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Tratto da EdiTEST TEORIA Medicina, Odontoiatria, Veterinaria – VIII edizione

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Autori:

Prof. Italo Guerriero, Docente di Matematica e Fisica

Prof. Massimo Panzica, Docente a contratto presso l’Università degli Studi di Milano-Bicocca –

Docente di Matematica, Fisica e Informatica – Dottore di ricerca in Fisica presso l’Università

degli Studi di Palermo

Grafica di copertina a cura di: The Factory S.r.l.

Progetto grafico e redazione: EdiSES S.r.l.

Fotocomposizione: doma book di Di Grazia Massimo

Stampato presso Litografia Sograte S.r.l. – Città di Castello (PG)

per conto della EdiSES S.r.l. – Piazza Dante, 89 – Napoli

Finito di stampare a Giugno 2015

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Prefazione

iv Prefazione

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MATEMATICA

1 Insiemi numerici – Operazioni e proprietà – Progressioni 7

2 Algebra classica 34

3 Equazioni e disequazioni 47

4 Radicali 78

5 Funzioni 87

6 Geometria analitica 92

7 Geometria euclidea 107

8 Goniometria 129

9 Probabilità, statistica e calcolo combinatorio 140

LOGICA

1 I test di logica verbale 159

2 Pensiero critico 176

3 Problem Solving 209

CARATTERISTICHE DELL’ESAME DI AMMISSIONE

1 Il numero programmato 244

Allegato: Programmi d’esame 256

Indice generale

2.1 Monomi e operazioni tra monomi

Un monomio è un’espressione algebrica in cui non figurano addizioni e sottrazioni. Si presenta co-me prodotto di un numero (coefficiente) e di potenze letterali di basi diverse (parte letterale):

a2bc

3 coefficiente = , parte letterale = a2bc

3.

Due monomi con la stessa parte letterale sono detti simili: a2b e –5a

2b

Due monomi simili con coefficienti opposti sono detti monomi opposti: ab, ab

Grado di un monomio

– rispetto ad una lettera: è l’esponente con cui compare quella lettera

– complessivo: è la somma degli esponenti delle lettere che compaiono nella parte letterale–2x

3y

5z è di grado complessivo b = 3 + 5 + 1 = 9

2.1.1 Operazioni algebriche

Somma algebrica di monomi simili

Monomio simile ai monomi dati, avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti

Moltiplicazione

Il prodotto di due o più monomi è un monomio avente per coefficiente il prodotto dei coeffi-cienti e per parte letterale il prodotto delle parti letterali:

(–3 ) – (–3) –16

(2 2 5 1 3a b a b c a b c⋅

16

=5 3 4 + + 44 =12

) 7 4 4a b c

310

12

53

1012

5 1165

2 2 2 2 2 2x x x x x x+ – + = + – + = –

3

è di grado 2 rispetto ad ;

è di gra2 5x yz

xa =

ddo 1 rispetto ad ;

è di grado 5 rispet

a

a

=

=

y

tto a ;

è di grado 0 rispetto a qualunque

z

a = altra lettera che non assume valore nullo

32

–32

32

13

13

2 Algebra classicamatematica

Potenza

La potenza n-esima di un monomio si ottiene elevando ad n sia il coefficiente, sia ciascuna let-tera che costituisce la parte letterale:

Quoziente di monomi interi

Un monomio A (dividendo) si dice divisibile per un monomio B Z 0 (divisore) se esiste un terzomonomio Q (quoziente) che, moltiplicato per il divisore, dia il dividendo:

se Q · B = A

Affinché A sia divisibile per B, è necessario che A contenga tutte le lettere di B, ognuna conesponente maggiore o uguale alla rispettiva lettera contenuta in B. Il monomio Q ha come coef-ficiente il rapporto dei coefficienti di A e B e, come parte letterale, tutte le lettere di A ciascunaelevata alla differenza tra il proprio esponente e quello della stessa lettera di B:

2.1.2 Massimo comune divisore (M.C.D.) e minimo comune multiplo (m.c.m.)

M.C.D.

Il M.C.D. di due o più monomi è un monomio che ha come parte letterale il prodotto delle lettere co-muni, prese una sola volta con l’esponente minore, e come coefficiente il M.C.D. dei coefficienti,preso con segno positivo se tutti i coefficienti sono interi, oppure “+1” se uno dei coefficienti non èintero:

8x4y

2z, –12x

2y

4, 4x6yz

3: M.C.D. = 4x2y

a2b

3c

5, –3a5b

4c, 2a

5b

7: M.C.D. = a2b

3

m.c.m.

