travaux dirigees de resistance des materiaux corrige
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8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
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Rsistance des matriaux Sommaire.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 1
Sommair e :
TD1 : Torseur de cohsion 2TD2 : Traction compression. 6TD3 : Cisail lement. 9TD4 : Torsion. 12TD5 : F lexion 18TD6 : Pri ncipe de superposit ion.
22TD7 : Soll icitat ions composes. 25TD8 :F lambement.des poutr es compr imes. 31Elments de cor rection : 35
Cor rigTD 1. 36Cor rigTD 2. 40Cor rigTD 3. 43Cor rigTD 4. 45Cor rigTD 5. 49
Cor rigTD 6. 51Cor rigTD 7. 57Cor rigTD 8. 62
Annexe. 64
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Rsistance des matriaux TD1 : Torseur de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 2
TD 1 : Torseurs de Cohsion
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Rsistance des matriaux TD1 : Torseur de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 3
EXERCICE 1.
Soit la poutre encastre en A et supportant un effort inclin F
.
1.Calculer la raction de lencastrement A ( )MetRAA
2.Dterminer le torseur des efforts cohsion.
3.Tracer les diagrammes des efforts de cohsion.
4.A quelle sollicitation est soumise la poutre.
EXERCICE 2.
Pour chacun des exemples suivants, on demande de :
dterminer les actions de liaisons
calculer le torseur de cohsion
tracer les diagrammes des composantes non nulles du torseur de cohsion.
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Rsistance des matriaux TD1 : Torseur de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 4
EXERCICE 3 .
Un arbre de machine 1 est modlis la figure 1 par sa ligne moyenne AB.
1 est guid en rotation par deux roulements que lon peut modliser en A et B par deux
liaisons :
En A : liaison 2-1, sphrique de centre A
En B : liaison 3-1, linaire annulaire daxe (B, x
) ;
En C : larbre supporte une action mcanique extrieure modlisable par un torseur
)14(T tel que :{ }0
)14(C=)14(T
C
avec z50-y600+x-100=)14(C
(Units : newtons et mtres)
1. Calculer dans R= (A, x
, y
, z
) les composantes des torseurs daction mcanique
associs aux liaisons 2-1et 3-1.
2. Pour une section droite repre par son centre de surface G tel que : x5.1=AG
,
exprimer dans R=(G, x
, y
, z
) les composantes du torseur de cohsion.
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Rsistance des matriaux TD1 : Torseur de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 5
EXERCICE 4 .
La poutre est considre en quilibre sur deux appuis linaires en A et C ; elle est change
dans son plan de symtrie par une charge concentre et une change concentre et une charge
rpartie sur BC.
1. Dterminer les reactions aux A et C
2. Donner lexpression des lments de rductions du torseur des actions internes (N, T, Mfz,
Mt, Mfy)
3. Reprsenter graphiquement les variations des composantes algbriques (N(x), T(x), Mfz(x),
Mt(x), Mfy(x)).
Exercice 5.
Un arbre de transmission peut tre modlis comme dans la figure suivante :En A et B, le guidage est ralis par deux roulements billes contact radiaux.
1- Dterminer les actions mcaniques en ces points.
2- Larbre ABCD est assimil une poutre droite. Dterminer les lments du torseur de
cohsion entre A et B.
AB = a = 100 mm
BC = CD = b = 200mm
FD =-100 N
q = 350N/m
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Rsistance des matriaux TD2: Traction - compression
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 6
TD 2 : Traction compression.
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Rsistance des matriaux TD2: Traction - compression
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 7
EXERCICE 1 .
Soit la vis ci-dessous de longueur 150 mm et de diamtre 16mm, en quilibre sous laction
des deux forces F1 et F2 dintensit chacune 1000daN. La vis est en acier et son module
dlasticit longitudinal est de 200GPa.
1- A quel type de contrainte est soumise la vis ?2- Calculer la valeur de la contrainte.3- Si on adopte un coefficient de scurit de 4, calculer la rsistance lastique de lacier.4- Dterminer lallongement de la vis.
EXERCICE 2 :
Un cble de diamtre 8 mm et de longueur 300m ralis en acier de module dlasticit
E=200GPa et Re = 295 MPa est soumis une contrainte de 40MPa.
1- Vrifier que le coefficient de scurit appliqu ce cble est suprieur 4.2- Calculer la force applique ce cble.3- Calculer lallongement de ce cble.4- Calculer lallongement relatif.5- Dterminer le diamtre que devrait avoir ce cble si le coefficient de scurit est
suprieur ou gal 10.
EXERCICE 3 .
Une poutre horizontale rigide AB, de longueur 1, est fixe deux barres cylindriques
lastiques verticales AA et BB aux points fixes A et B.
On nglige les poids propres de AB, AA, BB.
1. Calculer les allongements l 1et l 2 des deux barres AA et BB, reprsenter lallure de
la poutre AB aprs chargement.
2. Dterminer la section S2qui permet de garder la poutre AB en position horizontale.
P = 3000 N
I1 = 500 mmI2 = 700 mm
E = 20.104N/mm
2
S1= S2 = 40 mm2
e = 300 N/ mm2
s = 6
AC = AB/3
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Rsistance des matriaux TD2: Traction - compression
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 8
3. a)Calculer pe.
b) Dterminer les sections S1 et S2 pour que les deux barres restent dans le domaine
lastique.
