treguesit e...

1

Dini rndsin e treguesve t dispersionit dhe pse prdoren ata.

Llogaritni dhe interpretoni treguesit absolut t variacionit, gjegjsisht gjersin e variacionit, devijimin mesatar apsolut, variancn dhe devijimin standard pr serit e thjeshta dhe serit e ponderuara.

Spjegoni karaktristikat, prdorimin, prparsit dhe t metat pr do tregues apsolut t variacionit

T dini t interpretoni devijimin standard dhe t kuptoni Rregulln Empirike/normale

Llogaritni dhe t kuptoni koeficientin e variacionit dhe interkuartilit.

Treguesit e dispersionit/shprndarjes/variacionit

Qllimet:N fund t ors s msimit, ju duhet t jeni n gjendje q t :

2

Termat e treguesve te variacionit

Variacion Dispersion Shmangie Devijim Shprndarje Ndryshueshmri Luhatshmri

3

Pse duhet t studiohet dispersioni?

Vlerat mesatare prezantojn populacionin statistikor n trsi. Dy apo m shum populacione mund t ken madhsi t njjt mesatare, mirpo dallohen sipas shprndarjes rreth qendrs s shprndarjes. P.sh.

I: 100; 100; 100; 100; 100. 500, 100: 100; 108; 107; 105; 80. 500, 100: 2; 5; 4; 486; 3. 500, 100

X XII X XIII X X

= =

= =

= =

4

Pse duhet t studiohet dispersioni/shmangia?

N serin e par , do e dhn sht e prfaqsuar n mnyr perfekte me mesataren aritmetike. Ktu nuk kemi dispersion/shprndarje.

N serin e dyt , vetm nj e dhn sht e prfaqsuar prmes mesatares s vet n mnyr perfekte, kurse t dhnat e tjera devijojn nga mesatarja aritmetike.

N serin e tret t dhnat individuale devijojn shum nga mesatarja aritmetike dhe vlera mesatare n kt rast nuk prezanton mir dukurin.

5

Pse duhet t studiohet dispersioni?

1) Pr t vrtetuar rndsin prezantimit t trsis statistikore prmes nj vlere mesatare. Kur dispersioni sht i vogl, vlera mesatare prezanton n mnyr t besueshme do vler. Kur dispersioni sht i madh vlera mesatare nuk sht e besueshme dhe e dobishme.

2) Pr t krahasuar dy apo m shum seri statistikore n kuptimin e shprndarjes s t dhnave.

3) T lehtsoj shfrytzimin e treguesve t tjer statistikor.

6

Treguesit e dispersionit/variacionit

Treguesit e dispersionitshprndarjes

RelativAbsolut

1. Gjersia e variacionit,2. Devijimi mesatar apsolut3. Devijimi standard4. Varianca

1. Koeficienti i variacionit,2. Koeficienti i interkuartilit,

etj

7

Treguesit absolut t variacionit pr serit e thjeshta

Gjersia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin

Devijimi mesatar absolut:

Varianca:

Devijimi standard:

Treguesit absolut shprehen n njsi t njejta t matjes si dukuria

X Xshma

n

=2

2 ( )X Xn

=2( )X X

n =

8

Treguesit absolut/Gjersia e variacionit

Pr serit e thjeshta gjersia e variacionit sht ndryshimi n mes t vlers m t lart dhe vlers m t ult t t dhnave t hulumtuara.

Gjeraia e variacionit Gjv = Xmax-Xmin

9

Shembull 1:

Rrogat n or (t shprehura n ) pr t punsuarit n kompanin A dhe B jan si vijon:

A: 2, 10, 6, 8, 9 B: 5, 9, 7, 6, 8

A: Gjv = Xmax-Xmin = 10 - 2= 8 B: Gjv = Xmax-Xmin = 9 - 5= 4

Sa sht gjersia e variacionitn t dy kompanit?

10

Gjersia e variacionit

Prparsit : 1. sht i thjesht pr ta kuptuar. 2. sht i leht pr ta llogaritur. 3. Prdoret pr kontrollin e kualitetit statistikor t

proceseve, pr parashikimin e kohs, etj.

T metat: 1. Ndikohet shum nga vlerat ekstreme. 2. sht i bazuar n dy vrojtime ekstreme. 3. Nuk mund t llogaritet pr klast e hapura te serit me

intervale. 4. Prdoret shum rrall.

