trigonometria e números complexos
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Trigonometria e Números ComplexosTRANSCRIPT
Razões Trigonométricas num triângulo rectângulo
sen  = hipotenusa
opostocateto
AC
CB =
cos  = hipotenusa
adjacentecateto
AC
AB =
tg  = adjacentecateto
opostocateto
AB
CB=
Ângulo e Arco generalizados
Se αααα é a amplitude de um ângulo (ou arco), todo os ângulos com o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade são da forma:
αααα + k . 360º , k ∈∈∈∈ ZZ ou αααα + 2kπ π π π , k ∈∈∈∈ ZZ
Definição de seno, co-seno e tangente no círculo trigonométrico (círculo de raio 1 unidade)
sen αααα = sen (α α α α + k360º) = ordenada de P = OP
y
cos αααα = cos (α α α α + k360º) = abcissa de P = OP
x
tg αααα = tg (αααα + k180º) = P
P
deabcissadeordenada =
xy
tg αααα = ordenada de Q
αααα + 360º αααα
C A B
Q (1, tg α) y 1 P (cos α, sen α) sen α α
–1 0 cos α 1 x
–1
αααα – 360º αααα ++++
–
Relações entre seno, co-seno e tangente de um ângulo
sen αααα2 + cos αααα2 = 1 tg αααα = αααααααα
cossen tg2 αααα + 1 =
αααα2cos
1
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos complementares αααα e ππππ/2 — αααα
sen (ππππ/2 — αααα) = cos αααα
cos (ππππ/2 — αααα) = sen αααα
tg (ππππ/2 — αααα) = cotg αααα
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem ππππ/2
sen (ππππ/2 + αααα) = cos αααα
cos (ππππ/2 + αααα) = —sen αααα
tg (ππππ/2 + αααα) = —cotg
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos suplementares αααα e ππππ — αααα
sen (ππππ — αααα) = sen αααα
cos (ππππ — αααα) = — cos αααα
αααα tg (ππππ — αααα) = — tg αααα
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem ππππ
sen (ππππ + αααα) = —sen αααα
cos (ππππ + αααα) = — cos αααα
tg (ππππ + αααα) = tg αααα
y 1 sen α tg α α –1 0 cos α 1 x
–1
y 1
sen α tg α α –1 0 cos α 1 x π + α –1
y 1 π////2 + α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x
–1
y 1 π – α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x
–1
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos αααα e 3ππππ/2 — αααα
sen (3ππππ/2 — αααα) = —cos αααα
cos (3ππππ/2 — αααα) = —sen αααα
tg (3ππππ/2 — αααα) = cotg αααα
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos que diferem 3ππππ/2
sen (3ππππ/2 + αααα) = —cos αααα
cos (3ππππ/2 + αααα) = sen αααα
tg (3ππππ/2 + αααα) = —cotg αααα
Relações entre as razões trigonométricas de ângulos simétricos αααα e — αααα
sen (— αααα) = — sen αααα
cos (— αααα) = cos αααα
tg (— αααα) = —tg αααα
Valores exactos de razões trigonométricas (0 ≤≤≤≤ αααα ≤≤≤≤ ππππ/2 )
αααα 0 6π
4π
3π
2π
seno 0 21
22
23 1
co-seno 1 23
22 2
1 0
tangente 0 33 1 3 nd
y 1
sen α tg α α –1 0 cos α 1 x 3π////2 – α –1
y 1
sen α tg α α –1 0 cos α 1 x
3π////2 +α –1
y 1
sen α tg α α –1 0 cos α 1 x
–α –1
y π/2 2π/3 π/3 3π/4 π/4
5π/6 π/6
π 2π x -5π/6 -π/6
-3π/4 -π/4 -2π/3 -π/3 -π/2
4. Prova que:
a) 1 + tg2 x = x2cos
1
1 + tg2 x = x
x2
2
cos
sen1+ =
x
xx2
22
cos
sencos + =
x2cos
1 (dado que sen2 x + cos2 x = 1)
b) θ
θsen1
cos1
2
+− = sen θ
θθ
sen1cos
12
+− =
θθθ
sen1cossen1 2
+−+
= θ
θθθθsen1
cossencossen 222
+−++
(sen2 α + cos2 α = 1)
= θ
θθsen1
sensen2
++
= θθθ
sen1)1sen(sen
++
= sen θ
c) α
αα
αcos
sen1sen1
cos ++
+ =
αcos2
αα
αα
cossen1
sen1cos +
++
= αααα
cos)sen1()sen1(cos 22
+++ =
ααααα
cos)sen1(sen21sencos 22
++++
= αα
αcos)sen1(
sen22+
+ = αα
αcos)sen1(
)sen1(2+
+ = αcos
2
d) x
xx2cos
)cos1)(cos1( +− = tg2 x
x
xx2cos
)cos1)(cos1( +− = x
x2
2
cos
cos1− = x
xxx2
222
cos
coscossen −+ = x
x2
2
cos
sen = tg2 x
5. Qual a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos de um relógio (em cm por minuto) que mede 10 cm de comprimento?
Resolução
O ponteiro dos minutos dá uma volta por hora, ou seja, a sua xtremidade percorre uma circunferência de raio 10 cm durante 1 hora. Assim:
P = 2πr = 20π
V = e/t = 20π cm/h
V = 60
20π ≈ 1 cm/min
7. Sabendo que sen
+ x2
3π = 31 e x ∈ ]π , 2π[,
calcula o valor exacto de cos (π + x) – 2 cos
+ x2π
Resolução
Se x ∈ ]π , 2π[ e sen
+ x2
3π =31 então é necessário que x ∈ ]π , 3π/2[
Verifica-se também que sen
+ x2
3π = – cos x , logo cos x = —
31
sen2 x + cos2 x = 1 <=> sen2 x = 1 – cos2 x
<=> sen2 x = 1 – 2
31
−
<=> sen2 x = 1 – 91
<=> sen2 x = 1 – 91
<=> sen x = 98±
<=> sen x = 3
22− (sen x < 0 dado que x ∈ ]π , 3π/2[ )
Por análise do círculo trigonométrico conclui-se que
cos (π + x) = – cos x = 31 e cos
+ x2π = — sen x =
322
Finalmente:
cos (π + x) – 2cos
+ x2π =
31
– 2
322
= 3
241−
3π/2+x
1/3 x
1/3 –1/3
x + π x +π/2
x
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen x = sen αααα <=> x = αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ v x = ππππ — αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ
cos x = cos αααα <=> x = αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ v x = — αααα + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ
tg x = tg αααα <=> x = αααα + kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ
8. Resolve, em IR, as equações:
c) 4 + 8sen
2x
= 0
8sen
2x
= – 4 <=> sen
2x
= –21
<=> 2x
= –6
5π+ 2kπ, k∈ZZ v
2x
= 6π− + 2kπ, k∈ZZ
<=> x = –6
10π+ 4kπ, k∈ZZ v x =
62π− + 4kπ, k∈ZZ
<=> x = –3
5π+ 4kπ, k∈ZZ v x =
3π− + 4kπ, k∈ZZ
e) xtg31 =
3
1
xtg31 =
3
1 <=> tg x =
3
3 <=> tg x =
333
<=> tg x = 3
<=> x = 3π
+ kπ, k∈ZZ
g) 2sen (πx) – 1 = 0
2sen (πx) – 1 = 0 <=> sen (πx) = 21
<=> πx = 6π
+ 2kπ, k∈ZZ v πx = 6
5π+ 2kπ, k∈ZZ
<=> x = π
π
6+
π
πk2, k∈ZZ v πx =
π
π
65
+ π
πk2, k∈ZZ
<=> x = 61
+ 2k, k∈ZZ v πx = 65
+ 2k, k∈ZZ
−5π/6 −π/6
π/3
5π/6 π/6
y 1
π – α sen α tg α α –1 0 cos α 1 x – α
–1
h) sen
x1
= 0
sen
x1
= 0 <=> x1
= kπ, k∈ZZ <=> x = πk1
, k∈ZZ \{0}
9. Resolve as equações:
a) sen x + cos x = 0
sen x + cos x = 0 <=> sen x = – cos x <=> x = 4
3π+ kπ, k∈ZZ
c) 3cos θ = 2sen2 θ
Sabendo que sen2 θ = 1 – cos2 θ , temos
3cos θ = 2( 1 – cos2 θ ) <=> 3cos θ = 2 – 2cos2 θ
<=> 2cos2 θ + 3cos θ – 2 = 0
<=> cos θ = 4
)2(2433 2 −−±− × <=> cos θ =
4253 ±−
<=> cos θ = 4
53 +− v θ =
453 −−
<=> cos θ = 21
v cos θ = –2 �
<=> θ = 3π± + 2kπ, k∈ZZ
d) cos2 θ + 2sen θ = 2
1 – sen2 θ + 2sen θ – 2 = 0 <=> – sen2 θ + 2sen θ – 2 = 0 <=> sen2 θ – 2sen θ + 1 = 0
<=> (sen θ – 1) 2 = 0 <=> sen θ = 1 <=> θ = 2π
+ 2kπ, k∈ZZ
11. Resolve a condição |sen x | < 21 no intervalo:
a) [0 , 2π]
b) [–π , π]
|sen x | < 21
<=> sen x < 21
∧ sen x > –21
a) x ∈ [0 , π/6 [ ∪ ] 5π/6 , 7π/6 [ ∪ ] 11π/6 , 2π ]
b) x ∈ [–π , –5π/6 [ ∪ ] –π/6 , π/6[ ∪ ] 5π/6 , π ]
π 2π
3π/4
-π/4
π/3
-π/3
5π/6 π/6
-5π/6 -π/6
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
As funções trigonométricas são consideradas funções periódicas, isto é:
Uma função f diz-se periódica se existe um número positivo P tal que
f (x + P) = f(x), ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ Df
Representação gráfica das funções seno e co-seno no intervalo [0 , 2ππππ]
Note-se que cos x = sen (ππππ/2 — x) , ∀∀∀∀x∈∈∈∈IR
Propriedades comuns
Domínio: IR
Contradomínio: [—1 , 1]
