trigonometría anual ade 2015

8/19/2019 Trigonometría ANUAL ADE 2015

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11 22 33 44

55 66 77 88

Boletín Virtual: Trigonometría


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Trigonometría

2

Razones trigonométricas de un ángulo agudo I

NIVEL BÁSICO

1. En un triángulo rectángulo un cateto es la ter-

cera parte de la hipotenusa. Calcule la tangen-

te del mayor ángulo agudo.

A) 5 B) 2 C) 2 5

D) 2 2 E) 3

2. En un triángulo ABC recto en B, se sabe que

senC =5

13

Halle sec A+tan A.

A) 3 B) 1 C) 5

D) 4 E) 2

3. Si en el gráfico 3( BH )=2( AC ), halle tana+tanb.

α β

A

B

C H

A) 2/3 B) 1/3 C) 3/2

D) 3 E) 1/2

4. Según el gráfico, determine secq+cscq.

1

2

3θ

A)2 5

3 B)

5

3 C)

3 5

5

D)3 5

2 E)

5

2

5. Según el gráfico, halle tan(a+b) – tana.

1

4

α β

A) 3 B) 1/3 C) 1/2

D) 1/4 E) 4

NIVEL INTERMEDIO

6. Si en el gráfico BD=DC , halle 13 2sen tanβ α+ .

α

β

A

B

E

C

D3

13

2

A) 3 B) 1 C) 2

D) 5 E) 4

7. En un triángulo ABC recto en B, se cumple que

tan A+tanC =3. Halle (tan A – tanC )2.

A) 3 B) 1 C) 5

D) 4 E) 2


3/64

Trigonometría

3

A) 3/2

B) 10/3

C) 5/6

D) 9/5

E) 4

10. Según el gráfico, se tiene una semicircunfe-

rencia con centro en O y tangente a BD en C ,

donde 3( BC )=CD. Halle tanq.

θ

A

B

C

DO

A) 2

B) 2 2

C)2 2

3

D)2

2

E)2

4

8. Si en el gráfico 6( AD)=5( BC ), halle

cot cot

csc

θ α

β

+

α βθ

A

B

C D

A) 2/5 B) 5/3 C) 3/5

D) 6/5 E) 5/6

NIVEL AVANZADO

9. Según el gráfico, calcule BC si AE =9, BD=5 y

AB=6.

A

B

C

D

E


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Trigonometría

4

Razones trigonométricas de un ángulo agudo II

NIVEL BÁSICO

11. Marque la igualdad correcta.

A) sen º45 1

2=

B) tan º30 3=

C) cos º53 5

3=

D) sec60º=2

E) csc º37 5

4=

12.

Si f

x x

x x( ) =

( ) + +( )

−( )

sec tan º

tan º,

3 2 5

3 7

halle f (20º).

A) 4/3 B) 9/4 C) 6/5

D) 2/3 E) 4/5

13. Si en el gráfico AD=DC , halle tanq.

37º θ

A

B

C D

A) 1/4 B) 2/3 C) 3/2

D) 3/4 E) 4/3

14. Según el cuadrado ABCD, halle cotb.

53º β

A

B C

D

A) 1/6 B) 1/2 C) 1/4

D) 1/5 E) 1/3

15. Si q es un ángulo agudo, además

cosq=sen30ºsen45º. Halle tan2 3θ − .

A) 5 B) 1 C) 4

D) 3 E) 2

NIVEL INTERMEDIO

16. De acuerdo al gráfico, BM es mediana, halle

tanq.

53º 45º

A

B

C M

θ

A) 1/2 B) 8 C) 2

D) 1/4 E) 4

17. Según el gráfico, AM=MC . Calcule cosq.

B

C A M

45º

θ

A)3 10

10 B)

10

10 C)

2 10

11

D)10

5 E)

5

10


5/64

Trigonometría

5

18. De acuerdo al gráfico, halle tanq.

120º

102

θ

A) 5 3 B)5 3

3 C) 3

D)5 3

7 E)

5 3

2

NIVEL AVANZADO

19. Si AM=BC , halle cotq.

37º

θ

A

B

C

M

A) 5/17

B) 2/7

C) 9/13

D) 6/17

E) 4/17

20. Según el gráfico, 2 3 AB ED( ) = ( ) y BC=CD.

Halle cscq.

45º 30º

θ

A

B

C

D

E

A) 5

B) 2 3

C)5

2

D) 3

E) 2 5


6/64

Trigonometría

6

Razones trigonométricas de un ángulo agudo III

NIVEL BÁSICO

1. Indique la secuencia correcta de verdadero (V)

o falso (F) respecto a las siguientes proposiciones.

I. sen( x+ y)csc( x+ y)=1

II. tan cotθ θ2 2

1

=

III. cos30ºsec30º=1

A) FVV B) FFF C) VFV

D) FVF E) VVV

2. Si se sabe que q es agudo y tan(4q)cot(q+60º)=1,

halle cos3q.

A)3

5 B)

2

2 C)

1

2

D)3

2 E)

4

5

3. Halle el valor de la expresión

sen º

cos º

tan º

cot º

sec º

csc º

20

70

3 35

55

2 60

30+ −

A) 3 B) 1 C) 2

D) – 1 E) – 2

4. Si b es un ángulo agudo, además

sen(35º – 2b)csc(4b – 25º)=1,

halletan

cot

sec

csc.

5

4

2

7

β

β

β

β

( )

( ) +

( )

( )

A) 1 B) 1/2 C) 1/3

D) 2 E) 3

5. Si x es un ángulo agudo, además

tan(3 x)=cot(72º – 2 x),

halle cos(2 x+1º)+sen(3 x – 1º).

A)6

5 B)

8

5 C) 2

D)3 1

2

+

E) 1

NIVEL INTERMEDIO

6. Si q es un ángulo agudo, además

sen tan csc cot cosθ θ θ θ θ = 2

3

halle senq.

A)3

5 B)

4

5 C)

5

6

D)2

3 E)

5

3

7. Si sen( x – 5º)csc( y+55º)=1

tan(2 x – y)=cot(2 y – x)

halle 2cos( x – y)+tan( x – 2 y)

A) 3 B) 2 C) 2

D)3

2 E) 1

8. Si tan(a+b – 30º)cot(60º –q)=1, halle

sen

cos

csc

sec

α β

θ

α

θ β

+( )+

( )

+( )

A) 2 B) 3 C) 1

D) 1/2 E) 1/3

NIVEL AVANZADO

9. Si x e y son ángulos complementarios, además

sen(90º – x)+sec(90º – y)=3

halle sen2 y+sec2 x.

A) 3 B) 4 C) 7D) 2 E) 5

10. Si x e y son ángulos agudos complementarios;

además (tan x)cot y=sen45º

halle sen2 x+cos2 y.

A) 5 B) 2/5 C) 2

D) 4/5 E) 5/2


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Trigonometría

7

Resolución de triángulos rectángulos I

NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, determine AC en términos de a, b,

m y n.

α β

B

A C

m n

A) mse nb+ nse na

B) mse na+ nse nb

C) mcosb+ ncosaD) mcosa+ ncosb

E) ( m+ n)se n(a+b)

2. Según el gráfico, determine ED en términos de

a y q.

θ

A B

C

D

E a

A) asenq B) asen θ2

C) acosq

D) acos θ2

E) asenqcosq

3. Del gráfico, determine CD en términos de q y m.

θ

A

B

C

D m

A) msenq

B) msenqcosq

C) mcos2q

D) msen2q

E) msen2q

4. Del gráfico, halle DE en términos de q.

3

θ

C

D

E F 37º

A) senq

B) 2senq

C) 3senq

D) 4senq

E) 5senq

5. Si ABCD es un cuadrado, halle BE en términos

de q y m.

A B

E

m

D θ C

A) m(senq – cosq)

B) msenq

C) m(cosq – senq)

D) mcosq

E) m(cosq+senq)


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Trigonometría

8

NIVEL INTERMEDIO

6. En el gráfico, halle x en términos de q y n.

θ

θ

x

n

A) nse nq B) ncosq C) nse n2q

D) ncos2q E) nse nqcosq

7. Según el gráfico, BD = 2 3. Determine el pe-

rímetro del triángulo equilátero ABC en térmi-

nos de q.

A) 12senq

θ

A

B

C D

B) 5senq

C) 4senq

D) 3senq

E) 6senq

8. Si en el gráfico BC =2( AB), halle tanb en térmi-

nos de q.

θ

β A

B

C

A)sen cos

sen cos

θ θ

θ θ

−

+

2

2

B)2

2

sen cos

sen cos

θ θ

θ θ

−

+

C)sen cos

sen cos

θ θ

θ θ

+

−

2

2

D)2

2

sen cos

sen cos

θ θ

θ θ

+

−

E) sen cossen cos

θ θ

θ θ

−

+

NIVEL AVANZADO

9. Según el gráfico, AN =2( NC ). Halle tanb en tér-

minos de q.

β

θ

A

B C N

A)cos

cos

θ

θ2 + B)

cos

sen

θ

θ1+ C)

sen

cos

θ

θ1+

D)sen

sen

θ

θ2 + E)

sen

cos

θ

θ2 +

10. Si en el gráfico AC =4, determine DH en térmi-

nos de q.

