trigo no me tria
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Capítulo 7
Trigonometria
7.1 IntroduçãoO número π
Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número π é de�nido como a razão do comprimento Cda circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é,
π =C
d=
C
2r(7.1)
O comprimento de uma circunferênciaPela de�nição do número π na equação (7.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por
C = π d = 2 π r (7.2)
Medida de ângulosExistem 2 unidades usuais1 para a medida de ângulos.
• Grau: 1 grau, denotado 1o, é um ângulo correspondente a 1360 de uma volta completa da circunferência.
Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 7.1(a).
• Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento doraio da circunferência - Figura 7.1(b).
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.................................................................................................
.....................................
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................q 0o ou 360o
q90o
q180o
q270o
(a) A de�nição de grau
............
.................................................................................................
.....................................
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................
.....................................
....
.............
.............
......................................................................................................
..........................
q
q
.............
............................................
.......
r
s = r
1 rad
(b) A de�nição de radiano
Figura 7.1: Medidas de ângulo
1Uma outra medida, menos usual, para ângulos é o grado. 1 grado corresponde a 1400
de uma volta completa da circunferência.
24
O comprimentro de um arcoEm uma circunferência de raio r, seja θ um ângulo qualquer, medido em radianos, e s o arco correspondente -Figura 7.2(a). O valor s do comprimento do arco é obtido por uma regra de 3 simples
1 radr
=θ rad
s∴ s = r θ
Conversão grau-radianoDeterminamos o valor do ângulo, em radianos, para uma volta completa na circunferência por uma regra de 3simples
1 radr
=x rad2 π r
∴ x = 2 π
Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um ângulo de medida 2 π radianos - Figura 7.2(b).
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.....................................
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................
.........................................................................................................................................................................................
.............
..................................................................................................................
.............................................
.............................................................................................................................................................................................q
q........................................................
.........................................................................................
r
s = r θ
θ rad
(a) O comprimento de umarco
............
.................................................................................................
.....................................
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................q 0o = 0 rad ou 360o = 2 π rad
q90o = π2 rad
q 180o = π rad
q270o = 3π
2 rad
θ
(b) Conversão grau-radiano
Figura 7.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Dado um ângulo θ em graus, sua medida x em radianos é obtida por uma regra de 3 simples
π rad180o
=x rad
θo∴ x =
θ
180π rad
Exemplo 7.1 Determine a medida do ângulo 155o em radianos.
π rad180o
=x rad155o
∴ x =155180
π =3135
π rad
Exemplo 7.2 Determine a medida do ângulo 34π rad em graus.
π rad180o
=34π rad
x∴ x =
34π
180π
= 135o
Classi�cação de triângulosTriângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classi�cá-los de duas maneiras:
• quanto aos tamanhos dos lados:
� equilátero - 3 lados de mesmo comprimento,� isóceles - 2 lados de mesmo comprimento,� escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes;
• quanto às medidas dos ângulos:
25
� acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus),� retângulo - 1 ângulo reto (90o graus),� obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus).
7.2 Triângulo retângulo7.2.1 Teorema de PitágorasEm um triângulo retângulo, Figura 7.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o ladooposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionadospelo Teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2. (7.3)
©©©©©©©©©
b
ca
(a) Um triângulo retângulo.
©©©©©©©
AAAAAAA
©©©©©©©AAAAAAA
c
c
c
c
b
b
b
b aa
a
a
(b) O Teorema de Pitágo-ras.
Figura 7.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 7.3(b): a área doquadrado externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é:
a2 + 4bc
2= (b + c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc + c2 ∴ a2 = b2 + c2.
7.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retânguloPara cada ângulo agudo de um triângulo retângulo de�ne-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno,cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
• seno = cateto opostohipotenusa
• cosseno = cateto adjacentehipotenusa
• tangente = cateto opostocateto adjacente
• cotangente = cateto adjacentecateto oposto
• secante = hipotenusacateto adjacente
• cossecante = hipotenusacateto oposto
A Figura 7.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveisNa Figura 7.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricaspara o ângulo de 45o obtido:
cos(45o) =a
a√
2=
1√2
=√
22
, sen(45o) =a
a√
2=
1√2
=√
22
, tg(45o) =a
a= 1.
26
©©©©©©©©©©
..............
..................................
.............................................................
b
ca
α
β
cossecante:
secante:
cotangente:
tangente:
cosseno:
seno:
csc(α) = ac
sec(α) = ab
ctg(α) = bc
tg(α) = cb
cos(α) = ba
sen(α) = ca
csc(β) = ab
sec(β) = ac
ctg(β) = cb
tg(β) = bc
cos(β) = ca
sen(β) = ba
Figura 7.4: As razões trigonométricas.
Na Figura 7.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razõestrigonométricas para os ângulos de 30o e 60o obtidos:
cos(30o) =a√
3/2a
=√
32
, sen(30o) =a/2a
=12
, tg(30o) =a/2
a√
3/2=
1√3
=√
33
.
cos(60o) =a/2a
=12
, sen(60o) =a√
3/2a
=√
32
, tg(60o) =a√
3/2a/2
=√
3.
A tabela 7.1 resume estes resutados.