EXERCICE 4.
Le plancher dun local repose sur certain nombre de poteaux tubulaires. Les poteaux ont une
hauteur h = 3m chacun support une charge verticale F
= 18 104N. On suppose que le
poteau est encastr en deux extrmits.
On donne les caractristiques mcaniques de la fonte utilise Re (en compression 600 MPa).
Le coefficient de scurit vaut 5.
Les tubes doivent tre choisis parmis les sries ci-dessous :
(Extrait dun catalogue, on notera que lpaisseur e du poteau tubulaire e D/40
e 2 2,5 3,5 4
D 80 100 100 140 140 160 160 200
1. Calculer la section minimale de poteau et choisir la dimension de celui-ci.
2. Quel est le raccourcissement de poteau ?
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Rsistance des matriaux TD2: Traction - compression
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 9
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Rsistance des matriaux TD3 :Cisaillement.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 10
TD 3 : Cisail lement.
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Rsistance des matriaux TD3 :Cisaillement.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 11
EXERCICE 1.
Sur une presse, le poinon 1de la figure suivante ralise un trou oblong (rectangle 100 x 20 et
deux demi cercles de 20 mm de diamtre) dans une tole 2de 3 mm dpaisseur. La rsistance
la coupure par cisaillement est de 25 daN.mm.
1.Indiquer et calculer la section cisaille par le poinon.
2.Dterminer leffort F minimum ncessaire pour raliser la perforation.
3.Calculer la contrainte de compression dans le poinon.
EXERCICE 2.
Un arbre (1) transmet un mouvement de rotation un moyeu (2) par lintermdiaire dune
clavette (3).
Larbre de diamtre d=32 mm est en acier XC 18 pour lequel Re=265 MPa. Le couple
transmis a pour valeur M=65 Nm.
La clavette a pour dimensions transversales 10 x 8. Lacier de la clavette est E24 pour lequel
e=108MPa.
Le coefficient de scurit choisi est s=3.
La pression maximale admissible sur le flanc AB du contact clavette-moyeu est pm=30 MPa.
On donne AB=4 mm.
On admet que la rsultante F
des actions mcaniques de contact sur le flanc de la clavette
est perpendiculaire la surface de contact la distance d/2 de laxe de larbre.
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Rsistance des matriaux TD3 :Cisaillement.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 12
1. Calculer la norme de F
2. A partir de la condition de rsistance de non matage, dterminer la longueur minimale de
la clavette.
3. Vrifier la longueur de la clavette partir de la condition de rsistance au cisaillement de
celle-ci. Conclure.
EXERCICE 3.
Lorsquon veut dcouper par poinonnage un trou dans une pice (tle), on exerce par
lintermdiaire dun poinon un effort de cisaillement F
qui se rpartit sur toute la section
cisaille de la pice.
Cependant, pendant le poinonnage, loutil (poinon) travaille en compression et ne doit pas
de ce fait subir de contrainte normale trop importante qui pourrait entraner sa dformation
permanente.
La tle poinonner a pour paisseur e = 4 mm et lacier qui la constitue a une contrainte
tangentielle moyenne de rupture r= 200 MPa. Le trou raliser est carr de cot a = 20 mm.
1.Quel effort F
minimal le poinon doit-il exercer sur la tle pour poinonner.
2.La contrainte pratique de compression du poinon vaut : pc= 240 MPa.
La contrainte de compression dans le poinon est-elle satisfaisante.3.A partir de quelle valeur minimale de a ne peut on plus envisager de poinonner une tle
dpaisseur e= 4 mm.
EXERCICE 4 .
La liaison pivot entre 1 (tirant) et 2 est ralise par lintermdiaire dun axe cylindrique 3.
Dans les deux cas, laction exerce par le tirant est F = 10 000 daN. Les axes 3 sont raliss
dans le mme acier dont la contrainte admissible au cisaillement est 5 daN.mm-2.
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Rsistance des matriaux TD3 :Cisaillement.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 13
Dterminons et comparant les diamtres d1et d2des deux solutions.
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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 14
TD 4 : Torsion.
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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 15
EXERCICE 1.
On se propose dtudier la rsistance dun arbre de transmission modlis par une poutre
droite, de section circulaire constante comme lindique la figure ci-dessous :
Les actions mcaniques extrieures qui sexercent sur larbre sont reprsentes par les
torseurs suivants :
Donnes :
Module de Coulomb : G = 8.104MPa .
Coefficient de scurit : s = 3.
Angle limite de torsion :lim =0,45 /m. Contrainte tangentielle la limite lastique (glissement) :Rg= 120MPa.
Questions :
1. Dterminer les composantes du torseur des efforts de cohsion tout au long de
cette poutre
2. Etude de la rsistance de larbre au moment de torsion :2.1. Tracer le diagramme du moment de torsion (Mt).
2.2. Calculer le diamtre minimal (d) de larbre partir de la condition de rigidit.
2.3. Calculer le diamtre minimal (d) de larbre partir de la condition de rigidit.
3. Tracer lesdiagrammes des efforts tranchants Ty et Tz .
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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 17
G= 8.104MPa. Une rainure de clavette provoque une concentration de contrainte de valeur
K=4. on adopte un coefficient de scurit s=3.
a) Dterminer le diamtre minimal de cet arbre plein dmini partir de la condition de
rsistance la torsion.b) Pour allger la construction, on se propose de remplacer cet arbre plein par un arbre
creux de diamtre intrieure d1=0.5D. Dterminer les diamtres D et d1 de larbre
creux pour quil rsiste la torsion.
c) Quel est le pourcentage de gain en masse.
d) Pour les deux arbres, dterminer les diamtres d ; D et d1 vrifiant la condition de
rigidit si lim =0.5 / m et conclure.