Il m.c.m. di due o più monomi è un monomio che ha come parte letterale il prodotto delle lette-re comuni e non comuni, prese una sola volta con l’esponente maggiore, e come coefficiente ilm.c.m. dei coefficienti preso con il segno positivo se questi sono tutti interi, oppure “+1” se unodei coefficienti non è intero:–5x

2y, 10x

3y

4z

3, 20x5y

3z

2: m.c.m. = 20x5y

4z

3

x4y, 3x

2yz

5, 2xy3: m.c.m. = x4

y3z

5

2.2 Polinomi

Un polinomio è costituito dalla somma algebrica di monomi non simili detti termini del polinomio:3x

2y + 5xy

2 + 3x

Polinomi opposti sono costituiti dalla somma di monomi opposti: –3xy + 4x2 + z, 3xy – 4x

2 – z

–12

13

34–2

34

–12

–

4 3 2

2 34 2 3 3

x y z

x y zx y z= =– – 2–1

338

–38

2 0 2x y z x z

1 =

A

BQ=

–12

–12

( ) ( ) ( ) –18

3 23 3

3 3 3 2 3 9x yz x y z x y

= = 33 6

z

2. Algebra classica 35

ALG

EB

RA

CLA

SSIC

A

Grado di un polinomio

– rispetto ad una lettera: è il massimo grado con cui compare quella lettera

– complessivo: è il massimo tra i gradi dei monomi che lo compongono:

2x3y

4 + x4y

2 – xy3 è di grado complessivo b = 3 + 4 = 7.

In un polinomio ordinato rispetto ad una lettera i termini sono ordinati in modo che gli esponen-ti di quella lettera decrescono o crescono da sinistra verso destra:

3x4 – 5x

3 + x2 + 7x + 2 è ordinato secondo le potenze decrescenti della x.

Un polinomio si dice completo di grado n rispetto ad una lettera se contiene n + 1 termini, es-sendo presente il termine noto:

Per n = 1 si ha un binomio (due termini); per n = 2 si ha un trinomio (tre termini); per n = 3 si haun quadrinomio (quattro termini).

2.2.1 Polinomi come funzioni. Operazioni tra polinomi

Il valore di una espressione dipende dai valori numerici assegnati alle lettere in essa contenute. Perindicare, ad esempio, che il polinomio –4xy + 5x

2 + 3xy2 + 2 dipende da x ed y, si scrive:

P(x, y) = –4xy + 5x2 + 3xy

2 + 2Le lettere x ed y sono dette variabili, i numeri –4, 5 e 3 coefficienti ed il termine che non contie-

ne variabili (+2) termine noto.

Somma algebrica di polinomi

È una successione di addizioni e sottrazioni tra polinomi. Per svolgerla si tolgono le parentesiche racchiudono i polinomi. Se sono precedute dal segno positivo, si lascia invariato il segno deitermini in essa contenuti; se invece è preceduta dal segno negativo, occorre cambiare i segni.Infine, si sommano i monomi simili.

Moltiplicazione di un monomio per un polinomio

Si applica la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, moltiplicando ilmonomio per ciascun termine del polinomio:

Moltiplicazione di polinomi

Si moltiplica ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell’altro e si addizionanopoi, quando è possibile, i termini simili:

(–2 ) 514

(–2 ) (5 ) (–2 ) –12 3 2

xy x y xy xy x y xy⋅ ⋅ ⋅– = +

44–10

12

3 3 2 2 4xy x y x y

= +

(5 2 ) (3 5 ) ( 6 ) 5 2 3 52 2 2 2 2a ab a ab a ab a ab a a+ + – – – = + + – bb a ab a ab– + = +2 26 7 3

a0 x0 + a1x

1 + a2x2 + a3x

3 +…+ an xn = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 +…+ an x

n

n +17444444 8444444

13

15

13

513

12

è di grado 3 rispett3 2 5 4 2 2

x y xy z x yz– –

=a oo ad ;

è di grado 5 rispetto ad ;

è di g

x

ya =

rrado 4 rispetto aa = z

36 Matematica

2.2.2 Prodotti notevoli

Quadrato di un binomio

(a + b)2 = (a)2 + (b)2 + 2(a)(b) = a2 + b2 + 2ab

(–3x + 2y3)2 = (–3x)2 + (2y

3)2 + 2(–3x)(2y3) = 9x

2 + 4y6 – 12xy

3

Quadrato di un trinomio

(a + b + c)2 = (a)2 + (b)2 + (c)2 + 2(a)(b) + 2(a)(c) + 2(c)(b)(–x + y3 – 2z)2 = (–x)2 + (y3)2 + (–2z)2 + 2(–x)(y3) + 2(–x)(–2z) + 2(–2z)(y3) == x2 + y6 + 4z

2 – 2xy3 + 4xz – 4y

3z

Cubo di un binomio

(a + b)3 = (a)3 + 3(a)2(b) + 3(a)(b)2 + (b)3 = a3 + 3a2b + 3ab

2 + b3

(polinomio omogeneo di grado a = 3 ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti dib)(–2x + y2)3 = (–2x)3 + 3(–2x)2(y2) + 3(–2x)(y2)2 + (y2)3 == –8x

3 + 3(4x2)(y2) + 3(–2x)(y4) + y6 = –8x

3 + 12x2y

2 – 6xy4 + y6

Somma di due monomi per la loro differenza

(a + b)(a – b) = (a)2 – (b)2 = a2 – b2

(–3x + 2y2)(–3x – 2y

2) = (–3x)2 – (2y2)2 = 9x

2 – 4y4

2.2.3 Potenza n-esima di un binomio. Triangolo di Tartaglia

La potenza di (a + b)n, con n intero positivo, è uguale ad un polinomio di grado n ordinato secondole potenze decrescenti di a e crescenti di b. I coefficienti dei termini del polinomio si ottengono daltriangolo di Tartaglia. Per costruire il triangolo, occorre ricordare quanto segue:

1) al vertice del triangolo si pone il numero 12) agli estremi di ogni riga si pone il numero 13) ogni termine di una riga, a partire dalla terza,

è la somma dei termini contigui della riga sovrastante.