11

Devijimi mesatar absolut/shmangia mesatare absolute:

Devijimi mesatar absolut sht Mesatare aritmetike e vlerave absolute t devjimeve nga mesatarja aritmetike.

X vlerat individuale; - mesatajra aritmetike; n- numri i elementeve t seris.

X Xshma

n

=

4-3

X

Shenjat pr vlerabsolute

12

Devijimi mesatar absolut (shma)

Shembull 2 : Rrogat n or (t shprehura n ) pr t punsuarit n kompanin A dhe B jan si vijon:

A: 2, 10, 6, 8, 9; B: 5, 9, 7, 6, 8;

Sa sht devijimi mesatar absolut n t dy kompanit?

4-4

13

Shembull 2, vazhdim

Rrogat/A/ Rrogat/B/

X X-X X-X X X-X X-X2 -5 5 5 -2 2

10 3 3 9 2 26 -1 1 7 0 08 1 1 6 -1 19 2 2 8 1 1

35 0 12 35 0 6

1

" "

35 75

12 2.42

n

ii

Kompania A

XX

nX X

shman

== = =

= = =

1

" "

35 75

6 1.25

n

ii

Kompania B

XX

nX X

shman

== = =

= = =

14

Devijimi mesatar absolut (shma)Prparsit dhe t metat

Prparsit: Merr n konsiderim t gjitha vlerat n llogaritje; sht i leht pr tu kuptuar dhe lexuar sht vlera

mesatare e devijimeve t vlerave individuale nga mesatarja e tyre aritmetike.

T metat: Prdor vlerat absolute me t cilat sht vshtir t

punohet. Pak prdoret n krahasim me treguesit e tjer t

variacionit e sidomos n krahasim me devijimin standard.

15

Varianca dhe Devijimi standard

Varianca dhe devijimi standard, t dyja bazohen n devijimet nga mesatarja aritmetike.

Varianca- mesatarja aritmetike e devijimeve nga mesatarja t ngritura n katror

Devijimi standard sht rrnja katrore e variancs

16

Varianca Varianca pr t dhnat e thjeshta sht mesatarja

aritmetike e devijimeve nga mesatarja t ngritura n katror.

2

2 1

2

( )

var lim

n

ii

X X

Nsimboli per iancen e popu it

X vlerat evrotimeveindividualeX mesatarja aritmetikee mostresN numri total i vrojtimeve

=

=

4-5

17

Devijimi standard

Devijimi standard sht rrnja katrore e variancs, gjegjsisht:

2

2

( )

tan( )

X Xn

devijimi s dardX X shuma e devijimeve nga X te ngritura ne katror

n numri i elementeve

=

4-7

18

Varianca dhe devijimi standard/shembull vazhdim

RrogatX

RrogatX

2 -5 25 5 -2 410 3 9 9 2 46 -1 1 7 0 08 1 1 6 -1 1

35 0 40 35 0 102

2 ( ) 40 8 5

X Xn

= = =2

2 ( ) 10 2 5

X Xn

= = =

2( ) 40 8 2.8 5

X Xn

= = = =2( ) 10 2 1,41

5X X

n = = = =

( )X X 2( )X X

Varianca

Dev.standard

( )X X 2( )X X

19

Varianca Prparsit dhe t metat

Prparsit N llogaritje prfshihen t gjitha t dhnat Shprehet n njsi t njjta si t dhnat por

t ngitura n katror.E met sht shum vshtir t interpretohet.

20

Devijimi standard

Mat shum mir variabilitetin e tdhnave.

Ka lidhje t ngusht me mesataren aritmetike.

sht shum i rndsishm pr zhvillimin e teoris statistikore.

Gjindet leht prmes softverve!

21

Treguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuara

Llogariten pr serit e ponderuara dhe shprehen n njsi t njetja t matjes sikurse dukuria. Ata jan:

a) Gjersia e variacionit (Gjv): b) Devijimi/shmangia/ mesatar absolut

(shma) ose dc) Varianca d) Devijimi standard

4-8

( )( )2

22

Treguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuara

Gjersia e variacionit: gjv = Xmax-Xmin

Devijimi mesatar absolut:

Varianca:

Devijimi standard:

Treguesit absolut shprehen n njsi t njejta t matjes si dukuria

f X Xshma

f

=

22 ( )f X X

f =

2( )f X X

f =

23

Shembull: Pr t dhnat vijuese t llogariten treguesit

absolut t variacionit.