EXERCICE 3.
Soit deux arbres de transmission construits partir du mme acier, G = 8000 daN.m2. Le
premier est plein (diamtre d1) ; le second est creux (diamtre extrieur D, diamtre intrieur
d = 0,8 D).
Le couple transmettre est de 200 Nm ; la rsistance pratique au cisaillement adopte pour les
deux cas est de 10 daN.mm-2.
Dterminons les dimensions optimales des deux arbres et comparons les poids respectifs des
deux constructions.
EXERCICE 4 .
Etude dun accouplement rigide:
Les accouplements sont un moyeu de transmission de puissance entre un organe moteur et un
autre rcepteur.
Soit transmettre une puissance P=10kw entre un moteur lectrique 1, tournant une
frquence N=1500 tr/ min, et dun rcepteur 2 par lintermdiaire dun accouplement rigide 3.
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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 18
Laccouplement tant en acier ayant les caractristiques suivantes :
accouplement tant modlis comme tant une poutre rectiligne reprsent par sa ligne
moyenne Lm.
1. Calculer le couple moteurmC
dont est soumis laccouplement.
On donne :
D=30 mm
d= 0.8D=24 mmRpg acier = 100 MPa
Gacier=80000 MPa
46950=32
)d-D(=I
44
0mm
2
D.
I
Mt=
0max
Mt=G.Io.
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Rsistance des matriaux TD4 : Torsion.
Travaux dir igs de rsistance des matriaux 19
2. Dterminer le torseur de cohsion en G, centre dune section quelconque de la
poutre )LX0(G
.
3. Tracer les diagrammes des efforts de cohsion tout le long de la poutre.
4. Vrifier la rsistance de laccouplement.
5. Un phnomne de concentration de contraintes se produit au niveau de la collerette de
laccouplement sachant que le coefficient de concentration de contraintes en torsion
Kt=3,32 (voir la figure ci-contre).
6. pour viter les vibrations, on impose une valeur limite langle unitaire de torsion : si
lim =0.7 / m.
a) Calculer les nouveaux diamtres (D et d) en appliquant la condition de dformation.
b) Choisissez daprs le tableau suivant les dimensions de laccouplement.
Tube 1 2 3 4 5 6 7
D (mm) 10 15 20 25 30 35 40
d (mm) 8 12 16 20 2 28 32
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Rsistance des matriaux TD5 :Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 20
TD 5 : F lexion.
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Rsistance des matriaux TD5 :Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 21
EXERCICE 1.
Le dispositif propos (fig.1) permet de cintrer des tubes de chauffage. Leffort F
de cintrage
est fournie par un vrin hydraulique (non reprsent) dont la tige (7) agit sur une came de
pousse (6), alors que le maintien est assur par deux galets (4) et (5).
Donnes: la limite lastique du matriau2
emm/N340=R .
Cfficient de scurit 3=s .
1- Dterminer leffort ncessaire pour cintrer le tube indiquer.
2- Si le tube est perc dun trou de diamtre mm8=d' calculermaxeff
EXERCICE 2.
Une potence sur colonne destine la manutention se compose dune flche (1) encastre
(soude) sur un support motoris (2). Lensemble peut pivoter (rotation daxe verticaly
)
autour dune colonne fixe (3) grce un motorducteur (5). Le levage est ralis par le palan
(4), mobile entre B et D, et dune capacit ngligeable devant le point de la flche (1).
La flche (1) est modlise par une poutre (fig.2) sous laction dune charge rpartie q
.
1- Dterminer les actions exerces par lencastrement H.
2- Tracer les diagrammes des T et desMfzle long de la poutre.
3- Dterminer lquation de la dforme. En dduire lexpression de la flche maximale.
4- La poutre est constitue par un IPN, sa rsistance pratique est 100=Rpe
MPa.
Dterminer la hauteur minimale de IPN.
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Rsistance des matriaux TD5 :Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 22
EXERCICE 3.
Le tour de grande capacit propos ralise le tournage dun cylindre de 1 m de diamtre et delongueur 5 m. La masse volumique de lacier est de 7800 kg/m3et le module dYoung E =
20000 daN/mm2.
Ltude du cylindre se ramne au schma (fig.3).
1-Dterminer la valeur de la charge rpartie qcorrespond au poids du cylindre seul (laction
de loutil de coupe est ngligeable).
2-Tracer les diagrammes des T et desMfzle long de la poutre.
3-Dterminer lquation de la dforme. En dduire la flche maximale.
EXERCICE 4 .
La figure 1 reprsente larbre dentre dun rducteur picyclodal. Le modle associ au
systme est donn par la figure 2. Laction du satellite 2 sur le plantaire 1 en A est AF
(2/1).
AF
(2/1) = -1000 Y
(en N).
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Rsistance des matriaux TD5 :Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 23
On nglige le poids de larbre 11.
1) Isoler larbre 11 et faire linventaire des efforts extrieurs auxquels il est soumis.
2) Calculer les efforts au niveau de lencastrement E.
3) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissant.