Período: 2ππππ Contínuas em IR: alim
asensen =
→x
x e alim
acoscos =
→x
x
Não existe xx
sen±∞→
lim e xx
cos±∞→
lim
Os gráficos não apresentam quaisquer assimptotas
Outras propriedades
sen x cos x
Paridade
Função ímpar: sen (–x) = – sen x, ∀x∈IR Função par: cos (–x) = cos x, ∀x∈IR
Zeros: x = kπ, k∈ZZ Zeros: x = 2π + kπ, k∈ZZ
Sinal
Positiva: x ∈ ] 0 + 2kπ , π + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ]−π/2 + 2kπ , π/2 + 2kπ [, k∈ZZ
Negativa: x ∈ ]π + 2kπ , 2π + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ] π/2 + 2kπ , 3π/2 + 2kπ [, k∈ZZ
Monotonia
Crescente: x ∈ ]−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ [, k∈ZZ x ∈ ]π + 2kπ , 2π + 2kπ [, k∈ZZ
Decresc.te: x ∈ ] π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ[, k∈ZZ x ∈ ]0 + 2kπ , π + 2kπ [, k∈ZZ
Extremos
Mínimo = —1, minimizantes: −π/2 + 2kπ, k∈ZZ minimizantes: π + 2kπ, k∈ZZ
Máximo = 1, maximizantes: π/2 + 2kπ, k∈ZZ maximizantes: 2kπ, k∈ZZ
Representação gráfica das função tangente no intervalo [–2ππππ , 2ππππ]
Propriedades
Domínio: IR \
=2π
x + kππππ, k∈∈∈∈ZZ
Contradomínio: IR
Período: ππππ
Assimptotas verticais do gráfico: rectas de equações x = 2π + kππππ, k∈∈∈∈ZZ
xx
tg
2+
→ π
lim = xx
xcossen
2+
→π
lim = −0
1 = —∞ e xx
tg
2−
→π
lim = xx
xcossen
2−
→π
lim = +0
1 = +∞
Não existe xx
tg±∞→
lim
Paridade
Função ímpar: tg (–x) = – tg x, ∀x∈IR
Zeros: x = kπ, k∈ZZ
Sinal
tg x >0 <=> x ∈ ] 0 + kπ , π/2 + kπ [, k∈ZZ
tg x < 0 <=> x ∈ ] π/2 + kπ , π + kπ [, k∈ZZ
Monotonia
Crescente: x ∈ ]−π/2 + kπ, π/2 + kπ [, k∈ZZ (crescente no seu domínio)
Não tem extremos
x
y
−2π −1,5π −π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
+∞ y +
2π −
2π
1 x
–∞
17. Indica uma expressão geral dos zeros das funções definidas em IR por:
b) sen (2x )
sen (2x ) = 0 <=> 2x = kπ, k∈ZZ
<=> x = kπ/2, k∈ZZ
c) cos (πt)
cos (πt) = 0 <=> πt = π/2 + kπ, k∈ZZ
<=> t = π/2π + kπ/π, k∈ZZ <=> t = 1/2 + k, k∈ZZ
18. Estuda a paridade das funções definidas em IR por:
a) x cos x + sen x
A função é par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR
cos x + sen x = cos (–x ) + sen (–x) <=> 2 cos x = – 2 sen x
<=> cos x = – sen x, ∀x∈IR falso
É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR
cos (–x ) + sen (–x ) = – cos x – sen x <=> cos x – sen x = – cos x – sen x
<=> cos x + cos x – sen x + sen x = 0 <=> 2 cos x = 0, ∀x∈IR
falso
b) t sen
2t
É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR
sen (–α) = – sen α, ∀α∈IR <=> sen
−
2t
= – sen
2t
, ∀t ∈IR . A função é ímpar
c) x x + cos x
É par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR
x + cos x = –x + cos (–x ) <=> x + cos x = –x + cos x <=> 0 = –2x , ∀x ∈IR falso
É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR
–x + cos (–x) = –(x + cos x ) <=> –x + cos x = –x – cos x <=> 2cos x = 0, ∀x ∈IR falso
π 2π
π/2
−π/2
x
y
−2π −π 0 π 2π
-2
-1
1
2
x
y
−2π −π 0 π 2π
-2
-1
1
2
d) x sen x – x
É par se f(x) = f(–x), ∀x∈IR
sen x – x = sen (–x) – (–x) <=> sen x – x = –sen x + x
<=> 2sen x = 2x , ∀x ∈IR falso
É ímpar se f(–x) = – f(x), ∀x∈IR
sen (–x ) – (–x ) = –(sen x – x) <=> – sen x + x = – sen x + x , ∀x ∈IR verdadeiro
19. Determina o domínio de existência em IR das funções definidas por:
a) x
xcos1
sen−
D = { x∈IR : 1 – cos x ≠ 0 }
1 – cos x ≠ 0 <=> cos x ≠ 1 <=> x ≠ 2kπ, k∈ZZ
D = IR \ { x∈IR : 2kπ, k∈ZZ }
c) x
xtg1
sen−
D = { x∈IR : 1 – tg x ≠ 0 ∧ x ≠ π/2 + kπ, k∈ZZ }
1 – tg x ≠ 0 <=> tg x ≠ 1 <=> x ≠ π/4 + kπ, k∈ZZ
D = IR \ { x∈IR : π/4 + kπ, k∈ZZ ∧ π/2 + kπ, k∈ZZ }
20. Determina uma expressão geral dos zeros das funções definidas nos seus domínios de existência por:
b) 1 – tg
3x
1 – tg
3x
= 0 <=> tg
3x = 1 <=>
3x
= π/4 + kπ, k∈ZZ <=> x = 3π/4 + 3kπ, k∈ZZ
c) sen x + tg x
sen x + tg x = 0 <=> sen x + xx
cossen
= 0 <=> x
xxxcos
sen cossen +⋅ = 0
<=> x
xxcos
)1 cos(sen + = 0 <=> sen x = 0 v cos x + 1 = 0 ∧ cos x ≠ 0
<=> x = kπ, k∈ZZ v x = π + 2kπ, k∈ZZ <=> x = kπ, k∈ZZ
x
y
−π 0 π
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Influência dos parâmetros nos gráficos de funções do tipo
y = a + b sen (cx + d) e y = a + b cos (cx + d)
Exemplos comparados com y = sen (x) ou y = cos( x)
a = 2; b = 1; c = 1; d = 0
f(x) = 2 + sen (x)
a = —1; b = 1; c = 1; d = 0
g(x) = —1 + sen (x)
Quando a ≠≠≠≠ 0, os gráficos sofrem uma translação vertical com reflexos no contradomínio
a = 0; b = 2; c = 1; d = 0
f(x) = 2cos (x)
a = 0; b = 1/2; c = 1; d = 0
g(x) = 1/2cos (x)
Quando b ≠≠≠≠ 1, os gráficos sofrem uma contracção ou expansão vertical com reflexos no contradomínio
a = 0; b = 1; c = 2; d = 0
f(x) = sen (2x)
a = 0; b = 1; c =1/2; d = 0
g(x) = sen (x/2)
Quando c ≠≠≠≠ 1, os gráficos sofrem uma dilatação ou compressão horizontal com reflexos no período, em que o novo período é P = ————
a = 0; b = 1; c = 1; d = ππππ/4
f(x) = cos (x + ππππ/4)
a = 0; b = 1; c = 1; d = —ππππ/3
g(x) = cos (x —ππππ/3)
Quando d ≠≠≠≠ 0, os gráficos sofrem uma translação horizontal (—d) com reflexos nos maximizantes e minimizantes
x
y
−π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π
-2
-1
1
2
3
4
f
g
x
y
0 0,5π π 1,5π 2π 2,5π 3π 3,5π 4π
-2
-1
1
2
f
g Período g = 4π Período f = π
x
y
−π −0,5π 0 0,5π π 1,5π 2π
-2
-1
1
2–π/4 π/3
D´f = [–2, 2] D´g =[–1/2, 1/2]
x
y
0 0,5π π 1,5π 2π
-2
-1
1
2
3
4
f
g
D´f = [ 1, 3] D´g =[ –2 , 0]
P |c|
23. Indica o cobtradomínio de cada uma das funções seguintes e uma expressão geral dos maximizantes.
a) f: x 1 + 2 sen x
Enquadramento:
–1 ≤ sen x ≤ 1 <=> –2 ≤ 2 sen x ≤ 2 <=> –2 + 1 ≤ 1 + 2 sen x ≤ 2 +1 <=> –1 ≤ 1 + 2 sen x ≤ 1
D’f = [–1 , 3]
Maximizantes:
Resolver a equação
1 + 2 sen x = 3 <=> 2 sen x = 3 – 1 <=> 2 sen x = 2 <=> sen x = 1 <=> x = π/2 + 2kπ, k∈ZZ
Portanto, f tem os mesmos maximiznates que sen x ou seja, quando x = π/2 + 2kπ, k∈ZZ
c) h: x sen2 x – 2
Enquadramento:
–1 ≤ sen x ≤ 1 <=> 0 ≤ sen2 x ≤ 1 <=> –2 + 0 ≤ sen2 x – 2 ≤ 1 – 2<=> –2 ≤ sen2 x – 2 ≤ –1
D’h = [–2 , –1]
Maximizantes:
sen2 x – 2 = –1 <=> sen2 x = 1 <=> sen x = ± 1 <=> x = π/2 + kπ, k∈ZZ
27. Prova que:
b) O período de g(x ) = 3tg (x/2) é 2π
Por definição g(x + T) = g(x), ∀x∈Dg e o período de tg x = π
Se T = 2π então: g(x + 2π) = 3tg
+22πx
(substituindo x por x + T)
= 3tg
+2
π22x
= 3tg
+ π2x
( π é operíodo da função tg x)
= 3tg(x/2) = g(x), ∀x∈Dg
c) O período de h(x ) = cos
3xπ
é 6
Por definição h(x + T) = h(x), ∀x∈Dh e o período de cos x = 2π
Se T = 6 então: h(x + 6) = cos
+3
6)π(x = cos
+ ππ
23x
= cos(πx/3) = h(x), ∀x∈Dh
π/2
1 –1 1 -1
xy
0 0,5π π 1,5π 2π
-3
-2
-1
1
Actividade 5
Observa o gráfico seguinte que descreve o nível da água num ponto ao longo do dia.
Encontra uma função da família x y = a + b sen (cx + d) que pode descrever a situação ilustrada no gráfico.
Resolução
E primeiro lugar, deve-se observar que no papel, que parece milimétrico, cada quadrícula maior representa 2 unidades, cada uma dividida em 10. Logo, cada quadrícula menor representa 0,2 unidades.
