1
11
111
111
11
11
111
1
1
Vrr
Cr
r
r
C
r
r
r
r
r
C
r
r
r
Cnn
nn
n
nr
raS
r
n
n
=
+
=
+
+=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
=
+
( )
+
=nrn
rra
1111,
rnaCV ,0 =
Ejemplos:
1. Qu cantidad deberamos depositar en una inversin cuyo tipo de inters
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p y panual es del 10%, si queremos recibir al final de cada uno de los prximos 4
aos una renta de 6.500.
( ) ( )
20.604
1,01
11
1,0
1500.6
1
11
140 =
+
=
+
=n
rr
CV
.flujo de caja de 10.000 durante los prximos 15 aos. Cunto debera pagarpor entrar en este negocio para obtener una rentabilidad del 10% anual?
Grfico de flujos:10.000 10.000 10.000 10.000 10.000
| | | | | |0 1 2 3 14 15V0?
( ) ( )
76.060,8
1,01
11
1,0
1000.10
1
11
1150
=
+
=
+
=n
rr
CV
4.1.2. Clculo del valor final
Seguimos trabajando con la misma renta constante temporal n capitales
-
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Seguimos trabajando con la misma renta constante, temporal n capitales ,pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir,valoraremos todos los trminos de la renta en su final (momento n), quedandogrficamente as:
C C C C C C
Seguimos el mismo esquema que para el clculo del valor inicial, esto es, aplicamos ladefinicin de valor final y llevamos los trminos uno a uno, capitalizando en rgimende capitalizacin compuesta al tanto de la renta r, desde donde se encuentra cada
uno hasta el final, se obtiene el valor final, Vn
Ejemplo:
Qu cantidad obtenemos al cabo de 4 aos si hacemos 4 ingresos de 6.500l ( d l i ) t ti d i t l
-
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anuales (empezando el prximo ao) en una cuenta cuyo tipo de inters anual es
del 10%?6.500 6.500 6.500 6.500
| | | | |0 1 2 3 4 V4?
Capitalizamos trmino a trmino usando la regla del inters compuesto
1. Por los 6.500 del primer ao obtenemos:
( )t
t rCC += 10
314 )1,01(500.6 +=C
2. Por los 6.500 del primer ao obtenemos:
3. Por los 6.500 del primer ao obtenemos:
4. Por los 6.500 del primer ao obtenemos: 6.500
Por lo que el valor final ser
De nuevo tenemos la suma de los 4 primeros trminos de una sucesin geomtricade razn (1+r) por lo que podremos sumarla y simplificar para obtener una frmula
214 )1,01(500.6 +=C
)1,01(500.634 +=C
[ ]1)1,01()1,01()1,01(500.6500.6)1,01(500.6)1,01(500.6)1,01(500.6
23
234
++++++=
=++++++=V
En general, Capitalizando trmino a trmino segn la regla del inters compuesto
( )trCC += 1
-
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Obtenemos
[ ]
ra
nnn
nnn
n
rrrrC
CrCrCrCrCV
n
=+++++++++=
=+++++++++=
+
1)1(...)1()1()1(
)1(...)1()1()1(
r1razndegeomtricaunadetrminos
primerosnlosdesumalade fmulalaAplicando
321
321
( )t rCC += 10
Llamando obtenemos
n
nnr
Vr
rCr
rC
n
=
+
=+
+
=
=
1)1(
)1(1
)1(11
r
rs
n
rn
1)1(
,
+=
rnn sCV ,=
EJEMPLO
Nuestro dentista nos ha presupuestado un tratamiento dental que durar tres
-
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p p qaos. Podemos pagarlo en cuotas de 60 mensuales (a final de mes) o pagarloal final del tratamiento en cuyo caso nos cobran un inters del 0,5% mensualCunto deberemos pagar al dentista si elegimos la segunda opcin?
