¿Combien de fois t'es-tu demandé … … à quoi me

servent les Mathématiques ?

• Maintenant tu vas voir comment cette science merveilleuse est liée à la vie quotidienne …

• La forme des cornes des veaux, des chèvres et d´autres animaux suivent le modèle de spirale. La spirale, d'une certaine manière, a des propriétés semblables aux ressors qui amortissent les coups, ce qui sert à ces animaux dans la lutte.

• Les caractéristiques des tubes, qui sont cylindriques, ont une grande importance dans le timbre et la sonorité.

• L´ influence ici est le diamètre, la longitude et même la disposition. Sur la photo nous voyons des tubes cylindriques verticaux et horizontaux.

pont en fer sur la rivière Duero

• Cette construction a été faite par l’entreprise de Gustave Eiffel, créateur de la Tour Eiffel de Paris. On apprécie bien le style de la Tour Eiffel dans ce pont en fer. Nous voyons clairement qu´on a utilisé une forme parabolique pour que la construction puisse mieux soutenir le poids de toute cette quantité de fer.

LaTour Eiffel est un des meilleurs exemples de

l’emploi des mathématiques dans la construction Né le 15 décembre 1832, à Dijon, Gustave Eiffel est un ingénieur-mathématicien hors de norme! En 1866, il décide de fonder sa propre société. Il fait l’adquisition d’ateliers de constructions métalliques. L’entreprise obtient alors plusieurs grandes commandes d’édifications de viaducs et de bâtiments à structures ou charpentes métalliques. Pour ce faire, il n’hésite pas à parcourir L’Europe entière. Mais sa carrière culmine, sans doute, avec la Grande Dame toute en fer

Comme beaucoup de grands projets architecturaux, la Tour Eiffel a souffert des détracteurs. Au moment de sa construction de fortes protestations émanèrent de plusieurs personnalités du monde des arts et des lettres. À ces protestations, Gustave Eiffel répondait que l’élégance n’est pas incompatible avec la solidité, l’utilité et la technique. Il ajoutait que les courbes des quatre piliers de monument qui ont été fournies avec des calculs mathématiques, donneront á la tour une grande impression de force et de beauté.

Pour construire la tour, Gustave Eiffel a appliqué fidèlement la méthodologie scientifique et des procédés techniques soignés basés sur les maths et la physique. Ainsi, tant à la création de son projet en 1886 comme á la construction, Gustave Eiffel a controlé avec les maths du premier millimètre jusqu’au dernier centime de franc que coûtait l´éxécution de la tour: 7 800 000 francs de l’époque.

Grâce aux maths, Gustave Eiffel a obtenu:La précision du dessin: lever cette tour de 8000 tonnes et 300 mètres d’hauteur, avec 18000 pièces en fer, exigeait un procédé de montage très soigneux basé sur un algorythme mathématique pour emboîter tous les éléments de la structure des quatre piliers.L’élaboration du budget: la tour a été construite dans le temps prévu; les travaux ont duré 2 ans, 2 mois et 5 jours. Il n’y a pas eu un seul accident de travail pendant la construction, dans laquelle travaillaient plus de 300 ouvriers. En plus, avec moins de l´argent estimé au début, presque 7 800 000 francs de l’époque.

Quelques chiffres pour une épopée:Date de Naissance: 31 mars 1889 (pose le drapeau au

sommet)Entrepreneur: Gustave Eiffel & CieIngénieurs: Maurice Koechlin et Emile NouguierArchitecte: Stephen SauvestreEtudes: commencées en 1884Construction: 1887-1889 ( 2 ans, 2 mois ey 5 jours)Poids de charpentes métalliques: 7300 tonnes (Poids

total: 10100 tonnes)Hauteur primitive: 312mètres avec le drapeau au

sommetHauteur actuelle: 324 mètres avec antennesNombre de pièces en fer: 18038Nombre de rivets: 2 500 000Nombre de marches pour l’escalier: 1665Cout de construction: prèsque 7 800 000 frans de

l’époqueNombre de personnes travaillant sur la tour: 600

environNombre de visiteurs jusqu`au 31 décembre 2009:

249 976 000Chiffre d’affaires pour l’année: 66 millions € environPropriétaire: La ville de Paris

Dans le project de Gustave Eiffel, les maths ne sont pas seulement présentes aux chiffres, car il y a divers éléments mathématiques qui font partie de la propre structure de la tour.

Quels sont les élements mathématiques que nous pouvons apprécier á la structure de la tour? Qu’est-ce que vous en pensez?

Les quatre piliers

Les arcs de la base

La symétrie

Les triangles:

Les proportions de la tour

Les arcs de la base

Les quatre piliers

: ils sont inscrits dans un carré de 125 mètres de côté et orientés selon le 4 points cardinaux

ils reposent sur les piliers et ici ils sont utilisés comme des éléments décoratifs.