4) Quelle est labscisse de la section associe la valeur du moment flchissant maximum.
5) Larbre 11 est en C18, calculer son diamtre minimum sachant quil y a concentration de
contraintes au fond de la gorge au point E.
On donne :
a. L = 40 mm.
b. R = 50 mm.
c. Kf = 2.5
d. S = 4
e. Re(C18) = 350 MPa
f. IGZ=64
d 4
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Rsistance des matriaux TD6 : Principe de superposition.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 24
TD 6 : Principe de superposition.
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Rsistance des matriaux TD6 : Principe de superposition.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 25
ABC
EXERCICE1.
Enonc du problme :
Soit une poutre (1) sur trois appuis simples, elle est soumise une charge repartie sur toute
sa longueur et deux charges concentres gaux comme la montre la figure 1
Donnes:
MPa
3000 daN
1) Montrer que le systme est hyperstatique et dterminer son ordre
2) En utilisant le principe de superposition, dcomposer le systme en deux sous systmes
3) Dterminer les ractions des appuis respectivement aux points A, B et C
4) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments flchissants le long de la
poutre
5)En crivant la condition de la flche maximale au point E et sachant que la
section de la poutre est circulaire, calculer le diamtre minimale de la poutre
6)Pour la valeur trouve de diamtre, calculer la contrainte maximale dans la
section la plus sollicite (la section C)
EXERCICE2.
Une poutre (2), est encastre en A et B au bti 0, elle est soumise une charge rpartie p sur
toute sa longueur L, et une charge concentre verticale CF
applique son milieu comme le
montre la figure 1 .
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Rsistance des matriaux TD6 : Principe de superposition.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 26
En se basant sur lannexe et en utilisant la mthode de superposition, nous vous demandons
de :1- Discrtiser votre systme deux sous-systmes simples.
2- Dterminer les actions exerces en A et B du systme.
3- Tracer le diagramme des efforts tranchants du systme.
4- Tracer le diagramme des moments flchissant du systme.
5- Donner lexpression de la flche maximale au point C du systme.
6- En crivant la condition de la flche maximale, choisir dans le tableau des UPN le
profil le plus proche de votre solution .
Poutre tudier
Mur
Poutre verticalePoutres transversales y
mdaNq /48=
CF
x
L
A BC
On d o n n e :
L = 2 m.
E = 2.105MPa
FC = 5750 daN.
)(1000
lim mmL
y ite =
Fig.1
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Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 27
TD 7 : Soll ici tations composes.
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Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 28
EXERCICE1.
Une poutre section rectangulaire (30*10) , est encastre son extrmit A, et soumise
lautre extrmit B une force de 30 kN applique en C comme indiqu sur la figure ci-
contre.
1) Dterminer les composantes du torseur de section au centre de gravit G de la section
droite S.
2) Calculer les contraintes normales aux points P et P de la section droite S.
3) Tracer le diagramme reprsentant les variations de la contrainte normale dans la section
droite S.
4) Dsirant un coefficient de scurit de 2, quelle est la limite lastique du matriau quil faut
choisir.
EXERCICE 2.
Un arbre cylindrique de diamtre d, de longueur L=1m, est sollicit par un effort F= 19635 N,
et un couple C longitudinaux comme indiqu sur la figure ci-dessous.
Il est constitu dun matriau ayant comme Module de Young : 200 Gpa , Coefficient de
Poisson : 1/3.
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Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 29
Des mesures exprimentales ont permis denregistrer lallongement longitudinal du cylindre
0,2 mm, ainsi que la rotation des sections extrmes 1,25.
Calculer :
1) Le diamtre d du cylindre en mm.
2) Le rtrcissement du diamtre d en mm
3) La contrainte normale maximale en MPa.4) Le module de Coulomb du matriau.
5) Le couple C appliqu en mN.
6) La contrainte tangentielle maximum en MPa.
EXERCICE 3: Dimensionnement dun arbre de rducteur
La figure 1 reprsente un rducteur de la table coulissante, il est form par un tage dengrenage dentures
droiteet guid en rotation par des roulements billes (modlises par une liaison linaire annulairedaxe
(c,x), une liaison rotulede centre A, voir figure 2 ) .Ce rducteur est accoupl avec un moteur lectrique (9)
au oint E
(fig1)
A
D
BC A E
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Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 30
Dans ce qui suit nous supposons que :
Tous les poids des pices sont ngligs.
Toutes les pices sont rigides et indformables et toutes les liaisons sont parfaites.
On donne :
Les actions mcaniques qui sexercent sur larbre (10), sont reprsentes par les torseurs
suivants exprims dans la base ),,( zyx :
{T0 / 10(rotule)}A =
),,,(0
0
0
zyxAA
A
A
Z
Y
X
; {T0 / 10(lin_ann)}C =
),,,(
C
0
0
00
zyxCCZ
Y
;
{Tmoteur / 10}E =
),,,(
m
00
00
-0
zyxE
C
et {TRoue / pignon}D =
),,,(0
0
00
zyxDT
R
F
F
Rayon de pignon (r) : r = BD = 44 mm.
RF = 550 N et mC = 60000 Nmm.
yxCD 44120 = et xCA 270=
Les caractristiques du matriau de larbre (10) sont : Rpe= 80 MPa ; Rpg= 40 MPa .
Moment de flexion idale : avec
Remarque :les efforts en newtonet les cotes enmillimtres.