Per n = 0, risulta (a + b)0 = 1 (vertice)

n = 1, (a + b)1 = a + b (prima riga)

n = 2, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (seconda riga)

n = 5, (a + b)5 = (a)5 + 5(a)4(b) + 10(a)3(b)2 + 10(a)2(b)3 + 5(a)(b)4 + (b)5

11 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(a – b) ⋅ (a – b) = a2 – ab – ab + b

2 = a2 – 2ab + b

2

(x2 – xy + y2 ) ⋅ (x + y) = x

3 + x2y – x

2y – xy

2 + xy2 + y

3 = x3 + y

3


ALG

EB

RA

CLA

SSIC

A

Esempio

(–x + 2y)5 = (–x)5 + 5(–x)4(2y) + 10(–x)3(2y)2 + 10(–x)2(2y)3 + 5(–x)(2y)4 + (2y)5 == –x

5 + 5(x4)(2y) + 10(–x3)(4y

2) + 10(x2)(8y3) + 5(–x)(16y

4) + (32y5) =

= –x5 + 10x

4y – 40x

3y

2 + 80x2y

3 – 80xy4 + 32y

5

2.2.4 Divisione di un polinomio per un monomio

Si applica la proprietà distributiva a sinistra della divisione rispetto all’addizione algebrica. Un po-linomio è divisibile per un monomio se tutti i suoi termini sono divisibili per il monomio.

Esempio

(12x3y

4 – 4x5y

3) : (–2x3y) = (12x

3y

4) : (–2x3y) + (–4x

5y

3) : (–2x3y) =

= –6x3–3

y4–1 + 2x

5–3y

3–1 = –6y3 + 2x

2y

2

Il grado del polinomio quoziente è la differenza tra il grado del polinomio dividendo e quello delmonomio divisore. Nell’esempio precedente, il dividendo ha grado a = 8 (–4x

5y

3), il divisore hagrado b = 4 (–2x

3y), il quoziente ha grado g = a – b = 4 (2x

2y

2).

2.2.5 Divisione tra due polinomi

La divisione di un polinomio A(x) per il polinomio B(x) Z 0 è una divisione con resto R(x) se esisto-no due polinomi Q(x) ed R(x) (di grado inferiore a B) che verifichino la relazione:

A(x) = Q(x) · B(x) + R(x)

Se R = 0 la divisione si dice esatta ed A(x) si dice divisibile per B(x).Per eseguire la divisione tra A(x) e B(x) è necessario che:

1) i polinomi A(x) e B(x) siano funzioni della stessa lettera;2) il grado di A(x) sia maggiore o uguale al grado di B(x).

Regola pratica

Sia A(x) = x5 + 3x2 – 5x – 4, B(x) = –x

3 + x2. Si ordinano A(x) e B(x) secondo le potenze decre-scenti della stessa lettera. Se manca in A(x) qualche potenza, la si inserisce con coefficiente ze-ro. Si dispongono poi A(x) e B(x) secondo lo schema seguente:

Si divide il primo termine di A(x) per il primo termine di B(x) x5 : (–x3) = –x

2 e lo si riporta sotto B:

Si moltiplica ciascun termine del divisore per il primo termine del quoziente ottenuto:

C(x) = –x2 · (–x

3 + x2) = x5 – x4

Si riporta ciascun termine di C(x), con il segno cambiato –C(x) = –x5 + x4, sotto il termine simi-

le del dividendo e si esegue la somma tra A(x) e –C(x):

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

–x2

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

38 Matematica


Si ottiene un primo resto parziale R1(x) che risulta ordinato come il dividendo.Si divide il primo termine del resto parziale per il primo termine del divisore x4 : (–x

3) = –x ed ilquoziente così ottenuto costituisce il secondo termine del quoziente tra A(x) e B(x), che vienescritto di seguito a –x

2:

Si moltiplica poi ciascun termine del divisore per il secondo termine del quoziente ottenuto:

C1(x) = –x · (–x3 + x2) = +x

4 – x3

Si riporta ciascun termine di C1(x), col segno cambiato –C1(x) = –x4 + x3, sotto il termine simile

del primo resto parziale R1(x) e si esegue la somma tra R1(x) e –C1(x):

Si ottiene così il secondo resto parziale R2(x).Si procede in modo analogo fino ad ottenere o un resto nullo, oppure un resto che sia un polino-mio di grado inferiore a quello del polinomio divisore.x

3 : (–x3) = –1 terzo termine del quoziente;

C2(x) = –1 · (–x3 + x2) = x3 – x2

Si ottiene il terzo resto parziale R3(x) di grado a = 2, inferiore a quello di B(x), ossia b = 3. La di-visione quindi non procede oltre e si ha: Q(x) = –x

2 – x – 1; R(x) = 4x2 – 5x – 4

2.2.6 Teorema del resto

Il resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio di primo grado B(x) = x + a, oppureB(x) = x – a, è uguale al valore che assume il polinomio P(x) quando alla lettera x si sostituisce “–a”se B(x) = x + a, “a” se B(x) = x – a.

