trigo no me tria

i

INTRODUCCION

La palabra trigonometría significó originalmente medición de triángulos.Como tal se empiezó estableciendo relaciones entre los ángulos, lados y áreade un triángulo y en particular definiendo lo que se llamaron las razonestrigonométricas, esto es las funciones seno, coseno, tangente, cotangente,secante y cosecante además de senver y cosver que están prcticamente olvi-dadas (ver el problema (1.1, p.5)). Aunque los conceptos son anteriores losnombres de las funciones trigonométricas y sus abreviaturas se introdujeronen los siglos XVI y XVII. Sin embargo no es hasta que Euler publica en 1748su obra Introductio in Anasysim Infinitorum que la trigonometría pasa aser parte importante de las matemáticas. En un principio se definieron enfunción de los lados de un triángulo rectángulo y por lo tanto los ángu-los que se usaban eran menores que un ángulo recto. Posteriormente sevio la necesidad de dar definiciones que no estuvieran restringidas a quelos ángulos fueran agudos y además se desarrollaron una gran cantidad derelaciones e identidades que son de gran valor en muchas otras ramas de lamatemática.

Estas notas están dirigidas a alumnos que ya han llevado algún curso in-troductorio de trigonometría. Por esto se empieza, en el capítulo 1, definiendolas funciones seno y coseno directamente en el círculo, lo que permite teneruna definición que es valida para cualquier ángulo. De esta forma es muyfácil dar las propiedades básicas que satisfacen estas funciones, ver proposi-ciónes (1.1, p. 2) y (1.2, p. 4).

Los conocimientos de trigonometría que necesitan los estudiantes paralos cursos más avanzados, como son calculo y ecuaciones diferenciales, secentran en la habilidad de poder manipular las identidades trigonométricas.Por esto se toman un número muy reducido de estas propiedades básicas,ver (1.5, p. 6), las cuales se usaran como axiomas para deducir todas lasotras identidades que son necesarias posteriormente. Para lograr esto loúnico adicional que necesitamos es un conocimiento sólido de los númerosreales. Esto sirve tanto para practicar la manipulación de las identidadestrigonométricas, como para poder dar un ejemplo elemental de cómo sepuede hacer una teoría matemática reduciéndola a unos cuantos axiomas.Las otras funciones trigonométricas se definen en función del seno y delcoseno y por lo tanto no se necesitan otras propiedades para dar todas lasidentidades trigonométricas.

En el capítulo 3 se darán los algoritmos para el calculo de las funcionestrigonométricas y de sus inversas. Además para estudiar de las funcionestrigonométricas en el cálculo diferencial e integral necesitamos un resultadoadicional que es el teorema (3.2, p. 34), con su ayuda se desarrollará estateoría en el capítulo 5.

Por lo tanto no se necesita la relación de las funciones trigonométricascon los triángulos rectángulos. Sin embargo una presentación de las fun-ciones trigonométricas no estaría completa sin estudiar su relación con las

ii

propiedades de los triángulos. Este estudio se hará en el capítulo ??, dondesiguiendo el método anterior se demuestran unas cuantas propiedades, verteorema (??.1, p. 19), para ser usados como axiomas para deducir todoslos demás teoremas.

Los requisitos para estudiar estas notas son:

• Algún curso elemental de geometría que incluya: igualdad de trián-gulos, triángulos semejantes, medida de ángulos (grados, radianes yconversión de un sistema a otro), áreas de triángulos y círculos.

• Algún curso introductorio de trigonometría que incluya las defini-ciones de las funciones trigonométricas en el caso de triángulos rec-tángulos, así como aplicaciones a problemas concretos.

• Familiaridad con los números reales que incluya: propiedades alge-braicas suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas; de-sigualdades, valores absolutos.

• Para los dos últimos capítulo se necesita un conocimientos básicos decálculo diferencial e integral.

Cada capítulo contiene todo el material básico necesario para el estudiode la trigonometría . Sin embargo para que el lector tenga acceso a un ma-terial más extenso en la última sección de cada capítulo se encuentran unaextensa serie de ejercicios, agrupados según las secciones de cada capítulo.Su número es mayor que lo que se puede hacer en un curso normal, sin em-bargo se encuentran ahí en parte como referencia y para poder tener unalista de donde seleccionar problemas. Ademas de servir como referencia deresultados de la teoría de las funciones trigonométricas.

Las secciones marcadas con un asterisco se pueden omitir en una primeralectura.

Funciones hiperbólicasTrigonometría esferica (vectores)Geometría y topografía

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1Funciones Trigonométricas

1.1 Las Funciones Trigonométricas

1.1.1 Definiciones

Sean L una recta y S1 un círculo de radio uno y centro O tales que L estangente a S1 en un punto U . Escogiendo la orientación de L de maneraque la función E : L→ S1 que enreda la recta L en el círculo S1 dejandoU fijo es tal que cuando los puntos de L se mueven en la dirección positivalos puntos correspondientes en S1 se mueven en la dirección positiva, estoes, en la dirección contraria a la de las manecillas del reloj. Dado un puntoX en L podemos interpretar el segmento dirigido UX como la medida delángulo ∡UOE(X), hay que notar que dos puntos de L tienen la mismaimagen en círculo S si y solo si su distancia es un multiplo entero de 2π ypor lo tanto para cada punto Q ∈ S1 hay un número infinito de puntos dela recta L tales que bajo E van a Q.

La trigonometría se basa en el estudio de la función E : L→ S1 cuandose usa en el plano coordenadas cartesianas, tales que el S1 tiene su centroen el origen y U es el punto de coordenadas (1, 0). Con estas convencioneslas funciones seno y coseno no son más que la expresión en coordenadas de

2 1. Funciones Trigonométricas

la función E. Podemos por tanto poner: E(x) = (cosx, senx).

O U

E(x) x

Ε(π/2)

π/2π/2π/2π/2

El punto U lo podemos pensar como el origen de L y si escogemos otropuntoP en L entonces podemos identificar a la recta L con la recta real Rde tal forma que U coincida con el cero de R y P con el uno. De esta formadefinimos funciones de los reales a S1, dependiendo de la distancia de Ua P se obtienen distintas formas de medir los ángulos. Si ρ es un puntode R tal que la distancia de U a ρ sea π/2 entonces ρ es la medida de unángulo recto. Tomando P en distintas posiciones obtenemos las distintasmaneras de medir ángulos. Si la distancia de U a P es uno (como en lafigura) entonces esta medida es en radianes, si la distancia de U a P esπ/180 entonces la medida es en grados. Como se ve de estos ejemplos esequivalente dar la distancia de U a P que dar la medida un ángulo recto.En estas notas se usara la medida en radianes al menos que se especifiqueotra cosa. Con esta identificación de los reales con la recta L vemos quedos reales x y y son tales que E(x) = E(y) si y solo si x− y = 4nρ con nentera.

En la siguiente sección estudiaremos las propiedades elementales de lasfunciones trigonométricas que usaremos en la sección 1.2 para estudiar suspropiedades algebraicas. La propiedad más importante es la proposición 2que toma en cuenta la estructura algebraica de los números reales.

1.1.2 Propiedades elementales

En esta sección utilizaremos las expresiones de las funciones seno y cosenomencionadas anteriormente, para obtener la siguiente proposición.

Proposición 1 Sea ρ la medida del ángulo recto, entonces las funcionesseno y coseno satisfacen las siguientes propiededes:i) Los valores de las funciones seno y coseno siempre está en el intervalo

[−1, 1] esto es: sen, cos : R→ [−1, 1].

1.1 Las Funciones Trigonométricas 3

ii) Se tiene la identidad:

sen 2x+ cos2 x = 1

iii) Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es

sen(x+ 4ρ) = senx

cos(x+ 4ρ) = cosx

iv) Se tiene las igualdades:

cos 0 = sen ρ = 1

sen(−ρ) = −1

sen 0 = cosρ = cos(−ρ) = 0

v) Se tiene las identidades:

sen(−x) = − senx

cos(−x) = cosx

Demostración: La propiedad i) es inmediata.La condición de que elcírculo es de radio uno se traduce en la identidad: sen2 x + cos2 x = 1que nos da ii). Como el dar una vuelta al círculo coresponde a un ángulode 4ρ se tiene que las funciones son periódicas, con periodo 4ρ. Esto es:sen(x + 4ρ) = senx y cos(x + 4ρ) = cosx y se obtiene iii). Dado que losvalores de E en los puntos 0, ρ y −ρ son los puntos U , A y B obtenemos:sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen ρ = 1, cos ρ = 0, sen(−ρ) = −1 y cos(−ρ) = 0que es la propiedad iv). La función E manda puntos simétricos respecto alcero de R en puntos simétricos respecto del eje de las equis, que no es másque la definición de los ángulos negativos. Las fórmulas que obtenemos son:sen(−x) = − senx, cos(−x) = cos x.

Sin embargo, la propiedad más importante es la que toma en cuenta laestructura algebraica (aditiva) de los números reales. Sean x, y dos númerosreales, entonces podemos interpretar x − y como la distancia del punto xal punto y. Tenemos, por lo tanto, que la distancia de E(x) a E(y) es lamisma que la distancia de E(x − y) a U = E(0), de aquí obtenemos lapropiedad vi), que como veremos en el capítulo II, es la base para estudiartodas las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.


O

E(x-y)

E(0)

O

E(x-y)

E(0)

Proposición 2 Para todos los números reales x y y se tiene la identidadsiguiente:

cos(x− y) = cosx cos y + senx sen y

Demostración: Se tiene: E(x) = (cosx, senx), E(y) = (cos y, sen y),E(x− y) = (cos(x− y), sen(x− y)) y E(0) = (1, 0) igualando las distanciasal cuadrado entre E(x) y E(y) y entre E(x− y) y E(0), se tiene

(cos x− cos y)2 + (senx− sen y)2 = (cos(x− y)− 1)2 + sen(x− y)2

usando la identidad 1 ii) obtenemos el resultado buscado.Como las otras funciones trigonométricas tienen a la función seno o la

función coseno en el denominador es importante saber donde se anulan lasfunciones seno y coseno. Esta información la encontramos en la siguienteproposición.

Proposición 3 La función seno se anula en el conjunto Z(S) = 2ρZ. Lafunción coseno se anula en el conjunto Z(C) = 2ρZ+ ρ.

Demostración: Claramente los puntos de S1 donde se anula la orde-nada son U = (1, 0) y (−1, 0) que corresponden a los ángulos cero y 2ρ ya cualquier otro que difiera de estos en un multiplo entero de 4ρ. Analoga-mente los puntos de S1 donde se anula la abscisa son A y B que corre-sponden a los ángulos ρ y 3ρ y a cualquier otro que difiera de estos en unmultiplo entero de 4ρ.

1.1.3 Problema

Sea C un círculo de radio uno y ∡AOB = ρ, P un punto del primer cuad-rante. Trácense PM y PN perpendiculares a OA y OB respectivamente,

1.2 Presentación axiomática 5

ademas AT y BS son tangentes a C; sea θ = ∡AOP .

O

P

ΒQ

U

T

C

S

θ

Problema 1 Demostrar que: sen θ = OS, cos θ = OC, tan θ = UT ,cot θ = BQ, sec θ = OT , csc θ = OQ, senv θ = CU y cosv θ = SB,donde senv es la función seno verso y cosv es la función seno verso estasdos últimas ya no se usan.

Los nombres de las funciones trigonométricas vienen de la interpretaciónde estas en la figura anterior.

1.2 Presentación axiomática

1.2.1 Definiciones y axiomas

Esta sección contiene todos las propiedades algebraicas de las funcionestrigonométricas y por lo tanto se puede ver como un curso corto, perocompleto, de las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas.La presentación que daremos es semejante a la presentada en [McShane,??], aunque ese trabajo tiene un error al demostrar que sen(−x) = − senx.

Lo primero que haremos es definir las funciones tangente, cotangente,secante y cosecante como los cocientes o inversas multiplicativas del seno ydel coseno. Como la funciones seno y coseno tienen puntos donde se anulanse sigue que los dominios de las restantes funciones trigonométricas no sonlos números reales sino subconjuntos propios.

Definición 4 Sean los conjuntos Z(S) = sen−1(0) = {x ∈ R : sen x = 0}y Z(C) = cos−1(0) = {x ∈ R : cos x = 0}, definimos:La función tangente: tan : R− Z(C) → R, tan(x) = sen x

cos xLa función cotangente: cot : R− Z(S)→ R, tan(x) = cosx

sen xLa función secante: sec : R− Z(C) → R, sec(x) = 1

cos xLa función cosecante: csc : R−Z(S) → R, csc(x) = 1

sen x

En todas las expresiones algebraicas que siguen si se entenderá que losángulos usados son tales que no se anulan los denominadores.

Basaremos el estudio algebraico de las funciones trigonométricas en lassiguientes propiedades, las que tomaremos como axiomas de las funciones


seno y coseno. Estas propiedades fueron probadas en las secciones anteri-ores.

Axioma 5 Las funciones seno y coseno satisfacen los siguientes axiomas.A1) Las funciones seno y coseno tienen como dominio y contradominio

a los números reales, esto es: sen, cos : R→ R

A2) Existe un número real ρ > 0 tal que sen ρ = 1 ademas cos 0 = 1A3) Para todos los números reales x y y se tiene la identidad siguiente:

cos(x− y) = cosx cos y + senx sen y

Todas las otras propiedades algebraicas se pueden demostrar a partir deestas tres, lo que significa que estas tres propiedades pueden considerarselos axiomas algebraicos de las funciones trigonométricas. Diremos que ρ esla medida de un ángulo recto.

1.2.2 Propiedades basicas

Con ayuda de estos axiomas podemos demostrar el siguiente teorema, elque nos da las identidades basicas para el estudio de las identidades alge-braicas de las funciones trigomométricas. Recordemos que dos ángulos soncomplementarios cuando su suma es igual a ρ.

Teorema 6 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes propiedades:i) sen2 x+ cos2 x = 1ii) sen(R) ⊂ [−1, 1] y cos(R) ⊂ [−1, 1]iii) cosρ = 0 y sen0 = 0iv) Si x y y son complementarios, entonces senx = cos y.v) cos(−x) = cosx y sen(−x) = − senx.vi) cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y.vii) sen(x− y) = senx cos y − cosx sen y.viii) sen(x+ y) = senx cos y + cosx sen y.

Demostración: Si en A3) tomamos x = y, obtenemos i). Que a su vezimplica ii).

Usando i) y A2) se tiene iii). Para demostrar iv) como x = ρ − y, setiene cosx = cosρ cos y + sen ρ sen y = sen y.

Como cos(−x) = cos(0−x) = cosx por lo tanto cos(−ρ) = 0 y sen(−ρ) =σ = ±1, de lo que obtenemos:

sen(−x) = cos(x−(−ρ)) = σ senx y cos(x+y) = cosx cos y+σ senx senyademás ρ/2 es complementario a si mismo por lo que i) y iv) implican:cos(ρ/2) = sen(ρ/2) = δ con 2δ2 = 1, cos(ρ) = cos(ρ/2+ρ/2) = δ2+σδ2 =0 y por lo tanto σ = −1. Lo que demuestra v) y vi).

La demostración de vii) y viii) es como sigue.sen(x− y) = cos((ρ− x) + y) = cos(ρ− x) cos y − sen(ρ− x) sen ysen(x+ y) = sen(x− (−y)) = senx cos y + cosx sen y.