ângulo 30o 45o 60o
sen 12
√2
2
√3
2
cos√
32
√2
212
tg√
33
1√
3
Tabela 7.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o, 45o e 60o.
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡
¡¡¡
a
aa√
2
..............
.......................................... 45o
(a) Ângulo de 45o.
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
AA
AA
AA
AA
AAA
a a√
32
a/2 a/2
c
..............
.......................................... 60o
...................................................
30o
(b) Ângulos de 30o e 60o.
Figura 7.5: Ângulos notáveis.
27
7.3 Algumas identidades trigonométricasNa Figura 7.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades:
tg(α) =c
b=
a sen(α)a cos(α)
∴ tg(α) =sen(α)cos(α)
(7.4a)
cotg(α) =b
c=
a cos(α)a sen(α)
∴ cotg(α) =cos(α)sen(α)
(7.4b)
sec(α) =a
b=
a
a cos(α)∴ sec(α) =
1cos(α)
(7.4c)
csc(α) =a
c=
a
a sen(α)∴ csc(α) =
1sen(α)
(7.4d)
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2(α) + a2 sen2(α) = a2 ∴ a2[cos2(α) + sen2(α)
]= a2
dondecos2(α) + sen2(α) = 1 (7.4e)
A identidade (7.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno dequalquer ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantesidentidades:
cos2(α) + sen2(α)cos2(α)
=1
cos2(α)∴ 1 +
sen2(α)cos2(α)
=1
cos2(α)∴ 1 + tg2(α) = sec2(α) (7.4f)
cos2(α) + sen2(α)sen2(α)
=1
sen2(α)∴ cos2(α)
sen2(α)+ 1 =
1sen2(α)
∴ cotg2(α) + 1 = csc2(α) (7.4g)
Exemplo 7.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 15 . Determine as outras razões trigonométricas
para θ.Da identidade fundamental obtemos
(15
)2
+ sen2(θ) = 1 ∴ sen2(θ) = 1− 125
∴ sen(θ) =
√2425
=2√
65
.
Logo:
• pela identidade (7.4a): tg(θ) = 2√
6/51/5 = 2
√6
551 = 2
√6;
• pela identidade (7.4b): cotg(θ) = 1/5
2√
6/5= 1
55
2√
6=
√6
12 ;
• pela identidade (7.4c): sec(θ) = 11/5 = 5;
• pela identidade (7.4d): csc(θ) = 12√
6/5= 5
2√
6.
7.4 Triângulos quaisquer7.4.1 A Lei dos CossenosVimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Paratriângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 7.6).
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo α pode ser obtida a partir da Figura 7.7. No triânguloretângulo da esquerda temos
cos(γ) =x
a∴ x = acos(γ) (7.5a)
28
@@
@@©©©©©©©©
a
b
c
Para o ângulo γ: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Para o ângulo β: b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)
Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
.............
............................
γ
.............................................................
β
...............................................
α
Figura 7.6: A Lei dos Cossenos.
a2 = x2 + H2 ∴ H2 = a2 − x2. (7.5b)No triângulo retângulo da direita temos
c2 = H2 + (b− x)2 = H2 + b2 − 2bx + x2 (7.5c)
Substituindo (7.5a) e (7.5b) em (7.5c) obtemos
c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
@@
@@©©©©©©©©
a
b
c
x
H
.............
............................γ
Figura 7.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
7.4.2 A Lei dos SenosOutra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura7.8), cuja demonstração �ca a cargo do leitor (Problema Teórico 7.1).
@@
@@@©©©©©©©©
a
b
csen(β)
b = sen(α)a = sen(γ)
c
.............
............................
γ
.............................................................
β
...............................................
α
Figura 7.8: A Lei dos Senos.
7.5 Círculo Trigonométrico e Funções CircularesCírculo trigonométrico é o circulo2 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 7.9(a).
No triângulo OPQ da Figura 7.9(b) (lembrando que OP = 1 ) observamos que
cos(θ) = OQ/OP = x/1 = x e sen(θ) = PQ/OP = OR/OP = y/1 = y,
2Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizadona literatura e vamos mantê-lo.
29
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...................................................................
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......................................................................................................................................................q-
x
6y
(1, 0)
(a) O circulo trigonométrico
............
.................................................................................................
.....................................
...................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.....................................
-
6
¡¡
¡¡
qO
qP (x, y)
qR
θ
(b) Seno e cosseno
Figura 7.9: O seno e o cosseno no círculo trigonométrico
de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P são dadas por
P = (x, y) =(
cos(θ), sen(θ))
.
Raciocinando no sentido inverso, seja P (x, y) um ponto qualquer sobre o círculo unitário e θ o ângulocorrespondente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas. De�nimos o cossenodeste ângulo como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P . Esta de�nição do seno ecosseno no círculo trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dadospor qualquer número real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos. A Figura7.10 ilustra este raciocínio para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes.
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...........................................
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................................................................................................................................................................................................
............................................
.........................................................................................
-
6
@@
@@
qO
qP (x, y)
qRθ
(a) Ângulo no 2o quadrante
............
.............
.....................................................................................................
...........................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
............................................
.........................................................................................................................................................................................
-
6
¡¡
¡¡
qO
qP (x, y)
qR
θ
(b) Ângulo no 3o quadrante
............