O
x
E
Bati(1)
Arbre(10)
(fig2)
y
B A
120
270
Roue(3)
Pignon
D
C
200
Cm
Arbre(2)
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
31/71
Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 31
1.En appliquant le principe fondamentale de la statique sur larbre (10) au point C,
dterminer les inconnues statiques :AX , AY , AZ , CY , CZ et leffort tangentiel TF .
2.On prend dans ce qui suit :
0=AX , NYA 244= , NZA 606= , NYC 306= , NZC 757= NFT 1363=
Dterminer dans le repre ),,,( zyxCR , les composantes algbriques des lments de
rductions du torseur de cohsion en G le long de larbre (10) . Dduire la nature des
sollicitations imposes le long de la poutre.
3.
a. Tracer les diagrammes des sollicitations suivantes le long de larbre.
Mt=f (x) ; MfGy=f (x) et MfGz=f (x) .
b. Dduire la section la plus sollicite.
c. Dterminer MfGzMax, MfGyMax et dduire MfGMAX
4.Ecrire la condition de rsistance relative larbre et dterminer le diamtre minimal.
EXERCICE 4 : Dimensionnement dun arbre de TOURET A MEULER (14 pts).
La figure 1 reprsente un touret, il est constitu
principalement par un arbre guid en rotation, par
des roulements bille (modlise par une liaison
linaire annulairedaxe ),( xC
, une liaison rotule
de centreA.
Larbre est entrain en rotation par un systme
poulie-courroie au point B (voir figure 2)
(fig2)
(fig1)
BCAO
D
TF
Ox
E
Bati(0)
Arbre(1)
C
100 240
Meule (3)
A
90
B
RF
O
t
T
Poulie(2)
B BBy
y
-
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-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
33/71
Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 33
TD 8 : F lambement des poutr es comprimes.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
34/71
Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 34
EXERCICE 1 :
1. Calculer le rayon de giration de la
section droite :2. Calculer llancement de la poutre :
3. Quelle est la charge maximale tolrable : admF
4. Calculer la charge critique dEuler crF et en dduire le coefficient de scurit k.
On donne : Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, = 3,2 m, E = 2 . 10
5MPa , L =
Avec L :longueur libre de flambage et : longueur rel de la poutre.
Effort admissible : admF
Poutres Courtes Poutres Moyennes Poutres Longues
< 20 20 100 > 100
calcul en compression calcul de Rankine calcul dEuler
F R sadm pc= F
R s
adm
pc
c
=
+
1
2
F
R s
adm
pc
c
=
2
2
Un profil en IPE160, articul en
A et en B, supporte une charge
concentre F dintensit 350 kN.
Caractristiques du profil :4869 cmIGz = 43,68 cmIGy =
21,20 cmS = A
B
Profil
IPE
160
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
35/71
Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 35
EXERCICE 2 :
On donne :
Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, L = 1,5 m, E = 2 . 105MPa, Le=L / 2
Le: longueur libre au flombage
Effort admissible: admF
Le pied de la table dun touret meuler est
un profil en UPN 40, encastr en A et en B. Il
peut supporter une force concentre F de 30 kN
Caractristiques du profil :441012,1 mmIGx =
44106,7 mmIGz = 221066,3 mmS =
(fig1)
1. Calculer le rayon de giration de la section
droite :
2. Calculer llancement de la poutre :
3. Quelle est la charge maximale
tolrable : admF
4. Calculer la charge critique dEuler crF et en
dduire le coefficient de scurit k. sachant
que :
F
(fig2)
A
B
A
B
L
-
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36/71
Rsistance des matriaux TD 8 : Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 36
EXERCICE 3 :
1. Calculer le rayon de
giration de la section droite :
2. Calculer llancement de la poutre :
3. Quelle est la charge maximale tolrable : admF
4. Calculer la charge critique dEuler crF et en dduire le coefficient de scurit k.
sachant que :
=crF
admF
On donne :
Rpc= 200 MPa, c= 60 , Re= 240MPa, l = 4 m, E = 2 . 105MPa, Le=2.L
Effort admissible : admF
Un profil HE 300, encastr
en A et libre de se dplacer en B
dans le plan (x, y), supporte une
charge excentre F de 300 kN
(excentration e = 300).
= 8563 1044 = 571 1033
= 25166 1044 = 1680 1033 = 149,1 1022
Caractristiques du profil :
G
300
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
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Rsistance des matriaux
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 37
Elments de correction.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
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Rsistance des matriaux corrig TD1 : Torseurs de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 38
Cor r igTD 1.
EXERCICE 1
1. La raction de lencastrement A ( )MetRAA
On isole la poutre.
