TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)

Kita telah mengenal trend garis lurus

(linear trend) dengan bentuk

persamaan Y’ = a + bX.

Dalam hal ini b adalah rata-rata

kenaikan Y per satuan waktu (per

bulan, per tahun, dan

lain sebagainya). Ada beberapa jenis

trend yang tidak linear tetapi dapat

dibuat linear

dengan jalan melakukan transformasi

(perubahan bentuk). Misalnya, trend

eksponensial:

Y' = abX dapat diubah menjadi trend

semi log: log Y' = log a + (log b)X; log

Y'' = Y'0 ;log

a = a0 dan log b = b0 .Dengan

demikian, Y'() = a0 + b0X, di mana

koefisien a0 dan b0 dapat

dicari berdasarkan persamaan normal.

Trend eksponensial sering

dipergunakan untuk meramalkan

jumlah penduduk,

pendapatan nasional, produksi, hasil

penjualan, dan kejadian-kejadian lain

yang

perkembangan/pertumbuhannya secara

geometris (berkembang dengan cepat

sekali).

CONTOH 8.9 Hasil penjualan PT. Sinar

Surya selama 3 tahun menunjukkan

perkembangan

yang cepat sekali, seperti ditunjukkan

dalam Tabel 8.6.

1 | P a g e

TA BeI _ ) Pen jualan Hipotetis PT . S i nar Surya, 1 99 7 -

19 99. ____________________________________________

Tahun 1997 1998 1999

Hasil penjualan 20 80 400

(Jutaan rupiah)

Dengan menggunakan trend

eksponensial, ramalkan hasil

penjualan tahun 2000!

PENYELESAIAN

M U * .

Tahun X y log y

< Y0>

X logY

(XY0)

X2

1997 -1 20 1,3010

3

-1,30103 1

1998 0 80 1,9030

9

0 0

1999 1 4(X) 2,6020

5

2,60205 1

Jumlah ΣX = 0 ΣY =

5oo

ΣY0 =

5,80617

ΣXY0 = 1,30102 ΣX2

=

2

Persamaan normal:

(1) a0 n + a0 ΣX = ΣY0

3a0 = 5,80617

2 | P a g e

(

2

)

a

0

Σ

Y

0

+

b

0

Σ

X2

=

Σ

X

Y

0

2

b

0

=

1

,

3

0

1

0

2

3 | P a g e

Dari persamaan (1), 3a0 =

5,80617, maka a0 = log a = 13

(5,80617) = 1,93539. Dari daftar

log dapat diketahui bahwa log a =

1,93539. Dengan demikian, nilai a

merupakan

antilog 1,93539, atau 86,2.

Dari persamaan (2), 2b0 =

1,30102, maka b0 = log b = 12

(1,30102) = 0,65051. Jadi, nilai

b = 4,47.

Garis trend Y’0 = a0 + b0X → Y’0 =

1,93539 + 0,65051X (dalam semi log).

Untuk tahun

2000, X = 2 → Y’0 = a0 +b0X→Y'0 = log

Y = 1,93539 + 0,65051(2) = 1,93539 +

1,30102 =

3,23641 = 3,2364. Ramalan Y = 1.730

(dari daftar log, angka yang dekat

adalah 3,2380).

Y' = abX Y' = (86,2)

(4,47)x (dalam

eksponensial)

Untuk X = 2 →Y’ = (86,2)(4,47)2 =

(86,2)(19,9809) = 1.722,35. Hasilnya

ada perbedaan

sedikit (akibat pembulatan).

CONTOH 8.10 Kenaikan harga yang

dinyatakan dalam kenaikan indeks

harga, mempunyai

pengaruh negatif yang sangat kuat

terhadap penurunan hasil penjualan

secara geometris.

Data selama 6 tahun menunjukkan

perkembangan harga (X) dan hasil

penjualan Y. Karena

4 | P a g e

bukan variabel waktu, maka hubungan

yang kita peroleh merupakan

persamaan garis

regresi dan bukan garis trend. Data

selama 6 tahun terakhir adalah sebagai

berikut:

(indeks harga) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0

(hasil penjualan,

jutaan rupiah)

61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

Dengan menggunakan persamaan

Y’ = aXb, berapa nilai ramalan Y,

kalau X = 100?

PENYELESAIAN

Y' = aXb (eksponensial), harus

dibuat transformasi dengan

menggunakan log.

log Y' = log a + b log X (regresi

linear logaritma), log Y’ = Y'0,

log a = a0 log X = X0, Y'0 = a0 +

bX0 merupakan regresi linear.

X0 = log X Y0 = log Y X20 X0Y0

1,7348 1,7868 3,0095 3,0997

1,7910 1,6946 3,2077 3,0350

1,8597 1,5752 3,4585 2,9294

1,9479 1,4533 3,7943 2,8309

2,0741 1,2833 4,3019 2,6617

2,2878 1,2340 5,2340 2,2976

ΣX0 = 11,6953 ΣY0 = 8,7975 ΣX02 = 23,0059 ΣX0Y0 = 16,8543

5 | P a g e

X = -1 → Y' = 40- 20( 12¿-1= 0

X = 0 → Y' = 40- 20(12

)° =20

X = 1 → Y' = 40-20(12

)' =30

X = 2 → Y' = 40 - 20(12

)2 =35

Makin lama angka-angka di atas makin mendekati nilai k. Dengan perkataan lain, k

merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai).

