trapézio e seus elementos otimo
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O trapézio é um quadrilátero com 1 par de lados paralelos (as bases do trapézio). Ele pode ser classificado como:
• Trapézio retângulo: possui 1 e, conseqüentemente, 2 ângulos retos e não possui eixos de simetria.
• Trapézio isósceles: possui os dois lados, que não são bases, os ângulos de uma mesma base e as diagonais congruentes, possui 1 eixo de simetria., a mediana é paralela às bases e é igual à semi-soma das bases
• Trapézio escaleno: possui os dois lados, que não são bases, não congruentes e não possui eixos de simetria.
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Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos.
Diagonal de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.
Altura de um trapézio é o segmento de reta perpendicular às bases e compreendido entre elas.
Mediana de um trapézio é o segmento de reta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos.
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Os pontos médios das diagonais dos trapézios ficam numa mesma reta que está na metade da altura do trapézio e paralela à base.
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Há algumas maneiras de calcular a área (S) desse polígono, mas eu vou explicar apenas duas. Vamos à primeira:
S = h(a+c)12 h
a
c
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Vamos entender esta fórmula geometricamente e
algebricamente:
h12
12
h
h
c
a
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ac
12
h
Transformando em um retângulo...
S = h (a+c)12S = l1 l2
a+c
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Juntando as fórmulas das áreas dos dois triângulos e do retângulo:
Bt1 Bt2
c
a
a
h
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c-a = Bt1 + Bt2
Bt1 + Bt2 = Bt1 +2
c-a = Bt1+2
h(c-a)
2
hc-ha+2ha
2
hc+ha
2
Vejamos a transformação da fórmula:
A = + ha
A =
A =
Fatorando...
A = h(a+c)
2
h(a+c)A = 12
Fazendo o M.M.C....
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Vamos para a segunda fórmula:
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Vamos entendê-la:
Para começar tenho que explicar o que é sen (seno):
Num triângulo retângulo existe o “sen” de um ângulo que é dado pela fórmula:
Ǿ
Sen Ǿ =Co
HH
Co
Obs.: o Co (cateto oposto) é o cateto oposto ao ângulo. Se for o outro ângulo, o Co é outro.
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Para saber o seno, só consultando uma tabela ou uma calculadora que tenha seno. Veja uma tabela
com os senos dos 5 principais ângulos:
0o 30o 45o 60o 90o
sen
0 12
22
32
1
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Agora tá fácil, né?
Existe uma fórmula para calcular a área de qualquer quadrilátero que é baseada na área de dois triângulos:
S = d
h1 + h2
2
dh2
h1
Ângulo reto
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Quando você calcula o sen Ǿ · d, você está calculando: sen Ǿ · Sd1 + sen Ǿ ·
Sd2.
E, como eu já disse, sen x = .
Sd1
Sd2
Ǿ
Co
H
Isolando Co fica assim: Co = sen x · H
Não sei se vocês já perceberam, mas os Co são o h1 e h2 da fórmula da área de qualquer quadrilátero.
Provando que as fórmulas e são iguais.
Obs: Sd1 e Sd2 são 2 hipotenusas.
S = dh1 + h2
2
h2h1
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Para fazer alguns exercícios podemos precisar do Teorema de Pitágoras. Com ele podemos calcular um cateto ou uma
hipotenusa, sabendo as outras duas medidas. Veja a fórmula:
H2 = C12 + C2
2
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http://www.webcalc.com.br/matematica/
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/atividades/ativ25/CabriJava/tra.htm
http://www.eduardochaves.uaivip.com.br/figuras%20planas.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm109/propriedadesdostrapezios.htm
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Em algumas comunidades agrícolas do Brasil é usada uma fórmula de calcular a área (S) de terrenos na forma de um quadrilátero. Veja:
S = a + b c + d
2 2a
b
d
c
Porém, essa fórmula não dá muito certo, mas existe outras que dão. Como aquela que eu já
expliquei. Qual!?!
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Lembra daquela que é baseada na área de dois triângulos e daquela que utiliza o seno? Aquelas
mesmo!
S = dh1 + h2
2
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Classifique como trapézio escaleno, isósceles ou retângulo
Isósceles
Escaleno
Retângulo
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H2 - C2 = h2
Calcule as áreas (medidas em cm)
5
11
55
(11-5) 2
2
h
52 - = h2
25 - 9 = h2
h = 4
S = h(a+c) 1
2
S = 4(5+11) 1
2
S = 32 cm2
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5
8
5h
H2 - C2 = h2
25 - 9 = h2
h = 4
S = h(a+c) 1
2
S = 4(5+8) 1
2
S = 26 cm2
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4 22
3
4
1
S = htra(a+c) - 1 bhtri
2 2
S = 5(3+(2+4+2)) - 1 4 · 4
2 2S = 19,5 cm2
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6
x
x-2h
H2 - C2 = h2
(x-2)2 - (x-6)2 = h2
x2 - 4x + 4 - (x2-12x+ 36) = h2
x2 - 4x + 4 - x2+ 12x - 36 = h2
h = 8x - 32
S = 8x - 32(a+c) 1
2
S = (5+8) 8x - 32
4
S = 2x - 8 (13)
S = 169(2x - 8)
S = 338x - 1352 cm2
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h/4
h
5
9H2 - C2 = h2
7
72 - = h29-5 2
2
49 - 4 = h2
h = 45
mt = = 75 + 9
2
mt2 = = 8
7 + 9
2
7
h = 51
4
3
4
S = h (mt2 + c)
1
2
1
4
S = 5 171
2
3
4
S = 17 53
8
S= 5 cm251
8
8
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1
2
A figura representa um porta-retrato. Sabe-se que a largura da moldura é de 2,6 cm, o lado externo
da moldura mede 7,7 cm e o lado interno 2,3. Qual é a área total da moldura?
S = h(a+c)6
S = 2,6(2,3+7,7)6
1
2
S = 2,6(10)3
S = 2,6(30)S = 78 cm2
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Calcule a área de um trapézio cuja base maior é o dobro da menor (x) e cuja altura é metade da
base menor.
S = h(a+c) 1
2
S = x (x + 2x) 1
2
1
2
S = x (3x) 1
4
S =3x2
4
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Calcule a superfície (S) dessa caixa de cartucho de impressora
3
4 4
11
10
8
S = 2 3(8+11) + 2(4 ·10) + 11 · 10 + 8 ·10
1
2
S = 57 + 80 + 110 + 80 = 327 cm2
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Determine a área do hexágono (cm)
12
4
10
3S = ht(a+c) + brhr
1
2
S = 6(3 + 12) + 12 · 4
1
2
S = 3 · 15 + 12 · 4
S = 45 + 48
S = 93 cm2
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Resolva os problemasNum trapézio de altura 4 cm, a base maior tem o
triplo da base menor. Determine as medidas dessas bases, sabendo que a área do trapézio é 12 cm2.
S = h(a+c)
1
2
12 = 4(x + 3x)
1
2
12 = 2 · 4x
8x = 12
x =3
2
A base maior tem 9/2 cm e a base menor tem 3/2 cm
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Num trapézio, a medida da base maior excede a medida da base menor em 3 cm. Sabendo que a
altura relativa às bases mede 6 cm e que a área do trapézio é 45 cm2. Determine as medidas de suas
bases.
45 = 6(x + (x + 3))
1
2
As bases medem 6 cm e 9 cm
S = h(a+c)
1
2
45 = 3(2x + 3)
45 = 6x + 9
6x = 36
x = 6