1

TRİGONOMETRİ-1

Trigonometri astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıkmış ve gelişmiştir. 15.yüzyılda, topoğrafya, ticaret ve denizciliğin gereksinimlerine trigonometri ile cevap aranmıştır. 1. Açı, Yönlü Açı, Yönlü Yay A. Açı

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.

B. Yönlü Açı Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir. Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır. Kural Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır. Saatin dönme yönünün tersi olan yöne pozitif yön, saatin dönme yönünün aynı olan yöne negatif yön denir. Açıların yönü genellikle ok yardımıyla belirtilir. Örnek:

Yandaki şekilde OA ışını başlangıç

kenarı, OB ışını bitim kenarı olan

açı BOA açısı olup yönü saatin

dönme yönünün tersi olduğundan yönü pozitiftir.

Örnek:

Yandaki şekilde OB ışını başlangıç

kenarı, OA ışını bitim kenarı olan

açı AOB açısı olup yönü saatin

dönme yönü ile aynı olduğundan yönü negatiftir.

Uyarı

Bir BOA açısının ölçüsü BOAm ile gösterilir.

AOBmBOAm dır.

Örnek:

BOA açısı pozitif yönlü olup

o30BOAm dir.

Örnek:

AOB açısı negatif yönlü olup

o30AOBm dir.

AOBmBOAm

C. Yönlü Yaylar

O merkezli bir çember çizelim; BOA ile bu açının iç

bölgesindeki noktalarının kümesinin O merkezli çember ile

kesişimi AB yayıdır. AB yayı, BA

biçiminde gösterilir. BA

yayının yönü olarak, BOA açısının yönünü alacağız.

2

Yandaki şekilde BOA açısının yönü

pozitif olduğundan BA

yayı da

pozitif yönlüdür. Pozitif yönlü BA

yayında A ya başlangıç noktası, B ye bitim noktası denir.

Yandaki şekilde AOB açısının yönü

negatif olduğundan AB

yayı da

negatif yönlüdür. Negatif yönlü AB

yayında B başlangıç noktası, A bitim noktasıdır

D. Birim Çember

Koordinat sisteminde merkezi 0,0O orjin ve yarıçapı 1

birim olan çembere birim çember denir. Birim çemberin denklemi

12

y2

x olup, birim çember

üzerinde alınan her noktanın x bileşeni ile y bileşeninin kareleri toplamı 1 sayısına eşittir.

Örnek:

3

m,

2

2 noktasının birim çember üzerinde yer alması

için m nin alabileceği değerleri bulunuz. Çözüm:

Birim çemberin denklemi 12

y2

x olup, birim çember

üzerinde alınan her noktanın x bileşeni ile y bileşeninin kareleri toplamı 1 sayısına eşit olduğundan,

19

2m

4

21

2

3

m2

2

2

4

182m

4

2

4

21

9

2m

2

23

4

18m veya

2

23

4

18m bulunur.

E. Birim Çemberde Yönlü Açılar Birim çemberde gösterilen açıların başlangıç kenarları daima Ox ekseni alınır. Açının yönü saatin dönme yönünün tersi ise pozitif yönlü, saatin dönme yönünün aynı ise negatif yönlü açıdır. Örnek:

Birim çemberde açıların başlangıç kenarları daima Ox ekseni alınır.

BOA açısının yönü saatin

dönme yönünün tersi olduğundan pozitif yönlü,

COA açısının yönü ise

saatin dönme yönünün aynı olduğundan negatif yönlü açıdır.

BOA açısı pozitif yönlü olunca BA

yayının yönü de pozitif,

COA açısının negatif yönlü olunca CA

yayı da negatif

yönlüdür.

o30BOAm ve o

30COAm dir.

Örnek:

Ölçüleri o120KOAm ve o

120POAm olan açıları

birim çember üzerinde gösteriniz.

3

Çözüm:

Birim çemberde her açının başlangıç kenarı her zaman Ox ekseni ekseni

olduğundan KOA açısının

başlangıç kenarı olan OA

ışını olup Ox ekseni üzerinde olacaktır.

o120KOAm ise KOA

açısı negatif yönlü olup saatin dönme yönü ile aynı yönlüdür.

POA açısının başlangıç kenarı olan OA ışını olup Ox

ekseni üzerinde olacaktır. o120POAm ise POA açısı

pozitif yönlü olup saatin dönme yönünün tersi yönündedir. F. Açı Ölçü Birimleri Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlamalıyız. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir. Genellikle üç birim kullanılır. Bunlar; derece, raydan ve graddır. I. Derece Bir tam çember yayını 360 eş parçaya ayrıldığında bu yay parçalarından her birini gören merkez açının ölçüsüne 1

derece denir. o

1 ile gösterilir.

o1 lik açının 60 ta birine 1 dakikalık açı denir ve

'60

o1 biçiminde

gösterilir.

'1 lık açının da 60 ta birine 1 saniyelik açı denir

''60

'1 biçiminde gösterilir.

Buna göre,

''3600

'60

o1 ilişkisi vardır.

Örnek:

''45

'13

o24)A(m ve

''15

'46

o52)B(m olmak üzere

BmAm ifadesini bulalım.

Çözüm:

''0

'0

o77)Bm()Am(

''15

'46

o52)Bm(

''45

'13

o24)Am(

Örnek:

''45

'13

o24)A(m ve

''15

'46

o52)B(m olmak üzere

)A(m)B(m ifadesini bulalım.

Çözüm:

''30

'32

o28)Am()Bm(

''45

'13

o24)Am(

''15

'46

o25)Bm(

II. Radyan Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Çemberin çevre uzunluğu r 2 dir. Birim çemberde yarıçap

1 birim olduğundan bu ifadede 1r yazılırsa birim

çemberin çevre uzunluğu, 21.2 raydan bulunur.

