trigonometria e números complexos 12ano

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  • 5

    APRESENTAO

    O tema Trigonometria e Nmeros Complexos vem completar o ciclo de brochuras

    dedicadas ao ensino da geometria. Foi seguida a mesma metodologia de trabalho dos

    textos anteriores, procurando articular sugestes de actividades fundamentadas do

    ponto de vista didctico e alguns contributos cientficos sobre os conceitos mais

    significativos.

    Assim, esta brochura constituda pelas seguintes partes:

    Actividades comentadas - Trigonometria Actividades comentadas - Complexos

    Cristina Loureiro e Rita Bastos

    Alguns limites e derivadas de funes trigonomtricas O teorema fundamental da lgebra

    Augusto Franco de Oliveira

    Nmeros complexos Jorge Nuno Silva

  • 6

  • 7

    NDICE

    Actividades comentadas Trigonometria 9 Actividades comentadas Complexos 19 Nmeros complexos e sistemas de coordenadas 25 Clculo com nmeros complexos 32 Nmeros complexos e vectores 39 Nmeros complexos e transformaes geomtricas 45 Geometria e nmeros complexos 55 Bibliografia 70 Alguns limites e derivadas de funes trigonomtricas 71 O limite de sen xx

    71

    Derivadas das funes trigonomtricas 75 Bibliografia 78 O teorema fundamental da lgebra 79 Histria resumida do TFA 79 Uma demonstrao do TFA 84 Bibliografia 90 Nmeros complexos 91 Introduo 91 Os primrdios 91 Definio e propriedades elementares 96 Conjugao 99 Nmeros complexos e lugares geomtricos do plano 104 Forma polar dos nmeros complexos 108 Algumas aplicaes 113 Bibliografia 120

  • 8

  • 9

    ACTIVIDADES COMENTADAS TRIGONOMETRIA

    O terceiro tema do programa do 12 ano completa o estudo da trigonometria, iniciado no

    11, com o estudo intuitivo das funes trigonomtricas e o clculo das suas derivadas.

    Na abordagem que fizemos na brochura do 11 ano (pg. 99 a 106), sugerimos vrias

    actividades e problemas que so adequados realizao desse estudo intuitivo e

    aplicao das derivadas. Tendo em conta o tempo proposto para este tema, 6 aulas, e a

    possibilidade de os alunos utilizarem a calculadora grfica, parece-nos que a nfase

    desta explorao deve ser na resoluo de problemas e na realizao de pequenos

    projectos de modelao. Considerando que no tema geral do referido programa se prev

    vrias abordagens do processo de modelao matemtica (p. 37), esta uma boa opor-

    tunidade para propor actividades de modelao e reflectir com os alunos sobre os

    processos utilizados e sobre a sua importncia no mundo actual. Vamos assim explorar

    apenas uma actividade de modelao que envolve funes trigonomtricas, e sugerir

    outras leituras com abordagens das funes trigonomtricas na modelao anlogas a

    estas.

    Para alm da calculadora grfica, h dois ambientes de computador propcios

    explorao de actividades de modelao que so a folha de clculo e o programa

    Modellus. Este ltimo um programa especialmente desenvolvido a pensar no ensino da

    Matemtica e da Fsica, e que pode ser obtido atravs do endereo electrnico

    http://www.sce.fct.unl.pt/modellus.

    Uma actividade de modelao matemtica parte normalmente de dados reais e procura

    representar de algum modo essa realidade atravs de modelos matemticos que, por

    sua vez, permitem estudar e compreender melhor alguns aspectos desses fenmenos

    reais. uma actividade desse tipo, mas simples, que propomos a seguir, utilizando

    dados recolhidos de uma publicao conhecida.

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    10

    Observa a tabela publicada no

    almanaque Borda d gua de

    1999, e depois constri um

    modelo matemtico que tradu-

    za, por exemplo, a variao do

    comprimento do dia ao longo

    do ano de 1999.

    O comprimento do dia

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    11

    Claro que, numa actividade de modelao, o ideal ser que os prprios alunos recolham

    os dados, directamente, ou atravs dos meios de informao, nomeadamente a Internet,

    e que estes sejam o mais actuais possvel.

    Nesta explorao optmos por usar a folha de clculo para introduzir os dados, e

    comeamos por explorar apenas os dados relativos ao comprimento do dia em Lisboa.

    COMPRIMENTO DO DIA - LISBOA - 1999

    Dia Horas Minutos Comprimento (horas) 0 9 31 9,517

    10 9 40 9,66720 9 54 9,90030 10 13 10,21740 10 34 10,56750 10 57 10,95060 11 22 11,36770 11 46 11,76780 12 12 12,200

    Logo nesta fase a folha de clculo til para se obter a coluna do comprimento em

    horas. Os dados apresentados no almanaque referem-se a datas de dez em dez dias.

    Optmos por designar por 0 o primeiro dia porque o facto de haver imagem para o zero

    pode facilitar a determinao do modelo, mas essa uma escolha que podemos

    reformular em qualquer altura, aproveitando as possibilidades da folha de clculo. Com

    estes dados obtemos imediatamente um primeiro grfico.