..................................................................................................................
...........................................
....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
............................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
-
6
@@
@@
qO
qP (x, y)
qR
θ
(c) Ângulo no 4o quadrante
Figura 7.10: cos(θ) = OQ = x e sen(θ) = OR = y.
Sinal do seno e cosseno• se 0 < θ < π
2 então sen(θ) > 0 e cos(θ) > 0 - Figura 7.9(b);
• se π2 < θ < π então sen(θ) > 0 e cos(θ) < 0 - Figura 7.10(a);
• se π < θ < 3π2 então sen(θ) < 0 e cos(θ) < 0 - Figura 7.10(b);
• se 3π2 < θ < 2π então sen(θ) < 0 e cos(θ) > 0 - Figura 7.10(c).
30
7.5.1 As funções circularesA função senoSeja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seuseno, denotado sen(x). De�nimos então a função f(x) = sen(x), cujo grá�co, chamado senóide, é mostrado naFigura 7.11.
A Figura 7.11 exibe duas propriedades importantes da função sen(x):
• é periódica de período T = 2π; isto signi�ca que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é,∀x ∈ R temos que sen(x) = sen(x + 2π);
• é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1.
-
6
0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... x
sen(x)
1
-1
Figura 7.11: Senóide sen(x)
A função cossenoDe modo análogo ao seno, seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamosum único valor para seu cosseno, denotado cos(x). De�nimos então a função f(x) = cos(x), cujo grá�co émostrado na Figura 7.12.
A Figura 7.12 exibe duas propriedades importantes da função cos(x):
• é periódica de período T = 2π; isto signi�ca que suas imagens se repetem de 2π em 2π radianos, isto é,∀x ∈ R temos que cos(x) = cos(x + 2π);
• é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
-
6
0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................... x
cos(x)
1
-1
Figura 7.12: Senóide cos(x)
31
7.6 Mais identidades trigonométricasSimetriasAs identidades de simetria estabelecem o efeito da substituição de α por −α. Pela Figura 7.13 temos
-
6
.............
.............
...................................................................................................................
.........................................
........................................................................................
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................@
@@
@@
.......................................
¡¡
¡¡¡
qO
qR
qS
α
−α
sen(α) = −sen(−α)
cos(α) = cos(−α)
tg(α) = −tg(−α)
Figura 7.13: Simetrias do seno, cosseno e tangente.
sen(α) = QR = −QS = −sen(−α) ∴ sen(α) = −sen(−α). (7.6a)cos(α) = OQ = cos(−α) ∴ cos(α) = cos(−α). (7.6b)
Estas identidades também podem ser facilmente observadas nas Figuras 7.11 e 7.12 respectivamente. Finalmente
tg(α) =sen(α)cos(α)
=−sen(−α)cos(−α)
= −tg(−α) ∴ tg(α) = −tg(−α). (7.6c)
Deslocamentos (translações) horizontais
-
6
.............
.............
..........................................................................................................................................................................
......................................
...............................................
......................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .........................................................
................................................................
q
.............
..........
q
qO
qP
qR
qS
α
α− π2
(a) Ângulos α e α− π2
-
6
.............
.............
..........................................................................................................................................................................
......................................
...............................................
......................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .........................................................
................................................................
q
.............
..........
q
qO
qP
qR
qS
α + π2
α
(b) Ângulos α e α + π2
Figura 7.14: Ângulos deslocados (transladados).
As identidades de translação estabelecem o efeito da substituição de α por α − π2 e de α por α + π
2 . Pelacongruência dos triângulos da Figura 7.14(a) observamos que
OR = OQ ∴ sen(α) = cos
(α− π
2
), (7.6d)
eOP = −OS ∴ cos(α) = −sen
(α− π
2
). (7.6e)
32
De modo análogo, pela Figura 7.14(b) observamos que
OQ = OR ∴ cos(α) = sen
(α +
π
2
). (7.6f)
eOS = −OP ∴ sen(α) = −cos
(α− π
2
). (7.6g)
Cosseno da diferençaIniciamos deduzindo a fórmula do cosseno da diferença. Calculando o quadrado da distância entre os pontos Pe Q da Figura 7.15 temos:
PQ2
=[cos(α)− cos(β)
]2 +[sen(α)− sen(β)
]2
= cos2(α)− 2cos(α)cos(β) + cos2(β) + sen2(α)− 2sen(α)sen(β) + sen2(β)= cos2(α) + sen2(α) + cos2(β) + sen2(β)− 2cos(α)cos(β)− 2sen(α)sen(β)= 1 + 1− 2cos(α)cos(β)− 2sen(α)sen(β)= 2− 2
[cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
]
-
6
O..........................................................................................................................................................................................................................................
...................................
......................................
..............................................
...............................................................
.....................................................................................................
................................................................. α
............
..............................
β...........................................................
...................................................
