Trao đổi trực tuyến tại:http://www.mientayvn.com/chat_box_toan.html

BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK-------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 – HOÏC KYØ 1 0708BAØI 1: DAÕY SOÁ. GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ (SV)

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (9/2007)

Giaûi tích haøm 1 bieán – Ñoã Coâng Khanh

Toaùn hoïc cao caáp – Taäp hai – Nguyeãn Ñình Trí (chuû bieân)

SGK: Giaûi tích haøm 1 bieán – BM Toaùn ÖÙng Duïng (ÑHBK)

NOÄI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1- KHAÙI NIEÄM DAÕY SOÁ

2- DAÕY TAÊNG, GIAÛM, BÒ CHAËN, DAÕY CON

3- GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ

4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN

5- TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS: DAÕY ÑÔN ÑIEÄU, BÒ CHAËN

6- GIÔÙI HAÏN KEÏP

KHAÙI NIEÄM GIÔÙI HAÏN (PHOÅ THOÂNG – ÑAÏI HOÏC)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giôùi haïn: Khaùi nieäm cô baûn cuûa Giaûi tích. “Khoâng coù giôùi haïn

thì giaûi tích khoâng toàn taïi. Moãi khaùi nieäm cuûa giaûi tích ñeàu laø

giôùi haïn theo moät nghóa naøo ñoù”

Ñaïo haøm (theo ñònh nghóa): giôùi haïn y / x

ÖÙng duïng hình hoïc: Hsgoùc tieáp tuyeán = lim Hsgoùc daây cung

ÖÙng duïng vaät lyù: Vaän toác töùc thôøi = lim Vaän toác trung bình

Ñoä daøi ñöôøng cong = lim ñoä daøi ñöôøng gaáp khuùc noäi tieáp

Dieän tích hình thang cong (tích phaân) = lim S hình chöõ nhaät

Giôùi haïn:

soá haøm haïnGiôùi

soádaõy haïnGiôùi

DAÕY SOÁ THÖÏC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Taäp hôïp voâ haïn caùc soá ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán : x1, x2 … xn …

Daõy soá {xn}n 1 (hoaëc töø 0 ñeán : x0, x1 … xn … {xn}n 0)

VD: Daõy soá nguyeân döông:1, 2, 3, 4 … Daõy soá chaün: 2, 4, 6 …

Caâu hoûi: Tìm soá haïng cuoái cuøng cuûa 1 daõy soá?

Thoâng thöôøng, daõy soá ñöôïc xaùc ñònh theo 1 coâng thöùc toång quaùt

daønh cho soá haïng thöù n

VD: Daõy

14

3,

32

,21

1 1 n

n

n

nx

nn

112,1,01 10 nnx n

nn

n

xn-1: soá haïng thöù

n cuûa {xn}n 0 !

COÂNG THÖÙC TOÅNG QUAÙT – SOÁ HAÏNG THÖÙ n---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Tìm soá haïng toång quaùt (soá haïng thöù n) cuûa caùc daõy {xn}n1:

,81

,41

,21

/a ,43

,32

,21

/ b ,5,3,1/c

1/ Daõy haèng 1, 1 … 1 …: Höõu haïn giaù trò & vaãn voâ haïn phaàn töû

2/ Daõy caùc soá nguyeân toá: 1, 2, 3, 5 … : Coâng thöùc toång quaùt?

Coù theå xem daõy soá {xn} vôùi soá haïng toång quaùt: xn = f(n) nhö haøm

soá töø taäp soá nguyeân döông N* R.