    89

    10111213141516

    0 6 12 18 24 30 36Dia do ano

    10

    Com

    prim

    ento

    (hor

    as)

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    12

    Esta curva parece uma sinusoidal, o que sugere um modelo que uma funo

    trigonomtrica composta da funo seno com funes lineares. Para encontrar essa

    funo deveremos ter em conta, entre outros aspectos, os pontos em que atinge o

    mximo e o mnimo e tambm o seu perodo. Embora a calculadora grfica faa

    regresso trigonomtrica, mais interessante e formativo construir o modelo recorrendo

    s caractersticas e propriedades das funes trigonomtricas, nomeadamente as das

    funes seno e coseno.

    Considerando para varivel independente x o nmero dia do ano10 , podemos considerar

    36 como uma aproximao razovel do perodo, j que equivale a tomar 360 como

    nmero de dias do ano.

    Utilizando estes valores, podemos partir do grfico da funo y = sen x, e transform-lo

    sucessivamente at obtermos a melhor aproximao ao grfico dos dados reais.

    A transformao da expresso para se obter perodo 36, corresponde a esticar o grfico

    no sentido do eixo Ox

    y = sen (236 x) = sen (

    18 x)

    -10123456789

    10111213141516

    0 6 12 18 24 30 36Dia do ano

    10

    Com

    prim

    ento

    (hor

    as)

    Comprimento real

    y = sen x

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    13

    Esta nova funo tem um mximo no ponto (9, 1). Como o maior dia do ano o dia 20

    de Junho, em que x = 17, necessrio fazer uma translao do grfico segundo o vector

    (8, 0). A expresso correspondente fica

    y = sen ( 18 (x 8))

    A amplitude do contradomnio da ltima funo obtida 2. Para obter a amplitude da

    funo pretendida, procuramos nos dados que temos o menor e o maior dias do ano:

    o mnimo da funo, correspondente ao dia 17 de Dezembro C(35) = 9,487

    o mximo da funo, correspondente ao dia 20 de Junho C (17) = 14,883

    a amplitude do contradomnio, correspondente diferena entre o mximo e o mnimo

    14,883 9,487 5,4

    A amplitude da funo que queremos modelar aproximadamente 5,4. Para fazer a

    transformao pretendida multiplicamos a funo por 5,42 = 2,7

    Como o mximo do comprimento do dia 14,833, fazemos uma translao do grfico no

    -10123456789

    10111213141516

    0 6 12 18 24 30 36Dia do ano

    10

    Com

    prim

    ento

    (hor

    as)

    y = sen (

    18 (x 8))

    y = sen

    (

    18 x)

    Comprimento real

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    14

    sentido vertical de 14,883 2,7 12,2. Portanto a expresso da funo que procuramos

    ser aproximadamente

    y = 12,2 + 2,7 sen ( 18 (x 8))

    Podemos comparar agora a tabela e o grfico desta funo com os da funo obtida

    com os dados reais. Se tivssemos tido acesso a dados com maior preciso e em maior

    nmero teramos encontrado provavelmente um modelo melhor que este, mais

    aproximado da realidade.

    COMPRIMENTO DO DIA - LISBOA - 1999

    Dia Comprimento(horas) Modelo Diferena

    0 9,517 9,541 -0,0241 9,667 9,663 0,0042 9,900 9,862 0,0383 10,217 10,132 0,0854 10,567 10,464 0,1025 10,950 10,850 0,1006 11,367 11,277 0,0907 11,767 11,731 0,0368 12,200 12,200 0,0009 12,633 12,669 -0,036

    -3-2-10123456789

    10111213141516

    1 7 13 19 25 31 37

    Dia do ano10

    Com

    prim

    ento

    (hor

    as)

    y = 12,2 + 2,7 sen (

    18 (x 8))

    (0; 12,2)

    y = 2,7 sen (

    18 (x 8))

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    15

    Por um processo anlogo obteramos um modelo para a variao do comprimento do dia

    no Porto.

    A comparao dos dois grficos permite fazer algumas observaes, interpret-las e

    avanar na compreenso da realidade. Por exemplo, porque razo

    os valores do comprimento do dia se situam num intervalo menor em Lisboa do que

    no Porto?

    quando o dia maior que a noite, os dias so maiores no Porto do que em Lisboa?

    quando o dia menor que a noite, os dias so menores no Porto do que em

    Lisboa?

    89

    10111213141516

    0 6 12 18 24 30 36Dia do ano

    10

    Com

    prim

    ento

    do

    dia Comp. real

    Modelo

    89

    10111213141516

    0 6 12 18 24 30 36

    Dia10

    Com

    prim

    ento

    do

    dia

    LISBOAPORTO

    Com

    prim

    ento

    do

    dia

  • ACTIVIDADES COMENTADAS - TRIGONOMETRIA

    16

    o dia igual noite apenas em dois dias do ano, que so os mesmos em Lisboa e

    no Porto?

    O que provoca estas diferenas entre o comprimento do di