..α− β
qP =�cos(β), sen(β)
�
qQ =�cos(α), sen(α)
�
Figura 7.15: O cosseno da diferença: cos(α− β)
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo OPQ da Figura 7.15 temos:
PQ2
= OP2
+ OQ2 − 2 OP OQ cos(α− β)
= 1 + 1− 2cos(α− β)= 2− 2cos(α− β)
Igualando os resultados obtidos para PQ2 obtemos o cosseno da diferença
cos(α− β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β)
Cosseno da somaO cosseno da soma pode agora ser obtido usando um artifício algébrico engenhoso - substituímos a soma poruma diferença e aplicamos o cosseno da diferença
cos(α + β) = cos[α− (−β)
]= cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β)
e então aplicamos as identidades (7.6a) e (7.6b) para obtermos o cosseno da soma
cos(α + β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)
33
Seno da diferençaPara obtermos o seno da diferença, inicialmente usamos a identidade (7.6d) para escrever
sen(α− β) = cos
(α− β − π
2
)= cos
[α−
(β +
π
2
)]
e a seguir aplicamos o cosseno da diferença no membro direito
sen(α− β) = cos(α)cos(
β +π
2
)+ sen(α)sen
(β +
π
2
).
Mas, pelo cosseno da soma
cos
(β +
π
2
)= cos(β)cos
(π
2
)− sen(β)sen
(π
2
)= −sen(β)
e pela identidade (7.6f)sen
(β +
π
2
)= cos(β).
Assim o seno da diferença é dado por
sen(α− β) = sen(α)cos(β)− cos(α)sen(β)
Seno da somaO seno da soma pode ser obtido pelo mesmo artifício aplicado na dedução do cosseno da soma - substituímos asoma por uma diferença e aplicamos o seno da diferença
sen(α + β) = sen[α− (−β)
]= sen(α)cos(−β)− cos(α)sen(−β)
e então aplicamos as identidades (7.6a) e (7.6b) para obtermos o seno da soma
sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)
Sumário das fórmulas da soma e diferençaSumarizamos aqui os resultados obtidos:
cos(α− β) = cos(α)cos(β) + sen(α)sen(β) (7.6h)
cos(α + β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β) (7.6i)sen(α− β) = sen(α)cos(β)− cos(α)sen(β) (7.6j)sen(α + β) = sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β) (7.6k)
7.7 Redução ao Primeiro QuadranteOs eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quadrantes:
• 1o quadrante: 0 < θ < π2 ;
• 2o quadrante: π2 < θ < π;
• 3o quadrante: π < θ < 3π2 ;
• 4o quadrante: 3π2 < θ < 2π.
Dado um ângulo θ, reduzi-lo ao primeiro quadrante consiste em determinar um ângulo no primeiro quadranteque possua as mesmas razões trigonométricas de θ, a menos de um sinal. Devemos considerar 3 casos.
34
-
6
.............
.............
...................................................................................................................
.........................................
........................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
............................................................
.......................................................................................................
@@
@@@
.......................................
¡¡
¡¡¡
qO
qP
qRθ π − θ
(a) Do 2o ao 1o quadrante
-
6
.............
.............
...................................................................................................................
.........................................
........................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
............................................................
...........................................................................................................................................................................................................................
¡¡
¡¡¡
.......................................
¡¡
¡¡¡
qO
qP qQ
qR
qSθ
θ − π
(b) Do 3o ao 1o quadrante
-
6
.............
.............
...................................................................................................................
.........................................
........................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................
............................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
................@
@@
@@
.......................................
¡¡
¡¡¡
qO
qR
qS θ
2π − θ
(c) Do 4o ao 1o quadrante
Figura 7.16: Redução ao primeiro quadrante.
Redução do segundo ao primeiro quadranteNa Figura 7.16(a) observamos que se π
2 < θ < π então sua redução ao primeiro quadrante é π − θ. Temos que
• sen(θ) = OR = sen(π − θ)
• cos(θ) = OP = −OQ = −cos(π − θ)
Conseqüentemente
• tg(θ) = −tg(π − θ)
• ctg(θ) = −cotg(π − θ)
• sec(θ) = −sec(π − θ)
• csc(θ) = csc(π − θ)
Exemplo 7.4 O ângulo 5π6 está no segundo quadrante, pois π
2 < 5π6 < π. Assim sua redução ao primeiro
quadrante é π − 5π6 = π
6 . Logo
sen
(5π
6
)= sen
(π
6
)=
12
e cos
(5π
6
)= −cos
(π
6
)= −
√3
2
Redução do terceiro ao primeiro quadranteNa Figura 7.16(b) observamos que se π < θ < 3π
2 então sua redução ao primeiro quadrante é θ− π. Temos que
• sen(θ) = OS = −OR = −sen(θ − π)
• cos(θ) = OP = −OQ = −cos(θ − π)
Conseqüentemente
• tg(θ) = tg(θ − π)
• ctg(θ) = cotg(θ − π)
• sec(θ) = −sec(θ − π)
• csc(θ) = −csc(θ − π)
Exemplo 7.5 O ângulo 5π4 está no terceiro quadrante, pois π < 5π
4 < 3π2 . Assim sua redução ao primeiro
quadrante é 5π4 − π = π
4 . Logo
sen
(5π
4
)= −sen
(π
4
)= −
√2
2e cos
(5π
4
)= −cos
(π
4
)= −
√2
2
35
Redução do quarto ao primeiro quadranteNa Figura 7.16(c) observamos que se 3π
2 < θ < 2π então sua redução ao primeiro quadrante é 2π − θ. Temosque
• sen(θ) = OS = −OR = −sen(2π − θ)
• cos(θ) = OQ = cos(2π − θ)
Conseqüentemente
• tg(θ) = −tg(2π − θ)
• ctg(θ) = −cotg(2π − θ)
• sec(θ) = sec(2π − θ)
• csc(θ) = −csc(2π − θ)
Exemplo 7.6 O ângulo 5π3 está no quarto quadrante, pois 3π
2 < 5π3 < 2π. Assim sua redução ao primeiro
quadrante é 2π − 5π3 = π
3 . Logo
sen
(5π
3
)= −sen
(π
3
)= −
√3
2e cos
(5π
3
)= cos
(π
3
)=
12
7.8 Equações trigonométricasUma equação trigonométrica é aquela que envolve as funções trigonométricas - seno, cosseno, tangente,cotangente, secante, cossecante - e suas respectivas inversas. Resolver uma equação trigonométrica signi�caencontrar os valores do ângulo que a veri�ca. Para este propósito a Tabela 7.2, que nos dá os valores do seno,cosseno e tangente dos ângulos notáveis do 1o quadrante, será de grande auxílio.
