trigonometria e números complexos

78
Razões Trigonométricas num triângulo rectângulo sen  = hipotenusa oposto cateto AC CB = cos  = hipotenusa adjacente cateto AC AB = tg  = adjacente cateto oposto cateto AB CB = Ângulo e Arco generalizados Se α é a amplitude de um ângulo (ou arco), todo os ângulos com o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade são da forma: α + k . 360º , k ZZ ou α + 2kπ π π π , k ZZ Definição de seno, co-seno e tangente no círculo trigonométrico (círculo de raio 1 unidade) sen α = sen (α α α α + k360º) = ordenada de P = OP y cos α = cos (α α α α + k360º) = abcissa de P = OP x tg α = tg (α + k180º) = P P de abcissa de ordenada = x y tg α = ordenada de Q α + 360º α C A B Q (1, tg α) y 1 P (cos α, sen α) sen α α –1 0 cos α 1 x –1 α – 360º α + + + +

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Trigonometria e Números Complexos

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Page 1: Trigonometria e Números Complexos

Razões Trigonométricas num triângulo rectângulo

sen  = hipotenusa

opostocateto

AC

CB =

cos  = hipotenusa

adjacentecateto

AC

AB =

tg  = adjacentecateto

opostocateto

AB

CB=

Ângulo e Arco generalizados

Se αααα é a amplitude de um ângulo (ou arco), todo os ângulos com o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade são da forma:

αααα + k . 360º , k ∈∈∈∈ ZZ ou αααα + 2kπ π π π , k ∈∈∈∈ ZZ

Definição de seno, co-seno e tangente no círculo trigonométrico (círculo de raio 1 unidade)

sen αααα = sen (α α α α + k360º) = ordenada de P = OP

y

cos αααα = cos (α α α α + k360º) = abcissa de P = OP

x

tg αααα = tg (αααα + k180º) = P

P

deabcissadeordenada =

xy

tg αααα = ordenada de Q

αααα + 360º αααα

C A B

Q (1, tg α) y 1 P (cos α, sen α) sen α α

–1 0 cos α 1 x

–1

αααα – 360º αααα ++++

Page 2: Trigonometria e Números Complexos

Relações entre seno, co-seno e tangente de um ângulo

sen αααα2 + cos αααα2 = 1 tg αααα = αααααααα

cossen tg2 αααα + 1 =

αααα2cos

1

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares αααα e ππππ/2 — αααα

sen (ππππ/2 — αααα) = cos αααα

cos (ππππ/2 — αααα) = sen αααα

tg (ππππ/2 — αααα) = cotg αααα

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem ππππ/2

sen (ππππ/2 + αααα) = cos αααα

cos (ππππ/2 + αααα) = —sen αααα

tg (ππππ/2 + αααα) = —cotg

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos suplementares αααα e ππππ — αααα

sen (ππππ — αααα) = sen αααα

cos (ππππ — αααα) = — cos αααα

αααα tg (ππππ — αααα) = — tg αααα

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem ππππ

sen (ππππ + αααα) = —sen αααα

cos (ππππ + αααα) = — cos αααα

tg (ππππ + αααα) = tg αααα

y 1 sen α tg α α –1 0 cos α 1 x

–1

y 1

sen α tg α α –1 0 cos α 1 x π + α –1

y 1 π////2 + α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x

–1

y 1 π – α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x

–1

Page 3: Trigonometria e Números Complexos

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos αααα e 3ππππ/2 — αααα

sen (3ππππ/2 — αααα) = —cos αααα

cos (3ππππ/2 — αααα) = —sen αααα

tg (3ππππ/2 — αααα) = cotg αααα

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem 3ππππ/2

sen (3ππππ/2 + αααα) = —cos αααα

cos (3ππππ/2 + αααα) = sen αααα

tg (3ππππ/2 + αααα) = —cotg αααα

Relações entre as razões trigonométricas de ângulos simétricos αααα e — αααα

sen (— αααα) = — sen αααα

cos (— αααα) = cos αααα

tg (— αααα) = —tg αααα

Valores exactos de razões trigonométricas (0 ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ ππππ/2 )

αααα 0 6π

seno 0 21

22

23 1

co-seno 1 23

22 2

1 0

tangente 0 33 1 3 nd

y 1

sen α tg α α –1 0 cos α 1 x 3π////2 – α –1

y 1

sen α tg α α –1 0 cos α 1 x

3π////2 +α –1

y 1

sen α tg α α –1 0 cos α 1 x

–α –1

y π/2 2π/3 π/3 3π/4 π/4

5π/6 π/6

π 2π x -5π/6 -π/6

-3π/4 -π/4 -2π/3 -π/3 -π/2

Page 4: Trigonometria e Números Complexos

4. Prova que:

a) 1 + tg2 x = x2cos

1

1 + tg2 x = x

x2

2

cos

sen1+ =

x

xx2

22

cos

sencos + =

x2cos

1 (dado que sen2 x + cos2 x = 1)

b) θ

θsen1

cos1

2

+− = sen θ

θθ

sen1cos

12

+− =

θθθ

sen1cossen1 2

+−+

= θ

θθθθsen1

cossencossen 222

+−++

(sen2 α + cos2 α = 1)

= θ

θθsen1

sensen2

++

= θθθ

sen1)1sen(sen

++

= sen θ

c) α

αα

αcos

sen1sen1

cos ++

+ =

αcos2

αα

αα

cossen1

sen1cos +

++

= αααα

cos)sen1()sen1(cos 22

+++ =

ααααα

cos)sen1(sen21sencos 22

++++

= αα

αcos)sen1(

sen22+

+ = αα

αcos)sen1(

)sen1(2+

+ = αcos

2

d) x

xx2cos

)cos1)(cos1( +− = tg2 x

x

xx2cos

)cos1)(cos1( +− = x

x2

2

cos

cos1− = x

xxx2

222

cos

coscossen −+ = x

x2

2

cos

sen = tg2 x

5. Qual a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos de um relógio (em cm por minuto) que mede 10 cm de comprimento?

Resolução

O ponteiro dos minutos dá uma volta por hora, ou seja, a sua xtremidade percorre uma circunferência de raio 10 cm durante 1 hora. Assim:

P = 2πr = 20π

V = e/t = 20π cm/h

V = 60

20π ≈ 1 cm/min

Page 5: Trigonometria e Números Complexos

7. Sabendo que sen

+ x2

3π = 31 e x ∈ ]π , 2π[,

calcula o valor exacto de cos (π + x) – 2 cos

+ x2π

Resolução

Se x ∈ ]π , 2π[ e sen

+ x2

3π =31 então é necessário que x ∈ ]π , 3π/2[

Verifica-se também que sen

+ x2

3π = – cos x , logo cos x = —

31

sen2 x + cos2 x = 1 <=> sen2 x = 1 – cos2 x

<=> sen2 x = 1 – 2

31

<=> sen2 x = 1 – 91

<=> sen2 x = 1 – 91

<=> sen x = 98±

<=> sen x = 3

22− (sen x < 0 dado que x ∈ ]π , 3π/2[ )

Por análise do círculo trigonométrico conclui-se que

cos (π + x) = – cos x = 31 e cos

+ x2π = — sen x =

322

Finalmente:

cos (π + x) – 2cos

+ x2π =

31

– 2

322

= 3

241−

3π/2+x

1/3 x

1/3 –1/3

x + π x +π/2

x

Page 6: Trigonometria e Números Complexos

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

sen x = sen αααα <=> x = αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ v x = ππππ — αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ

cos x = cos αααα <=> x = αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ v x = — αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ

tg x = tg αααα <=> x = αααα + kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ

8. Resolve, em IR, as equações:

c) 4 + 8sen

2x

= 0

8sen

2x

= – 4 <=> sen

2x

= –21

<=> 2x

= –6

5π+ 2kπ, k∈ZZ v

2x

= 6π− + 2kπ, k∈ZZ

<=> x = –6

10π+ 4kπ, k∈ZZ v x =

62π− + 4kπ, k∈ZZ

<=> x = –3

5π+ 4kπ, k∈ZZ v x =

3π− + 4kπ, k∈ZZ

e) xtg31 =

3

1

xtg31 =

3

1 <=> tg x =

3

3 <=> tg x =

333

<=> tg x = 3

<=> x = 3π

+ kπ, k∈ZZ

g) 2sen (πx) – 1 = 0

2sen (πx) – 1 = 0 <=> sen (πx) = 21

<=> πx = 6π

+ 2kπ, k∈ZZ v πx = 6

5π+ 2kπ, k∈ZZ

<=> x = π

π

6+

π

πk2, k∈ZZ v πx =

π

π

65

+ π

πk2, k∈ZZ

<=> x = 61

+ 2k, k∈ZZ v πx = 65

+ 2k, k∈ZZ

−5π/6 −π/6

π/3

5π/6 π/6

y 1

π – α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x – α

–1

Page 7: Trigonometria e Números Complexos

h) sen

x1

= 0

sen

x1

= 0 <=> x1

= kπ, k∈ZZ <=> x = πk1

, k∈ZZ \{0}

9. Resolve as equações:

a) sen x + cos x = 0

sen x + cos x = 0 <=> sen x = – cos x <=> x = 4

3π+ kπ, k∈ZZ

c) 3cos θ = 2sen2 θ

Sabendo que sen2 θ = 1 – cos2 θ , temos

3cos θ = 2( 1 – cos2 θ ) <=> 3cos θ = 2 – 2cos2 θ

<=> 2cos2 θ + 3cos θ – 2 = 0

<=> cos θ = 4

)2(2433 2 −−±− × <=> cos θ =

4253 ±−

<=> cos θ = 4

53 +− v θ =

453 −−

<=> cos θ = 21

v cos θ = –2 �

<=> θ = 3π± + 2kπ, k∈ZZ

d) cos2 θ + 2sen θ = 2

1 – sen2 θ + 2sen θ – 2 = 0 <=> – sen2 θ + 2sen θ – 2 = 0 <=> sen2 θ – 2sen θ + 1 = 0

<=> (sen θ – 1) 2 = 0 <=> sen θ = 1 <=> θ = 2π

+ 2kπ, k∈ZZ

11. Resolve a condição |sen x | < 21 no intervalo:

a) [0 , 2π]

b) [–π , π]

|sen x | < 21

<=> sen x < 21

∧ sen x > –21

a) x ∈ [0 , π/6 [ ∪ ] 5π/6 , 7π/6 [ ∪ ] 11π/6 , 2π ]

b) x ∈ [–π , –5π/6 [ ∪ ] –π/6 , π/6[ ∪ ] 5π/6 , π ]

π 2π

3π/4

-π/4

π/3

-π/3

5π/6 π/6

-5π/6 -π/6

Page 8: Trigonometria e Números Complexos

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

As funções trigonométricas são consideradas funções periódicas, isto é:

Uma função f diz-se periódica se existe um número positivo P tal que

f (x + P) = f(x), ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ Df

Representação gráfica das funções seno e co-seno no intervalo [0 , 2ππππ]

Note-se que cos x = sen (ππππ/2 — x) , ∀∀∀∀x∈∈∈∈IR

Propriedades comuns

Domínio: IR

Contradomínio: [—1 , 1]

Período: 2ππππ Contínuas em IR: alim

asensen =

→x

x e alim

acoscos =

→x

x

Não existe xx

sen±∞→

lim e xx

cos±∞→

lim

Os gráficos não apresentam quaisquer assimptotas

Outras propriedades

sen x cos x

Paridade

Função ímpar: sen (–x) = – sen x, ∀x∈IR Função par: cos (–x) = cos x, ∀x∈IR

Zeros: x = kπ, k∈ZZ Zeros: x = 2π + kπ, k∈ZZ

Sinal

Positiva: x ∈ ] 0 + 2kπ , π + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ]−π/2 + 2kπ , π/2 + 2kπ [, k∈ZZ

Negativa: x ∈ ]π + 2kπ , 2π + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ] π/2 + 2kπ , 3π/2 + 2kπ [, k∈ZZ

Monotonia

Crescente: x ∈ ]−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ]π + 2kπ , 2π + 2kπ [, k∈ZZ

Decresc.te: x ∈ ] π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ[, k∈ZZ x ∈ ]0 + 2kπ , π + 2kπ [, k∈ZZ

Extremos

Mínimo = —1, minimizantes: −π/2 + 2kπ, k∈ZZ minimizantes: π + 2kπ, k∈ZZ

Máximo = 1, maximizantes: π/2 + 2kπ, k∈ZZ maximizantes: 2kπ, k∈ZZ

Page 9: Trigonometria e Números Complexos

Representação gráfica das função tangente no intervalo [–2ππππ , 2ππππ]

Propriedades

Domínio: IR \

=2π

x + kππππ, k∈∈∈∈ZZ

Contradomínio: IR

Período: ππππ

Assimptotas verticais do gráfico: rectas de equações x = 2π + kππππ, k∈∈∈∈ZZ

xx

tg

2+

→ π

lim = xx

xcossen

2+

→π

lim = −0

1 = —∞ e xx

tg

2−

→π

lim = xx

xcossen

2−

→π

lim = +0

1 = +∞

Não existe xx

tg±∞→

lim

Paridade

Função ímpar: tg (–x) = – tg x, ∀x∈IR

Zeros: x = kπ, k∈ZZ

Sinal

tg x >0 <=> x ∈ ] 0 + kπ , π/2 + kπ [, k∈ZZ

tg x < 0 <=> x ∈ ] π/2 + kπ , π + kπ [, k∈ZZ

Monotonia

Crescente: x ∈ ]−π/2 + kπ, π/2 + kπ [, k∈ZZ (crescente no seu domínio)

Não tem extremos

x

y

−2π −1,5π −π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

+∞ y +

2π −

1 x

–∞

Page 10: Trigonometria e Números Complexos

17. Indica uma expressão geral dos zeros das funções definidas em IR por:

b) sen (2x )

sen (2x ) = 0 <=> 2x = kπ, k∈ZZ

<=> x = kπ/2, k∈ZZ

c) cos (πt)

cos (πt) = 0 <=> πt = π/2 + kπ, k∈ZZ

<=> t = π/2π + kπ/π, k∈ZZ <=> t = 1/2 + k, k∈ZZ

18. Estuda a paridade das funções definidas em IR por:

a) x cos x + sen x

A função é par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR

cos x + sen x = cos (–x ) + sen (–x) <=> 2 cos x = – 2 sen x

<=> cos x = – sen x, ∀x∈IR falso

É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR

cos (–x ) + sen (–x ) = – cos x – sen x <=> cos x – sen x = – cos x – sen x

<=> cos x + cos x – sen x + sen x = 0 <=> 2 cos x = 0, ∀x∈IR

falso

b) t sen

2t

É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR

sen (–α) = – sen α, ∀α∈IR <=> sen

2t

= – sen

2t

, ∀t ∈IR . A função é ímpar

c) x x + cos x

É par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR

x + cos x = –x + cos (–x ) <=> x + cos x = –x + cos x <=> 0 = –2x , ∀x ∈IR falso

É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR

–x + cos (–x) = –(x + cos x ) <=> –x + cos x = –x – cos x <=> 2cos x = 0, ∀x ∈IR falso

π 2π

π/2

−π/2

x

y

−2π −π 0 π 2π

-2

-1

1

2

x

y

−2π −π 0 π 2π

-2

-1

1

2

Page 11: Trigonometria e Números Complexos

d) x sen x – x

É par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR

sen x – x = sen (–x) – (–x) <=> sen x – x = –sen x + x

<=> 2sen x = 2x , ∀x ∈IR falso

É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR

sen (–x ) – (–x ) = –(sen x – x) <=> – sen x + x = – sen x + x , ∀x ∈IR verdadeiro

19. Determina o domínio de existência em IR das funções definidas por:

a) x

xcos1

sen−

D = { x∈IR : 1 – cos x ≠ 0 }

1 – cos x ≠ 0 <=> cos x ≠ 1 <=> x ≠ 2kπ, k∈ZZ

D = IR \ { x∈IR : 2kπ, k∈ZZ }

c) x

xtg1

sen−

D = { x∈IR : 1 – tg x ≠ 0 ∧ x ≠ π/2 + kπ, k∈ZZ }

1 – tg x ≠ 0 <=> tg x ≠ 1 <=> x ≠ π/4 + kπ, k∈ZZ

D = IR \ { x∈IR : π/4 + kπ, k∈ZZ ∧ π/2 + kπ, k∈ZZ }

20. Determina uma expressão geral dos zeros das funções definidas nos seus domínios de existência por:

b) 1 – tg

3x

1 – tg

3x

= 0 <=> tg

3x = 1 <=>

3x

= π/4 + kπ, k∈ZZ <=> x = 3π/4 + 3kπ, k∈ZZ

c) sen x + tg x

sen x + tg x = 0 <=> sen x + xx

cossen

= 0 <=> x

xxxcos

sen cossen +⋅ = 0

<=> x

xxcos

)1 cos(sen + = 0 <=> sen x = 0 v cos x + 1 = 0 ∧ cos x ≠ 0

<=> x = kπ, k∈ZZ v x = π + 2kπ, k∈ZZ <=> x = kπ, k∈ZZ

x

y

−π 0 π

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

Page 12: Trigonometria e Números Complexos

TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Influência dos parâmetros nos gráficos de funções do tipo

y = a + b sen (cx + d) e y = a + b cos (cx + d)

