trasformata di laplace. numeri complessi un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una...
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Trasformata di Laplace
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Numeri complessi
Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come:
yxjyxz , ,
]Re[z ]Im[z
1 : 2 jj
jyxz
jyxz *
*Z
Formacartesiana
O
Z
x
y
y
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Numeri complessi
2222
*
yxyjxyjxyx
jyxjyxzzz
Modulo
intero 0 ,2
kkx
yarctg
x
ytg
Fase
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Numeri complessi
x
yjyxz
jyxz *
jyxz
sincos
sin
cos
jzz
zy
zx
Forma
trigonometrica
Ricordando le formule di Eulero:
sincos
sincos
je
jej
j
sin2
cos2
jee
eejj
jj
j
ee
ee
jj
jj
2sin
2cos
x
jy z
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Numeri complessi
x
yjyxz
jyxz *
jezz Formaesponenziale
jez
zjzjyxz
sincos*
z z Formapolare
z
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Numeri complessi
222222
11
yx
yj
yx
x
yx
jyx
jyxjyxjyxjyx
z
2222
22
222
2
222
2
22
22
1
yxyx
yx
yx
y
yx
xz
x
yarctg
yxx
yxy
arctgz
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0 ),( ttf js
sF
)(
La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del tempo f(t) definita per t≥0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s.
L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.
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Problemadifferenziabile
Soluzionedel problemadifferenziabile
Problemaalgebrico
Soluzionedel problema
algebrico
L 1L
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0
)()( dtetfsF st
Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace.
L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di convergenza.
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sss
e
s
e
dtedteL
sT
T
Tst
T
Tst
T
st
11limlim
lim]1[
0
00
)sin()cos( TjTeeeee TTjTTjsT
0]Re[ s
Re[s]
Im[s]
s
kkL ][
Gradino
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)()( 11 sFtfL
)()( 22 sFtfL
)()()()( 22112211 sFcsFctfctfcL
Proprietà di linearità
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Rampa unitaria
222
0
2
0
00
00
111lim
1lim
lim
lim][
sse
ss
Te
ess
te
dts
e
s
te
dttedttetL
sTsT
T
T
st
Tst
T
T stTst
T
Tst
T
st
0]Re[ s
gdtffgdtfg ''
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Esponenziale
assae
sa
esa
dtedteeeL
Tsa
T
Ttsa
T
Ttsa
T
statat
111lim
1lim
lim][
)(
0
)(
0
)(
0
]Re[]Re[ as
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Cosinusoide
22
11
2
1
2
1
2cos
s
s
jsjs
eLeL
eeLtL
tjtj
tjtj
0]Re[ s
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Sinusoide
22
11
2
1
2
1
2sin
sjsjsj
eLeLj
j
eeLtL
tjtj
tjtj
0]Re[ s
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Traslazione
)()( ksFtfeL kt
)()()(0
)(
0
ksFdtetfdtetfe tksstkt
)()( sFektfL ks
)()()(
)(
0
)(
0
sFedueufedueuf
ktudtektf
sk
k
suskkus
st
kt,ktf 0)(
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Impulso
0
00
,0 ,0
0 ,)(
ttt
ttt
Atf
)(tf
0t0
0t
A
)(1)(1)( 000
ttt
At
t
Atf
0
0
11
11)(
0
00
st
st
est
A
est
A
st
AsF
L’area sottesa vale A
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Funzione impulsiva
0
00
0
,0 ,0
0 ,lim)(0
ttt
ttt
Atg
t
A
s
Ase
stdtd
edtd
A
est
AsG
st
t
st
t
st
t
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
00
lim
1
lim
11
lim)(
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Impulso di Dirac
0
00
0
,0 ,0
0 ,1
lim)(0
ttt
ttt
tt
1)( s
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Impulso di Dirac
)(tu )(ty
t
dtxtttxtx0
)()()()()( Ogni segnale x(t) può essere
espresso come convoluzione conl’impulso di Dirac
00
00
)(1
lim)(1
lim dtxdtx
Dim:
Per il teorema del valor medio:
txdtx0
)( :,0
)(lim1
lim00
txtxtx
0
)()( thtty Risposta all’impulso
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Impulso di Dirac
)(tu )(ty
L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo:
t
dtxttxty0
)()()()(
)()()()(
)()()(
0
0
tthdtxth
dttxty
t
t
Il segnale in uscita può esserecalcolato attraverso la
convoluzione del segnale di ingressocon la risposta impulsiva.
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Impulso di Dirac
Problemi
La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente.
L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata.
In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.