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

–x5 + x

4 –x2 – x –1

R1(x) // +x4 + 0x

3 + 3x2 – 5x – 4

–C1(x) –x4 + x

3

R2 (x) // x3 + 3x

2 – 5x – 4

–C2 (x) –x3 + x

2

R3(x) // 4x2 – 5x – 4

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

–x5 + x

4 –x2 – x

R1(x) // +x4 + 0x

3 + 3x2 – 5x – 4

–C1(x) –x4 + x

3

R2 (x) x3 + 3x

2 – 5x – 4//

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

–x5 + x

4 –x2 – x

R1(x) // + x4 + 0x

3 + 3x2 – 5x – 4

x5 + 0x

4 + 0x3 + 3x

2 – 5x – 4 –x3 + x

2

–C(x) –x5 + x

4 –x2

R1(x) // +x4 + 0x

3 + 3x2 – 5x – 4

ALG

EB

RA

CLA

SSIC

A

Esempio

Determinare il resto della divisione tra il polinomio P(x) = x3 – 1 ed il binomio B(x) = x – 2.Per calcolare il resto non c’è bisogno di eseguire la divisione ma, per il teorema del resto, basta so-stituire alla lettera x di P(x) il valore +2; il resto coincide con P(+2):R = P(2) = (+2)3 – 1 = 8 – 1 = 7.

2.2.7 Teorema di Ruffini

Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio P(x) sia divisibile per il binomioB(x) = x – a, oppure per B(x) = x + a, è che il polinomio si annulli quando alla lettera x si sostituisce“+a” nel primo caso o “–a” nel secondo.

Esempio

Applicando il teorema di Ruffini, stabilire se il polinomio P(x) = x3 – 3x – 2 è divisibile per il bino-mio B(x) = x – 2.Si calcola il resto R della divisione di P(x) per B(x) = x – 2:P(+2) = (+2)3 – 3(+2) – 2 = 8 – 6 – 2 = 0.Essendo R = 0, P(x) è divisibile per x – 2.

2.2.8 Radici di un polinomio in una variabile

Dato un polinomio P(x) ed un numero reale x0, si dice che x0 è una radice, o uno zero, di P(x) seP(x0) = 0 ossia se, sostituendo alla variabile x di P(x) il valore x0, il polinomio si annulla.

Esempio

P(x) = x2 + 2x – 8, per x0 = 2P(2) = (2)2 + 2 · (2) – 8 = 4 + 4 – 8 = 0 quindi x0 = 2 è una radice (o uno zero) di P(x).

2.2.9 Radici reali di un polinomio a coefficienti interi

Si dimostra che se un polinomio P(x) = anx

n + an – 1x

n – 1 + …… + a0 ammette uno zero razionale,

x0 = , con p e q primi tra loro, allora p è un divisore di a0 Z 0 e q un divisore di an. Da ciò si dedu-

ce che gli eventuali zeri di P(x) vanno ricercati tra le frazioni irriducibili con p divisore di a0 (ter-

mine noto) e q divisore di anZ 0.

Esempio

P(x) = 2x2 – x – 1.

I divisori del termine noto (–1) sono: +1, –1.I divisori del primo coefficiente (+2) sono: +1, –1, +2, –2.

p

q

p

q

40 Matematica

1 I test di logica verbalelogica

La maggior parte degli esami di ammissione è costituita da test psicoattitudinali che comprendono prove di valutazione delle attitudini verbali e delle abilità di ragionamento critico e numerico. Tali quesiti vengono comunemente chiamati di logica in quanto valutano le capacità dello studente di ra-gionare e analizzare le informazioni in maniera razionale, a prescindere dal proprio livello culturale e dalle nozioni che ha acquisito durante gli studi.

Nel dettaglio la prova di ammissione comprende tre diverse tipologie di domande di logica:

• ragionamento logico-verbale: si tratta di una categoria di quesiti volti a testare non solo la conoscenza della lingua italiana, ma soprattutto le capacità di mettere in relazione tra loro vari termini utilizzando criteri logici;

• ragionamento logico (pensiero critico): rientrano in questa tipologia domande che richiedono di analizzare brevi testi, scritti in un linguaggio di uso comune e non relativi ad alcuna disciplina specifi ca, usando prettamente il ragionamento logico. In questo modo viene valutata l’abilità dello studente di riconoscere un’argomentazione logica valida scartando quelle che non lo sono;

• risoluzione di problemi logico-matematici (problem solving): consiste in una categoria di quiz che richiedono di risolvere problemi utilizzando le capacità spazio-numeriche.