O halde birim çemberin çevre uzunluğu; 2

radyandır. Birim çemberin çevresi

derece olarak o

360 ve

raydan olarak 2

olduğundan,

2o

360 bulunur.

4

Yine şekil üzerinde görüldüğü gibi

o90

2

,

o180 ,

o270

2

3

,

o3602 dir.

Örnek:

Ölçüsü o

45 olan açının ölçüsünü radyan olarak yazınız.

Çözüm:

2

o90

idi.

2

o90o

45 olduğundan,

42

2

2

o90o

45

bulunur.

III. Grad Bir tam çember yayını 400 eş parçaya ayrıldığında bu yay parçalarından her birini gören merkez açının ölçüsüne 1

grad denir. G

1 ile gösterilir. Birim çemberin çevresi

derece olarak o

360 ,

raydan olarak 2 ve

grad olarak G

400

olduğundan,

G4002

o360

bulunur.

Yine şekil üzerinde görüldüğü gibi G

100o

902

,

G200

o180 ,

G300

o270

2

3

,

G400

o3602 dır.

Sonuç D dereceyi, R radyanı ve G gradı göstermek üzere açı ölçü birimleri arasında,

400

G

2

R

360

D

Bu bağıntı açı ölçü birimleri birbirine çevrilirken kullanılır. Örnek:

Ölçüsü o

120 olan açının ölçüsünü radyan ve grad olarak

bulunuz. Çözüm:

400

G

2

R

360

D

bağıntısında

o120D yazılırsa,

Radyan olarak

3

2

360

120.2R

2

R

360

120

,

Grad olarak

3

400

360

400.120G

400

G

360

120 bulunur.

Örnek:

Ölçüsü 5

radyan olan açının ölçüsünü derece olarak

bulunuz. Çözüm:

o36D

2

5

360

D

2

R

360

D

bulunur.

Örnek:

Ölçüsü 3

radyan olan açının ölçüsünü derece ve grad

olarak bulunuz.

5

Çözüm:

400

G

2

R

360

D

eşitliğinde

3R

yazılırsa,

o60

6

360D

6360

D

2

3

360

D

bulunur.

3

200

6

400G

6

1

2

3

400

G

bulunur.

O halde,

G

3

200o60

3

G. Bazı Yönlü Yayların Bitim Noktalarının

Koordinatları

1) 4

ün Tam Katları Uzunluğundaki Yönlü Yayların

Bitim Noktalarının Koordinatları

a. o

454

olup

4

radyanlık yayın bitim noktası P

olsun.

P noktasından Ox eksenine indirilen dikmenin ayağı H

ise, P noktasının koordinatları HP,OHP dir.

OHP ikizkenar dik üçgendir. Dolayısıyla HPOH

dir. Bu dik üçgende Pisagor Bağıntısı uygulanırsa,

21

2OH

2OH

2OP

2HP

2OH

2

2OH

2

12OH1

2OH.2 bulunur.

2

2PH

2

2OH

P noktasının koordinatları;

2

2,

2

2P olur.

O halde 4

radyanlık yayın bitim noktasının koordinatları;

2

2,

2

2P dir.

b. o

9024

.2

olduğundan o

902

uzunluğundaki

yayın bitim noktası B, o

902

uzunluğundaki yayın

bitim noktasının koordinatları; 1,0B dir.

c. o

1354

3

4.3

olduğundan

o135

4

3

uzunluğundaki yayın bitim noktası olan Q, P noktasının

Oy eksenine göre simetriği olduğundan o

1354

3

uzunluğundaki yayın bitim noktasının koordinatları;

2

2,

2

2Q dir.

d. o

1804

.4

olduğundan o

180 uzunluğundaki

yayın bitim noktası C olup o

180 uzunluğundaki

yayın bitim noktasının koordinatları; 0,1C dir.

e. o

2254

5

4.5

olduğundan

o225

4

5

uzunluğundaki yayın bitim noktası olan T, P noktasının

6

O başlangıç noktasına (orjine) göre simetriği olup

o225

4

5

uzunluğundaki yayın bitim noktasının

koordinatları;

2

2,

2

2T dir.

f. o

2702

3

4.6

olduğundan

o270

2

3

uzunluğundaki yayın bitim noktası D olup o

2702

3

uzunluğundaki yayın bitim noktasının koordinatları;

1,0D dir.

g. o

3154

7

4.7

olduğundan

o315

4

7

uzunluğundaki yayın bitim noktası olan S, P noktasının

Ox eksenine göre simetriği olup o

3154

7

uzunluğundaki yayın bitim noktasının koordinatları;

2

2,

2

2S dir.

h. o

36024

.8

olduğundan o360π2

uzunluğundaki yayın bitim noktası A olup

o360π2 uzunluğundaki yayın bitim noktasının

koordinatları; 0,1A dır.

Ayrıca 4

ün negatif tam katı uzunluğu olan yaylardan;

o45

4

yayı bitim noktası

2

2,

2

2S ,

o90

2

yayı bitim noktası 1,0D ,

o135

4

3

yayı bitimi

2

2,

2

2T ,

o180 yayı bitim noktası 0,1C ,

o225

4

5

yayı bitimi

2

2,

2

2Q ,

o270

2

3

yayın bitim noktası 1,0B ,

o315

4

7

yayın bitimi

2

2,

2

2P ,

o3602 yayın bitim noktası 0,1A dır.

2) 6

nın Tam Katları Uzunluğundaki Yönlü Yayların

Bitim Noktalarının Koordinatları

a. o

306

olup

6

radyanlık yayın bitim noktası P

olsun. P noktasından Ox eksenine indirilen dikmenin

ayağı H ise, P noktasının koordinatları HP,OHP dir.

OHP dik üçgeni o

90o

60o

30 üçgenidir.

Buradan 2

1

2

OPPH ve

2

3

2

1.3PH.3OH bulunur. P noktasının

koordinatları HP,OHP olup, 6

π radyanlık yayın

bitim noktasının koordinatları;

2

1,

2

3P dir.