O gráfico apresenta 2 para os mínimos e 6 para os máximos, fazendo com que a função tenha contradomínio [2 , 6], deslocando-se o eixo horizontal para y = 4. Significa isto que o gráfico sofreu uma translação vertical sendo a = 4;
Sendo a amplitude 4, o valor de b tem que ser 2;
Tendo em conta os máximos (ou mínimos), estes distam 12,4 unidades. Assim, 2π/c = 12,4 <=> c ≈ 2π/12,4 <=> c ≈ 0,5;
Como sen α = 0 <=> α = 0 + kP, k∈ZZ (sendo P o período), isto mostra que o gráfico sofreu uma
translação horizontal de 8,8 unidades para a esquerda (o eixo Oy deslocou-se –8,8), pelo que d = –8,8.
Portanto, a expressão da função deve ser y = 4 + 2 sen (0,5x + 8,8)
Problema de modelação (Pág 23)
Na tabela seguinte apresentam-se as previsões da altura das marés no porto de Leixões para um determinado dia. Apresenta uma expressão, com valores aproximados, da função capaz de modelar seta situação.
horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Altura (m) 1,68 1,54 1,53 1,65 1,88 2,16 2,45 2,66 2,74 2,67 2,46 2,17 1,86 1,61 1,47 1,45 1,56 1,76 2,01 2,25 2,41 2,46 2,39 2,22
Na calculadora gráfica, na opção STAT, introduzir os valores da tabela em duas listas (fig. 1 e 2).
Na Cásio pressionar F2(CALC) , F3(REG), F6(����), F4(sin) para obter o ecrã da figura 3.
Na Texas, em STAT����CALC executar (SinReg) e introduzir L1,L2
A expressão da função, com valores a 2 casas decimais, é: y = 0,55sen (0,48x –2,26) + 2
A figura 4 mostra o gráfico de pontos (da regressão) e a figura 5 mostra o gráfico da função
32. A profundidade da água do mar à entrada de um porto de abrigo é dada num certo dia, em metros, por
h(t) = 9 – 2 cos
t
6π
sendo t o número de horas depois da primeira maré baixa desse dia.
a) Qual a profundidade na maré alta e na maré baixa nesse dia?
b) Quanto tempo decorreu entre uma maré alta e uma maré baixa?
a) A função cos α tem máximos para α = 0 + 2kπ, k ∈ ZZ e mínimos para α = π + 2kπ, k ∈ ZZ
A função —cos α, sendo simétrica relativamente a Ox, apresenta mínimos onde cos x apresenta máximos e vice-versa, logo:
Mínimo para t = 0 temos: 9 – 2 cos 0 = 9 – 2 x 1 = 7 (m)
Máximo para t = 6 temos: 9 – 2 cos
66π
= 9 – 2 cos π = 9 – 2(–1) = 11 (m)
b) O período da função é
P = 2π/c <=> P = 6
2 ππ / <=> π
π12=P <=> P = 12
Em cada período a função tem um máximo e um mínimo, logo, se o período é 12 horas, decorrem 6 horas entre os extremos.
0 6 12 18 24
FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS DA SOMA DE DOIS ÂNGULOS
Considerando os vectores u
r e v
r no círculo trigonométrico,
o produto escalar é ur
• vr
= ||ur
|| x || vr
|| x cos (ur ^ v
r)
sendo ||ur
|| = || vr
|| = 1, temos ur
• vr
= cos (ur ^ v
r) = cos (α – β)
Pelas coordenadas, ur
= (cos α , sen α) e vr
= (cos β , senβ)
temos ur
• vr
= (cos α , sen α) x (cos β , senβ) = cos α cos β + sen α senβ
cos ( a – b) = cos a cos b + sen a sen b, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR
Como senβ = — sen (–β ) e cos (α + β) = cos [α – (–β )]
Temos que cos (α + β) = cos α cos β + sen α (–senβ )
cos ( a + b) = cos a cos b – sen a sen b, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR
Tendo em conta que sen x = cos (π/2 – x) então sen (α + β) = cos [π/2 – (α + β )] = cos (π/2 – α – β )
Assim, sen (α + β) = cos [(π/2 – α) – β )] =
= cos (π/2 – α) cos β + sen (π/2 – α) senβ
ou seja, sen (α + β) = sen α cos β + cos α senβ
sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR
Verifica-se, também que sen (α – β) = sen [α + (– β)]
= cos (π/2 – α) cos (–β ) + sen (π/2 – α) sen(–β )
= sen α cos β + cos α (–senβ )
sen (a – b) = sen a cos b – sen b cos a, ∀∀∀∀a, b∈∈∈∈IR
Como consequências:
tg (a + b) = )cos()(sen
ba
ba
++
= baba
abba
sensencoscoscossencossen
−+
=
bababa
baabba
coscos
sensencoscoscoscos
cossencossen
−
+
=
baba
baba
baab
baba
coscos
sensen
coscoscoscos
coscos
cossen
coscos
cossen
−
+
tg (a ±±±± b) = baba
tgtgtgtg
m1±
e tg (a + a) = tg (2a) = a
a2tg1
2tg
−
e considerando que 2x = x + x temos: sen 2x = sen(x + x) = sen x cos x + sen x cos x = 2 sen x cos x cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x – sen x sen x = cos2 x – sen2 x
sen (2a) = 2 sen a cos a e cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a
y
ur
α vr
β 0 −β x
π/2 - α α
y
αααα – ββββ u
r α v
r
β 0 x
35. Completa as sfirmações de modo a que sejam verdadeiras:
b) cos2 (x/2) – sen2 (x/2) = cos (2x/2) = cos ( x) dado que cos (2 a) = cos2 a – sen2 a
c) sen (3x) = 2sen (3x/2) cos (3 x/2) dado que sen (2 a) = 2sen a cos a
36. Prova que:
b) cos (2a) = 1 – 2 sen2 a
cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a ( cos2 a + sen2 a = 1 <=> cos2 a = 1 – sen2 a )
cos (2 a) = 1 – sen2 a – sen2 a <=> cos (2 a) = 1 – 2 sen2 a
c) cos x = 2 cos2 (x/2) – 1
cos (2 a) = cos 2 a – sen 2 a
cos ( a) = cos 2 (a/2) – sen 2 (a/2) ( cos2 a + sen2 a = 1 <=> sen2 a = 1 – cos2 a )
cos (x) = cos2 (x/2) – [ 1 – cos2 (x /2)]
<=> cos (x) = cos2 (x /2) – 1 + cos2 (x /2)
<=> cos (x) = 2 cos2 (x /2) – 1
37. Sendo sen β = 1/4 e cos β < 0 calcula o valor exacto de sen (2β ), cos (2β ) e tg(2β )
sen2 β + cos2 β = 1 ∧ cos β < 0 <=> cos β = —161
1− <=> cos β = —415 tg β =
4/15
4/1
− = –
1515
sen (2β ) = 2 sen β cos β = – 2 415
41 × = –
815
cos (2β ) = cos2 β – sen2 β = 22
41
415
−
− =
161
1615 − =
1614
= 87
tg(2β ) = β
β2tg1
tg2
− =
2
1515
1
1515
2
−−
−
=
22515
1
15152
−
−
=
22515225
15152
−
−
= 210225
15152 ×−
= 715−
39. Calcula:
b) a sen (2x) + b cos (2x) sabendo que tg x = a/b (põe b em evidência)
a sen (2x) + b cos (2x) = b[a/b sen (2x) + cos (2x)] = b[tg x sen (2x) + cos (2x)] cos(a - b)=cosacosb+senasenb
= b
+ )2cos()2(sen
cossen
xxxx
= b
+x
xxxxcos
)2cos(cos)2(sensen = b
−x
xxcos
)2cos( = b
xx
coscos
= b
LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Quando foram estudadas as propriedades das funções seno e co-seno foi visto que:
São funções contínuas em IR;
alim sensen =→
xax
e alim coscos =→
xax
;
Não existem xsen±∞→x
lim e xcos±∞→x
lim
Mas, x
xx
sen
0→lim conduz a uma indeterminação
0
0 , pois x → 0 e sen 0 = 0
A calculadora gráfica, embora apresentando erro, sugere que, quando x → 0, y = sen (x)/x → 1…
Verificação por via geométrica
Considere-se o ângulo ao centro AOP numa circunferência em que 1== OPOA e ao ângulo de x rad corresponde o arco AP com x unidades de comprimento.