I test di logica verbale possono assumere le forme più diverse ma si fondano principalmente su relazioni e associazioni tra parole, per questo motivo la padronanza linguistica, la ricchezza del lessico, la conoscenza dell’etimologia delle parole facilitano il raggiungimento di un buon risultato in questo tipo di esercizi. Tuttavia, la loro funzione non si limita alla verifi ca della conoscenza della lingua, piuttosto mira alla valutazione della capacità di mettere in relazione varie parole secondo criteri logici. Le tre tipologie più frequentemente riscontrabili nei test di accesso sono le seguenti:

– individuazione della relazione logica o etimologica tra i termini;

– proporzioni o analogie verbali;

– inserzione logica di termini in un contesto.

1.1 Relazioni logiche tra termini: le classificazioni concettuali

Si tratta di quesiti in cui, data una serie di termini, si chiede di individuarne uno da scartare perché non congruente con gli altri. Occorre dunque riconoscere la relazione esistente tra le parole e le ra-gioni di incongruenza del termine estraneo che possono essere di natura logica o etimologica.

Attenzione! Le tipologie di relazioni instaurabili tra serie di parole sono pressoché infinite;

di seguito vengono riportate le principali.

160 Logica

TIPOLOGIE DI RELAZIONE

Relazioni tra i termini di un insieme Esempi di caratteristiche comuni

Relazione etimologica Origine dei termini

Relazione semantica Significato dei termini

Relazione ortografica Lettera iniziale, suffissi, dittonghi, etc.

Relazione grammaticale Verbi, sostantivi, aggettivi, etc.

Relazione geografica Città della stessa nazione, Stati dello stesso continente, città della stessa regione, etc.

Relazione temporale Personaggi o eventi della stessa epoca

Relazione di appartenenza Opere di un medesimo autore, artisti di una medesima corrente, animali di una medesima specie, musicisti di uno stesso ge-nere, romanzi ambientati nella stessa città, etc.

Relazione funzionale Il coltello taglia, la penna scrive, etc.

Relazione causale Tra nuvole e pioggia, farmaco e guarigione, etc.

ESEMPIO DI RELAZIONE ETIMOLOGICA

Individuare, tra le alternative proposte, il termine da scartare.

a) antenato b) antefatto c) antipasto d) antifurto e) anteprima

Nelle alternative a), b), c), e), il prefi sso anti- deriva da ante che signifi ca “prima, davanti”, mentre nell’alternativa d), il prefi sso deriva da anti- con il signifi cato di “contro”.

ESEMPIO DI RELAZIONE SEMANTICA


a) Restio b) Disposto c) Orientato d) Propenso e) Incline

Tutti i termini indicano un atteggiamento favorevole nei confronti di qualcosa ad eccezione della a): la parola “restio” infatti signifi ca “riluttante a fare qualcosa”.

ESEMPIO DI RELAZIONE ORTOGRAFICA


a) spasso b) basso c) contrabbasso d) contrabbando e) contrappasso

Tutti i termini fi niscono per “asso” tranne nell’alternativa d).

ESEMPIO DI RELAZIONE GRAMMATICALE


a) il b) la c) un d) le e) gli

Sono tutti articoli determinativi tranne la c).

1. I test di logica verbale 161

I TEST D

I LO

GIC

A V

ER

BA

LE

ESEMPIO DI RELAZIONE GEOGRAFICA

Individuare l’abbinamento errato:

a) Medici - Firenze b) Della Scala - Genova c) Visconti - Milano d) Estensi - Ferrara e) Gonzaga - Mantova

Gli abbinamenti si riferiscono a celebri dinastie aristocratiche e alle relative città di appartenenza. Sono tutti corretti tranne nell’alternativa b): la famiglia della Scala o famiglia scaligera, infatti, fu una celebre dinastia veronese.

ESEMPIO DI RELAZIONE TEMPORALE


a) Baricco b) Dante c) Mazzantini d) Coelho e) Faletti

Si tratta di tutti scrittori contemporanei, ad eccezione di Dante che è dunque il termine da scartare.

ESEMPIO DI RELAZIONE DI APPARTENENZA

Individuare, tra le alternative proposte, il termine da scartare:

a) sardina b) orata c) balena d) branzino e) dentice

I termini proposti sono tutti pesci tranne la balena che è un cetaceo.

ESEMPIO DI RELAZIONE FUNZIONALE

Individuare, tra le alternative proposte, la parola da scartare.

a) Bicicletta b) Motocicletta c) Automobile d) Coltello e) Motocarro

In tutte le alternative sono elencati mezzi di locomozione tranne nella d).