θ sen(θ) cos(θ) tg(θ)0 0 1 0π6
12
√3
2
√3
3π4
√2
2
√2
2 1π3
√3
212
√3
π2 1 0 6 ∃
Tabela 7.2: Seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do 1o quadrante
A Tabela 7.2 nos fornece os valores de seno, cosseno e tangente apenas para os ângulos notáveis do 1o
quadrante. A Figura 7.17 mostra os ângulos nos segundo, terceiro e quarto quadrantes redutíveis aos notáveisdo primeiro quadrante.
Exemplo 7.7 Resolver a equação sen(x) = 0.Solução: pela Tabela 7.2 temos que x = 0. Observando a Figura 7.17 temos que x = π também é uma solução
da equação dada. Além disto, qualquer arco côngruo a estes também são soluções, de modo que a solução geralé da forma
x = kπ, k ∈ Z.
Exemplo 7.8 Resolver a equação sen(x) = cos(x).Solução: pela Tabela 7.2 temos que x = π
4 . Observando a Figura 7.17 temos que x = 5π4 (simétrico de π
4 emrelação à origem) também é uma solução da equação dada. Além disto, qualquer arco côngruo a estes tambémsão soluções, de modo que a solução geral pode ser dada como
x =π
4+ kπ , k ∈ Z.
36
-
6.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................
............................................
...........................................................
.....................................................................................
0
π2
π
3π2
q π6
q π4
qπ3q2π3
q3π4
q5π6
q7π6 q
5π4 q
4π3
q5π3
q7π4
q11π6
Figura 7.17: Ângulos redutíveis aos notáveis
Exemplo 7.9 Resolver a equação 2cos(x)− 1 = 0.Solução: temos que cos(x) = 1
2 , e pela Tabela 7.2 temos que x = π3 . Observando a Figura 7.17 observamos
que x = 5π3 = −π
3 (simétrico de π3 em relação ao eixo horizontal) também é uma solução da equação dada. Além
disto, qualquer arco côngruo a estes também são soluções, de modo que a solução geral pode ser dada como
x = 2kπ ± π
3, k ∈ Z.
7.9 Problemas PropostosProblema 7.1 [Mack-SP] A medida de um ângulo é 225o. Determine sua medida em radianos.
Problema 7.2 [Fuvest-SP] Qual o valor do ângulo agudo formado pelos ponteiros de um relógio à 1 hora e 12minutos.
Problema 7.3 [UF-PA] Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos?
Problema 7.4 A altura de um triângulo equilátero mede 2 cm. Determine seu perímetro e sua área.
Problema 7.5 A diagonal de um quadrado mede 3√
6 cm. Determine seu perímetro e sua área.
Problema 7.6 [PUC-SP] Se a altura de um trapézio isóceles medir 8 dm e suas bases medirem, respectivamente,27 dm e 15 dm, determine a medida de suas diagonais.
Problema 7.7 No triângulo dado determine as medidas x e y.
@@
@@©©©©©©©©
a = 5
b = 6
c =√
13
x y
Problema 7.8 No triângulo dado sabe-se que c = 5, y = 3 e lado de comprimento a é perpendicular ao ladode comprimento c. Determine a e x.
37
AAAA©©©©©©©©
ac
x y
Problema 7.9 Em um triângulo retângulo um dos catetos mede 5 e sua projeção sobre a hipotenusa mede 4.Determine:
(a) o comprimento do outro cateto;
(b) o comprimento da hipotenusa;
(c) seu perímetro;
(d) sua área.
Problema 7.10 Em um triângulo a hipotenusa mede 10 e a razão entre os comprimentos dos catetos é 34 .
Determine os comprimentos das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Problema 7.11 [PUC-SP] O perímetro de um losângo mede 20 cm e uma de sua diagonais mede 8 cm. Quantomede a outra diagonal?
Problema 7.12 Num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm e a projeção de um doscatetos sobre a hipotenusa mede 16 cm. Determine o comprimento dos catetos deste triângulo.
Problema 7.13 Determine o perímetro e a área do triângulo dado.
@@
@@©©©©©©©©
3
3√
2
45o
...............................................