Inventaire :
Action de pesanteur nglige
Effort au point B : F
Effort dencastrement au point A : RA
Moment dencastrement au point A :AM
Bilan :
z.M=M
yR+xR=R
yF.sin-xcos.F=F
AA
AyAxA
Transfert des moments au point A :
z.-LFsin=)y.Fsin-x.cosF(xL+0=FAB+M=MFBFA
PFS :
Rsultante / x : 0=R+cosFAx
Rsultante / y : 0=R+sinF-Ay
Moments / z : 0=sinFL-MA
Dtails du calcul
Nm2000=30sin.4000.1=sinLF=M
N2000=30sin.4000=sinF=R
-3464.1N=0-4000.cos3=-Fcos=R
A
Ay
Ax
2000
0
0
=MA
et
0
2000
3464.1-
=RA
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
39/71
Rsistance des matriaux corrig TD1 : Torseurs de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 39
2. Dtermination du torseur des efforts de cohsion 0 < x < L
N=Ax
R- Mt=0
Ty =Ay
R- Mfy=0
Tz = 0 Mfz= x.R+M- AxFA
3. Diagrammes des efforts de cohsion
4. Sollicitation laquelle est soumise la poutre
Sollicitation de traction + sollicitation de flexion simple
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
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Rsistance des matriaux corrig TD1 : Torseurs de Cohsion
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 40
EXERCICE 3
1. calcul des composantes des torseurs daction mcanique associes aux liaisons 2-1 et 3-1
Torseur des actions appliques sur (1)
{ }0
0
0
Z
Y
X
=T
A
A
A
A1/2 ; { }
0
0
0
Z
Y
0
=T
B
BB1/3 ; { }
0
0
0
50-
600
100-
=TC1/4
Transfert des torseurs au point A
{ }B
B
B
B
A
A
A
A1/3lY
lZ-
0
=
Z
Y
0
0
0
l
+
0
0
0
Z
Y
X
=T
{ }600a
50a
0
=
50-
600
1000-
0
0
a
+
0
0
0
50-
600
100-
=TA1/4
PFS appliqu la pice (1)
0=50-Z+Z
0=600+Y+Y
0=100-X
0=F
BA
BA
A
1/ext
0=a600+lY
0=a50+lZ-
0=0
0=M
B
B1/ext
(6) -240N=l
600a-=Y
B
(5) 20N=l
50a=Z
B
(1) 0N01=XA
(2) 0N36-=600--Y=YBA
(3) 0N3=Z-50=Z BA
A
A
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
41/71
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
42/71
Rsistance des matriaux corrig TD2 : Traction compression.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 42
0.06l
l ml E
= =
0.06 0.02%300
ll
= =
0.0372l
l mml E
= =
Cor r igTD 2.
EXERCICE 1 :
1- Traction extension-Allongement.
2- Calcul de la valeur de la contrainte :
3- Si on adopte un coefficient de scurit de 4, calculer la rsistance lastique de lacier.
4- Dterminer lallongement de la vis.
EXERCICE 2 :
1- Vrifier que le coefficient de scurit appliqu ce cble est suprieur 4.
2- Calcul de la force applique au cble.
3- Allongement du cble.
4- Allongement relatif .
5- Le coefficient de scurit est gal 10.
2 2 2.8 201.6 49.6
FS R mm MPa
S = = = = =
49.6 4 198.41ee
RR MPa
s =
2957.375 7
40
eR
s ss
= =
2 2 2
.4 50.24. 2010
S R mmF S NF
S
= = = = ==
2 2
29.5
201068.13
29.5
2. 2. 9.3
eR
MPas
FS R mm
S
SD R mm
= = = =
= = =
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
43/71
Rsistance des matriaux corrig TD2 : Traction compression.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 43
EXERCICE 3
1.Dtermination des allongements :
Allongement1L
:
1
1A
1 S.E
L.F=L
mm125.0=L:ANS.E3
L.P2=L
3
P2=F
11
11A
Allongement2
L :
2
2C2 S.E
L.F=L
mm0875.0=L:ANS.E3
L.P=L
3
P=F
22
2
2C
On a :21
L>L
2.Dtermination de S2
(La poutre reste horizontale) (21
L=L )
2
2
1
1
S.E3
L.P
=S.E3
L.P2
mm28=40.500*2
700=SS.
L2
L=S
211
2
2
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
44/71
Rsistance des matriaux corrig TD2 : Traction compression.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 44
3.
a)Dtermination de la contrainte pratique la traction pe
2pe
e
pe
mm/N50=:ANS
=
b) Condition de rsistance
peB
peA
pe
B
2
pe
A
pe
2
B
pe1
A
FS
FS1
S
F
S
F
EXERCICE 5
1.Force hydraulique supporte par le piston
N5.7068=4
)d-(DP=s)-S.(P=F
22
hyd
2.Vrification de la rsistance de la tige
rsistepoutreLaR
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
45/71
Rsistance des matriaux corrig TD3 : Cisaillement.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 45
Cor r igTD 3.
EXERCICE 2
1. Si M est le couple transmis :
N5.4062=Fo'd
2
dF=M
2. Soit p la pression au contact clavette-moyeu ; la condition de non matage est :
P Pm avec P =m
S
F
Sm set la surface de matage : Sm= AB x l =4 l
Donc :
mm P4
FetP
4
F
AN : mm33,85
3. Condition de rsistance au cisaillement :
Pmoy
MPa36=3
108=
S
=e
P
Cmoy S
T=
x10=SetF=TC
PP 10
F
10
F
AN : mm11,28
Conclusion :Comme on le voit sur ce calcul, la condition de non matage conduit choisir
une clavette plus longue. Bien que travaillant au cisaillement, on doit toujours calculer une
clavette daprs la condition de non matage.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
46/71
Rsistance des matriaux corrig TD3 : Cisaillement.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 46
EXERCICE 3
1.Soit Sc la section cisaille. Pour un trou carr de cot a et de hauteur e : Sc = 4ae.
F
est ici la norme de leffort tranchant. Le poinonnage a lieu lorsquermoy
=
Aveccrimin
cmoy
S.=FdoncS
F=
2.Soit F=N
la valeur absolue de leffort normal dans le poinon.