Tem-se, também, que ´PP = sen x e AB = tg x
e pela análise da figura sen x < x < tg x
Dividindo por sen x : x
xx
xxx
sentg
sensensen
<< <=> xx
xx
xsencos
sensen
1 << <=> xx
xcos
1sen
1 <<
Quando x → 0, cos x → 1, logo xcos
1 → 1 e assim, 1
sen1 <<
xx
Conclui-se, assim, que x
xx sen0→lim = 1 e
xx
x
sen
0→lim = 1 dado que
xx
x
sen
1
0→lim
= 11
Sabe, tamém, que –1 ≤≤≤≤ sen x ≤≤≤≤ 1 e iguamente –1 ≤≤≤≤ cos x ≤≤≤≤ 1
Dividindo por x tem-se x
xx
1x
sen1≤≤
− e xx
1−+∞→
lim = xx
1
+∞→lim = 0 , logo
x
x
x
sen
+∞→lim = 0
Resumindo:
xx
sen0→xlim = 1 ;
xxsen
0→xlim = 1 ;
xxcos1 −
→0xlim = 0 ;
xxsen
+∞→xlim = 0 e
xxcos
+∞→xlim = 0
Também já foi visto que, no caso da tangente o Domínio é IR \
=2π
x + kππππ, k∈∈∈∈ZZ pelo que
xtg+
+→ ππ
k2
x
lim = –∞∞∞∞ ; xtg−
+→ ππ
k2
x
lim = +∞∞∞∞ e x
xtg
0→xlim = 1
B P 1 x
x
O 1 P´ A
sen
x
tg x
42. Calcula, caso exista:
c) x
x
x
sen
π→lim
xx
x
sen
π→lim =
π
π
π
sen
→xlim =
π
0= 0
d) x
x
x
cos
0→lim
xx
x
cos+→0
lim = +0
0cos = +0
1= +∞ e
xx
x
cos−→0
lim = −0
0cos = −0
1= –∞ não existe
xx
x
cos
0→lim
e) x
x
x
sen
−∞→lim
xx
x
sen
−∞→lim =
∞−−∈ ]1,1[k = 0 (trata-se do quociente de um número entre —1 e 1 a dividir por –∞)
f)
2
tg
2
ππ −→ x
x
x
lim
2
tg
2
ππ −+
→ x
x
x
lim = +
∞−0
= — ∞ e
2
tg
2
ππ −−
→ x
x
x
lim = −
+∞0
= — ∞
então, 2
tg
/π/2π −→ x
x
xlim = – ∞
i) ππ −→ xx
x
senlim
ππ −→ xx
x
senlim =
yy
y
)(sen π
0
+→
lim = y
y
y
sen−→0
lim = –1
Note-se que y = x – π <=> x = y + π quando x →π, y → 0 e sen (π + α) = – sen α
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
(sen x)´ = cos x (sen u)´ = u´.cos u
(cos x)´ = – sen x (cos u)´ = – u´sen u
(tg x)´ = x2cos
1 = 1 + tg 2 x (tg u)´ =
x
u´2cos
= u´(1 + tg 2 x)
43. Calcula a derivada para x = π/6 de:
b) g(x) = )2(sen
1x
g´(x) = 2)2(sen
)]´2(sen[1)2(sen1́
x
xx − =
2)2(sen
)2(cos)´2(0
x
xx− =
)2(sen
)2(cos22 x
x−
g´(π/6) = )3/(sen
)3/(cos22π
π− =
2
23
21
2
− =
431
/
− = – 4/3
d) s(x) = 2
)5(tg x
s´(x) = )5(2cos
)´5(2 x
x =
)5(2cos
52 x
s´(π/6) = )6/5(2cos
52π
= 2
23
2
5
=
43
2
5 =
43
2
5 =
235
= 3
10
44. Determina e simplifica, se possível, uma espressão da função derivada de cada uma das funções seguintes:
a) f(x) = x
xxcos
cossen1 ++
f´(x) = x
xxxxxx2cos
)cossen1)´((cos)´coscossen1( ++−++
= x
xxxxxx2cos
)cossen1(sencos)sencos( +++−
= x
xxxxxxx2
22
cos
cossensensencossencos +++− (sen2 x + cos2 x = 1)
= x
x2cos
sen1+ =
x
x2sen1
sen1
−+
, x ≠ kπ, k∈ZZ
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2 (sen u)’ = u´cos u
u´ (tg u)´= —————— cos2u
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2
(sen x)’ = cos x (cos x)´ = —sen x
b) g(x) = 2 + tg x + xtg
1
g´(x) = 0 +x2cos
1+
x
xx2tg
1)´tg(tg1́ ×− =
x2cos
1+
x
xx
2
2
2
cos
sencos
1−
= x2cos
1–
x2sen
1 =
xx
xx22
22
cossen
cossen − =
xx
xx22
22
cossen
)sen(cos −−=
xx
x22 cossen
)2cos(−
c) h(x) = 2 sen2x
h´(x) = 2
2cos
2´ xx
= 2
2cos
21 x
=
2cos
x
d) r(x) = x + senxπ
r´(x) = x´ +
xxππ
cos´ = 1 + 2
´
x
xx ´ππ −
xπ
cos = 1 –2x
π
xπ
cos
e) s(x) = 4 + x
xcos
sen48 −
r´(x) = 0 + x
xxxx2cos
)´)(cossen48()´cossen48( −−−
= x
xxxx2cos
)sen)(sen48(coscos4 −−−−=
x
xxx2
22
cos
sen4sen8cos4 −+−
=x
xxx2
22
cos
)cossen(4sen8 +− =
x
x2cos
4sen8 − (sen2 x + cos2 x = 1)
f) t(x) = 7 + 5 cos30xπ
t´(x) = 0 +
−
30sen
305
´xx ππ
=
−
30sen
305
xππ = –
30sen
6xππ
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2 1 (tg x)´= ——————— cos2 x
(sen u)’ = u´cos u
(sen u)’ = u´cos u
(sen x)’ =cos x (cos x)’ = —sen x
u’v — uv´ (u/v)´= ——————— v2
(cos u)’ = u´(—sen u)
Aplicação das Derivadas ao estudo da Monotonia e sentido da Concavidade
Função seno
Monotonia Concavidade
f´
f´´
Função co-seno
Monotonia Concavidade
g´
g´´
Função tangente
Monotonia Concavidade
h´=x2cos
1 h´´= ´
2cos
1
x=
x
xx4
2
cos
1)´(cos2´cos1 ⋅−=
x
xx4cos
)sen(cos20 −−=
x
xx4cos
cossen2
x 0 π/2 3π/2 2π
f´(x) = cos x + 0 – 0 +
f(x) = sen x � max � min �
x 0 π 2π f´´(x) = –sen x 0 – 0 + 0
f(x) = sen x ∩ PI ∪
x 0 π/2 3π/2 2π
g´´(x) = –cos x – 0 + 0 –
g(x) = cos x ∩ PI ∪ PI ∩
x 0 π 2π g´(x) = –sen x 0 – 0 + 0
g(x) = cos x � min �
x –π/2 0 π/2
h´(x) +∞ + 1 + +∞
h(x) nd � � � nd
x –π/2 0 π/2
h´´(x) 0 – 0 + 0
h(x) nd ∩ PI ∪ nd
Ponto de inflexão
Pontos de inflexão
Ponto de inflexão Assimptotas
46. Determina os intervalos de monotonia, extremos e estuda o sentido de concavidade do gráfico e esistência de pontos de inflexão da função
f: [0 , 2π] → IR
x 2x
– sen x
Estudo da monotonia e extremos
f´(x) = )´cos(2
´ xx −
= xcos
21 −
f´(x) ≥ 0 <=> xcos21 − ≥ 0 <=> –cos x ≥ –1/2 <=> cos x ≤ 1/2 <=> x ≥ π/3 ∧ x ≤ 5π/3
f é decrescente x ∈[0 , π/3] ∪ [5π/3 , 2π]
f é crescente x ∈[π/3 , 5π/3]
Mínimo relativo: f(2π) = 2
2π– sen 2π = π – 0 = π
Mínimo absoluto: f(π/3) = 23/π
– sen
3π
= 263π
− = 6
33π −
Máximo relativo: f(0) = 0 – sen 0 = 0
Máximo absoluto: f(5π/3) = 2
3/5π– sen
35π
=
−−
26
5 3π=
6335π −
Estudo do sentido da concavidade e pontos de inflexão
f´´(x) = 0 – (cos x)´ = – (–sen x ) = sen x
f´´(x) = 0 <=> sen x = 0 <=> x = π v x = 2π
f tem um ponto de inflexão para x = π
f tem concavidade lotada para cima quando x ∈ ]0 , π[ e voltada para baixo quando x ∈ ]π , 2π[
Coordenadas do ponto de inflexão f(π) = 2π
– sen π = 2π
– 0 = 2π
PI(π , π/2 )
47. Determina a expressão geral das abcissas dos pontos onde as rectas tangentes ao gráfico g(x) = 3 sen2(2x) têm declive –3.
g´(x) = 3 [sen (2x) 2]´ = 3 x 2 sen (2x)[sen (2x)]´ = 6 sen(2x)(2x)´cos(2x)
= 6[2 sen(2x) cos(2x)] = 6 sen(4x) (2 sen α cos α = sen(2α) )
g´(x) = – 3 <=> 6 sen(4x) = –3 <=> sen(4x) = – 1/2 <=> 4x = 7π/6 + 2kπ v 4x = –π/6 + 2kπ, k∈ZZ
<=> x = 11π/24 + kπ/2 v x = –π/24 + kπ/2, k∈ZZ
x 0 π/3 5π/3 2π
f´ – 0 + 0 – f � min � máx �
π/3 5π/3
x 0 π 2π f´´ + 0 – f ∪ PI ∩
7π/6 -π/6
48. Seja f a função definida em IR por f(x) = 2
x
e cos x
Prova que f e tem pelo menos um extremo relativo no intervalo ]0 , π/2 [
f´(x) = ( )́2/xe cos x + )´(cos2/ xxe = 2
2/xecos x – sen x 2/xe = 2/xe
− xx sencos21
f´ é contínua em [0 , π/2 ]
f´(0) = 2/0e
− 0sen0cos21
= 1(1/2 x 1 – 0) = 1/2 , pelo f´(0) > 0
f´(π/2) = 4/πe
−2
sen2
cos21 ππ
= 4/πe (1/2 x 0 – 1) = 4/πe (–1/2 ), pelo f´(π/2) < 0
Assim, o Teorema de Bolzano garante que f´ tem, pelo menos, um zero em ]0 , π/2[
Se f´ = 0 num ponto neste intervalo, então f tem um extremo no neste intervalo.
57. Quatro aldeias nos vértices de um quadrado de lado 1 km. Para ligar as quatro aldeias, uma companhia de telefones concluiu que a solução mais económica é do tipo apresentado na figura.
a) Mostra que o comprimento total do cabo gasto,
em função de α, é C(α) = 1 + α
α
cossen2 −
, 0 ≤ α ≤ 0
b) Calcula C(0) e C(π/4) e interpreta os resultados obtidos referindo a forma das ligações.
c) Mostra que C’(α) = α
α
2cos
sen2 1− e determina o valor exacto do comprimento total
mínimo do cabo
a) AB
AC= cos α <=>
AB
5,0= cos α <=> AB =
αcos5,0
AC
BC= tg α <=> BC = 0,5 tg α
BD = 1 – 2 BC = 1 – tg α
C(α) = 4 AB + BD = 4αcos
5,0 + 1 – tg α = 1 +
αα
α cossen
cos2
− = 1 + α
αcos
sen2 −
α α
α α
α α
D
B α α A 0,5 C
b) C(0) = 1 + 0cos
0sen2 −= 1 +
102 −
= 3
C(π/4) = 1 +
−
4cos
4sen2
π
π
= 1 +
2222
2 −= 1 +
22
224 −
= 1 + 22
228 −= 1 +
2
24 −=
2
242 −+
C(π/4) = 2 2 ≈ 2,83
Se α = 0 temos uma ligação do tipo 1, pelo que C(0) = 1 + 1 + 1 = 3
com maior consumo de material.