Exemplos comparados com y = sen (x) ou y = cos( x)

a = 2; b = 1; c = 1; d = 0

f(x) = 2 + sen (x)

a = —1; b = 1; c = 1; d = 0

g(x) = —1 + sen (x)

Quando a ≠≠≠≠ 0, os gráficos sofrem uma translação vertical com reflexos no contradomínio

a = 0; b = 2; c = 1; d = 0

f(x) = 2cos (x)

a = 0; b = 1/2; c = 1; d = 0

g(x) = 1/2cos (x)

Quando b ≠≠≠≠ 1, os gráficos sofrem uma contracção ou expansão vertical com reflexos no contradomínio

a = 0; b = 1; c = 2; d = 0

f(x) = sen (2x)

a = 0; b = 1; c =1/2; d = 0

g(x) = sen (x/2)

Quando c ≠≠≠≠ 1, os gráficos sofrem uma dilatação ou compressão horizontal com reflexos no período, em que o novo período é P = ————

a = 0; b = 1; c = 1; d = ππππ/4

f(x) = cos (x + ππππ/4)

a = 0; b = 1; c = 1; d = —ππππ/3

g(x) = cos (x —ππππ/3)

Quando d ≠≠≠≠ 0, os gráficos sofrem uma translação horizontal (—d) com reflexos nos maximizantes e minimizantes

x

y

−π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π

-2

-1

1

2

3

4

f

g

x

y

0 0,5π π 1,5π 2π 2,5π 3π 3,5π 4π

-2

-1

1

2

f

g Período g = 4π Período f = π

x

y

−π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π

-2

-1

1

2–π/4 π/3

D´f = [–2, 2] D´g =[–1/2, 1/2]

x

y

0 0,5π π 1,5π 2π

-2

-1

1

2

3

4

f

g

D´f = [ 1, 3] D´g =[ –2 , 0]

P |c|

Page 13: Trigonometria e Números Complexos

23. Indica o cobtradomínio de cada uma das funções seguintes e uma expressão geral dos maximizantes.

a) f: x 1 + 2 sen x

Enquadramento:

–1 ≤ sen x ≤ 1 <=> –2 ≤ 2 sen x ≤ 2 <=> –2 + 1 ≤ 1 + 2 sen x ≤ 2 +1 <=> –1 ≤ 1 + 2 sen x ≤ 1

D’f = [–1 , 3]

Maximizantes:

Resolver a equação

1 + 2 sen x = 3 <=> 2 sen x = 3 – 1 <=> 2 sen x = 2 <=> sen x = 1 <=> x = π/2 + 2kπ, k∈ZZ

Portanto, f tem os mesmos maximiznates que sen x ou seja, quando x = π/2 + 2kπ, k∈ZZ

c) h: x sen2 x – 2

Enquadramento:

–1 ≤ sen x ≤ 1 <=> 0 ≤ sen2 x ≤ 1 <=> –2 + 0 ≤ sen2 x – 2 ≤ 1 – 2<=> –2 ≤ sen2 x – 2 ≤ –1

D’h = [–2 , –1]

Maximizantes:

sen2 x – 2 = –1 <=> sen2 x = 1 <=> sen x = ± 1 <=> x = π/2 + kπ, k∈ZZ

27. Prova que:

b) O período de g(x ) = 3tg (x/2) é 2π

Por definição g(x + T) = g(x), ∀x∈Dg e o período de tg x = π

Se T = 2π então: g(x + 2π) = 3tg

+22πx

(substituindo x por x + T)

= 3tg

+2

π22x

= 3tg

+ π2x

( π é operíodo da função tg x)

= 3tg(x/2) = g(x), ∀x∈Dg

c) O período de h(x ) = cos

3xπ

é 6

Por definição h(x + T) = h(x), ∀x∈Dh e o período de cos x = 2π

Se T = 6 então: h(x + 6) = cos

+3

6)π(x = cos

+ ππ

23x

= cos(πx/3) = h(x), ∀x∈Dh

π/2

1 –1 1 -1

xy

0 0,5π π 1,5π 2π

-3

-2

-1

1

Page 14: Trigonometria e Números Complexos

Actividade 5

Observa o gráfico seguinte que descreve o nível da água num ponto ao longo do dia.

Encontra uma função da família x y = a + b sen (cx + d) que pode descrever a situação ilustrada no gráfico.

Resolução

E primeiro lugar, deve-se observar que no papel, que parece milimétrico, cada quadrícula maior representa 2 unidades, cada uma dividida em 10. Logo, cada quadrícula menor representa 0,2 unidades.

O gráfico apresenta 2 para os mínimos e 6 para os máximos, fazendo com que a função tenha contradomínio [2 , 6], deslocando-se o eixo horizontal para y = 4. Significa isto que o gráfico sofreu uma translação vertical sendo a = 4;

Sendo a amplitude 4, o valor de b tem que ser 2;

Tendo em conta os máximos (ou mínimos), estes distam 12,4 unidades. Assim, 2π/c = 12,4 <=> c ≈ 2π/12,4 <=> c ≈ 0,5;

Como sen α = 0 <=> α = 0 + kP, k∈ZZ (sendo P o período), isto mostra que o gráfico sofreu uma

translação horizontal de 8,8 unidades para a esquerda (o eixo Oy deslocou-se –8,8), pelo que d = –8,8.

Portanto, a expressão da função deve ser y = 4 + 2 sen (0,5x + 8,8)

Page 15: Trigonometria e Números Complexos

Problema de modelação (Pág 23)

Na tabela seguinte apresentam-se as previsões da altura das marés no porto de Leixões para um determinado dia. Apresenta uma expressão, com valores aproximados, da função capaz de modelar seta situação.

horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Altura (m) 1,68 1,54 1,53 1,65 1,88 2,16 2,45 2,66 2,74 2,67 2,46 2,17 1,86 1,61 1,47 1,45 1,56 1,76 2,01 2,25 2,41 2,46 2,39 2,22

Na calculadora gráfica, na opção STAT, introduzir os valores da tabela em duas listas (fig. 1 e 2).

Na Cásio pressionar F2(CALC) , F3(REG), F6(����), F4(sin) para obter o ecrã da figura 3.

Na Texas, em STAT����CALC executar (SinReg) e introduzir L1,L2

A expressão da função, com valores a 2 casas decimais, é: y = 0,55sen (0,48x –2,26) + 2

A figura 4 mostra o gráfico de pontos (da regressão) e a figura 5 mostra o gráfico da função

32. A profundidade da água do mar à entrada de um porto de abrigo é dada num certo dia, em metros, por

h(t) = 9 – 2 cos

t

sendo t o número de horas depois da primeira maré baixa desse dia.

a) Qual a profundidade na maré alta e na maré baixa nesse dia?

b) Quanto tempo decorreu entre uma maré alta e uma maré baixa?

a) A função cos α tem máximos para α = 0 + 2kπ, k ∈ ZZ e mínimos para α = π + 2kπ, k ∈ ZZ

A função —cos α, sendo simétrica relativamente a Ox, apresenta mínimos onde cos x apresenta máximos e vice-versa, logo:

Mínimo para t = 0 temos: 9 – 2 cos 0 = 9 – 2 x 1 = 7 (m)

Máximo para t = 6 temos: 9 – 2 cos

66π

= 9 – 2 cos π = 9 – 2(–1) = 11 (m)

b) O período da função é

P = 2π/c <=> P = 6

2 ππ / <=> π

π12=P <=> P = 12

Em cada período a função tem um máximo e um mínimo, logo, se o período é 12 horas, decorrem 6 horas entre os extremos.

0 6 12 18 24

Page 16: Trigonometria e Números Complexos

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS DA SOMA DE DOIS ÂNGULOS

Considerando os vectores u

r e v

r no círculo trigonométrico,

o produto escalar é ur

• vr

= ||ur

|| x || vr

|| x cos (ur ^ v

r)

sendo ||ur

|| = || vr

|| = 1, temos ur

• vr

= cos (ur ^ v

r) = cos (α – β)

Pelas coordenadas, ur

= (cos α , sen α) e vr

= (cos β , senβ)

temos ur

• vr

= (cos α , sen α) x (cos β , senβ) = cos α cos β + sen α senβ

cos ( a – b) = cos a cos b + sen a sen b, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR

Como senβ = — sen (–β ) e cos (α + β) = cos [α – (–β )]

Temos que cos (α + β) = cos α cos β + sen α (–senβ )

cos ( a + b) = cos a cos b – sen a sen b, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR

Tendo em conta que sen x = cos (π/2 – x) então sen (α + β) = cos [π/2 – (α + β )] = cos (π/2 – α – β )

Assim, sen (α + β) = cos [(π/2 – α) – β )] =

= cos (π/2 – α) cos β + sen (π/2 – α) senβ

ou seja, sen (α + β) = sen α cos β + cos α senβ

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR

Verifica-se, também que sen (α – β) = sen [α + (– β)]

= cos (π/2 – α) cos (–β ) + sen (π/2 – α) sen(–β )

= sen α cos β + cos α (–senβ )

sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR

Como consequências:

tg (a + b) = )cos()(sen

ba

ba

++

= baba

abba

sensencoscoscossencossen

−+

=

bababa

baabba

coscos

sensencoscoscoscos

cossencossen

+

=

baba

baba

baab

baba

coscos

sensen

coscoscoscos

coscos

cossen

coscos

cossen

+

tg (a ±±±± b) = baba

tgtgtgtg

m1±

e tg (a + a) = tg (2a) = a

a2tg1

2tg

e considerando que 2x = x + x temos: sen 2x = sen(x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x – sen x sen x = cos2 x – sen2 x

sen (2a) = 2 sen a cos a e cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a

y

ur

α vr

β 0 −β x

π/2 - α α

y

αααα – ββββ u

r α v

r

β 0 x

Page 17: Trigonometria e Números Complexos

35. Completa as sfirmações de modo a que sejam verdadeiras:

b) cos2 (x/2) – sen2 (x/2) = cos (2x/2) = cos ( x) dado que cos (2 a) = cos2 a – sen2 a

c) sen (3x) = 2sen (3x/2) cos (3 x/2) dado que sen (2 a) = 2sen a cos a

36. Prova que:

b) cos (2a) = 1 – 2 sen2 a

cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a ( cos2 a + sen2 a = 1 <=> cos2 a = 1 – sen2 a )

cos (2 a) = 1 – sen2 a – sen2 a <=> cos (2 a) = 1 – 2 sen2 a

c) cos x = 2 cos2 (x/2) – 1

cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a

cos ( a) = cos 2 (a/2) – sen 2 (a/2) ( cos2 a + sen2 a = 1 <=> sen2 a = 1 – cos2 a )

cos (x) = cos2 (x/2) – [ 1 – cos2 (x /2)]

<=> cos (x) = cos2 (x /2) – 1 + cos2 (x /2)

<=> cos (x) = 2 cos2 (x /2) – 1

37. Sendo sen β = 1/4 e cos β < 0 calcula o valor exacto de sen (2β ), cos (2β ) e tg(2β )

sen2 β + cos2 β = 1 ∧ cos β < 0 <=> cos β = —161

1− <=> cos β = —415 tg β =

4/15

4/1

− = –

1515

sen (2β ) = 2 sen β cos β = – 2 415

41 × = –

815

cos (2β ) = cos2 β – sen2 β = 22

41

415

− =

161

1615 − =

1614

= 87

tg(2β ) = β

β2tg1

tg2

− =

2

1515

1

1515

2

−−

=

22515

1

15152

=

22515225

15152

= 210225

15152 ×−

= 715−

39. Calcula:

b) a sen (2x) + b cos (2x) sabendo que tg x = a/b (põe b em evidência)

a sen (2x) + b cos (2x) = b[a/b sen (2x) + cos (2x)] = b[tg x sen (2x) + cos (2x)] cos(a - b)=cosacosb+senasenb

= b

+ )2cos()2(sen

cossen

xxxx

= b

+x

xxxxcos

)2cos(cos)2(sensen = b

−x

xxcos

)2cos( = b

xx

coscos

= b

Page 18: Trigonometria e Números Complexos

LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Quando foram estudadas as propriedades das funções seno e co-seno foi visto que:

São funções contínuas em IR;

alim sensen =→

xax

e alim coscos =→

xax

;

Não existem xsen±∞→x

lim e xcos±∞→x

lim

Mas, x

xx

sen

0→lim conduz a uma indeterminação

0

0 , pois x → 0 e sen 0 = 0

A calculadora gráfica, embora apresentando erro, sugere que, quando x → 0, y = sen (x)/x → 1…

Verificação por via geométrica

Considere-se o ângulo ao centro AOP numa circunferência em que 1== OPOA e ao ângulo de x rad corresponde o arco AP com x unidades de comprimento.

Tem-se, também, que ´PP = sen x e AB = tg x

e pela análise da figura sen x < x < tg x

Dividindo por sen x : x

xx

xxx

sentg

sensensen

<< <=> xx

xx

xsencos

sensen

1 << <=> xx

xcos

1sen

1 <<

Quando x → 0, cos x → 1, logo xcos

1 → 1 e assim, 1

sen1 <<

xx

Conclui-se, assim, que x

xx sen0→lim = 1 e

xx

x

sen

0→lim = 1 dado que

xx

x

sen

1

0→lim

= 11

Sabe, tamém, que –1 ≤≤≤≤ sen x ≤≤≤≤ 1 e iguamente –1 ≤≤≤≤ cos x ≤≤≤≤ 1

Dividindo por x tem-se x

xx

1x

sen1≤≤

− e xx

1−+∞→

lim = xx

1

+∞→lim = 0 , logo

x

x

x

sen

+∞→lim = 0

Resumindo:

xx

sen0→xlim = 1 ;

xxsen

0→xlim = 1 ;

xxcos1 −

→0xlim = 0 ;

xxsen

+∞→xlim = 0 e

xxcos

+∞→xlim = 0

Também já foi visto que, no caso da tangente o Domínio é IR \

=2π

x + kππππ, k∈∈∈∈ZZ pelo que

xtg+

+→ ππ

k2

x

lim = –∞∞∞∞ ; xtg−

+→ ππ

k2

x

lim = +∞∞∞∞ e x

xtg

0→xlim = 1

B P 1 x

x

O 1 P´ A

sen

x

tg x

Page 19: Trigonometria e Números Complexos

42. Calcula, caso exista:

c) x

x

x

sen

π→lim

xx

x

sen

π→lim =

π

π

π

sen

→xlim =

π

0= 0

d) x

x

x

cos

0→lim

xx

x

cos+→0

lim = +0

0cos = +0

1= +∞ e

xx

x

cos−→0

lim = −0

0cos = −0

1= –∞ não existe

xx

x

cos

0→lim

e) x

x

x

sen

−∞→lim

xx

x

sen

−∞→lim =

∞−−∈ ]1,1[k = 0 (trata-se do quociente de um número entre —1 e 1 a dividir por –∞)

f)

2

tg

2

ππ −→ x

x

x

lim

2

tg

2

ππ −+

→ x

x

x

lim = +

∞−0

= — ∞ e

2

tg

2

ππ −−

→ x

x

x

lim = −

+∞0

= — ∞

então, 2

tg

/π/2π −→ x

x

xlim = – ∞

i) ππ −→ xx

x

senlim

ππ −→ xx

x

senlim =

yy

y

)(sen π

0

+→

lim = y

y

y

sen−→0

lim = –1

Note-se que y = x – π <=> x = y + π quando x →π, y → 0 e sen (π + α) = – sen α

Page 20: Trigonometria e Números Complexos

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

(sen x)´ = cos x (sen u)´ = u´.cos u

(cos x)´ = – sen x (cos u)´ = – u´sen u

(tg x)´ = x2cos

1 = 1 + tg 2 x (tg u)´ =

x

u´2cos

= u´(1 + tg 2 x)

Page 21: Trigonometria e Números Complexos

43. Calcula a derivada para x = π/6 de:

b) g(x) = )2(sen

1x

g´(x) = 2)2(sen

)]´2(sen[1)2(sen1́

x

xx − =

2)2(sen

)2(cos)´2(0

x

xx− =

)2(sen

)2(cos22 x

x−

g´(π/6) = )3/(sen

)3/(cos22π

π− =

2

23

21

2

− =

431

/

− = – 4/3

d) s(x) = 2

)5(tg x

s´(x) = )5(2cos

)´5(2 x

x =

)5(2cos

52 x

s´(π/6) = )6/5(2cos

52π

= 2

23

2

5

=

43

2

5 =

43

2

5 =

235

= 3

10

44. Determina e simplifica, se possível, uma espressão da função derivada de cada uma das funções seguintes:

a) f(x) = x

xxcos

cossen1 ++

f´(x) = x

xxxxxx2cos

)cossen1)´((cos)´coscossen1( ++−++

= x

xxxxxx2cos

)cossen1(sencos)sencos( +++−

= x

xxxxxxx2

22

cos

cossensensencossencos +++− (sen2 x + cos2 x = 1)