1.2.3 Identidades trigonométricas

Con ayuda de las propiedades estudiadas en las secciones anteriores demostra-remos el siguiente teorema, el cual es un resumen de las identidades trigonométri-cas más importantes.

Teorema 7 Las funciones seno y coseno satisfacen las siguientes identi-dades:i) 2 sen2 x2 = 1− cosx = sen2 x

1+cos x

ii) 2 cos2 x2 = 1 + cosx = sen2 x1−cos x

iii) tan(−x) = − tanx y cot(−x) = − cotxiv) tan x

2= 1−cosx

sen x= sen x

1+cos x

v) tan(x+ y) = tan x+tan y1−tan x tan y

vi) senx+ sen y = 2 sen(x+y2

)cos(x−y2

)

vii) senx− sen y = 2 cos(x+y2

)sen

(x−y2

)

viii) cosx+ cos y = 2 cos(x+y2

)cos(x−y2

)

ix) cosx− cos y = −2 sen(x+y2

)sen

(x−y2

)

Demostración: Las propiedades i) y ii) se demuestran viendo que:

cosx = cos(x/2 + x/2) = cos2x

2− sen2

x

2

= 2 cos2x

2− 1 = 1− 2 sen2

x

2

La propiedad iv) se obtiene como sigue:

tanx

2=

senx/2

cosx/2=

2 senx/2 cosx/2

2 cos2 x/2=

senx

1 + cosx

Además para demuestrar iv) tenemos:

tan(x+ y) =sen(x+ y)

cos(x+ y)=

senx cos y + cos x sen y

cosx cos y − senx sen y

Las últimas cuatro propiedades se demuestran en forma semejante ypor esto solo daremos la demostración de vi). Definimos A y B por lasigualdades

x = A+B

y = A−B

y obtenemos

A = (x+ y)/2

B = (x− y)/2


y por lo tanto:

senx+ sen y = sen(A+B) + sen(A−B) = 2 senA cosB

1.2.4 Problemas.

Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identi-dades anteriores como para estudiar nuevas identidades.

Problema 2 sen 2x = 2 sen x cos x

Problema 3 cos 2x = cos2 x− sen2 x

Problema 4 sen 3x = 3 senx cos2 x− sen3 x = 3 senx− 4 sen3 x

Problema 5 cos 3x = cos3 x− 3 sen2 x cos x = 4 cos3 x− 3 cosx

Problema 6 sec(−x) = sec x y csc(−x) = − csc x

Problema 7 tan2 x+ 1 = sec2 x

Problema 8 1 + cot2 x = csc2 x

Problema 9 senα =2 tan α

2

1+tan2 α

2

.

Problema 10 cosα =1−tan2 α

2

1+tan2 α

2

.

Problema 11 tanα =2 tan α

2

1−tan2 α

2

Problema 12 Demostrar que las funciones trigonométricas son periódicasde periodo 4ρ.

Para los siguiente problemas se necesita hacer uso del hecho de que lasfunciones trigonométricas son positivas en el intervalo [0, ρ] (ver la proposi-ción (5.4, p. 52).

Problema 13 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delos valores 4ρ, 2ρ, 2ρ/3, 4ρ/3, ρ/2, 2ρ+ x, 2ρ− x.

Problema 14 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas delángulo ρ

4.

Problema 15 Usando que ρ6 = ρ

2 −ρ3 encontrar que sen ρ

6 =√3−12√2

y que

cos ρ6 =√3+12√2.

Problema 16 Usando que 2ρ5 = ρ − 3ρ

5 y el problema (5, p. 8) encontrar

que sen ρ5

=√5−14

y que cos ρ5

=√10+2

√5

4.


Problema 17 Usar el problema anterior para dar una construcción, us-ando regla y compás, de un pentágono regular.

Problema 18 Para todo entero positivo n tenemos las identidades:

cos θ + cos 2θ + ...+ cosnθ = cos(θ(n+1)/2) sen((θn/2)sen(θ/2)

sen θ + sen 2θ+ ...+ sennθ = sen(θ(n+1)/2) sen((θn/2)sen(θ/2)

(sugerencia: usar las siguientes identidades:sen(θ(2i+ 1)/2)− sen(θ(2i− 1)/2) = 2 cos(iθ) sen(θ/2)cos(θ(2i+ 1)/2)− cos(θ(2i− 1)/2) = −2 sen(iθ) sen(θ/2))

Como se vio en la primera sección escogiendo en L el punto que corre-sponde a el uno de R se obtienen las distintas unidades para medir ángulos.Seleccionado otras unidades corresponde a dar la función ϕ : R → R talque ϕ(x) = λx, este tipo de funciones se llaman lineales y en particularsatisface la propiedad de ser aditiva, esto es ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). Ypor lo tanto las funciones s(x) = sen(ϕ(x)) y c(x) = cos(ϕ(x)) son lasfunciones seno y coseno referidas a esta nueva forma de medir los ánguloscon ρ̂ como la medida de un ángulo recto donde ρ = ϕ(ρ̂). Sin embargo noes necesario que la función ϕ sea lineal, basta con que sea aditiva, esto esque, ϕ(x+ y) = ϕ(x) +ϕ(y) y que exista ρ̂ en R tal que ϕ(ρ̂) = ρ. Para verque esto es cierto demostrar los siguientes ejercicios.

Problema 19 Si ϕ es una función aditiva entonces:i) ϕ(0) = 0ii) ϕ(−x) = −ϕ(x)iii) ϕ(x− y) = ϕ(x)− ϕ(y)

Problema 20 Sean ϕ una función aditiva y ρ̂ ∈ R tales que ϕ(ρ̂) = ρentonces, las funciones s(x) = sen(ϕ(x)) y c(x) = cos(ϕ(x)) satisfacen loaaxiomas (1.2, p. 5) con ρ̂ como medida del ángulo recto.

En los siguientes problemas se estudiara la relación de las coordenadascartesianas y polares y con la ayuda de las identidades básicas para dar lasfórmulas de rotación de ejes coordenados. Si O es el origen y P es un puntoen el plano cartesiano entonces.

O

P(x,y)

α

θ


Problema 21 Si (x, y) son las coordenadas cartesianas de P y (r, α) sonlas coordenadas polares de P entonces:

x = r cosα

y = r senα

Problema 22 Si se tienen otros ejes coordenados que forman un ánguloθ con los ejes originales y (x′, y′) son las coordenadas cartesianas de P y(r, α′) son las coordenadas polares de P entonces:

α′ = α− θx′ = cos θ x+ sen θ y

y′ = − sen θ x+ cos θ y

1.3 Aplicaciones

En esta sección daremos algunas aplicaciones donde solo se utilizan lasidentidades algebraicas de las funciones trigonométricas.

1.3.1 Números complejos∗

Hay una relación muy estrecha entre las funciones trigonométricas y losnúmeros complejos. En esta sección daremos una introducción a este tema,en el capitulo ¿?? daremos más detalles. Si identificamos R2 con los númeroscomplejos C, la función E : R→ R2 nos da la función, e : R→ C que tienela forma e(θ) = cos θ+ i sen θ y que satisface las propiedades de la siguienteproposición.

Proposition 8 La función e satisface las propiedades siguientes:

e(θ + ϕ) = e(θ)e(ϕ)

e(0) = 1

e(−θ) = e(θ) = e(θ)−1

|e(θ)| = 1

más aun si n ∈ N, entonces e(nθ) = e(θ)n.

Demostración: Esta proposición es equivalente a las identidades basicasdel teorema [6; 6).

Con ayuda de esta función podemos estudiar las propiedades de las fun-ciones trigonométricas con ayuda de las identidades siguientes:

sen θ =e(θ)− e(−θ)

2i

cos θ =e(θ) + e(−θ)

2

1.3 Aplicaciones 11

usaremos lo anterior para demostrar algunas de las propiedades anteriores.

Ejemplo 9 Se tiene que sen2 θ + cos2 θ = 1.

Demostración:

sen2 θ + cos2 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)2+

(e(θ) + e(−θ)

2

)2=

1

2+

1

2= 1

Ejemplo 10 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ.

Demostración:

2 cos2 θ = (e(θ) + e(−θ)

2)2 =

e(2θ) + e(−2θ)

2+ 1 = 1 + cos 2θ

Ejemplo 11 2 sen2 θ = 1− cos 2θ.

Demostración:

2 sen2 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)2= −e(2θ) + e(−2θ)

2+ 1 = 1− cos 2θ

Ejemplo 12 4 cos3 θ = cos 3θ + cos θ.

Demostración:

4 cos3 θ =

(e(θ) + e(−θ)

2

)3=e(3θ) + e(−3θ)

2+ 3

e(θ) + e(−θ)2

= cos 3θ + 3 cos θ

Ejemplo 13 4 sen3 θ = − sen 3θ + 3 sen θ.

Demostración:

4 sen3 θ =

(e(θ)− e(−θ)

2i

)3=e(3θ)− e(−3θ)

2i+3

e(θ)− e(−θ)2i

= sen 3θ+sen θ

Problema 23 Demostrar que:

2n−1 cosn θ =

n/2

Σk=0

(kn

)cos((2k − n)θ), n non

n/2

Σk=0

(kn

)cos((2k − n)θ) +

(n/2n

), n par


2n−1 senn θ =

n/2

Σk=0

(−1)k(kn

)sen((2k − n)θ) , n non

n/2

Σk=0

(−1)k(kn

)sen((2k − n)θ) + (−1)n/2

(n/2n

), n par


1.3.2 Identidades asociadas a los ángulos de un triángulo∗

Como en muchas aplicaciones a la geometría los ángulos que se usan son losde un triángulo, las identidades donde aparecen ángulos A, B y C positivosy tales queA+B+C = 2ρ son muy importantes. Nosotros solo supondremosque A+B +C = 2ρ y no que son ángulos positivos. Daremos solo un parde ejemplos para dar las ideas principales de cómo usar la hipótesis. Nosreferiremos a los problemas del final del capítulo (ver 1.3.5, pag. 16) paramuchos otros resultados.

Proposición 14 Si los ángulos A, B y C son tales que A+B + C = 2ρentonces

senA+ senB + senC = 4 cosA

2cos

B

2cos

C

2.

Demostración: Como A+B2 y C

2 son complementarios usando (1.2.3, p.7) (5) y (6) obtenemos:

senA+ senB + senC = 2 senA+B

2cos

A−B

2+ 2 sen

C

2cos

C

2

= 2 cosC

2(cos

A−B2

+ cosA+B

2)

= 4 cosA

2cos

B

2cos

C

2

Si utilizamos algunas substituciones de ángulos que por un lado preservenel hecho que la suma de los ángulos sea dos rectos y por otro tengamosalguna identidad que relacione el ángulo original con el final podemos deuna identidad se pueden deducir muchas otras. Veremos un par de ejemplos.


sen 2A+ sen 2B + sen 2C = 4 senA senB senC

Demostración: Si α = 2ρ− 2A, β = 2ρ − 2B y γ = 2ρ− 2C entoncesα+β+γ = 6ρ−4ρ = 2ρ, además sen α = sen 2A y cos α

2= sen A. Usando

el resultado de la proposición anterior obtenemos el resultado.


cosA

2+ cos

B

2+ cos

C

2= 4 cos

π −A

4cos

π −B4

cosπ − C

4

Demostración: Si α = ρ − A2 , β = ρ − B

2 y γ = ρ − C2 entonces

α + β + γ = 3ρ − ρ = 2ρ, además sen α = cos A2 y cos α2 = cos 2ρ−A4 .Usando el resultado de la primera proposición obtenemos el resultado.

1.3 Aplicaciones 13

Proposición 17 Si los ángulos A, B y C son tales que A + B + C = πentonces

cosA

2+ cos

B

2− cos

C

2= 4 cos

2ρ+A

4cos

2ρ+B

4cos

2ρ− C

4

Demostración: Si α = A+2ρ2 , β = B+2ρ

2 y γ = C−2ρ2 entonces α+β+γ =

ρ+ ρ = 2ρ, además sen α = cos A2 y sen γ = − cos C2 . Usando el resultadode la primera proposición obtenemos el resultado.

1.3.3 Suma de series∗

En esta sección se estudiarán algunas series asociadas a funciones trigonométri-cas. En muchas circunstancias es posible encontrar la suma, con ayuda delas identidades trigonométricas. Enunciaremos primero un lema general quese aplicaremos posteriormente. Su demostración es clara.

Lema 18 Sea xn para n = 1, ...,N los terminos de una serie tales queexiste una suseción yn tal que xn = yn+1 − yn para n = 1, ..., N . EntoncesΣ = x1 + x2 + ...+ xN = yN+1 − y1.

Proposición 19 Se tiene la identidad

Σ = csc 20α+ csc 2α+ csc 22α+ ...+ csc 2n−1α = cotα

2− cot 2n−1α

Demostración: Se tiene las igualdades

csc 2nα =1

sen 2nα=

sen(2nα− 2n−1α)

sen 2nα sen 2n−1α= cot 2n−1α− cot 2nα,

de donde se obtiene el resultado.


Σ = senα+sen(α+β)+ ...+sen(α+(N−1)β) =sen Nβ

2

sen β2

sen (α+N − 1

2β)

Demostración: Se tiene las igualdades ,

2 senβ

2sen(α+ nβ) = cos(α+

(2n− 1)β

2)− cos(α+

(2n+ 1)β

2)

y por lo tanto

2 senβ

2Σ = cos(α− β

2)− cos(α+

(2N − 1)β

2) = sen

Nβ

2sen (α+

N − 1

2β)




Σ = senα+ cos(α+ β)− sen(α+ 2β)− cos(α+ 3β) + ...

=sen N(2β+π)

4

sen 2β+π4

sen(α+(N − 1)(2β + π)

4)

Demostración: Los terminos de la serie son iguales a

sen (α+ (n− 1)(β +π

2))

y por lo tanto se reduce al caso anterior.


Σ = sen3 α+ sen3 3α+ ...+ sen3 (2N − 1)α = 3sen2Nα

sen α− sen 23Nα

sen 3α

Demostración: Usando[4:8], se obtiene que

4Σ = (3 senα−sen 3α)+(3 sen 3α−sen 9α)+...+(3 sen(2N−1)α−sen 3(2N−1)α)

y usando la proposición [20:13] obtenemos que 4Σ = 3 senNα senNαsenα

− sen 3Nα sen 3Nαsen 3α

.

Aunque no se ha estudiado las funciones inversas es conveniente enunciaren este momento la siguiente proposición.


arctanx

1 + 1 · 2 · x2+ arctanx

1 + 2 · 3 · x2+...+ arctanx

1 + n · (n+ 1) · x2= arctan(n+ 1)x− arctanx

Demostración: Usando [??;??], se obtiene que

arctanx

1 + n · (n + 1) · x2 = arctan(n+ 1)x− arctannx


1.3.4 Problemas

Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. La idea prin-cipal es que estos problemas sirvan como practica en la manipulación de lasidentidades trigonométricas. Pero también se pueden ver como un catalogode identidades trigonométricas.

Problema 25 Dado un ángulo α ∈ (0, ρ) y el valor de sen α encontrar elvalor de las otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en funciónde sen α.

1.3 Aplicaciones 15

Problema 26 Como en el problema anterior, dado un ángulo α ∈ (0, ρ) yel valor de de alguna de las funciones trigonométricas encontrar el valor delas otras cinco funciones trigonométricas del ángulo α en función del valordado.