El grfico de flujos60 60 60 60 60
| | | | | |Mes 0 1 2 3 . 35 36
17,360.2005,0
1)005,01(60
1)1( 36=
+=
+=
r
rCV
n
n
4.2. RENTAS PREPAGABLES
Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta) temporal (tiene un
-
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Vamos a estudiar una renta constante (trminos de igual cuanta), temporal (tiene un
nmero determinado de capitales), prepagable (los trminos vencen al principio delperodo), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (trminos ytipo de inters estn en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamentese calcular en rgimen de compuesta (renta compuesta).
4.2.1. Clculo del valor actualRepresentacin grfica
El esquema es muy similar al caso que hemos visto ya de rentas pospagables la nicadiferencia es que los trminos vencen al principio del periodo:
EJEMPLO
-
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EJEMPLO
Qu cantidad deberamos depositar en una inversin cuyo tipo de inters anuales del 10%, si queremos recibir al principio de cada uno de los prximos 4 aosuna renta de 6.500?
La diferencia est en que el primer ao debemos ingresar 6.500 a estos no podemosdescontarle los intereses, el segundo descontamos slo los intereses de un ao, etc
En general
CCC
En el ejemplo:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
rn,0
rn,rn,
rn,11
1
11
1
1...11
quesabemos4.1.1apartadodelclculososusando120
comoactualvalorelescribirpodemosa)1(denotamossi
a)1(1
11
1
1
11
1
11
1
1...
11112
=
+=
+=
+
+
=
+
+=
+
+=
+++
+
=
+
++
+
++
CV
r
rCrr
rC
rr
r
C
rrCC
rrr
nnn
rrC
r
C
r
C
r
C
ln
nn
( ) ( )22.665
1,01
11
1,0
1,01500.6
1
11
140
=
+
+
=
+
+
=nrr
rCV
Ejercicio
Comparar este resultado con el ejemplo de la seccin 4.1.1
Q l i d ?
-
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Qu conclusin podemos sacar?
Nota: Por lo que acabamos de ver, los valores actuales de las rentas prepagablesse obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + r), esdecir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un perodo las rentas
pospagables. Lo mismo ocurre con los valores finales, por tanto
4.2.2 Clculo del valor finalnn
Ejercicio: usar el apartado 4.1.2 para deducir esta frmula (ayuda: como en 4.2.1)
rnrn
rn
n
n
rnrn
pospaga e
n
srs
srC
r
rrCV
r
ssC
r
CV
,,
nr,,
,,
)1(donde
sC)1(1)1(
)1(
tenemospospagablerentanuestraparaEntonces
donde
+=
=+=+
+=
===
EJEMPLO
Nuestro dentista nos ha presupuestado un tratamiento dental que durar tres P d l d 60 l ( i i i d )
-
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aos. Podemos pagarlo en cuotas de 60 mensuales (a principio de mes) o
pagarlo al final del tratamiento en cuyo caso nos cobran un inters del 0,5%mensual Cunto deberemos pagar al dentista si elegimos la segunda opcin?
El grfico de flujos60 60 60 60 V
36?
| | | | |Mes 0 1 2 . 35 36
2.372005,0
1)005,01()005,01(60
1)1()1(
36
36 =+
+=+
+=
r
rrCV
n
4.3. RENTAS PERPETUAS
Las rentas perpetuas son aquellas cuyo nmero de trminos es infinito. Por estemotivo a este tipo de rentas slo se le podr calcular valor actual pero nunca el
-
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motivo a este tipo de rentas slo se le podr calcular valor actual pero nunca el
valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable,constante o variable, etc.
El valor actual de estas rentas se obtendr viendo qu ocurre si aplicamos las frmulasempleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un nmero finito de capitales(n) trabajamos con infinitos trminos (). En definitiva, se trata de trabajar con elconcepto matemtico de los lmites, cuando la duracin de la renta (y por tanto, elnmero de capitales,n) tiende a infinito.
1. En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera:
2. En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puedehacer uso de la definicin de renta perpetua, pero tambin se puede hacer uso de laregla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 +r) la misma rentaconsiderada pospagable.