Se α = π/4 obtem-se uma ligação do tipo 2, sendo o comprimento
do cabo dado pela soma das duas diagonais do quadrado de lado 1, ou seja 2 2 e gastando menos material.
c) C’(α) = 0 + α
α)´α)((αα)´2cos
cossen2cossen2( −−− =
α
α)α)(-(αα
2cos
sensen2coscos −−−
= α
ααα
2
22
cos
sensen2cos −− + =
α
αα)α
2
22
cos
sen2cossen( ++−=
α
α
2cos
1sen2 −
C’(α) = 0 <=> α
α
2cos
1sen2 −= 0 <=> 2sen α – 1 = 0 ∧ cos2 α ≠ 0 <=> sen α = 1/2 ∧ α ≠ 0
<=> α = π/6, α∈[0 , π/4]
2sen α – 1 > 0 <=> sen α > 1/2 <=> α > π/6
Como se verifica pelo quadro de monotonia, C tem um mínimo para α =π/6 , assim
C(π/6) = 1 +
−
6cos
6sen2
π
π
= 1 +
2
5,02
3
−= 1 +
3
14 −= 1 +
33 3
= 1 + 3
58. O número de pessoas na fila do Oceanário, num certo dia, pode ser dado, aproximadamente, em dezenas, por
N( t ) = a – b cos 20
tπ
Sendo t o tempo em minutos a partir das 9h 30m (a , b ∈IR+).
a) Sabendo que às 10h 30m estavam 130 pessoas na fila e que o número mínimo de pessoas na fila é 30, mostra que a = 8 e b = 5.
b) Determina a que horas a fila atinge pela primeira vez 105 pessoas.
Tipo 1 Tipo 2
x 0 π/6 π/4 C´ – 0 + C � min �
a) Às 10h 30m representa 60 minutos após o início de t, ou seja, quando t = 60 havia 13
dezenas de pessoas na fila.
Por outro lado, N( t ) é mínimo quando – b cos ( ππππt/20) for máximo, o que acontece quando
cos α = 1, ou seja, quando cos (πt/20) = 1, e nesse instante há 3 dezenas de pessoas. Então:
cos (πt/20) = 1 <=> a – b = 3 ∧ a – b cos(60π/20) = 13
=−++=
13)3cos(3
3
πbbba
<=>
=−−++=
13)1(3
3
bbba
<=>
=+=
10
3
2bba
<=>
==
5
8
ba
60. Salto de rã.
O modelo matemático que descreve o salto de um animal é
y = x tgθ – θ22
2
cos
9,4
v
x
onde y é a altura em função do avanço x na horizontaI; θ é o ângulo com a horizontal em graus; v é a velocidade inicial.
Determina a altura máxima atingida por uma rã que salta com velocidade de 4,57 m/s fazendo 30º com a horizontal.
A velocidade do movimento é dada pela 1ª derivada da função, logo:
y´ = (x tgθ )´ – ´cos
9,422
2
θv
x = tgθ – )´(cos
9,4 222
xv θ
= tgθ – θ22 cos
8,9
v
x
Verificar para que valor de x y´= 0 sabendo que θ = 30º e v = 4,57
y´ = 0 <=> tg 30º – º30cos57,4
8,922
x = 0 <=>
33
– 2
2
23
57,4
8,9
x = 0 <=> 33
–
43885,20
8,9×
x = 0
<=> 655,622,39 x
= 33
<=> 655,622,39 x
= 33
<=> x ≈ 32,393655,62
× <=> x ≈ 0,923
A função derivada é positiva à esquerda e negativa à direita do zero, logo a função tem um máximo para x ≈ 0,923, sendo o valor do máximo:
y(0,923) = 0,923 tg 30º – º30cos57,4
)923,0(9,422
2
≈ 0,266
Portanto, a altura máxima do salto da rã é 0,266 m.
62. No movimento de um ponto sobre um eixo, a abcissa δ do ponto varia, em função do tempo t, de acordo com a equação:
δ( t ) = cos t – 3 sen t, t∈[0, 2π]
a) Mostra que
δ( t ) = – 2 sen (t – π/6)
b) Determina a maior distância a que o ponto está da origem.
c) Indica o contradomínio de δ( t ).
a) sen (π/6) = 1/2 e cos (π/6) = 3 /2 pelo que 2 sen (π/6) = 1 e 2 cos (π/6) = 3 , então:
δ( t ) = cos t – 3 sen t = cos t [2 sen (π/6)] – [2 cos (π/6)] sen t
= 2 cos t sen (π/6) – 2 cos (π/6) sen t [sen(a – b) = sen a cos b – sen b cos a]
= –2 sen t cos (π/6) – [ –sen (π/6) 2 cos t ]
= –2[sen t cos (π/6) + sen (π/6) 2 cos t ]
= –2 sen (t – π/6)
b) A maior distância a que o ponto está da origem corresponde ao máximo ou ao mínimo da
função (aquele que tiver maior valor absoluto).
δ( t ) = cos t – 3 sen t
δ´( t ) = –sen t – 3 cos t
δ´( t ) = 0 <=> –sen t – 3 cos t = 0 <=> sen t = – 3 cos t <=> 3cossen
−=tt
<=> tg t = – 3 <=> t = 2π/3 v t = 5π/3
Verificar qual dos extremos se encontra a maior distância
δ( 2π/3) = cos (2π/3) – 3 sen (2π/3) = – 1/2 – 3
23
= – 1/2 – 3/2 = – 2
δ( 5π/3) = cos (5π/3) – 3 sen (5π/3) = 1/2 – 3
−
23
= 1/2 + 3/2 = 2
O mínimo e o máximo da função encontram-se ambos à mesma distância da origem
c) A função desenvolve-se entre os valores mínimo e máximo, logo D’δ = [– 2 , 2]
2π////3
5π////3
t 0 2π/3 5π/3 2π
δ´ – 0 + 0 – δ � min � máx �
63. Uma caleira vai ser construída usando chapa de alumínio de 30 cm de largua e dobrando duas abas de 10 cm de cada lado.
a) Mostra que a área da secção da caleira pode ser dada em função de θ por
A(θ) = 100 sen θ (cos θ + 1), com 0 < θ < π/2
b) Determina o valor de θ para o qual a caleira tem maior capacidade.
a) 10AB
= cos θ <=> AB = 10 cos θ e 10BC
= sen θ <=> BC = 10 sen θ
A(θ) = 10 x 10 sen θ + 2 A[ABC] = 100 sen θ + 10 sen θ 10 cos θ = 100 sen θ (1 + cos θ )
b) Pretende-se saber para que valor de θ a área é máxima. Para tal deve-se determinar para que valor de θ A´(θ ) = 0
A´(θ) = 100 (sen θ )´(1 + cos θ ) + 100 sen θ (1 + cos θ )´
= 100 cos θ + 100 cos2 θ – 100 sen2 θ
= 100 (cos θ + cos2 θ – sen2 θ )
= 100 [cos θ + cos2 θ – (1 – cos2 θ )]
= 100 (cos θ + cos2 θ –1 + cos2 θ )
= 100 (2cos2 θ + cos θ – 1)
A´(θ) = 0 <=> 100 (2cos2 θ + cos θ – 1) = 0 <=> 2cos2 θ + cos θ – 1 = 0
cos θ = 4
)1(2411 −×−±− <=> cos θ =
431−−
v cos θ = 4
31+−
<=> cos θ = –1 v cos θ = 1/2 <=> θ = π/3 ∧ < θ < π/2
A´(θ) é positiva à esquerda e negativa à direita do zero, logo, A(θ) tem um máximo para θ = π/3
10 10 θ θ
10
C
10
θ A B
TI Maio 09 Observe atentamente a figura ao lado. O ponto P, partindo de A, desloca-se sobre a circunferência, dando uma volta completa, no sentido indicado pela seta.
O ponto Q desloca-se sobre a semi-recta AO& , seguindo o movimento do ponto P, de tal forma que se tem sempre PQ = 3.
Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem a semi-recta AO& e por lado extremidade a semi-recta PO& .
Seja d a função que, a cada valor de x pertencente a [0 , 2π], associa a distância, d(x), do ponto Q ao ponto O.
a) Considere as seguintes afirmações sobre a função d e sobre a sua derivada, .d´. I. d(0) = 2d(π) II. ∀x∈[0 , 2π], d´(x) < 0
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira, ou falsa.
Resolução Quando x = 0, o ponto P coincide com o ponto A, pelo que a distância de Q a O é igual a 3 + 1, ou seja, é igual a 4. Quando x = π, o ponto P coincide com o ponto B, sendo a
distância de Q a O é igual a 3 – 1, ou seja, é igual a 2.
Como d(0) = 4 e d(π) = 2, resulta d(0) = 2d(π), pelo que a afirmação I é verdadeira.
Quando x varia de 0 a π, o ponto P vai de A até B, percorrendo, no sentido directo, a semicircunferência que está acima do diâmetro [AB], pelo que o ponto Q se vai aproxi-mando do ponto O. Assim, no intervalo [0, π], d(x) diminui à medida que x aumenta, pelo que a função d é estritamente decrescente neste intervalo.
Passa-se o contrário quando x varia de π a 2π, ou seja, o ponto P vai de B até A, percorrendo a semicircunferência inferior, pelo que o ponto Q se vai afastando de O. Portanto, no intervalo [π , 2π], d(x) aumenta à medida que x aumenta, sendo a função d estritamente crescente no intervalo ]π , 2π[. Logo, a função derivada, d´, não pode ser negativa no intervalo [π , 2π], pelo que a afirmação II é falsa.
b) Defina analiticamente a função d no intervalo ]0 , π/2[
Sugestão: trace a altura do triângulo [OPQ] relativa ao vértice P, designe por R o ponto de intersecção desta altura com a semi- recta AO& , e tenha em conta que RQOROQ += .
Resolução Considerando RQOROQ += , temos:
OR = cos x e pelo Teorema de Pitágoras, 222RQPRPQ += <=> RQ = x2sen9 −
OQ = cos x + x2sen9 −
Assim, d(x) = cos x + x2sen9 − , x ∈]0 , π/2[
P 1 3 B O x A Q d(x)
P
1 sen x 3 O x R Q cos x d(x)
CONJUNTO ℂℂℂℂ — NÚMEROS COMPLEXOS
O que até a este nível de escolaridade sempre foi considerado um mistério — uma impossibilidade em IR — vamos tratar seguidamente.
Aceitando que x2 = — 1, qual o valor de x?
Usando as regras de cálculo em IR seria: x2 = — 1 <=> x = ±±±± 1− <=> x = 1− <=> x =— 1−
Mas, em IR , 1− não tem significado!
Tal como sempre se faz quando existe uma incógnita, vamos substituir 1− por i
Então, i2 = —1 , e (—i)2 = —1
Assim, continuando a admitir que se mantêm as regras de cálculo em IR :
2i x 2i = 4i2 = 4(—1) = —4 , tal como 2 1− x 2 1− = 4 ( )21− = —4
e que 0 x i = 0
então admite-se que 4 = 4 + 0i e 3 x i x i = 3i2 = –3
representando i um número imaginário (a unidade)
Surge uma nova definição de Número complexo como sendo todo o ente que pode escrever-se na forma
a + bi com a, b ∈IR , sendo i2 = —1
Um número natural pode, assim, representar-se como elemento de qualquer dos conjuntos
Inteiro Racional Real Irracional Complexo Imaginário
2 = 24 = 1
33 = 1+ 1= 4 = eln2 = 2 + 0i = —2i2
Como operar números como 3 i , i32
, – 3 i, 1 + 5i, … ?