Demostrar las siguientes identidades.

Problema 27 tan2 α1+tan2 α + cot2 α

1+cot2 α = 2−sen2 2αsen 2α

Problema 28 sen(α+ ρ2) =

√22

(senα+ cosα).

Problema 29 cos(α+ ρ2) =

√22

(cosα− senα).

Problema 30 sen(α+ β) sen(α− β) = sen2 α− sen2 β.

Problema 31 cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− sen2 β.

Problema 32 cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 β − cos2 α.

Problema 33 cos(α− β)− sen(α+ β) = (cosα− senα)(cosβ − senβ).

Problema 34 cos(α+ β) + sen(α− β) = (cosα+ senα)(cosβ − senβ).

Problema 35 sen(α−β)cosα cos β

+ sen(β−γ)cos β cos γ

+ sen(γ−α)cos γ cosα

= 0.

Problema 36sen(α−β)senα sen β +

sen(β−γ)sen β sen γ +

sen(γ−α)sen γ senα = 0.

Problema 37 tan(α+ β + γ) = tanα+tan β+tan γ−tanα tan β tan γ1−tanα tan β−tan β tan γ−tan γ tanα .

Problema 38 senα+sen βcosα+cos β = tan(α+β2 ).

Problema 39 senα−sen βcosα+cos β = tan(α−β2 ).

Problema 40 senα+sen βcosα−cos β = − cot(α−β2 )

Problema 41 senα−sen βcosα−cos β = − cot(α+β2 ).

En los siguientes problemas usaremos la definición s = α+ β + γ.

Problema 42 Demostrar que:sen s+ sen(2α− s) + sen(2β − s) + sen(2γ − s) = 4 senα cos β cosγ.

Problema 43 Demostrar que:sen(s− 2γ) + sen(s− 2α) + sen(s− 2β)− sen s = 4 senα senβ sen γ.

Problema 44 Demostrar que:cos s+ cos(2α− s) + cos(2β − s) + cos(2γ − s) = 4 cosα cosβ cosγ

Problema 45 Demostrar que:cos(s− 2γ) + cos(s− 2α)− cos(s− 2β)− cos s = 4 senα cos β sen γ.


Problema 46 Demostrar que:sen 2α+ sen 2β + sen 2γ − sen 2s = 4 sen(α+ β) sen(β + γ) sen(γ + α).

Problema 47 Demostrar que:cos 2α+ cos 2β + cos 2γ + cos 2s = 4 cos(α+ β) cos(β + γ) cos(γ + α).

Problema 48 Demostrar que:cos(α+ β) sen(α− β) + cos(β + γ) sen(β − γ) =− cos(γ + δ) sen(γ − δ)− cos(δ + α) sen(δ − α)

Problema 49 Demostrar que:tan(α−β)+ tan(β−γ) + tan(γ−α) = tan(α−β) tan(β−γ) tan(γ−α).

Problema 50 Demostrar que:sen(α− β) + sen(β − γ) + sen(γ − α) + 4 sen α−β

2 sen β−γ2 sen γ−α

2 = 0.

Problema 51 Demostrar que:cos2(α−β)+cos2(β−γ)+cos2(γ−α) = 1+2 cos(α−β) cos(β−γ) cos(γ−

α).

1.3.5 Problemas usando la igualdad A+B + C = 2ρ

Problema 52 senA = sen(B +C).

Problema 53 cosA = − cos(B + C).

Problema 54 tanA = − tan(B +C).

Problema 55 cotA = − cot(B +C).

Problema 56 sen 2A+ sen 2B + sen 2C = 4 senA senB senC.

Problema 57 sen 2A− sen 2B + sen 2C = 4 cosA senB cosC.

Problema 58 sen 2A+ sen 2B − sen 2C = −4 senA cosB cosC.

Problema 59 cos 2A+ cos 2B + cos 2C = −1− 4 cosA cosB cosC.

Problema 60 tanA+ tanB + tanC = tanA tanB tanC.

Problema 61 senA+ senB + senC = 4 cos A2

cos B2

cos C2.

Problema 62 senA+ senB − senC = 4 sen A2

sen B2

cos C2.

Problema 63 cosA+ cosB + cosC = 1 + 4 sen A2 sen B2 sen C

2 .

Problema 64 cosA− cosB + cosC = −1 + 4 cos A2 sen B2 cos C2 .

Problema 65 senA+senB−senCsenA+senB+senC = tan A

2 tan B2 .

Problema 66 tan A2

tan B2

+ tan B2

tan C2

+ tan C2

tan A2

= 1.

1.3 Aplicaciones 17

Problema 67 1+cosA−cosB+cosC1+cosA+cosB−cosC = tan B

2 cot C2 .

Problema 68 (cotA+cotB)(cotB+cotC)(cotC+cotA) = cscA cscB cscC

Problema 69 cos2 A+ cos2B + cos2C = 1− 2 cosA cosB cosC.

Problema 70 cos2 2A+ cos2 2B + cos2 2C = 1 + 2 cos 2A cos 2B cos 2C.

Problema 71 sen2 A2 + sen2 B2 + sen2 C2 = 1− 2 sen A2 sen B

2 sen C2 .

Problema 72 cotA+cotBtanA+tanB + cotB+cotC

tanB+tanC + cotC+cotAtanC+tanA = 1.

Problema 73 tanA+tanB+tanC(senA+senB+senC)2 =

tan A

2tan B

2tan C

2

2 cosA cosB cosC .

Problema 74 cos A2 + cos B2 + cos C2 = 4 cos A+B4 cos B+C4 cos C+A4 .

Problema 75 cos A2 − cos B2 + cos C2 = 4 cos π+A4 cos π−B4 cos π+C4 .

Problema 76 sen A2 + sen B

2 + sen C2 = 1 + 4 sen π−A

4 sen π−B4 sen π−C

4 .


2El Triángulo

2.1 Propiedades basicas

En un triángulo△ ABC de lados a, b y c se tiene definidos los siguientesconceptos geométricos:a) R = Radio del círculo circunscritob) Σ = Area del triánguloc) r = Radio del círculo inscritod) ra , rb , rc = Radios de los círculos excritose) s = a+b+c

2 = Semiperímetro del triángulof) Mediremos los ángulos en grados. Esto es que el ángulo recto mide

90o.Los cuales aparecen en el siguiente teorema fundamental. Los resulta-

dos de este teorema los usaremos como axiomas para el estudio de lasrelaciones entre las funciones trigonométricas y la geometría del triángulo.Estos axiomas son la base para demostrar todas las propiedades restantes,más aun cada uno de estos teoremas relacionan un concepto geométricocon las funciones trigonométricas. De hecho son los únicos resultados quedemostraremos usando alguna propiedad geométrica, para todas las otrasusaremos las identidades trigonométricas de la sección 1.1.2.

Teorema 1 (Fundamental de la Trigonometría)En todo triángulo sesatisfacen las siguientes propiedades:

20 2. El Triángulo

T1) A+B +C = 180o

T2) 2R = asen A (ley de los senos)

T3) Σ = ab senC2

T4) tan(A/2) = rs−a

T5) tan(A/2) = ras

Demostración: Para demostrar (T2), si el ángulo A es agudo tenemosla siguiente situación: en la figura BA′ es un diámetro y por lo tantoel △A′BC es rectángulo y ∡BAC = ∡BA′C de lo anterior obtenemos:senA = senA′ = BC

BA′ = a2R . Si el ángulo A es obtuso se deja como prob-

lema para el lector [77;22].

O

A

C

B

A´

D

A B

C

X

Y

Z

Ir r

r

x

x y

y

z

z

Para demostrar (T3) claramente la altura del triángulo es h = b senC.Para demostrar (T4) sean X, Y y Z los puntos de contacto del círculo

inscrito con los lados del triángulo. Como el centro del círculo inscrito estáen la bisectriz de ∡BAC tenemos que A/2 = ∡IAZ y entonces tan(A/2) =rAZ pero: AY = AZ = x, BZ = BX = y, CX = CY = z de donde seobtiene que x+ y + z = s, y + z = a y por lo tanto AZ = s− a.

Para demostrar (T4) ver el problema (79, p. 22).

2.2 Teoremas generales

Teorema 2 En el △ABC se tiene la igualdad:

c = a cosB + b cosA

Demostración: De la ley de los senos (1 T1,p. 19) tenemos:

c = 2R senC = 2R sen(180o −A−B) = 2R sen(A+B)

= a cosB + b cosA

2.2 Teoremas generales 21

Teorema 3 (Ley de los cosenos) En el △ABC se tiene la igualdad:

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC

Demostración: Por el teorema anterior tenemos

a = c cosB + b cosC

además

c2 = c2 sen2B + c2 cos2B = b2 sen2C + (a− b cosC)2

= a2 + b2 − 2ab cosC

Teorema 4 (Ley de las Tangentes) En el △ABC se tiene la igualdad:

a+ b

a− b =tan

(A+B2

)

tan(A−B2

)

Demostración: Por la ley de los senos, a+ba−b = 2R senA+2R senB

2R senA−2R senB , por el

teorema (1.1.2.3, p. 7) tenemos que a+ba−b =

2 sen(A+B2

) cos(A−B2

)

2 cos(A+B2

) sen(A−B2

)que implica

el teorema.

Teorema 5 En el △ABC se tiene las igualdades:

S1) sen2(A/2) = (s−b)(s−c)bc

S2) cos2(A/2) = s(s−a)bc

S3) tan2(A/2) = (s−b)(s−c)s(s−a)

Demostración: Claramente la tercera igualdad es consecuencia de lasotras dos. Como las dos primeras igualdades tiene una demostración seme-jante demostraremos únicamente la primera fórmula. Para esto se usa laley de los cosenos y las identidades siguientes:

2 sen2(A/2) = 1− cosA = 1− b2 + c2 − a22bc

=a2 − (b− c)2

2bc=

(a+ b− c)(a+ c− b)

2bc

=4(s− b)(s− c)

2bc

Teorema 6 En el △ABC se tiene las expresiones para calcular el área deun triángulo.

Σ1) Σ =√s(s− a)(s− b)(s− c)

Σ2) Σ = rsΣ3) Σ = abc/4RΣ4) Σ = 2R2 senA senB senC

22 2. El Triángulo

Demostración:Usando el teorema anterior vemos que:

Σ2 = a2b2 sen2 C4 = a2b2 sen2(C/2) cos2(C/2) = s(s− a)(s− b)(s− c)

Usando la ley de los senos obtenemos:Σ = ab senC

2 = abc4R = 2R2 senA senB senC

Usando tan2(A/2) = r2

(s−a)2 = (s−b)(s−c)s(s−a) , obtenemos

r2s2 = s(s− a)(s− b)(s− c) = Σ2

2.2.1 Problemas.

Problema 77 Demostrar la ley de los senos en un triángulo ∆ABC, dondeel ángulo A es obtuso.

O

A

C

B

A´

Problema 78 Dado un triángulo ∆ABC y su excírculo Ia de centro Ia yradio ra, sean X, Y y Z los puntos de contacto del círculo exscrito con loslados del triángulo. Demostrar que AZ = AY = s, BX = BZ = s − b yCX = CY = s− a.

A B

C

X

Y

Z

ra

Ia

Problema 79 tan(A/2) = ras .

Problema 80 a+ba−b =

cot(C2)

tan(A−B2

)

Problema 81 Σ = ra(s− a)

Problema 82 Σ2 = rrarbrc


Problema 83 sΣ = rarbrc

Problema 84 1r = 1

ra+ 1rb

+ 1rc

Problema 85 s2 = rarb + rbrc + rcra

Problema 86 r + 4R = ra + rb + rc

Problema 87 2Σ = R(a cosA+ b cosB + c cosC)

Problema 88 Demostrar que:r = 4R senA/2 senB/2 senC/2 = R(cosA+ cosB + cosC − 1)

Problema 89 Demostrar que:ra = 4R senA/2 cosB/2 cosC/2 = R(− cosA+ cosB + cosC + 1)

Problema 90 Usar el problema 66, pag. 66 para demostrar el insiso Σ1)del teorema 6 (ver [2]).

Problema 91 Demostrar que dados los segmentos a, b y c entonces existe

un triángulo con lados a, b y c sii∣∣∣a

2+b2−c22ab

∣∣∣ < 1 (notar que no suponemos

que el tamaño de los segmentos están ordenados de ninguna forma).

2.2.2 Problemas. Identidades trigonométricas en triángulos

Concluimos este capítulo presentando un lista de problemas. Como en elcapítulo 1 la idea principal es que estos problemas sirvan como practica enla manipulación de las identidades trigonométricas. Pero también se puedenver como un catalogo de propiedades del triángulo.

En todo triángulo se tienen las siguientes identidades.

Problema 92 (a2 − b2) cotC + (b2 − c2) cotC + (c2 − a2) cotC = 0.

Problema 93 Demostrar que:a(senB − senC) + b(senC − senA) + c(senA− senB) = 0.

Problema 94 2(ab cosC + bc cosA+ ca cosB) = a2 + b2 + c2.

Problema 95 2(a sen2 C2 + c sen2 A2 ) = a+ c− b.

Problema 96cos2 A

2

a +cos2 B

2

b +cos2 C

2

c = s2

abc .

Problema 97 b−ca

cos2 A2

+ c−ab

cos2 B2

+ a−bc

cos2 C2

= 0

Problema 98 a sen(B − C) + b sen(C −A) + c sen(A−B) = 0.

Problema 99 cotA = c−a cosBa senB

Problema 100 sen(A−B)sen(A+B) = a2−b2

c2 .

24 2. El Triángulo

Problema 101 c sen(A−B)b sen(C−A) = a2−b2

c2−a2 .

Problema 102 a2 sen(B−C)senB+senC

+ b2 sen(C−A)senC+senA

+ c2 sen(A−B)senA+senB

= 0

Problema 103 a2 sen(B−C)senA + b2 sen(C−A)

senB + c2 sen(A−B)senC = 0

Problema 104 b2 sen 2C + c2 sen 2B = Σ.

Problema 105 b cos2 A2 + a cos2 B2 = s.

Problema 106 b sen2 A2 + a sen2 B2 = s− c.

Problema 107 s tan A2 tan B

2 = s− c.

Problema 108 Si tan θ = 2√ab

a−b sen C2entonces c = (a− b) sec θ.

Problema 109 Si tan θ = a+ba−b tan C

2 entonces c = (a− b) cos C2 sec θ.

Problema 110 Si sen θ = 2√bc

b+c cos A2 entonces a sec θ = b+ c.

Problema 111 ra−ra + rb−r

b = crc.

Problema 112 ra + rb = c cot C2 .

Problema 113 (ra − r)(rb + rc) = a2.

Problema 114 rarb + rbrc + rcra = s2.

Problema 115 r + ra + rb − rc = 4R cosC.

Problema 116 a2 − b2 = 2Rc sen(A−B).

Problema 117 (ra − r)(rb − r)(rc − r) = 4Rr2.

Problema 118 (ra + rb)(rb + rc)(rc + ra) = 4R(rarb + rbrc + rcra).

Problema 119 ( 1r− 1ra

)( 1r− 1rb

)(1r− 1rc

) = 4Rr2s2

.

Problema 120 a−brc

+ b−cra

+ c−arb

= 0.

Problema 121 tan A2

+ tan B2

+ tan C2

= ra+rb+rc√rarb+rbrc+rcra

.