Problema 7.14 Os lados de um triângulo medem a =√
2, b = 2 e c = 1 +√
3. Determine as medidas de seusângulos.
Problema 7.15 Um triângulo tem seus vértices nos pontos A, B e C. Sabe-se que AC = 3 e BC = 4.
(a) Sabendo-se que AB = 7 e α é o ângulo oposto ao lado BC, determine cos(α);
(b) É possível que o ângulo oposto ao lado AC seja de 60o? Explique.
Problema 7.16 Um terreno têm a forma de um paralelogramo cujos lados medem 40 m e um dos ângulointernos mede 120o. Seu proprietário irá cercá-lo e também dividi-lo ao meio com uma cerca com 3 �os dearame. Determine a quantidade de arame a ser utilizada.
Problema 7.17 [ITA-SP] Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo internodeste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as seguintes relações: 3a = 7c e3b = 8c.
Problema 7.18 [ITA-SP] Num losângo ABCD a soma das medidas dos ângulos obtusos é o triplo da somadas medidas dos ângulos agudos. Se sua diagonal menor mede d, determine sua aresta.
Problema 7.19 [Universidade Gama Filho - RJ] Calcular os valores de k que veri�cam simultaneamente asigualdades: sen(θ) = k − 1 e cos(θ) =
√3− k2.
Problema 7.20 Para cada razão trigonométrica dada utilize as identidades da Seção 7.3 para determinar asoutras cinco.
38
(a) sen(α) = 35
(b) cos(β) = 17
(c) tg(γ) = 4
(d) cotg(δ) = 3
(e) cos(ε) = 35
(f) tg(θ) = 12
(g) csc(φ) = 2
(h) sec(σ) = 3
Problema 7.21 Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60o, o topo de uma torre na margemoposta. Quando ela se afasta 40 m perpendicularmente à margem do rio, esse ângulo é de 30o.
(a) Qual a largura do rio? (b) Qual a altura da torre?
Problema 7.22 Veri�que a veracidade das igualdades a seguir.
(a) sen(α)1+cos(α) + 1+cos(α)
sen(α) = 2csc(α)
(b) 2−sen2(β)cos2(β) − tg2(β) = 2
(c) 2tg(γ)1+tg(γ)
= 2sen(γ)cos(γ)
(d) sec(θ)+sen(θ)csc(θ)+cos(θ) = tg(θ)
(e) sec2(φ)csc2(φ) = tg2(φ) + cotg2(φ) + 2
(f)[tg(σ)− sen(σ)
]2 +[1− cos(σ)
]2 =[sec(σ)− 1
]2
Problema 7.23 Explique por quê as igualdades dadas são inválidas.
(a) sen(α) = 3 (b) cos(α) = 5 (c) sec(α) = 12 (d) csc(α) = 3
4
Problema 7.24 Dois ângulos α e β são ditos complementares se α+β = π2 . Use a Figura 7.4 para se convencer
dos seguintes fatos:
(a) o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complementar;
(b) o cosseno de um ângulo é igual ao seno de seu complementar;
(c) a tangente de um ângulo é igual à cotangente de seu complementar;
(d) a cotangente de um ângulo é igual à tangente de seu complementar;
(e) a secante de um ângulo é igual à cossecante de seu complementar;
(f) a cossecante de um ângulo é igual à secante de seu complementar.
Problema 7.25 Os lados de um paralelogramo medem a e b e suas diagonais x e y. Mostre que
x2 + y2 = 2(a2 + b2).
Problema 7.26 [Cescem-SP] Em quais quadrantes estão os ângulos α, β e γ tais que: sen(α) < 0 e cos(α) < 0;cos(β) < 0 e tg(β) < 0; sen(γ) > 0 e cotg(γ) > 0, respectivamente.
Problema 7.27 [FECAP-SP] Determine o valor da expressão: sen(π/4) + cos(π/4) + cos(π/2 + π/4).
Problema 7.28 [Santa Casa-SP] Seja a função f, de R em R de�nida por f(x) = 1 + 4sen(x). Determine ointervalo do conjunto imagem dessa função.
Problema 7.29 [UFP-RS] Qual o intervalo do conjunto imagem da função f, R em R de�nida por f(x) =2sen(x)− 3.
Problema 7.30 [F.C. Chagas-BA] Para quais valores de a as sentenças sen(x) = a e cos(x) = 2√
a − 1 sãoverdadeiras para todo x real.
39
Problema 7.31 [Univ. Gama Filho-RJ] Calcular os valores de k que veri�cam simultaneamemnte as igual-dades: sen(x) = k − 1 e cos(x) =
√3− k2
Problema 7.32 [UF São Carlos-SP] Calcule o valor da expressão: 2−sen2(x)cos2(x) − tg2(x).
Problema 7.33 [FGV-RJ] Determine a funçaõ trigonométrica equivalente a sec(x)+sen(x)cossec(x)+cos(x) .
Problema 7.34 [PUC-RS] Determine a igualdade da expressão: sen(x)1+cos(x) + 1+cos(x
sen(x) .
Problema 7.35 [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 35 e encontra-se no
segundo quadrante. Calcule o valor da tangente deste ângulo.