—3 —0,2 e π 2 + i
2 IN ZZ 7/3 — 5 3i
QI IR CI
ZZ = IN ∪ {0} ∪ {inteiros negativos}
QI = ZZ ∪ {fraccionários}
IR = QI ∪ {irracionais}
CI = IR ∪ {imaginários}
FORMA ALGÉBRICA DE UM COMPLEXO
Tal como x ou y identificam vulgarmente um número real, um complexo é identificado por z e constituído por duas partes:
z = a + bi ou z = x + yi parte parte real imaginária
exemplos:
z = 2 — 3i: Re(z) = 2 e Im(z) = —3; a parte imaginária é —3i
z = — 3 + i : Re(z) = — 3 e Im(z) = 1; a parte imaginária é i
z = —5i : Re(z) = 0 e Im(z) = —5; designa-se imaginário puro
z = 2 + 0i : Re(z) = 2 e Im(z) = 0; trata-se de um número real
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Raízes quadradas
No conjunto dos números complexos, todo o número real negativo k tem duas raízes quadradas: k− i e — k− i
Ex: se x = – 81 <=> x = 81− v x = – 81− <=> x = )1(81 − v x = – )1(81 − <=> x = 9i v x = –9i
se x = – 50 <=> x = 50− v x = – 50− <=> x = )2(25 − v x = – )2(25 −
<=> x = 5 2 i v x = –5 2 i
se x2 – 4x + 5 = 0 <=> x = 2
44 −± <=> x =
224 i±
<=> x = 2 + i v x = 2 – i
Igualdade
Dois números complexos a + bi e c + di dizem-se iguais se e só se têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginárias também iguais
a + bi = c + di <=> a = c ∧∧∧∧ b = d
Ex: 2 + 3i = 4 + 39 i ; x + yi = 2i <=> x = 0 ∧ y = 2
Conjugados
Dois números complexos dizem-se conjugados e representam-se por z e z quando têm as partes reais iguais e os coeficientes das partes imaginárias simétricos
a + bi e a — bi são conjugados ou seja a + bi = a — bi
Ex: 2 + 3i = 2 – 3i ; 4 – 5i = 4 + 5i = 4 – 5i
x = Re(z) y = Im(z) coeficiente da parte imaginária
Adição
A adição em ℂℂℂℂ goza das propriedades Comutativa, Associativa, Elemento Neutro e Elemento Oposto (simétrico).
Na adição de dois números complexos, adicionam-se partes reais com partes reais e partes imaginárias com partes imaginárias
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ
Ex: (2 + 3i) + (4 – 5i) = (2 + 4) + (3 – 5)i = 6 – 2i
Subtracção
Tal como em IR , subtrair dois números complexos é adicionar ao primeiro o simétrico do segundo
(a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ
Ex: (2 + 3i) – (4 – 5i) = (2 + 3i) + (–4 + 5i) = (2 – 4) + (3 + 5)i = –2 + 8i
Multiplicação
A multiplicação em ℂℂℂℂ goza ainda da propriedade Distributiva.
Efectuando a multiplicação de binómios e tendo em conta que i2 = —1,
(a + bi) x (c + di) = (ac — bd) + (ad — bc)i , ∀∀∀∀a + bi , c + di ∈∈∈∈ ℂ
Ex: (2 + 3i) . (4 – 5i) = 2 x 4 – 2 x 5i + 3 x 4i + 3(–5)i2 = 8 + 2i – 15(–1) = 23 + 2i
Soma e Produto de Complexos Conjugados
A soma e produto de dois números complexos conjugados são números reais
(a + bi) + (a — bi) = a + a + bi — bi = 2a
(a + bi) (a — bi)* = a2 — abi + abi – b2i2 = a2 – b2i2 = a2 – b2(–1) = a2 + b2 *diferença de quadrados
Se z = (a + bi) tem-se z + z = 2a e z x z= a2 + b2
Ex: (3 + 4i) + (3 – 4i) = 2 x 3 = 6
( 2 – i) + ( 2 + i) = 2 2
Ex: (2 + 3i) . (2 – 3i) = 22 + 32 = 13
162. Determina a de modo que:
a) z = 3a + (a + 2)i seja um número real
b) z = (a – 2) + (a2 – 4)i seja um imaginário puro
a) Para ser um número real, é necessário que a + 2 = 0 e 3a ≠ 0, logo a = –2 e z = 1
b) Para ser um imaginário puro, é necessário que a – 2 = 0 e a2 – 4 ≠ 0
a – 2 = 0 <=> a = 2 ∧ a2 – 4 ≠ 0
mas 22 – 4 = 0 , logo, (a – 2) + (a2 – 4)i não pode ser um imaginário puro
165. Determina os valores de k e s para os quais:
a) s + 3ki = 2 + 5i
b) k + 2i = i2 + s2i
c) 2 ki = s + (2 – s)i
É necessário que as partes reais sejam iguais e as partes imaginárias sejam iguais, logo
a) s = 2 e 3k = 5 <=> k = 5/3
b) Como i2= –1 temos k + 2i = –1 + s2i pelo que k = –1 e s2 = 2 <=> s = ± 2
c) 2 ki = s + (2 – s)i se s = 0 e 2 k = 2 – s, como s = 0 temos 2 k = 2 <=> k = 2
168. Determina a e b de modo que:
b) a – b + (a + 2b)i = b + 1 + i + bi
b) a – b + (a + 2b)i = b + 1 + i + bi <=> a – b + (a + 2b)i = (b + 1) + (b + 1)i
a – b = b + 1 ∧ b + 1 = a + 2b <=> a – b = a + 2b <=> 3b = 0 ∧ a = 1
169. Escreve dois números complexos, nem reais nem imaginários puros, cuja soma seja:
a) um número real (3 + i) + (2 – i) ou ( 2 + 3i) + (2 – 3i) …
b) um imaginário puro (3 + i) + (–3 + i) ou ( 2 + 3i) + (– 2 – i) …
c) 5 – 2i (3 – i) + (2 – i) ou (1+ 3i) + (4 – 5i) …
170. Determina o número que adicionado com 2 – 3i é igual a:
a) 5i
b) – 1 + i
a) 2 – 3i + (x + yi ) = 5i <=> 2 + x = 0 ∧ –3i + yi = 5i <=> x = – 2 ∧ y = 3 + 5
z = – 2 + 8i
b) 2 – 3i + (x + yi ) = –1 + i <=> x + 2 = –1 ∧ yi – 3i = i <=> x = –1– 2 ∧ yi – 3i = 1i
<=> x = –1– 2 ∧ yi = 1i + 3i z = –1– 2 + 4i
172. Escreve na forma a + bi os números:
a) 2i (2 – 3i) = 4i – 6i2 = 4i –6(–1) = 6 + 4i
b) (1 – i )(1 – 2i) = 1 – 2i –i + 2i2 = 1 – 3i + 2(–1) = –1 – 3i
d) (x + i)(2 – xi) = 2x – x2i + 2i – xi2 = 2x – x2i + 2i – x(–1) = 3x – x2i – 2i = x + (2 – x2)i
174. Determina o conjugado de:
a) (2 + 3i ) + (5 – i )
b) 2i (3 + 2i )
a) (2 + 3i ) + (5 – i ) = 7 + 2i
z = 7 + 2i z = 7 – 2i
b) 2i (3 + 2i ) = 6i + 4i2 = – 4 + 6i
z = –4 + 6i z = –4 – 6i
Potenciação
As potências de expoente inteiro, positivo ou negativo, são definidas como em IR:
(a + bi) x (a + bi) x … x (a + bi) = (a + bi)n e (a + bi)–n = 1
(a + bi)–n
Consequências
i3 = i2 i = –i ; i4 = i2 i2 = –1(–1) = 1 ; i5 = i4 i = i ; i6 = i4 i2 = –1 ; i7 = i6 i = –1i …
calculando n : 4 = k + resto � se resto = 0 , i4k = 1 � se resto = 2 , i4 k+ 2 = i2 = –1
� se resto = 1 , i4k+ 1 = i � se resto = 3 , i4 k+ 3 = i3 = –i
Divisão
Como em IR, dividir dois números é multiplicar o primeiro pelo inverso do segundo:
Se z1 = a + b i e z2 = c + di com a , b , c , d ∈IR e c + di ≠ 0
z1 : z2 = z1 x 2z1
= 2
1
z
z = ic
bid
a
++
= )()
)() ((
ici
icbi
d
dc
d
a
−−
×++
= 22
2
d
adac
cdicdic
bdibcii
−+−+−
−=
22
)(
d
adac
c
ibcbd
−−++
2
1
zz
= ic
bc
c
bd
d
ad
d
ac2222 −
−+−+
Na prática:
� Se z2 é um numero real, a divisão é imediata:
ex: (4 + 3i) : 2 = 2
34 i+ =
23
24 i+ = 2 + i
23
� Se z2 não é um numero real, transforma-se z1/z2 numa fracção equivalente com
denominador real, multiplicando ambos os membros pelo conjugado do denominador:
ex: ii
2131
+−
= ii
ii
2121
2131
−−
+−
× = 2
2
41
6321
i
iii
−−− +
= 41
)32()61(+
+−− i =
555 i−−
= –1 – i
176. Escreve na forma a + bi os números:
a) (1 – 5i)2
b) (1 + i )3
d) (1 – i)2 – (1 – i)2
a) (1 – 5i)2 = (1 – 5i)(1 – 5i)
= 1 – 5i – 5i + 25i2
= 1 – 10i + 25(–1)
= –24 – 10i
b) (1 + i )3 = 1 + 3i + 3i2 + 1i3 (nC01ni0 + nC11
n–1i1 + … + nCn10in) Binómio de Newton
= 1 + 3i + 3(–1) + (–1) i
= –2 + 2i
d) (1 + i)2 – (1 – i)2 = 1 + 2i + i2 – (1 – 2i + i2)
= 1 + 2i + i2 – 1 + 2i – i2
= 4i
177. Resolve em ℂ as equações:
a) 1 + z – i = 3i2 (i + 1)
c) z + 1 = (1 – i)2
a) 1 + z – i = 3i2 (i + 1) <=> z = –1 + i + 3i3 + 3i2
<=> z = –1 + i – 3i – 3
<=> z = –4 – 2i
c) z + 1 = (1 – i)2 <=> z = –1 + 1 – 2i + i2
<=> z = –1 – 2i
178. Determina a e b ∈ IR de modo que 1 – i seja solução da equação:
b) z2 + az – 2bi = 1