Problema 122 4Σ(cotA+ cotB + cotC) = a2 + b2 + c2.

Problema 123 a2b2c2(sen 2A+ sen 2B + sen 2C) = 32Σ3.

Problema 124 a cotA+ b cotB + c cotC = 2(R+ r).

Problema 125 Demostrar que:(a+ b) tan C

2 + (b+ c) tan A2 + (c+a) tan B

2 = 4R(cosA+ cosB+ cosC).


Problema 126 cos2 A2 + cos2 B2 + cos2 C2 = 2 + r2R .

Problema 127 a senA+b senB+c senC4 cos A

2cos B

2cos C

2

= a2+b2+c2

2s.

Problema 128 ( a2

senA + b2

senB + c2

senC ) sen A2 sen B

2 sen C2 = Σ.

Problema 129 a2−b2cosA+cosB + b2−c2

cosB+cosC + c2−a2cosC+cosA = 0

Problema 130 bc cot A2 + ca cot B2 + ab cot C2 = 4Rs2( 1a + 1b + 1

c − 3s ).

Los siguientes problemas son una lista de fórmulas para calcular el áreade un triángulo (ver [1]). Para algunas fórmulas necesitamos la siguientenotación: las alturas del triángulo son ha, hb y hc y las podemos definir comoha = 2 Σ

a ; las medianas del triángulo son ma, mb y mc y µ = ma+mb+mc

2 .

Problema 131 Σ = 14

√2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 − a4 − b4 − c4

Problema 132 Σ = 43

√µ(µ−ma)(µ−mb)(µ−mc)

= 13

√2m2

am2b + 2m2

bm2c + 2m2

am2c −m4

a −m4b −m4

c

Problema 133 Σ = h2ah2bh2c√

(hahb+hbhc+hcha)(−hahb+hbhc+hcha)(hahb−hbhc+hcha)(hahb+hbhc−hcha)

Problema 134 Σ = 227R

√(2m2

a + 2m2b −m2

c)(2m2b + 2m2

c −m2a)(2m

2c + 2m2

a −m2b)

Problema 135 Σ =√

12Rhahbhc = 1

23√abchahbhc = r

2

√(ra+rb)(rb+rc)(rc+ra)

R

Problema 136 Σ = abcra+rb+rc−r = r2(ra+rb)(rb+rc)(rc+ra)

abc =√

a2+b2+c21

r2+ 1

r2a

+ 1

r2b

+ 1

r2c

Problema 137 Σ =

√m2a+m2

b+m2

c

3

(1

h2a

+ 1

h2b

+ 1

h2c

) = hahbhc3

√3

m2a+m2

b+m2

c

h2ah2b+h2

bh2c+h2

ch2a

Problema 138 Σ = 2R2 hahbhcabc = R2s(hahb + hbhc + hcha) = hahbhc

8abc (ra +rb + rc − r)2

Problema 139 Σ = 4

√R2

12 (m2a +m2

b +m2c)(h

2ah

2b + h2bh

2c + h2ch

2a)

Problema 140 Σ =m2a+m2

b+m2

c

3(cotA+cotB+cotC)

Problema 141 Σ = 13R senA senB senC

(abhc

+ bcha

+ cahb

)

= R 3√hahbhc senA senB senC

26 2. El Triángulo

2.2.3 Cuadriláteros

Teorema 7 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b =BC, c = CD y d = DA su área está dada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2(A+C

2

)

donde s es el semiperímetro.

Demostración: Si ∆ = 4(ad+bc)2− (a2 +d2− b2− c2)2 encontraremosla siguiente identidad:

∆ = 4(ad+ bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

=[(a+ d)2 − (b− c)2][(b+ c)2 − (a− d)2

]

= (a+ b+ c− d)(a+ b+ d− c)(a+ c+ d− b)(b+ c+ d− a)

= 16(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

Usando T3) y la ley de los cosenos en los triángulos △ABD y △BCDobtenemos las identidades siguientes:

a2 + d2 − b2 − c2 = 2ad cosA− 2bc cosC

4Σ = 2ad senA+ 2bc senC

elevando al cuadrado y sumando obtenemos:

16Σ2 + (a2 + d2 − b2 − c2)2 = 4(a2d2 + b2c2)− 8abcd cos(A+ C)

= 4(ad+ bc)2 − 16abcd1 + cos(A+C)

2

y por lo tanto 16Σ2 = ∆−16abcd 1+cos(A+C)2

y usando la identidad anteriorobtenemos el resultado buscado.

Corolario 8 De todos los cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA el de área maxima es el cíclico y su área estádada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

A

B

C

D

a

bc

d

x

yP

θθθθ


Teorema 9 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de diagonales x y y,que se cortan en un ángulo θ, entonces su área está dada por la fórmula:

Σ =xy sen θ

2

Demostración: En la figura anterior tenemos que:

Σ(ABC) = Σ(ABP ) + Σ(BPC)

=AP · PB sen(180o − θ)

2+CP · PB sen θ

2

=x · PB sen θ

2

análogamente: Σ(CDA) = x·PD sen θ2 y por lo tanto:

Σ =x · PB sen θ

2+x · PD sen θ

2=xy sen θ

2

Los teoremas anteriores nos dicen que el área de un cuadrángulo cíclicosolo depende de las longitudes de sus lados y no del orden de los mismos;además el problema 144, pág. 29, demuestra que el radio del circuncírculotambién solo depende de las longitudes de sus lados. Estas propiedades soncompartidas por cualquier polígono convexo cíclico. El siguiente teoremadan la historia completa.

Teorema 10 Dados n reales a1,. . . ,an (tales que el mayor de ellos esmenor que la suma los demás segmentos), entonces existen un círculo Cy un polígono P convexo A1...An inscrito en C y tal que ai = AiAi+1.Además ni el radio del círculo C ni el área del polígono A1...An dependedel orden de los segmentos.

Demostración: Sea A1A2 un segmento de longitud a1, en su mediatriztomamos un punto O y sea C el círculoque pasa por A1, A2 y O. Sea σ elarco de C que contiene a O. Si la distancia de O al segmento A1A2 es iguala a2+ ...+an entonces podemos tomar A2,..., An ∈ σ tale que ai = AiAi+1para i = 2, ..., n. Cuando O se acerca al segmento A1A2 el la longitud delarco σ se aproxima a A1A2 tanto como queramos; por lo tanto en algún

28 2. El Triángulo

A1

A2

A3

A4

A5

A6

O

FIGURE 2.1.

momento tendremos que An = A1.

A1

A2

A3

A4

A5

A6

O

Si el centro O de C es un punto interior de P , entonces los triángulosTi = ∆OAiAi+1 son tales que su área αi y ángulo θi,i+1 = ∡AiOAi+1solo dependen del segmento ai; además

∑ni=1 θi,i+1 = 360o. Por lo tanto

podemos ver a los los triángulos Ti como piezas de un rompe cabezas quepodemos colocar en cualquier posición y obtener otro polígono cíclico conlados iguales, aun que en otro orden obteniendo otros polígonos de la mismaárea α =

∑ni=1 αi, e inscritos en el mismo círculo C. Si el centro O de C no

es un punto interior de P hay uno de los triángulos, que podemos suponerque es Tn tal que el lado AnA1 separa al centro de los otros vértices A2,...,An−1 en este caso el área de P es α =

∑n−1i=1 αi − αn pero el resto del

razonamiento es el mismo.


A1

A2

A3

A4

A5

A6

θ1,2

A1

A2

A3

A4

A5

A6

θ1,2

Nota: Claramente el hecho de exista el polígono cíclico no implica quese pueda construir con regla y compás. Sin embargo el teorema ??, pág.??, da una construcción para el caso de un cuadrángulo.

Problema 142 En un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x y y su área está dada por lafórmula:

Σ2 = 4x2y2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

Problema 143 Dados cuatro segmentos a, b, c y d existe un cuadriláteroconvexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA sii s− a,s − b, s − c, s − d son positivos (donde a+b+c+d

2 ). En este caso existe uncuadrilátero ciclico.

Problema 144 Dado un cuadrilátero cíclico convexo ABCD de lados a =AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x = AC y y = BD, inscritoen un círculo de radio R demostrar que:

x2 =(ad+ bc)(ac+ bd)

ab+ cd

y2 =(ab+ cd)(ac+ bd)

ad+ bc

R =1

4Σ

√(ab+ cd)(ac+ bd)(ad+ bc)

xy = ac+ bd (Teorema de Ptolomeo)

x

y=

ad+ bc

ab+ cd

30 2. El Triángulo

A

B

C

Da

bc

d

x

y

P

2.2.4 Triángulos esféricos

Dados una esfera, tres vértices A, B y C en la esfera, que no están en uncírculo máximo, definen un triángulo esférico. La suma de los ángulos detrángulo esférico es mayor que π, esto es consecuencia del teorema de estasección.

El área de una esfera de radio R es igual a 4πR2.Dados una esfera y dos semicírculos máximos que unen dos puntos an-

tipodales definen dos regiones de la esfera cada una se llama una lunula.Un ejemplo de esto es la región de la tierra contenida entre dos meridi-anos. Claramente el área de una lunula es proporcional al ángulo θ entrelos semicírculos máximos. Por lo tanto es igual a 2θR2, si θ lo medimos enradianes. Con ayuda de este resultado obtenemos la fórmula para calcularel área de un triángulo esférico.

Teorema 11 Dado un triángulo esférico △ABC su área Σ es igual a (A+B + C − π)R2.

Demostración: Los lados a y b (resp. b y c; resp. c y a) definen doslunulas LC y L′C (resp. LA y L′A, resp. LB y L′B), LC contiene a △ABC y


L′C contiene al triángulo antipodal △A′B′C′ de △ABC; cada una de área2CR2 (resp. 2AR2; resp. 2BR2). Estas lunulas cubren la esfera, además unpunto que no está en △ABC∪△A′B′C ′ esta en una sola de las lunulas; unpunto de △ABC esta en tres de las lunulas LA, LB y LC , análogamentecad punto del antipoda de △ABC esta en tres de las lunulas L′A, L′B y L′Cy por lo tanto el área Σ de △ABC satisface la identidad

4(A+B +C)R2 = 4πR2 + 4Σ

32 2. El Triángulo


3Algoritmos

En este capítulo se estudiarán las propiedades de las funciones trigonométri-cas que están relacionadas con problemas de continuidad y de graficaciónel método que usaremos es completamente elemental sin hacer uso de lateoría del cálculo diferencial e integra. Sin embargo la desigualdad (2, p.34) es suficiente para calcular todos los limites que aparecen en los cursosde cálculo y que son necesarios para estudiar las propiedades analíticas delas funciones (ver capítulo 5).

Uno de los problemas centrales de la trigonometría consiste en estudiarlos algoritmos para el cálculo de la función E y de su inversa. Actualmenteeste cálculo se facilita gracias a las computadoras, sin embargo, es impor-tante entender como se obtienen estos algoritmos. Nosotros estudiaremosalgunos de los algoritmos para estudiar la función E en la sección (3.2, p.35) y los de la función inversa de E en la sección (??, p. ??), sin embargoestos algoritmos son muy poco eficientes, para estudiar algoritmos más efi-cientes necesitamos usar cálculo diferecial e integral eso lo haremos en elcapítulo 5 (ver también ??).

3.1 Propiedades de continuidad

3.1.1 Medida de áreas

En esta sección usaremos como medida de los ángulos los radianes. Esgeométricamente claro que el área de un sector circular es proporcional ala longitud s del arco, usaando esta propiedad es facil demostrar el teorema

34 3. Algoritmos

siguiente. Para esto se usara la definición del número π, como la razón delperímetro de un círculo al diámetro del mismo. Además de usar el hechode que π = 3.14156295....

Teorema 1 El área de un sector circular A está dada por r2s/2, donde res el radio del círculo y s la longitud del arco que define al sector.

Demostración: Como el área de un sector circular es proporcional a lalongitud s del arco que define al sector, la fórmula del área es de la formaλsπr2 donde πr2 es el área del circulo. Por lo tanto λ debe ser tal que paras = 2π se tenga 2λππr2 = πr2 y por lo tanto λ = 1/2π. .

3.1.2 Desigualdades de las Funciones Trigonométricas

Para poder estudiar las propiedades de continuidad y diferenciabilidadde las funciones trigonométricas necesitamos los siguientes dos resultados.Además de demostrar que medir los ángulos en radianes la forma natural.

Con ayuda del la sección anterior podemos demostrar el siguiente re-sultado, el cual es la base del estudio de las propiedades analíticas de lasfunciones trigonométricas. Además de demostrar que medir los ángulos enradianes la forma natural.

Teorema 2 Para todo real x ∈ (−π/2, π/2), x �= 0 se tienen las desigual-dades siguientes:

0 < cosx <senx

x< 1

ademas de que ρ = π2.

Demostración: En la figura vemos que el triángulo △OUP esta con-tenido en el sector OUP que a su vez est contenido en el triángulo △OUT ,además se tiene que: △OCP ∼ △OUT y por lo tanto UT = sen x

cos xcalcu-

lando el doble del área de las tres figuras obtenemos: senx < x < sen xcosx

parax > 0, que son desigualdades claramente equivalentes a las del teorema. Elcaso cuando x es negativa se sigue del caso x > 0 recordando (1.1.v), p.2).

O U

P

C

T

3.2 Cálculo de las funciones trigonométricas 35

Corolario 3 Las funciones trigonométricas estan definidas en (0, π2 ) y sonpositivas en el intervalo. Más aun:

{θ ∈ R : sen θ = 0} = πZ

{θ ∈ R : cos θ = 0} = πZ+π

2

3.2 Cálculo de las funciones trigonométricas

Usaremos los resultados anteriores para dar un algoritmo para calcular lasfunciones seno y coseno.

3.2.1 Reducción a ángulos agudos

En esta sección calcularemos los valores de las funciones seno y coseno re-duciendo el problema al cálculo de las funciones para ángulos en el intervalo[0, π2 ]. Para eso usaremos que para todo real θ existe un entero n tal queθ = nr + α donde α esta en el intervalo [0, π2 ].

Recordemos el concepto de congruencia, esto es que los números enterosa y b son congruentes módulo n si n divide a a− b y lo escribiremos comoa ≡ b (mod n). En particular cuando dividimos a a entre 4 y obtenemoscomo residuo a b, entonces a y b son congruentes módulo 4. Además a ≡0 (mod 2) si y solo si a es un número par.

Teorema 4 Si n es un entero entonces:

A) sen nπ2 =

1 si n ≡ 1 (mod 4)−1 si n ≡ 3 (mod 4)

0 si n ≡ 0 (mod 2)

B) cosnπ2

=

1 si n ≡ 0 (mod 4)−1 si n ≡ 2 (mod 4)

0 si n ≡ 1 (mod 2)C) Si θ es un real y n un entero tales que θ = nπ2 + α entonces:

sen θ =

sen α si n ≡ 0 (mod 4)cosα si n ≡ 1 (mod 4)

− sen α si n ≡ 2 (mod 4)− cosα si n ≡ 3 (mod 4)

D) Si θ es un real y n un entero tales que θ = nπ2 + α entonces:

cos θ =

cosα si n ≡ 0 (mod 4)− sen α si n ≡ 1 (mod 4)− cosα si n ≡ 2 (mod 4)

sen α si n ≡ 3 (mod 4)

Como consecuencia del teorema anterior se ve que si conocemos los val-ores de las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π

2], entonces conocemos

36 3. Algoritmos

el valor de estas funciones para todos los reales. Más aun basta conocer losvalores en el intervalo [0, π

4] ya que senα = cos(π

2− α).

