tratamiento digital de señales tema 2 : dft (i)n kn i 2π x˜[n]= 1 n nx−1 k=0 x(ej 2π n k)ej...

1

Tratamiento Digital de SeñalesTratamiento Digital de SeñalesTEMA 2 : DFT (I)TEMA 2 : DFT (I)

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TDS Tema 1: DFT (Parte 1) Curso 06-07 Página 2

CONTENIDOSCONTENIDOS

1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)

2


RepasoRepaso

X(ejω) =

∞Xn=−∞

x[n]e−jωn

x[n] =1

2π

Z2π

X(ejω) ejωndω

X(jΩ) =

Z ∞

−∞x(t) e−jΩtdt

x(t) =1

2π

Z ∞

−∞X(jΩ) ejΩtdΩ

Transformada de Transformada de FourierFourierpara señales continuaspara señales continuas

Transformada de Transformada de FourierFourierpara señales discretaspara señales discretas


Desarrollo en serie de Desarrollo en serie de FourierFourier paraparaseñales periódicasseñales periódicas

x(t) =1

2π

∞Xk=−∞

ak ejk 2πTo t

ak =1

T0

ZT0

X(t) e−jk2πTotdt

X(jΩ) =

∞Xn=−∞

2π ak δ(Ω− k2πTo)

3


TransformadasTransformadas

−2π/Τ

1.

2π−2π π−π

x(t)

x[n]

x(t)

X(jΩ)

X(ejω)

X(jΩ)

2π/Τ 4π/Τ−4π/Τ

Periodo T



1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT

1.1. Muestreo Muestreo frecuencialfrecuencial2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. EjemplosEjemplos

3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)

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La DFT (La DFT (DiscreteDiscrete FourierFourier TransformTransform))

•• MotivaciónMotivación–– Para trabajar digitalmente en el domino Para trabajar digitalmente en el domino frecuencialfrecuencial

necesitamos un espectro discretonecesitamos un espectro discreto–– Muestrearemos el espectro para obtener la nueva Muestrearemos el espectro para obtener la nueva

representación y averiguaremos los efectos de esta representación y averiguaremos los efectos de esta operación sobre la señal discreta.operación sobre la señal discreta.

•• Así pues, si Así pues, si x[nx[n] es una señal, en principio de ] es una señal, en principio de longitud arbitraria, tomaremos N muestras longitud arbitraria, tomaremos N muestras equiespaciadasequiespaciadas del espectro en radianes, en las del espectro en radianes, en las frecuencias frecuencias , k=0,..,N, k=0,..,N--11k 2πN

2π


Muestreo Muestreo FrecuencialFrecuencial

2π−2π π−π

????????X(ejω)2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN)Fa−→

N muestrasN muestras

22ππ/N/N 22π(Νπ(Ν−−1)1)/N/N

5


Muestreo Muestreo FrecuencialFrecuencial (II)(II)•• Usamos un resultado derivado de la fórmula de Usamos un resultado derivado de la fórmula de PoissonPoisson::

FÃ ∞Xk=−∞

δ[n− kN ]!=2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN)

Transformada de un tren de deltasTransformada de un tren de deltas

X(ejω)2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN)Fa−→

x[n] ?Xk

δ[n− kN ] =Xk

x[n− kN ] = x[n]


Extensión PeriódicaExtensión Periódica

•• Hemos llegado a:Hemos llegado a:

•• dondedonde

es la es la extensión periódica extensión periódica de x[n], de periodo Nde x[n], de periodo N

x[n]

x[n]F−→ X(ejω)

2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN)

x[n] Para N=4Para N=4

x[n] =Xk

x[n− kN ]

6


Derivación de la DFTDerivación de la DFT

•• Este resultado relaciona infinitas muestras del Este resultado relaciona infinitas muestras del espectro de espectro de x[nx[n], tomadas en los armónicos de ], tomadas en los armónicos de 22ππ/Ν/Ν, con su extensión periódica de periódo N., con su extensión periódica de periódo N.