Problema 7.36 [Edson Queiroz-CE] Sabendo que sec(x) = 3 e tg(x) < 0, calcule sen(x).
Problema 7.37 [ITA-SP] Calcule o valor da expressão y = 2tan(x)1−tan2(x) quando cos(x) = −3
7 e tan(x) < 0.
Problema 7.38 [PUC-RS] Sendo tg(x) = −√77 e π
2 < x < π, calcule sen(x).
Problema 7.39 [PUC-SP] Quais os valores de x satisfazem a equação cos(3x− π5 ) = 0.
Problema 7.40 [Cescea-SP] Determine a soma das raízes da equação 1− 4cos2(x) = 0 compreendidas entre 0e π.
Problema 7.41 [AMAN-RJ] Determine os valores de x que satisfazem a equação 3cos(2x) = 1.
Problema 7.42 [FC Chagas-BA] Determine o número de soluções da equação cos(2x) = − 12 , no intervalo
[−π, π].
Problema 7.43 [Mack-SP] Determine os valores de x para que sen(x) = sen(x + π), no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
Problema 7.44 [Osec-SP] Determine o conjunto solução da equação cos(x) = cos(π3 − x), sendo 0 < x < 2π.
Problema 7.45 [UF Uberlândia-MG] Determine o conjunto solução da equação tg(x + 1)√
3cotg(x)− 1 = 0no intervalo [0, π].
Problema 7.46 [Fac. Belas Artes-SP] Determine os valores de x na equação tg(x) + cotg(x) = 2.
Problema 7.47 [Mack-SP] Determine os valores de x na equação sen2(x) = 1+cos(x)2 , no intervalo [0, 2π].
Problema 7.48 [Metodista-S.B. do Campo-SP] Determine os valores de x na equação sec2(x) + 2tg2(x) = 2no intervalo[0, 2π].
Problema 7.49 [Cesgranrio-RJ] Determine as raizes da equação cos2(x)− sen2(π − x) = 12 no intervalo [0, π].
Problema 7.50 [Cesgranrio-RJ] Determine a soma das quatro raizes da equação sen2(x) + sen(−x) = 0, nointervalo [0, 2π].
Problema 7.51 [CESESP-PE] Determine o conjunto solução da equação 11+sen(x) + 1
1−sen(x) = 1cos2(x) .
Problema 7.52 [Mack-SP] Determine a expressão geral dos arcos x para os quais 2[cos(x) + sec(x)
]= 5.
Problema 7.53 [FGV-RJ] Determine a solução da equação: 3[1− cos(x)
]= sen2(x).
Problema 7.54 [FGV-SP] Determine a soma das raízes da equação
sen3(x)− 3sen2(x)cos(x) + 3sen(x).cos2(x)− cos3(x) = 0
no intervalo [0, 2π].
40
Problema 7.55 [Mack-SP] Sendo sen(x) = 1213 e sen(y) = 4
5 , 0 < x, y < π2 , determine sen(x− y).
Problema 7.56 [FEI-SP] Se cos(x) = 35 , calcule sen(x− π
2 ).
Problema 7.57 [F . S . Judas-SP] Se sen(x) =√
22 e x um arco do segundo quadrante, então calcule
sen(x− π
2)cos(x− π
2).
Problema 7.58 [UC-MG] Prove que 2tg(x)1+tg2(x) é idêntica a sen(2x).
Problema 7.59 [UF-GO] Se sen(x) =√
36 , calcule cos(2x).
Problema 7.60 [F. S. Judas-SP] Se sen(x) = 23 e x um arco do primeiro quadrante, então calcule sen(2x).
Problema 7.61 [UCP-PR] Sabendo que cos(36o) = 1+√
54 , calcule cos(72o).
Problema 7.62 [AMAN-RJ] Determine os valores de x que satisfazem a inequação: cos(5x) ≤ 12 .
Problema 7.63 [FGV-SP] Determine a solução da inequação√
2.cos2(x) > cos(x) no intervalo [0, π].
Problema 7.64 [UF São Carlos-SP] Determine o conjunto solução da inequação 1cossec(x) − 1
sec(x) > 0, para0 ≤ x ≤ π.
Problema 7.65 [Mack-SP] Determine a solução da inequação cos(x)−sen(x)cos(x)+sen(x) , para 0 < x < π
2 .
Problema 7.66 [PUC-SP] Determine a solução da inequação sen(x)−2cos(2x)+3cos(x−1) > 0, no conjunto 0 ≤ x ≤ 2π.
Problema 7.67 [ITA-SP] Dado o polinômio P de�nido por P(x) = sen(θ)− tg(θ)x + sec2(θ)x2, determine osvalores de θ no intervalo [0, 2π] tais que P admita somente raízes reais.
Problema 7.68 Use as identidades (7.6i) e (7.6k) para deduzir a tangente da soma
tg(α + β) =tg(α) + tg(β)1− tg(α)tg(β)
.
Problema 7.69 Use as identidades (7.6h) e (7.6j) para deduzir a tangente da diferença
tg(α− β) =tg(α)− tg(β)1 + tg(α)tg(β)
.
Problema 7.70 (Fórmulas do ângulo duplo).(a) Use a identidade (7.6i) para mostrar o cosseno do ângulo duplo (sugestão: faça 2α = α + α)
cos(2α) = cos2(α)− sen2(α).