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Esercizio
Sapendo che 1
!
nn
s
ntL
calcolare tetL 32
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Esercizio
Calcolare )4sin(2 teL t
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Esercizio
Calcolare
3
2,0
3
2,
3
2cos
t
ttL
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Esercizio
Calcolare ttL sin
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Teorema della derivata
)0()()(' fssFtfL
)0()()0()(
)()0()(lim
)()(lim
)()(
0
0
00
0
''
fssFfdtetfs
dtetfsfeTf
dtetfsetf
dtetftfL
st
TstsT
T
TstTst
T
st
gdtffgdtfg ''
Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito
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Teorema della derivata
)0()0()()( '2'' fsfsFstfL
)0()0()(
)0()0()(
)0()()(
'2
'
''''
fsfsFs
ffssFs
ftfsLtfL
)0()0()0()()( '''23''' fsffssFstfL
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Teorema dell’integrale
t
duuftg0
)()( 0)0( ),()(' guftg
)()(
)()('
sFtgsL
sFtgL
s
sFduufL
s
sFtgL
t )()(
)()(
0
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Teorema del valore finale
)(lim)(lim0
ssFtfst
Nell’ipotesi che tale limite esista
Dal teorema della derivata si ha: )0()()(0
' fssFdtetf st
da cui
)0()(lim)(lim0
0
'
0fssFdtetf
s
st
s
Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione:
)0()(lim)(0
0
' fssFdttfs
e quindi
)0()(lim)0()(lim0
fssFftfst
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Teorema del valore iniziale
)(lim)(lim0
ssFtfst
)(lim)(lim
)0()(lim 0
)0()(lim)(lim
0
0
'
ssFtf
fssF
fssFdtetf
st
s
s
st
s
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Integrale di convoluzione
)()( 21
0
21 sFsFdtffL
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bxaxxxx )0( ,)0( ,023
)0()0()()(
)0()()(
)()(
'2 xsxsXstxL
xssXtxL
sXtxL
0)(2)(3)(2 sXassXbassXs
abassssX 323)( 2
21
2
21
3)(
s
ba
s
ba
ss
abassX
Utilità
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21
2
21
3)(
s
ba
s
ba
ss
abassX
Utilità
21
2)()( 111
s
baL
s
baLsXLtx
2
1)(
1
1)2()( 11
sLba
sLbatx
tt ebaebatx 2)()2()(
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Problemadifferenziabile
Soluzionedel problemadifferenziabile
Problemaalgebrico
Soluzionedel problema
algebrico
L 1L
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Tecniche di antitrasformazione
Frazione razionale propria
)(
)()(
sD
sNsF
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
radici con molteplicità maggiore di 1
radici complesse coniugate
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
npspsps
sNsF
21
)()(
nn
ps
R
ps
R
ps
RsF
2
2
1
1)(POLI
RESIDUI
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
nn
n ps
R
ps
R
ps
R
pspsps
sN
2
2
1
1
21
)(
Calcoliamo R1
n
n
n ps
Rps
ps
Rps
ps
Rps
pspsps
sNps
1
2
21
1
11
21
1 )(
n
n
n ps
Rps
ps
RpsR
psps
sN
1
2
211
2
)(
12
)(lim
1
Rpsps
sN
nps
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
npspsps
sNsF
21
)()(
nn
ps
R
ps
R
ps
RsF
2
2
1
1)(
nkpssFR kps
kk
,,2,1 ,)(lim
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
n
k
tpk
nn
keR
psLR
psLR
psLRsFL
1
1
2
12
1
11
1
111)(
![Page 42: Trasformata di Laplace. Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: Forma cartesiana](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062307/5542eb6b497959361e8d7a7b/html5/thumbnails/42.jpg)
Esercizio
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3
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
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![Page 44: Trasformata di Laplace. Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: Forma cartesiana](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062307/5542eb6b497959361e8d7a7b/html5/thumbnails/44.jpg)
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk2
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![Page 46: Trasformata di Laplace. Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: Forma cartesiana](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062307/5542eb6b497959361e8d7a7b/html5/thumbnails/46.jpg)
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk3
kkkkkkk RpsRpsRpsR
ds
sdN 24
232 )1(32
)(
kkkkk RpsRpsR
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rkj
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Esercizio
33
21
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![Page 49: Trasformata di Laplace. Numeri complessi Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come: Forma cartesiana](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062307/5542eb6b497959361e8d7a7b/html5/thumbnails/49.jpg)
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
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Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
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Esercizio
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Funzione di trasferimento
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Funzione di trasferimento
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Funzione di trasferimento
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