•• A partir de aquí buscamos una transformación que A partir de aquí buscamos una transformación que relacione exclusivamente las N muestras dentro relacione exclusivamente las N muestras dentro del intervalo [0 2del intervalo [0 2ππ) con la señal x[n]) con la señal x[n]

x[n]F−→ X(ejω)

2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN)


Derivación de la DFT (II)Derivación de la DFT (II)

•• Calculamos la transformada inversa de Calculamos la transformada inversa de FourierFourier::

x[n]F−→ X(ejω)

2π

N

∞Xk=−∞

δ(ω − k2πN) =

=2π

N

∞Xk=−∞

X(ej2πN k)δ(ω − k2π

N)

1

2π

Z2π

"2π

N

Xk

X(ej2πN k)δ(ω − 2π

Nk)

#ejωndω

7


Derivación de la DFT (III)Derivación de la DFT (III)

x[n] =1

N

Xk

X(ej2πN k)

Z2π

δ(ω − 2π

Nk)ejωndω

=1

N

Xk

X(ej2πN k)

hej

2πN kn

i2π

x[n] =1

N

N−1Xk=0

X(ej2πN k)ej

2πN kn

La ecuación 1 permite afirmar que sólo necesitamos N muestras La ecuación 1 permite afirmar que sólo necesitamos N muestras equiespaciadasequiespaciadas del espectro para recuperar la extensión periódica de del espectro para recuperar la extensión periódica de x[nx[n]]

Ecuación 1Ecuación 1


Derivación de la DFT (IV)Derivación de la DFT (IV)

•• ¿Necesitamos realmente todas las muestras de para ¿Necesitamos realmente todas las muestras de para obtener ?obtener ?

•• Escribamos la señal como suma de trozos de tamaño N :Escribamos la señal como suma de trozos de tamaño N :

xl[n] =

½x[n+ lN ] 0 ≤ n ≤ N − 10 resto

x[n] =Xl

xl[n− lN ]

xl[n]

x2[n]x1[n]

x0[n]

X(ej2πN k)

x[n]

8


Derivación de la DFT (V)Derivación de la DFT (V)

•• Partimos de la definición de TF para señales discretas Partimos de la definición de TF para señales discretas particularizando para la frecuencia 2particularizando para la frecuencia 2ππk/N y haciendo uso de la k/N y haciendo uso de la periodicidad de la exponencial.periodicidad de la exponencial.

X(ej2πN k) =

Xn

x[n]e−j2πN kn =

=

N−1Xn=0

Xl

x[n+ lN ]e−j2πN kn

=N−1Xn=0

x[n]e−j2πN kn


Derivación de la DFT (VI)Derivación de la DFT (VI)

•• Recapitulando:Recapitulando:

x[n] =1

N

N−1Xk=0

X(ej2πN k)ej

2πN kn

X(ej2πN k) =

N−1Xn=0

x[n]e−j2πN kn

Hemos mostrado la relación entre N muestras Hemos mostrado la relación entre N muestras equiespaciadasequiespaciadasdel espectro de una señal del espectro de una señal x[nx[n] con las N muestras del primer ] con las N muestras del primer período de su extensión periódica.período de su extensión periódica.

9


Derivación de la DFT (VII)Derivación de la DFT (VII)

•• ¿Es la transformación anterior biunívoca?¿Es la transformación anterior biunívoca?

x[n] =Xk

x[n− kN ]

x0[n]11

0.50.5

--11

22

0.50.5

x1[n]N=2

x0[n] = x1[n] !!!!


Formulación de la DFTFormulación de la DFT

x[n] =1

N

N−1Xk=0

X [k]ej2πN kn

n=0,···,N−1

X[k] =

N−1Xn=0

x[n]e−j2πN kn

k=0,···,N−1

Sea x[n] tal que x[n] = 0, n < 0, n ≥ NDefinimos la DFT de N puntos de x[n], X[k],

como el conjunto de N valores de X(ejωn),

ω ∈ [0, 2π), equiespaciados a distancia 2πN.