A

B

D

H

C

θθ

A) 2cos3q B) 4cos3q C) 4sen3q

D) 2sen3q E) sen3q


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Trigonometría

9

Resolución de triángulos rectángulos II

NIVEL BÁSICO

1. Determine AC en términos de a, b y a.

βθ

A

B

C

a

A) a(cotq+cotb)

B) a(tanq+tanb)C) a(tanq+cotb)

D) a(cotq+tanb)

E) acotqtanb

2. Según el gráfico, halle AB en términos de m y q.

θ

A

B

C

D

m

30º

A) 2 mtanq B) mtanq C) msecq

D) 2 msecq E) m

2tanθ

3. Determine el área de la región ABCD.

5

A

B C

D

53º θ

A) 3(4+3cotq)

B) 4(1+4cotq)

C) 3(3+4cotq)

D) 4(4+3cotq)

E) 4(3+4cotq)

4. Del gráfico, determine AB en términos de a y a.

α

α

A

B

C

D

a

A) atanacsc2a

B) acotasen2a

C) acotasec2a

D) acotacos2a

E) asecacsc2a

5. Calcule BD en términos de q, b y .

β

θ

A

B

D

C

A) senqtanb

B) cosqcotb

C) senbtanq

D) cosbcotq

E) tanbcotq


10/64

Trigonometría

10

NIVEL INTERMEDIO

6. Si en el gráfico AD=BC , halle sena+seca – cosa.

45º α

A

B

C D

A) 2 B) 1 C) 1/2

D) 1/3 E) 0

7. Halle AB en términos de q, b y k.

β

θ

A

B

C

D

k

A) ktanbsecq B) ksenbtanq C) ksecbtanq

D) kcosqtanb E) ksenqtanb

8. En el gráfico, halle DC/BE en términos de b.

β A

B

C

D

E

30º

A)3

3cscβ B)

3

3secβ C) 3 cscβ

D) 3 secβ E) 3secb

NIVEL AVANZADO

9. En el gráfico, determine AB en términos de a,

b y m.

A

B

C

m

αβ

A) msenacscb B) mcscacscb C) mcosbcsca

D) mcosacosb E) mcosacscb

10. En el gráfico, determine la longitud del lado del

cuadrado ABCD en términos de q.

5 A

B C

D

θ

A)5

1 + +sen cosθ θ

B)5

1 + +tan secθ θ

C)5

1 + +sec cscθ θ

D)5

1 + +tan cotθ θ

E)5

1 + +cot cscθ θ


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Trigonometría

2

Ángulos verticales

NIVEL BÁSICO

1. Un estudiante de 3 m de altura, observa la

parte superior de su casa con un ángulo deelevación de 60º. Si el estudiante está a 6 m de

su casa, halle la altura de su casa.

A) 6 3 B) 8 3 C) 5 3

D) 7 3 E) 6

2. Desde un avión que vuela horizontalmente en

línea recta a una altura de 120 m, se observa

una isla con un ángulo de depresión de 37º.

Halle la distancia que existe entre el avión y la

isla en el momento de la observación.

A) 120 m B) 160 m C) 200 m

D) 240 m E) 300 m

3. Si la observación de la parte alta y baja de un

asta ubicada en la parte superior de una casa,

se realiza con ángulos de elevación de 45º y

37º, respectivamente. Halle la longitud del asta

si la casa tiene una altura de 4,8 m.

A) 1,2 m B) 1,6 m C) 2 m

D) 1 m E) 1,4 m

4. Desde la parte alta de un edificio se observa

dos puntos en la superficie del suelo, que están

en línea recta con el edificio, con ángulos de

depresión de 60º y 30. Halle la distancia entre

estos puntos si la altura del edificio es 25 3 m.

A) 25 3 m B) 50 m C) 100 m

D) 25 m E) 50 3 m

5. Un niño de 2 m de estatura observa los ojos

de su padre con un ángulo de elevación de 37º

y sus pies con un ángulo de depresión de 53º.

Halle la estatura del padre.

A)19 2

16 m B)

23 2

16 m C)

21 2

16 m

D)27 2

16 m E)

25 2

16 m

NIVEL INTERMEDIO

6. Un avión viaja en línea recta y horizontalmente.

Antes de pasar sobre dos puntos en tierra A y

B, los observa con ángulos de depresión a y b.

Cuando pasa sobre A es visto desde B con un

ángulo de elevación q.

Si cota=2 y cotb=5, halle tanq.

A) 1 B) 1/4 C) 1/2

D) 1/3 E) 1/5

7. Desde lo alto de un edificio se observa un

punto en tierra con un ángulo de depresión q y

otro punto ubicado en la mitad de la distancia

que separa al primer punto y el edificio, con un

ángulo de depresión 90º –q. Halle cotq.

A) 2 2 B)2

2 C) 3 2

D)2

4 E) 2

8. Al subir por una colina cuya inclinación con

respecto a la horizontal es de 15º, se observa lo

alto de una torre que se encuentra en la parte

más alta de esta, con un ángulo de elevación

de 45º. Halle la altura de la torre si en ese ins-

tante de la observación la persona se encuen-

tra a 12 m de la base de la torre.

A) 6 2 B) 6 C) 12 2

D) 8 2 E) 6 3


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Trigonometría

3

NIVEL AVANZADO

9. Una persona se desplaza por un camino que

hace un ángulo q con la horizontal, observa la

parte superior de una torre con un ángulo de

elevación igual a 3q /2. Luego al subir d m hacia

la torre por el camino, el nuevo ángulo de

elevación mide 2q. Halle la altura de la torre.

A) d senqsecq

B) d sentanq

C) d sen2q

D) d cosqcscq

E) d senq

10. Dos puntos están ubicados al ras del suelo.

Desde uno de ellos se observa la parte alta de

una torre con un ángulo de elevación q y desde

el otro punto se observa el punto medio de la

torre con un ángulo de elevación f. Si la suma

de las distancias del pie de la torre a cada

punto es d m, calcule la altura de la torre.

A) d (2cotq+cotf)

B) d (tanq+2tanf)

C)2

2

d

cot cotφ φ+

D)2

2

d

tan tanθ φ+

E) d (tanq+2cotf)


13/64

Trigonometría

4

Introducción a la geometría analítica

NIVEL BÁSICO

1. Según el gráfico, halle las coordenadas del

punto B.

60º

B

3 A(a; )

X

Y

O

A) (5/2; 0) B) (6; 0) C) (3; 0)

D) (4; 0) E) (5; 0)

2. Según el gráfico, halle n.

Y

B(– 2 n; n)

A(4; 0)O

θ

θ X

A)2 5

5 B)

4 5

5 C)

6 5

5

D)3 5

5 E)

5

5

3. Si AB= BC , halle a+ b+c.

B(0; 3)

C ( b; c) Y

X A(a; 0)

A) 3 B) – 3 C) 6

D) – 6 E) 9

4. Halle tanq, si AM = BM .

Y

X

B(0; – 4)

A(6; 0)

M

θ

A) 3/2 B) 2/3 C) 1/6

D) 1/4 E) 1/3

5. Del gráfico, halle a si AB=5 2.

Y

X

B(1 – 2a; 2a)

A(2a; 2a – 1)

A) 2 B) 3/2 C) – 2

D) – 3/2 E) – 3

NIVEL INTERMEDIO

6. Si ABCO es un cuadrado, halle las coordena-das del punto B.

A(12; n)

B

Y

X O

53º

C

A) (– 1; 7) B) (– 2; 14) C) (– 3; 17)

D) (– 4; 23) E) (– 3; 21)


14/64

Trigonometría

5

7. Halle las coordenadas de un punto P ubicado

en el eje de ordenadas que equidiste de los

puntos A(– 8; 1) y B(3; – 4)

A) (0; 2)

B) (0; 3)C) (0; 4)

D) (0; – 2)

E) (0; – 4)

8. Si AM = MB, halle la abscisa de punto M .

O

5 µ

B

M

Y

X

A

A) – 1 B) – 2 C) – 3

D) – 1/2 E) – 3/2

NIVEL AVANZADO

9. Del gráfico, halle la coordenada del punto A.

X

B(7; – 3)

A

45º

Y

O

A) (3; – 7) B) (4; – 10) C) (2; – 7)

D) (3; – 10) E) (9; – 10)

10. Dados los puntos A(4; – 9), B(– 2; – 3), C (2; 1) y

M punto medio de AC . Halle la distancia de M

al segmento AB.

A) 4 B) 2 C) 4 2

D) 2 2 E) 3 2


15/64

Trigonometría

6

Ángulos en posición normal I

NIVEL BÁSICO

1. Si OP=13, halle senq+cosq.

Y

(– 5; n) P

Oθ X

A) 7/13 B) – 7/13 C) 10/13

D) 17/3 E) –17/13

2. Halle cscq si OP=2 5.

Y P(– 2 n; n)

X

θ

O

A) 5 B) 2 5 C) 3 5

D) 4 5 E) 5 5

3. Si ABCD es un cuadrado, halle 1 3− tanθ.

Y

M

B C

A θ X

O

30º

A) − 3 B) 1 C) – 1

D) 3 E) 0

4. Según el gráfico, halle n msen cosθ θ− .

m n–( (;Y

X

θ

A) m B) n C) m+ n

D) m n− E) m n+

5. Si AM = MB, halle 3tanq+2.

O

Y

A M B

θ

37º

X

A) 1 B) – 1 C) 0

D) 2 E) – 2

NIVEL INTERMEDIO

6. Si AM = MD y ABCD es un cuadrado, halle

tana+tanb.