z2 + az – 2bi = 1 <=> (1 – i )2 + a(1 – i ) – 2bi = 1
<=> 1 – 2i + i2 + a – ai – 2bi – 1 = 0
<=> 1 – 2i – 1 + a – ai – 2bi – 1 = 0
<=> – 2i + a – ai – 2bi – 1 = 0
<=> (a –1) – (a + 2b + 2)i = 0
<=> a –1 = 0 ∧ a + 2b + 2 = 0
<=> a = 1 ∧ 1 + 2b + 2 = 0
<=> a = 1 ∧ b = –3/2
180. Escreve na forma algébrica:
a) i−3
2
b) ii
−+
11
a) i−3
2 = ii
i ++
−×
33
32
= 1926
++ i
= 102
106 i+ = i
553 1+
b) ii
−+
11 =
ii
ii
++
−+
×11
11
= 11
21 2
++ + ii
= 221 1−+ i
= i
181. Resolve em ℂ as equações:
a) (1 – i )z = 3i
c) i2z – 3i = i3z + 1
a) (1 – i )z = 3i <=> z = ))(1
)(11(3
iiii+
+−
<=> z = 13
13 2
++ ii <=> z =
23 3−i <=> z = i
23
23
+−
c) i2z – i = i3z + 1 <=> –z – i = –zi + 1 <=> z(–1 + i ) = 1 + i <=> z = ))())(
11(11(
iiii
−−+−−−+
<=> z = 11
1 2
+−−−− iii <=> z =
22i− <=> z = –i
182. Calcula:
a) i300
b) ( – i)27
d) i2k + 1 , k ∈IN
a) i300 = (i4)75 = 175 = 1 c. a. 300:4 = 75
b) ( – i)27 = [( – i)4]6 ( – i)3 = 16 x ( –1)i3 = 1 x (–1)(–1)i = i c. a. 27:4 = 6 resto 3
ou ( – i)27 = (–1)27 i4 x 6 + 3 = –1 x i2 x i = –1(–1)i = i
d) i2k + 1 , k ∈IN
i2k x
i = i se k par ou – i se k ímpar
183. Calcula z na forma a + bi, sendo:
a) z = i
ii−
−−1
5)21( 272
a) z = i
ii−
−−1
5)21( 272
= i
iii−
−−+−1
)(5441 2
= i
i−
−+1
41 =
))())((
11(13
iiii
+−+− +
z = 11
33 2
+−− ++ iii
=11
3 1+
− −− i = – 2 – i z = –2 + i
184. Resolve em ℂ as equações:
b) 3424
)34)(23(−+ −
− −nn ii
ii = (1 – 2i)z
b) 3424
)34)(23(−+ −
− −nn ii
ii = (1 – 2i)z <=> 32
28129 6−−
+− −+ii
iii = (1 – 2i)z
<=>
3
11
8189
i
i
−−
+− + = (1 – 2i)z
<=>
i
i
−−−
+−1
1
181 = (1 – 2i)z <=> (1 – 2i)z =
ii
i
−
+−− 1
181
<=> (1 – 2i)z = 1181( )
−+−−
iii <=> z =
)21)(118
(
2
iiii−
−−
<=> z = iii
i
212
182 +−
+
− <=> z =
ii
3118
++
<=> z = ))))
31(31(31(18(iiii
−+−+ <=> z =
9135418 2
+−+− iii
<=> z = 10
5321 i− <=> z = i1053
1021 −
186. Determina z ∈ ℂ de modo que z2 – 2z – 3 seja um número real.
Se z ∈ ℂ então z = x + yi
z2 – 2z – 3 = (x + yi)2 – 2(x + yi) – 3 = x2 + 2xyi + y2i2 – 2x – 2yi – 3 = (x2 – y2 – 2x – 3) + 2y(x – 1)i
Para que seja um número real Im(z) = 0, logo 2y(x – 1) = 0 <=> y = 0 v x = 1
Para y = 0 temos z = x2 – 2x – 3 , ∀x∈IR, z∈IR
Para x = 1 temos z = 12 – y2 – 2 – 3 + 2y(1 – 1)i <=> z = – y2 – 5, ∀y∈IR, z∈IR
Assim, z = 1 + yi v z∈IR
Relação de ordem em ℂ
Em ℂℂℂℂ não se pode definir uma relação de ordem “maior que”, como em IR .
Tal relação, a existir, obrigaria a que, como i ≠ 0 então i teria de ser positivo ou negativo, o que não acontece, pois
� Se i fosse positivo, então i x i > 0, mas foi condição de partida que 1− = i e i2= —1;
� Se i fosse negativo, então i x i > 0 , dado que o produto de dois números negativos é um número positivo.
Em ℂ não se fala em números positivos nem em números negativos, pelo que não se estabelecem relações do tipo z1 > z2 ou z2 > z1.
A comparação entre complexos resume-se a z1 = z2 ou z1 ≠≠≠≠ z2
Não sendo possível ordenar ℂ numa recta, é possível a sua representação geométrica e vectorial no plano complexo ou plano de Argand, em que os números imaginários são marcados no eixo vertical.
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA E VECTORIAL DE UM COMPLEXO
Sendo z = x + yi faz-se corresponder z a um ponto P num plano de coordenadas (x, y) em que x = Re(z) e y = Im(z)
No eixo Ox (designado eixo real — e.r.) representam-se as partes reais Re(z), dos complexos;
No eixo Oy (designado eixo imaginário — e.i.) representam-se os coeficientes das partes imaginárias, Im(z).
No exemplo:
P é a imagem geométrica de z = 2 + 3i ur é a representação vectorial de z
Q “ “ “ z1= –1 + 2i vr “ “ “ z1
R “ “ “ z2= –2 – i wr “ “ “ z2
S “ “ “ z3= 3 – i xr “ “ “ z3
A “ “ “ i
e.i.
P(2,3) z = a + bi Q(–1,2) v
r A i u
r
O e.r. w
r x
r
R(–2,–1) S(3,–1)
ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
No exemplo:
P z1 = 3 + 2i Q z2 = –1 + 2i S z = 2 + 4i e z1 + z2 = ( 3 + 2i ) + ( –1 + 2i ) = 2 + 4i
ur
= (3 , 2) vr
= (–1, 2) e sr
=ur
+ vr
= (3 , 2) + (–1, 2) = (2 , 4)
A adição de números complexos corresponde à adição das suas imagens vectoriais
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Multiplicação de z = a + bi por i Multiplicação de z = a + bi por –i
caso geral iz = –b + ai caso geral –iz = b – ai
ex: z = 2 + 3i iz = (2+ 3i)i = 2i + 3i2 ex: z = 2 + 3i –iz = –i(2 + 3i) = –2i – 3i2 = 3 – 2i
iz = –3 + 2i Notar que: –iz = z/i pois1−
× = i
i
i
i
zz = –iz
A multiplicação de um número complexo A multiplicação de um número complexo por i (iz) corresponde à rotação do vector por —i (—iz) corresponde a rodar o vector 90º, que é a sua imagem vectorial segundo mas em sentido negativo um ângulo de 90º positivo
e.i.
S(2, 4) z = a + bi
Q(–1, 2) sr
P(3, 2)
vr
ur
O e.r.
e.i. P Q iz = –b + ai z = a + bi uv
rri= 90º u
r
–90º O e.r. uw
rri−=
R –iz = b – ai
Multiplicação de z1 = a + bi por z2 = c + di
exemplo: z1 = 2 + 3i e z2 = –1 + 2i
z1 x z2 = (2 + 3i)(–1 + 2i) considerando z2 como medida
z1 x z2 = –2 + 4i – 3i + 6i2 z1 x z2 = 2(–1 + 2i) + 3i(–1 + 2i)
z1 x z2 = –2 + 4i – 3i – 6 z1 x z2 = –2 + 4i – 6 – 3i
z1 x z2 = – 8 + i z1 x z2 = – 8 + i
caso geral:
Considerando z1 = a + bi x z2 = c + di e os vectores: ur
(a , b) e vr
(c , d)
z1 x z2 = (a + bi)(c + di)
z2 x z1 = (c + di) (a + bi)
z2 x z1 = 43421 r
u
)( bia +c + 43421 r
u
)( biadi +
ou seja: z1 x z2 = cur
+ diur
O vector mr
correspondente a z1 . z2 é mr
= cur
+ diur
, que é soma de um vector com a direcção de u
r (cu
r) com outro que lhe é perpendicular (diu
r)
e.i.
2i ur
v
r z2= –1 + 2i
c(a+bi) + di(a+bi) u
r z1=2 + 3i
z1 x z2 O e.r. –1u
r
e.i. 2 v
r
z2 = –1 + 2i v
r
c(a+bi) + di(a+bi) ur
z1=2 + 3i z1 x z2 90º O e.r. 3i v
r
190. a) Seja A a imagem de z = –1 + 2i e B a imagem de z num referencial de origem O.
Qual a área do triângulo [AOB]?
b) Que polígono tem por vértice as representações geométricas de z = a + bi, z , –z e – z ?
a) Se z = –1 + 2i z = –1 – 2i
A[AOB] = 2
ABOC × =
241×
= 2
b) A z = a + bi, B z = a – bi, C –z = —a – bi D – z =—a + bi
AB = 2| a | AD = 2| b |
P[ABCD] = 2 AB + 2 AD = 4| a | + 4| b | = 4(| a | + | b |)
A[ABCD] = AB x AD = 2| a | x 2| b | = 4| a | x | b |
192. No referencial representado, o raio de uma das circunferências é o dobro do raio da outra. Supondo que Pi é a imagem do número complexo zi, exprime z2, z3, z4, z5 e z6 em função de z1.
z2 = 21
z1 porque 2
12
OPOP =
z3 = – z1 porque 13 OPOP = e 13 OPOP −=
z4 = z 1 considerando z1 = a + bi então z4 = a – bi
z5 = 2
1zi porque
21
5OP
OP = e rotação de 90º
z6 = i1z
= – iz1 porque 16 OPOP = e rotação de —90º
193. Considera os números complexos z1 = —2 + 3i e z2 = 3 — i. Efectua por via vectorial e confirma algebricamente os resultados de:
a) z1 + z2 b) z1 . z2
a) z1 + z2 = –2 + 3i + 3 – i = 1 + 2i
b) vr
(3 , –1) ur
(–2, 3) z1.z2 = cur
, di ur
z1 . z2 = 3( –2 + 3i ) – i( –2 + 3i )
z1 . z2 = –6 + 9i + 2i – 3i2
z1 . z2 = + 9i + 2i + 3
z1 . z2 = –3 + 11i
A ei
C O er
B
ei B b A
–a o a er
C –b D
e.i. P1
P2
P5
O e.r.