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Series discretas de Series discretas de FourierFourier

x[n] =Xk

x[n− kN ] = 1

N

N−1Xk=0

X [k]ej2πN kn

X[k] =Xl

X[k − lN ] =N−1Xn=0

x[n]e−j2πN kn

•• Las extensiones periódicas se relacionan de la Las extensiones periódicas se relacionan de la siguiente manera:siguiente manera:

Extensión periódica de Extensión periódica de x[nx[n]]

Extensión periódica de Extensión periódica de X[kX[k]]


Ejemplo (I)Ejemplo (I)

x[n]

0 2π5

6π5

4π5

2π8π5

|X(ejω)|

x[n] =

½1 para 0 ≤ n < N0 resto

X(ejω) =sen(ωN

2)

ω2

e−jω(N−1)

2

11


Ejemplo (II)Ejemplo (II)

0 2π5

6π5

4π5

2π8π5

x[n]

x[n]

DFT 5 puntosDFT 5 puntos

…………

|X [k]|


Ejemplo (III)Ejemplo (III)

0 2π5

6π5

4π5

2π8π5


x[n]

x[n]

…………

|X [k]|

12


Ejemplo (IV)Ejemplo (IV)

0 2π5

6π5

4π5

2π8π5


x[n]

x[n]

…………

|X [k]|


Ejemplo (V)Ejemplo (V)

x[n]|X [k]|

0 2ππ2

π 3π2


x[n]

13


Ejemplo (VI)Ejemplo (VI)

x[n] |X[k]|

0 2ππ2

π 3π2

DFT DFT 1 punto1 punto


Ejemplo (VII)Ejemplo (VII)……

……

14



1.1. Repaso de conceptos asociados con la TFRepaso de conceptos asociados con la TF2.2. Formulación de la DFTFormulación de la DFT3.3. Propiedades de la DFTPropiedades de la DFT

1.1. LinealidadLinealidad2.2. DesplazamientosDesplazamientos3.3. SimetriasSimetrias4.4. ConvoluciónConvolución

4.4. Métodos de filtrado lineal basados en la DFTMétodos de filtrado lineal basados en la DFT5.5. Transformada rápida de Transformada rápida de FourierFourier (FFT)(FFT)6.6. Transformada discreta del coseno (DCT)Transformada discreta del coseno (DCT)


LinealidadLinealidad

•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier

•• Para la DFT:Para la DFT:

•• Se cumple que:Se cumple que:

Siempre que Siempre que X[kX[k] sea la DFT de N puntos de x[n] e ] sea la DFT de N puntos de x[n] e Y[kY[k] la DFT de N puntos de ] la DFT de N puntos de y[ny[n] y N sea tal que: ] y N sea tal que:

αx[n] + βy[n]F−→ αX(ejω) + βY (ejω)

z[n] = αx[n] + βy[n]

N ≥ max (longitud(x[n]), longitud(y[n]))

z[n]DFT N−→ αX [k] + βY [k] k=0,···,N−1

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DesplazamientosDesplazamientos



x[n−m] F−→ X(ejω)e−jωm

z[n]DFT N−→ X[k]e−j

2πN km k = 0, · · · , N − 1

z[n] = x[n−m]???


Desplazamientos (II)Desplazamientos (II)x[n] |X [k]|

0 2ππ2

π 3π2


z[n] = x[n+ 4]

??????


Falso!!!Falso!!!

16


Desplazamiento CircularDesplazamiento Circular

•• Lo que se cumple realmente es:Lo que se cumple realmente es:

si:si:

•• significa “significa “n módulo Nn módulo N”.”.