Y

C B

M D

α

β– 2

– 6

A

X

A) 2/3 B) 4/3 C) 1

D) – 1 E) 0


16/64

Trigonometría

7

7. Del gráfico, halle tanqcotb.

Y

2

3

X

θ

β

A) 2/3 B) 3/2 C) – 2/3

D) – 3/2 E) 1

8. Si AM = MB y BO=OC , halle cotq.

A(– 10; 3)

37º

M

C O

θ

B

Y

X

A) – 10/9 B) – 9/10 C) – 10/3

D) – 3/10 E) – 3/4

NIVEL AVANZADO

9. Según el gráfico, halle tanq.

45º

(2; 3)

θ

Y

X

A) – 3 B) – 2 C) – 5D) – 1/2 E) – 1/3

10. Se sabe que q es un ángulo en posición nor-

mal en cuyo lado final se ubican los puntos

P(– 15; a) y Q( b; – 24). Halle la distancia entre

dichos puntos si cosθ = −5

13

A) 10 B) 12 C) 8D) 25 E) 13


17/64

Trigonometría

8

Ángulos en posición normal II

NIVEL BÁSICO

1. Si q ∈ IIIC, halle el signo de las siguientes ex-

presiones.

I. senq+cosq

II. tanq+cotq

III. secq+cscq

A) –; +; –

B) +; +; –

C) –; –; +

D) +; –; +

E) –; +; +

2. Si q ∈ IIC, halle el signo de las siguientes expre-

siones.

I. senq – cosq

II. cscq – tanq

III. tanqsenq+secq

A) –; +; –

B) +; +; +

C) +; +; –

D) –; –; –E) +; –; +

3. Si cscq < 0 y tanq > 0, halle el cuadrante de q.

A) IC

B) IIC

C) IIIC

D) IVC

E) IIIC ∨ IVC

4. Si tanq < 0 y secq=4, halle el cuadrante al que

pertenece q.

A) IC

B) IIC

C) IIIC

D) IVC

E) IIC ∨ IVC

NIVEL INTERMEDIO

5. Si tanq=–2,4 y q ∈IVC, halle senq+cosq.

A) −

3

13 B) −

2

13 C)− 5

13

D) − 4

13 E) −

7

13

6. Si se cumple que 3 271cot

;θ

θ+

= ∈IIIC

halle cscq.

A) − 26 B) − 24 C) − 39

D) − 13 E) − 19

7. Si k > 0 y P(–2 k; k) es un punto del lado final

del ángulo en posición normal q, entonces

halle secqcscq.

A) − 5 B) − 2 5 C) − 5

2

D)1

2 E) −

5

2

8. Si se cumple que

9sen2q+3senq– 2=0,

además, q ∈IIC. Halle 3 2cosθ +

A) 2 B) − 2 C) 3

D) – 3 E) 0

NIVEL AVANZADO

9. Si |cosq|=– cosq y |senq|=– senq, halle el signo

de tanq+secq.

A) + o –

B) + y –

C) +

D) –

E) no tiene signo

10. Si |tanq|=tanq y senq=–3/5, halle secq+tanq.

A) 2 B) 1/2 C) – 2

D) – 1/2 E) – 1/5


18/64

Trigonometría

9

Ángulos en posición normal III

NIVEL BÁSICO


4 0 270 180

360

cos º sen º tan º

sec º

+ +

A) 4 B) – 4 C) 3

D) – 3 E) 2

2. Si f ( x)=tan x+sen2 x+cos4 x, halle f (45º).

A) 1 B) – 1 C) 0

D) 2 E) – 2

3. Simplifique la expresión

a b

a b

2 290 180

360 270

sen º cos º

cos º sen º

+

+

A) a – b

B) a+ b

C)a b

a b

2 2+

+

D)a b

a b

2 2+

−

E)a

b

2


sen(sen180º)+cos(tan360º)

A) 0 B) – 1 C) 1D) – 2 E) 2

5. Si q es un ángulo cuadrantal positivo y menor

que una vuelta, halle q.

sen tan º cos º

sen ºθ =

+360 180

90

A) 90º B) 180º C) 270º

D) 360º E) 90º y 270º

NIVEL INTERMEDIO

6. Si q ∈〈0; 360º] y se cumple que

cos2q – 3cosq+2=0, halle tan senθ θ

2 4

+

A) – 1 B) 0 C) 2

D) – 2 E) 1

7. Si f ( x)= x π

π

2− , halle

sen[ f (3)]+cos[ f (2)]+sec[ f (4)]

A) 1 B) – 1 C) 0

D) 2 E) – 2

8. Siendo a y b ángulos cuadrantales positivos

y menores que una vuelta, que cumplen la

condición

(sena+1)2=tan180º – (cosb+1)2.

Halle

csc(a –b)+ sen β2

A) 2 B) – 2 C) 0

D) – 1 E) 1

NIVEL AVANZADO

9. Si q y a ∈〈0, 2p〉; además,

cos senθ α= − 1

calcule csca+senq.

A) 0 ∨ 1 B) – 1 ∨ 0 C) – 2 ∨ 0

D) 0 ∨ 2 E) – 2 ∨ 2

10. Si a y b son ángulos cuadrantales positivos ymenores que una vuelta, que cumplen las

siguientes condiciones

2sena=1 (I)

|2senq+4|=3 –|senq+2| (II)

halle cos(q –a)+cos α

θ2

+

.

A) 2 B) – 2 C) 1

D) – 1 E) 0


19/64

Trigonometría

2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la ob

Derechos reservados D. LEG Nº 822

Identidades trigonométricas fundamentales I

NIVEL BÁSICO

1. Reduzca la siguiente expresión.

tan2q · cosq · cscq.

A) senq B) cosq C) tanq

D) cotq E) secq

2. Simplifique.

csc cos

sec

θ θ

θ θ

⋅

⋅ sen

A) sen2q B) cos2q C) tan2q

D) cot2

q E) 1

3. Simplifique la siguiente expresión.

senq(1+cotq)+cosq(1 – tanq)


D) 2senq E) 2cosq

4. Si senq · cotq+cos3qsec2q=1, halle q siendo un

ángulo agudo.

A) 30º B) 60º C) 45ºD) 37º E) 53º

5. Sabiendo que

tan2q+cot2q=2

calcule tan4q+cot4q.

A) 0 B) 1 C) 3

D) 2 E) 5

NIVEL INTERMEDIO

6. Elimine la variable angular de las siguientes

expresiones.

cosa+1= x

seca – 1= y

A) ( x – 1)( y+1)=1

B) ( x+1)( y – 1)=1

C) ( x – 1)( y+1)=2

D) ( x+1)( y –1)=2

E) xy=1

7. Elimine la variable angular de las siguientes

expresiones.

tanq+2cotq=a

tanq – 2cotq= b

A) a2 – b2=1 B)a b

2 2

21

−

= C)a b

2 2

41

−

=

D)a b

2 2

81

−

= E)a b

2 2

161

−

=

8. Si senq+cscq=4,

halle1

2

2 2

+

−

sen

sen

θ

θ θcsc .

A) 10 B) 12 C) 14

D) 16 E) 18

NIVEL AVANZADO

9. Si

cos tan cot

tan cot

,θ = −

+

x x

x x halle tan2 x.

A)1

1+ cosθ

B)1

1− cosθ

C)1

1

−

+

cos

cos

θ

θ

D) 1

1

+

−

cos

cos

θ

θ

E)cos

cos

θ

θ1+

10. Si tanq+tan2q+tan3q=1, halle tan3q+cotq.

A) 2 B) – 2 C) 1

D) – 1 E) 0


20/64

Trigonometría

3

rohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra.


Identidades trigonométricas fundamentales II

NIVEL BÁSICO

1. Halle la expresión equivalente de

csc

sec cos

.θ θ

θ θ

−

−

sen

A) cotq B) cot2q C) cot3q

D) tanq E) tan2q


1

csc

sec cos csc

cosθ

θ θ

θ

θ θ

θ

−+

−

sen

sen

A) senq B) cosq C) secq

D) cscq E) 1


1

sec tantan

x x x

+

+

A) 0

B) 1

C) sen x

D) cos x E) sec x


csc4q – csc2q – cot2q

A) csc2q

B) csc4q

C) 1

D) cot2q

E) cot4q


sec

cscsec sec

2

2

4 21

1

θ

θ

θ θ−

−

− +

A) sec4q B) sec2q C) tan4q

D) tan2q E) – tan2q

NIVEL INTERMEDIO

6. Si cscq – cotq=0,25, halle 17senq – 6.

A) 0

B) 1C) 2

D) 3

E) 4

7. Si cos +cos2 x=1, halle csc4 x – tan2 x.

A) 1

B) – 1

C) 0

D) 2E) – 2


sen

sen

3 3

1

θ θ

θ θθ

−

++

cos

coscos

A) senq

B) cosq

C) tanq

D) cotq

E) cscq

NIVEL AVANZADO

9. Si asenq+ bcosq= b, halle acosq – bsenq.

A) a B) b C) – a

D) – b E) a+ b

10. Si

sen2qcos x+cos2qsen x+cos2qcos x=0

halle sec2q+tan x.

A) 1

B) 0

C) – 1

D) 2

E) – 2


21/64

Trigonometría

4



Identidades trigonométricas fundamentales III

NIVEL BÁSICO


2

2

tan tan cot

sec

x x x+( )

θ

A) 1 B)1

2 C) 2

D)3

2 E) 3


(tanq+cotq)senq+(sec2q+csc2q)sen2qcosq

A) 2senq B) 2cosq C) 2secqD) 2cscq E) 2tanq


1

3

6 6 1

4

4 4 1

2

2 2sen sen sen x x x x x x+ − + +( ) ( )cos cos cos

A)1

12 B)

1

6 C)

1

8

D)1

5 E)

1

3

4. Si 5sen x+12cos x=13, halle sec x · csc x.

A)169

30

B)13

30

C)160

13

D)169

60

E)160

169

5. Si sen xa

=

24 ,

calcule sen4 x+cos4 x+2sen2 x.