( ) r
C
rrCV
nn =
+
=
1
11
1lim0
)1(0 rr
CV +=
EJEMPLOS
-
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1. Una fundacin ha decidido convocar un premio para jvenes talentos con unadotacin anual de 12.000. Para ello han decidido abrir una cuenta al 8% anual.El premio se entregar a final de ao Cunto habr que ingresar en dichacuenta para financiar el premio indefinidamente?
Se trata de una renta constante, pospagable, inmediata y entera. Por tanto
000.12C
2. Y si el premio se otorga a principio de ao?
En ese caso se trata de una renta constante, prepagable, inmediata y entera.
Por tanto
.
08,00 ===
r
000.162)08,01(000.150)1(0 =+=+= rr
CV
4.4. RENTAS DIFERIDAS: Clculo del valor actual
Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre
-
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entre el origen de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo dediferimiento de la renta.Si partimos de una renta constante, temporal (de n trminos) y pospagable , se tratade valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido.Grficamente quedara:
EJEMPLO
Dentro de tres aos Lola va a tener que enfrentarse a unos pagos de 6.500anuales. Tendr que pagar estos 6.500 anuales ( al final de cada ao) durante
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4 aos. Ella es previsora, por lo que quiere saber Qu cantidad debedepositar hoy en una cuenta tipo de inters anual del 10% si quiere tenerdinero para realizar sus pagos?
Observamos que hay 3 aos de diferencia entre el momento de valoracin de la renta (hoy)y el origen de la renta (dentro de 4 aos, cuando se sita el primer trmino o pago).
Si llamamos Vt al momento actual (hoy) y V0 al momento de origen de la renta(dentro de 3 aos), observamos que:
1. Lola va a pagar una cantidad hoy igual a Vt que le va a generar un 10% de rentabilidaddurante los prximos 3 aos en rgimen de compuesta, as que
El dinero que tendrLola en tres aos si
ingresa hoy Vt
2. Queremos calcular ahora el valor de V0 : es decir, cunto ha de tener Lola en su cuenta paraafrontar pagos de 6.500 al final de los siguientes 4 aos. Se trata de calcular el valor actualde una renta constante, temporal (de 4 trminos) y pospagable :
303
0 )1(mismoloesqueloo)1(
rVVVrV tt+
=+=
( ) ( )
154800,1)(1
20604
)1()1(2060416993,500.6
por tanto16993,1,01
11
1,0
1
1
11
1donde
33
,
30
,0
4,
=+
=+
=+
====
=
+
=
+
=
r
aC
r
V
VaCV
rra
rn
trn
nrn
,0 rnaCV =
En general, para calcular el valor actual de una renta diferida (con periodo dediferimiento d) , temporal (n trminos), pospagable, inmediata y entera
1 valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su
-
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1. valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su
valor actual)
2. y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta elmomento t elegido, en rgimen de descuento compuesto al tanto de intersvigente durante el perodo de diferimiento
( )
+
==nrnrn
rraaCV
1
11
1donde ,,0
3. Nos queda
dtr
VV )1(
0+
=
d
rn
dt r
aC
r
VV
)1()1(,0
+
=
+
=
NOTA 1:
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calculares el valor final de la renta aplicando la definicin de valor final se tratar como una
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es el valor final de la renta, aplicando la definicin de valor final se tratar como unarenta inmediata,
EJEMPLOQu cantidad obtenemos al cabo de 4 aos si hacemos 4 ingresos de 6.500anuales (empezando ????) en una cuenta cuyo tipo de inters anual es del 10%?
Para este clculo no nos importa cundo empezamos a ingresar el dinero
NOTA 2:
n em argo, am n se po r a o ener c o va or na a par r e va or ac ua
diferido:
Ojo estamos calculando la relacin entre el valor actual y el final (en esta frmula noaparecen los trminos de la renta)
EJEMPLOCalcular el valor actual y final de una renta cuya duracin es de 5 aos, contrminos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan adevengar dentro de 3 aos. Tanto de valoracin 11% efectivo anual.