x 3 5 8 10 12

f 2 8 5 3 2 20

24

Treguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuarax f

3 2 6 4 8 16 325 8 40 2 16 4 328 5 40 1 5 1 5

10 3 30 3 9 9 2712 2 24 5 10 25 50

20 140 48 146

X X f X X

4-9

X f 2( )X X 2( )f X X

25

Treguesit e variacionit /t dhnat e grupuaraa) Gjersia e variacionit:

GJv=XMax- Xmin

Gjv=12-3=9

b) Devijimi mesatar apsolut (shma)

4-10

48 2, 420

f X XShma

f

= = =

140 720

X = =

26

Treguesit absolut t variacionit /t dhnat e grupuarac) Varianca

d) Devijimi standard

4-11

2

2 1( )

146 7,320

n

ii

f X X

f =

= = =

2( ) 7,3 2,70f X Xf

= = =

27

Interpretimi dhe prdorimi i devijimit standard

Devijimi standard sht treguesi absolut i variacionit q prdoret m s shumti.

Sa m i vogl q sht devijimi standard kjo nnkupton q vlerat individuale t variabls jan t vendosura, gjegjsisht jan t koncentruara m afr mesatares aritmetike.

Sa m i madh q sht devijimi standard vlerat individuale t variabls jan t vendosura m larg gjegjsisht jan t shprndara m larg mesatares aritmetike.

28

Interpretimi dhe prdorimi i devijimit standard

Rregulla empirike/normale: Pr do distribucion normal/simetrik/ n form kambane/,

Prafrsisht 68% e vrojtimeve gjendet n mes mesatares aritmetike dhe

Prafrsisht 95% e vrojtimeve gjendet n mes t mesatares aritmetike dhe

Prafrsisht 99.7% gjendet n mes t mesatares aritmetike dhe

1

3

4-15

2

29

3 2 1 +1 +2 + 3

Lakorja simetrike (n form kmbane) q tregon raportet n mes t dhe .

68.26%

95.44%

99.74%

30

Rregulla empirike Ose rregulla

68%; 95%; 99.7%

31

Lakorja simetrike (n form kmbane) q tregon raportet n mes t dhe .

3 2 1 +1 +2 + 3

68.26%

95.44%

99.74%

X XXXX XX

Lakorja simetrike (n form kmbane) q tregon raportet n mes t dhe .X

32

Shembull

Nj mostr q prezanton shumn e shpenzimeve mujore pr ushqime nga nj qytetar i moshuar q jeton vetm i ofrohet shprndarjes normale n form kambane. Mesatarja e mostrs sht 150$ kurse devijimi standard sht 20$.

1. Rreth 68% e shpenzimeve mujore jan n mes t cilave vlera?

2. Rreth 95% e shpenzimeve mujore jan n mes t cilave vlera?

3. Gati t gjitha shpenzimet mujore jan n mes t cilave vlera?

33

Zgjidhje1. 130$ 170$

1 150$ 1(20$)

2. 110$ 190$2 150$ 2(20$)

3. 90$ 210$3 150$ 3(20$)

68%

95%

99,7%

Rreth jane ne mes te dheX



=

=

=

34

Treguesit relativ t variacionit/Dispersioni relativ

Treguesit relativ t variacionit prdoren n rastet kur dshirojm t bjm krahasimin e shprndarjes s dy apo m shum dukurive n rastet kur:

1. T dhnat jan n njsi t ndryshme t matjes;

2. T dhnat jan n njsi t njejta por n kuptim ato dallohen shum ( si t ardhurat e menaxherve dhe t ardhurat e puntorve t pakualifikuar)

4-12

35

Treguesit relativ t variacionit/Dispersioni relativ

Treguesit relativt variacionit

Koeficienti ivariacionit

Variabla e standaridizuar/Devijimi inormalizuar

Koeficienti iinterkuartilit

36

Koeficienti i variacionit

Koeficienti i variacionit sht raporti n mes t devijimit standard dhe mesatares aritmetike i shprehur n prqindje:

Autor i ktij treguesi sht Karl Pearson(1857-1936)

4-13

100KVX

=

37

Koeficienti i variacionit Shembull: Produktiviteti mesatar pr nj puntor n ndrmarrjen

A sht 1000 cop, me devijim standard 80 cop. Produktiviteti mesatar pr nj puntor n ndrmarrjen B sht 600 cop,ndrsa devijimi standard 72 cop. N ciln ndrmarrje kemi shprndarje m t madhe t produktitvitetit t puns.