A) 1+a B) 1 – a C) a – 1

D) a E) – a

NIVEL INTERMEDIO

6. Si 3tan x – 5sec x=4, halle tan x.

A)

3

4

B)4

3

C) −3

4

D) −4

3

E) −3

5

7. Si

f ( x)=sen xq+cos xq, halle [ f (4) – f (6)] f (2) · f (– 2).

A) 1 B) – 1 C) 2

D) – 2 E) 3


(sen2 x – cos2 x)(1 – 2sen2 xcos2 x)+cos8 x

A) cos8 x B) sen8 x C) cos4 x

D) sen4 x E) cos2 x

NIVEL AVANZADO

9. Si la expresión

sen

sen sen sen

2 2θ

θ θ θ

θ

θ θ θcos cos

cos

cos−( ) +

−( )

es idéntica a m+ ntanq+ pcotq,

halle m+ n+ p.

A) 0B) 1

C) 2

D) 3

E) 5

10. Si cosq – secq=2, halle tan2q+2secq.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 5 E) 0


22/64

Trigonometría

5



Identidades trigonométricas deángulos compuestos I

NIVEL BÁSICO

1. Halle el valor de

sen sen

sen sen

35 25 35 25

65 20 65 20

º cos º cos º º

cos º cos º º º

+

+

A) 6

2

B)3

2 C)

1

2

D)2

2 E) 1

2. Si 3cos( x+ y)=sen xsen y, halle cot xcot y.

A)1

3 B) 3 C)

4

3

D)3

4 E)

1

4


2 45

2 30

sen

sen

x x

x x

−( ) +

−( ) +

º cos

º cos

A)2 3

3 B) 3 C) −

2

33

D)3

3 E) − 3


5 37 3sen

sen

x x

x

−( ) +º cos

A) cot x B) tan x C) 4sen x

D) 5 E) 4

5. Si tan y=5 y cot x=– 3, halle

cos x y

x y x y

+( )

+( ) − −( )sen sen

A) 2 B) – 2 C) 4

D) – 4 E) 3

NIVEL INTERMEDIO

6. Si x – y=30º, halle (sen x+sen y)2+(cos x+cosy)2.

A) 3 2+ B) 2 3 C) 3 2+

D) 4 3+ E) 5 3+

7. Si sen(2 x+q)=2sen xcos( x+q), halle

tan( x+q)cot x.

A) 0 B) 1 C) – 1

D) 2 E) – 2

8. Si tanqcotb= m, hallesen

sen

θ β

θ β

−( )+( )

.

A) m

B)1

m

C) m

m

−

+

1

1

D) m

m

+

−

1

1

E)2

1

m

m−

NIVEL AVANZADO

9. Si sen( x – y)cos( z – 45º)=sen( x+ y)cos( z+45º),

halle tan tan

tan

x z

y

.

A)1

2 B) −

1

2 C) 2

D) – 2 E) 1

10. Si x+ y+ z=90º, además, cos x+sen ycos z=0,

halle 2tan y+tan z.

A) – 2

B) – 1

C) 0

D) 1

E) 2


23/64

Trigonometría

6



Identidades trigonométricas deángulos compuestos II

NIVEL BÁSICO

1. Si tan(q+53º)=4, halle tanq.

A) 16

13

B)8

13 C)

13

8

D)4

7 E)

8

19

2. Halle el valor de

tan º tan º

tan º tan º

80 20

1 80 20

−

+

A)1

2 B)

2

2 C)

3

2

D) 3 E)3

3


tan º

tan

tan45

2

1+( ) −

−θ

θ

θ

A) 0 B) 1 C) tanqD) tanq+1 E) tanq – 1

4. Si tan( x – y)=5 y tan( x+ y)=6, calcule el valor

de 13 – 29tan2 x.

A) 19 B) 21 C) 23

D) 24 E) 25

5. A part ir del gráfico se cumple que AM = MB.

Calcule tan x.

A

B

C

M

53º x

A)9

32 B) −

4

23 C)

1

41

D)1

12 E)

12

41

NIVEL INTERMEDIO

6. A partir del gráfico, halle tan x si BE = EC .

A

B C

D

E

x

45º

A) – 1

B) – 2

C) – 3

D) – 4

E) – 5

7. Si tan(53º+ x)=4 y tan(37º – y)=3,

halle tan( x+ y+16º).

A)4

3 B)

3

4 C)

1

13

D)4

13 E)

3

13


tan tan

tan tancot

2 2

2 2

3 2

1 3 25

θ θ

θ θ θ

−

−

A) tanq

B) tan5q

C) cotq

D) cot5q

E) cot2q


24/64

Trigonometría

7



NIVEL AVANZADO

9. Determine el equivalente de1

4

1

4tan tan cot cotθ θ θ θ−

−

−

A) cotq B) cot2q C) cot4q

D) tan3q E) cot3q

10. De la siguiente igualdad, calcule el valor de K .

tan º tan º

cos x x

K x

K x

+( ) −( ) =−

−

60 60 1

1

2

2sen

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5


25/64

2

PRÁCTICA POR NIVELES

Identidades trigonométricas de ánguloscompuestos III

NIVEL BÁSICO

1. Halle aproximadamente el valor de cos241º – sen24º.

A) 2

4

B)2

3 C)

2 2

5

D) 2

5 E)

2

2


sen( )

cos cos

sen( )

cos cos

sen( )

cos cos

A B

A B

B C

B C

C A

C A

−+

−+

−

A) tan A B) tan B C) tanC

D) 1 E) 0


sen( )

csc( )sen

A B

A B B

+

−

+ 2

A) – 1

B) 0

C) 1

D) sen2 A

E) sen2 B


sen sen

sen( ) cos costan

2 2 x y

x y x y y

−

−

−

A) tan x B) tan y C) 1

D) – 1 E) 0


tan º tan º tan º tan º tan º

tan º tan º tan º tan º tan º

1 2 1 2 3

2 3 2 3 5

+ +

+ +

A)tan º

tan º

1

2 B)

tan º

tan º

2

3 C)

tan º

tan º

3

4

D)tan º

tan º

3

5 E)

tan º

tan º

2

5

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule el valor de

(sen220º – sen210º)+(cos270º – sen210º).

A) sen20º B) sen70º C) sen10º

D) sen30º E) sen60º


tan º tan º

tan º tan º

50 10

40 10

+

+

A)3

250sen º B)

3

250sec º C)

3

250csc º

D)3

250cos º E) 1


sen sen

sen( )cos ( )

2 2 2

2 x y

x y x y

−

−

+ +

A) sen( x+y)

B) cos( x+y)

C) 1D) – 1

E) sen x

NIVEL AVANZADO

9. Si sen3q – 4cos2qcosq=0,

halle tan3q– tanqtan2qtan3q.

A) 4 B) 0 C) – 4

D) 2 E) – 2


tan º

cos º

tan º

cos º

tan º

cos ºtan º

1

2

2

4

4

81+ + +

A) tan1º B) tan2º C) tan4º

D) 7 E) 1/7


26/64

3


Identidades trigonométricas de ánguloscompuestos IV

NIVEL BÁSICO

1. Simplifique la expresión 3sen7º+4cos7º.

A)5 2

2 B)

5 2

7 C)

2

2

D)2

7 E)

5 3

2


sen º cos º

sen º cos º

8 8

8 8

+

−

A)

1

2 B)

2

2 C)

3

3

D)3

4 E)

4

3

3. Halle el mínimo valor de 12sen x+5cos x.

A) – 13 B) – 5 C) – 12

D) – 11 E) – 7

4. En un triángulo ABC , se cumple que

tan tan tan A B C

1 2 3

= =

Halle sen A.

A)2

2 B) 1 C) 0

D) – 1 E)1

2

5. Simplifique la siguiente expresión

cot º cot º

cot º cot º

22 23 1

22 23

+ +

⋅

A) 2 B) 3 C)1

2

D)2

2 E) 1

NIVEL INTERMEDIO

6. Reduzca la siguiente expresión

3 80 80

40

sen º cos º

cos º

−

A) – 1 B) 2 C) 1

D) – 2 E) 0

7. Halle el máximo valor de

5 37 2 45sen( º ) sen( º ) x x+ + +

A) 21 B) 41 C) 31

D) 51 E) 13

8. Según el gráfico, halle tanq.

A) 1/2

2 1

θ

3

2

B) 1/3

C) 1

D) 7/4

E) 4/7

NIVEL AVANZADO

9. En el gráfico, halle el máximo valor de MN .

A) 3

A

B

C

M

N

30º

2

θ

B) 1

C) 2

D) 4

E) 2 3

10. Si ABCD es un cuadrado y NC =2( AM ), halle

cotq.

A)23

15 A B

C D

θ

M

N

37º

B)15

23

C)15

13

D)13

15

E)1

5


27/64

4


Reducción al primer cuadrante I

NIVEL BÁSICO

1. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. sen(180º+q)=– senq

II. tan(360º –q)=tanq

III. cos º150 3

2( ) = −

A) VVF B) FFV C) VFV

D) FVF E) VVV

2.