7

b. o

6036

.2

olup 3

π radyanlık yayın bitim noktası

P olsun. P noktasından Ox eksenine indirilen dikmenin

ayağı H ise, P noktasının koordinatları HP,OHP dir.

OHP dik üçgeni o

90o

60o

30 üçgenidir.

2

1

2

OPOH ve

2

3

2

1.3OH.3OP bulunur.

P noktasının koordinatları HP,OHP olup, 3

radyanlık

yayın bitim noktasının

2

3,

2

1P dir.

c. o

9026

.3

olduğundan o

902

uzunluğundaki

yayın bitim noktası B olup o

902

uzunluğundaki

yayın bitim noktasının koordinatları; 1,0B dir.

d. o

1203

2

6.4

olduğundan

o120

3

2

uzunluğundaki yayın bitim noktası olan Q, 2.şekilde P

noktasının Oy eksenine göre simetriği olup o

1203

2

uzunluğundaki yayın bitim noktasının koordinatları;

2

3,

2

1Q dir.

e. o

1506

5

6.5

olduğundan

o150

6

5

uzunluğundaki yayın bitim noktası, P noktasının Oy

eksenine göre simetriği olup o

1506

5

uzunluğundaki yayın bitim noktasının koordinatları;

2

1,

2

3Q dir.

f. o

1806

.6

olduğundan o

180 uzunluğundaki

yayın bitim noktası C olup o

180 uzunluğundaki

yayın bitim noktasının koordinatları; 0,1C dir.

Diğer yayların bitim noktalarının koordinatları simetriden yararlanılarak benzer şekilde bulunabilir.

4

ün Katı

6

nın Katı

Açı Bitim Noktası Açı Bitim Noktası

o45

4

2

2,

2

2

o30

6

2

1,

2

3

o90

2

1,0 o

603

2

3,

2

1

o135

4

3

2

2,

2

2

o120

3

2

2

3,

2

1

o180

0,1 o150

6

5

2

1,

2

3

o225

4

5

2

2,

2

2

o210

6

7

2

1,

2

3

o270

2

3

1,0 o

2403

4

2

3,

2

1

o315

4

7

2

2,

2

2

o300

3

5

2

3,

2

1

o3602

0,1 o330

6

11

2

1,

2

3

8

H. Birim Çemberin Noktalarının Reel Sayılarla

Eşlenmesi

Bir çembere A noktasında teğet olan bir doğruyu sayı doğrusu olarak düşünelim. Bu sayı doğrusunda sıfır sayısının eşlendiği nokta, doğrunun çembere değdiği A noktası olsun. Sayı doğrusunun, pozitif reel sayılarla eşlenen kısmını, çember üzerine, pozitif yönde; diğer kısmını da çember üzerine, negatif yönde sardığımızı düşünelim. Bu yolla, sayı doğrusunun noktaları birim çemberin noktaları ile eşlenmiş olur. sayı doğrusunun pozitif reel

sayılarının bulunduğu kısmını, pozitif yönde çembere sararken P noktasına eşlenen sayılardan biri olsun.

Birim çemberin uzunluğu 2 birim olduğundan;

2 , 2.2 , 2.3 ,… sayıları da P noktası ile

eşlenir. Sayı doğrusunun negatif reel sayılarının bulunduğu kısmını, negatif yönde çembere sararken P noktasına;

2 , 2.2 , 2.3 ,… sayıları da P noktası ile

eşlenir. Birim çemberi Ç ile gösterirsek, bu yolla, R reel sayılar kümesinden Ç ye bir fonksiyon tanımlamış olduk. Bu fonksiyona sarma fonksiyonu denir. Bu sarma işlemine devam edilirse birim çember üzerindeki herhangi bir P noktasına, sonsuz tane reel sayı karşılık gelir.

Buna göre Zk olmak üzere, P noktasına eşlenen sayılar,

2.k biçimindedir.

Sayı doğrusunun negatif reel sayıların bulunduğu kısmını,

negatif yönde birim çembere sararken '

P noktasına eşlenen

sayılardan biri θ ise,

2 , 2.2 , 2.3 ,… sayıları da '

P

noktasına eşlenir. Sayı doğrusunun pozitif reel sayıların bulunduğu kısmını, pozitif yönde birim çembere sararken;

2 , 2.2 , 2.3 ,… sayıları '

P noktasına

eşlenir.

Buna göre Zk olmak üzere, P noktasına eşlenen

sayılar, 2.k biçimindedir.

Örnek:

Birim çemberin 1,0A , 0,1B , 1,0'

A , 10,'

B

noktalarına eşlenen reel sayıları bulalım. Çözüm:

Birim çemberin uzunluğu 2 birimdir. Zk olmak üzere

1,0A noktasına eşlenen sayılar, 2.k2.k0

biçimindedir. Bu ifadede k yerine …,-2, -1, 0, 1, 2, … azılarak elde edilen sayılar;

…, ,...4,2,0,2,4 dir.

0,1B noktasına eşlenen sayılar,

2.k2

biçimindedir.

Bu sayılar, ,...42

,22

,2

,22

,42

...,

dir.

1,0'

A noktasına eşlenen sayılar, 2.k

biçimindedir.

9

Bu sayılar, ,...4,2,,2,4..., dir.

10,'

B noktasına eşlenen sayılar,

2.k2

3

biçimindedir. Bu sayılar,

,...42

3,2

2

3,

2

3,2

2

3,4

2

3...,

biçimindedir.

İ. Bir Açının Esas Ölçüsü

Birim çember üzerinde o

420 lik bir açının bitim kenarının

çemberi kestiği noktayı inceleyelim.

o60

o360

o420 olduğu için

Ox başlangıç kenarı OP bitim

kenarı olmak üzere, pozitif yönde

bir yay o360 çizildikten

sonra o

60 lik yay daha çizilir.

o60 lik yayın bitim kenarının çemberi kestiği nokta ile

o420

lik açının bitim kenarı çemberi aynı noktada keser.

Bu durumda OP ışını o

420 lik açının bitim kenarı POx

açısının ölçüsü olan o

60 de o

420 lik açının esas ölçüsü

olur.

Buna göre o

420 lik açının esas ölçüsü o

60 dir.

Örnek:

o360.2

o60

o780 olduğu için,

o780 lik açının esas

ölçüsü o

60 dir.

Sonuç

Zk ve )o

360,o

0[ olmak üzere, brim çember

üzerinde α açısı ile o

360.k açısı aynı noktaya karşılık

gelmektedir.

Buna göre, o

360o

0 ve Zk olmak üzere, ölçüsü o

360.k olan açının esas ölçüsü α derecedir.

Örnek:

Ölçüsü o

1820 olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

o360.5

o20

o1820 olup

o1820 lik açının esas ölçüsü

o20 dir.

Uyarı Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü

olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü )o

360,o

0[

aralığındadır. Örnek:

Ölçüsü o

800 olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

Negatif yönlü açılarda açının mutlak değeri o

360 ye

bölünür; kalan o

360 den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

o800 nin

o360 ye bölümünden kalan

o80 olduğu için,

ölçüsü o

800 olan açının esas ölçüsü o

280o

80o

360

dir. Örnek:

Ölçüsü 2

31 radyan olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

10

Çözüm:

20 ve Zk olmak üzere, ölçüsü 2.k radyan

olan açının esas ölçüsü radyandır.

Buna göre,

2.72

3

2

283

2

31 olduğuna göre ölçüsü

2

31

radyan olan açının esas ölçüsü 2

3 raydandır.

Örnek:

Ölçüsü 7

80 radyan olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm:

2.57

10

7

7010

7

80 olduğuna göre ölçüsü

7

80 radyan olan açının esas ölçüsü

7

10 radyandır.

UyarıI Bir önceki örnekte yaptığımız işlemleri pratik olarak şu şekilde yaparız.

80’i paydanın 2 katına (14’e) böleriz. Kalan 10 dur. Kalan

nin katsayısı olacak, payda aynen kalacak.

Buna göre, ölçüsü 7

80 radyan olan açının esas ölçüsü

7

10 radyandır.

Örnek:

Ölçüsü 5

36 radyan olan açının esas ölçüsünü bulunuz.

Çözüm: Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek

esas ölçüsü bulunur. Bulunan değer 2 den çıkarılır.

36 nın paydanın 2 katı (10) ile bölümünden kalan 6 dır.

Buna göre ölçüsü 5

36 radyan olan açının esas ölçüsü

5

6

radyandır.

5

4

5

610

5

62

olduğuna, göre ölçüsü

5

36

radyan olan açının esas ölçüsü 5

4 radyandır.

Örnek:

Ölçüsü 5

3 radyan olan açının esas ölçüsü kaç

derecedir? Çözüm:

5

7

5

32

tir. O halde ölçüsü

5

3 radyan olan açının

esas ölçüsü 5

7 tir.

Bulunan bu değeri dereceye çevirelim.

25210

360.7D

2

5

7

360

D

2

R

360

D

bulunur.

Örnek:

Ölçüsü 7

radyan olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm:

7

13

72

dir. O halde ölçüsü

7

radyan olan açının

esas ölçüsü 7

13 dir.

11

Bulunan bu değeri dereceye çevirelim.

33414

360.13D

2

7

13

360

D

2

R

360

D

2. Trigonometrik Fonksiyonlar A. Kosinüs Fonksiyonu

Birim çemberin y,xP

noktası ile eşlenen açı

POA olmak üzere, P

noktasının apsisine (x bileşeni) reel

sayısının kosinüsü denir

ve cos ile gösterilir.

OHxcos tır.

Bu şekilde tanımlanan fonksiyona da kosinüs fonksiyonu denir. Kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R reel sayılar kümesidir.

R için xcos ve Rx dir. Kosinüs fonksiyonunun

değer kümesi de R reel sayılar kümesidir. Kosinüs fonksiyonu,

RR:cos

cos biçiminde gösterilir.

y,xP noktası ile eşlenen, bir reel sayısının kosinüsü

y,xP noktasının apsisine eşittir. x eksenine kosinüs

ekseni denir.

y,xP noktasının apsisi, yani cos , -1 ile 1 arasında

değerler alır. Birim çember üzerindeki her noktanın apsisi

1,1 aralığındadır.

R için 1cos1 veya 1,1R:cos yazılır.

Buna göre, kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R reel

sayılar kümesi, değer kümesi de 1,1 aralığıdır.

Sonuç Yukarıdaki şekilde,

0,1A olduğundan 1o

0cos dir.

1,0B olduğundan 0o

90cos dır.

0,1C olduğundan 1o

180cos dir.

1,0D olduğundan 0o

270cos dır.

Örnek:

011o

360coso

180cos

Örnek:

000o

270coso

90cos2

3cos

2cos

Örnek:

)xo

45cos(.41A olduğuna göre, A nın alabileceği kaç

farklı tamsayı değeri vardır? Çözüm:

1)xo

45cos(1

1.4)xo

45cos(.4)1.(4

41)xo

45cos(.41)4(1

5)xo

45cos(.413

5A3

olduğuna göre A nın alabileceği tamsayı değerleri; -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 olup dokuz tanedir.

12

B. Sinüs Fonksiyonu

Birim çemberin y,xP

noktası ile eşlenen açı

POA olmak üzere, P

noktasının ordinatına (y

bileşeni) reel

sayısının sinüsü denir ve

xsin ile gösterilir.

OMysin dir.

Bu şekilde tanımlanan fonksiyona da sinüs fonksiyonu denir. Sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R reel sayılar kümesidir.