AN : N64000=Fimin
Soit
2
P a=S la section du poinon.
Soit
PS
N= la contrainte normale de compression.
AN : N160=
Cette contrainte infrieure pcest satisfaisante.
3. On ne peut plus envisager de poinonnage partir du moment o la contrainte de
compression dans le poinon atteint la contrainte pratique.
pc=240 MPa
Condition de poinonnage :PC
Soit (1)a
F
PC2
Nous avons calcul leffort ncessaire au poinonnage :
ae4.=F r
(1) peut alors scrire :PC2
r
a
ae4.
Donc
PC
r
e4.a
AN : mm3.331
a
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
47/71
Rsistance des matriaux corrig TD4 : Torsion..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 47
Cor r igTD4.
EXERCICE1.
1.Premire coupure: ,
= 1 = 03000 00300.(,, ,)
Deuxime coupure: , = 1 2 = 03000 500300.(,, ,)
Troisime coupure: , = 1 2 3 = 0
1000600 50
6002401000520
(,, ,)
Quatrime coupure: , = +5 = 0100300
50300+21010070 (,, ,)2
2.1. Diagramme du moment de Torsion :2.2.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
48/71
Rsistance des matriaux corrig TD4 : Torsion..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 48
Condition de rigidit :
avec
=| |
() =32| |
4
32| |4 = 8105704 =302.3. | | = | | () = 16| |3 | | =9.43| | = 1203 =40 donc larbre rsiste la torsion3.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
49/71
Rsistance des matriaux corrig TD4 : Torsion..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 49
4.
La section de centre B est la plus sollicite.
Lintensit de lffort tranchant dans cette section est
= 2
+ 2
=1431.7821
5.
= = 42 = 2.055 =40donc larbre rsiste au cisaillement.
EXERCICE 4
1.Couple moteur Cm :
30
N.C=w.C=P
m
mmmm
N.m66.63=N
P30
=Cm
m
m
2.Torseur de cohsion en G, centre dune section quelconque de la poutre ( Lx0 )
Lquilibre de la poutre impose que Cm=-Cr
{ }0
0
C-
0
0
0
=m
Gcoh
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
50/71
Rsistance des matriaux corrig TD4 : Torsion..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 50
3.Diagrammes des lments du torseur de cohsion:
4.Rsistance de laccouplement :
MPa23.20=I
RM=
0
t
imaxth
RDG058.0
M
>Dlim
t4
b)on peut choisir les deux derniers cas : D=35 mm et D=40 mm.
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
51/71
Rsistance des matriaux corrig TD5 : Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 51
Cor r igTD5.
EXERCICE 4
1.
Action en A du satellite (2) sur le planitaire (1) : AF
= -1000 Y
Effort en E de lencastrement sur (1) : ER
Moment en E de lencastrement sur (1) : EM
2.
PFS :
AF
+ ER
=0
EARF
= =1000 N
N.mm10.4=L.F=M
0=)F(M+M
31/AE
1/AEE
3. Torseur de cohsion
{ }
1000x-40.10
0
0
0
1000-
0
=
1000x-40.10
0
0
0
1000
0
-=33
Gcoh
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
52/71
Rsistance des matriaux corrig TD5 : Flexion.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 52
4.Abscisse du moment de moment flchissant maximum : x=0
5.Diamtre minimum
3
imaxf
imaxthD2
M64=
3
imaxft
imaxthtimaxeffD
M.K.32=.K=
Condition de rigidit :s
R=R
e
peimaxeff
pe3
imaxftR
D
M.K.32
3
e
fmaxi
R
M32sD
mm2.662Dmini
On peut choisir D=22.66 mm
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
53/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 53
Cor r igTD6.
EXERCICE1.
1)
PFS :
(/) = + + + 2 + () = Projection sur laxe (A,): + + 2 2 = 0 (1) ( / ) = () + () + ( ()) + () + () + ()
=
Projection sur laxe (A,):+ 2 2 + = 0 = (2)On 2 quations 3 inconnues do le systme est hyperstatique dordre h=3-2=1
2)
AE C D B
AC
B
A C B CA BE D
+
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
54/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 54
on a :
= 1 + 2 = 1 + 2 = 0 ,3 7 5 + 516
= 1 + 2 = 1 + 2 = 0 ,3 7 5 + 516 = = 1 + 2 = 1 + 2 =1,25+ 118 AN :
* Diagramme des efforts tranchants
=
A= 975 daN B= 975 daN C= 4250 daN
T[daN
T[daN
2062.5
937.
-937.5
-2062.5
+
T[daN
2125
2062.5975
937.5
-2125
-2062.5-975
-937.5
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
55/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 55
*Diagramme des moments flchissant
( = 0) = 0
( = / 2) = 952,5 ( = ) =1150 ( = 3 / 2) =951,5
( = 2
)
= 0
3) La dforme est maximale (flche maximale) au point E(xE=l/2) et on a :
= = 1 + 2 = 0,0434 3240
= 10,324 3240 Condition de la flche maximale :| | 10,324 3240 1000
1000(10,323 + 2)
240
14
-25
+
937.
-1125
951.
-1150
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
56/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 56
AN: 336 4 =5414Ainsi on choisit le profil 140 ayant comme dimensions :
h= 140(mm) ;b=73(mm) ;a=4.7(mm) et l=6.9(mm)
4) On a | ()| = () | ()| = 1150 10377,3 103 =14,88/2EXERCICE2.