Reduzca la siguiente expresión.

sen( ) cot(

cot( )

π θ π θ

π θ

− − )

+

2

A) senq

B) – senq

C) cosq

D) – cosq

E) 1


M

x x

x=

+ + −

−

sen( º ) sen( º )

cos( º )

180 360

180

A) tan x

B) cot x

C) 2cot x

D) 1

E) 2tan x

4. Halle el valor de M .

M =

−sen º sen º

cos º

170 4 350

80

A) 3

B) 4

C) 5

D) – 3

E) 2

5. Si tan(190º)= m, halle sec2(350º).

A) 1 – m2 B) 1+ m2 C) m2

D) – m2 E) m2 – 1

NIVEL INTERMEDIO

6. En el triángulo rectángulo mostrado, halle la

longitud de la hipotenusa.

s e n 1 4 0 º c o s 3 2 0 º

A) sen20º

B) cos20º

C) sen40º

D) cos40º

E) 1

7. En un triángulo ABC , se cumple que

sen( A+B)=cos A

Indique el tipo de triángulo que representa.

A) escaleno

B) equilátero

C) isósceles

D) rectángulo

E) obtusángulo

8. En el gráfico, halle senq.

2

45º

3

θ

A)2

3

B) −2

3 C)

1

3

D) −1

3 E) −

1

2


28/64

5

NIVEL AVANZADO

9. Si en un triángulo ABC , se cumple que

tan cos( )

sen( )

C A B C

A B C

=+ +

+ +

2

2 2

, halle B.

A) 30º

B) 60º

C) 45º

D) 53º

E) 90º

10. Según el gráfico, halle tanq, si AB=BC .

A=(0; 3)Y

X

C

θ

B=(3; 1)

A) – 3 B) – 2 C) – 1

D) 2 E) 3


29/64

6


Reducción al primer cuadrante II

NIVEL BÁSICO

1.

Marque la proposición correcta.

A) sen(90º+ x)= – cos x

B) cos º120 1

2= −

C) tan(270º – x)=– cot x

D) cot(270º+ x)= tan x

E) sec(300º)= – 2

2. De acuerdo con la siguiente condición,

sen(270º –q) – cos(90º+q)=3senq halle tanq.

A) 1/2 B) 2 C) 1

D) – 1/2 E) – 2

3. Si csc cotπ

θ π

θ2

3

2+

+ +

=

a

b,

halle sec(2p –q)+tan(p+q).

A) − a b

B) a b

C) ba

D) − b

a E)

a b

a b

+

−


cos º cos º

sen º cos º

91 271

46 46

−

−

A) −2

2

B)2

2

C) 2

D) − 2 E) 1

5. Si

f x x

x x( )

cos sen

sen( º )=

+

− −

+

2 2

2

3

2

2 45

π π

,

halle f π3

.

A)3 1

2

+ B)

3

2 C) 1

D) 3 1

2

− E) −3

2

NIVEL INTERMEDIO

6. Si f ( x)=sen x+cos x,

halle f f x x

π π2

3

2+

−

+ .

A) 2sen x

B) – 2sen x

C) 2cos x

D) – 2cos x

E) 0

7. Si sec(270º –q) · csc(90º+q)=3,

halle tan2q+cot2q.

A) 3

B) 5

C) 7

D) 9

E) 11

8. En la figura, halle senq.

Y

X

(5; – 12)

θ

A) −12

13 B) −

5

12 C)

12

13

D) −5

13 E)

5

12


30/64

7

NIVEL AVANZADO

9. Si A+B+C =180º, halle

sen csc

tan

4 3 3

2

2

2

4

A B C A B C

A B C

+ +

+ +

+ +

A) – 1 B) 1 C) 0

D) 2 E) – 2

10. Del gráfico, halle tanq+cscb.

a b

c

θ

β

A) b c

a

+ B)

c b

a

− C)

a b

c

+

D)a b

c

− E)

b c

a

−


31/64

8


Reducción al primer cuadrante III

NIVEL BÁSICO


sen( º ) cos( º )sen( º )

720 901800

+ − +

+

x x x

A) 1 B) – 1 C) 0

D) 2 E) – 2


sen º csc º

tan º

1110 750

1485

+

A)

3

2 B)

5

2 C) 1D) 2 E) 3


sen( ) tan( )

cos( )

6 24

1 10

π θ π θ

π θ

+ + +

+ +


D) cotq E) 1

4. Calcule el valor de la expresión

tan tan17

3

15

4

π π

A) 1 B) – 2 C) 2

D) 3 E) − 3


cos( )

cos( º )

sen( º )

sen( )

−

+

++

−

α

α

α

α540

720

A) 2 B) 0 C) – 2D) tana E) 2tana

NIVEL INTERMEDIO


cos sen

tan

x x

x

−( ) − −

+( )

π π

π2

2

A) 0

B) 2

C) – 2

D) – sen x

E) sen x


sen( )csc( ) tan ( )

tan( )csc( )

5 3 2

7 4

2π θ π θ π θ

π θ π θ

+ + + +

+ +

A) senq B) – senq C) cosq

D) – cosq E) secq

8. Si sen(–q)+2cos(–q)=2senq y, además, q es

agudo, halle sec(–q)+csc(–q).

A)3

2 B) −

3

2 C)

13

6

D) −13

6 E)

11

6

NIVEL AVANZADO


tan sec37

4

175

4

π π

+

A) 1 2−

B) 1 2+

C) 2 1−

D) − −1 2

E) – 2

10. Halle la suma de valores positivos y menores

que una vuelta que toma q, si

sen cosθ π

= −

5

A) p B) 2p C) 3p

D)π

2 E)

3

2

π


32/64

Trigonometría

2



NIVEL BÁSICO

1. Calcule el valor de 8 15

2

15

215sen

ºcos

ºcos º

A) 12

B) 2 C) 1

D) –1 E) 0

2. Si sen cos x x− =2

3, calcule sen2 x.

A)1

2 B)

3

2 C)

3

5

D) 13

E) 23

3. Si cos4 x– sen4 x=2sen2 x y x ∈ 〈0,45º〉, calcule x.

A)45

2

º B)

37

2

º C)

53

2

º

D) 30º E) 15º

4. Simplifique la expresión

sen cos

sen cos

2 1 2

2 1 2

x x

x x

+ +

+ −

A) cot x B) tan x C) sen x

D) cos x E) sec x

5. Calcule el valor de θ.

2sen10ºcos10º

cos

2

35º –

sen

2

35º

θ

A) 10º B) 20º C) 35º

D) 45º E) 70º

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule sen2 x sisen º

sen º

x

x

+( )

−( ) =

45

45

1

2

A)4

5 B) −

3

5 C) −

4

5

D)3

5 E)

1

2

7. Si asen x= bcos x; calcule cos2 x.

A)a b

a

2 2

22

+ B)

a b

b

2 2

22

+

C)a b

a

2 2

22

−

D) b a

a b

2 2

2 2

−

+

E)a b

a b

2 2

2 2

−

+

8. Calcule el valor de csc º sec º10 3 10−

A) 3 B) 1 C) 2

D) 4 E) 3

NIVEL AVANZADO

9. Si la siguiente igualdad

cos4θ= A+ Bcos2θ+C cos4θ

es una identidad, calcule A+ B – C .

A) 1 B)1

8 C)

3

4

D)5

4 E) 2

10. Si cos2θ=tan25º, calcule tan2

θ.

A) tan5º

B) tan10º

C) tan15º

D) tan20º

E) tan25º

alole

Identidades trigonométricas del ángulo doble I


33/64

Trigonometría

3



NIVEL BÁSICO

1. Si tan3 x= n, calcule (1 – n2)tan6 x.

A) n B) 2 n C) 3 nD) 1+ n2 E) n2

2. Si tan2 x+3tan x=tan45º, calcule tan2 x.

A) 3 B)1

3 C)

3

2

D) 1 E)2

3

3. Si tan4 4

42

x n

n

=

−

, halle el valor de tan2 x.

A)2

n B)

4

n C)

1

n

D)1

2 n E)

22 n


1 2

1 2

−

+

tan cot

tan tan

x x x x

A) tan x B) cot x C) –1

D) sen x E) cos x

5. A partir de la figura, calcule el valor de θ.

2tanθ

1 – tan2θ

2θ

A) 45º B)45

2

º C) 15º

D) 30º E) 60º

NIVEL INTERMEDIO

6. Si tan x=3, calcule 2 2 45sen º x +( ).

A)1

3 B)

− 15

C)−

1

3

D)1

5 E)

2

3

7. Si la siguiente sucesión 1,2tan x; tan2 x, ...

está en progresión aritmética, calcule sen2 x.

A)1

4 B) 1 C)

1

8

D) 12

E) 23

8. Calcule tan2 x si tan x+2sec2 x=4

A) 1 B) 2 C) 4

D) 3 E)1

2

NIVEL AVANZADO

9. A partir del gráfico, calcular cos2 x si HC =3( AH ).

A

B

C H

x2 x

A)1

2 B)

1

3 C)

1

4

D)3

4 E)

1

5

10. Si tan x=tan3 y, calcule tan( x+ y)cot2 y.

A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4

D) 0,5 E) 0,6

n2

A) 1

e

Identidades trigonométricas del ángulo doble II


34/64

Trigonometría

4



NIVEL BÁSICO


2 2

2 2

csc tan

tan cot

x x

x x

−

+

A) tan x B) cot x C) 1

D) –1 E) – tan x


(cot2θ – tan2θ)tan2θ

A) csc2θ B) 4cscθ C) 4csc2θ

D) cscθ E) 4cot2θ


sen4θ+cos4θ+sen6θ+cos6θ= A+ Bcos4θ

es una identidad, calcular A+ B.