VD: Daõy soá chính phöông 1, 4, 9, 16 … xn = n2 f(x) = x2

ÑS:na

21

/ 1

1/ 1

n

nb n 12/ nc

Maple: > n^2 $n = 1..5;

> array( [ [n, n^2]$ n

= 1 .. 5 ]);

DAÕY TAÊNG – GIAÛM: ÑÔN ÑIEÄU----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

xn TAÊNG: xn xn+1 n 1. Toång quaùt: xn xn+1 n N0

VD: nnn xxn

xa 1:1

21

1/ HIEÄUxeùtneânTOÅNGchöùa

xn GIAÛM: xn xn+1 n 1. Toång quaùt: xn xn+1 n N0

n

nn x

xn

nx 12,

11

21

1

THÖÔNG XeùtTÍCHdaïngdöông,:

Daõy xn LUOÂN taêng hoaëc LUOÂN giaûm (töø N0 naøo ñoù): daõy

ÑÔN ÑIEÄU

:4332

/

n

nxb n !'&

4332

fx

xxf tínhxeùtSOÁHAØMgioángbthöùc

DAÕY BÒ CHAËN – DAÕY CON----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

kk

knn nnnxxk

lim,,,,, 11xn Daõy con

VD: Daõy

54

,43

,32

,21

xn bò chaën treân: xn M n 1. Toång quaùt: xn M n N0

Daõy bò chaën treân laãn döôùi: goïi chung bò chaën m xn M

xn bò chaën döôùi: xn m n 1. Toång quaùt: xn m n N0

VD: Xeùt tính bò chaën cuûa caùc daõy ncbn

a nn 1/3/1

/ 2

a/ Bò chaën. Treân: 1, Döôùi: 0. b/ Döôùi: 0. c/ K0 bò chaën treân, döôùi

Chuù yù: Töø daõy {xn} Hay xeùt 2 daõy con {x2n – 1} & {x2n}

Daõy con

:

54

,32

&:43

,21

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA “DEÃ CHÒU”---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Laäp baûng giaù trò 2 daõy soá sau. Quan saùt vaø ruùt ra keát luaän

1/

n

nxa n

11/

n

nyb n

n

5 0.835 -0.835

10 0.910 0.910

15 0.940 -0.940

20 0.950 0.950

25 0.960 -0.960

30 0.970 0.970

Nhaän xeùt: n taêng, xn ñeán gaàn 1 coøn yn ñeán

gaàn 1 Khi n : Giaù trò xn 1, coøn yn

KHOÂNG ñeán gaàn giaù trò cuï theå naøo!

Ñònh nghóa (“deã chòu”): Daõy {xn} coù

giôùi haïn baèng a xn a khi n ñuû lôùn

Maùnh: n ñuû lôùn (n = 1000) &

MTBTuùi 0.50025 (b)!:

2sin

lim 2

23

nn

nnn

0/a 21/b

1/c /d

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Coù ghaïn: Hoäi

tuï. K0 coù ghaïn

(hoaëc lim = ):

phaân kyø

Daõy xn hoäi tuï veà a

00 :,0 NnaxNN n

00 :,0 NnaxaN n

haïn höõu:lim axnn

aa a1x

1000x0Nx

10 NxToaùn hoïc (ngoân ngöõ – N0):

xn “raát gaàn” a, n ñuû lôùn > 0 N0: | xn– a | < n N0

VD: Xeùt daõy {n/(n + 1)} a/ “Ñoaùn” lim xn

b/ Vôùi lim vöøa ñoaùn & = 10-2, 10-3 N0 = ?

c/ Chöùng minh chaët cheõ (a)

11

lim n

nn

Ñoaùn""

?

1011

0

1

Nn

n

n

GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG – DAÕY PHAÂN KYØ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

00 :,lim NnMxNNMx nnn

baát kyølôùn

Giôùi haïn = (vaãn laø phaân kyø): Khoâng theå xeùt | xn – a | !

Ñònh nghóa xn phaân kyø: Phuû ñònh (loâgich) meänh ñeà hoäi tuï

Hoäi tuï: 00 :0, NnaxNNRa n luoân

axNnNNRa nñeå00:0,Phaân kyø:

00 :,(lim NnMxNNMx nnn

yùtuyøaâm)

Thöïc teá tìm giôùi haïn: Ít duøng caùch chöùng minh = ñònh nghóa!

TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0lim&0limlim

0limlimlimlim

limlimlim

lim,lim

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnn

nn

nn

nnn

nn

nn

xxxx

yyxyx

yxyx

yx

n:ÑK

:ÑK

lim toång (hieäu, tích, thöông, caên v.v…) = Toång (hieäu … ) lim

lim xn = a Moïi daõy con cuûa xn ñeàu a: axkn

k

lim

Daõy xn phaân kyø moät daõy con phaân kyø cuûa xn

hai daõy con hoäi tuï coù lim nhau

VD: Chöùng toû daõy {xn} = {(–1)n} phaân kyø

GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0lim10

lim1

n

n

n

n

aa

aa

0lim0

lim0

n

n

n

n Haøm muõ:Luõy thöøa:

2lim/ nan

01

limlim/ 21

nnb

nn

VD: (Toång caáp soá nhaân)

nn 21

41

21

1lim KQ: 2211

1

n

nqqq

21limToång quaùt: Hdaãn:

q

qqq

nn

11

11

Soá e: an

n

n

ne

n

ae

n

1lim&

11lim 1lim

n

nnHay gaëp:

031

lim&2lim/

n

n

n

nc

NGUYEÂN TAÉC TÍNH GIÔÙI HAÏN-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bieán ñoåi bieåu thöùc caàn tính lim veà giôùi haïn cô baûn & thay vaøo

VD: Tính giôùi haïn:112

lim 2

2

n

nn nn

nn

n 524253

lim

1lim

nn

n

Giaûi:

2

0102

1lim1

1lim2

1112

lim112

lim 2

2

22

22

2

2

n

n

nn

nn

n

n

n

n

nn

2

3

2545

5235lim

524253

lim

nn

nn

nnn

nn

n

0

1111

lim1

1lim1lim

nnnn

nnnn

nnn

Thöïc teá: :112

lim112

lim 2

2

2

2

x

x

n

nxn

Giôùi haïn haøm Loâpitan …

GIÔÙI HAÏN KEÏP-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho 3 daõy xn, yn, zn

azx

Nnzyx

nn

nn

nnn

limlim0

ayy nn

nn

lim&lim

nnn zyx

a

Heä quaû (hay söû duïng): 0lim0lim&0 n

nn

nnn xynyx

VD:1

sinlim

2 n

nnn

n

n n

1000lim

nn n

n!lim

VD: n

nn

lim

0121!

0

nnnn

n

n

nn

011

sin0 22

n

n

n

nnVôùi n 2000: 0

211000

0

nn

n

Coâsi: 111

111

n

nnnnn nn

TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tieâu chuaån Weirstrass: Daõy taêng & chaën treân thì hoäi tuï

Daõy giaûm & chaën döôùi thì hoäi tuï

Chöùng minh daõy hoäi tuï Hay duøng: Tính ñôn ñieäu & bò chaën

VD: Chöùng minh toàn taïi giôùi haïn (soá e)n

n n

11lim

Giaûi: Daõy taêng:1

11

11

11

11

1 1

1

nnnnn

nnn

Bñt Coâsi: 1

11

1111

1111

11

11

nn

nn

n

n

nn

n

Bò chaën treân: Xem SGK, Ñoã Coâng Khanh, trang 18 – 19

TOÅNG KEÁT--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Caùc kyõ thuaät chöùng minh daõy hoäi tuï

Chöùng minh daõy phaân kyø: Chæ ra 2 daõy con coù lim khaùc nhau

hoaëc toái thieåu moät daõy con khoâng coù giôùi haïn

Baèng ñònh nghóa: Tìm giaù trò a = limxn . Giaûi |xn a|

Chaën xn töø 2 phía Tính chaát 3 daõy keïp

Chöùng minh daõy taêng & chaën treân (giaûm & chaën döôùi)

Tính giôùi haïn: Ñöa veà bieåu thöùc theo caùc giôùi haïn cô baûn

BT: Saùch giaùo khoa & Boå sung (xem treân web)

Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity)