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AllgemeinKonvexes Polygon
Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation eines Polygons in 2D
Sven Eckelmann
TU Chemnitz
27. Mai 2005
Sven Eckelmann Triangulation eines Polygons in 2D
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AllgemeinKonvexes Polygon
Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Inhaltsverzeichnis
1 Konvexes Polygon
2 Monotones PolygonTriangulation
3 Einfache PolygoneTriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
4 Art Gallery TheoremFinden der EckenAuswahl der Ecken
Sven Eckelmann Triangulation eines Polygons in 2D
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AllgemeinKonvexes Polygon
Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Motivation
Einfache Darstellung komplexer Geometrie
Effiziente Verarbeitung durch Dreiecke
Beispiele:
Zeichnen von PolygonenArt-Gallery-Problem
Sven Eckelmann Triangulation eines Polygons in 2D
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Motivation
Einfache Darstellung komplexer Geometrie
Effiziente Verarbeitung durch Dreiecke
Beispiele:
Zeichnen von PolygonenArt-Gallery-Problem
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Motivation
Einfache Darstellung komplexer Geometrie
Effiziente Verarbeitung durch Dreiecke
Beispiele:
Zeichnen von PolygonenArt-Gallery-Problem
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Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Motivation
Einfache Darstellung komplexer Geometrie
Effiziente Verarbeitung durch Dreiecke
Beispiele:
Zeichnen von PolygonenArt-Gallery-Problem
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Definitionen
Polygon: P = (p1, p2, . . . , pn), pi ∈ Rm, 1 ≤ i ≤ n
Kante eines Polygons: pipi+1(i = 1, . . . , n − 1) und pnp1
Diagonalen eines Polygons:
keine Kante des Polygons undschneidet keine Kante und innerhalb des Polygons
Triangulation eines Polygons:
Zerlegung eines einfachen Polygons P in Dreiecke ohne dasHinzufugen neuer Punkte
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Wie viele Dreiecke braucht man?
Gegeben: n = Anzahl der Ecken
Gesucht: F = Anzahl der Dreiecke
Kantenanzahl: K = 3∗F+n2 +3∗F+n
2 − n = 3 ∗ F
Eulersche Polyedersatz: n + F − 3 ∗ F = 2
nur eine Seite des Polyeders interessant!n + 2 ∗ F − 3 ∗ F = 2 ⇒ n − F = 2⇒ F = n − 2
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Wie viele Dreiecke braucht man?
Gegeben: n = Anzahl der Ecken
Gesucht: F = Anzahl der Dreiecke
Kantenanzahl: K = 3∗F+n2 +3∗F+n
2 − n = 3 ∗ F
Eulersche Polyedersatz: n + F − 3 ∗ F = 2
nur eine Seite des Polyeders interessant!n + 2 ∗ F − 3 ∗ F = 2 ⇒ n − F = 2⇒ F = n − 2
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Wie viele Dreiecke braucht man?
Gegeben: n = Anzahl der Ecken
Gesucht: F = Anzahl der Dreiecke
Kantenanzahl: K = 3∗F+n2 +3∗F+n
2 − n = 3 ∗ F
Eulersche Polyedersatz: n + F − 3 ∗ F = 2
nur eine Seite des Polyeders interessant!n + 2 ∗ F − 3 ∗ F = 2 ⇒ n − F = 2⇒ F = n − 2
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Wie viele Dreiecke braucht man?
Gegeben: n = Anzahl der Ecken
Gesucht: F = Anzahl der Dreiecke
Kantenanzahl: K = 3∗F+n2 +3∗F+n
2 − n = 3 ∗ F
Eulersche Polyedersatz: n + F − 3 ∗ F = 2
nur eine Seite des Polyeders interessant!n + 2 ∗ F − 3 ∗ F = 2 ⇒ n − F = 2⇒ F = n − 2
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
MotivationWie viele Dreiecke braucht man?
Wie viele Dreiecke braucht man?
Gegeben: n = Anzahl der Ecken
Gesucht: F = Anzahl der Dreiecke
Kantenanzahl: K = 3∗F+n2 +3∗F+n
2 − n = 3 ∗ F
Eulersche Polyedersatz: n + F − 3 ∗ F = 2
nur eine Seite des Polyeders interessant!n + 2 ∗ F − 3 ∗ F = 2 ⇒ n − F = 2⇒ F = n − 2
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Konvexes Polygon
Umgebung jeder Ecke konvex(Gegenteil: konkav)
Linie schneidet Polygonmaximal 2×
trivialverbinden Punkt mit allennicht benachbarten PunktenO(n)
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Konvexes Polygon
Umgebung jeder Ecke konvex(Gegenteil: konkav)
Linie schneidet Polygonmaximal 2×
trivialverbinden Punkt mit allennicht benachbarten PunktenO(n)
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Konvexes Polygon
Umgebung jeder Ecke konvex(Gegenteil: konkav)
Linie schneidet Polygonmaximal 2×
trivialverbinden Punkt mit allennicht benachbarten PunktenO(n)
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Art Gallery Theorem
Konvexes Polygon
Umgebung jeder Ecke konvex(Gegenteil: konkav)
Linie schneidet Polygonmaximal 2×
trivialverbinden Punkt mit allennicht benachbarten PunktenO(n)
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Art Gallery Theorem
Konvexes Polygon
Umgebung jeder Ecke konvex(Gegenteil: konkav)
Linie schneidet Polygonmaximal 2×
trivialverbinden Punkt mit allennicht benachbarten PunktenO(n)
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Triangulation
Monotones Polygon
monoton zu einer Geraden, wenn alleSenkrechten der Geraden Polygonmax. 2× schneiden
2 Seiten sind monoton
y-monoton: monoton bezuglich dery-Achse
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Monotones Polygon
monoton zu einer Geraden, wenn alleSenkrechten der Geraden Polygonmax. 2× schneiden
2 Seiten sind monoton
y-monoton: monoton bezuglich dery-Achse
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Monotones Polygon
monoton zu einer Geraden, wenn alleSenkrechten der Geraden Polygonmax. 2× schneiden
2 Seiten sind monoton
y-monoton: monoton bezuglich dery-Achse
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Monotones Polygon
monoton zu einer Geraden, wenn alleSenkrechten der Geraden Polygonmax. 2× schneiden
2 Seiten sind monoton
y-monoton: monoton bezuglich dery-Achse
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Triangulation
Sweepline Algorithmus
in y-Richtung bei y-monotonen PolygonSortieren Punkte (Merge der Seiten) nach y (2. Kriterium x)→ u1, . . . , un
Stack S , der nicht bearbeiteten Punkte erstellen
Initialisierung mit u1 und u2
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Fur i=3 bis n
Wenn ui auf anderer Seite als S.top
Diagonale von ui zu Punkten in S bis auf Letzten
Entferne alle Punkte aus S
Lege ui-1 und ui auf S
Sonst
Solange S.top-1 nicht fur ui von S.top verdeckt wird
Erstelle Diagonale von ui nach S.top-1 und entferne S.top
Packe letzten Punkt und ui in S
Fuge Diagonalen von un zu Punkten in S bis auf
Ersten und Letzten ein
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
Triangulation
Laufzeit: O(n)
pro Punkt O(1 +herausgenommene Punkte)kein Punkt mehr als 2x zumStack hinzugefugt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Einfache Polygone
Polygon dessen Kanten sich nur in denEcken schneiden
5 Arten von Punkten:
Startpunkt
Endpunkt
Verbindungspunkt
Teilungspunkt
normalen Punkt
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Einfache Polygone
Polygon dessen Kanten sich nur in denEcken schneiden
5 Arten von Punkten:
Startpunkt
Endpunkt
Verbindungspunkt
Teilungspunkt
normalen Punkt
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AllgemeinKonvexes Polygon
Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Einfache Polygone
Polygon dessen Kanten sich nur in denEcken schneiden
5 Arten von Punkten:
Startpunkt
Endpunkt
Verbindungspunkt
Teilungspunkt
normalen Punkt
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Einfache Polygone
Polygon dessen Kanten sich nur in denEcken schneiden
5 Arten von Punkten:
Startpunkt
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Einfache Polygone
Polygon dessen Kanten sich nur in denEcken schneiden
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Triangulation
Abschneiden konvexer Ecken
Ecke darf keine weiteren Punkte enthalten: Ohr
Test:
ist konvexe Ecke?schneidet sie keine Kanten?
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Monotones PolygonEinfache Polygone
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Triangulation
Abschneiden konvexer Ecken
Ecke darf keine weiteren Punkte enthalten: Ohr
Test:
ist konvexe Ecke?schneidet sie keine Kanten?
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Triangulation
Abschneiden konvexer Ecken
Ecke darf keine weiteren Punkte enthalten: Ohr
Test:
ist konvexe Ecke?schneidet sie keine Kanten?
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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Monotones PolygonEinfache Polygone
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Wenn n > 3Fur jede potentielle Diagonale (i, i+2)Wenn Diagonale(i, i+2) ist
Entferne Ohr bei piWiederhole mit restlichem Polygon
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Eigenschaften
rekursive Funktion
bei jedem Aufruf suche nach erstem Ohr O(n2)
insgesamt O(n3)
Besserer Algorithmus: Algorithmus von Kong - O(n2)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Eigenschaften
rekursive Funktion
bei jedem Aufruf suche nach erstem Ohr O(n2)
insgesamt O(n3)
Besserer Algorithmus: Algorithmus von Kong - O(n2)
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
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Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
Sonst gehe eine Position weiter
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
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Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Algorithmus von Kong
Starte an Position 3Solange n > 3
Wenn Dreieck Ohr(i-2, i-1, i) istEntferne OhrSetze Position auf i-2
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Partitionierung von Polygonen
Algorithmen zur Triangulation zu langsam (Kong O(n2))
Unterteilung der Polygone in einfachere Polygone (konvexeund monotone Polygone)
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Partitionierung von Polygonen
Algorithmen zur Triangulation zu langsam (Kong O(n2))
Unterteilung der Polygone in einfachere Polygone (konvexeund monotone Polygone)
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Partitionierung von Polygonen
Algorithmen zur Triangulation zu langsam (Kong O(n2))
Unterteilung der Polygone in einfachere Polygone (konvexeund monotone Polygone)
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Partitionierung von Polygonen
Algorithmen zur Triangulation zu langsam (Kong O(n2))
Unterteilung der Polygone in einfachere Polygone (konvexeund monotone Polygone)
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Partitionierung von Polygonen
Algorithmen zur Triangulation zu langsam (Kong O(n2))
Unterteilung der Polygone in einfachere Polygone (konvexeund monotone Polygone)
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Verbinde Teilungspunkt mit geeigneten Punkt unterhalb
Verbinde Verbindungspunkte mit geeigneten Punkt oberhalb
Diagonalen durfen sich nicht uberschneiden
Verwenden Sweepline Algorithmus
Sortieren Punkte (auch uber Prioritatsliste moglich) undErstellen leeren binaren Baum T zum Speichern der KantenRufen fur Punkte entsprechende Funktion auf
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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AllgemeinKonvexes Polygon
Monotones PolygonEinfache Polygone
Art Gallery Theorem
TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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StartPunkt(pi)
Fuge ei in T ein
Setze helper(ei) auf pi
EndPunkt(pi)
Wenn helper(ei-1) ein Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Trennungspunkt(pi)
ej=Suche T nach Kante direkt links pi
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
Fuge ei in T
Setze helper(ei) auf pi
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
ej=Suche T nach Kanten direkt links pi
Wenn helper(ej) Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
ej=Suche T nach Kanten direkt links pi
Wenn helper(ej) Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
ej=Suche T nach Kanten direkt links pi
Wenn helper(ej) Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
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ej=Suche T nach Kanten direkt links pi
Wenn helper(ej) Verbindungsp.
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Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
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Wenn helper(ej) Verbindungsp.
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Verbindungspunkt(pi)
Wenn helper(ei) ist Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
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ej=Suche T nach Kanten direkt links pi
Wenn helper(ej) Verbindungsp.
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Normaler Punkt(pi)
Wenn Inneres von p rechts von pi und
helper(ei-1) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Fuge ei in T ein; setze helper(ei)=pi
sonst ej=Suche T nach Kante direkt links pi
wenn helper(ej) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Normaler Punkt(pi)
Wenn Inneres von p rechts von pi und
helper(ei-1) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Fuge ei in T ein; setze helper(ei)=pi
sonst ej=Suche T nach Kante direkt links pi
wenn helper(ej) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Normaler Punkt(pi)
Wenn Inneres von p rechts von pi und
helper(ei-1) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Fuge ei in T ein; setze helper(ei)=pi
sonst ej=Suche T nach Kante direkt links pi
wenn helper(ej) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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Normaler Punkt(pi)
Wenn Inneres von p rechts von pi und
helper(ei-1) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Fuge ei in T ein; setze helper(ei)=pi
sonst ej=Suche T nach Kante direkt links pi
wenn helper(ej) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ej)
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TriangulationAlgorithmus von KongPartitionierung von Polygonen
Normaler Punkt(pi)
Wenn Inneres von p rechts von pi und
helper(ei-1) ist Verbindungspunkt
Erstelle Diagonale pi-helper(ei-1)
Losche ei-1 aus T
Fuge ei in T ein; setze helper(ei)=pi
sonst ej=Suche T nach Kante direkt links pi
wenn helper(ej) ist Verbindungspunkt
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Art Gallery Theorem
Raum einer Kunstgalerie der als Polygon wiedergegebenwerden kann
Wie viele Wachter/Kameras benotigt man?
Wachter:
fixiert360◦ Sicht
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Art Gallery Theorem
Raum einer Kunstgalerie der als Polygon wiedergegebenwerden kann
Wie viele Wachter/Kameras benotigt man?
Wachter:
fixiert360◦ Sicht
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
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Raum einer Kunstgalerie der als Polygon wiedergegebenwerden kann
Wie viele Wachter/Kameras benotigt man?
Wachter:
fixiert360◦ Sicht
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
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Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Jeder Wachter kann mindestens ein Dreieck bewachen:
Einfaches Polygon – n-2 Wachternur eine obere GrenzeVerringerung durch Platzierung an geeigneten Ecken
Wachter kann mindestens ein konvexes Polygon bewachen
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Finden der Ecken
Farben der Eckpunkte
Jede Kante hat 2 verschieden gefarbte Eckpunkte
3 Farben notwendig (schwarz, weiß, grau)
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Auswahl der Ecken
Auswahl einer Farbejedes Dreieck wird bewacht
Auswahl der Farbe mit den wenigsten PunktenFarbe mit den meisten Schnittpunktenjedes Dreieck wird bewachtim Beispiel:
8 Schwarze8 Weiße10 Graue
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Finden der EckenAuswahl der Ecken
Auswahl der Ecken
Auswahl einer Farbejedes Dreieck wird bewacht
Auswahl der Farbe mit den wenigsten PunktenFarbe mit den meisten Schnittpunktenjedes Dreieck wird bewachtim Beispiel:
8 Schwarze8 Weiße10 Graue
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Quellenangabe
Joseph O’Rourke: Computational Geometry in C, CambridgeUniversity Press, 1994
http://wwwmath.uni-muenster.de/u/jacobm/Lehre/AlGeo/
http://www-gs.informatik.tu-cottbus.de/
http://www.cs.berkeley.edu/~jrs/mesh/
http://www.mema.ucl.ac.be/~wu/FSA2716-2002/project.html
http://de.wikipedia.org/
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Fragen?
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