= x

x2cos

sen1+ =

x

x2sen1

sen1

−+

, x ≠ kπ, k∈ZZ

u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2 (sen u)’ = u´cos u

u´ (tg u)´= —————— cos2u

u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2

(sen x)’ = cos x (cos x)´ = —sen x

Page 22: Trigonometria e Números Complexos

b) g(x) = 2 + tg x + xtg

1

g´(x) = 0 +x2cos

1+

x

xx2tg

1)´tg(tg1́ ×− =

x2cos

1+

x

xx

2

2

2

cos

sencos

1−

= x2cos

1–

x2sen

1 =

xx

xx22

22

cossen

cossen − =

xx

xx22

22

cossen

)sen(cos −−=

xx

x22 cossen

)2cos(−

c) h(x) = 2 sen2x

h´(x) = 2

2cos

2´ xx

= 2

2cos

21 x

=

2cos

x

d) r(x) = x + senxπ

r´(x) = x´ +

xxππ

cos´ = 1 + 2

´

x

xx ´ππ −

cos = 1 –2x

π

cos

e) s(x) = 4 + x

xcos

sen48 −

r´(x) = 0 + x

xxxx2cos

)´)(cossen48()´cossen48( −−−

= x

xxxx2cos

)sen)(sen48(coscos4 −−−−=

x

xxx2

22

cos

sen4sen8cos4 −+−

=x

xxx2

22

cos

)cossen(4sen8 +− =

x

x2cos

4sen8 − (sen2 x + cos2 x = 1)

f) t(x) = 7 + 5 cos30xπ

t´(x) = 0 +

30sen

305

´xx ππ

=

30sen

305

xππ = –

30sen

6xππ

u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2 1 (tg x)´= ——————— cos2 x

(sen u)’ = u´cos u

(sen u)’ = u´cos u

(sen x)’ =cos x (cos x)’ = —sen x

u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2

(cos u)’ = u´(—sen u)

Page 23: Trigonometria e Números Complexos

Aplicação das Derivadas ao estudo da Monotonia e sentido da Concavidade

Função seno

Monotonia Concavidade

f´´

Função co-seno

Monotonia Concavidade

g´´

Função tangente

Monotonia Concavidade

h´=x2cos

1 h´´= ´

2cos

1

x=

x

xx4

2

cos

1)´(cos2´cos1 ⋅−=

x

xx4cos

)sen(cos20 −−=

x

xx4cos

cossen2

x 0 π/2 3π/2 2π

f´(x) = cos x + 0 – 0 +

f(x) = sen x � max � min �

x 0 π 2π f´´(x) = –sen x 0 – 0 + 0

f(x) = sen x ∩ PI ∪

x 0 π/2 3π/2 2π

g´´(x) = –cos x – 0 + 0 –

g(x) = cos x ∩ PI ∪ PI ∩

x 0 π 2π g´(x) = –sen x 0 – 0 + 0

g(x) = cos x � min �

x –π/2 0 π/2

h´(x) +∞ + 1 + +∞

h(x) nd � � � nd

x –π/2 0 π/2

h´´(x) 0 – 0 + 0

h(x) nd ∩ PI ∪ nd

Ponto de inflexão

Pontos de inflexão

Ponto de inflexão Assimptotas

Page 24: Trigonometria e Números Complexos

46. Determina os intervalos de monotonia, extremos e estuda o sentido de concavidade do gráfico e esistência de pontos de inflexão da função

f: [0 , 2π] → IR

x 2x

– sen x

Estudo da monotonia e extremos

f´(x) = )´cos(2

´ xx −

= xcos

21 −

f´(x) ≥ 0 <=> xcos21 − ≥ 0 <=> –cos x ≥ –1/2 <=> cos x ≤ 1/2 <=> x ≥ π/3 ∧ x ≤ 5π/3

f é decrescente x ∈[0 , π/3] ∪ [5π/3 , 2π]

f é crescente x ∈[π/3 , 5π/3]

Mínimo relativo: f(2π) = 2

2π– sen 2π = π – 0 = π

Mínimo absoluto: f(π/3) = 23/π

– sen

= 263π

− = 6

33π −

Máximo relativo: f(0) = 0 – sen 0 = 0

Máximo absoluto: f(5π/3) = 2

3/5π– sen

35π

=

−−

26

5 3π=

6335π −

Estudo do sentido da concavidade e pontos de inflexão

f´´(x) = 0 – (cos x)´ = – (–sen x ) = sen x

f´´(x) = 0 <=> sen x = 0 <=> x = π v x = 2π

f tem um ponto de inflexão para x = π

f tem concavidade lotada para cima quando x ∈ ]0 , π[ e voltada para baixo quando x ∈ ]π , 2π[

Coordenadas do ponto de inflexão f(π) = 2π

– sen π = 2π

– 0 = 2π

PI(π , π/2 )

47. Determina a expressão geral das abcissas dos pontos onde as rectas tangentes ao gráfico g(x) = 3 sen2(2x) têm declive –3.

g´(x) = 3 [sen (2x) 2]´ = 3 x 2 sen (2x)[sen (2x)]´ = 6 sen(2x)(2x)´cos(2x)

= 6[2 sen(2x) cos(2x)] = 6 sen(4x) (2 sen α cos α = sen(2α) )

g´(x) = – 3 <=> 6 sen(4x) = –3 <=> sen(4x) = – 1/2 <=> 4x = 7π/6 + 2kπ v 4x = –π/6 + 2kπ, k∈ZZ

<=> x = 11π/24 + kπ/2 v x = –π/24 + kπ/2, k∈ZZ

x 0 π/3 5π/3 2π

f´ – 0 + 0 – f � min � máx �

π/3 5π/3

x 0 π 2π f´´ + 0 – f ∪ PI ∩

7π/6 -π/6

Page 25: Trigonometria e Números Complexos

48. Seja f a função definida em IR por f(x) = 2

x

e cos x

Prova que f e tem pelo menos um extremo relativo no intervalo ]0 , π/2 [

f´(x) = ( )́2/xe cos x + )´(cos2/ xxe = 2

2/xecos x – sen x 2/xe = 2/xe

− xx sencos21

f´ é contínua em [0 , π/2 ]

f´(0) = 2/0e

− 0sen0cos21

= 1(1/2 x 1 – 0) = 1/2 , pelo f´(0) > 0

f´(π/2) = 4/πe

−2

sen2

cos21 ππ

= 4/πe (1/2 x 0 – 1) = 4/πe (–1/2 ), pelo f´(π/2) < 0

Assim, o Teorema de Bolzano garante que f´ tem, pelo menos, um zero em ]0 , π/2[

Se f´ = 0 num ponto neste intervalo, então f tem um extremo no neste intervalo.

57. Quatro aldeias nos vértices de um quadrado de lado 1 km. Para ligar as quatro aldeias, uma companhia de telefones concluiu que a solução mais económica é do tipo apresentado na figura.

a) Mostra que o comprimento total do cabo gasto,

em função de α, é C(α) = 1 + α

α

cossen2 −

, 0 ≤ α ≤ 0

b) Calcula C(0) e C(π/4) e interpreta os resultados obtidos referindo a forma das ligações.

c) Mostra que C’(α) = α

α

2cos

sen2 1− e determina o valor exacto do comprimento total

mínimo do cabo

a) AB

AC= cos α <=>

AB

5,0= cos α <=> AB =

αcos5,0

AC

BC= tg α <=> BC = 0,5 tg α

BD = 1 – 2 BC = 1 – tg α

C(α) = 4 AB + BD = 4αcos

5,0 + 1 – tg α = 1 +

αα

α cossen

cos2

− = 1 + α

αcos

sen2 −

α α

α α

α α

D

B α α A 0,5 C

Page 26: Trigonometria e Números Complexos

b) C(0) = 1 + 0cos

0sen2 −= 1 +

102 −

= 3

C(π/4) = 1 +

4cos

4sen2

π

π

= 1 +

2222

2 −= 1 +

22

224 −

= 1 + 22

228 −= 1 +

2

24 −=

2

242 −+

C(π/4) = 2 2 ≈ 2,83

Se α = 0 temos uma ligação do tipo 1, pelo que C(0) = 1 + 1 + 1 = 3

com maior consumo de material.

Se α = π/4 obtem-se uma ligação do tipo 2, sendo o comprimento

do cabo dado pela soma das duas diagonais do quadrado de lado 1, ou seja 2 2 e gastando menos material.

c) C’(α) = 0 + α

α)´α)((αα)´2cos

cossen2cossen2( −−− =

α

α)α)(-(αα

2cos

sensen2coscos −−−

= α

ααα

2

22

cos

sensen2cos −− + =

α

αα)α

2

22

cos

sen2cossen( ++−=

α

α

2cos

1sen2 −

C’(α) = 0 <=> α

α

2cos

1sen2 −= 0 <=> 2sen α – 1 = 0 ∧ cos2 α ≠ 0 <=> sen α = 1/2 ∧ α ≠ 0

<=> α = π/6, α∈[0 , π/4]

2sen α – 1 > 0 <=> sen α > 1/2 <=> α > π/6

Como se verifica pelo quadro de monotonia, C tem um mínimo para α =π/6 , assim

C(π/6) = 1 +

6cos

6sen2

π

π

= 1 +

2

5,02

3

−= 1 +

3

14 −= 1 +

33 3

= 1 + 3

58. O número de pessoas na fila do Oceanário, num certo dia, pode ser dado, aproximadamente, em dezenas, por

N( t ) = a – b cos 20

Sendo t o tempo em minutos a partir das 9h 30m (a , b ∈IR+).

a) Sabendo que às 10h 30m estavam 130 pessoas na fila e que o número mínimo de pessoas na fila é 30, mostra que a = 8 e b = 5.

b) Determina a que horas a fila atinge pela primeira vez 105 pessoas.

Tipo 1 Tipo 2

x 0 π/6 π/4 C´ – 0 + C � min �

Page 27: Trigonometria e Números Complexos

a) Às 10h 30m representa 60 minutos após o início de t, ou seja, quando t = 60 havia 13

dezenas de pessoas na fila.

Por outro lado, N( t ) é mínimo quando – b cos ( ππππt/20) for máximo, o que acontece quando

cos α = 1, ou seja, quando cos (πt/20) = 1, e nesse instante há 3 dezenas de pessoas. Então:

cos (πt/20) = 1 <=> a – b = 3 ∧ a – b cos(60π/20) = 13

=−++=

13)3cos(3

3

πbbba

<=>

=−−++=

13)1(3

3

bbba

<=>

=+=

10

3

2bba

<=>

==

5

8

ba

60. Salto de rã.

O modelo matemático que descreve o salto de um animal é

y = x tgθ – θ22

2

cos

9,4

v

x

onde y é a altura em função do avanço x na horizontaI; θ é o ângulo com a horizontal em graus; v é a velocidade inicial.

Determina a altura máxima atingida por uma rã que salta com velocidade de 4,57 m/s fazendo 30º com a horizontal.

A velocidade do movimento é dada pela 1ª derivada da função, logo:

y´ = (x tgθ )´ – ´cos

9,422

2

θv

x = tgθ – )´(cos

9,4 222

xv θ

= tgθ – θ22 cos

8,9

v

x

Verificar para que valor de x y´= 0 sabendo que θ = 30º e v = 4,57

y´ = 0 <=> tg 30º – º30cos57,4

8,922

x = 0 <=>

33

– 2

2

23

57,4

8,9

x = 0 <=> 33

43885,20

8,9×

x = 0

<=> 655,622,39 x

= 33

<=> 655,622,39 x

= 33

<=> x ≈ 32,393655,62

× <=> x ≈ 0,923

A função derivada é positiva à esquerda e negativa à direita do zero, logo a função tem um máximo para x ≈ 0,923, sendo o valor do máximo:

y(0,923) = 0,923 tg 30º – º30cos57,4

)923,0(9,422

2

≈ 0,266

Portanto, a altura máxima do salto da rã é 0,266 m.

Page 28: Trigonometria e Números Complexos

62. No movimento de um ponto sobre um eixo, a abcissa δ do ponto varia, em função do tempo t, de acordo com a equação:

δ( t ) = cos t – 3 sen t, t∈[0, 2π]

a) Mostra que

δ( t ) = – 2 sen (t – π/6)

b) Determina a maior distância a que o ponto está da origem.

c) Indica o contradomínio de δ( t ).

a) sen (π/6) = 1/2 e cos (π/6) = 3 /2 pelo que 2 sen (π/6) = 1 e 2 cos (π/6) = 3 , então:

δ( t ) = cos t – 3 sen t = cos t [2 sen (π/6)] – [2 cos (π/6)] sen t

= 2 cos t sen (π/6) – 2 cos (π/6) sen t [sen(a – b) = sen a cos b – sen b cos a]

= –2 sen t cos (π/6) – [ –sen (π/6) 2 cos t ]

= –2[sen t cos (π/6) + sen (π/6) 2 cos t ]

= –2 sen (t – π/6)

b) A maior distância a que o ponto está da origem corresponde ao máximo ou ao mínimo da

função (aquele que tiver maior valor absoluto).

δ( t ) = cos t – 3 sen t

δ´( t ) = –sen t – 3 cos t

δ´( t ) = 0 <=> –sen t – 3 cos t = 0 <=> sen t = – 3 cos t <=> 3cossen

−=tt

<=> tg t = – 3 <=> t = 2π/3 v t = 5π/3

Verificar qual dos extremos se encontra a maior distância

δ( 2π/3) = cos (2π/3) – 3 sen (2π/3) = – 1/2 – 3

23

= – 1/2 – 3/2 = – 2

δ( 5π/3) = cos (5π/3) – 3 sen (5π/3) = 1/2 – 3

23

= 1/2 + 3/2 = 2

O mínimo e o máximo da função encontram-se ambos à mesma distância da origem

c) A função desenvolve-se entre os valores mínimo e máximo, logo D’δ = [– 2 , 2]

2π////3

5π////3

t 0 2π/3 5π/3 2π

δ´ – 0 + 0 – δ � min � máx �

Page 29: Trigonometria e Números Complexos

63. Uma caleira vai ser construída usando chapa de alumínio de 30 cm de largua e dobrando duas abas de 10 cm de cada lado.

a) Mostra que a área da secção da caleira pode ser dada em função de θ por

A(θ) = 100 sen θ (cos θ + 1), com 0 < θ < π/2

b) Determina o valor de θ para o qual a caleira tem maior capacidade.

a) 10AB

= cos θ <=> AB = 10 cos θ e 10BC

= sen θ <=> BC = 10 sen θ

A(θ) = 10 x 10 sen θ + 2 A[ABC] = 100 sen θ + 10 sen θ 10 cos θ = 100 sen θ (1 + cos θ )

b) Pretende-se saber para que valor de θ a área é máxima. Para tal deve-se determinar para que valor de θ A´(θ ) = 0

A´(θ) = 100 (sen θ )´(1 + cos θ ) + 100 sen θ (1 + cos θ )´

= 100 cos θ + 100 cos2 θ – 100 sen2 θ

= 100 (cos θ + cos2 θ – sen2 θ )

= 100 [cos θ + cos2 θ – (1 – cos2 θ )]

= 100 (cos θ + cos2 θ –1 + cos2 θ )

= 100 (2cos2 θ + cos θ – 1)

A´(θ) = 0 <=> 100 (2cos2 θ + cos θ – 1) = 0 <=> 2cos2 θ + cos θ – 1 = 0

cos θ = 4

)1(2411 −×−±− <=> cos θ =

431−−

v cos θ = 4

31+−

<=> cos θ = –1 v cos θ = 1/2 <=> θ = π/3 ∧ < θ < π/2

A´(θ) é positiva à esquerda e negativa à direita do zero, logo, A(θ) tem um máximo para θ = π/3

10 10 θ θ

10

C

10

θ A B

Page 30: Trigonometria e Números Complexos

TI Maio 09 Observe atentamente a figura ao lado. O ponto P, partindo de A, desloca-se sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pela seta.

O ponto Q desloca-se sobre a semi-recta AO& , seguindo o movimento do ponto P, de tal forma que se tem sempre PQ = 3.

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semi-recta AO& e por lado extremidade a semi-recta PO& .

Seja d a função que, a cada valor de x pertencente a [0 , 2π], associa a distância, d(x), do ponto Q ao ponto O.

a) Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada, .d´. I. d(0) = 2d(π) II. ∀x∈[0 , 2π], d´(x) < 0

Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa.

Resolução Quando x = 0, o ponto P coincide com o ponto A, pelo que a distância de Q a O é igual a 3 + 1, ou seja, é igual a 4. Quando x = π, o ponto P coincide com o ponto B, sendo a

distância de Q a O é igual a 3 – 1, ou seja, é igual a 2.

Como d(0) = 4 e d(π) = 2, resulta d(0) = 2d(π), pelo que a afirmação I é verdadeira.

Quando x varia de 0 a π, o ponto P vai de A até B, percorrendo, no sentido directo, a semicircunferência que está acima do diâmetro [AB], pelo que o ponto Q se vai aproxi-mando do ponto O. Assim, no intervalo [0, π], d(x) diminui à medida que x aumenta, pelo que a função d é estritamente decrescente neste intervalo.

Passa-se o contrário quando x varia de π a 2π, ou seja, o ponto P vai de B até A, percorrendo a semicircunferência inferior, pelo que o ponto Q se vai afastando de O. Portanto, no intervalo [π , 2π], d(x) aumenta à medida que x aumenta, sendo a função d estritamente crescente no intervalo ]π , 2π[. Logo, a função derivada, d´, não pode ser negativa no intervalo [π , 2π], pelo que a afirmação II é falsa.

b) Defina analiticamente a função d no intervalo ]0 , π/2[

Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de intersecção desta altura com a semi- recta AO& , e tenha em conta que RQOROQ += .

Resolução Considerando RQOROQ += , temos:

OR = cos x e pelo Teorema de Pitágoras, 222RQPRPQ += <=> RQ = x2sen9 −

OQ = cos x + x2sen9 −

Assim, d(x) = cos x + x2sen9 − , x ∈]0 , π/2[

P 1 3 B O x A Q d(x)

P

1 sen x 3 O x R Q cos x d(x)

Page 31: Trigonometria e Números Complexos

CONJUNTO ℂℂℂℂ — NÚMEROS COMPLEXOS

O que até a este nível de escolaridade sempre foi considerado um mistério — uma impossibilidade em IR — vamos tratar seguidamente.

Aceitando que x2 = — 1, qual o valor de x?

Usando as regras de cálculo em IR seria: x2 = — 1 <=> x = ±±±± 1− <=> x = 1− <=> x =— 1−

Mas, em IR , 1− não tem significado!

Tal como sempre se faz quando existe uma incógnita, vamos substituir 1− por i

Então, i2 = —1 , e (—i)2 = —1

Assim, continuando a admitir que se mantêm as regras de cálculo em IR :

2i x 2i = 4i2 = 4(—1) = —4 , tal como 2 1− x 2 1− = 4 ( )21− = —4

e que 0 x i = 0

então admite-se que 4 = 4 + 0i e 3 x i x i = 3i2 = –3

representando i um número imaginário (a unidade)

Surge uma nova definição de Número complexo como sendo todo o ente que pode escrever-se na forma

a + bi com a, b ∈IR , sendo i2 = —1

Um número natural pode, assim, representar-se como elemento de qualquer dos conjuntos

Inteiro Racional Real Irracional Complexo Imaginário

2 = 24 = 1

33 = 1+ 1= 4 = eln2 = 2 + 0i = —2i2

Como operar números como 3 i , i32

, – 3 i, 1 + 5i, … ?

—3 —0,2 e π 2 + i

2 IN ZZ 7/3 — 5 3i

QI IR CI

ZZ = IN ∪ {0} ∪ {inteiros negativos}

QI = ZZ ∪ {fraccionários}

IR = QI ∪ {irracionais}

CI = IR ∪ {imaginários}

Page 32: Trigonometria e Números Complexos

FORMA ALGÉBRICA DE UM COMPLEXO

Tal como x ou y identificam vulgarmente um número real, um complexo é identificado por z e constituído por duas partes:

z = a + bi ou z = x + yi parte parte real imaginária

exemplos:

z = 2 — 3i: Re(z) = 2 e Im(z) = —3; a parte imaginária é —3i

z = — 3 + i : Re(z) = — 3 e Im(z) = 1; a parte imaginária é i

z = —5i : Re(z) = 0 e Im(z) = —5; designa-se imaginário puro

z = 2 + 0i : Re(z) = 2 e Im(z) = 0; trata-se de um número real

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

Raízes quadradas

No conjunto dos números complexos, todo o número real negativo k tem duas raízes quadradas: k− i e — k− i

Ex: se x = – 81 <=> x = 81− v x = – 81− <=> x = )1(81 − v x = – )1(81 − <=> x = 9i v x = –9i

se x = – 50 <=> x = 50− v x = – 50− <=> x = )2(25 − v x = – )2(25 −

<=> x = 5 2 i v x = –5 2 i

se x2 – 4x + 5 = 0 <=> x = 2

44 −± <=> x =

224 i±

<=> x = 2 + i v x = 2 – i

Igualdade

Dois números complexos a + bi e c + di dizem-se iguais se e só se têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginárias também iguais

a + bi = c + di <=> a = c ∧∧∧∧ b = d

Ex: 2 + 3i = 4 + 39 i ; x + yi = 2i <=> x = 0 ∧ y = 2

Conjugados

Dois números complexos dizem-se conjugados e representam-se por z e z quando têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginárias simétricos

a + bi e a — bi são conjugados ou seja a + bi = a — bi

Ex: 2 + 3i = 2 – 3i ; 4 – 5i = 4 + 5i = 4 – 5i

x = Re(z) y = Im(z) coeficiente da parte imaginária

Page 33: Trigonometria e Números Complexos

Adição

A adição em ℂℂℂℂ goza das propriedades Comutativa, Associativa, Elemento Neutro e Elemento Oposto (simétrico).

Na adição de dois números complexos, adicionam-se partes reais com partes reais e partes imaginárias com partes imaginárias

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ

Ex: (2 + 3i) + (4 – 5i) = (2 + 4) + (3 – 5)i = 6 – 2i

Subtracção

Tal como em IR , subtrair dois números complexos é adicionar ao primeiro o simétrico do segundo

(a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ

Ex: (2 + 3i) – (4 – 5i) = (2 + 3i) + (–4 + 5i) = (2 – 4) + (3 + 5)i = –2 + 8i

Multiplicação

A multiplicação em ℂℂℂℂ goza ainda da propriedade Distributiva.

Efectuando a multiplicação de binómios e tendo em conta que i2 = —1,

(a + bi) x (c + di) = (ac — bd) + (ad — bc)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ

Ex: (2 + 3i) . (4 – 5i) = 2 x 4 – 2 x 5i + 3 x 4i + 3(–5)i2 = 8 + 2i – 15(–1) = 23 + 2i

Soma e Produto de Complexos Conjugados

A soma e produto de dois números complexos conjugados são números reais

(a + bi) + (a — bi) = a + a + bi — bi = 2a

(a + bi) (a — bi)* = a2 — abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 = a2 – b2(–1) = a2 + b2 *diferença de quadrados

Se z = (a + bi) tem-se z + z = 2a e z x z= a2 + b2

Ex: (3 + 4i) + (3 – 4i) = 2 x 3 = 6

( 2 – i) + ( 2 + i) = 2 2

Ex: (2 + 3i) . (2 – 3i) = 22 + 32 = 13

Page 34: Trigonometria e Números Complexos

162. Determina a de modo que:

a) z = 3a + (a + 2)i seja um número real

b) z = (a – 2) + (a2 – 4)i seja um imaginário puro

a) Para ser um número real, é necessário que a + 2 = 0 e 3a ≠ 0, logo a = –2 e z = 1

b) Para ser um imaginário puro, é necessário que a – 2 = 0 e a2 – 4 ≠ 0

a – 2 = 0 <=> a = 2 ∧ a2 – 4 ≠ 0

mas 22 – 4 = 0 , logo, (a – 2) + (a2 – 4)i não pode ser um imaginário puro

165. Determina os valores de k e s para os quais:

a) s + 3ki = 2 + 5i

b) k + 2i = i2 + s2i

c) 2 ki = s + (2 – s)i

É necessário que as partes reais sejam iguais e as partes imaginárias sejam iguais, logo

a) s = 2 e 3k = 5 <=> k = 5/3

b) Como i2= –1 temos k + 2i = –1 + s2i pelo que k = –1 e s2 = 2 <=> s = ± 2

c) 2 ki = s + (2 – s)i se s = 0 e 2 k = 2 – s, como s = 0 temos 2 k = 2 <=> k = 2

168. Determina a e b de modo que:

b) a – b + (a + 2b)i = b + 1 + i + bi

b) a – b + (a + 2b)i = b + 1 + i + bi <=> a – b + (a + 2b)i = (b + 1) + (b + 1)i

a – b = b + 1 ∧ b + 1 = a + 2b <=> a – b = a + 2b <=> 3b = 0 ∧ a = 1

169. Escreve dois números complexos, nem reais nem imaginários puros, cuja soma seja:

a) um número real (3 + i) + (2 – i) ou ( 2 + 3i) + (2 – 3i) …

b) um imaginário puro (3 + i) + (–3 + i) ou ( 2 + 3i) + (– 2 – i) …

c) 5 – 2i (3 – i) + (2 – i) ou (1+ 3i) + (4 – 5i) …

Page 35: Trigonometria e Números Complexos

170. Determina o número que adicionado com 2 – 3i é igual a:

a) 5i

b) – 1 + i

a) 2 – 3i + (x + yi ) = 5i <=> 2 + x = 0 ∧ –3i + yi = 5i <=> x = – 2 ∧ y = 3 + 5

z = – 2 + 8i

b) 2 – 3i + (x + yi ) = –1 + i <=> x + 2 = –1 ∧ yi – 3i = i <=> x = –1– 2 ∧ yi – 3i = 1i

<=> x = –1– 2 ∧ yi = 1i + 3i z = –1– 2 + 4i

172. Escreve na forma a + bi os números:

a) 2i (2 – 3i) = 4i – 6i2 = 4i –6(–1) = 6 + 4i

b) (1 – i )(1 – 2i) = 1 – 2i –i + 2i2 = 1 – 3i + 2(–1) = –1 – 3i

d) (x + i)(2 – xi) = 2x – x2i + 2i – xi2 = 2x – x2i + 2i – x(–1) = 3x – x2i – 2i = x + (2 – x2)i

174. Determina o conjugado de:

a) (2 + 3i ) + (5 – i )

b) 2i (3 + 2i )

a) (2 + 3i ) + (5 – i ) = 7 + 2i

z = 7 + 2i z = 7 – 2i

b) 2i (3 + 2i ) = 6i + 4i2 = – 4 + 6i

z = –4 + 6i z = –4 – 6i

Page 36: Trigonometria e Números Complexos

Potenciação

As potências de expoente inteiro, positivo ou negativo, são definidas como em IR:

(a + bi) x (a + bi) x … x (a + bi) = (a + bi)n e (a + bi)–n = 1

(a + bi)–n

Consequências

i3 = i2 i = –i ; i4 = i2 i2 = –1(–1) = 1 ; i5 = i4 i = i ; i6 = i4 i2 = –1 ; i7 = i6 i = –1i …

calculando n : 4 = k + resto � se resto = 0 , i4k = 1 � se resto = 2 , i4 k+ 2 = i2 = –1

� se resto = 1 , i4k+ 1 = i � se resto = 3 , i4 k+ 3 = i3 = –i

Divisão

Como em IR, dividir dois números é multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo:

Se z1 = a + b i e z2 = c + di com a , b , c , d ∈IR e c + di ≠ 0

z1 : z2 = z1 x 2z1

= 2

1

z

z = ic

bid

a

++

= )()

)() ((

ici

icbi

d

dc

d

a

−−

×++

= 22

2

d

adac

cdicdic

bdibcii

−+−+−

−=

22

)(

d

adac

c

ibcbd

−−++

2

1

zz

= ic

bc

c

bd

d

ad

d

ac2222 −

−+−+

Na prática:

� Se z2 é um numero real, a divisão é imediata:

ex: (4 + 3i) : 2 = 2

34 i+ =

23

24 i+ = 2 + i

23

� Se z2 não é um numero real, transforma-se z1/z2 numa fracção equivalente com

denominador real, multiplicando ambos os membros pelo conjugado do denominador:

ex: ii

2131

+−

= ii

ii

2121

2131

−−

+−

× = 2

2

41

6321

i

iii

−−− +

= 41

)32()61(+

+−− i =

555 i−−

= –1 – i

176. Escreve na forma a + bi os números:

a) (1 – 5i)2

b) (1 + i )3

d) (1 – i)2 – (1 – i)2

a) (1 – 5i)2 = (1 – 5i)(1 – 5i)

= 1 – 5i – 5i + 25i2

= 1 – 10i + 25(–1)

= –24 – 10i

Page 37: Trigonometria e Números Complexos

b) (1 + i )3 = 1 + 3i + 3i2 + 1i3 (nC01ni0 + nC11

n–1i1 + … + nCn10in) Binómio de Newton

= 1 + 3i + 3(–1) + (–1) i

= –2 + 2i

d) (1 + i)2 – (1 – i)2 = 1 + 2i + i2 – (1 – 2i + i2)

= 1 + 2i + i2 – 1 + 2i – i2

= 4i

177. Resolve em ℂ as equações:

a) 1 + z – i = 3i2 (i + 1)

c) z + 1 = (1 – i)2

a) 1 + z – i = 3i2 (i + 1) <=> z = –1 + i + 3i3 + 3i2

<=> z = –1 + i – 3i – 3

<=> z = –4 – 2i

c) z + 1 = (1 – i)2 <=> z = –1 + 1 – 2i + i2

<=> z = –1 – 2i

178. Determina a e b ∈ IR de modo que 1 – i seja solução da equação:

b) z2 + az – 2bi = 1

z2 + az – 2bi = 1 <=> (1 – i )2 + a(1 – i ) – 2bi = 1

<=> 1 – 2i + i2 + a – ai – 2bi – 1 = 0

<=> 1 – 2i – 1 + a – ai – 2bi – 1 = 0

<=> – 2i + a – ai – 2bi – 1 = 0

<=> (a –1) – (a + 2b + 2)i = 0

<=> a –1 = 0 ∧ a + 2b + 2 = 0

<=> a = 1 ∧ 1 + 2b + 2 = 0

<=> a = 1 ∧ b = –3/2

Page 38: Trigonometria e Números Complexos

180. Escreve na forma algébrica:

a) i−3

2

b) ii

−+

11

a) i−3

2 = ii

i ++

−×

33

32

= 1926

++ i

= 102

106 i+ = i

553 1+

b) ii

−+

11 =

ii

ii

++

−+

×11

11

= 11

21 2

++ + ii

= 221 1−+ i

= i

181. Resolve em ℂ as equações:

a) (1 – i )z = 3i

c) i2z – 3i = i3z + 1

a) (1 – i )z = 3i <=> z = ))(1

)(11(3

iiii+

+−

<=> z = 13

13 2

++ ii <=> z =

23 3−i <=> z = i

23

23

+−

c) i2z – i = i3z + 1 <=> –z – i = –zi + 1 <=> z(–1 + i ) = 1 + i <=> z = ))())(

11(11(

iiii

−−+−−−+

<=> z = 11

1 2

+−−−− iii <=> z =

22i− <=> z = –i

182. Calcula:

a) i300

b) ( – i)27

d) i2k + 1 , k ∈IN

a) i300 = (i4)75 = 175 = 1 c. a. 300:4 = 75

b) ( – i)27 = [( – i)4]6 ( – i)3 = 16 x ( –1)i3 = 1 x (–1)(–1)i = i c. a. 27:4 = 6 resto 3

ou ( – i)27 = (–1)27 i4 x 6 + 3 = –1 x i2 x i = –1(–1)i = i

d) i2k + 1 , k ∈IN

i2k x

i = i se k par ou – i se k ímpar

Page 39: Trigonometria e Números Complexos

183. Calcula z na forma a + bi, sendo:

a) z = i

ii−

−−1

5)21( 272

a) z = i

ii−

−−1

5)21( 272

= i

iii−

−−+−1

)(5441 2

= i

i−

−+1

41 =

))())((

11(13

iiii

+−+− +

z = 11

33 2

+−− ++ iii

=11

3 1+

− −− i = – 2 – i z = –2 + i

184. Resolve em ℂ as equações:

b) 3424

)34)(23(−+ −

− −nn ii

ii = (1 – 2i)z

b) 3424

)34)(23(−+ −

− −nn ii

ii = (1 – 2i)z <=> 32

28129 6−−

+− −+ii

iii = (1 – 2i)z

<=>

3

11

8189

i

i

−−

+− + = (1 – 2i)z

<=>

i

i

−−−

+−1

1

181 = (1 – 2i)z <=> (1 – 2i)z =

ii

i

+−− 1

181

<=> (1 – 2i)z = 1181( )

−+−−

iii <=> z =

)21)(118

(

2

iiii−

−−

<=> z = iii

i

212

182 +−

+

− <=> z =

ii

3118

++

<=> z = ))))

31(31(31(18(iiii

−+−+ <=> z =

9135418 2

+−+− iii

<=> z = 10

5321 i− <=> z = i1053

1021 −

186. Determina z ∈ ℂ de modo que z2 – 2z – 3 seja um número real.

Se z ∈ ℂ então z = x + yi

z2 – 2z – 3 = (x + yi)2 – 2(x + yi) – 3 = x2 + 2xyi + y2i2 – 2x – 2yi – 3 = (x2 – y2 – 2x – 3) + 2y(x – 1)i

Para que seja um número real Im(z) = 0, logo 2y(x – 1) = 0 <=> y = 0 v x = 1

Para y = 0 temos z = x2 – 2x – 3 , ∀x∈IR, z∈IR

Para x = 1 temos z = 12 – y2 – 2 – 3 + 2y(1 – 1)i <=> z = – y2 – 5, ∀y∈IR, z∈IR

Assim, z = 1 + yi v z∈IR

Page 40: Trigonometria e Números Complexos

Relação de ordem em ℂ

Em ℂℂℂℂ não se pode definir uma relação de ordem “maior que”, como em IR .

Tal relação, a existir, obrigaria a que, como i ≠ 0 então i teria de ser positivo ou negativo, o que não acontece, pois

� Se i fosse positivo, então i x i > 0, mas foi condição de partida que 1− = i e i2= —1;

� Se i fosse negativo, então i x i > 0 , dado que o produto de dois números negativos é um número positivo.

Em ℂ não se fala em números positivos nem em números negativos, pelo que não se estabelecem relações do tipo z1 > z2 ou z2 > z1.

A comparação entre complexos resume-se a z1 = z2 ou z1 ≠≠≠≠ z2

Não sendo possível ordenar ℂ numa recta, é possível a sua representação geométrica e vectorial no plano complexo ou plano de Argand, em que os números imaginários são marcados no eixo vertical.

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA E VECTORIAL DE UM COMPLEXO

Sendo z = x + yi faz-se corresponder z a um ponto P num plano de coordenadas (x, y) em que x = Re(z) e y = Im(z)

No eixo Ox (designado eixo real — e.r.) representam-se as partes reais Re(z), dos complexos;

No eixo Oy (designado eixo imaginário — e.i.) representam-se os coeficientes das partes imaginárias, Im(z).

No exemplo:

P é a imagem geométrica de z = 2 + 3i ur é a representação vectorial de z

Q “ “ “ z1= –1 + 2i vr “ “ “ z1

R “ “ “ z2= –2 – i wr “ “ “ z2

S “ “ “ z3= 3 – i xr “ “ “ z3

A “ “ “ i

e.i.

P(2,3) z = a + bi Q(–1,2) v

r A i u

r

O e.r. w

r x

r

R(–2,–1) S(3,–1)

Page 41: Trigonometria e Números Complexos

ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

No exemplo:

P z1 = 3 + 2i Q z2 = –1 + 2i S z = 2 + 4i e z1 + z2 = ( 3 + 2i ) + ( –1 + 2i ) = 2 + 4i

ur

= (3 , 2) vr

= (–1, 2) e sr

=ur

+ vr

= (3 , 2) + (–1, 2) = (2 , 4)

A adição de números complexos corresponde à adição das suas imagens vectoriais

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS

Multiplicação de z = a + bi por i Multiplicação de z = a + bi por –i

caso geral iz = –b + ai caso geral –iz = b – ai

ex: z = 2 + 3i iz = (2+ 3i)i = 2i + 3i2 ex: z = 2 + 3i –iz = –i(2 + 3i) = –2i – 3i2 = 3 – 2i

iz = –3 + 2i Notar que: –iz = z/i pois1−

× = i

i

i

i

zz = –iz

A multiplicação de um número complexo A multiplicação de um número complexo por i (iz) corresponde à rotação do vector por —i (—iz) corresponde a rodar o vector 90º, que é a sua imagem vectorial segundo mas em sentido negativo um ângulo de 90º positivo

e.i.

S(2, 4) z = a + bi

Q(–1, 2) sr

P(3, 2)

vr

ur

O e.r.

e.i. P Q iz = –b + ai z = a + bi uv

rri= 90º u

r

–90º O e.r. uw

rri−=

R –iz = b – ai

Page 42: Trigonometria e Números Complexos

Multiplicação de z1 = a + bi por z2 = c + di

exemplo: z1 = 2 + 3i e z2 = –1 + 2i

z1 x z2 = (2 + 3i)(–1 + 2i) considerando z2 como medida

z1 x z2 = –2 + 4i – 3i + 6i2 z1 x z2 = 2(–1 + 2i) + 3i(–1 + 2i)

z1 x z2 = –2 + 4i – 3i – 6 z1 x z2 = –2 + 4i – 6 – 3i

z1 x z2 = – 8 + i z1 x z2 = – 8 + i

caso geral:

Considerando z1 = a + bi x z2 = c + di e os vectores: ur

(a , b) e vr

(c , d)

z1 x z2 = (a + bi)(c + di)

z2 x z1 = (c + di) (a + bi)

z2 x z1 = 43421 r

u

)( bia +c + 43421 r

u

)( biadi +

ou seja: z1 x z2 = cur

+ diur

O vector mr

correspondente a z1 . z2 é mr

= cur

+ diur

, que é soma de um vector com a direcção de u

r (cu

r) com outro que lhe é perpendicular (diu

r)

e.i.

2i ur

v

r z2= –1 + 2i

c(a+bi) + di(a+bi) u

r z1=2 + 3i

z1 x z2 O e.r. –1u

r

e.i. 2 v

r

z2 = –1 + 2i v

r

c(a+bi) + di(a+bi) ur

z1=2 + 3i z1 x z2 90º O e.r. 3i v

r

Page 43: Trigonometria e Números Complexos

190. a) Seja A a imagem de z = –1 + 2i e B a imagem de z num referencial de origem O.

Qual a área do triângulo [AOB]?

b) Que polígono tem por vértice as representações geométricas de z = a + bi, z , –z e – z ?

a) Se z = –1 + 2i z = –1 – 2i

A[AOB] = 2

ABOC × =

241×

= 2

b) A z = a + bi, B z = a – bi, C –z = —a – bi D – z =—a + bi

AB = 2| a | AD = 2| b |

P[ABCD] = 2 AB + 2 AD = 4| a | + 4| b | = 4(| a | + | b |)

A[ABCD] = AB x AD = 2| a | x 2| b | = 4| a | x | b |

192. No referencial representado, o raio de uma das circunferências é o dobro do raio da outra. Supondo que Pi é a imagem do número complexo zi, exprime z2, z3, z4, z5 e z6 em função de z1.

z2 = 21

z1 porque 2

12

OPOP =

z3 = – z1 porque 13 OPOP = e 13 OPOP −=

z4 = z 1 considerando z1 = a + bi então z4 = a – bi

z5 = 2

1zi porque

21

5OP

OP = e rotação de 90º

z6 = i1z

= – iz1 porque 16 OPOP = e rotação de —90º

193. Considera os números complexos z1 = —2 + 3i e z2 = 3 — i. Efectua por via vectorial e confirma algebricamente os resultados de:

a) z1 + z2 b) z1 . z2

a) z1 + z2 = –2 + 3i + 3 – i = 1 + 2i

b) vr

(3 , –1) ur

(–2, 3) z1.z2 = cur

, di ur

z1 . z2 = 3( –2 + 3i ) – i( –2 + 3i )

z1 . z2 = –6 + 9i + 2i – 3i2

z1 . z2 = + 9i + 2i + 3

z1 . z2 = –3 + 11i

A ei

C O er

B

ei B b A

–a o a er

C –b D

e.i. P1

P2

P5

O e.r.

P6

P3 P4

e.i.

z1 z1+z2

o e.r. z2

e.i. z1.z2 10

8

6

3 ur

2

ur

–i ur

– 4 –2 o 2 e.r.

Page 44: Trigonometria e Números Complexos

COORDENADAS POLARES

Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas

P ( 4, π/3) P 4( 1/2, 23 ) = (2, 2 3 )

Q ( 2, –π/6 ) Q 2( 23 , – 1/2)=( 3 , –1)

R (3, π ) R (– 3 , 0)

S ( 2 , 2π/3 ) S 2 ( –1/2, 23 ) = (–1, 3 )

Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas P ( r , θθθθ + 2ππππk), k ∈ ZZ P (r cos θθθθ, r sen θθθθ)

194. Num sistema de coordenadas polares marca os pontos A(2, π/4), B(1, –2π/3) e C(3, π)

197. Considera um quadrado [ABCD]. Escreve as coordenadas polares dos vértices tomando AC para eixo, o centro do quadrado para origem e o comprimento da diagonal para unidade.

AC = 1

Cartesianas Polares

A( 1/2 , 0) A( 1/2 , 0)

B( 0 , 1/2) B( 1/2 , π/2)

C(–1/2 , 0) C( 1/2 , π)

D( 0 , –1/2) D( 1/2 , –π/2)

198. A figura representa um hexágono regular com centro em O. Determina as coordenadas polares dos vértices do polígono, tomando O como origem, Ox como eixo e o lado do hexágono para unidade.

Sendo um hexágono regular, 1=== OBABOA e OÂB = π/3

A(1 , π/6 ) B(1 , π/2) C(1 , 5π/6 )

D(1 , –5π/6 ) E(1 , –π/2) F(1 , –π/6 )

P

S

R

Q

P

S

R

Q

B

C A

D

B

C A

O

D F

E

A

C o 1 2 3 B

Page 45: Trigonometria e Números Complexos

REPRESENTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA DE UM COMPLEXO

Forma algébrica Forma Trigonométrica

z = a + bi z = ρρρρ cos θθθθ + (ρρρρ sen θθθθ) i

a = ρρρρ cos θθθθ z = ρρρρ (cos θθθθ + i sen θθθθ)

b = ρρρρ sen θθθθ z = ρρρρ cis θθθθ

ρρρρ = OP é o módulo de z, sendo |z|= ρρρρ = 22 ba +

θθθθ = arg z é o argumento de z, com θθθθ = θθθθ + 2ππππk, k∈ZZ e ] –ππππ, ππππ [ argumento principal

] 0, 2ππππ [ arg. positivo mínimo

Passar da forma Algébrica à forma Trigonométrica

z = a + bi ————————> z = ρρρρ cis θθθθ

ex: z = 2 + 2i

θθθθ = π/4 e ρρρρ = |z| = 22 22 + = 8 = 22

logo z = 22 cis (π/4)

z = —1 + 3 i

ρρρρ = |z| = 31+ = 2 pelo que z = –1 + 3 i = 2(–1/2 , 23 )

(cos θ, sen θ) = (–1/2 , 23 ) pelo que θ = 2π/3

Assim, z = 2 cis (2π/3)

z = 3 — 4i

tan—1 (— 4/3) ≈ – 0,93 e ρρρρ = |z| = 22 4)(3 −+ = 5

logo z = 5 cis (– 0,93)

e.i.

bi P z = a + bi

ρρρρ ρρρρ sen θθθθ θθθθ a O ρρρρ cos θθθθ e.r.

2i z 8

2

e.i. z 3

23 / –1 –1/2 1 2 e.r.

e.i. 3

o θ e.r.

–4 z

Page 46: Trigonometria e Números Complexos

Passar da forma Trigonométrica à forma Algébrica

z = ρρρρ cis θθθθ ————————> z = a + bi

ex: z = 2 cis (ππππ/4) z = 2 ( cos π/4 + i sen π/4 )

z = 2 ( 22 + 22 i) z = 2 + 2 i

z = 2 cis

−2

7π = 2 cis

+−2

82

7 ππ

= 2 cis

= 2 (cos π/2 , i sen π/2)

= 2 ( 0 , 1i )

z = 2 i

200. Calcula o módulo de cada um dos números complexos:

b) 12 – 5i

d) 3 – 3i

e) 2

62 i−

f) a + 2ai , a < 0

b) 22 )5(12 −+ = 25144 + = 169 = 13

d) ( ) 22

)3(3 −+ = 93 + = 12 = 2 3

e) 22

26

22

−+

=

46

42 + =

48

= 2

f) 22 )a2(a + = 25a = — a5 (sendo a < 0, terá que ser — a5 > 0 porque representa |z| )

2 i z 2 π/4

2

2 i z π/2

o

Page 47: Trigonometria e Números Complexos

203.I. Escreve na forma algébrica os números:

a) 2 cis π/2

b) 2 cis (— 3π/2)

c) 3 cis 5π

z = ρ cis θ ————————> z = a + bi

a) 2 (cos π/2 , i sen π/2) = 2 (0 + i ) = 2i

b) 2 (cos (– 3π/2), i sen (–3π/2)) = 2 (cos π/2 , i sen π/2)

= 2 (0 + i ) = 2i

c) 3 (cos 5π , i sen 5π) = 3 (cos π , i sen π ) = 3 (–1 , 0) = – 3

203.

II. Escreve na forma trigonométrica os números:

a) —3

b) — 2 i

d) — 2 — 2 i

z = a + bi ————————> z = ρ cis θ

a) z = –3 + 0i

ρ = |z| = ( )23− z = ( )23− (cos π , i sen π) = 3 cis π

b) z = 0 — 2 i

ρ = |z| = ( )22− z = ( )22− (cos –π/2 , i sen –π/2) = 2 cis(–π/2)

d) z = — 2 — 2 i

ρ = |z| = ( ) ( )2222 −+−

z = ( ) ( )2222 −+− (cos –3π/4 , i sen –3π/4)

z = 22 + cis ( –3π/4)

z = 2 cis ( –3π/4)

–3π/2 = π/2

π

o

– i2

–3 o

– 2 o

– i2

Page 48: Trigonometria e Números Complexos

205. Escreve na forma algébrica os números:

b) 2 cis (3π/4)

c) — cis (5π/4)

e) 20 cis

617π

b) z = 2 cis (3π/4)

z = 2 (cos 3π/4 + i sen 3π/4) = 2

+− i

22

22

= – i2

222

22 +

z = – 2 + 2 i

c) —z = — cis (5π/4)

z = cis (5π/4 + π) = cis (9π/4) = cis (π/4)

z = (cos π/4 + i sen π/4) = i22

22 +

e) z = 20 cis

617π

z = 20 cis

+6

56

12 ππ = 20 cis

65π

z = 20

+− i

21

23

= – 310 + 10i

209. Seja z = a + 2i. Determina a de modo que arg(z) = π/3

z = ρ cis(π/3) = ρ(cos π/3+ i sen π/3 ) = ρ( 1/2 + 3 /2 i)

ρ( 1/2 ) = a ∧ ρ

23 = 2 <=> ρ =

3

4 ∧ a = 3

4 x

21

a = 3

32

π/4

O 1

5π/4

5π/6

O 20

2i π/3

O a

Page 49: Trigonometria e Números Complexos

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Dois Complexos na forma Trigonométrica são iguais se

z = w <=> | z | = |w| ∧∧∧∧ ∃∃∃∃ k ∈∈∈∈ ZZ : θθθθ = αααα + 2 k ππππ

CONJUGADO E SIMÉTRICO DE UM COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Complexo Conjugado

z = ρρρρ cis θθθθ z = ρρρρ cis (–θθθθ )

o mesmo módulo |z| = |z|

argumento —θθθθ + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ

z = |z| cis (–θθθθ )

Complexo Simétrico

z = ρρρρ cis θθθθ – z = ρρρρ cis (θθθθ + ππππ)

o mesmo módulo |z| = |—z|

argumento θθθθ + ππππ + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ

– z = |z|cis (θθθθ + ππππ )

OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA

Soma (casos particulares )

Só se somam complexos com o mesmo argumento ou que diferem kπ, k ∈ ZZ

ex: 2 cis π/3 + 4 cis π/3 = 6 cis π/4 e 2 cis π/6 + 5 cis 7π/6 = 3 cis 7π/6

Produto

z1 x z2 = ρρρρ1cis θθθθ1 . ρρρρ2 cis θθθθ2 = ρρρρ1(cos θθθθ1 + i sen θθθθ1) . ρρρρ2 (cos θθθθ2 + i.sen θθθθ2)

= ρρρρ1 x ρρρρ2 (cos θθθθ1 cos θθθθ2 + i2 sen θθθθ1 sen θθθθ2) + i (sen θθθθ1 cos θθθθ2 + sen θθθθ2 cos θθθθ1)

cos (θθθθ 1 + θθθθ 2) sen (θθθθ 1 + θθθθ 2)

z1 x z2 = ρρρρ1 . ρρρρ2 cis (θθθθ1 + θθθθ2)

Divisão

2

1

zz

= z1 x 2z

1 = z1 x 2z

1 x 2

2

zz

= z1 x 22

2

|| zz

= ρρρρ 1cis θθθθ 1 x

22

22 )cis(

ρ

ρ θ− = ρρρρ 1cis θθθθ 1 x

θ )cis( 2−

––– = ––– cis (θθθθ 1 – θθθθ 2)

e.i.

z = a + bi θθθθ + π θθθθ O –θθθθ e.r. –z = –a – bi z = a – bi

z1 ρρρρ 1 z2 ρρρρ 2

Page 50: Trigonometria e Números Complexos

ex: z = 4 cis ( 2ππππ/3 )

z x i = 4 cis (2π/3 ) x cis (π/2 )

= 4 cis (2π/3 + π/2) = 4 cis (7π/6)

–2z

= – 1/2 z = 1/2 (–z) = 2 cis (2π/3 + π) = 2 cis (5π/3)

z x 2 cis ( π/3 ) = | 2z | cis (2π/3 + π/3) = 8 cis ( π )

z : [2 cis ( 2π/3 )] = | z/2| cis (2π/3 – 2π/3) = 2 cis ( 0 )

213. Seja z o número complexo de imagem P e argumento positivo mínimo θ.

a) Representa geometricamente o conjugado e o simétrico de z.

b) Determina o argumento positivo mínimo de z e — z.

b) O argumento positivo mínimo pertence a ]0 , 2π] a)

Se z tem argumento θ, então — z, por ser simétrico, tem argumento θ + 2π, que não pertence a ]0 , 2π]. Como θ ∈ ]π , 3π/2] então arg(—z) = θ — π

Se arg(z) = θ , arg( z ) = —θ , ∉ ]0 , 2π] por ser negativo Então arg( z ) = 2π — θ

Por ex. se θ = 7π/6 arg(–z) = 7π/6 – π = π/6 e arg( z ) = 2π – 7π/6 = 5π/6

214. Escreve na forma trigonométrica o conjugado e o simétrico de cada um dos números complexos seguintes e representa-os graficamente.

a) z1 = 5 cis 5π/3

c) z3 = 5 cis ( π/8)

a) z 1 = 5 cis (– 5π/3) = 5 cis (– 5π/3 + 2π) = 5 cis ( π/3);

– z1 = 5 cis (5π/3 + π) = 5 cis (8π/3) = 5 cis (2π/3)

c) z 3 = 5 cis ( –π/8); –z3 = 5 cis ( π/8 + π) = 5 cis ( 9π/8)

e.i.

z = 4cis( 2π/3)

8 cis ( π) i 2 cis ( π/3)

o e.r. zi – z/2

e.i. z –z θ

O e.r

P

e.i. z 1 –z1

θ

o e.r

z1

Page 51: Trigonometria e Números Complexos

216. Seja θ o argumento de 6 — 8i. Representa na forma trigonométrica, em função de θ, o produto de i pelo conjugado de 6 — 8i.

Na forma algébrica na forma trigonométrica

|z| = 22 86 + = 100 = 10

z = 10 cis θ

z = 10 cis (–θ)

iz = 10 cis (–θ + π/2)

iz = 10 cis (π/2 – θ)

217. Sendo z1 = 4 cis(π/8) e z2 = 2 cis(—3π/4), escreve na forma trigonométrica z1.z2 e z1/z2

z1.z2 = 4 x 2 cis[π/8 + (– 3π/4)] = 8 cis(– 5π/8)

2

1

z

z=

24

cis[π/8 – (– 3π/4)], = 8 cis(π/8 + 3π/4) = 8 cis( 7π/8)

218.

a) Se z = ρ cis θ é um número complexo não nulo, escreve, na forma trigonométrica, o seu inverso.

z1

= θρ cis0cis1

= ρ1

cis (0 – θ) = ρ1

cis (– θ)

b) Calcula 1/z e representa geometricamente z e 1/z, sendo:

b1) z = 2 cis(π/4)

b2) z = 41 cis(2π/3)

b1) 1/z = 1/2 cis(0 – π/4) = 1/2 cis(– π/4)

b2) 1/z = 1:41

cis(0 – 2π/3) = 4 cis(– 2π/3)

e.i.

8 z z i π/2 –θ

–θ –8 o θ 6 e.r.

–8 z

e.i. 2 z

π/4 o 1/2 e.r. e.i. 4

z 2π/3

o 1/4 e.r.

Page 52: Trigonometria e Números Complexos

221. Sejam z = 2cis (π/3) e w = 2 cis (π/5)

Escreve na forma trigonométrica:

b) 2zw c) 3wz−

b) w = 2 cis (–π/5)

2z = 4 cis ( π/3)

2z w = 4 2 cis (–π/5 + π/3) = 4 2 cis (–3π/15 + 5π/15) = 4 2 cis (2π/15)

c) z = 2 cis ( –π/3)

3wz− = —

5cis23

3cis2

π

π

= —

−−

53cis

23

2 ππ = —

−−

153

155

cis6

22 ππ

= —

158

cis32 π

= 1 cis (π ) x

158

cis32 π

=

+− π

π

158

cis32

=

157

cis32 π

222. Escreve na forma trigonométrica:

a) 2

12

z

z sendo z1 = 2 cis (π/4) e z2 = 3 — 3 i

b) z = 31

65

cis21

i

i

+

+ π

a) 1º passar z2 à forma trigonométrica

ρ = 22 )3(3 −+ = 39 + = 12 = 2 3

arg(z2) = tan–1

−3

3 = –π/6

z2 = 2 3 cis (–π/6)

2º operar na forma trigonométrica

2

12

z

z = 32

22cis [π/4 –(–π/6)] =

3

2cis (3π/12 + 2π/12)

2

12

z

z = 36

cis (5π/12)

o –π/6

Page 53: Trigonometria e Números Complexos

b) z = 31

65

cis21

i

i

+

+ π

1º passar tudo à forma algébrica

z = 31

65

cis21

i

i

+

+ π

= 31

21

23

21

i

ii

+

+−+

= 31

232

22

1 2

i

ii

+

−+

= 31

11 3

i

i

+− − =

i

i

i

i

31

31

31

3

−−

− = 31

233+

+− ii = 4

33 i−− = 43− — i

43

2º passar à forma trigonométrica

ρ =

22

43

43

−+

− = 163

169 + =

1612

= 342

= 23

arg(z) = tan –1

4

43

3

//

= tan –1

33

= 7π/6

Finalmente z = 23 cis (7π/6)

223. Sendo z = 2 3 cis θ e w = cis (5π/6), escreve na forma algébrica o número

2cis

||π

3

zzww3 ⋅−

Tendo em conta que:

|w| = 1

z. z = (2 3 )(2 3 ) cis (θ – θ ) = 12 cis 0 = 12 + 0i

w = cos 5π/6 + i sen 5π/6 = –23

+ 21 i

3 cis ( π/2) = 3 (cos π/2 + i sen π/2 ) = 3 (0 + i) = 0 + 3 i

2cis

||π

3

zzww3 ⋅− =

ii

321

23

3 12−

+− =

i

i

i

i

ii

3

3

321

23

21

23

21

23

3 12×× −

−−

−−

+− =

(Obs: reduzir ao mesmo denominador torna-se mais complicado)

= 3

41

43

23

233

312−

−+

−−i

i

= ii 3423

23 +−− = —

23

+ i237

5π/6

o

cos θ < 0

o 7π/6 sen θ < 0

Page 54: Trigonometria e Números Complexos

224. Determina θ e ρ de modo que ρ cis (θ + π/3) = (—1 + i)2

ρ cis (θ + π/3) = (–1 + i)2

<=> ρ cis (θ + π/3) = (–1 + i)(–1 + i)

<=> ρ cis (θ + π/3) = 1 – 2i + i2

<=> ρ cis (θ + π/3) = – 2i ou

<=> ρ cis (θ + π/3) = – 2cis (π/2) <=> ρ = 2 ∧ θ + π/3 = –π/2 + 2kπ, k∈ ZZ

<=> ρ cis (θ + π/3) = 2cis (π + π/2) <=> ρ = 2 ∧ θ = –π/2 – π/3 + 2kπ, k∈ ZZ

<=> ρ = 2 ∧ θ + π/3 = 3π/2 + 2kπ, k∈ ZZ <=> ρ = 2 ∧ θ = – 5π/6 + 2kπ, k∈ ZZ

<=> ρ = 2 ∧ θ = – π/3 + 3π/2 + 2kπ, k∈ ZZ <=> ρ = 2 ∧ θ = 7π/6 + 2kπ, k∈ ZZ

<=> ρ = 2 ∧ θ = 7π/6 + 2kπ, k∈ ZZ

226. Sendo z1 = — 2 — 2 i e z2 = 2cis (2π/3), escreve na forma trigonométrica w = 21zz3⋅

|z1| = 22 )2()2( −+− = 22 + = 2

z1 = 2

−− i

22

22

= 2 cis (5π/4)

w = 21zz3⋅

− =

32

cis24

5cis2

0cis3ππ

×

− =

+3

24

5cis4

cis3

ππ

π =

+128

1215

cis4

cis3

ππ

π =

1232

cis4

cis3

π

π

= 43

cis (π – 23π/12) = 43

cis ( –11π/12) = 43

cis (13π/12)

227. Sejam z1 = cis (π/6) e z2 = 1 + i

a) Escreve 2

13

z

zi na forma algébrica e na forma trigonométrica

b) Usa a alínea anterior para calcular o valor exacto de tg (5π/12)

a) Passar à forma algébrica

z1 = cis (π/6) = 23

+ 21 i e 3iz1 =

23 i +

21 i2 = –

23

+ 233 i

2

13

z

zi =ii

i

i

−−

+

+−×

11

1233

23

=2

233

233

23

23 2iii +−+−

=2

2333

2333

i++− +

= i4

3334

333 ++− +

o

–2i

Page 55: Trigonometria e Números Complexos

Passar à forma trigonométrica z2 = 1 + i

ρ = 22 11 + = 2 e θ = π/4 logo z2 = 2 cis π/4

3iz1 = 3 cis (π/2) x cis (π/6) = 3 cis (π/2 + π/6) = 3 cis (4π/6) = 3 cis (2π/3)

2

13

z

zi =

4cis2

32

cis3

π

π

= 2

23cis (2π/3 – π/4) =

223

cis (8π/12 – 3π/12) = 2

23cis (5π/12)

b) 2

23cis (5π/12) =

223 (cos 5π/12 + i sen 5π/12) e

223

cis (5π/12) = i4

3334

333 ++− +

cos 5π/12 = 4

333 +− ∧ sen 5π/12 =

4333 +

tg (5π/12) = 333

333

+−+ =

31

31

+−+

228. Escreve na forma trigonométrica:

a) —3 cis (6π/5)

c) —27

cos π3

a) –3 cis (6π/5) é o simétrico de 3 cis (6π/5), logo

–3 cis (6π/5) = 3 cis (6π/5 + π) = 3 cis (11π/5) = 3 cis (π/5)

–3 cis (6π/5) = 3 cis π x cis (6π/5) = 3 cis (6π/5 + π) = 3 cis (11π/5) = 3 cis (π/5)

c) –2 = 2 cis π

cos (3π/7) = cos (3π/7) + 0i (não se trata de um complexo na forma trigonométrica,

somente um número real ≈ 0,2225)

–2 cos (3π/7) = cos (3π/7) (2 cis π) = 2 cos (3π/7) cis π

229. Escreve na forma trigonométrica:

a) sen (π — x) + cos (π + x)i

b) —10 (sen β — i cos β)

c) 1/2 sen (2x) + i sen2 x , com x ∈]π/2, π[ e com x ∈]π, 3π/2[

d) i

i

−+

αα

tgtg

π/5

o 6π/5

Page 56: Trigonometria e Números Complexos

a) Aplicando as fórmulas de sen (α – β ) e cos (α + β ) temos

sen (π – x) + cos (π + x)i = sen π cos x – sen x cos π + (cos π cos x – sen π sen x)i

= 0 x cos x – sen x (–1) + (–1 cos x – 0 x sen x)i

= sen x – i cos x (multiplicando e dividindo por i)

= i

ii )cossen( xx − =

iii xx cossen 2−

= ii xx sencos +

=

2cis

cisπ

x = cis ( x – π/2) (passando à forma trigonométrica)

b) –10 (sen β – i cos β) = i

ii )cossen(10 ββ −−= (multiplicando e dividindo por i)

= i-ii )cossen(10 2 ββ −

= i-

i )sencos(10 ββ + =

−2

cis

cis10

π

β

= 10 cis [ β – ( –π/2)] = 10 cis (π/2 + β)

c) 1/2 sen (2x) + i sen2 x = 1/2 (2 sen x cos x ) + i sen x sen x = sen x (cos x + i sen x )

= sen x cis (x ) se

= — sen x cis (x + π)

d) ii

−+

αα

tgtg

= i

i

+

αααα

cossencossen

=

ααα

ααα

coscossen

coscossen

i

i

+

= αααα

cossen

cossen

i

i

−+

= ii

ii

)cossen

)cossen

((

αααα

−+

= αααα

cossen

cossen2

2

ii

ii

−+

= αααα

sencos

sencos

i

i

++−

= )(cis

)(cis

αα−π

= cis (π – α – α) = cis (π – 2α)

x x

o

π-α

α o

Page 57: Trigonometria e Números Complexos

P O TE N CI A ÇÃ O

Temos que z1 x z2 = ρρρρ1 x ρρρρ2 cis (θθθθ 1 + θθθθ 2)

Se z1 = z2 = z3 = . . . = zn então z1 x z2 x z3 x . . . x zn = ρρρρ 1 x ρρρρ2 x ρρρρ2 x . . . x ρρρρn cis (θθθθ 1 + θθθθ 2+ θθθθ 3+. . . +θθθθ n)

ou seja, zn = (ρρρρ cis θθθθ )n pelo que (ρρρρ cis θθθθ )n = ρρρρ n cis (nθθθθ ), n∈∈∈∈IN Fórmula de De Moivre ex: Representar z3 na forma trigonométrica sendo z = 1 + i = 2 cis(π/4)

z x z x z = z3 = (1 + i )3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 3C013i0 + 3C11

2i + 3C21i2 + 3C310i3

= 1 + 3i — 3 — i

= —2 + 2i ρ = 22 2)2( +− = 2 2 e z = 2 2

+− i

22

22

= 2 2 cis(3π/4)

Por aplicação da fórmula

z3 = (1 + i )3 = [ 2 cis(π/4)]3 = 2 2 cis(3π/4)

E se z1 =

ρ

1cis ( — θθθθ ) então

n

z1

= n

)(1

−θ

ρcis = )n(

1n

θρ

cis ,

ou seja z—n.

= ρρρρ —n cis (—nθθθθ ), n∈∈∈∈IN

234. Calcula, efectuando os cálculos na forma algébrica e na forma trigonométrica 3

3cis2

π e ( )33 i−

2 cis (π/3)3 = 23 cis (3 π/3) = 8 cis π

[2 cis (π/3)]3 = [2 (cos π/3 + i sen π/3)]3 = [2(1/2 + 3 /2 i )]3 = (1 + 3 i )3

= 13 ( 3 i)0 + 3 x 12 3 i + 3 x 1( 3 i)2 + ( 3 i)3 3C013i0 + 3C11

2i + 3C21i2 + 3C310i3

= 1 + 3 3 i – 9 – 3 3 i

= – 8

Page 58: Trigonometria e Números Complexos

( 3 – i )3 = [2( 3 /2 – 1/2i )]3 = [2(cos (–π/6) + i sen (–π/6))]3 = [2 cis (–π/6)]3

= 23 cis (–3π/6) = 8 cis (–π/2)

( 3 – i )3 = ( )33 + 3 ( )23 i + 3 3 i2 + i3

= 3 3 + 9i – 3 3 – i

= 8i

235. Sendo z1 = 2 cis(π/4) e sabendo que arg ( z/z1) = π/2, determina o menor expoente n∈IN para o qual zn é um número real.

θ1 = π/4 e arg( z/z1) = π/2 <=> θ – θ1 = π/2 <=> θ = θ1 + π/2 <=> θ2 = π/4 + π/2 <=> θ2 = 3π/4

z = ρ cis (3π/4) <=> zn = ρn cis (n3π/4)

Para que zn seja um número real tem que se situar sobre o eixo real, ou seja,

arg ( zn ) = 0 + kπ, k∈ZZ

então n(3π/4) = kπ <=> n π

π

3k4

<=> n = 3k4

Assim, se k = 3 temos n = 3

34 × = 4

236. Calcula

b) 12

−ii231

Passar à forma trigonométrica 12

231

−ii =

12

231

×−

ii

ii =

12

23

21

−−+i =

12

21

23

−− i e ρ=

41

43 + = 1

Aplicar a fórmula

12

231

−ii = [cis ( 7π/6)]12 = cis (– 84π/6) = cis (14π) = cis 0 = 1

Page 59: Trigonometria e Números Complexos

237. Sendo z = cis(5π/3) calcula (1 + z)12

1º — Passar z à forma algébrica

z = 1[cos (5π/3) + i sen (5π/3)] = 1/2 – 3 /2 i

2º — Somar 1 + z

(1 + z)12 = ( 1 + 1/2 – 3 /2 i)12 = ( 3/2 – 3 /2 i)12

3º — Passar à forma trigonométrica

ρ = 22

23

23

−+

= 43

49 + =

412

= 232

= 3

θ = tan–1 ( –3/ 3 ) = –π/3

4º — Aplicar a Fórmula de Moivre

(1 + z)12 = [ 3 cis (–π/3 )]12 = ( 3 )12 cis (–12π/3 ) = 36 cis (–4π)

(1 + z)12 = 36 cis 0 = 729

238. Mostra que 2cis(2π/3) e 2cis(π/3) são raízes de índice 6 do mesmo número. Qual é esse número?

[2 cis(2π/3)]6 = 26 cis (6 x 2π/3) = 64 cis (12π/3) = 64 cis 4π = 64 cis 0 = 64

[2 cis(π/3)]6 = 26 cis (6 x π/3) = 64 cis (6π/3) = 64 cis 2π = 64 cis 0 = 64

Portanto, esse número é 64

o θ

–π/3

Page 60: Trigonometria e Números Complexos

R ADI CI A ÇÃ O

rn = ρρρρ r = n ρ

nαααα = θθθθ + k2ππππ αααα = n

k2n

π+θ

Se (z = n w ) z é raiz índice n de w, então

z = n ρ cis

+n

k2n

πθ , k∈∈∈∈ZZ

A c t i v i da de

Nas figuras abaixo estão representados dois triângulos equiláteros e um pentágono regular, todos com centro na origem dos referenciais e vértices numa circunferência de raio 1 ou 2.

Escrever, na forma trigonométrica, os números complexos que correspondem a cada um dos vértices (de A a K). Designar por zA o número que tem por imagem A, zB o número que tem por imagem B e assim sucessivamente.

Que conclusões tirar acerca de zA , zB, etc.?