A)1

4 B)

1

2 C) 1

D) 2 E) 4


tan tan

sec

2 1

2

x x

x

+

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

5. Sisen cos

sen cos6 6

2θ θ

θ θ

+

+

= , calcule cos4θ.

A)1

2 B) −

1

2 C) 1

D)1

4 E) –1

NIVEL INTERMEDIO


sec2θ · cot2θ – 2cotθ · cot2θ

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


csc4θ+2cot8θ+tan4θ

A) cot4θ B) tan4θ C) tan2θ

D) cotθ E) cot2θ

8. Si cot(45º+θ)+tan(45º+θ)=a, calcule cos4θ.

A)8

2

2

+ a

a B)

8

2

2+ a

C)8

2

2

− a

a

D)8

2

2− a

E)a2

2

NIVEL AVANZADO

9. Si MNPQ es un cuadrado,

calcule csc2θ.

A

B

C M

N P

Qa c b

θ

A)a b c+ +

2

B)a b c

a

+ +

2

C)a b c

b

+ +

D)a b c

b

+ +

2

E)a b c

c

+ +

2


tanθ+2tan2θ+4tan4θ+8cot8θ

A) tan8θ B) cot16θ C) tan16θ

D) cotθ E) 0

c2

Identidades trigonométricas del ángulo doble III


35/64

Trigonometría

5



NIVEL BÁSICO

1. Hallar el valor de 3sen15º – 4sen315º

A)3

2 B)

3 1

2

+

C) 22

D)1

2 E) 1


3 5 4 5

4 25 3 25

3

3

sen º sen º

cos º cos º

−

−

A)3

4

B)4

3

C)1

2

D) 2 E) 1


3 3

3 3

cos cos

sen sen

θ θ

θ θ

+

−

A) tan3θ B) cot3θ C) tan2θ

D) cot2θ E) cotθ


sen sen

cos cos

3

3

3

3

x x

x x

+

−

A) sen x B) cos x C) tan x

D) cot x E) 1

5. Sisen sen3

3

2

2

θ θ= , calcule cosθ.

A) 12

B) −1

2 C) –1

D) −1

4 E)

1

4

NIVEL INTERMEDIO

6. Si tan3θ=4, calculesen cos

sen cos

θ θ

θ θ

+

+

4

43 3

A)2

3 B)

4

3 C)

1

3

D) 5 E)3

4


sen

sen sencos

3

2

θ

θ θθ

−= +a b

es una identidad, calcule a+ b.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5


sen º cos º

sen º cos º

3 310 20

10 20

+

+

A) 3 B)3

4 C) 4

D)3

2 E)1

3

NIVEL AVANZADO

9. Calcule el valor de a.

4cos18º – 3sec18º=atan18º

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

10. Calcule el valor de 12cos240º – 8sen310º

A) 3 B) 5 C) 7

D) 9 E) 1

la sifiq

se

en

θ

otθ

si .

Identidades trigonométricas del ángulo triple


36/64

Trigonometría

6



NIVEL BÁSICO


sen sen

cos cos

4 2

4 2

x x

x x

+

+

A) tan2 x B) tan3 x C) tan4 x

D) tan x E) 1


sen sen sen

cos

3 2

2 1

x x x

x

+ +

+

A) sen2 x B) cos2 x C) tan2 x

D) cot2 x E) 1

3. Halle el valor de sen20º+cos50º – cos10º

A)sen º20

2 B)

sen º10

2 C)

sen º5

2

D) 1 E) 0

4. Calcule el equivalente de la siguiente expresión.

sen sen sen

cos cos cos

6 4 2

2 4 6

θ θ θ

θ θ θ

+ +

+ +

A) tanθ B) tan2θ C) tan3θ

D) tan4θ E) cot2θ

5. Si x =45

2

º, calcule

sen sen

cos cos

2 2

2 2

x y x y

x y x y

+( ) + −( )

+( ) + −( )

A) 1 B) 2 1+ C) 2 1−

D) –1 E) 0

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule el valor desen º sen º

cos º sen º

300 200

20 40

+

A) 2 B) – 2 C) 4

D) – 4 E) 6

7. Si x+ y=15º, calcule

sen º sen º

cos º cos º

2 30 2 30

2 45 2 45

x y

x y

+( ) + +( )

+( ) + +( )

A) 1 B)1

2

C) 2

D) 2 E)2

2


sen º sen º sen º sen º

cos º

24 6 24 6

72

+( ) −( )

A) 2 B)1

2 C) 1

D)1

4 E) 4

NIVEL AVANZADO

9. Sicos

cos

4

2

x

x

b

a=

calcule cot3 xcot x.

A)a b

a b

−

+

B) b a

a b

−

+

C)a b

b a

+

−

D)a b

a b

+

−

E)a

b

+

+

1

1

10. Calcule θ para que la siguiente igualdad sea

una identidad.

sen sen

sen sen

cos

cos cos

3

2 4 2

x x

x x

x

x

+

+=

+ θ

Dato: θ ∈ 〈0,90º〉

A) 15º

B) 30º

C) 45º

D) 60º

E) 75º

VEL AVAN

te e sió

9.

Transformaciones trigonométricas I


37/64


38/64

10


NIVEL BÁSICO

1. Del gráfico, calcule a.

3 P ;

5 a

X

Y

C. T .

A) 4/5 B) 3/5 C) 1

D) – 4/5 E) – 3/5

2. A partir del gráfico, calcule PQ.

60º

Q

P

X

Y

C. T .

A) 3 B)3

2

C) 3/2

D) 1 E) 1/2

3. De la figura, calcule PQ.

C. T .

143º

O

P

X

Y

A) 1/2

B) 1/4

C) 1/5

D) 3/5

E) 1/3

4. En el gráfico, calcule PH si AH =3( BH ).

B A

P

H

X

Y

C. T .

A) 1/2 B) 1/3 C)3

2

D)3

4 E) 1/4

5. Si BM=MO, calcule el área de la región som-

breada.

X

Y

C. T .

M

O

B

A) 3 2u

B) 2 3 2u

C)3

2

2u

D)3

4

2u

E)1

2

2u

3



TrigonometríaCircunferencia trigonométrica I


39/64

11

Anual San Marcos Trigonometría

NIVEL INTERMEDIO

6. A partir del gráfico, calcule PQ.

A) 1/3

X

Y

C. T .37º

2

Q P

B) 1/6

C) 4/5

D) 3/5

E) 1/2

7.Si AM=MB, calcule el área de la región som-breada.

X

M

B

A

Y

C. T .

A)1

2

2u B)

1

4

2u C) 1 u2

D) 2 u2 E)1

8

2u

8. En la circunferencia trigonométrica mostrada,

calcule el área de la región sombreada.

C. T .

α

β X

Y

A)tan tanα β

4 B) tanatanb C)

tan tanα β

2

D) cotacotb E)cot cotα β

2

NIVEL AVANZADO

9. Del gráfico, calcule AB.

X

B

A

Y

C. T .

1

8; a P –

A) 1/2

B) 1/4

C) 1/8

D) 1

E) 1/6

10. En el gráfico calcule el área de la región som-

breada.

X

Y

C. T .

2π

3

A)1

2

3

2

2+ u B)

1

4

3

2

2+ u C)

1

2

3

4

2+ u

D)3

4

1

4

2+ u E)

3

21

2+ u

Trigonometría

4




40/64

15


NIVEL BÁSICO

1. En la circunferencia trigonométrica, calculeQC .

X

C

Y

C. T . Qθ

A) – senq B) 1 – senq C) – 1 – senq

D) 1+senq E) senq



X

Y

C. T .

θ

A)senθ

2 B) 2senq C) senq

D) 1/2 E) 1/4


calcule (1+senq) PB.

C. T .

X

Y

θ

B

P

A) (1+senq)2

B) 1+sen2q

C) – cos2q

D) – 1 – sen2q

E) cos2q

4. En la circunferencia trigonométrica mostrada, cal-

cule el área de la región sombreada siOM=MA.

X

O M A

Y

C. T .

θ

A) – senq

B) − 1

2senθ

C) −3

2senθ

D)− 3

4senθ

E) – 2senq

5. Calcule el área de la región sombreada.

X

Y

C. T .θ

A) senq B) – senq C) 2senq

D) – 2senq E)senθ

2

5



Trigonometría Circunferencia trigonométrica II


41/64


42/64

20


NIVEL BÁSICO



X

Y

C. T .

θ

A) – cosq B) −cosθ

4 C) – 2cosq

D) −cosθ

2 E) −

cosθ

3

2. De la figura, calcule PB.

X P B

Y

C. T .

θ

A) 1 – cosq B) 1+cosq C) 2 – cosq

D)cosθ

2 E) 2+cosq

3. Determine el área sombreada en términos de q.

X

Y

θ

C. T .

A)1

2

+( )sen cosθ θ

B)1

2

−( )sen cosθ θ

C)1

2

+( )cos senθ θ

D)1

2

−( )cos senθ θ

E)sen cosθ θ

2

4. En la figura, calcule PQ en términos de q.

X

Y

C. T .

θ Q

P

A) 1+cosq B) cosq – 1 C) 2cosq

D)1 – cos

q E) 2 – cosq


determine el perímetro de la región sombreada.