•• es un desplazamiento es un desplazamiento circular o modular.circular o modular.

z[n]DFT N−→ X [k]e−j

2πN km

k=0,···,N−1

z[n] =

½x[((n−m))N ] 0 ≤ n < N0 resto

[((n))N ]

x[((n−m))N ]


Interpretación del Desplazamiento CircularInterpretación del Desplazamiento Circular

•• Dos interpretaciones equivalentes:Dos interpretaciones equivalentes:–– Como desplazamiento de la extensión periódica (período N)Como desplazamiento de la extensión periódica (período N)

x[n] x[n] Para N=4Para N=4

x[n+ 2]

k = 0, · · · , 3

x[((n+ 2))4]DFT 4−→ X[k]ej

2π4 k2

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Interpretación del Interpretación del Desplazamiento Circular (II)Desplazamiento Circular (II)

–– Como desplazamiento modularComo desplazamiento modular

x[n]x[n+ 2]

Para N=5Para N=5

x[((n+ 2))5]DFT 5−→ X [k]ej

2π5 k2

k = 0, · · · , 4


DualidadDualidad

x[n]DFS−→ X [k]

X[n]DFS−→ Nx[−k]

x[n]DFT N−→ X[k]

X [n]DFT N−→ Nx[((−k))N ]

DFT N

DFS

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EjemploEjemplo

x[n]x[n]

x[−n] x[((−n))4]


•• Para la transformada de Para la transformada de FourierFourier sabemos que:sabemos que:

•• De donde se deduce que:De donde se deduce que:

SimetríasSimetrías

x∗[n]F−→ X∗(e−jω)

x[−n] F−→ X(e−jω)

x∗[−n] F−→ X∗(ejω)

X(ejω) = X∗(ejω)⇒ x[n] = x∗[−n]

x[n] = x∗[n]⇒ X(ejω) = X∗(e−jω)

Si el espectro es realSi el espectro es realLa señal es conjugada La señal es conjugada simétrica y viceversasimétrica y viceversa

19


•• Con la DFT se cumple, para k=1,…, NCon la DFT se cumple, para k=1,…, N--1:1:

•• Por tanto, la DTF de una secuencia será real si:Por tanto, la DTF de una secuencia será real si:

Simetrías (II)Simetrías (II)

x∗[n]DFTN−→ X∗[((−k))N ]

x[((−n))N ] DFTN−→ X[((−k))N ]x∗[((−n))N ] DFTN−→ X∗[k]

x[n] = x∗[((−n))N ] n=0,···,N−1


•• Se dice que una secuencia es simétrica conjugada Se dice que una secuencia es simétrica conjugada ((hermíticahermítica) en el dominio de la DFT si:) en el dominio de la DFT si:

•• Una secuencia real es simétrica (DFT) si:Una secuencia real es simétrica (DFT) si:

Simetrías (III)Simetrías (III)

x[n] = x∗[((−n))N ] n=0,···,N−1

x[n] = x[((−n))N ] n=0,···,N−1

20


¿Cuáles de las Siguientes Señales reales ¿Cuáles de las Siguientes Señales reales Tienen una DFT de N puntos Real?Tienen una DFT de N puntos Real?

Como Como x[nx[n] es real, ] es real, para que para que X[kX[k] sea real ] sea real se debe cumplir que se debe cumplir que

x[nx[n]=x[((]=x[((--n))n))NN]]

1122

33

44 55

N=4N=4

N=3N=3

N=3N=3

N=4N=4N=4N=4

x1[n] x2[n]

x3[n]

x4[n]x5[n]


Ejemplos (I)Ejemplos (I)

11

N=4N=4

x1[n]

•• Se cumplen todos los casos, luego la DFT es realSe cumplen todos los casos, luego la DFT es real

x[n] = x[((−n))4]??x[0] = x[((−0))4] = x[0]?x[1] = x[((−1))4] = x[3]?x[2] = x[((−2))4] = x[2]?x[3] = x[((−3))4] = x[1]?

21


•• Dos formas más sencillas de comprobar la simetría:Dos formas más sencillas de comprobar la simetría:–– Acudiendo a la extensión periódicaAcudiendo a la extensión periódica

–– Buscando el eje de simetríaBuscando el eje de simetría

SimetriasSimetrias (III)(III)

N=4N=4

x1[n]x1[n] Simétrica!!Simétrica!!