Una vez calculado el valor inicial podemos obtiene el final usando la frmula anterior
dnt
nn rVrVV
+
+=+= )1()1(0
4.5. RENTAS ANTICIPADAS: Clculo del valor final
Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre
-
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Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre
entre el final de la renta y el momento de valoracin se denomina perodo deanticipacin de la renta.
Si partimos de una renta constante, temporal (de n trminos) y pospagable se tratade valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoracin elegido.Grficamente quedara:
Ejemplo:
Qu cantidad obtenemos al cabo de 6 aos si hacemos 4 ingresos de 6.500anuales (empezando el prximo ao) en una cuenta cuyo tipo de inters anual es
-
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del 10%?6.500 6.500 6.500 6.500 V6
| | | | | | |0 1 2 3 4 V4?
Como en el caso de las rentas diferidas primero se valora la renta en su final yposteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, segn la regla decapitalizacin compuesta, es decir( )tt rCC += 10
24
24
2,4
246
44
,44
)1,01(1,0
1)1,01(500.6)1(
1,0
1)1,01(500.6)1()1(
1,0
1)1,01(500.6
1)1(
++
=++
=+=+=
+=
+==
rrsCrVVy
r
rCsCV
r
r
EN GENERAL
primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como
-
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un solo capital
r
rsrsCrVVy
r
rCsCV
n
rn
h
rn
h
nhn
n
rnn
1)1(donde)1()1(
1)1(
,,
,
+=+=+=
+==
+
NOTA: la anticipacin solamente afecta al valor final, por tanto, si lo que se quierecalcular es el valor final de la renta, aplicando la definicin de valor final se tratarcomo una renta inmediata, cumplindose la siguiente relacin entre diferentes
valores de la renta:
hn
hn
n
n
r
V
r
VV
+
+
+
=
+
=
)1()1(0
REGLA GENERAL
Cuando valoramos una renta antes de su inicio decimos que es una renta diferida y
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Cuando valoramos una renta antes de su inicio decimos que es una renta diferida, ycuando la valoramos despus de su final decimos que es una renta anticipada.
Para calcular su valor debemos partir de los valores definidos en las rentasinmediatas y descontarlos o actualizarlos en el caso de las rentas diferidas y
capitalizarlos en el caso de las anticipadas.
El diferimiento, como es natural, no afecta al valor final de la renta, que permanececon el mismo valor.La anticipacin, como es razonable, no afecta al valor actual de la renta.
Como tambin es lgico las rentas perpetuas nunca se anticipan, ya que no sepueden valorar despus de un final que no existe.
Para las rentas diferidas el conversor ser (1+ r)-d dnde d sern los perodos entre
el momento de valoracin y el comienzo de la renta.
Para las rentas anticipadas el conversor ser (1+ r)d dnde d sern los perodosentre el final de la renta y el momento de valoracin.
4.6 RENTAS FRACIONADAS
Una renta es fraccionada si su frecuencia es superior a la capitalizacin deintereses, es decir, si sus trminos se producen con mayor frecuencia que con la que
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, , p y q q
se capitalizan los intereses.