La symétrie

Dans la tour il y a une similitude de parties opposées, la reproduction exacte à gauche d’un axe de ce qu’il y a à droite. En maths, cette symétrie on l’appelle “symétrie axiale”

On dit en maths qu’il y a symétrie axiale selon l’axe “e” si chaque point A de la figure à gauche a un autre point A’ dans la figure à droite tel que d(A,e)=d(A´,e); c’est à dire, que l’axe “e” est la médiatrice du segment AA’. Si on plie pour “e”, la figure à gauche se met au-dessus de la figure à droite. Pour comprendre mieux ce concept, nous allons voir une vidéo.

A A´

Les triangles

La tour est construite avec des triangles unis les uns avec les autres. Ce fait n’est pas par hasard. Le triangle est l’unique poligone qui ne se déforme pas avec la pression.

Si on applique une force de compression sur un des sommets d’un triangle les deux arêtes qui sortent de lui sont soumies à cette force de compression, mais la troisième arête est soumise à un effort de traction, et par conséquent, il y a un équilibre de forces. C’est pour cela que la figure ne se déforme pas.

Pour faire qu´une autre figure géométrique soit rigide et stable on doit ajouter des triangles. Par exemple, pour avoir des triangles dans un carré on ajoute une arête et dans le pentagone deux arêtes:

Cette propriété des triangles a beaucoup d’applications à l´ architecture et à la technique. Par exemple, aux pylônes électriques, aux grandes grues, aux échafaudages utilisés pour construire, ou aux étagères métalliques que nous avons chez nous.

Pour rendre stables les étagères on ajoute des petites équerres d’union (qui sont des triangles rectangles) ou bien ajoutant une ou deux arêtes pour former des triangles)

Mais, sans doute, la structure avec des triangles la plus représentativeMais, sans doute, la structure avec des triangles la plus représentative est la est la ..

Les quatre bords: à mesure que la tour s’éleve, les 4 piliers se tournent vers l’intérieur jusqu’à rejoindre à un seul élément ou une colonne centrale. Si on regarde la tour de face, elle paraît un triangle, mais avec les arêtes courbes. La courbure des bords est exactement comme les calculs mathématiques ont déterminé. Ainsi, pour faire le dessin de la tour, Gustave Eiffel se basait sur des concepts simples de physique: l’idée était qu’à chaque point de la superficie de la tour la force du vent soit compensée avec le propre poids de la tour. Gustave Eiffel utilisait cette idée pour obtenir une équation qui donne la forme de la tour. Cette équation détermine une fonction, c’est à dire, une rélation entre deux magnitudes

-Les quatre bords

Dans ce cas, la fonction met en rélation la hauteur et la moitié de la largeur, ayant présente toujours la force du vent. Si on représente sur des axes de coordonnées l’équation, on obtient une courbe qui donne la forme des bords de la tour.

Les bords offrent la maxime résistance au vent. La tour peut supporter des vents de jusqu’à 800 kilomètres pour heure (en 1999 les vents arrivèrent jusqu’à 214 km/h au sommet). D’un autre côté, la résistanse et la légèreté du fer, le rend supérieur aux autres matériaux. L’utilisation de fer à une structure ouverte fait que le poids de la tour soit égal que le poids de l’air qui l’entoure .Mais la tour se tord aussi sous l’effect de la chaleur. La structure exposée au soleil se dilate plus que celle qui est à l’ombre. La tour pour “fuir le soleil” peut s’incliner jusqu’à 18 centimètres

la Raison Dorée ?

•Un Rectangle Áureo: est simplement celui-là où la raison?(le rapport ou le quotient) entre le côté le plus grand et le moindre est

•La Section: manière de partitionner un segment de forme harmonique et agréable à la vue

Le rectangle aureo: Les axes de ses quatre piliers forment un carré de 100 mètres, qui serait le petit côté d'un rectangle aureo. En mettant deux rectangles aureo nous obtenons la hauteur de cette tour. 100 x Φ x 2 ≈ 323,61 mètres que c'est la hauteur de la tour.

La section aurea: Elle se trouve dans différentes parties de la tour. Voyez le dessin: le segment en bleu est égal à l'un et le nombre serait le bleu plus le doré.

Le nombre d'or PHI, , est la clef mathématique de l'harmonie de notre monde. De l'univers sensible , comme de l'absolu , il se trouve dans de nombreuses manifestations de la nature aussi bien que dans les constructions humaines

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Pour finir cette exposé, maintenent nous allons voir une vidéo sur LE NOMBRE D´OR