4-14

38


Shembull-vazhdim

: 1000 80 B: 600 72 A X cop cop

X cop cop

= =

= =

A80Kv 0,08 100 8%

1000X

= = = =

B72Kv 0,12 100 12%600X

= = = =

39


Shembull N nj shkoll 350 nxns kan gjatsin mesatare 129 cm, me devijim standard 5,9 cm. Ky grup i nxnsve ka peshn mesatare 27 kg, me devijim standard 3,2 kg.

Ku sht variabiliteti m i madh , te gjatsia apo te pesha e ktij grupi t nxnsve.

40


: 129 , 5,9: 27 , 3, 2

Gjatesia X cm cmPesha X kg kg

= =

= =

5,9( ) (100) 100 4,5%129

3,2( ) (100) 100 11,8%27

KV cmX

KV kgX

= = =

= = =

41

Koeficienti i variacionit Shembull 3 N dy ndrmarrje prodhimi mujor gjat

nj tremujori ka qen si vijon:

Ku sht variacioni m i madh , te ndrmarrja A apo ndrmarrja B

Prodhimi n tonelata sipas muajve Muajt Ndrmarrja A Ndrmarrja BI 6 60II 7 70III 8 80

21 210

42


211: 7 0,81232102 : 70 8,12

3

Ndermarrja X ton

Ndermarrja X ton

= = =

= = =

0,812 100 11,6%7

8,12 100 11,6%70

Kv

Kv

= =

= =

Shembull -vazhdim

Variabla e standardizuar/normalizuar/Devijimi istandardizuar/ z-scores

Devijimi i standardizuar prezanton masn e devijimeve t ndonj t dhne t vecant ngamesatrja aritmetike e shprehur n njsi t devijimitstandard. Llogaritet n kt mnyr:

Vlera Z ose t: Distanca n mes t vlers s selektuar, e shnuar me X dhe mesatares s populacionit, e ndar me devijimin standard t populacionit.

Distribucioni normal me mesatare 0 dhe devijim standard 1 quhet distribucion standard normal .

43

X X XZ ose t

= =

SHEMBULL

T ardhurat mujore t posa diplomuarve n nj korporat t madhe kan shprndarje normale me mesatare aritmetike prej = $2000 dhe devijim standard prej = $200. Sa sht vlera e Z pr nj t ardhur prej x= $2200? Pr nj t ardhur prej X=$1700?

2200 2000 1200

XZ

= = =

SHEMBULL 1 vazhdim

Pr X=$1700,

Vlera Z = 1 tregon se vlera 2200$ sht 1 mbi mesataren aritmetike prej $2000, derisa Vlera Z=-1,5 tregon se vlera prej $1700 sht 1.5 nn mesataren aritmetike q sht $2000.

1700 2000 1,5200

XZ

= = =

SHEMBULL 3.

o Prdorimi ditor i ujit pr person n komunn X ka shprndarje normale me mesatare 20 galon dhe me devijim standard 5 galon.

a) Rreth 68% e shfrytzuesve t ujit n komunn X gjendet n mes t cilave vlera?

Pr kt, rreth 68% e shfrytzuesve ditor t ujit do t jet ndrmjet 15 dhe 25 galon.

).5(1201 =

20 , 5X galon galon= =

SHEMBULL 3b) Sa prqind e personave prdorin m pak se

20 galon uj brenda dits.

Vlera e Z: Z=0. Kshtu,P(X

SHEMBULL 3, vazhdim

c) Sa prqind prdorin n mes t 20 dhe 24 galon?

Vlera e Z e lidhur me X=20 sht Z=0 dhe me X=24, Z=0.8. Kshtu, P(20

- 5

0 . 4

0 . 3

0 . 2

0 . 1

. 0

x

f(

x

r a l i t r b u i o n : = 0 ,

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

P(0

SHEMBULL 3 vazhdim

d) Sa prqind e popullsis prdor n mes t 18 dhe 26 galon?

Vlera e Z e lidhur me X=18 sht:

Vlera e Z e lidhur X=26 sht

P(18

SHEMBULL 4 Bakshishi q nj kamerier n nj restaurant

ekskluziv merr n nj ndrrim ka shprndarje normale me mesatare 80$ dhe devijim standard $10. Zana ndjen se ka ofruar shrbime jo t mira (t dobta) nse bakshishi total pr nj ndrrim sht m i vogl se 65 $. Sa sht probabiliteti se ajo ka ofruar shrbime t dobta?