Por ejemplo : una renta mensual con capitalizacin anual de intereses
Un mtodo para resolver este tipo de rentas fraccionadas consiste en transformar
el tipo de inters del problema en otro equivalente en la misma unidad de tiempoque los capitales de la renta, es decir, a partir del tipo de inters r se calcula el tantoequivalente que venga expresado en la unidad de los capitales(k-simos), para elloutilizaremos la relacin de tantos e uivalentes en com uesta:
Resultando una renta constante de nk trminos
nn
n
r
+=+ 1)TAE1(
EJEMPLOS
1. Determinar el valor actual de una renta de 5 aos de duracin, siendo el tantode valoracin el 7% efectivo anual y sus trminos de 850 euros trimestrales
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pospagables.Al venir el tipo de la renta en aos y los trminos en trimestres, la renta esfraccionada.Adems se trata de una renta: constante, temporal (20 trminos trimestrales),pospagable e inmediata.Calculamos entonces el tipo trimestral equivalente al 7% anual efectivo:
4/14
trimestaln
n rr
Ahora podemos calcular el valor de la renta fraccionada como si se tratar de una rentaEntera, constante, temporal (20 trminos), pospagable e inmediata. al tipo
1.1705%:
%1705,1
,4
,
=
=
=
=
trimestal
trimestal
r
n
( )
( )
+
==
=
+
===
nrn
rn
rra
aCVaCV
1
1
1
1
queya14303
011705,01
11
011705,0
1850
,
20%17051,200,0
2. Determinar el valor actual de una renta de 3 aos de duracin, que realizapagos trimestrales de cuanta, 100 a un tipo nominal anual capitalizabletrimestralmente 12%.
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En este caso no es necesario calcular el tipo trimestral efectivo ya que nos lo facilitan enel enunciado,
rtrimestral = 12%/4 = 3%por tanto
( )
( )
+
=
=
+
===
nrn
rn
rr
a
aCVaCV
1
11
1queya
4,99503,01
1103,01100
,
12%3,120,0
5. Valoracin de Inversiones: VAN Y TIR
Una inversin es una operacin financiera definida por una serie de desembolsos quese estima que van a generar una corriente futura de ingresos (cash flows).
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El VAN y el TIR son dos herramientas financieras procedentes de las matemticasfinancieras que nos permiten evaluar la rentabilidad de un proyecto de inversin(conocidos los flujos de fondo- cash flows- y su valoracin de coste),entendindose por proyecto de inversin no slo como la creacin de un nuevonegocio, sino tambin, como inversiones que podemos hacer en un negocio en
marcha, tales como el desarrollo de un nuevo producto, la adquisicin de nuevamaquinaria, el ingreso en un nuevo rubro de negocio, etc.
EJEMPLO
Un grupo empresarial est analizando un proyecto de inversin que requiere unainversin inicial de 450.000 y que generar un flujo de caja de 90.000 durantelos prximos 8 aos.
Queremos saber si esta es una buena o mala inversin. Para ello necesitamosconocer el Coste de Capital (que en nuestro caso viene dado), es decir, un porcentajeque nos valore el riesgo de la operacin.En nuestro ejemplo:
nos podemos preguntar si la inversin es buena teniendo en cuenta que la tasa
de descuento aplicable al proyecto, dado su nivel de riesgo, es del 10% anual
Existen diferentes mtodos para valorar el atractivo de un proyecto de inversin, aquveremos dos de ellos: el VAN (Valor actual neto) y la TIR (Tasa interna derentabilidad).
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5.1 El VANEl VAN mide la rentabilidad del proyecto en valores monetarios deducida la inversin.Actualiza a una determinada tasa de descuento rlos flujos futuros.Debemos tener en cuenta que no conlleva el mismo riesgo, el invertir en deudadel Estado, que en una compaa de comunicaciones o en una nueva empresa
inmobiliaria. Para valorar estos tres proyectos debemos utilizar tasas de descuentodiferentes que reflejen los distintos niveles de riesgo.Como las inversiones son normalmente a largo plazo, para actualizar los distintos flujosa momen o n c a u zamos a rmu a e escuen o compues o.Frmula general del VAN
.
proyectodeltilVida:n
Tiempo:t
capitaldeldoportunidadecostoodescuentodeTasa:r
tmomentoelenproyectodelcajadeFlujo:FCevaluacinladeceromomentoeleninicialInversin:I
donde
)1(...
)1()1()1(
t
0
0221
01
Ir
FC
r
FC
r
FCI
r
FCVAN
n
nn
tt
t
+
++
+
+
+
=
+
= =
REGLA DEL VAN
Si el VAN obtenido es positivo el proyecto es interesante de realizar.