3.2.2 Caso del ángulo agudo

En esta subsección se usan radianes para medir los ángulos y calcularemoslos valores de las funciones seno y coseno en ángulos en el intervalo [0, π/2].En este intervalo el valor del seno y del coseno es siempre mayor o iguala cero, por lo tanto cuando tenemos que en una fórmula aparece una raízcuadrada se toma siempre el valor positivo. En particular daremos los val-ores para π/4, π/3, π/6. Si conocemos el valor de la función coseno para unángulo α ∈ [0, π/2] daremos fórmulas para los valores del seno y del cosenoen el ángulo α/2.

Teorema 5 Se tiene los siguientes valores de las funciones seno y coseno.

A) sen π4 = cos π4 =

√22 .

B) sen π6 = cos π3 = 1

2 .

C) sen π3

= cos π6

=√32.

Demostración: Como π4 es complementario a si mismo tenemos sen π

4 =cos π4 que y por lo tanto 2 sen2 π

4 = 1, de donde obtenemos A.Como π

6es complementario a π

3tenemos sen π

3= cos π

6que y por lo tanto

sen π3

= 2 sen π6

cos π6

= 2 sen π6

sen π3

de donde obtenemos B. Análoga-mente sen π

6 = cos π3 y por lo tanto sen2 π6 + cos2 π6 = sen2 π6 + 14 = 1 de

donde obtenemos C.El siguiente teorema es una consecuencia inmediata de (1.1.2.3, p. 7).

Será la base del algoritmo para calcular las funciones trigonométricas.

Teorema 6 Si α ∈ [0, π/2] y se conoce cosα se tiene los siguientes valoresde las funciones seno y coseno para el ángulo α/2.

A) sen a2

=√

1−cosα2

.

B) cos α2 =√

1+cosα2 .

Con ayuda de los teoremas anteriores podemos conocer los valores de

sen π2n y cos π

2n de para n = 2, 3, .... Más aun si α =k∑

n=2an

π2n , con an igual

a cero o a uno, entonces (1.1.2.2, p. 6) nos dan formulas para calcular sen αy cosα.

Además si θ ∈ [0, π/2) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=2an

π2n , con an

igual a cero o a uno. Por lo tanto si α =k∑

n=2an

π2n

, entonces θ = α+ δ con

δ < π2k

y por lo tanto | sen θ− sen α |< 2δ y por lo tanto sen α es unaaproximación de sen θ, análogamente cosα es una aproximación de cos θ.Con ayuda de estos resultados podemos dar el siguiente algoritmo:

3.3 La función inversa 37

Algoritmo 7 Sea ρ el valor del ángulo recto. Se tiene el siguiente algo-ritmo que dado un número real ϕ aproxima los valores de las funcionesseno y coseno de ϕ.Al 1) Dar un real positivo ε que representa el grado de aproximación

deseado.Al 2) Encontrar un entero n y un real θ ∈ [0, ρ] tal que ϕ = nρ+ θ.Al 3) Encontrar k tal π

2k< ε

2.

Al 4) De la expresión θ =∞∑

n=2an

ρ2n encontrar las ai, para i = 1, ..., k y

definiendo α =k∑

n=2an

ρ2n por el teorema anterior se ve que | sen θ−sen α| <

ε y que | cos θ − cosα| < ε.Al 5) Calcular sen α y cosα.Al 6) Expresar las funciones de ϕ en función de las de θ y usar las

aproximaciones por el ángulo α.

3.2.3 Problemas

Problema 145 Enunciar y demostrar el teorema equivalente al teorema(4, p. 4) para las funciones tangente y cotangente.

Problema 146 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=1an

ρ2n ,

con an igual a cero o a uno. Dar un algoritmo para encontrar as ai, parai = 1, ..., k.

Problema 147 Si θ ∈ [0, ρ) entonces θ es de la forma θ =∞∑

n=0an

ρ2n,

con an igual a cero, a uno o a menos uno. Dar un algoritmo para encon-trar as ai, para i = 0, ..., k. Dar ejemplos donde esta representación esmas eficiente (en el sentido que necesita menos sumandos para expresar unnúmero dado) que la dada en el problema anterior.

3.3 La función inversa

3.3.1 Metodo de Arquimedes

En esta sección y en la siguiente usaremos los radianes para medir losángulos. La función E no tiene una inversa porque no es inyectiva, sinembargo, si la restringimos al intervalo (−π, π] es biyectiva y por lo tantopodemos estudiar su inversa. La si P1 ∈ S1 entonces E−1(P1) ∈ R no esotra que la longitud del arco que une el punto P1 = (c, s) con el puntoU = (1, 0) ( la consideramos negativa en el caso de que s sea negativo ).

No es posible dar un algoritmo exacto para el cálculo de la inversa deE, sin embargo, el método de Arquímedes nos permite calcular la longitud

38 3. Algoritmos

del arco con la precisión que se desee. Este método se basa en el siguientelema.

Lema 8 Sea P1 un punto de S1 y l1 su distancia a U. Y sea P2 el puntoque bisecta el arco P1U, entonces su distancia a U está dada por: l2 =√

2−√

4− l21Demostración: Si ∡UOP1 = θ entonces l1 = 2 sen θ y por lo tanto

l2 = 2 sen θ2y como

2 sen2θ

2= 1− cos θ = 1−

√1− sen2 θ

se tiene que

l22 = 4 sen2θ

2= 2− 2

√

1−(l212

)2

OP

P1

l2

P2

l2

Dado el punto P1 = (c, s), si definimos l1 =√

(c− 1)2 + s2 y definimosPn para n = 2, 3, ... como el punto que bisecta el arco Pn−1U y ln comola longitud de la secante PnU , entonces nln se aproxima a la longitud delarco P1U . En otras palabras E−1(c, s) = lim

n→∞nln. Es fácil implementar

un programa que calcule nln, en una computadora, y por lo tanto nos dela inversa de E con la aproximación que necesitemos, sin embargo es muyineficiente por lo que veremos en el capítulo 5 un método más eficiente.Una de las razones por lo que es muy ineficiente este algoritmo es porque converge muy lentamente y otra de las razones es por que se estánmultiplicando dos números reales uno que crece mucho y otro que tiende acero y esto causa muchos problemas con la precisión en la computadoras.

Si nos dan un número real c, tal que −1 < c < 1, siempre hay dos puntosC y D de S1 tales que c es la ordenada de C y D, esto es C = (c, s) yD = (c,−s) donde s =

√1− c2 . Por esta razón no existe la función inversa

de la función coseno ni aún en el intervalo [−π, π], lo mismo pasa con lafunción seno. Sin embargo si nos restringimos a:

cos : [0, π] → [−1, 1]el coseno es biyectivo y por lo tanto existe su inverso.

3.3 La función inversa 39

3.3.2 Problemas

La substitución t = tan θ2

,ver [9], se puede usar en la solución de ecua-ciones en donde las incógnitas aparecen como argumentos de una o másfunciones trigonométricas. Esta substitución tiene la ventaja de que todaslas funciones trigonométricas de son expresiones racionales en . Si t = tan θ

2obtenemos:

tan θ =2t

1− t2

t =sen θ

1 +√

1− sen2 θ

t√

1− sen2 θ = sen θ − t

t2(1− sen2 θ) = (sen θ − t)2

(1 + t2) sen θ = 2t

sen θ =2t

1 + t2

análogamente:

cos θ =1− t21 + t2

En las ecuaciones planteadas con funciones trigonométricas es suficientecon dar la solucione donde el ángulo sea el más pequeño. En cada uno delos siguientes 10 problemas existe al menos una solución donde el ángulo esun múltiplo racional de ρ. Encontrar estas soluciones y si hay otras dejarlasindicadas.

Problema 148 4 cosα = 3 secα.

Problema 149 3 sec2 α = 8 tanα− 2.

Problema 150 4 senα = 3 cscα.

Problema 151 tanα = 2 senα.

Problema 152 sec2 α = 2 tan2 α.

Problema 153 csc2 α = 4 cot2 α.

Problema 154 2 cos2 α+ 4 sen2 α = 3.

Problema 155 4 senα = 12 sen2 α− 1.

Problema 156 1 + 2 sec2 α tan2 α− sec4 α− tan4 α = 0.

Problema 157 6 sen2 α− 11 senα+ 4 = 0.

Problema 158 Si senα = 45 entonces tanα+ secα = 3.

40 3. Algoritmos

Problema 159 sen2 α+ sen2(2ρ3 + α) + sen2( 2ρ3 − α) = 3/2.

Problema 160 cos 2ρ9

cos 4ρ9

cos 8ρ9

= 1/8.

Problema 161 sen 2ρ9

sen 4ρ9

sen 8ρ9

=√38.

Problema 162 tan(ρ2 + α) = 1+tanα1−tanα .


4Funciones Hiperbolicas

En el primer capítulo basamos la trigonometría en el estudio de la funciónE : L→ S1 siendo las funciones seno y coseno la expresión en coordenadasde la función E. La propiedad central de S1 que se uso para demostrarel teorema (1.2, p. 2) fue que dado el puto E(y) existe una rotación quedeja fijo a S1 y que manda E(y) al punto U = (1, 0). En el teorema (3.1,p. 34) vimos que el área del sector cicular UOE(x) es igual a x/2. Por lotanto podemos ver a las funciones trigonométricas como expresiones de lafunción A : R → S1, donde A(x) es el punto tal que el área del sectorcicular UOA(x) es igual a x/2. Podemos usar este de punto de vista paraestudiar las funciones hiperbólicas.

Una formulación más detallada de lo anterior es la siguiente. Si RotO(R2)es el conjunto de rotaciones del plano con centro el origen. Si R ∈ RotO(R2),entonces R esta dada en forma matricial por: R( xy ) = ( cos θ

− sen θsen θcos θ )(xy ). Las

rotaciones preservan longitudes. Esto es, si γ es una curva del plano de lon-gitud α entonces el conjunto R(γ) tiene longitud α. Además las rotacionessatisfacen las siguientes propiedades:r1) Las rotaciones preservan áreas. Esto es, si A es un conjuto del plano

de área α entonces el conjunto R(A) tiene área α.r2) detR = 1.r3) Las rotaciones manda los círculos S1R = {(x, y) : x2 + y2 = R2} de

centro el origen y radio R en si mismos.r4) Si P y Q ∈ S1R entonces existe una única rotación R ∈ RotO(R2) tal

que Q = R(P ).r5) Si S, T ∈ RotO(R2) entonces ST y T−1 ∈ RotO(R2).

42 4. Funciones Hiperbolicas

En la proxima sección estudiaremos las transformaciones que tienen lasmismas propiedades respecto de la hiperbola x2 − y2 = 1.

4.1 Hiperbola Equilátera

En esta sección daremos un resumen de las pricipales propiedades geométri-cas de las hipérbolas equiláteras. Sea H1

k = {(x, y)|x2 − y2 = k, k > 0,x > 0} una rama de una hipérbola equilátera, si k = 1 la llamaremos lahipérbola unitaria H1. Si rotamos 45o los ejes coordenados entonces H1

k

satisface la ecuación xy = k/2.Los puntos de H1

k satisfacen la propiedad de que los triángulos △OAPy △OBQ tienen la misma área, más aun esta propiedad caracteriza a lashipérbolas H1

k .

En esta sección estudiaremos las transformaciones que son de la forma

R(xy) =

(a bc d

)(xy

)que mandan a las hipébolas H1

k en si mismas,

preservan área y tienen determinante positivo. Al conjunto de estas trans-formaciones las llamaremos rotaciones hiperbólicas y las denotaremos porH(R2).

4.1 Hiperbola Equilátera 43

Claramente para cuaquier α ∈ (0,∞) la función T ( xy ) = (α001/α)(xy ) =

( αxy/α ) es tal que manda a H1k en si misma. Ademas del hecho que un

cuadrado de lado δ se transforma en un rectángulo de lados αδ y δ/α dela misma área es facil ver que T preserva áreas y es de determinante igual

a 1. El punto U ∈ H1k se transforma en el punto Q =

(α√k,

√kα

)∈ H1

k ,

por lo tanto si el punto Q(b, kb) esta en H1

k entonces si tomamos α = b√k

obtenemos una transformación T tal que manda el punto U = (√k,√k) al

punto Q = (b, kb ).Si esta transformación manda el punto P al punto R entonces el área del

trapecio hiperbólico V APU es la misma que el área del trapecio hiperbólico

BCRQ. Además si P = (a, ka) entonces R = T ( c

d), esto es R = ( ab√

k,√kab

).

Usando este resultados obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 1 Si en la figura se tiene que A = (a, 0), B = (b, 0), C = (c, 0) yD = (d, 0), entonces las áreas de los trapecios hiperbólicos ABQP y CDSRson iguales sii ba = d

c

Si giramos 45o los ejes coordenados la transformación T (xy) = ( αx

y/α)

adquiere la forma T ( xy ) =

(a bb a

)(xy

)donde a =

α+ 1α

2 y b =α− 1

α

2 ,

por lo tanto a > 0 y a2 − b2 = 1. En esta forma T tiene las propiedadessiguientes:


• Preserva áreas.• Manda H1

k = {(x, y)|x2 − y2 = k, k > 0, x > 0} en si mismas.

• Dado (a, b) ∈ H1 entonces T =

(a bb a

)es tal que T (10 ) = (ab ).

Si H(R2) = {T |T (xy ) = ( αxy/α), α > 0} o si giramos 45o los ejes coordena-

dos H(R2) = {T |T (xy ) =

(a bb a

)(xy

), a > 0, a2 − b2 = 1}, podemos

resumir los resultados anteriores en la siguiente proposición.

Proposición 2 El conjunto H(R2) satisface las propiedades:h1) Si T ∈ H(R2) entonces T preserva áreas.h2) detT = 1.h3) Si T ∈ H(R2) manda las hiperbolas H1

k en si mismas.h4) Si P y Q ∈ H1

R entonces existe una única transformación R ∈H(R2) tal que Q = R(P ).h5) Si S, T ∈ H(R2) entonces ST y T−1 ∈ H(R2).

4.2 Logaritmo

Si H12 es la rama {(x, y)|xy = 1, x > 0} de la hipérbola xy = 1, y para

x ∈ (0,∞) sean los puntos V = (1, 0), A = (x, 0), P = (x, 1x ) y U = (1, 1).Entonces definimos la función ln:(0,∞) → R donde lnx es igual al área deltrapecio hiperbólico V APU . Claramente la función ln es continua (teoremafundamental del calculo).

4.2 Logaritmo 45

FIGURE 4.1.

Las propiedades más importantes de la función logaritmo están dadas enel teorema siguiente:

Teorema 3 La función logaritmo satiface las propiedades:i) ln(xy) = ln(x) + ln(y) y ln(1) = 0.ii) Si r ∈ R y x ∈ (0,∞), entonces ln(xr) = r ln(x)iii) ln es una función biyectiva entre (0,∞) y R.iv) Si e ∈ R es tal que ln(e) = 1 y x ∈ R entonces x = eln x

v) El área del trapecio hiperbólico ABQP es igual al área del triángulohiperbólico OQP .