I II III

zA3=cis (0)3 = 13cis (3 x 0) = 1 zD

3=2cis (π/2)3 = 23 cis (3π/2)= —8i zG5=2cis (0)5 = 25 cis (5 x 0)=32

zB3=cis (2π/3)3= 13cis (6π/3) = 1 zE

3=2cis (7π/6)3= 23 cis (21π/6) zH5=2cis (2π/5)5= 25 cis (10π/5)

zC3=cis (4π/3)3 = 13cis(12π/3)= 1 = 8 cis (7π/2)= —8i = 32 cis (2π) = 32

zF3=2cis(—π/6)3= 23cis (—3π/6) = —8i zI

5=2cis (4π/5)5= 25 cis (20π/5) = 32 cis (4π) = 32

Verifica-se que: . . . zA, zB e zC são zD, zE e zF são zG, zH, zI, zJ e zK são 3 raízes de índice 3 de 1 3 raízes de índice 3 de —8i 5 raízes de índice 5 de 32 Conclusão

Em ℂℂℂℂ, todo o número, seja real ou imaginário, tem 2 raízes quadradas, 3 raízes cúbicas, 4 raízes quartas, … , n raízes de índice n.

Seja zn = w.<=> r ncis (nαααα) = ρρρρ cis(θθθθ ) em que <=>

y cis(2π/3) B

1 cis 0 A x cis(4π/3) C

y D 2cis(π/2)

2 x E F 2cis(7π/6) 2cis(–π/6)

y H 2cis(2π/5)

2cis(4π/5) I G 2cis 0

2 x J 2cis(6π/5) K 2cis(–2π/5)

Page 61: Trigonometria e Números Complexos

239. Calcula ( 2 + i 2 )4 e ( 2 — i 2 )4 e indica quarto raízes de índice 4 de —16. Representa essas raízes geometricamente.

( 2 + i 2 )4 = [2 cis (π/4)]4 = 24 cis (4π/4) = 16 cis π = –16

( 2 – i 2 )4 = [2 cis (–π/4)]4 = 24 cis (–4π/4) = 16 cis (–π ) = –16

Duas das raízes de —16 são: 2 + i 2 e 2 – i 2

Conclui-se que as restantes raízes são: – 2 + i 2 e – 2 – i 2

241. Quais são as raízes de índice 4 de 1? E de —1? Representa-as graficamente.

z = 1 + 0i = 1 cis 0

4 z = 4 1 cis

+4k2

40 π

, k∈ZZ

k = 0: 4 z = 1 cis 0 = 1

k = 1: 4 z = 1 cis (2π/4) = 1 cis (π/2) = i

k = 2: 4 z = 1 cis (4π/4) = 1 cis π = –1

k = 3: 4 z = 1 cis (6π/4) = 1 cis (3π/2) = –i

As raízes de índice 4 de 1 são: 1, —1, i e —i

z = –1 + 0i = 1 cis π

4 z = 4 1 cis

+4k2

4ππ

, k∈ZZ

k = 0: 4 z = 1 cis (π/4) = 2 + 2 i

k = 1: 4 z = 1 cis (π/4 + 2π/4) = 1 cis (3π/4) = – 2 + 2 i

k = 2: 4 z = 1 cis (π/4 + π) = 1 cis (5π/4) = – 2 – 2 i

k = 3: 4 z = 1 cis (π/4 + 6π/4) = 1 cis (7π/4) = 2 – 2 i

As raízes de índice 4 de —1 são: cis (π/4) , cis (3π/4) , cis (5π/4) e cis (7π/4)

242. Usa a definição de raiz de índice 3 de um número para calcular, na forma trigonométrica, as raízes de índice 3 de —1 + i. Representa-as graficamente.

z = –1 + i

ρ = 22 1)1( +− = 2

θ = tan–1 (1/–1) ∧ θ ∈] π/2 , π[ <=> θ = 3π/4

o

–π/4

i

–1 o 1

–i

i22 +− i22 +

–1 o 1

i22 −− i22 −

Page 62: Trigonometria e Números Complexos

z = 2 cis (3π/4)

3 z = 3 2 cis

+3k2

123 ππ

= 6 2 cis

+3k2

4ππ

, k∈ZZ

k = 0: 3 z = 6 2 cis (π/4)

k = 1: 3 z = 6 2 cis (π/4 + 2π/3) = 6 2 cis (11π/12)

k = 2: 3 z = 6 2 cis (π/4 + 4π/3) = 6 2 cis (19π/12)

As raízes de índice 3 de —1 + i são os vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 6 2 .

244. Resolve cada uma das equações seguintes em IR e em ℂ.

b) x3 = —1

c) x4 = 16

b) Em IR : x3 = –1 <=> x = 3 1− <=> x = –1

Em ℂ:

x3 = –1 = 1cis π

3 3x = 3 1 cis

+3k2

3ππ

, k∈ZZ na forma algébrica

k = 0: x = cis (π/3) x = cos (π/3) + i sen (π/3) = 21

+ 23 i

k = 1: x = cis (π/3+ 2π/3) = cis π x = cos π + i sen π = –1

k = 2: x = cis (π/3+ 4π/3) = cis (5π/3) x = cos (5π/3) + i sen (5π/3) = 21

–23 i

x 3 = –1 <=> x = –1 v x = 21

+ 23 i v x =

21

–23 i

c) Em IR : x4 = 16 <=> x = 4 16 <=> x = 2 v x = –2

Em ℂ:

x 4 = 16 = 16 cis 0

4 4x = 4 16 cis

+4k2

4π0

, k∈ZZ na forma algébrica

k = 0: x = 2 cis 0 x = 2

k = 1: x = 2 cis (2π/4) = 2 cis (π/2) x = 2( 0 + i ) = 2i

k = 2: x = 2 cis (4π/4) = 2 cis π x = 2( –1 + 0i ) = –2

k = 3: x = 2 cis (6π/4) = 2 cis (3π/2) x = 2( 0 – i ) = –2i

x4 = 16 <=> x = 2 v x = –2 v x = 2i v x = –2i

o 6 2

Page 63: Trigonometria e Números Complexos

247. 3 — 3 i é uma das raízes de índice 5 de w. Determina outras duas raízes de índice 5 de w e determina w.

Começamos por passar a raiz conhecida à forma trigonométrica

ρ = ( )22 33 −+ = 12 = 2 3

θ = tan–1

33

∧ θ ∈]3π/4 , 2π[ <=> θ = –π/6

z = 2 3 cis (–π/6) é uma raiz de w, pelo que todas as raízes serão da forma

5 w = 2 3 cis

+5k2

5πθ

, k∈ZZ portanto,

θ/5 = –π/6 <=> θ = –5π/6 (é o argumento de w)

k = 0: 5 w = 2 3 cis (–5π/6) (raiz já conhecida)

k = 1: 5 w = 2 3 cis (–5π/6 + 2π/5) = 2 3 cis (–13π/30)

k = 2: 5 w = 2 3 cis (–5π/6 + 4π/5) = 2 3 cis (–π/30)

w = ( )532 cis [5(–π/6)] = 25 x 32 3 cis (–5π/6) (já era sabido que θ = —5π/6 )

w = 288 3 cis (–5π/6)

248. Os vértices do polígono regular da figura são imagens

das raízes de índice n de w. Determina os números cujas imagens são A e E.

Sendo um polígono regular de 7 lados, cada ângulo ao centro mede 2π/7. Assim, XÔC = 2π/14 = π/7

Todas as imagens têm por módulo o raio da circunferência ρ = 2

O argumento de E é π/7 + 2π/7 = 3π/7 e arg(A) = π/7 + 4 x 2π/7 = 9π/7

Portanto E 2 cis (3π/7 ) e A 2 cis (9π/7 )

249. Se as imagens de z = 2 cis (π/12) e do seu conjugado são vértices consecutivos do polígono cujos vértices são as raízes de índice n de w, determina n e w. De que polígono se trata?

Se z = 2 cis (π/12) z= 2 cis (–π/12)

Então n w = 2 cis (π/6 + 2kπ/n), k∈ZZ

2π/n = π/6 <=> n = 12 trata-se de um dodecágono regular

w = ( )122 cis (12π/6) = 64 cis 0 = –64

y E F

D G –2 o x

C

A

B

π/12

o

–π/12

Page 64: Trigonometria e Números Complexos

250. Calcula as raízes quartas de 1 e utiliza-as para resolver a equação [( 3 – i )z + i ]4 = 1

x 4 = 1 = 1cis 0

4 4x = cis

+4k2

4π0

, k = {0, 1, 2, 3} na forma algébrica

k = 0: x = cis 0 x = 1

k = 1: x = cis (2π/4) = cis (π/2) x = 0 + i = i

k = 2: x = cis (4π/4) = cis π x = –1 + 0i = –1

k = 3: x = cis (6π/4) = cis (3π/2) x = 0 – i = –i

x4 = 1 <=> x = 1 v x = –1 v x = i v x = –i

[( 3 – i )z + i]4 = 1 <=> ( 3 – i)z + i = 1 v ( 3 – i)z + i = –1 v ( 3 – i)z + i = i v ( 3 – i)z + i = –i

<=> z = i

i

−−

3

1 v z =

i

i

−−−

3

1 v z = 0 v z =

i

i

−−3

2

<=> z = i

i

i

i

++

−−

×3

3

3

1 v z =

i

i

i

i

++

−−−

×3

3

3

1 v z = 0 v z =

i

i

i

i

++

−−

×3

3

3

2

<=> z = 4

33 2i-ii −+ v z =

433 2i-ii −−−

v z = 0 v z = 4

322 2 ii −−

<=> z = i4

314

31 −++ v z = i

431

431 −−+−

v z = 0 v z = i23

21 −

251. Resolve, em ℂ, as equações:

c) z2 — 5iz — 6 = 0

d) z6 — 26z3 = 27

e) 0 12z

z7z

z =+

−−

− ii2

c) z2 – 5iz – 6 = 0 <=> z = 2

)6(4)5(5 2 −−± ii <=> z =

224255 +−±i

<=> z = 2

15 −±i

<=> z = 2

5 ii ± <=> z =

26i

v z = 24i

<=> z = 3i v z = 2i

Page 65: Trigonometria e Números Complexos

d) z6 – 26z3 = 27 <=> z6 – 26z3 – 27 = 0 <=> x2 – 26x – 27 = 0 <=> x = 2

)27(4)26(26 2 −−−±

<=> x = 2

78426 ± <=> x =

22826 ±

<=> x = –1 v x = 27

<=> z3 = –1 v z3 = 27

<=> z3 = cis π v z3 = 27 cis 0

<=> z = cis (π/3 + 2kπ/3), k = {0, 1, 2} v z = 3 27 cis (2kπ/3), k = {0, 1, 2}

<=> z = cis (π/3) v z = cis (π/3 + 2π/3) v z = cis (π/3 + 4π/3) v z = 3 cis 0 v

z = 3 cis (2π/3) v z = 3 cis (4π/3)

<=> z = cis (π/3) v z = cis π v z = cis (5π/3) v z = 3 v z = 3 cis (2π/3) v

z = 3 cis (4π/3)

e) 012z

z7

zz

2

=+

−−

− ii substituindo z

z i− por w temos w2 –7w + 12 = 0

w =2

124)7(7 2 ×−−±<=> w =

2

48497 −± <=> w =

217 ±

<=> w = 4 v w = 3

zz i− = 4 v

zz i− = 3 <=> z – i = 4z v z – i = 3z <=> –3z = i v –2z = i

<=> z = –i/3 v z = –i/2

252. Resolve, em ℂ, as equações:

b) x2 = (—1 + i)–6

c) | z |.z2 = (1 — i)3

d) z2 + 3 z i = 0

e) z3 — 2z = 0

b) Passando à forma trigonométrica (–1 + i) = 2 cis (3π/4)

x2 = (—1 + i)–6<=> x = [ 2 cis (3π/4)]–3 v x = —[ 2 cis (3π/4)]–3 (se x2 = y6 <=> x = y3 v x = –y3)

<=> x = 3

2

1

cis

−49π

v x = —3

2

1

cis

−49π

z – n = ρ–n cis (–nθ)

<=> x = 22

1cis

−4π

v x = —22

1cis

−4π

Page 66: Trigonometria e Números Complexos

<=> x = 42

− i

22

22 v x = —

42

− i

22

22

<=> x = i82

82 − v x = i

82

82 +− <=> x = i

41

41 − v x = i

41

41 +−

c) | z |.z2 = (1 – i)3

Passando à forma trigonométrica (1 – i) = 2 cis (–π/4)

| z |.z2 = (1 – i)3 <=> | z |.z2 = [ 2 cis (–π/4)]3 z n = ρn cis (nθ)

<=> |z|.z2 = ( 2 )3 cis (– 3π/4)

<=> z2 = ||

8z

cis (– 3π/4) (tendo em conta que |z| é um número real)

<=> z = ||

8z

cis (– 3π/8 + 2kπ/2), k = {0 , 1}

<=> z = 2 cis (– 3π/8) v z = 2 cis (– 3π/8 + π)

<=> z = 2 cis (– 3π/8) v z = 2 cis (5π/8)

d) z2 + 3 z i = 0 <=> z2 = – 3 z i (uma das raízes é zero, pois 02 + 3 x 0 x i = 0)

<=> (ρ cis θ)2 = – 3i ρ cis (–θ) (passando z à forma trigonométrica)

<=> (ρ cis θ)2 = – 3 cis (π/2) ρ cis (–θ) (passando i à forma trigonométrica)

<=> (ρ cis θ)2 = – 3 ρcis (π/2 –θ) (utilizando a regra do produto)

<=> (ρ cis θ)2 = 3 cis π ρcis (π/2 –θ) (passando —3 a complexo)

<=> (ρ cis θ)2 = 3 ρ cis (π + π/2 –θ) (utilizando a regra do produto)

<=> ρ2 cis (2θ) = 3 ρ cis (3π/2 –θ) (utilizando a fórmula da radiciação)

<=>

Ζ∈+

−=

=

kk22

32

3ρρ2

π,π θθ

<=>

Ζ∈+=

=−

kk22

3*3

03)ρ(ρ

π,πθ

<=>

Ζ∈+=

=−∨=

kk22

3*3

03ρ0ρ

π,πθ

<=>

+=

=∨=

= {0,1,2}k3k2

63

3ρ0ρ

,ππθ

(ρ = 0 <=> z = 0; 4ª raíz)

<=> z = 0 v z = 3 cis (π/2) v z = 3 cis (π/2 + 2π/3) v z = 3 cis (π/2 + 4π/3)

<=> z = 0 v z = 3 cis (π/2) v z = 3 cis (7π/6) v z = 3 cis (11π/6)

(* igualando módulos e

argumentos, verifica-se

a existência de 3 raízes)

c.a. ρ =||

8z

<=> ρ = ρ

84

<=> ρ2 = 2

4 3

ρ

2

<=> ρ2 =

ρ

24 6

<=> ρ3 = 4 62 <=> ρ = 3 4 62

<=> ρ = 12 62 <=> ρ = 2

Page 67: Trigonometria e Números Complexos

e) z3 –2z

= 0 <=> 2z3 – z = 0 <=> 2(ρ cis θ)3 = ρ cis (–θ)

<=> 2(ρ3 cis 3θ) = ρ cis (–θ)

<=>

Ζ∈+−==

kk23

ρ2ρ3

π,θθ<=>

Ζ∈==−kk2*4

01)ρ(2ρ 2

π,θ

<=>

==

=∨=

{0,1,2,3}k4k2

2/1ρ0ρ 2

,πθ

<=> z = 0 v z = 22 cis(π/2) v z =

22 cis π v z =

22 cis(3π/2) v z =

22 cis(2π)

<=> z = 0 v z = ±22 i v z = ±

22

253. Calcula o produto das raízes:

a) de índice 3 de 1.

b) de índice 4 de 1.

a) 1 = cis 0

z = 3 1 cis }2,1,0{k,3k2

0 =

+ π

z = cis 0 v z = cis (2π/3) v z = cis (4π/3)

Produto das raízes

(cis 0) [ cis (2π/3)] [ cis (4π/3)] = cis (2π/3 + 4π/3) = cis (6π/3) = cis 0 = 1

b) 1 = cis 0

z = 4 1 cis }3,2,1,0{k,4k2

0 =

+ π

z = cis 0 v z = cis (π/2) v z = cis π v z = cis (3π/2)

Produto das raízes

cis 0 x cis (π/2) x cis π x cis (3π/2) = cis (π/2 + π + 3π/2) = cis (6π/2) = cis π = –1

Na forma algébrica

z = 1 v z = i v z = –1 v z = –i

1 x i x (–1) x (–i) = (–i ) x (–i) = i2 = –1

(* igualando módulos e argumentos,

verifica-se a existência de 4 raízes

mais uma para ρ = 0)

c.a. ρ2 = 1/2 <=> ρ = 2/1 <=> ρ =22

Page 68: Trigonometria e Números Complexos

LUGARES GEOMÉTRICOS (CONDIÇÕES E CONJUNTOS)

Um número complexo, representado na forma trigonométrica é caracterizado por um módulo e um argumento.