Tergantung pada nilai a dan b, maka bentuk kurva Y' = k + abx dapat berubah-ubah

seperti terlihat pada Peraga 8.2.

gambar

Bent u k K ur v a Trend Ek sponensial yang D i ubah

a > 0,

b < 1

a > 0,

b > 1

Kalau a > O, b > 1, maka bentuk kurvanya seperti contoh yang diberikan di atas.

Oleh karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan

bentuk linear dengan jalan transformasi, maka untuk memperkirakan atau menghitung

nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil (least square

method).

Jadi di sini harus dipergunakan cara yang lain, yaitu dengan memilih beberapa titik.

Caranya adalah sebagai berikut:

Kita peroleh tiga titik, yaitu:

X=0, X=2, X=4,

Y y = k + abP = k + a (1)

Y2 = k + ab2 (2)

Y3 = k + abA (3)

Dalam 3 persamaan di atas

terdapat 3 bilangan konstan yang

tidak diketahui, yaitu k, a, dan b.

Dengan melakukan pemecahan

terhadap persamaan di atas, kita

peroleh

k=Y 1−a (1 )

k=Y 2−Y 1b1−1

(2 )

b2=Y 3−Y 2Y 2−Y 1

(2 )

Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun,

maka

rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah sebagai berikut:

k=Y 1−a (1 )

k=Y 2−Y 1bt−1

(2 )

b t=Y 3−Y 2Y 2−Y 1

(3 )

CONTOH 8.11 Hasil penjualan Perusahaan XYZ dalam jutaan rupiah selama 6 tahun terakhir

disajikan dalam Tabel 8.11.

pnejualan hipotesis Perusahaan XYZ Enam Tahun Terakhir

Tahun (X) 1994 1995 1996 1997 1998 1999

(0) 0) (2) (3) (4) (5)

Hasil

penjualan

(V) 3 7 9 21 33 70

Dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah, berapa besarnya ramalan hasil

penjualan untuk tahun 2000?

PENYELESAIAN 3 titik yang kita pilih diganti dengan memilih penjualan tahun 1994 (X = 0),

19% (X = 2) dan 1998 (X = 4), berjarak 2 tahun. Dengan menggunakan rumus k, a, dan

b di atas, kita peroleh:

b t=Y 3−Y 2Y 2−Y 1

¿ 33−99−3

¿4→b=√4 ¿2

|H

Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah Y' = 1 + 2(2)6 =

129

(Rpl29 juta).

TREND LOGISTIK___________________________________________________________________________

Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan per-

kembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat-laun agak

lambat,

di mana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh

(saturation point). Pertumbuhan semacam ini biasanya dialami oleh pertumbuhan

suatu

jenis industri, dan pertumbuhan biologis lainnya.

Bentuk trend logistik misalnya adalah sebagai berikut:

Y '= k

1+10a+bX a, dan b konstan, biasanya b < 0.

--------(8.15)

Dalam hal ini kalau X → ∞, 10a+bX → 0, dan Y' ¿ k, maka k merupakan asymptote, yaitu

batas atas. Bentuk kurvanya diperlihatkan dalam Peraga 8.4 pada halaman berikut.

Sebelum titik B, laju pertumbuhan terjadi dengan cepat sekali. Setelah titik B, laju

pertumbuhan mulai menurun. Bilangan konstan k, a, dan b dapat dicari dengan cara

seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik. Misalnya data

selama 6 tahun adalah sebagai berikut:

f*

C TABEL 8 .12 )

Kita pilih 3 titik Tv T2, T3 dengan nilai (X = 0; Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y4).

k

Setelah nilai X dimasukkan ke Y ¿k

1+10a+bX , kita dapat mencari persamaan untuk T

sebagai berikut.

T1 ¿k

1+10a(1 )

T2 ¿k

1+10a+2b(2 )

T3 ¿k

1+10a+4b(3 )

Dari 3 persamaan tersebut, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai

b, n,

dan k. Untuk mencari b, perhatikan bahwa,

1T 3

− 1T 2

1T 2

− 1T 1

=10a+4b−10a+2b

10a+2b−10a

¿102b

Jadi diambil log-

nya ,

Untuk mencari a, perhatikan bahwa,

Setelah diketahui log-nya, dicari nilai a sebagai berikut.

Akhirnya

Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak / tahun, maka

CONTOH 8.12 Perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah

ditunjukkan oleh Tabel 8.13 sebagai berikut:

Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?

J u ml a h H ipotetis I n dust ri Peng olahan di Suatu D aer a h

PENYELESAIAN Kita pilih 3 titik Tv T2, T3 yaitu untuk X = 0,2, dan 4; dan Y = 2,6, dan 9.

Jadi garis trend logistik:

Untuk tahun 2000, X = 6.

Jadi kalau dibulatkan, ramalan banyaknya perusahaan pengolahan industri di daerah

tersebut pada tahun 2000 = 10 buah. Kalau sudah mencapai titik jenuh, maka ini berarti

bahwa nilai Y = 10 (mendekati 10).

TREND GOMPERTZ

Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia

tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut:

Y' = kabX (8.16)

di mana k, a, dan b konstan.

Kalau diambil lognya, log Y’ = log k + (log a ) (bX ) Selanjutnya kalau log Y = Y^ log

k

= k̂ dan log a = <i0, maka bentuknya menjadi YQ = k0 + a0bX sama seperti trend

eksponensial

yang diubah. Cara mencari koefisiennya sama seperti kita menggunakan kurva (trend)

logistik, hanya nilai Y diganti dengan log Y.

TREND GOMPERTZ

Y ¿kabx