1)Discrtisation du systme
2)Les actions exerces A et B
Les actions exerces en A :
= 1 + 2 = 1 + 2:
2+
2=28750+480=29230
A=29230 N
A C B
= A B +
CA B
B
L
= A C B
+
A B
(1) (2)
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
57/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 57
= 1 + 2 = 1 + 2 AN :
=
2 +2
12 =57500
8 .2 +480 .4
12
Les actions exerces en B :
= 1 + 2 = 1 + 2
= 2 + 2 =29230
= 1 + 2 = 1 + 2 8 212 = = 14535
= 14535
3)
Le diagramme des efforts tranchants
= 1 + 2 = 2 2 = 28750 480 = 29230
= 1 + 2 =
2 +2 = 28750 + 480 = 29230
AC
480
-28750B x
+A C
B x
-480
=
29230
28750
-28750
-29230
CA
B x
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
58/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 58
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
59/71
Rsistance des matriaux corrig TD6 : Principe de superposition..
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 59
4)Le diagramme des moments f lchissants
5)L expression de la f lche maximale en C
= 1 + 2 = 3192 4384 = (2
34384 6)
Condi tion de la f lche maximale
|| 2 34384 1000
384
2.1000 3 + 1000 4
2.1000 3 + 1000 4384. 2.1000.57500.(2000)3 +1000.048.(2000)4384.2.105 .2000 6004
= 6 0 5 = 1 4 0 , = 6 0 , = 7
= 10
B
14375
+
A
-14375
x A
=
x
14455
A
C
B
-14535
B
C x
80
-
8/10/2019 Travaux Dirigees de Resistance Des Materiaux Corrige
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Rsistance des matriaux corrig TD7 : Sollicitations composes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 60
Cor r igTD7.
EXERCICE1
EXERCICE 2.
-
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Rsistance des matriaux corrig TD7 : Sollicitations composes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 61
EXERCICE 4
1) Systme {arbre (1) +poulie (2) + meule (3) }Bilan : - rotule au point A
- Linaire annulaire au point C- Rond du meule- Action de courroie sur poulie- Action de loutil effectuer sur la meule
PFS :Transfert des moments au points A :
= + =24000 0 =
0240240
= + =10000 00= 0240
= + =( )0
0
+ 33000 00( + )=
( )330( + )
0
= + = . 00 + 10000
0 = . +100100
(1) = 0(2) + + = 0(3) + + ( + ) = 0
(4) = ( )(5) 240 100+330( + ) +100(6)240 =100 (7) = 4
(7) + (4) =3 = 3 ; = 1 2 5 ; = 4 = 5 0 0
-
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Rsistance des matriaux corrig TD7 : Sollicitations composes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 62
(6) = 100240 : =6.66
(5) = 100+330( + ) +100240 : =901.04
(2) = : =22.66(3) = ( + ) + : =376
2) : 0 100
= + ( ) = = 0.0 = 0 + = 00 +
00 0 =
. .
= 0
+
. + . (,, ,) = 016100 825010016 (,, ,)
: 100 340 = = + () + + ()
= + = (100)00 0 = 0(100)(100)
= 0 + . . + (100) + . ( 1 0 0 )
-
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-
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Rsistance des matriaux corrig TD7 : Sollicitations composes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 64
() =1600. ; () =10000.
() = 2
() + 2
() = 10127,6
( ) = 464 = 332
Et = 2 + 2 32.3 AN : 11,825
-
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Rsistance des matriaux corrig TD8 :Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 65
Cor r igTD8.
EXERCICE 2 :
1) = , AN : = 5.57
2) = = 2 AN : =135.623)
> 1 0 0 = .
2( )
2
AN : =7163,824)
= 2 . . 2 =39302,95 =
: = 5; 48
EXERCICE 3 :
1) = Avec : 2 = = 8563 1044ET = 149,11022: = 8563 104149,1102 = 75,78 2)
= , = 2 . : : = 2.4.10375.78 =105.56
-
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Rsistance des matriaux corrig TD8 :Flambement des poutres comprimes.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 66
3) > 100 = .2( )2
: =200.149,1 1022. (105,5660 )2 =481668,754) = 22
: = 2.2 .105 .8563.104(8.103)2 = 2641,04 .103
5) = = 2641,04 .103
481,66.103 5,48
-
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Rsistance des matriaux Annexe.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 67
Annexe.
-
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Rsistance des matriaux Annexe.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 68
Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation
POUTRES SUR UN APPUI
Flche en A
Gz
AIE
lFy
.3
. 3
=
Flche en A :
Gz
AIE
lpy
.8
. 4=
-
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Rsistance des matriaux Annexe.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 69
Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation
POUTRES SUR DEUX APPUIS AUX EXTRMITS
Gz
cIE
lFy
lsia
.48
23
=
=
Flche en C : xc=l/2
Gz
cIE
lpy
.384
.5 4=
-
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Rsistance des matriaux Annexe.
Travaux di r igs de rsistance des matriaux 70
Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation
POUTRES SUR DEUX APPUIS AVEC PORTE -FAUX SYMTRIQUE
Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation
POUTRES SUR DEUX APPUIS AVEC PORTE -FAUX UNILATRAL
Charges- Appuis Effort tranchant Moment de flexion Dformation
-
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