Le t jet X sasia e bakshishit. Vlera e Z e lidhur me X=65 sht Z= (65-80)/10= -1.5. Kshtu, P(X

52

Koeficienti i interkuartilit Koeficienti i nterkuartilit llogaritet me formuln:

3 1

3 1

3

1

int

Q QKqQ Q

Kq koeficienti i erkuartilitQ kuartili i treteQ Kuartili i pare

=

+

1

11 1

/ 4

q

f wQ X df

= +

3

13 1

3 / 4

q

f wQ X df

= +

53

Koeficienti i interkuartilit Shembull: Nga t dhnat n vijim, gjeni

koeficientin e interkuartilit

Grupet 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22

Frekuencat 1 4 10 3 2 20

3 1

3 1

14 10 4 0,1614 10 24

Q QKqQ Q

= = = =

+ +3

1

1410

QQ

==

Koeficienti i interkuartilit ( Kq) merr vlerat prej 0 deri n 1.

54

Koeficienti i interkuartilitPrparsit dhe t metat

Prparsit : 1. Llogaritet dhe kuptohet leht; 2. Nuk ndikohet nga vlerat ekstreme; 3. Mund t llogaritet n serit me intervale t mbyllura

dhe t hapura.

T metat: 1. Nuk bazohet n t gjitha vlerat por vetm n dy vlera

pozicionale Q1 dhe Q3. 3. Ndikohet nga fluktuacionet e mostrs.

55

Konceptet kye

Treguesit e variacionit Gjersia e variacionit Devijimi mesatarabsolut Devijimi standard Varianca Rregulla empirike

Koeficienti ivariacionit

Variabla e standardizuar/normalizuar

Koeficienti iinterkuartilit

56

Shembuj t tjer

Shembull. N 10 teste studenti A dhe B kan fituar kta poena:

Prcaktoni se cili student sht m i arsimuar dhe cili i ka rezultatet m stabile(homogjene)

4-15

A: 25 50 45 30 70 42 36 48 34 60

B: 10 70 50 20 95 55 42 60 48 80

57

Shembuj t tjer Shembull. Nga distribucioni i mposhtm i frekuencave

llogaritni dhe gjeni :

a) Sa sht gjersia e intervalit b) Sa sht devijimi standard c) Sa sht varianca d) Gjeni koeficientin e variacionit dhe koeficientin e

dispersionit e) Koeficientin e interkuartilit Gjeni koeficientin e asimetrise dhe paraqitni grafikisht te

dhenat. Distribucioni a eshte simetrik apo asimetrik.

4-17

Grupet 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70Frekuencat 7 12 21 18 12 70

Termat e treguesve te variacionitPse duhet t studiohet dispersioni?Pse duhet t studiohet dispersioni/shmangia?Pse duhet t studiohet dispersioni?Treguesit e dispersionit/variacionitTreguesit absolut t variacionit pr serit e thjeshtaTreguesit absolut/Gjersia e variacionitShembull 1:Gjersia e variacionitDevijimi mesatar absolut/shmangia mesatare absolute:Devijimi mesatar absolut (shma) Shembull 2, vazhdimDevijimi mesatar absolut (shma) Prparsit dhe t metatVarianca dhe Devijimi standardVarianca Devijimi standardVarianca dhe devijimi standard/shembull vazhdimVarianca Prparsit dhe t metatDevijimi standardTreguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuaraTreguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuaraShembull: Treguesit absolut t variacionit pr t dhnat e grupuaraTreguesit e variacionit /t dhnat e grupuaraTreguesit absolut t variacionit /t dhnat e grupuaraInterpretimi dhe prdorimi i devijimit standardInterpretimi dhe prdorimi i devijimit standardSlide Number 29Slide Number 30Slide Number 31ShembullZgjidhjeTreguesit relativ t variacionit/Dispersioni relativTreguesit relativ t variacionit/Dispersioni relativKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitKoeficienti i variacionitVariabla e standardizuar/normalizuar/Devijimi i standardizuar/ z-scores SHEMBULLSHEMBULL 1 vazhdimSHEMBULL 3.SHEMBULL 3SHEMBULL 3, vazhdimSlide Number 49SHEMBULL 3 vazhdimSHEMBULL 4Koeficienti i interkuartilitKoeficienti i interkuartilitKoeficienti i interkuartilitPrparsit dhe t metatKonceptet kyeShembuj t tjerShembuj t tjer

treguesit e...

Documents