ESEMPIO DI RELAZIONE CAUSALE

Individuare l’abbinamento errato:

a) medicina - guarigione b) corsa - affanno c) riposo - stanchezza d) dieta - dimagrimento e) taglio - sanguinamento

In ogni coppia i termini sono legati tra loro da una relazione di causa-effetto tranne nella c) non essendo il riposo una possibile causa di stanchezza.

Attenzione! Nell’affrontare quesiti di questo tipo, ricordate di passare in rassegna anche gli aspetti superfi ciali delle parole: con quale lettera iniziano (ad esempio se iniziano tutte con consonanti tranne una); se contengono sillabe in comune (ad esempio le parole risotto, trottola, nottola, ottobre, ecc. hanno tutte in comune il gruppo sillabico otto); se sono composte dallo stesso numero di lettere tranne una, e così via. Si suggerisce quindi di analizzare le alternative proposte prima ad un livello di “superfi cie”, per poi passare a livelli di classifi cazione via via più “elaborati”. Abituarsi ad analizzare i raggruppamenti proposti in questo modo impedisce il sovraccarico del nostro sistema di elaborazione delle informazioni e consente di risparmiare del tempo prezioso.

162 Logica

1.2 Proporzioni verbali o analogie concettuali

Nelle prove selettive i quesiti basati su proporzioni verbali sono piuttosto comuni perché con-siderati rilevatori effi caci delle abilità di ragionamento induttivo. Si tratta tuttavia di quesiti che richiedono anche il possesso di un lessico suffi cientemente ricco e una buona padronanza della lingua italiana.

Questi quiz vengono comunemente chiamati proporzioni verbali perché assomigliano nella for-ma alle proporzioni matematiche, ma al posto dei numeri sono costituite da vocaboli tra i quali oc-corre individuare il nesso. In tali prove si richiede infatti di individuare il rapporto di somiglianza tra parole, fatti, oggetti e di riconoscere il termine o i termini che spiegano la relazione o che esprimono un certo grado di somiglianza tra essi. Per questo motivo tali tipologie di quesiti possono essere de-fi nite anche equivalenze semantiche o analogie concettuali. Anche in questo caso, dunque, la prima cosa da fare è comprendere il nesso, ovvero la relazione, tra i termini, ma a differenza delle relazioni logiche semplici, nelle proporzioni mancano una o più parole che devono essere individuate. Come già accennato le tipologie di relazione possibili sono pressoché infi nite, ma le più comuni sono quel-le indicate nel paragrafo precedente.

Vediamo alcuni esempi di proporzioni verbali.

ESEMPIO DI RELAZIONE CAUSALE

Soluzione : Problema = Accordo : ?

Il quesito in questo caso viene posto sotto forma di proporzione e deve essere letto in questo modo:

Soluzione sta a Problema come Accordo sta a X

La coppia dei termini Soluzione e Problema è in relazione causale consequenziale, ovvero la Soluzione è qui da intendersi nella accezione di raggiungimento di un risultato da sostituire a una serie complessa di elementi ovvero ad un Problema.

Nell’esempio successivo l’incognita da individuare tra i cinque termini proposti dovrà esprimere la stessa consequenzialità inversa riferita al termine Accordo per cui tra le alternative proposte:

a) Disaccordo b) Concordia c) Conflitto d) Dilemma e) Pretesa

la risposta giusta è la c) Conflitto, perché è l’unico termine che esprime con la stessa intensità e nella stessa direzione della coppia precedente la relazione di causalità consequenziale.

ESEMPIO DI RELAZIONE ETIMOLOGICA

Eremo : Eremita = Probo : ?

a) Problematico b) Probabilità c) Proibire d) Probiviro e) Proboscide

Il termine Eremita, riferito a chi si apparta dal mondo, di solito per motivi religiosi, deriva etimolo-gicamente da Eremo, luogo isolato di contemplazione e preghiera. Il termine Probo significa onesto, integro, retto, da cui deriva Probiviro che propriamente significa “uomo probo”, più comunemente membro di un gruppo ristretto con compiti delicati all’interno di un’istituzione (collegio dei probi-viri). Gli altri termini evidentemente non hanno alcuna relazione etimologica. Dunque la risposta esatta è la d).


I TEST D

I LO

GIC

A V

ER

BA

LE

ESEMPIO DI RELAZIONE ORTOGRAFICA

Trama : Vello = Brama : ?

a) Merlo b) Bello c) Spello d) Agnello e) Pelo

Questo tipo di esercizi può trarre in inganno proprio per la sua semplicità. È essenziale in questo caso non prefigurare la risposta sulla base del solo esame della proporzione. L’unica relazione pos-sibile tra i due termini noti della proporzione impostata è quella di tipo ortografico, che è prodotta dalla sostituzione della prima lettera di ciascun termine: la T di trama viene sostituita dalla B di brama. Quindi l’unico termine, tra quelli suggeriti, che soddisfa la relazione ortografica è il termine Bello (la lettera B in sostituzione della lettera V di vello).