R için ysin ve Ry dir. Sinüs fonksiyonunun

değer kümesi de R reel sayılar kümesidir. Sinüs fonksiyonu,

RR:sin

sin biçiminde gösterilir.

y,xP noktası ile eşlenen, bir α reel sayısının sinüsü

y,xP noktasının ordinatına eşittir. y eksenine sinüs

ekseni denir. Birim çember üzerindeki her noktanın ordinatı

1,1 aralığındadır.

R için 1sin1 veya 1,1R:sin yazılır.

Buna göre, sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R reel sayılar

kümesi, değer kümesi de 1,1 aralığıdır.

Zk olmak üzere birim çember üzerindeki P noktasına

karşılık gelen tüm 2.k reel sayıları için,

xcos)o

360.kcos(

ysin)o

360.ksin( olur.

Sonuç Yukarıdaki şekilde,

0,1A olduğundan 0o

0sin dır.

1,0B olduğundan 1o

90sin dir.

0,1C olduğundan 0o

180sin dır.

1,0D olduğundan 1o

270sin dir.

Örnek:

xcosxsin)x(f olduğuna göre )o

450(f nin değeri

kaçtır? Çözüm:

o360.1

o90

o450 olduğundan

o450 lik açının esas

ölçüsü o

90 dir.

Buna göre,

101o

90coso

90sin)o

90(f)o

450(f

bulunur. Kural

cosOHx

sinOMy

OPH dik üçgeninde

pisagor bağıntısı uygulanırsa;

2

12

y2

x 12

sin2

cos bulunur.

13

Uyarı

2

cos2

cos dir.

2cos

2cos dir.

Örnek:

4cos

6sin.

8sin

17

152sin

7

2cos

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2.177

14

7

15 olduğuna göre

7

15

radyanlık açının esas ölçüsü 7

dir. Bu durumda

7sin

7

15sin

dir.

Buna göre,

4cos

6sin.

8sin

17

2sin

7

2cos

4cos

6sin.

8sin

17

152sin

7

2cos

0

4cos

6sin.

8sin

11

Örnek:

4

ve

6

nın tam sayı katı olan sayıların sinüs ve kosinüs

fonksiyonları altındaki görüntülerini bulalım.

Açı Bitim Noktası Kosinüsü Sinüsü

o0

0,1 1 0

o45

4

2

2,

2

2

2

2

2

2

o30

6

2

1,

2

3

2

3

2

1

o60

3

2

3,

2

1

2

1

2

3

o90

2

1,0 0 1

o120

3

2

2

3,

2

1

2

1

2

3

o135

4

3

2

2,

2

2

2

2

2

2

o150

6

5

2

1,

2

3

2

3

2

1

o180

0,1 1 0

o210

6

7

2

1,

2

3

2

3

2

1

o225

4

5

2

2,

2

2

2

2

2

2

o240

3

4

2

3,

2

1

2

1

2

3

o270

2

3

1,0 0 1

o300

3

5

2

3,

2

1

2

1

2

3

o315

4

7

2

2,

2

2

2

2

2

2

o330

6

11

2

1,

2

3

2

3

2

1

Örnek:

o780 nin sinüsünü ve kosinüsünü bulunuz.

14

Çözüm:

o360.2

o60

o780 olduğundan

o780 lik açının esas

ölçüsü o

60 dir.

Buna göre,

2

3o60sin

o780sin ve

2

1o60cos

o780cos

bulunur. C. Tanjant Fonksiyonu

Birim çembere 0,1A

noktasında teğet olan doğruyu çizelim. Bu doğrunun denklemi

1x dir. Birim çember üzerinde

POAs olmak

üzere OP ışınının 1x

doğrusunu kestiği T noktasının ordinatına, reel sayısının

tanjantı denir. tant biçiminde gösterilir.

Denklemi 1x olan doğruya tanjant ekseni denir.

y,xP noktası, 1,0B ya da 1,0D noktası ile çakışırsa;

OP ışını, denklemi 1x olan doğruyu kesmez.

Buna göre;

,...2

52

2,

2

3

2,

2

,...2

32

2,

22

reel sayılarının tanjantı tanımsızdır. Genel olarak

Zk olmak üzere

.k2

şeklindeki reel sayıların

tanjantları tanımsızdır.

Tanım kümesi

Zk /.k2

R olan ve bu kümenin

her bir elemanını tan ya dönüştüren fonksiyona,

tanjant fonksiyonu denir. Buna göre,

RZk /.k2

R:tan

tan olur.

Şekildeki '

P noktası, P noktasının orjine göre simetriğidir. P noktasına eşlenen reel sayılardan biri α ise πα reel

sayısı da '

P noktası ile eşlenir. '

OP doğrusu tanjant

eksenini t,1T noktasında keser.

O halde tant olur.

Bunun gibi, P ya da '

P noktasına eşlenen;

.k,...,3,2,,

sayılarının tanjantları aynı reel sayıdır. α reel sayısının

tanjantı t ise ttan.ktan dir.

Sonuç

o

0 olduğunda P noktası A ile çakışır. Bu

durumda, 0t ve 0o

0tan bulunur.

o

90 olduğunda P noktası B ile çakışır. Bu

durumda, OP ışını tanjant ekseni ile kesişmez.

Buna göre o

90tan tanımsızdır.

o

180 olduğunda P noktası C ile çakışır. Bu

durumda, OP ışınını üzerinde taşıyan doğrunun

tanjant eksenini kestiği nokta, yine A olur. Buna göre,

0t ve 0o

180tan bulunur.

o

270 olduğunda OP ışını ile tanjant ekseni

paralel olduklarından dolayı kesişmezler. Buna göre

o270tan tanımsızdır.

15

Örnek:

o15

2cos

o0tan

o15

2sin işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

1o

152

coso

152

sin ve 0o

0tan olduğundan,

101o

152

coso

0tano

152

sin dir.