Demostración: Si V = (1, 0), A = (x, 0), B = (y, 0) y C = (xy, 0)entonces la transformación T ∈ H(R2) tal que T (V ) = B es tal que T (A0 =C y por lo tanto el área del trapecio hiperbólico V APU es igual al áreadel triángulo hiperbólico BCRQ, esto demuestra la parte i). Y esto implicaii) para r racional y por continuidad para todo número real r. La parteiii) se sigue del hecho de que la función ln es estrictamente creciente ydel hecho que ii) implica que hay valores arbitrariamente grandes tantonegativos como positivos. La parte v) se sigue de que los triángulos △OAP


FIGURE 4.2.

y △OBQ tienen la misma área y por lo tanto el triángulos △OCP y eltrapecio ABQC tienen la misma área.

Como la función ln es biyectiva existe un número real e ∈ R mayor que1 tal que ln(e) = 1. Y por lo tanto si x ∈ R y definimos y = eln x, entoncesln y = lnx · ln e = lnx y por lo tanto x = eln x.

Daremos ahora una estimación del número e.

Proposición 4 El número e esta en el intervalo (2, 3).

Demostración: En la figura se tiene los puntos: V = (1, 0), U(1, 1),A = (2, 0), P = (2, 1

2), B = (3, 0), Q = (3, 1/3), C = (2, 1), D = (1, 3

4) y

E = (2, 14). Con esta información obtenemos las siguientes desigualdedes.Como el trapecio hiperbólico V APU esta contenido en el cuadrado V ACD,de área uno, se tiene que ln(2) < 1 y por lo tanto 2 < e. Además el trapeciohiperbólico V BQU contiene el trapecio V BED, de área uno, por lo tantoln(3) > 1 y por lo tanto 3 > e. Por lo tanto e ∈ (2, 3).

4.3 Funciones Hiperbólicas 47

4.3 Funciones Hiperbólicas

Si P es un punto deH1 = {(x, y)|x2−y2 = 1, x > 0} y θ es el doble del áreadel sector hiperbólico UOP , que llamaremos el ángulo hiperbólico, entonceslas coordenadas del punto P representan las funciones seno hipebólico yseno hipebólico del ángulo hiperbólico θ. Esto es P = (cosh θ, senh θ) yobtenemos en teorema siguiente.

Proposición 5 Las funciones seno y coseno hiperbólicos satisfacen lassiguientes propiededes:i) Las funciones seno y coseno hiperbólicos estan definidas en R con

valores en R, esto es: senh, cosh : R→ R.ii) Se tiene las identidades:

cosh(x− y) = coshx cosh y − senhx senh y

senh(x− y) = senhx cosh y − coshx senh y

iii) cosh 0 = 1.iv) Si x > 0 entonces senhx > 0.

Demostración: Si los triángulos hiperbólicosOUP ,OUP y OUR tienenáreas iguales a y/2, −y/2 y x/2 respectivamente y por lo tanto P =(coshx, senhx), P = (coshx,− senhx), Q = (cosh(x − y), senh(x − y))y R = (cosh y, senh y). Entonces la transformación T = ( cosh y

− senh y− senh ycosh y )

preserva áreas y manda U a P , P a U y R a Q esto es ( cosh(x−y)senh(x−y) ) =

( cosh y− senh y

− senh ycosh y )( cosh xsenh x ), lo que demuestra el teorema.

De la misma forma que se demostraron los teoremas (1.6, p. 6) y (1.7,p. 7) del capítulo se demuestra ahora los siguientes teoremas.En todaslas expresiones algebraicas que siguen si se entenderá que los argumentosusados son tales que no se anulan los denominadores.


Teorema 6 Las funciones seno y coseno hiperbólicos satisfacen las sigu-ientes propiedades:i) cosh2 x− senh2 x = 1ii) cosh(x+ y) = coshx cosh y + senhx senh y.iii) senh(x+ y) = senhx cosh y + coshx senh y.iv) Se tiene las identidades: senh(−x) = − senhx, cosh(−x) = coshx.v) senh 0 = 0

vi) 2 senh2 x2

= coshx− 1 = senh2 xcosh x+1

vii) 2 cosh2 x2

= coshx+ 1 = senh2 xcosh x−1

viii) senh((0,∞)) ⊂(0,∞), senh((−∞, 0)) ⊂(−∞, 0) y cosh(R) ⊂[1,∞)

Definición 7 Definimos:La función hiperbólica tangente: tanh : R→ R, tanh(x) = senh x

cosh x

La función hiperbólica cotangente: coth : R− {0} → R, coth(x) = cosh xsenh x

La función hiperbólica secante: sech : R→ R, sec(x) = 1cosh x

La función hiperbólica cosecante: csch : R− {0} → R, csc(x) = 1senh x

Proposición 8 Las funciones seno y coseno hiperbólicos satisfacen lassiguientes propiedades:iii) tanh(−x) = − tanhx y coth(−x) = − cothxiv) tanh x

2= cosh x−1

senh x= senh x

cosh x+1

v) tanh(x± y) = tanh x±tanh y1±tanh x tanh y

vi) senhx+ senh y = 2 senh(x+y2 ) cosh(x−y2 )

vii) senhx− senh y = 2 cosh(x+y2

) senh(x−y2

)

viii) coshx+ cosh y = 2 cosh( x+y2

) cosh( x−y2

)

ix) coshx− cosh y = 2 senh(x+y2

) senh(x−y2

)

Definición 9 Definimos la función exponencial: exp : R → R, exp(x) =coshx+ senhx.

Las propiedades de las funciones hiperbólicas nos dan las siguientespropiedades de la función exponencial.

Teorema 10 La función exponencial satisface las siguientes propiedades:i) exp(0) = 1ii) exp(x+ y) = exp(x) exp(y)iii) exp(−x) = 1

exp(x)

iv) exp(R) ⊂ (0,∞)

ii) senhx = exp(x)−exp(−x)2 y coshx = exp(x)+exp(−x)

2iv) Si γ ∈ Q entonces exp(γx) = exp(x)γ


Las relaciones que hay entre las funciones hiperbólicas y la función ex-ponencial nos permite demostrar algunas propiedades como en el siguienteejemplo.

Ejemplo 11 Se tiene las identidades:

senh 3x = 4 senh3 x+ 3 senhx = 4 cosh2 x senhx− senhx

cosh 3x = 4 cosh3 x− 3 coshx = 3 senh2 x coshx+ cosh3 x

Demostración: Como senh 3x = exp(3x)−exp(−3x)2 = exp(x)3−exp(−x)3

2 setiene que

senh 3x =(coshx+ senhx)3 − (coshx− senhx)3

2

= 3 cosh2 x senhx+ senh3 x

= 3(1 + senh2 x) senhx+ senh3 x

= 4 senh3 x+ 3 senhx

la otra identidad se demuestra de la misma forma.

4.3.1 Problemas.

Los siguientes problemas sirven tanto para practicar el uso de las identi-dades anteriores como para estudiar nuevas identidades.

Problema 163 senh 2x = 2 senh x coshx

Problema 164 cosh 2x = cosh2 x+senh2 x = 1+2 senh2 x2 = 2 cosh2 x2−1

Problema 165 Demostrar que si x ∈ R entonces coshx ≥ 1 y senhx <coshx.

Problema 166 sech(−x) = sechx y csch(−x) = − cschx

Problema 167 1− tanh2 x = sech2 x

Problema 168 coth2 x− 1 = csch2 x

Problema 169 senhα =2 tanh α

2

1−tanh2 α

2

.

Problema 170 coshα =1+tanh2 α

2

1−tanh2 α

2

.

4.3.2 Desigualdades de las Funciones Hiperbólicas

Para poder estudiar las propiedades de continuidad y diferenciabilidad delas funciones hiperbólicas necesitamos el siguiente resultado, el cual es la


base del estudio de las propiedades analíticas de las funciones trigonométri-cas.

Teorema 12 Para todo real x ∈ R, x �= 0 se tienen las desigualdadessiguientes:

coshx >senhx

x> 1

Demostración: En la figura vemos que el triángulo△OUP esta contieneal sector OUP que a su vez est contiene al triángulo △OUT , además setiene que: △OQP ∼ △OUT y por lo tanto UT = senh x

cosh x calculando el doble

del área de las tres figuras obtenemos: senhx > x > senh xcosh x para x > 0, que

son desigualdades claramente equivalentes a las del teorema. El caso cuandox es negativa se sigue del caso x > 0.


5Analisis de las FuncionesTrigonométricas e Hiperbólicas

En este capítulo estudiaremos las propiedades de las funciones trigonométri-cas e hiperbólicas relacionadas con el cálculo diferencial e integral. En par-ticular daremos fórmulas para calcular las derivadas de estas funciones.Además de las series de Taylor de las funciones seno y coseno, tanto enel caso de las funciones trigonométricas como en las funciones hiperbólicasasí como de la función exponencial. El método que usaremos es totalmenteelemental, aparte de los resultados previos solo se usara las definicioneselementales y del teorema fundamental del cálculo integral.

Los resultados de cálculo diferencial e integral que necesitamos son lossiguientes:

Teorema 1 Si x es un real, entonces:

limn→∞

xn

n!= 0

Teorema 2 Si sn : (a, b) → (0,∞) i = 1, 2, ... es una sucesión suce-sión de funciones positivas tales que sn(x) > sn+1(x) y que además parax ∈ (a, b) tenemos que lim

n→∞sn(x) = 0 entonces existe el limite f(x) =

limn→∞

∞∑

n=1(−1)nsn(x) y además |f(x)−

N∑

n=1sn(x)| < sN(x)− sN+1(x).

Teorema 3 Si f , sn : (0, a) → R son unas funciónes continuas y an unasucesión de reales, tales que:i) f(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + ...+ anxn + sn(x)

ii) Para toda x ∈ (a, b) se tiene que limn→∞

∫ x0sn(t) = 0

52 5. Analisis de las Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas

iii) Se define la función F (x) =∫ x0 f(t)dt para x ∈ (0, a).

entonces la serie Sn(x) = a0x+ a1x2

2 + a2x3

3 + ...+ anxn+1

n+1 , converge a lafunción F .

Problema 171 Demostrar los teoremas anteriores.

5.1 Funciones Trigonométricas

El siguiente teorema nos da una estimación de que tan bien sen (θ + δ) ycos(θ + δ) aproximan a sen θ y a cos θ cuando θ y θ + δ ∈ (0, π2 ).

Proposición 4 Las funciones seno y coseno son continuas, además sonpositivas en el intervalo (0, π2 ). Más aun si θ, θ + δ y δ ∈ (0, π2 ):i) La función seno es estríctamente creciente en el intervalo [0, ρ] ademas

| sen(θ + δ)− sen θ| < δ.ii) La funcion coseno es estríctamente decreciente en el intervalo [0, ρ]

ademas | cos(θ + δ)− cos θ| < δ.

Demostración: Usando el teorema (3.2, p. 34) se tiene la desigualdadsenx > x cos x y po lo tanto el seno es positivo en el intervalo (0, π2 ). Locual demuestra que todas las funciones trigonométricas son positivas en elintervalo (0, π2 ).

Ademas si δ > 0 y θ, y θ + δ estan en (0, π2) se tiene la igualdad

sen(θ + δ)− sen θ = 2 cos( θ +δ

2) sen

δ

2

que demuestra que la función seno es estrictamente creciente, ademas us-ando la desigualdad, |2 sen δ

2 | < δ, demuetra i). La proposición ii) se siguede la igualdad

cos(θ + δ)− cos θ = −2 sen( θ +δ

2) sen

δ

2

De la desigualdad sen δ < δ se siguen las desigualdades

| sen(θ + δ)− sen θ| < 2 senδ

2< δ

| cos(θ + δ)− cos θ| < 2 senδ

2< δ

que demuestran que las funciones seno y coseno son continuas.

Corolario 5 La restricción de la función seno al intervalo [−π2 , π2 ] da unabiyección entre [−π2 , π2 ] y [−1, 1]. La restricción de la función coseno alintervalo [0, π] da una biyección entre [0, π] y [−1, 1].

5.1 Funciones Trigonométricas 53

Demostración: Como las funciones seno y coseno son estrictamentecrecientes y decrecientes respectivamente son funciones inyectivas, por esto,lo único que falta demostrar es que son suprayectivas y esto se sigue delteorema del valor intermedio ya que son funciones continuas.

Teorema 6 Si θ ∈ (0, π2 ) entonces:

A) 1− θ2

2 < cos θ < 1.

B) θ − θ3

4 < sen θ < θ.

Demostración: Del teorema anterior se sigue que sen θ2 <

θ2 y tan θ

2 >θ2. Por lo tanto cos θ = 1− 2 sen2 θ

2> 1− 2(θ

2)2 > 1− θ2

2de donde se sigue

A).Para demostrar B) tenemos que

sen θ = 2 senθ

2cos

θ

2= 2 tan

θ

2cos2

θ

2

= 2 tanθ

2(1− sen2

θ

2) > 2

θ

2(1− θ2

4)

Corolario 7 Se tiene los limites

limθ→0

sen θ

θ= 1

limθ→0

1− cos θ

θ= 0

Teorema 8 La función f : [0, π2] → R definida por f(θ) = sen θ

θes una

función decreciente.

Demostración: Si θ y θ + δ ∈ (0, π2

] y δ > 0 entonces

f(θ)− f(θ + δ) =(θ + δ) sen θ − θ sen(θ + δ)

θ( θ + δ)

=θ sen θ(1− cos θ) + δ sen θ − θ cos θ sen δ

θ( θ + δ)

pero cada sumando del denominador es positivo ya que δ > sen δ y sen θ >θ cos θ.

Corolario 9 La función f : (0, π2] → R definida por f(θ) = sen θ

θes tal que

f((0, π2 ]) ⊂ [1, 2π ].

Teorema 10 Se tiene las fórmulas siguientes:i) sen′ θ = cos θii) cos′ θ = − senθ


Demostración: Se tiene la fórmula

sen(θ + δ)− sen θ

δ=

2 cos(θ + h2 ) sen δ

2

δ

= cos(θ +δ

2)sen δ

2δ2

de donde se sigue i). La propiedad ii) se demuestra de la misma forma.Con ayuda de este resultado y del teorema fundamental del cálculo in-

tegral obtenemos las series de Taylor de las funciones seno y coseno. Paraesto se define los polinomios siguientes:

S2n+1(θ) = θ− θ3

3!+θ5

5!− ...+ (−1)n

θ2n+1

(2n+ 1)!

C2n(θ) = 1− θ2

2!+θ4

4!− ...+ (−1)n

θ2n

(2n)!

que usando los teoremas (1, p. 51) y (2, p. 51) vemos que estos polinomiosdefinen series convergentes.