ESEMPIO DI RELAZIONE GRAMMATICALE

Dire : Andato = Elegante : ?

a) Folla b) Adesso c) Studiare d) Moltitudine e) Molto

Anche questo tipo di esercizio richiede molta accortezza, oltre alla conoscenza di base della gram-matica. È bene esaminare attentamente i termini della proporzione e le risposte suggerite. È difficile capire la relazione tra le parole se non individuiamo quali sono i termini noti della proporzione e il tipo di relazione che li accomuna. Dire e Andato sono i termini noti, sono due verbi, quindi poiché il termine Elegante è un aggettivo la risposta corretta sarà data da un altro aggettivo. Il termine Molto ha diverse funzioni nella lingua italiana e una di queste è proprio quella di aggettivo.

ESEMPIO DI RELAZIONE GEOGRAFICA

Calabria : ? = Toscana : Firenze

a) Catanzaro b) Piacenza c) Reggio Calabria d) Vibo Valentia e) Torino

La relazione tra i termini della proporzione è facilmente individuabile anche a un primo sguardo: Firenze è il capoluogo regionale della Toscana, quindi la risposta giusta sarà la a) poiché Catanzaro è capoluogo regionale della Calabria. L’esempio ha un unico distrattore costituito da Reggio Calabria, altro noto capoluogo tra le province calabresi. Dato che sono molto frequenti i richiami a nozioni geografiche, si consiglia di ripassare la materia.

ESEMPIO DI RELAZIONE TEMPORALE

? : Lorenzo il Magnifico = Federico Barbarossa : Marco Polo

a) Carlo Magno b) Giuseppe Garibaldi c) Dante Alighierid) Giotto e) Leonardo da Vinci

L’unica relazione tra Federico Barbarossa e Marco Polo è di tipo temporale; entrambi sono vissuti nel Medioevo. Lorenzo il Magnifico invece appartiene al periodo rinascimentale come Leonardo da Vinci, quindi la risposta esatta è la e).

Le combinazioni in questo tipo di prove sono pressoché infinite. È da tenere presente che non si può ricordare e sapere ogni cosa su qualsiasi argomento, quindi per affrontare serenamente le prove occorre un ripasso veloce degli eventi storici: in questo modo, recupererete la gran parte delle infor-mazioni e delle nozioni che vi aiuteranno più di qualsiasi altra cosa per affrontare prove del genere.

164 Logica

ESEMPIO DI RELAZIONE DI APPARTENENZA

Tordo : Merlo = Capodoglio : ?

a) Trota b) Scoiattolo c) Fagiano d) Piovra e) Barracuda

I termini da confrontare sono tutti appartenenti al regno animale. La relazione nota è quella tra Tordo e Merlo, che appartengono all’ordine degli uccelli, diversamente dal Capodoglio. I distrattori inseriti in questo esempio sono i due pesci, la trota e il barracuda, oppure al limite si potrebbe ritene-re distrattore anche la piovra se erroneamente consideriamo l’habitat (entrambi sono animali marini, ma la piovra è un mollusco, il capodoglio è un cetaceo). Escludendo ovviamente il fagiano che è un uccello, non resta altro che lo scoiattolo, piccolo mammifero di terraferma. Anche il capodoglio è un mammifero, quindi la risposta esatta è b) Scoiattolo.

ESEMPIO DI RELAZIONE FUNZIONALE

Lavastoviglie : ? = Scooter : Benzina

a) Piatti b) Sapone c) Elettricità d) Acqua e) Lavatrice

L’analogia tra i vocaboli è spiegata dalla relazione funzionale tra i termini della proporzione. Naturalmente la Benzina è il propellente necessario per la locomozione dello Scooter. Il distrattore più insidioso tra i termini proposti è principalmente l’acqua che, pur essendo un elemento indispen-sabile per il buon funzionamento della lavastoviglie, non è l’elemento che attiva il motore dell’elet-trodomestico. La risposta esatta è dunque la c) Elettricità.

Gli esempi fi n qui analizzati riguardano proporzioni a una sola incognita. Generalmente invece al test vengono presentate proporzioni a più incognite o analogie complesse composte da due coppie di termini in relazione tra loro, nelle quali mancano il primo termine della prima coppia e il secondo termine della seconda coppia. Occorre dunque individuare la coppia di parole che completa la proporzione secondo un determinato criterio. Il rapporto logico esistente tra i termini deve essere rispettato, pertanto, oltre al signifi cato e alla relazione tra le parole, decisiva è anche la posizione che ciascun termine occupa nella proporzione.

Riprendiamo un esempio già incontrato per comprendere la differente impostazione tra le due tipologie di quiz.

Quale tra le coppie di termini proposti completa logicamente la seguente proporzione?

x : Calabria = Firenze : y

Questo tipo di quesito richiede necessariamente la scelta tra una serie di coppie perché non ab-biamo altri elementi per dare risposte affi dabili.

a) x = Toscana y = Reggio Calabria

b) x = Siena y = Catanzaro

c) x = Umbria y = Toscana

d) x = Vibo Valentia y = Toscana

e) x = Catanzaro y = Livorno


I TEST D

I LO

GIC

A V

ER

BA

LE

I termini noti sono una regione e una città, ci aspettiamo dunque di dover individuare una coppia analoga, ovvero un’altra città e un’altra regione, il ché ci porta ad escludere le alternative b), c) ed e) costituite da due città nel primo caso e due regioni nel secondo. La risposta a) sarebbe possibile, tut-tavia riporta i termini in posizione inversa rispetto a quelli proposti nella traccia del quesito (sarebbe stata corretta se fosse stata Reggio Calabria (x) sta alla Calabria come Firenze sta alla (y) Toscana).