N=4N=4x1[n]

N imparN impar

N=5N=5x1[n]

N parN par



1122

33

44 55

N=4N=4

N=3N=3

N=3N=3

N=4N=4N=4N=4

x1[n] x2[n]

x3[n]

x4[n]x5[n]

22



1122

33

44 55

N=4N=4N=3N=3

N=3N=3

N=4N=4N=4N=4

x3[n]

x4[n]x5[n]

x1[n] x2[n]


ConvoluciónConvolución



x1[n] ? x2[n]F−→ X1(e

jω) ·X2(ejω)

z[n]DFT N−→ X1[k] ·X2[k] k=0,···,N−1

z[n] = x1[n] ? x2[n]???

23


Ejemplo (I)Ejemplo (I)

x[n]

2π−2π

−2π



y[n]Y (ejω)

-π π 2π

X(ejω)

-π π


Ejemplo (II)Ejemplo (II)

z[n]

x[n] ? y[n]

Y [k]

DFTDFT--11X[k] · Y [k]

??????

x[n]y[n]

X[k]

24


Ejemplo (III)Ejemplo (III)z[n] = x[n] ? y[n]

AliasingAliasing temporaltemporal

z[n]

N=5N=5

X(ejω) · Y (ejω)

-π π

MuestreoMuestreoFrecuencialFrecuencial

N=5N=5

TFTF--11

ExtensiónExtensiónPeriódicaPeriódica


ConvoluciónConvolución CircularCircular

•• Si N Si N ≥≥ max(Nmax(Nxx,N,Nyy), se cumple para k=0,…, N), se cumple para k=0,…, N--1:1:

•• Sólo si N Sólo si N ≥≥ NNxx+N+Nyy--1 se cumple que:1 se cumple que:

x[n]°N y[n]DFT N−→ X1[k] ·X2[k]

x[n]°N y[n] = x[n] ? y[n]

x[n]°N y[n] =N−1Xm=0

x[((n−m))N ]y[m]

25


Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (I)Circular (I)

•• Según la expresión teóricaSegún la expresión teórica

5

1

Ν=54

y[m]

x[((1−m))5]1

x[1−m]

z[n] = x[n]°N y[n] =N−1Xm=0

x[((n−m))N ]y[m]

z[1] = 5 + 4 + 1 = 10

z[n]10


Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (II)Circular (II)

y[m]

x[1−m]

z[1] = 5 + 4 + 1 = 10

c[n] = x[n] ? y[n]

ConvoluciónLineal en n=1

ConvoluciónLineal en n=6 c[1] = 9

c[6] = 1

z[1] = c[1] + c[6]

z[n] = x[n]°N y[n]

26


Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (III)Circular (III)

Ν=7

y[n]

x[1−m]

x[((1−m))7] = x[1−m]x[((1−m))7] Coinciden

Convolución lineal ycircular

N = 7 (N ≥ 5 + 3− 1)


Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (IV)Circular (IV)

•• ConvoluciónConvolución lineal solapada (lineal solapada (aliasingaliasing temporal)temporal)

N=5N=5N=5N=5

Intervalo n=0,..NIntervalo n=0,..N--11

1133

Ν=5

55

99

ConvoluciónConvoluciónlineallineal

z[n]

88

1010

ConvoluciónConvoluciónCircular N=5Circular N=5

27


Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (V)Circular (V)

•• ConvoluciónConvolución lineal solapada (lineal solapada (aliasingaliasing temporal)temporal)

N=5N=5N=5N=5

Ν=5




Interpretación de la Interpretación de la ConvoluciónConvolución Circular (VI)Circular (VI)

N=7N=7N=7N=7

Intervalo n=0,..NIntervalo n=0,..N--11

Ν=7



N = 7 (N ≥ 5 + 3− 1)

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