X

Y

θ

A) 4(senq – cosq)

B) 4(cosq+senq)

C) 4(cosq – senq)

D) 4(cosq – 2senq)

E) 4(2senq – cosq)

7



Trigonometría Circunferencia trigonométrica III


43/64

21


NIVEL INTERMEDIO

6. En la figura mostrada, calcule PB en términos

de q.

X

Y

C. T .

θ

B

P

A) 2cosq

B) 2senq

C) – 2cosq

D) – 2senqcosq

E) senq– cosq



X

Y

θ

A) sen cosθ θ −( )12

B)sen cosθ θ

2

C)sen cosθ θ1

2

−( )

D)cos senθ θ1

2

−( )

E)cos senθ θ −( )1

2

8. A partir del gráfico, calcule tana+cotq.

X

Y

C. T .

αθ

A) cscq B) tanq C) cotq

D) secq E) cosq

NIVEL AVANZADO

9. De la figura, calcule OM .

X

Y

θ

M O

C. T .

A)sen

cos

θ

θ1−

B)cos

sen

θ

θ −1

C)sen

cos

θ

θ −1

D)cos

sen

θ

θ1−

E)sen

cos

θ

θ

−1

Trigonometría

8




44/64

22

Academia ADUNI Material Didáctico N.o6

10. Calcule el área de la región sombreada en tér-

minos de q.

X

Y

C. T .

θ

A) −+( )

sen cos

cos

θ θ

θ2 1

B)sen cos

cos

θ θ

θ2 1+( )

C) −+( )

sen cos

sen

θ θ

θ2 1

D)sen cos

sen

θ θ

θ2 1 +( )

E) −+

2sen

sen cos

θ

θ θ

Trigonometría

9




45/64

6


NIVEL BÁSICO

1. Determine el número de valores enteros que

toma 3senq – 2.

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 7

2. Calcule la variación de senq si q ∈ 〈37º; 120º〉.

A)3

5

3

2;

B)3

51;

C)3

5

3

2;

D)3

51;

E) 〈– 1; 1〉

3. Si q ∈ 〈30º; 150º〉, calcule la variación de

8senq – 2.

A) 〈2; 5] B) 〈2; 6] C) 〈2; 7]

D) 〈3; 5] E) 〈3; 6]

4. Si senθ = + m 4

10 y q ∈ [30º; 53º], calcule la suma

del máximo y mínimo valor que asume m.

A) 5

B) 1

C) 2D) 3

E) 4

5. Calcule la variación de la expresión.

2senq+3; q ∈ II C

A) 〈1; 3〉 B) 〈3; 5〉 C) 〈2; 4〉

D) 〈1; 4〉 E) 〈2; 5〉

NIVEL INTERMEDIO

6. Si θ π π

∈

12

5

12; , calcule la variación de

2sen2q+1.

A) [1; 2]

B) [2; 3]

C) [1; 3]

D) [0; 1]

E) [2; 4]

7. Si q ∈ III C, determine la variación de

sen2q+2senq+3.

A) [2; 3] B) [2; 3〉 C) 〈2; 3]

D) 〈0; 3] E) 〈2; 3〉

8. Determine el número de valores enteros que

asume la expresión.

2sen(q – 50º); q ∈ [80º; 150º]

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

NIVEL AVANZADO

9. Si q ∈ 〈30º; 150º〉, calcule la variación de

4sen2q+8senq.

A) 〈5; 10] B) 〈5; 10〉 C) 〈5; 12〉

D) 〈5; 12] E) [5; 12〉

10. Si q ∈ II C, calcule la variación de

24

1sen θ π+

+ .

A) 〈–1; 1〉

B) 〈0; 2〉

C) 〈0; 1〉

D) [0; 2〉

E) [–1; 1]

2



TrigonometríaCircunferencia trigonométrica IV


46/64

10


NIVEL BÁSICO

1. Determine la variación de la expresión.

3 5

2

cosθ +

A) [3; 5] B) [1; 5] C) [1; 3]

D) [1; 4] E) [0; 3]

2. Si θ ∈ 〈30º; 120º], determine la variación de

cosq.

A) −

1

2

3

2;

B) −

32

12

;

C) − −

3

2

1

2;

D) −

1

2

3

2;

E) − −3

2

1

2;

3. Si q ∈ 〈– 10º; 60º], calcule la variación de

2cosq+1.

A) 〈2; 3〉 B) [0; 1] C) [– 1; 2]

D) 〈– 1; 3〉 E) [2; 3]

4. Si θ π π

∈

4 2; , determine el número de valores

enteros que toma 2 2 1cosθ + .

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5. Calcule la variación de la expresión.

cosq+2; q ∈ III C

A) 〈0; 1〉 B) 〈– 1; 0〉 C) 〈1; 2〉

D) 〈0; 2〉 E) 〈2; 3〉

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule la variación de la expresión 4cos2q+1

si θ π π

∈3

2

3; .

A) [0; 1〉 B) [1; 2〉 C) [2; 3〉

D) 〈2; 3] E) 〈1; 2]

7. Si q ∈ III C, calcule la variación de la expresión.

cos

cos

θ

θ

+

+

4

3

A)3

2

5

2; B)

1

2

5

2; C)

4

3

3

2;

D)2

3

3

4; E) 0

5

2;

8. Si θ π π

∈

8

3


2 2cos( )θ .

A) − 2 2; B) −

2

2

2

2; C) 0 2;

D)−

2 0; E) [–1; 1]

NIVEL AVANZADO

9. Si θ π π

∈

5

12

2


sec22q – 1.

A) [0; 1] B) [0; 2] C) [0; 3]

D) 〈0; 1〉 E) 〈0; 2〉

10. Calcule la variación de la siguiente expresión.

cos senπ3

x

A) [–1; 1] B) −

1

2

1

2; C) 0

1

2;

D)1

21;

E) −

1

20;

3



TrigonometríaCircunferencia trigonométrica V


47/64

14


NIVEL BÁSICO

1. Calcule la mayor solución positiva de sen(2 x)=1.

A) p /2 B) p /4 C) 3p /2D) 3p /4 E) p

2. Calcule la suma de soluciones de la ecuación.

cos2 x=sen2 x; x 〈0; p〉

A) p /3 B) p /2 C) 3p /4

D) p /4 E) p

3.Calcule la solución general de la ecuación.

sen x=cos x, n ∈ Z

A) nππ

−{ }4

B) 24

nππ

+{ }

C) nππ

+{ }4D) ( )2 1

4 n + −{ }π

E) nππ

±{ }44. Calcule la solución general de la ecuación.

sen2 xcos x – 3cos x=0, k ∈ Z

A) { kp} B) {2 kp} C) {(2 k+1)p}

D) ( )2 12

k+{ }π E) kπ2{ }


(sen x+cos x)2=1, x ∈ 〈0; 2p〉

A) p B) 2p C) 3p

D) p /2 E) 3p /2

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule la menor solución positiva de la ecua-

ción.

cos2 x – 2cos x=3

A) p /2 B) p C) 3p /2

D) 2p E) p /4


sen2 xcos x=cos2 xsen x, x ∈ [0; 2p]

A) p B) 2p C) 3p

D) 5p /2 E) 3p /2

8. Calcule la solución general de la ecuación.

(sen x+cos x)2+sen2 x=3, n ∈ Z

A) { np} B) {2 np} C) ( )2 12

n+{ }π

D) ( )4 12

n+{ }π E) ( )4 1 4 n+{ }π

NIVEL AVANZADO

9. Señale cuántos valores de x ∈ [0; 2p] satisfa-

cen la ecuación sen xcos x – sen x+cos x – 1=0.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

10. Calcule la solución general de la ecuación

sen(cos x)=0, n ∈ Z.

A) {2 np}

B) ( )4 12

n+{ }π

C) ( )2 12

n+{ }π

D) ( )4 12

n−{ }π E) { np}

4



TrigonometríaEcuaciones trigonométricas I


48/64

18


NIVEL BÁSICO

1. Calcule la menor solución positiva de la ecua-

ción.

3 – 5cos x=0

A) 37º B) 30º C) 45º

D) 53º E) 60º

2. Resuelva la ecuación.

2 1 0cos x − = , x ∈ 〈0; 2p〉

A)π π

4

3

4;{ }

B)π π

474

;{ } C)

π π

4

5

4;{ }

D)π π

8 4;{ }

E)3

4

5

3

π π

;{ }3. Calcule el número de soluciones de la ecua-

ción.

4 2 22sen x = − , x ∈ 〈0; p〉

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

4. Calcula la suma de soluciones de la ecuación.

4 2 0sen cos x x − = , x ∈ 〈0; p〉

A) p /2 B) p /4 C) p

D) 3p /4 E) 2p

5. Resuelva la ecuación

2cos4 x – 2sen4 x=1, x ∈ 〈0; p〉

A)π π

6

5

6;{ } B) π π

3

2

3;{ } C) π π6

7

6;{ }

D)5

6

7

6

π π;{ } E) π π3

5

3;{ }

NIVEL INTERMEDIO

6. Calcule la menor solución positiva de la

ecuación.

(sen x – cos x)2=sen2 x

A) p /4 B) p /8 C) p /3

D) p /6 E) p /12

7. Calcule la mayor solución negativa de la ecua-

ción.