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Si el VAN es negativo, el proyecto hay que descartarlo.
Cuando hay varios proyectos alternativos de inversin se elige el que presenta elVAN ms elevado (siempre y cuando sean proyectos que conlleven inversionessimilares, ya que si los importes de las inversiones fueran muy diferentes, el criterio
VAN es poco operativo, ya que no mide la rentabilidad obtenida por cada Euroinvertido.)
NOTA:
0221
01 )1(
...)1()1()1(
Ir
FC
r
FC
r
FCI
r
FCVAN
n
nn
tt
t
+
++
+
+
+
=
+
= =
Observamos que en la frmula del clculo del VAN
VALOR Beneficio Neto Actualizado
Por lo que, si los cash flows son todos iguales, forman una renta entera temporal, por loque no es necesario actualizarlos uno a uno
EJEMPLO
Un grupo empresarial est analizando un proyecto de inversin que requiere unainversin inicial de 450.000 y que generar un flujo de caja de 90.000 durante
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los prximos 8 aos.Queremos saber si esta es una buena o mala inversin teniendo en cuenta que latasa de descuento aplicable al proyecto, dado su nivel de riesgo, es del 10% anual
)1(...
)1()1()1( 0221
01
=
+
++
+
+
+
=
+
==
Ir
FCr
FCr
FCIr
FCVANn
n
n
tt
t
El VAN es positivo, por lo que es una buena inversin (nos enriquece en 30.143,36)
Interpretacin del VAN: El Valor de este proyecto es de 480.143,36. Esto quieredecir que, para obtener una rentabilidad anual del 10% debera pagar 480.143,36 , por
lo que me estn dando un precio barato.
36,143.3000.450)1,1(1,0
11,1000.90
000.45036,143.48000.450
)1,01(
....
)1,01(
.
)1,01(
.
8
8
82
=
=
=
+++
+
+
+
=
5.2 La TIR
La TIR es la tasa de descuento de un proyecto de inversin que permite que el Valor oBeneficio Neto Actualizado de dicho proyecto sea igual a la inversin (VAN igual a
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0).
La TIR es la mxima Tasa de descuento que puede tener un proyecto para que searentable, pues una mayor tasa ocasionara que el Valor sea menor que la inversin
(VAN menor que 0).Por tanto, este mtodo consiste en calcular la tasa de descuento que hace cero el VAN.
Un ro ecto es interesante cuando su tasa TIR es su erior al ti o de descuentoexigido para proyectos con ese nivel de riesgo.
Entre varios proyectos alternativos de inversin se elegir aquel que presente latasa TIR ms elevada.
De todos modos, si los diversos proyectos analizados presentan niveles de riesgosmuy diferentes, primero hay que ver que nivel de riesgo se est dispuesto a asumir, ya continuacin, entre los proyectos seleccionados, se elige el que presente la tasa TIRms elevada.
EJEMPLO
Un proyecto de una inversin de 12000 :
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Para hallar la TIR hacemos uso de la frmula del VAN, slo que en vez de hallar el
VAN (el cual reemplazamos por 0), estaramos hallando la tasa de descuento:
VAN = BNA Inversin =0
A A 1 2 A 3 A 4 A 5C 4.000 4.000 4.000 4.000 5.000
0 = 4000 / (1 + tir)1 + 4000 / (1 + tir)2 + 4000 / (1 + tir)3 + 4000 / (1 + tir)4
+ 5000 / (1 + tir)5 12000
Resolvieldo la ecuacin se obtiene tir = 21%
La TIR de esta operacin es del 21%, por tanto, si la tasa de descuento fuera mayor, elproyecto empezara a no ser rentable, pues valor el empezara a ser menor que lainversin. Y si la tasa fuera menor (por ejemplo del 14%), el proyecto sera cada vezms rentable, pues el valor sera cada vez mayor que la inversin.