Tan yı Sin ve Cos türünden yazma

Yandaki şekilde

cosOH

sinOK ,

tanAT ve

1OAOP dir. Üçgenlerin benzerliği kullanılarak

OATOHP (A.A.A) olduğundan,

tan

sin

1

cos

AT

HP

OA

OH

cos

sintan

Örnek:

xtan6A olduğuna göre, A nın alabileceği en küçük

pozitif tam sayı değeri kaçtır? Çözüm Tanjant fonksiyonunun görüntü kümesi R reel sayılar kümesidir. Bu nedenle 5xtan olabilir.

Buna göre, xtan6A ifadesinin alabileceği en küçük

pozitif tam sayı değeri; 6 – 5 = 1 dir.

D. Kotanjant Fonksiyonu

Birim çembere

1,0B noktasında

teğet olan doğruyu çizelim. Bu doğrunun

denklemi 1y dir.

Birim çemberde

POAs olmak

üzere OP ışınının

1y doğrusunu kestiği M noktasının apsisine, reel

sayısının kotanjantı denir. cotm biçiminde gösterilir.

Denklemi 1y olan doğruya kotanjant ekseni denir.

y,xP noktası, 0,1A ya da 0,1C noktası ile çakışırsa;

OP ışını, denklemi 1y olan doğruyu kesmez.

Buna göre;

,...3,2,,0,,2,3...,

reel sayılarının kotanjantı tanımsızdır. Genel olarak

Zk olmak üzere .k şeklindeki reel sayıların

kotanjantları tanımsızdır.

Tanım kümesi Zk /.kR olan ve bu kümenin her bir

elemanını cot ya dönüştüren fonksiyona, kotanjant

fonksiyonu denir. Buna göre,

RZk /.kR:cot

cot olur.

Şekildeki '

P noktası, P noktasının orjine göre simetriğidir. P noktasına eşlenen reel sayılardan biri α ise πα reel

sayısı da '

P noktası ile eşlenir. '

OP doğrusu kotanjant

eksenini m,1M noktasında keser.

O halde tanm olur.

16

Bunun gibi, P ya da '

P noktasına eşlenen;

.k,...,3,2,,

sayılarının kotanjantları aynı reel sayıdır. α reel sayısının

kotanjantı m ise

mcot.kcot dir.

Sonuç

o

0 olduğunda P noktası A ile çakışır. Bu

durumda, OP ışını kotanjant ekseni ile kesişmez.

Buna göre o

0tan tanımsızdır.

o

90 olduğunda P noktası B ile çakışır. Bu

durumda, 0m ve 0o

90tan olur.

o

180 olduğunda P noktası C ile çakışır. Bu

durumda OP ışını ile kotanjant ekseni paralel

olduklarından dolayı kesişmezler. Buna göre o

180tan

tanımsızdır

o

270 olduğunda OP ışınını üzerinde taşıyan

doğrunun kotanjant eksenini kestiği nokta, yine B olur.

Buna göre, 0m ve 0o

270cot bulunur.

Cot yı Sin ve Cos türünden yazma

Yandaki şekilde

cosOHKP

sinPHOK

cotBM ve

1OBOP dir.

Üçgenlerin benzerliği kullanılarak OBMOKP (A.A.A)

olduğundan,

cot

cos

1

sin

BM

KP

OB

OK

sin

coscot

Örnek:

xcos

xcot.xtan4

xsin

3 olduğuna göre, tanx in değeri kaçtır?

Çözüm

xcos

xsin

xcos.

xcos

xsin4

xcos

xcot.xtan4

xsin

3

xcos

5

xsin

3

xcos

14

xsin

3

5

3xtan

5

3

xcos

xsin bulunur.

Örnek:

x2

tan

x2

cos

12 ifadesinin sadeleştiriniz.

Çözüm

x2

cos

x2

sin

x2

cos

12x

2tan

x2

cos

12

x2

cos

x2

sin12

x2

cos

x2

cos2

312

Örnek:

Axcosxsin olmak üzere xtan1

xcos

xcot1

xsin

ifadesinin

A türünden değeri nedir?

17

Çözüm

xcos

xsin1

xcos

xsin

xcos1

xsin

xtan1

xcos

xcot1

xsin

xcos

xsinxcos

xcos

xsin

xcosxsin

xsin

xcosxsin

x2

cos

xcosxsin

x2

sin

1A

xcosxsin

1

bulunur.

Örnek:

o810tan ve

2

5cot

ifadelerinin değerlerini bulalım.

Çözüm

o360.2

o90

o810 olup

o810 lik açının esas ölçüsü

o90 dir. Buna göre,

o90tan

o810tan tanımsızdır.

222

4

2

5 olup

2

5 radyanlık açının

esas ölçüsü o

902

dir. Buna göre,

02

cot2

5cot

dır.

Örnek:

0sin ve 0cos olmak üzere cot. tan

çarpımının sonucunu bulalım.

Çözüm

1sin

cos.

cos

sincot.tan

bulunur. Buradan

1cot.tan veya

cot

1tan ve

tan

1cot bulunur.

Örnek:

x2

cos.xsinx3

sin ifadesinin en sade halini bulalım.

Çözüm

x2

cosx2

sin.xsinx2

cos.xsinx3

sin

xsin1.xsin

Örnek:

xsin.xcos

1x2

cos ifadesinin en sade halini bulalım.

Çözüm

xsin.xcos

x2

sin

xsin.xcos

x2

cos1

xsin.xcos

1x2

cos

xtanxcos

xsin

Örnek:

x2

cos

xsin1 ifadesinin en sade halini bulalım.

Çözüm

x2

sin1

xsin1

x2

cos

xsin1

xsin1.xsin1

xsin1

xsin1

1

18

Örnek:

x2

tan1

xtan

ifadesinin en sade halini bulalım.