2cos2 x+5cos x – 7=0

A) –p /6 B) –p /3 C) –p /4

D) –p /2 E) –p

8. Resuelva la ecuación.

sen2 x – cos x=0, x ∈ 〈0; p〉

A)π π π

6 2

5

3; ;{ }

B)π π π

3 2

5

6; ;{ }

C)π

ππ

6

7

6; ;{ }

D)π π π

6 2

5

6; ;{ }

E)π π π

6 2

5

2; ;{ }

NIVEL AVANZADO


4cos2 xcos x=2cos3 x+1, x ∈ 〈0; 2p〉

A) p B) 3p /2 C) 4p /3

D) 5p /3 E) 2p

10. Calcule el número de soluciones de la ecua-

ción.

sen cos x x+ =3 3, x ∈ [0; 2p]

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

5



TrigonometríaEcuaciones trigonométricas II


49/64

5


NIVEL BÁSICO


2 3 0sen x − = ; n ∈ Z e indique la solución

general.

A) n n

ππ

+ −{ }( )13

B) nππ

+{ }3

C) nπ π±{ }

3

D) n nπ π+ −{ }( )1 6

E) n nπ π

21

6+ −{ }( )

2. Determine la solución general de la ecuación.

2 2 2cos( ) x =

A) 2

4

nπ π±

{ } B) nπ

π±

{ }8 C) nπ

π±

{ }4D)

nπ π

2 8±{ } E) 2

2 nπ

π±{ }

3. Resuelva la ecuación tan x – 1=0; n ∈ Z e

indique la solución general.

A) nππ

+{ }4

B) nπ π−{ }4

C) nπ π

2 4+{ }

D) nπ π

2 4−{ }

E) nπ π±{ }4

4. Determine la solución general de la siguiente

ecuación.

tan

tan

x

x1

3

62−=

A) nπ π+{ }6 B) nπ π

2 12+{ } C) nπ

π+{ }3D)

nπ π

2 6+{ } E) nπ π+{ }

12


ecuación.

sen x+cos x=1; n ∈ Z

A) n n

ππ π

+ − +

{ }( )1

4 4

B) n nπ π π

21

8 8+ − +{ }( )

C) nπ π±{ }4

D) n n

ππ π

+ − −{ }( )18 8

E) n n

ππ π

+ − −{ }( )14 4

NIVEL INTERMEDIO


ecuación.

2sen2 x+3=7sen x; n ∈ Z

A) nππ

+{ }6B) n

nπ

π+ −{ }( )1 6

C) nππ

−{ }6D) n

nπ

π− −{ }( )1

6

E) n n

ππ

+ −{ }( )13

2



Trigonometría Ecuación trigonométricas III


50/64

6



sec tan2

4 3 x x− = + e indique una de sussoluciones generales ( n ∈Z).

A) nππ

+

{ }6 B) nπ

π−

{ }6 C) nπ

π±

{ }6D) nπ

π+{ }3 E) nπ

π+{ }4


ecuación.

sen cos x x= +2 3 ; n ∈ Z

A) n n

ππ π

+ − +{ }( )13 4

B) n n

ππ π

+ − −{ }( )13 4

C) n nπ π

31

4+ −{ }( )

D) n n

ππ π

+ − −{ }( )14 3

E) n n

ππ π

+ − +{ }( )14 3

NIVEL AVANZADO

9. Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica.

cos cos2 4 3 3 x x+ = ; n ∈ Z.

A) 26

nππ

+{ } B) 26

nππ

−{ } C) 26

nπ π±{ }

D) 23

nπ π±{ } E) 2

3 nπ

π+{ }


sen x+cos x=tan xsec x

e indique la solución general ( n ∈ Z).

A) nπ

π+

{ }6 B) nπ

π+{ }3

C) nππ

+{ }12

D) nππ

+{ }4

E) nππ

−{ }4

Trigonometría

3




51/64

10


NIVEL BÁSICO

1. En la figura, calcule x.

30º 37º

x x+1

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. Si senq=3sena, calcule AB.

α θ

A

B

C

4

A) 8 B) 6 C) 10

D) 9 E) 12

3. De la figura, calcule x.

A) 2

θ

senθ

30º

x

B) 1/2

C) 4

D) 1

E) 3

4. En la figura, calcule BC .

A) 10

10

53º

A

B

C

O

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

5. Si en un triángulo ABC de lados a, b y c,

respectivamente, se cumple

sen cosC

c

A

a= , calcule A.

A) 90º

B) 60º

C) 45º

D) 135º

E) 120º

NIVEL INTERMEDIO

6. Según el gráfico, calcule DE .

3

4

5

60º 45º

A

B

C D

E

A)1

46 B)

15

146 C)

12

56

D)14

156 E)

5 6

6

7. En un triángulo ABC de lados a, b y c, res-

pectivamente, se cumple que abc = 4 y

sen sen sen A B C =1

2. Calcule el circunradio

de dicho triángulo.

A) 2

B) 1/2

C) 4

D) 1/4

E) 1

4



TrigonometríaResolución de triángulos oblicuángulos I


52/64

11


8. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respecti-

vamente, simplifique

b B c C

B C

cos cos

cos( )

+

−

A) a B) b C) c

D) 2a E) a /2

NIVEL AVANZADO

9. Si en un triángulo ABC de lados a, b y c,

respectivamente, se cumplea

B

b

Acos cos= y

A ≠ B, calcule C .

A) 45º B) 60º C) 75º

D) 120º E) 90º

10. Calculesen

sen

α

β.

3 4

4 5

α β

A

B

C D

A) 5/3

B) 3/5

C) 12/5

D) 15/16

E) 3/20

Trigonometría

5




53/64

15


NIVEL BÁSICO

1. En la figura mostrada, calcule BC .

A) 7B) 11

C) 13

D) 14

E) 21

2. En la figura, calcule m BAC .

A) 16º

B) 15º

C) 30º

D) 60º

E) 53º

3. Calcule cosq.

3 5

7

θ

A) 11/13 B) 9/14 C) 9/13

D) 9/11 E) 13/14

4. Según el gráfico, calcule m ABC .

A) 30º

B) 60º

C) 120º

D) 127º

E) 150º

A

B

C 76

74

60º

5 7

8 A

B

C

13

78

A

B

C

5. Del gráfico, calcule BD.

2

3

A

B

C D

60º

60º

A) 21 B) 19 C) 39

D) 33 E) 26

NIVEL INTERMEDIO

6. En un triángulo ABC de lados a, b y c, respec-

tivamente, se cumple que a2= b2+c2 – bc. cal-

cule m BAC .

A) 30º B) 60º C) 90º

D) 120º E) 150º

7. Si el coseno del mayor ángulo de un triángulo

cuyos lados son tres números enteros y conse-cutivos, es igual a 1/5, calcule el perímetro de

dicho triángulo.

A) 12 B) 14 C) 16

D) 18 E) 20

8. Según el gráfico, calcule q.

θ

A

B

C

cos20º

sen10º

cos10º

A) 10º B) 20º C) 40º

D) 50º E) 70º

6



TrigonometríaResolución de triángulos oblicuángulos II


54/64

16


NIVEL AVANZADO

9. A partir del gráfico, calcule CD; AD=8.

5 7

A

B

C D

120º

A) 3 B) 4 C) 5

D) 7 E) 6

10. A partir del gráfico, calcule AC .

23

θ 2θ

A

B

C

A) 1

B) 3/2

C) 2

D) 5/2

E) 3

Trigonometría

7




55/64

17


37

SEMANA

NIVEL BÁSICO

1. En un triángulo rectángulo PQR recto en Q. Sise cumple que csc Pcsc R=2, calcule el valor

de K R= +cot 2 .

A) 2 2− B) 5 C) 1 2+

D) 3 E) 2 2+

UNMSM 2003

2. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hi-

potenusa es igual a 5/2 del producto de sus ca-tetos. Calcule la cotangente del ángulo mayor.

A) 1

B) 1/2

C) – 1/2

D) 2

E) – 1

UNMSM 2005 - I

3. Si tan2 x+cot2 x=2 y x pertenece al segundo

cuadrante, halle el valor de la siguiente expre-

sión.

E x x

x x x=

+ +

+ +

tan cot

cot tan cot

81 81

21 7 6

4

A) – 4 B) 4 C) 2

D) – 2 E) – 6

UNMSM 2004 - II

4. Si tana y tanb son raíces de 2 x2+ x– 1=0, halle

tan(a+b).

A) – 1

B) – 1/3

C) – 1/4

D) – 1/6

E) – 2/3

UNMSM 2005 - II

5. Al simplificar la expresión

sen º cos º

sen º cos º

17 17

31 31

+, se obtiene

A)2

2 B) 2 C) 2 2

D) 4 2 E)2

4

UNMSM 2007 - I

NIVEL INTERMEDIO

6. Si sen x+cos x=a, halle M =cos22 x – sen2 x – 1.

A) a2(1 –a2)

B) a2(1+a2)

C) a4 – 1

D) a2(a2– 1)

E) a – 2(a4 – 1)

UNMSM 2005 - II

7. Sea A, B y C los vértices de un triángu-

lo. Si tan( )2 2

3C = , determine el valor de

cos cos

sen sen

4 4

4 4

A B

A B

+

+

.

A) – 6,5 B) 1,5 C) 2,5

D) – 1,5 E) 0 6,

UNMSM 2005 - I

8.Determine la suma de todos los valoresde q ∈ [0; 2p] que satisfacen la ecuación

senq+cosq=– 1.

A)7

2

π

B)9

4

π

C)3

2

π

D)5

2

π

E)7

4

π

UNMSM 2009 - I

Práctica integral

Trigonometría

8

Prohibida su reproducci

trigonometría anual ade 2015

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