Teorema 11 Si θ > 0 se tienen las desigualdades:

S4n−1(θ) < sen θ < S4n+1(θ)

C4n−2(θ) < cos θ < C4n(θ)

Demostración: Si θ > 0 de la desigualdad cos θ < 1 se sigue que:

∫ θ

0

cosx dx <

∫ θ

0

dx

sen θ < θ

5.1 Funciones Trigonométricas 55

si integramos repetidamente obtenemos la siguiente sucesión de desigual-dades

∫ θ

0

senx dx <

∫ θ

0

xdx

1− cos θ <θ2

2!

cos θ > 1− θ2

2!∫ θ

0

cosx dx >

∫ θ

0

(1− x2

2!)dx

sen θ > θ− θ3

3!∫ θ

0

senx dx >

∫ θ

0

(x− x3

3!)dx

1− cos θ >θ2

2!− θ4

4!

cos θ < 1− θ2

2!+θ4

4!

continuando de esta forma obtenemos por inducción el teorema.Recordando las fórmulas:

arctan θ =

∫ θ

0

dt

1 + t2

1

1 + t2= 1− t2 + t4 − ...+ (−1)2t2n +

(−1)n+1t2n+2

1 + t2

for n = 1, 2, .... Y definimos los polinomios

AT2n+1(x) = t − t3

3+t5

5− ...+ (−1)2

t2n+1

2n+ 1

Teorema 12 Si x ∈ [−1, 1] entonces

| arctan θ −AT2n+1(x)| =|x|2n+32n+ 3

Usaremos este resultado para dar series que nos dan . Sin embargo estaserie converge rápidamente sólo si x esta muy cerca de cero. Por esta razóndaremos distintas formas para hacer el cálculo, cada una de ellas más efi-ciente que la anterior.

Usando este resultado obtenemos la siguiente fórmula para calcular π.Aunque no es muy eficiente podremos usar la idea para obtener otras formasmás eficientes para calcular π.

π

4= arctan 1 = 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · ·


que converge muy lentamente. Para obtener una serie que converja másrápido necesitamos ángulos que estén más cerca de cero.

Para obtener una formula más eficiente necesitamos las siguientes iden-tidades. Si α = arctan 1

2 y β = arctan 13 entonces:

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1− tanα tanβ=

12 + 1

3

1− 1213

= 1 = tanπ

4

y por lo tantoπ

4= arctan

1

2+ arctan

1

3

esta fórmula es de Charles Hutton (1776) y fue usada por W. Lehmann en1853 para calcular π con 261 cifras decimales.

Para obtener una formula aun más eficiente usaremos las siguientes iden-tidades. Si α = arctan 1

5 y β = arctan 1239 entonces:

tan 2α =25

1− 125

=5

12

tan 4α =1012

1− 25144

=120

119

tan(4α− β) =tan 4α− tanβ

1 + tanα tanβ=

120119 − 1

239

1 + 120119

1239

= 1 = tanπ

4

y por lo tantoπ

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239fórmula obtenida por Machin en 1706 y usada por William Rutherford 1853para calcular π con 440 cifras decimales.


π

6=

1√3

(1− 1

3 · 3 +1

32 · 5 −1

33 · 7 + ...


1

2arctanα = arctan

α

1 +√

1 + α2


π

4= 5 arctan

1

7+ 2 arctan

3

79


Problema 175 Si f : R→ R esta definida como f(x) = x1+√1+x2

en-tonces:i) La función f es continua y creciente.ii) f([−∞,∞]) = (−1, 1)iii) Para toda x, se tiene que |f(x)| < 1 y |f(f(x))| < 1

1+√2.

iv) Si x ∈ R y definimos y0 = x y yi+1 = f(yi) entonces limi→∞

yi = 0.

Problema 176 Usar los problemas anteriores para dar un algoritmo paracalcular arctanx, para toda x real.

Problema 177 Si pn = cos θ2

cos θ22· · · cos θ

2nentonces lim

n→∞pn = sen θ

θ.

(Sugerencia: sen θ = 2 cos θ2 sen θ2 , sen θ = 22 cos θ2 cos θ

22 sen θ22 , etc.).

5.2 Funciones Hiperbólicas

El siguiente teoremas nos da información en el caso hiperbólico.

Proposición 13 Las funciones hiperbólicas y la función exponencial soncontinuas, además son positivas en el intervalo (0,∞). Más aun:i) La función seno es estríctamente creciente en el intervalo [0,∞).ii) La funcion coseno es estríctamente creciente en el intervalo [0,∞)iii) La función exponencial es estríctamente creciente en el intervalo

[0,∞)

Demostración: Del teorema (4.12, p. 50) obtenemos la informaciónsiguiente. De la desigualdad senhx > x se tiene que el seno hiperbólicoes positivo en el intervalo (0,∞). Ademas si h > 0 y x ≥ 0 se tiene laigualdad se tiene que el coseno hiperbólico es positivo para toda x ∈ R.

cosh(x+ h)− cosh x = 2 senh(x+h

2) senh

h

2

que demuestra que la función coseno hiperbólico es estrictamente crecienteen [0,∞).

Igualmente se tiene

senh(x+ h)− senh x = 2 cosh(x+h

2) senh

h

2

que demuestra que la función seno hiperbólico es estrictamente creciente en(0,∞). Lo cual demuestra que todas las funciones hiperbólicas son positivasen el intervalo en (0,∞).

Si |h| < 1 se tiene la desigualdad

h < senhh < h coshh < h cosh 1


lo que demuestra que el seno hiperbólico es continua en el cero. Ademas six > 0 y |h| < 1 se obtienen las desigualdades

| senh(x+ h)− senh x| < 2 cosh(x+1

2)| senh

h

2|

| cosh(x+ h)− cosh x| < 2 senh(x+1

2)| senh

h

2|

que demuetran que las funciones seno y coseno hiperbólicas son continuasen (0,∞) y de ahi se sigue para todos los reales.

Corolario 14 Se tiene el limite:

limx→0

senhx

x= 1

Demostración: Como el seno hiperbólico es continuo en el origen setiene que lim

x→0senhx = 0. Ademas usando que coshx = 2 senh2 x

2+ 1 se

tiene las desigualdades

coshx− 1 = 2 senh2x

2>

senhx

x− 1 > 0

que demuestra el corolario.

Teorema 15 Se tiene las fórmulas siguientes:i) senh′ x = coshxii) cosh′ x = senhxiii) exp′ x = exp′ x

Demostración: Se tiene la fórmula

senh(x+ h)− senhx

h=

2 cosh(x+ h2 ) senh h

2

h

= cosh(x+h

2)senh h

2h2

de donde se sigue i). La propiedad ii) se demuestra de la misma forma. Lapropiedad iii) se sigue de i) y ii)

5.3 Función exponencial

Con ayuda de este resultado y del teorema fundamental del cálculo integralobtenemos las series de Taylor de la función exponencial. Para esto se definelos polinomios siguientes:

En(x) = 1 +x

1!+x2

2!+x3

3!+ ...+

xn

n!

5.3 Función exponencial 59

y por lo tanto

En(−x) = 1− x

1!+x2

2!− x3

3!+ ...+ (−1)n

xn

n!

que usando los teoremas (1. p. 51), (2, p. 51) y (3, p. 51) vemos que lasEn(x) definen una serie convergente.

Teorema 16 Si 0 < x < a se tienen las desigualdades:

En(x) < expx < En(x) +xn+1

(n+ 1)!expa

y ademas expx = limn→∞

En(x).

Si x > 0 se tienen las desigualdades:

E2n−1(−x) < exp(−x) < E2n(−x)

y ademas exp(−x) = limn→∞

En(−x).

Demostración: Si 0 < x < a de la desigualdad exp(−x) < 1 si inte-gramos obtenemos la siguiente desigualdad:

∫ x

0

exp(−y)dy <

∫ x

0

dy

1− exp(−x) < x

por lo que se tiene 1 < expx < 1 − x expx < 1 − x expa. Si integramosrepetidamente obtenemos la siguiente sucesión de desigualdades:

∫ x

0

dy <

∫ x

0

exp y dy <

∫ x

0

(1− y expa)dy

x

1!< expx− 1 <

x

1!− x2

2!expa

∫ x

0

(1 +y

1!)dy <

∫ x

0

exp y dy <

∫ x

0

(1 +y

1!− y2

2!expa)dy

x

1!+x2

2!< expx− 1 <

x

1!+x2

2!− x3

3!expa

continuando de esta forma obtenemos por inducción la propiedad i) delteorema.


Si x > 0 de la desigualdad exp(−x) < 1 obtenemos la siguiente sucesiónde desigualdades:

∫ x

0

exp(−y)dy <

∫ x

0

dy

1− exp(−x) <x

1!

exp(−x) > 1− x

1!∫ x

0

exp(−y)dy >

∫ x

0

(1− y

1!)dy

1− exp(−x) <x

1!− x2

2!

exp(−x) > 1− x

1!+x2

2!

continuando de esta forma obtenemos por inducción la propiedad ii) delteorema.

Corolario 17 Para toda x ∈ R se tiene que exp(x) = limn→∞

En(x).

Daremos los desarrollos de Taylor de las funciones seno y coseno hiper-bólicas. Para esto definimos los polinomios:

SH2n+1(x) = x+x3

3!+x5

5!+ ...+

x2n+1

(2n+ 1)!

CH2n(x) = 1 +x2

2!+x4

4!+ ...+

x2n

(2n)!

con los que obtenemos el corolario:

Corolario 18 Para toda x ∈ R se tiene que:

senhx = limn→∞

SH2n+1(x)

coshx = limn→∞

CH2n(x)

En la proposición (4.4, p. 46) se demostro que e ∈ (2, 3). Usando lamisma idea podemos dar mejores aproximaciones para el número e. Másaun podemos aproximar ea, para a ∈ R.

Proposición 19 Para todo n, entero mayor que uno y a ∈ R se tiene lasdesigualdades

(1 +a

n)n < ea < (1 +

a

n)n+a

5.4 Problemas 61

Demostración: Si A = (1 + an , 0) se tiene P = ((1 + a

n ,nn+a ) y por

lo tanto el rectangulo V APW tiene área an+a

. Y el rectangulo V AQUtiene área a

n . Además el rectangulo V APW esta contenido en el trapeciohiperbólico V APU el cual esta contenido en el rectangulo V AQU . Por lotanto

a

n> ln(1 +

a

n) >

a

n + a

lo que implica las desigualdades

a > ln(1 +a

n)n

a < ln(1 +a

n)n+a

que son equivalentes a las desigualdades de la proposición.

Corolario 20 Si a ∈ R entonces ea = limn→∞

(1 + an)n.

5.4 Problemas

Sección no escrita.


6Aplicaciones de la Trigomometría

6.1 Resolución de triángulos

Podemos decir que conocemos bien un triángulo cuando conocemos sus la-dos y sus ángulos. Cuando se dan tres de estos elementos se puede tratar deencontrar los otros tres. Sin embargo no siempre es posible hacerlo o hacerlode forma única. En los siguientes problemas se dan tres de estos elementosy se pide dar las fórmulas para calcular los otros tres, es importante queden varias formas de calcular los otros tres elementos y discutir las ventajasde cada una de ellas. Especial cuidado se debe tener en dar las condicionespara que existan soluciones y cuando estas son únicas, dar tanto razonesgeométricas como algebraicas A este proceso se le suele llamar el resolverel triángulo.

Problema 178 Resolver un triángulo dado sus tres lados.

Problema 179 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ángulocomprendido.

Problema 180 Resolver un triángulo dado dos de sus ángulos y un lado.

Problema 181 Resolver un triángulo dado dos de sus lados y el ánguloopuesto a uno de ellos.

Problema 182 Resolver un triángulo dado sus tres ángulos.

64 6. Aplicaciones de la Trigomometría

6.2 Aplicaciones a la geometría

Una de las primeras aplicaciones de la trigonometría fue a la geometría. Enesta sección estudiaremos algunos ejemplos de esta teoría.

6.2.1 Triángulo

Teorema 1 De los triángulos inscritos en un círculo de radio R el trián-gulo equilátero es el mayor perímetro y área.

Demostración: Si (A,B,C) son los ángulos de un triángulo su perímetroesta dada por 2R(senA + senB + senC), por lo que es suficiente encon-trar el máximo de la función senA + senB + senC. Si el triángulo no esequilátero, podemos suponer que A �= B, entonces:

senA+ senB = 2 senA+B

2cos

A−B

2

< 2 senA+B

2

= senA+B

2+ sen

A+B

2

y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos (A+B2, A+B

2, C) tiene un

perímetro mayor.El área del triángulo esta dada por Σ = 2R2 senA senB senC, por lo

que es suficiente encontrar el máximo de la función senA senB senC. De lamisma forma si el triángulo no es equilátero, podemos suponer que A �= B,entonces:

senA senB =cos(A+B)− cos(A−B)

2

<cos(A+B)− 1

2

= senA+B

2sen

A+B

2

y por lo tanto el triángulo isóceles de ángulos (A+B2 , A+B2 , C) tiene unaárea mayor.

En el triángulo△ABC se tienen las alturas AD, BE y CF que se cortanen el ortocentro H.

6.2 Aplicaciones a la geometría 65

el triángulo △DEF se llama el triángulo pedal del triángulo △ABC. Dela figura obtenemos el siguiente resultado:

Teorema 2 En el triángulo △DEF , de ángulos agudos, se tiene:i) Las rectas AD, BE y CF son las bicectrices. Más aun

∡FDH = ∡HDE = 90o −A

ii) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 180o−2A, E = 180o−2By F = 180o − 2C.iii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cosA = R sen2A, e =

b cosB = R sen 2B y f = c cosC = R sen 2C.iv) El área del triángulo △DEF es 1

2R2 sen 2A sen 2B sen 2C.

v) El radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es R2 .

Demostración: Como el círculo de diametro BC pasa por E y F , setiene que ∡FDH = ∡ABH = 90o −A análogamente ∡HDE = 90o −A ypor lo tanto se tiene i) y ii).

Se tiene que ∡ACB = ∡AFE porque ambos son complementarios delángulo ∡DFE, igualmente ∡ABC = ∡AEF y por lo tanto △ABC ∼△AEF . Por lo tanto:

cosA =AE

AB=EF

BC=d

a

que junto con la ley de los senos nos da iii). El área del triángulo △DEFes 1

2ef sen(180o − 2A) = 12R

2 sen 2A sen 2B sen 2C. De la ley de los senos

vemos que el radio del círculo circuncrito del triángulo △DEF es d2 senD =

R sen 2A2 sen(180o−A) = R

2 .

Teorema 3 En un triángulo △ABC se tiene que la distancia entre el in-centro I al circuncentro O esta dada por:

OI2 = R2 − 2Rr


Demostración: Prolongamos el segmento AI asta que corte el circuncír-culo en el punto H. Trazamos el diametro HA′, que es perpendicular a BC,unimos A′ con C. Entonces ∡HA′C = ∡HAC = A

2 .

Como el ángulo ∡HIC es un ángulo exterior del △HIC se tiene que∡HIC = A

2 + C2 . Tambien ∡HCI = ∡HCB + ∡BCI = A

2 + C2 . Y por lo

tanto HI = HC = 2R sen A2. Tambien AI = r

sen A

2

y por lo tanto HI ·AI =

2Rr. Pero usando el problema (190, p. 69) (R−OI)(R +OI) = 2Rr.