Assim:

|z| = k (k ∈ IR+)

define uma circunferência de raio k e centro na origem

ex: |z| = 2 circunferência de raio 2

|z| ≤≤≤≤ k

define um círculo de raio k e centro na origem (circunferência incluída) Note-se que |z| = |z — 0|

ex: |z| ≤ 5 círculo de raio 5

|z| ≥ k1 ∧∧∧∧ |z| ≤≤≤≤ k2 (k1 < k2) define o domínio plano entre os círculos (fronteiras incluídas)

|z| ≥ 0 é uma condição universal

|z| < 0 é uma condição impossível

ex: |z| ≥ 2 ∧ |z| ≤ 3

|z| > k1 v |z| ≤ k2 (k1 > k2) define o domínio plano interior aos círculo menor e exterior ao círculo maior

ex: |z| > 3 v |z| ≤ 2

arg (z) = ππππ/4 define a semi-recta, pertencente à mediatriz dos quadrantes ímpares

arg (z) = —ππππ/4 v arg (z) = 3ππππ/4 define a mediatriz dos quadrantes pares

ππππ/6 ≤≤≤≤ arg (z) ≤≤≤≤ ππππ/3 define o ângulo representado com lado origem arg (z) = ππππ/6 e lado extremidade arg (z) = ππππ/3

Im

k o Re

Im

k1 k2 o Re

Im

k2 k1 o Re

Im

3π/4

π/4 o –π/4 Re

Im

k o Re

Im

π/6 o Re

Page 69: Trigonometria e Números Complexos

Na forma algébrica, há que considerar a parte real e a parte imaginária.

Assim:

|z — i | = 1 define que a distância de z a i é igual a 1 Trata-se de uma circunferência de centro i e raio 1

Em geral

|z — zO| = r representa uma circunferência de centro em zO e raio r

|z — i | ≥ 1 ∧∧∧∧ |z | ≤≤≤≤ 2

|z — i | = 1 circunferência de centro 0 + i e raio 1

|z | = 2 circunferência de centro 0 e raio 2

|z — 1 + i | < 2 <=> |z — (1 — i)| < 2

zO = 1 — i (centro)

Im(z) = k {z∈ℂ: Im(z) = k} Recta horizontal

Todas as imagens dos complexos cujo coeficiente da parte imaginária seja k

Im(z) ≥ k

Semiplano limitado inferiormente pela recta y = k (fronteira incluída)

Re(z) = k {z∈ℂ: Re(z) = k} Recta vertical

Todas as imagens dos complexos cuja parte real seja x = k

Re(z) ≤≤≤≤ k

Semiplano limitado à direita pela recta x = k

Im

o 1 2 Re

Im

o 1 2 3 Re –1

Im

y = k

o Re

Im r

o 1 2 Re

Im

y = k

o Re

Im

o x = k Re

Im

x = k o Re

Page 70: Trigonometria e Números Complexos

Im(z — 2 + 3i ) ≤≤≤≤ 2

fazendo z = x + yi temos Im(x + yi — (2 — 3i)) ≤ 2 Im(x — 2 + (y + 3)i ) ≤ 2 y + 3 ≤ 2 <=> y ≤ —1 semiplano limitado pela recta y ≤ –1

Re(z + 1 + 2i ) = 3

fazendo z = x + yi temos Im(x + 1 + (y + 2)i ) = 3 x + 1 = 3 <=> x = 2

Em geral

Im (z — z1) = k representa a recta y = b + k

Re (z — z1) = k representa a recta x = a + k

|z — 2| = |z — 2i|

Conjunto dos pontos cuja distância a 2 é igual à distância a 2i . Mediatriz do segmento de recta [Z0Z1]

|z + 1| ≤≤≤≤ |z — 2i|

Conjunto dos pontos cuja distância a —1 é inferior à distância a 2i. Semiplano fechado definido pela mediatriz do segmento [Z0Z1] e que contém o ponto Z0

|z — 3 — 2i| + |z + 3 — 2i| = d

Conjunto dos pontos cuja soma das distância entre as imagens de (—3 + 2i) e (3 + 2i) é igual a d

Em geral

|z — zo| = |z — z1| define a mediatriz do segmento [Z0Z1]

|z — zo| < |z — z1| representa o semiplano aberto definido pela mediatriz do segmento [Z0Z1] e que contém Z0.

|z — zo| + |z — z1| = d define a elipse de focos Z0 e Z1 e eixo maior d.

ππππ/6 ≤≤≤≤ arg ( z + 1 — i) ≤≤≤≤ 2ππππ/3

define o ângulo de vértice em (—1 + i ) compreendido entre as semi-rectas arg (z) = π/6 e arg (z) = 2π/3

Im

o Re -1

Im

o 2 Re

Im Zo = 2i

o Z1 = 2 Re

Im Z1 = 2i

Zo =–1 o Re

Im

Z0 2 Z1

–3 o 3 Re

Im

π/6

-1 o Re

Page 71: Trigonometria e Números Complexos

Outros exemplos

1. Conjuntos de imagens que satisfazem:

| z | = 3 | z | ≤ 2 | z | > 4 1 ≤ | z | ≤ 3

2. Imagens geométricas dos complexos: Conjuntos das imagens que satisfazem:

z1 = 2 cis (ππππ/3) z2 = 3 cis (ππππ/3) arg z = π/4 π/4 ≤ arg z ≤ 2π/3

z3 = 0,5 cis (ππππ/3) z4 = 3 cis (ππππ/3) arg z = 2π/3 — π/2 ≤ arg z ≤ π/6

3. conjunção de condições — intersecção de conjuntos (p ∧∧∧∧ q <=> A ∩∩∩∩ B)

| z | ≤ 2 ∧ π/4 ≤ arg z ≤ 3π/4 | z | ≥ 2 2 ∧ π/6 ≤ arg z ≤ 11π/6 zo= 3 + 2i, |z — zo| ≤ 2

e.i. | z | = 3

| z | ≤ 2 2 3 e.r.

e.i. | z | ≥ 4 1 3 4 e.r. 1 ≤ | z | ≤ 3

e.i.

z2

z4 z1

z3 π/3 0,5 2 3 e.r. 3

e.i.

arg z = 2π/3 arg z = π/4

e.r.

e.i.

π/4 ≤ arg z ≤ 2π/3

e.r. –π/4 ≤ arg z ≤ π/6

e.i. π/4 ≤ arg z ≤ 3π/4

A ∩∩∩∩ B

e.r.

| z | ≤ 2

e.i. |z – zo | ≤≤≤≤ 2

2 zo(3 , 2 ) 3 e.r.

e.i π/6

(3, 3 )

e.r.

(3,– 3 )

11π/6

Page 72: Trigonometria e Números Complexos

258. Determina a posição da imagem de z1 em relação à circunferência de centro (—1, 2) e raio 3, sendo:

a) z1 = 6i

b) z1 = 2 + 2i

c) z1 = 2 + 3 i

Considerando zo = —1 + 2i, pretende-se saber se a distância entre as imagens de z1 e zo é maior, menor ou igual ao raio da circunferência de centro em Zo.

a) z1 = 6i

|6i – (–1 + 2i)| = |6i + 1 – 2i | = |1 + 4i | = 22 41 + = 17 ≈ 4,123

A imagem de z1 é exterior à circunferência

b) z1 = 2 + 2i

|2 + 2i – (–1 + 2i)| = |2 + 1 + 2i– 2i | = | 3 | = 3

A imagem de z1 pertence à circunferência

c) z1 = 2 + 3 i

|2 + 3 i – (–1 + 2i)| = | 2 + 1 + ( 3 – 2)i | = |3 + ( 3 – 2)i | = 22 )( 233 −+

= )4329 +− ≈ 3,01

A imagem de z1 é exterior à circunferência

259. Determina o perímetro do triângulo cujos vértices são as imagens de: z1 = 2 — i ; z2 = 1 + i e z3 = —2 — 2i

|z1 – z2| = |2 – i – (1 + i ) | = |2 – i – 1 – i | = |1 – 2i | = 5

|z2 – z3| = |1 + i – (–2 – 2i ) | = |1 + 2 + i + 2i | = |3 + 3i | = 23

|z1 – z3| = |2 – i – (–2 – 2i ) | = |2 + 2 – i + 2i | = |4 + i | = 17

Perímetro 5 + 23 + 17

e.i. z2

o e.r. z1

z3

Page 73: Trigonometria e Números Complexos

260. Representa no plano complexo os conjuntos dos pontos definidos por:

a) |z — 2 —3i| = 4

b) |z + 2 — i | ≤ 3

d) |z — 1| ≥ |z — 2 + i |

a) |z – 2 – 3i| = 4 <=> |z – ( 2 + 3i)| = 4

Circunferência de centro (2 + 3i) e raio 4

b) |z + 2 – i | ≤ 3 <=> |z –(–2 + i)| ≤ 3

Círculo de centro (—2 + i) e raio 3

d) |z – 1| ≥ |z – 2 + i | <=> |z – (1 + 0i)| ≥ |z – (2 – i)|

Semiplano limitado pela mediatriz do segmento e extremos nas imagens de z0 = 1 e z1 = 2 — i e que contém z1

264. Observa a figura em que r é a mediatriz [AB]. Define por uma condição em ℂ o triângulo colorido.

Determinar a equação da mediatriz de [AB]

|z – 4i | = |z – 2| semiplano que contém A: |z – 4i | ≥ |z – 2|

O declive de AB é m = 2004

−− = —2, logo o declive da recta r,

por ser perpendicular é m’ = —1/m = 1/2 , ou seja, o ângulo que faz com a horizontal é π/4.

O triângulo tem um vértice em (—3 + 0i), que é o zero da recta y = x/2 + 3/2 e desenvolve-se

dentro do ângulo com origem nesse ponto e amplitude π/4, ou seja, arg (z – (–3)) ≤ π/4

Condição que define o triângulo: arg (z + 3) ≤ π/4 ∧ |z – 4i | ≥ |z – 2|

Outra solução, mais simples, considerando o ângulo de vértice em (4 + 0i ) com origem em arg (z – 4) = 3π/4 : 3π/4 ≤ arg (z – 4) ≤ π ∧ |z – 2| ≤ |z – 4i |

e.i.

zo(2 , 3 ) o e.r.

e.i.

zo(1 , 0) o e.r. z1(2 , -1)

e.i.

zo(–2 , 1) o e.r.

e.i. B r

o A e.r.

Page 74: Trigonometria e Números Complexos

Questões de escolha múltipla saídas em Provas de Exame e Testes Intermédios

1. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é π/3.

Qual dos valores seguintes é um argumento de z2i , sendo zo conjugado de z ?

(A) π/6 (B) 2π/3 (C) 5π/6 (D) 7π/6

2. Seja b um número real positivo, e z1 = bi um número complexo. Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números complexos z1 , (z1)

2 e (z1)3 ?

(A) (B) (C) (D)

3. Seja k um número real, e z1 = (k — i ) (3 — 2i) um número complexo.

Qual é o valor de k, para que z1 seja um número imaginário puro?

(A) —3/2 (B) —2/3 (C) 2/3 (D) 3/2

4. Na figura está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas (2, —1). Qual das condições seguintes define em ℂ, conjunto dos números complexos, a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1

(B) |z — 1| ≤ |z − (2 — i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1

(C) |z + 1| ≥ |z − (2 + i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1

(D) |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| ∧ Im(z) ≤ 2 ∧ Re(z) ≥ −1

Im(z)

o Re(z)

Im(z)

o Re(z)

Im(z)

o Re(z)

Im(z)

o Re(z)

Im(z)

1 2 o Re(z)

–1 A

Page 75: Trigonometria e Números Complexos

5. Considere, em ℂ, z + z= 2.

Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definidos por esta condição?

(A) (B) (C) (D)

6. Considere a figura representada no plano complexo. Qual é a condição, em ℂ, que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?

(A) Re (z) ≤ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0

(B) Re (z) ≤ 3 ∧ 0 ≤ arg (z) ≤ π/4

(C) Im (z) ≤ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0

(D) Re (z) ≥ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0

7. Seja z = 3i um número complexo. Qual dos seguintes valores é um argumento de z ?

(A) 0 (B) π/2 (C) π (D) 3π/2

8. Seja z um número complexo de argumento π/6.

Qual dos seguintes valores é um argumento de (—z) ?

(A) —π/6 (B) 5π/6 (C) π (D) 7π/6

9. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?

(A) 1e i (B) —1 e i (C) 1 — i e 1 + i (D) 1 — i e —1 + i

10. Em ℂ, conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.

Seja n um número natural tal que in = —i .

Indique qual dos seguintes é o valor de in + 1.

(A) 1 (B) i (C) —1 (D) — i

Im(z)

1

o Re(z)

Im(z)

o 1 Re(z)

Im(z)

1

-1 o Re(z)

Im(z)

1

-1 o 1 Re(z)

-1

Im(z)

o 3 Re(z)

–3

Page 76: Trigonometria e Números Complexos

11. Os pontos A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quadradas de um certo número complexo z.

Qual dos números complexos seguintes pode ser z?

(A) i (B) — i (C) 1 (D) —1

12. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2. A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) |z — 1| ≥ 1 ∧ |z − 2| ≤ 2

(B) |z — 1| ≥ 2 ∧ |z − 2| ≤ 1

(C) |z — 1| ≤ 1 ∧ |z − 2| ≥ 2

(D) |z — 1| ≤ 2 ∧ |z − 2| ≥ 1

13. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere z1 = 2 cis π/4 e z2 = 2i.

Sejam P1 e P2 as imagens geométricas, no plano complexo, de z1 e z2 respectivamente. Sabe-se que o segmento de recta [P1P2] é um dos lados do polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.

Qual é o valor de n ?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

14. Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo rectângulo isósceles. Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais. Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) Re (z) ≥ 0 ∧ Im (z) ≤ 0 ∧ |z| ≤ 1

(B) Re (z) ≤ 0 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z| ≤ 1

(C) Re (z) ≥ —1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z — i | ≥ |z + 1|

(D) Re (z) ≥ —1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z — i | ≤ |z — 1|

A

B

Page 77: Trigonometria e Números Complexos

15. Para um certo número real positivo ρ e para um certo número real α compreendido entre 0 e π/2, o número complexo ρ cis α tem por imagem geométrica o ponto P, representado na figura.

Qual é a imagem geométrica do número complexo ρ/2 cis (2α)?

(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D

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Respostas

1. C Se arg(z) = π/3 , arg( z ) = —π/3 e arg (2i) = π/2. O quociente será π/2 — (—π/3) = 5π/6

2. C z1 = bi tem argumento π/2 pelo que arg(z1)2 = 2π/2 = π e arg(z1)3 = 3π/2 por esta ordem. Sendo |z1| = b > 1, b, b

2 e b3 encontram-se em progressão geométrica, como mostrado em C.

3. C z1 = 3k — 2ki — 3i —2 = 3k —2 — (2k + 3)i

Re(z1) = 0 ∧ Im(z1) ≠ 0 <=> 3k —2 = 0 ∧ 2k + 3 ≠ 0 <=> k = 2/3 ∧ k ≠ —3/2

4. A |z — 1| é a distância de z à imagem de 1 e |z – (2 — i)| é a distância de z à imagem de A. O semiplano delimitado pela mediatriz do segmento que contém A, e de extremos 1 e A, é dado por |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| . Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1 definem o domínio plano acima de Im(z) = −1 e à esquerda de Re(z) = 2.

5. B As imagens de um complexo e do seu conjugado situam-se sobre as mesma recta vertical. Sabe-se também que, por definição, z + z = 2a , sendo a = Re(z). Ou seja, x + yi + x — yi = 2 <=> 2x = 2 <=> x = 1

6. A Domínio plano definido pelo semiplano delimitado por Re (z) ≤ 3 e o ângulo com lado origem arg (z) = —π/4 e lado extremidade arg (z) = 0

A P

B

C

D

Page 78: Trigonometria e Números Complexos

7. B Na forma trigonométrica, z = 3 cis π/2

8. D Por definição, arg (—z) = arg(z) + π , ou seja, arg (—z) = π/6 + π = 7π/6

9. D As raízes quadradas de um mesmo número complexo têm que obedecer à fórmula da radiciação, pelo que, z = ρ cis (θ/2 + 2kπ/2), k = {0, 1}.

Na resposta D temos z1 = 2 cis (—π/4) e = z1 = 2 cis (3π/4)

10. A in + 1 = i x in = i (—i ) = —i2 = —(—1) = 1

11. B A é a imagem de ρ cis (3π/4) e B é a imagem de ρ cis (—π/4), então z = [ρ cis (3π/4)]2 = ρ2 cis (2 x 3π/4) = ρ2 cis (6π/4) = ρ2 cis (3π/2) = —i

z = [ρ cis (—π/4)]2 = ρ2 cis (2(—π/4)) = ρ2 cis (—π/2) = ρ2 cis (3π/2) = —i

12. A |z — 1| ≥ 1 define a circunferência de centro 1 e raio 1 e todo o domínio exterior

|z − 2| ≤ 2 define o círculo de centro 2 e raio 2

13. C Conforme ilustra a imagem, tem que ser um polígono de 8 lados, octógono regular.

14. C Re (z) ≥ —1 define o semiplano à direita da recta x = —1. Im (z) ≥ 0 define o semiplano acima do eixo real. |z — i | ≤ |z — 1| define o semiplano abaixo da mediatriz do segmento cujos extremos são as imagens dos complexos 1 e i (fronteiras incluídas nos três domínios).

15. B O Ponto B apresenta metade da distância à origem e o dobro do argumento.

2i

2 cis π/4

o e.r.