La d) è la risposta corretta perché Vibo Valentia si trova in Calabria, così come Firenze in To-scana.

Quale tra le coppie di termini proposti completa logicamente la seguente proporzione?

x : Medico = Ladro : y

La risposta è da scegliere tra una di queste possibilità:

a) x = Ospedale y = Grimaldello

b) x = Passamontagna y = Camice

c) x = Paziente y = Ingiustizia

d) x = Malato y = Poliziotto

e) x = Manette y = Siringhe

La risposta corretta in questo caso è la d) perché il medico e il poliziotto hanno a che fare rispet-tivamente con i malati e con i ladri, ovvero con le due categorie cui è fi nalizzata la loro professione: curare i malati, arrestare i ladri. L’altra risposta plausibile, la b), non presenta il corretto ordine dei termini x e y (sarebbe stata corretta se fosse stata x = camice y = passamontagna); la risposta a) non rispetta la relazione funzionale perché il medico indossa il camice, il ladro invece usa il grimaldello. Infi ne la risposta c) esprime due incognite con un diverso livello di astrazione tra loro.

1.3 Le possibili forme grafiche di presentazione delle analogie verbali

Abbiamo descritto alcune chiavi di lettura per risolvere con profitto le analogie verbali. Altri ele-menti di “distrazione” escogitati dai redattori delle prove di esame fanno ricorso alle più varie mo-dalità di presentazione grafica del materiale stimolo. Potrete incontrare le analogie verbali sotto queste diverse possibili rappresentazioni. Siate dunque pronti anche a questo tipo di evenienza. Occorre qualche istante in più per riconoscere i termini noti, ma la chiave per la risoluzione del problema non cambia.

SO

LU

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SOLUZIONE PROBLEMA

ACCORDO ?

166 Logica

?PROBLEMA

SOLUZIONE ACCORDO

? PROBLEMA

SOLUZIONE ACCORDO

1.4 Inserzione logica di termini in un contesto

Questa tipologia di quesiti è fi nalizzata alla verifi ca della ricchezza di lessico ma anche della ca-pacità di comprensione e contestualizzazione dei termini. Non si tratta di vere e proprie prove di vocabolario, in quanto non si chiede in modo specifi co il signifi cato di una parola, ma si chiede di inserire una serie di termini in un brano da cui sono stati espunti. I termini potrebbero dunque essere individuati anche andando ad esclusione e comprendendo il solo senso generale del testo proposto. Nella scelta dei termini incogniti occorre tener presente sia l’aspetto semantico (il signifi cato più adatto al contesto) che l’aspetto grammaticale. Possono essere oggetto di prova testi di qualsiasi ar-gomento, su qualsiasi disciplina, ma ancora una volta l’intento non sarà quello di testare conoscenze acquisite su determinati argomenti o materie, quanto piuttosto la capacità di utilizzare correttamente i termini in contesti appropriati.

Vediamo un esempio:

Quali parole vanno sostituite ai numeri per dare un senso compiuto e logico al testo seguente?

Primo …(1)… per un medico è il possesso di competenze scientifi co-tecniche, che richiedono

la conoscenza approfondita del corpo umano, delle cause, sintomi e manifestazioni delle patologie,

degli strumenti terapeutici. Oltre alle conoscenze scientifi che, un ruolo fondamentale assume la

capacità di instaurare un buon rapporto con …(2)… unito a quello con gli altri medici ed altri

operatori sanitari e socio-sanitari. In particolare, il rapporto con il paziente implica sia la capacità

di ascoltarlo ed eventualmente interrogarlo al fi ne di acquisire tutti gli elementi conoscitivi rilevanti

per la defi nizione della malattia e del migliore percorso di cura, sia la capacità di trasmettere al

paziente le informazioni necessarie. Essere dotati di buone capacità …(3)… è dunque fondamentale

in questa professione.

Prima ancora di leggere le alternative proposte, occorre leggere il testo e cercare di compren-derne il signifi cato generale. Già questa prima lettura consentirà di cogliere il senso e di escludere almeno un paio di alternative che risultano in evidente contrasto con quanto il brano sostiene. Com’è noto, infatti, una delle principali diffi coltà dei test a risposta multipla è la gestione del tempo, ge-neralmente insuffi ciente per soffermarsi troppo a lungo su un singolo quesito. Eliminare un paio di alternative riduce i termini da verifi care e consente di risparmiare tempo prezioso.

tratto da editest teoria medicina, odontoiatria, … corretta esecuzione dei test di ammissione, le...

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