(b) Use a identidade (7.6k) para mostrar o seno do ângulo duplo
sen(2α) = 2cos(α)sen(α).
Problema 7.71 (Fórmulas do ângulo metade). Use a identidade fundamental e o cosseno do ângulo duplopara deduzir o cosseno e o seno do ângulo metade
cos2(α) =12
[1 + cos(2α)
].
sen2(α) =12
[1− cos(2α)
].
Problema Teórico 7.1 Demonstre a Lei dos Senos (Figura 7.8).
7.10 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 7
41
• 7.1 (página 37) 5π4
• 7.2 (página 37) 36o
• 7.3 (página 37) 5π3
• 7.4 (página 37)perímetro = 4
√3 cm e área = 4
√3
3cm2
• 7.5 (página 37)perímetro = 12
√3 cm e área = 27 cm2
• 7.5 (página 37)√505 dm
• 7.7 (página 37) x = 4 e y = 2
• 7.8 (página 37) a = 203
e x = 163
• 7.9 (página 38)
(a) 154;
(b) 254;
(c) 15;(d) 75
8.
• 7.10 (página 38) 185
e 325
• 7.11 (página 38) 6 cm
• 7.12 (página 38) 15 cm e 20 cm
• 7.13 (página 38) perímetro = 6 + 3√
2 e área = 92
• 7.14 (página 38) 30o, 45o e 105o
• 7.15 (página 38)(a) cos(α) = 1;(b) Não, pois teríamos um ângulo cujo seno é maior
que 1.• 7.16 (página 38) 600 m de arame• 7.17 (página 38) 60o
• 7.18 (página 38) d√2−√2
• 7.19 (página 38) k = 32
• 7.20 (página 38)(a) cos(α) = 4
5, tg(α) = 3
4, cotg(α) = 4
3, sec(α) =
54, csc(α) = 5
3.
(b) sen(β) = 4√
37
, tg(β) = 4√
3, cotg(β) =√
312
,sec(β) = 7, sen(β) = 7
√3
12.
(c) cos(γ) =√
1717
, sen(γ) = 16√
1717
, cotg(γ) = 14,
sec(γ) =√
17, csc(γ) =√
1716
.
(d) cos(δ) = 3√
1010
, sen(δ) =√
1010
, tg(δ) = 13,
sec(α) =√
103
, csc(α) =√
10.(e) sen(ε) = 4
5, tg(ε) = 4
3, cotg(ε) = 3
4, sec(ε) = 5
3,
csc(ε) = 54.
(f) cos(θ) = 2√
55
, sen(θ) =√
55, cotg(θ) = 2,
sec(θ) =√
52, csc(θ) =
√5.
(g) cos(φ) =√
32, sen(φ) = 1
2, tg(φ) =
√3
3,
cotg(φ) =√
3, sec(φ) = 2√
33
.
(h) cos(σ) = 13, sen(σ) = 2
√2
3, tg(σ) = 2
√2,
cotg(σ) =√
24, csc(σ) = 3
√2
4.
• 7.21 (página 39)
(a) 20 m (b) 20√
3 m
• 7.26 (página 39) 3o, 2o e 1o
• 7.27 (página 39)√
22
• 7.28 (página 39) [−3, 5]
• 7.29 (página 39) [−5,−1]
• 7.30 (página 39) a = 1
• 7.31 (página 40) k = 32
• 7.32 (página 40) 2
• 7.33 (página 40) tg(x)
• 7.34 (página 40) 2cossec(x)
• 7.35 (página 40) −3/4
• 7.36 (página 40) −2√
23
• 7.37 (página 40) 12√
1031
• 7.38 (página 40)√
24
• 7.39 (página 40) 7π30
+ k π3
• 7.40 (página 40) π
• 7.41 (página 40) kπ2
+ π4
• 7.42 (página 40) 4 : − 2π3
, −π3
, π3, 2π
3
• 7.43 (página 40) 0, π, 2π
• 7.44 (página 40) π6, 7π
6
• 7.45 (página 40) π3e π
4
• 7.46 (página 40) π4
+ kπ
• 7.47 (página 40) 3
• 7.48 (página 40) π6, 5π
6, 7π
6, 11π
6
• 7.49 (página 40) π6, 5π
6
• 7.50 (página 40) 7π2
• 7.51 (página 40) Não existe• 7.52 (página 40) 2kπ ± π
3
• 7.53 (página 40) x = k.360o
• 7.54 (página 40) 3π2
• 7.55 (página 41) 1665
• 7.56 (página 41) −35
• 7.57 (página 41) 0, 5
• 7.59 (página 41) 56
• 7.60 (página 41) 4√
59
• 7.61 (página 41)√
5−12
• 7.62 (página 41) 2kπ3
+ pi15≤ x ≤ 2kπ
5+ π
3
• 7.63 (página 41) 0 ≤ x < π4ou π
2< x ≤ π
• 7.64 (página 41) S = voltar nesta• 7.65 (página 41) S = 0 < x < π
4
• 7.66 (página 41) π3
< x < 5π3
• 7.67 (página 41) π ≤ θ < 3π2
ou 3π2
< θ ≤ 2π
42