Teorema 4 En un triángulo △ABC se tiene las fórmulas:i) La distancia del ortocentro H al circuncentro O esta dada por:

HO2 = R2 − 8R2 cosA cosB cosC

ii) La distancia del vertice A al incentro I esta dada por:

AI = 4R senB

2sen

C

2

iii) La distancia del ortocentro H al incentro I esta dada por:

HI2 = 2r2 − 4R2 cosA cosB cosC

Demostración: Usando la ley de los cosenos, para el triángulo △AOH,obtenemos:


HO2 = AO2 +AH2 − 2AO ·AH cos∡HAO

ademas:

∡AHF = 90o −∡HAF = 90o − ∡DAB = B

AO = R

AH = AF cscB = b cosA cscB

= 2R senB cosA cscB = 2R cosA

∡SAO = ∡HAB − ∡OAB = (90o −B)− (90o − C) = C −B

por lo tanto obtenemos i) de la siguiente forma:

HO2 = R2 + 4R2 cos2 A− 4R2 cosA cos(C −B)

= R2 − 4R2 cosA(cos(B +C) + cos(C −B))

= R2 − 8R2 cosA cosB cosC

Usando el problema (2.88, p. 23), obtenemos:


senA

2=

r

AI

r = AI senA

2

= 4R senA

2sen

B

2sen

C

2

Problema 183 En el triángulo △ABC con C > 90o con triángulo pedal△DEF , se tiene:i) Los ángulos del triángulo △DEF son D = 2A, E = 2B y F =

2C − 180o.ii) Los lados del triángulo △DEF son d = a cosA = R sen 2A, e =

b cosB = R sen 2B y f = −c cosC = −R sen 2C.

Problema 184 En el triángulo △ABC se tiene que OH2 = 9R2 − a2 −b2 − c2.

Problema 185 En el triángulo △ABC con triángulo pedal △DEF , setiene:i) El semiperímetro de △DEF es 2R senA senB senC.ii) El radio del círculo inscrito de △DEF es 2R cosA cosB cosC.iii) Los radios de los círculos excritos son: 2R cosA senB senC, 2R senA cosB senC

y 2R senA senB cosC.

Problema 186 Si ha, hb, hc son las alturas del triángulo, entonces 1ha

+1hb

+ 1hc

= 1r y 1

ha+ 1hb− 1hc

= 1rc.

Problema 187 En la figura tenemos:

A

B Ca

bc

D

x

p q

BD

DC=

AB senBAD

AC senDAC

a · x2 = p · b2 + q · c2 − a · p · q

(esta última igualdad se le conoce como el teorema de Stewart).


P

B

D

F

A

C

E O

T

FIGURE 6.1.

Problema 188 Si en problema 187 la recta AD es la bisectriz del ángulo∡BAC entonces BD

DC = ABAC y si es la bisectriz exterior del ángulo ∡BAC

entonces BDDC = −ABAC . Además:

x2 = b · c[

1− a2

(b+ c)2

]

Problema 189 Si en un triángulo △ABC las bisectrices de los águlos Ay B son iguales, entonces a = b.

Problema 190 Si C es un círculo de radio r, P es un punto y PAB yPCD son dos secantes entonces:

PA · PB = PC · PD

esta constante se llama la potencia de P respecto a C. Ademas si ladistancia de P al centro de C es d entonces la potencia de P respecto a Ces igual a d2 − r2. Si P es un punto exterior a C, entonces la potencia deP respecto a C es igual a PT 2.

Problema 191 Si en problema 187 BD = DC (esto es si AD es la me-

diana del △ABC) entonces x2 = 2(b2+c2)−a24 .


6.2.2 Cuadriláteros

A B

C

D

a

b

c

d

x

yP

θ

Teorema 5 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB, b =BC, c = CD y d = DA su área está dada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2(A+ C

2)

donde s es el semiperímetro.

Demostración: Si ∆ = 4(ad+bc)2− (a2 +d2− b2− c2)2 encontraremosla siguiente identidad:

∆ = 4(ad+ bc)2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

=[(a+ d)2 − (b− c)2][(b+ c)2 − (a− d)2

]

= (a+ b+ c− d)(a+ b+ d− c)(a+ c+ d− b)(b+ c+ d− a)

= 16(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

Usando T3) y la ley de los cosenos en los triángulos △ABD y △BCDobtenemos las identidades siguientes:

a2 + d2 − b2 − c2 = 2ad cosA− 2bc cosC

4Σ = 2ad senA+ 2bc senC

elevando al cuadrado y sumando obtenemos:

16Σ2 + (a2 + d2 − b2 − c2)2 = 4(a2d2 + b2c2)− 8abcd cos(A+ C)

= 4(ad+ bc)2 − 16abcd1 + cos(A+C)

2

y por lo tanto 16Σ2 = ∆−16abcd 1+cos(A+C)2

y usando la identidad anteriorobtenemos el resultado buscado.

Teorema 6 Dado un cuadrilátero convexo ABCD de diagonales x y y,que se cortan en un ángulo θ, entonces su área está dada por la fórmula:

Σ =xy sen θ

2


Demostración: En la figura anterior tenemos que:

Σ(ABC) = Σ(ABP ) + Σ(BPC)

=AP · PB sen(180o − θ)

2+CP · PB sen θ

2

=x · PB sen θ

2

análogamente: Σ(CDA) = x·PD sen θ2

y por lo tanto:

Σ =x · PB sen θ

2+x · PD sen θ

2=xy sen θ

2

Corolario 7 De todos los cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA el de área maxima es el cíclico y su área estádada por la fórmula:

Σ2 = (s− a)(s− b)(s− c)(s− d)

Problema 192 En un cuadrilátero convexo ABCD de lados a = AB,b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x y y su área está dada por lafórmula:

Σ2 = 4x2y2 − (a2 + d2 − b2 − c2)2

Problema 193 Dados cuatro segmentos a, b, c y d existe un cuadriláteroconvexo ABCD de lados a = AB, b = BC, c = CD y d = DA sii s− a,s − b, s − c, s − d son positivos (donde a+b+c+d

2 ). En este caso existe uncuadrilátero ciclico.

Problema 194 Dado un cuadrilátero cíclico convexo ABCD de lados a =AB, b = BC, c = CD y d = DA y diagonales x = AC y y = BD, inscritoen un círculo de radio R demostrar que:

x2 =(ad+ bc)(ac+ bd)

ab+ cd

y2 =(ab+ cd)(ac+ bd)

ad+ bc

R =1

4Σ

√(ab+ cd)(ac+ bd)(ad+ bc)

xy = ac+ bd (Teorema de Ptolomeo)

x

y=

ad+ bc

ab+ cd


A B

C

D

a

b

c

d

x

y

6.3 Aplicaciones a la topografía

Sección no escrita.

6.4 Ecuaciones cúbicas

En esta sección estudiaremos las ecuaciones cúbicas con coeficientes reales.La forma de la ecuación es f(x) = a3x

3 + a2x2 + a1x + a0 con a3 y a0

distintas de cero. Daremos una condición necesaria y suficiente para queuna ecuación cúbica tenga tres raíces reales. En este caso daremos unasolución usando las funciones trigonométricas.

El estudio de las ecuaciones cúbicas se hará con ayuda de la gráfica dela función y = f(x). Para esto se usarán varias transformaciones, que in-cluyen cambio de escala en los ejes coordenados y cambio de origen delas absisas. Cada una de estas transformaciones simplifica la forma de laecuación y permite encontrar las soluciones de la ecuación original cono-ciendo las soluciones de la ecuación transformada. Más aun cada una deestas transformaciones es una transformación biyectiva en los ejes coorde-nados. Podemos suponer que a3 = 1, esto se logra con la transformación decambiar la escala en y por un factor de 1

a3. Con la transformación z = x−α,

con α = a23 , se obtiene la función y = f(z) = z3 +Az+B y por esta razón

podemos suponer que esta es la forma de la ecuación dada. Además siA = 0 o B = 0 entonces podemos encontrar fácilmente las soluciones de laecuación (veo Problema 198, pag. 75).

El siguiente resultado implica que toda ecuación cúbica tiene al menosuna raíz real.

Teorema 8 Si f(z) = z3 + Az + B entonces la función f : R → R essuprayectiva.

6.4 Ecuaciones cúbicas 73

Demostración: Como f(x) = x3(1± Ax2 + B

x3 ) es claro que si tomamos

x > 4 max{|A|, |B|, 1} entonces f(−x) < −x32

y f(x) > x3

2. Por lo tanto

f adquiere valores arbitrariamente grandes y negativos así como valoresarbitrariamente grandes y positivos. El teorema del valor intermedio nosdice que f es suprayectiva.

Estudiando la derivada de la función f daremos ahora una condiciónnecesaria para que la ecuación tenga tres raíces reales.

Teorema 9 Si la función y = f(x) = z3+Az+B no es siempre creciente,entonces A < 0.

Demostración: Como f ′ = 3x2 +A entonces la función f es crecienteen x excepto si la ecuación 3x2 +A = 0 tiene dos raíces reales diferentes.

Por lo tanto si A ≥ 0 entonces f(x) = z3 +Az +B es siempre crecientey solo puede tener una raíz.

En la ecuación es f(x) = x3±Ax+B con A > 0. Usando la substituciónx = λz y multiplicando por 4

λ3, obtenemos 4z3± 4A

λ2z+ 4B

λ3que si escogemos

a λ = ±√

4A3 se obtiene la forma f(x) = 4x3 ± 3x−C con C = ±3B

A

√34A ,

y por lo tanto podemos suponer que C > 0.Supondremos ahora que la función no es siempre creciente. Por lo tanto

la forma de la ecuación es f(x) = x3 − 3x−C.

Teorema 10 La ecuación 4x3− 3x−C tiene tres raíces reales si y solo siC ∈ [−1, 1].

Demostración: En este caso la función es creciente en (−∞, −12

) y(12 ,∞) y decreciente en (−12 ,

12 ). Es claro que la ecuación tiene tres raíces

reales si y solo si la función f es no negativa en −12 y no positiva en

12 . Pero estas condiciones son: f(−12 ) = −1

2 + 32 − C = 1 − C � 0 y

f(1/2) = 12 − 3

2 − C = −1−C ≤ 0.

Corolario 11 La ecuación x3 − Ax + B, con A > 0 ecuación tiene tresraíces reales si y solo si 27B2 < 4A3.

Comparando 4x3 ± 3x− C con las identidades

4 cos3θ

3− 3 cos

θ

3− cos θ = 0

4 cosh3θ

3− 3 cosh

θ

3− cosh θ = 0

4 senh3θ

3+ 3 senh

θ

3− senh θ = 0

obtenemos el siguiente teorema, el cual nos da las raices reales de unaecuación cúbica.


Teorema 12 En la ecuación f(x) = 4x3 ± 3x−C con C > 0 entonces setienen los casos:i) Si f(x) = 4x3−3x−C con C ∈ (0, 1], entonces si cos θ = C, las raíces

reales de la ecuación son cos θ3 , cos θ+2π3 y cos θ+4π3 .ii) Si f(x) = 4x3 − 3x − C con C ∈ [1,∞), entonces si cosh θ = C, la

raíz real de la ecuación es cosh θ3 .

iii) Si f(x) = 4x3 + 3x− C con C ∈ (0,∞), entonces si senh θ = C, laraíz real de la ecuación es senh θ

3.

Demostración: La demostración de i) usa la periodicidad del coseno.Por lo tanto si f(x) = 4x3 − 3x− C tiene tres raices reales y C = cos θ,

sus raices son cos θ3 , cos θ±2π3 = cos 2π3 cos θ3 ± sen 2π3 sen θ

3 = −12 cos θ3 ±√

32

sen θ3. Esto es si una de sus raices es α, etonces sus otras raices son:

−12α±

√32

√1− α2. En el caso de que la ecuación f(x) = 4x3+3δx+C, con

δ = ±1, tenga una raiz α las otras raices son de la misma forma, esto es de

la forma −12 α±

√32

√−δ − α2, para verlo necesitamos el siguiente teorema.

Teorema 13 Si α es una raiz de f(x) = 4x3 + 3δx + C, con δ = ±1,

entonces las otras raices son −α2±

√32

√−(δ + α2).

Demostración: Dividiendo f(x) entre x− α, obtenemos

4x3 + 3δx+ C = (x− α)(4x2 + 4αx+ 3δ + 4α2)

de donde obtenemos el teorema.Como sen 2π

3 =√32 y cos 2π3 = −1

2 , las otras raices tienen la forma

cos 2π3 α± sen 2π3

√−(δ + α2). Ademas se tiene el corolario.

Corolario 14 En la ecuación f(x) = 4x3± 3x−C con C > 0 entonces setienen los casos:i) Si f(x) = 4x3−3x−C con C ∈ (0, 1], entonces si cos θ = C, las raíces

de la ecuación son cos θ3 ,−12 cos θ3 ±

√32 sen θ

3 .ii) Si f(x) = 4x3 − 3x − C con C ∈ [1,∞), entonces si cosh θ = C, las

raíces de la ecuación son cosh θ3 ,

−12 cosh θ

3 ± i√32 senh θ3 .

iii) Si f(x) = 4x3 + 3x− C con C ∈ (0,∞), entonces si senh θ = C, las

raíces de la ecuación son senh θ3, −1

2senh θ

3± i

√32

cosh θ3.

6.4.1 Problemas

Terminaremos esta sección con una serie de ejercicios enfocados en recor-dar las propiedades más elementales de la teoría de los polinómios, concoeficientes reales. En estos ejercicios se usara la notacion P (X) = anX

n+an−1X

n−1+...+a1X+a0, con an �= 0 y ai ∈ R para i = 0,...,n para denotarun polinómio de grado n y por α1, α2,...,αn sus raices (reales o complejas).Los resultados se necesitan para n ≤ 4, pero son validos en general.

6.4 Ecuaciones cúbicas 75

Problema 195 P (X) = an(X − α1)(X − α2)...(X − αn)

Problema 196 Los coeficientes de P satisfacen las siguientes identidades:

∑

i

αi =−an−1an

∑

i<j

αiαj =an−2an

α1α2...αn = (−1)na0an

Problema 197 Demostrar que en un triángulo △ABC se tiene que ra, rby rc son las raices de la ecuación cúbica x3 − (Σs + 4R)x2 + s2x− sΣ = 0.

Problema 198 Encontrar las soluciones de la ecuación z3 +Az +B = 0cuando A = 0 o B = 0.

Problema 199 Demostrar que en un triángulo △ABC se tiene que r, ra,

rb y rc son las raices de la ecuación x4− (2Σs +4R)x3+(s2+ Σ2+4sRΣs2 )x2−

2sΣx+ Σ2 = 0.

Problema 200 Si α ∈ R entonces si P (X) = (X − α)Q(X) + r, donder ∈ R, entonces r = P (α). Esto es X − α divide a P (X) sii α es una raizde P (X).

Problema 201 Si α ∈ C−R es una raiz de P (X) entonces α es una raizde P (X).

Problema 202 Si el grado de P (X) es impar entonces P (X) tiene almenos una raiz real.

Problema 203 Si α, β+γ y β−γ son las raices de 4x3+3δx+C entoncesα + 2β = 0 y 2αβ + β2 − γ2 = 3δ

4 . Por lo tanto si α es una raiz entonces

las otras raices son −α2 ±

√32

√−(δ + α2) (ver (13, p. 74)).

Problema 204 Si X = Y − α, con α ∈ R entonces

Q(Y ) = P (X) = P (Y − α) = anYn + (an−1 − nanα)Y n−1 + ...

por lo tanto si α = an−1nan

se tiene se anula el coeficiente de Y n−1.


References

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[3] P Beckmann, A History of π (PI), St. Martin’S Press, 1974.

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[8] E. J. McShane, The Addition Formulas for the Sine and Cosine, Am.Math. Monthly, 48, (1941), 688-689.

[9] R. W. Wagner, A Substitution for Solving Trigonometric Equations,Am. Math. Monthly, 54 (1947), 220-221.

trigo no me tria

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