Çözüm

x2

cos

x2

sinx2

cos

xcos

xsin

x2

cos

x2

sin1

xcos

xsin

x2

tan1

xtan

xcos.xsin1

x2

cos.

xcos

xsin

Örnek:

2 olduğuna göre

sin

sin1.

sin

sin1 ifadesinin

en sade halini bulalım. Çözüm

2sin

2cos

2sin

2sin

21

sin

sin1.

sin

sin1

cotcot2

cot

oldugundan 0cot için

2

Örnek:

o250cosa ,

o120sinb ,

o210cotc sayılarını

küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Çözüm Verilen sayıları birim çemberde gösterelim.

Şekilden de anlaşılacağı gibi, a negatif, b ile c pozitiftir ve a < b < c dir. Örnek:

o30

6

ve

o60

3

açılarının tanjant ve kotanjant

fonksiyonları altındaki görüntülerini bulalım. Çözüm

2

1o30sin

6sin

ve

2

3o30cos

6cos

olduğunu

daha önce bulmuştuk. O halde,

3

3

3

1

23

21

o30cos

o30sino

30tan

31

3

21

23

o30sin

o30coso

30cot bulunur.

2

3o60sin

3sin

ve

2

1o60cos

3cos

olduğunu

daha önce bulmuştuk. O halde,

31

3

21

23

o60cos

o60sino

60tan

3

3

3

1

23

21

o60sin

o60coso

60cot bulunur.

Bu yolla çok kullanılan bazı açıların tanjant ve kotanjant fonksiyonları altındaki değerleri hesaplanabilir.

19

Açı Kosinüs Sinüs Tanjant Kotanjant

o0

1 0 0 Tanımsız

o45

4

2

2

2

2

1 1

o30

6

2

3

2

1

3

3

3

o60

3

2

1

2

3

3

3

3

o90

2

0 1 Tanımsız 0

o120

3

2

2

1

2

3

3

3

3

o135

4

3

2

2

2

2

1 1

o150

6

5

2

3

2

1

3

3

3

o180

1 0 0 Tanımsız

o2106

π7

2

3

2

1

3

3

3

o2254

π5

2

2

2

2

1 1

o240

3

4

2

1

2

3

3

3

3

o270

2

3

0 1 Tanımsız 0

o3003

π5

2

1

2

3

3

3

3

o315

4

7

2

2

2

2

1 1

o330

6

11

2

3

2

1

3

3

3

E. Kosekant , Sekant Fonksiyonları

Birim çember üzerinde POAm olmak üzere,

P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın ordinatına,

reel sayısının

kosekantı denir ve

eccos ile gösterilir.

P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği

noktanın apsisine α

reel sayısının sekantı

denir ve sec ile gösterilir.

eccosc , secs

Kural

sin

1eccos

cos

1sec

Örnek:

2

tan1 ifadesinin özdeşini bulalım.

Çözüm

2cos

2sin

2cos

2cos

2sin

12

tan1

2

sec2

cos

1

Uyarı Kosekant ve sekant fonksiyonlarının değer kümesi

1,1R dir.

Yani eccos ve sec , 1,1 aralığındaki değerlere eşit

olamazlar. Örnek:

2

cot1 ifadesinin özdeşini bulalım.

20

Çözüm

2sin

2cos

2sin

2sin

2cos

12

cot1

2

eccos2

sin

1

Sonuç

2

sec2

tan1

2

eccos2

cot1

Örnek:

o15cot

o15tan

o15eccos

o15seco

15cosA

ifadesinin en sade halini

bulunuz. Çözüm

o15sin

o15cos

o15cos

o15sin

o15sin

1

o15cos

1

o15cosA

o15cos.

o15sin

o15

2cos

o15

2sin

o15cos.

o15sin

o15cos

o15sin

o15cos

o15cos.

o15sin

1

o15cos.

o15sin

o15cos

o15sin

o15cos

o

15sino

15coso

15sino

15cos

F. Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

c

a

zunluğuU nHipotenüsü

Uzunlugu Kenar Dik Komsucos

c

b

zunluğuU nHipotenüsü

Uzunlugu Kenar Dik Karsısin

b

a

zunluğuU Kenar Dik Karsı

Uzunlugu Kenar Dik Komsucot

a

b

zunluğuU Kenar Dik Komsu

Uzunlugu Kenar Dik Karsıtan

b

c

zunluğuU Kenar Dik Karsı

Uzunlugu nHipotenüsüeccos

a

c

zunluğuU Kenar Dik Komsu

Uzunlugu nHipotenüsüsec

Örnek:

5

4cos ,

5

3sin

3

4cot ,

4

3tan

3

5eccos ,

4

5sec

Tümler Açıların Trigonometrik Oranları Arasındaki Bağıntılar

Ölçüleri toplamı

radyan

2

o90 olan iki açıya tümler

21

açılar denir.

ABC dik üçgeninde o90Cs ise,

o90BsAs olup ve

tümler açılardır. Bu açıların trigonometrik oranları bulunursa,

cossinc

bcos,

c

bsin

sincosc

asin,

c

acos

cottana

bcot,

a

btan

tancotb

atan,

b

acot

Tümler açılardan dan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı diğerinin kosekantına eşittir.

o

90 ise cossin

o

90 ise cottan

o

90 ise eccossec

22

dır. Şu halde,

2cossin

2sincos

2cottan

2tancot

Örnek:

Yandaki şekil, özdeş dört küçük kareden oluşmuştur.

CBAm olduğuna

göre, tan kaçtır?

Çözüm:

o90BmAm

olduğu için

Acottan dır.

Özdeş karelerin kenar uzunluğunu 1 birim olarak kabul edelim.

2

3

11

111

Kenar Dik Karsı

Kenar Dik KomsuAcot

bulunur.

O halde 2

3tan dir.

Örnek:

Yandaki şekil bir küp,

CBEm ve EDED

olduğuna göre αtan değeri

kaçtır?

Çözüm

22

CBEm , 1EDE'

D cm olsun.

Bu durumda küpün bir kenarı 2 cm olur. EDC dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa,

52

22

12

DC2

ED2

EC

5EC bulunur.

Buna göre ECB dik üçgeninden,

2

5

Kenar Dik Komsu

Kenar Dik Karsıtan bulunur.

Örnek:

Yandaki dik üçgende

o90Cs , 10AB cm,

8BC cm ise Asin , Atan ,

Acos ve Acot değerlerini bulalım.

Çözüm:

ABC dik üçgeninde, 6362

82

10AC cm

bulunur.

5

4

10

8

AB

BCAsin ,

3

4

6

8

AC

BCAtan

4

3

8

6

BC

ACAcot ,

5

3

10

6

AB

ACAcos

Örnek:

Şekildeki ABC üçgeninde

ACAB dir. 5

4Asin ise

B açısının trigonometrik oranlarını bulunuz.

Çözüm:

AB kenarına ait yüksekliği

çizelim.

AC

DC

5

4Asin ise,

4DC , 5AC bulunur.

ADC dik üçgeninde pisagor teoreminden,

392425AD bulunur.

235DBACAB dir

BDC dik üçgeninde pisagor teoreminden,

52202224BC bulunur.

O halde,

5

52

52

4

BC

DCBsin ,

5

5

52

2

BC

DBBcos

22

4

DB

DCBtan ,

2

1

4

2

DC

DBBcot

G. Özel Açıların Trigonometrik Oranları

1. o

45 nin Trigonometrik Oranları

Dik kenar uzunlukları 1 birim olan ikizkenar dik üçgeni göz önüne alalım.

1BCAB birim ise pisagor

teoreminden,

2AC birim bulunur.

23

Buna göre CBA dik üçgeninde o45 nin trigonometrik

oranları,

2

2

2

1o45sin ,

2

2

2

1o45cos

11

1o45tan , 1

1

1o45cot bulunur.

Örnek:

22

22

2

2

2

2o45cos

o45sin

2. o

30 ve o

60 nin Trigonometrik Oranları

Bir kenarının uzunluğu 2 birim olan eşkenar üçgeni göz önüne alalım.

2ACBCAB birim ise AD

yüksekliği aynı zamanda kenar ortay ve açı ortay olduğu için

1BD birim ve 3AH birim olur.

Buna göre, ABD dik üçgeninde o

30 nin ve o

60 nin

trigonometrik oranları

2

1o30sin ,

2

3o30cos

3

3

3

1o30tan , 3

1

3o30cot

2

3o60sin ,

2

1o60cos

31

3o60tan ,

3

3

3

1o60cot

bulunur.

Sonuç

Açı Sinüs Kosinüs Tanjant Kotanjant o

0 0 1 0 Tanımsız

o30

2

1

2

3

3

3

3

o45

2

2

2

2

1 1

o60

2

3

2

1

3

3

3

o90 1 0 Tanımsız 0

Örnek:

o30sec.

o45tan1

o30tan

o45tan

işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

o30cos

11

3

31

o30sec.

o45tan1

o30tan

o45tan

3

13

3

33

3

11

3

33

2

3

11

3

33

53313

3.

3

33

bulunur.

3. Trigonometrik Fonksiyonların Birbirleri Cinsinden

Yazılması Trigonometrik fonksiyonları birbiri cinsinden ifade ederken;

12

sin2

cos ,

cos

sintan ,

sin

coscot

özdeşliklerini kullanacağız.

24

a. sin , tan ve cot değerlerini cos cinsinden

yazalım,

2

cos12

sin 2

cos1sin

cos

sintan

cos

2cos1

tan

sin

coscot

2cos1

coscot

Bu özdeşliklerde işaretin (+) mı, yoksa (–) mi olacağına α

açısının hangi bölgede olduğuna bakarak karar vereceğiz. b. sin , cos , tan değerlerini cot cinsinden

yazalım,

2sin

1

2sin

2cos

12

cot1 olduğundan

2

cot1

12sin

2

cot1

1sin

2cos

1

2cos

2sin

12

tan1 olduğundan

2

cot1

2cot

2cot

11

1

2tan1

12cos

α2cot1

αcotαcos

Örnek:

20

ve 6,0sin olduğuna göre;

cos , tan ve cot değerlerini bulalım.

Çözüm:

5

3

10

66,0sin tir. Verilenleri dik bir üçgene yazarsak;

Pisagor teoreminden,

4162

32

5AC bulunur.

Böylece

5

4

AB

ACcos

4

3

AC

BCtan ,

3

4

BC

ACcot bulunur.

Örnek:

20

ve

2

1tan olduğuna göre;

cos , sin ve cot değerlerini bulalım.

Çözüm: Verilenleri dik bir üçgene yazarsak;

Pisagor teoreminden,

52

22

1AB bulunur.

Böylece

5

52

5

2

AB

ACcos

5

5

5

1

AB

BCsin

21

2

BC

ACcot bulunur.

25

Örnek:

Yandaki şekilde o90Dm

o45Bm o

60Cm ve

2BC olduğuna göre

AD , CD ve AB uzunluklarını bulunuz.

Çözüm:

xCD olsun. ABD ikizkenar dik üçgen olduğundan

2xBDAD dir.

ADC dik üçgeninden,

CD

AD3

o60tan ise,

13xx

2x

1

3

dir.

O halde,

13xCD

332xAD

6232

232

33AB

bulunur Örnek:

Şekildeki dik üçgende

xBDDC ve

o30Bm olarak

veriliyor. CADtan

değerini bulunuz.

Çözüm:

ABC dik üçgeni o

90o

60o

30 üçgeni olup o

30 nin

karşısındaki kenar 3

x2AC olur.

2

3

3

x2

x

AC

DCCADtan bulunur.

KONU BİTMİŞTİR…