P6
P3 P4
e.i.
z1 z1+z2
o e.r. z2
e.i. z1.z2 10
8
6
3 ur
2
ur
–i ur
– 4 –2 o 2 e.r.
COORDENADAS POLARES
Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas
P ( 4, π/3) P 4( 1/2, 23 ) = (2, 2 3 )
Q ( 2, –π/6 ) Q 2( 23 , – 1/2)=( 3 , –1)
R (3, π ) R (– 3 , 0)
S ( 2 , 2π/3 ) S 2 ( –1/2, 23 ) = (–1, 3 )
Coordenadas Polares Coordenadas Cartesianas P ( r , θθθθ + 2ππππk), k ∈ ZZ P (r cos θθθθ, r sen θθθθ)
194. Num sistema de coordenadas polares marca os pontos A(2, π/4), B(1, –2π/3) e C(3, π)
197. Considera um quadrado [ABCD]. Escreve as coordenadas polares dos vértices tomando AC para eixo, o centro do quadrado para origem e o comprimento da diagonal para unidade.
AC = 1
Cartesianas Polares
A( 1/2 , 0) A( 1/2 , 0)
B( 0 , 1/2) B( 1/2 , π/2)
C(–1/2 , 0) C( 1/2 , π)
D( 0 , –1/2) D( 1/2 , –π/2)
198. A figura representa um hexágono regular com centro em O. Determina as coordenadas polares dos vértices do polígono, tomando O como origem, Ox como eixo e o lado do hexágono para unidade.
Sendo um hexágono regular, 1=== OBABOA e OÂB = π/3
A(1 , π/6 ) B(1 , π/2) C(1 , 5π/6 )
D(1 , –5π/6 ) E(1 , –π/2) F(1 , –π/6 )
P
S
R
Q
P
S
R
Q
B
C A
D
B
C A
O
D F
E
A
C o 1 2 3 B
REPRESENTAÇÃO TRIGONOMÉTRICA DE UM COMPLEXO
Forma algébrica Forma Trigonométrica
z = a + bi z = ρρρρ cos θθθθ + (ρρρρ sen θθθθ) i
a = ρρρρ cos θθθθ z = ρρρρ (cos θθθθ + i sen θθθθ)
b = ρρρρ sen θθθθ z = ρρρρ cis θθθθ
ρρρρ = OP é o módulo de z, sendo |z|= ρρρρ = 22 ba +
θθθθ = arg z é o argumento de z, com θθθθ = θθθθ + 2ππππk, k∈ZZ e ] –ππππ, ππππ [ argumento principal
] 0, 2ππππ [ arg. positivo mínimo
Passar da forma Algébrica à forma Trigonométrica
z = a + bi ————————> z = ρρρρ cis θθθθ
ex: z = 2 + 2i
θθθθ = π/4 e ρρρρ = |z| = 22 22 + = 8 = 22
logo z = 22 cis (π/4)
z = —1 + 3 i
ρρρρ = |z| = 31+ = 2 pelo que z = –1 + 3 i = 2(–1/2 , 23 )
(cos θ, sen θ) = (–1/2 , 23 ) pelo que θ = 2π/3
Assim, z = 2 cis (2π/3)
z = 3 — 4i
tan—1 (— 4/3) ≈ – 0,93 e ρρρρ = |z| = 22 4)(3 −+ = 5
logo z = 5 cis (– 0,93)
e.i.
bi P z = a + bi
ρρρρ ρρρρ sen θθθθ θθθθ a O ρρρρ cos θθθθ e.r.
2i z 8
2
e.i. z 3
23 / –1 –1/2 1 2 e.r.
e.i. 3
o θ e.r.
–4 z
Passar da forma Trigonométrica à forma Algébrica
z = ρρρρ cis θθθθ ————————> z = a + bi
ex: z = 2 cis (ππππ/4) z = 2 ( cos π/4 + i sen π/4 )
z = 2 ( 22 + 22 i) z = 2 + 2 i
z = 2 cis
−2
7π = 2 cis
+−2
82
7 ππ
= 2 cis
2π
= 2 (cos π/2 , i sen π/2)
= 2 ( 0 , 1i )
z = 2 i
200. Calcula o módulo de cada um dos números complexos:
b) 12 – 5i
d) 3 – 3i
e) 2
62 i−
f) a + 2ai , a < 0
b) 22 )5(12 −+ = 25144 + = 169 = 13
d) ( ) 22
)3(3 −+ = 93 + = 12 = 2 3
e) 22
26
22
−+
=
46
42 + =
48
= 2
f) 22 )a2(a + = 25a = — a5 (sendo a < 0, terá que ser — a5 > 0 porque representa |z| )
2 i z 2 π/4
2
2 i z π/2
o
203.I. Escreve na forma algébrica os números:
a) 2 cis π/2
b) 2 cis (— 3π/2)
c) 3 cis 5π
z = ρ cis θ ————————> z = a + bi
a) 2 (cos π/2 , i sen π/2) = 2 (0 + i ) = 2i
b) 2 (cos (– 3π/2), i sen (–3π/2)) = 2 (cos π/2 , i sen π/2)
= 2 (0 + i ) = 2i
c) 3 (cos 5π , i sen 5π) = 3 (cos π , i sen π ) = 3 (–1 , 0) = – 3
203.
II. Escreve na forma trigonométrica os números:
a) —3
b) — 2 i
d) — 2 — 2 i
z = a + bi ————————> z = ρ cis θ
a) z = –3 + 0i
ρ = |z| = ( )23− z = ( )23− (cos π , i sen π) = 3 cis π
b) z = 0 — 2 i
ρ = |z| = ( )22− z = ( )22− (cos –π/2 , i sen –π/2) = 2 cis(–π/2)
d) z = — 2 — 2 i
ρ = |z| = ( ) ( )2222 −+−
z = ( ) ( )2222 −+− (cos –3π/4 , i sen –3π/4)
z = 22 + cis ( –3π/4)
z = 2 cis ( –3π/4)
–3π/2 = π/2
π
o
– i2
–3 o
– 2 o
– i2
205. Escreve na forma algébrica os números:
b) 2 cis (3π/4)
c) — cis (5π/4)
e) 20 cis
617π
b) z = 2 cis (3π/4)
z = 2 (cos 3π/4 + i sen 3π/4) = 2
+− i
22
22
= – i2
222
22 +
z = – 2 + 2 i
c) —z = — cis (5π/4)
z = cis (5π/4 + π) = cis (9π/4) = cis (π/4)
z = (cos π/4 + i sen π/4) = i22
22 +
e) z = 20 cis
617π
z = 20 cis
+6
56
12 ππ = 20 cis
65π
z = 20
+− i
21
23
= – 310 + 10i
209. Seja z = a + 2i. Determina a de modo que arg(z) = π/3
z = ρ cis(π/3) = ρ(cos π/3+ i sen π/3 ) = ρ( 1/2 + 3 /2 i)
ρ( 1/2 ) = a ∧ ρ
23 = 2 <=> ρ =
3
4 ∧ a = 3
4 x
21
a = 3
32
π/4
O 1
5π/4
5π/6
O 20
2i π/3
O a
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Dois Complexos na forma Trigonométrica são iguais se
z = w <=> | z | = |w| ∧∧∧∧ ∃∃∃∃ k ∈∈∈∈ ZZ : θθθθ = αααα + 2 k ππππ
CONJUGADO E SIMÉTRICO DE UM COMPLEXO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Complexo Conjugado
z = ρρρρ cis θθθθ z = ρρρρ cis (–θθθθ )
o mesmo módulo |z| = |z|
argumento —θθθθ + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ
z = |z| cis (–θθθθ )
Complexo Simétrico
z = ρρρρ cis θθθθ – z = ρρρρ cis (θθθθ + ππππ)
o mesmo módulo |z| = |—z|
argumento θθθθ + ππππ + 2kππππ, k ∈∈∈∈ ZZ
– z = |z|cis (θθθθ + ππππ )
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Soma (casos particulares )
Só se somam complexos com o mesmo argumento ou que diferem kπ, k ∈ ZZ
ex: 2 cis π/3 + 4 cis π/3 = 6 cis π/4 e 2 cis π/6 + 5 cis 7π/6 = 3 cis 7π/6
Produto
z1 x z2 = ρρρρ1cis θθθθ1 . ρρρρ2 cis θθθθ2 = ρρρρ1(cos θθθθ1 + i sen θθθθ1) . ρρρρ2 (cos θθθθ2 + i.sen θθθθ2)
= ρρρρ1 x ρρρρ2 (cos θθθθ1 cos θθθθ2 + i2 sen θθθθ1 sen θθθθ2) + i (sen θθθθ1 cos θθθθ2 + sen θθθθ2 cos θθθθ1)
cos (θθθθ 1 + θθθθ 2) sen (θθθθ 1 + θθθθ 2)
z1 x z2 = ρρρρ1 . ρρρρ2 cis (θθθθ1 + θθθθ2)
Divisão
2
1
zz
= z1 x 2z
1 = z1 x 2z
1 x 2
2
zz
= z1 x 22
2
|| zz
= ρρρρ 1cis θθθθ 1 x
22
22 )cis(
ρ
ρ θ− = ρρρρ 1cis θθθθ 1 x
2ρ
θ )cis( 2−
––– = ––– cis (θθθθ 1 – θθθθ 2)
e.i.
z = a + bi θθθθ + π θθθθ O –θθθθ e.r. –z = –a – bi z = a – bi
z1 ρρρρ 1 z2 ρρρρ 2
ex: z = 4 cis ( 2ππππ/3 )
z x i = 4 cis (2π/3 ) x cis (π/2 )
= 4 cis (2π/3 + π/2) = 4 cis (7π/6)
–2z
= – 1/2 z = 1/2 (–z) = 2 cis (2π/3 + π) = 2 cis (5π/3)
z x 2 cis ( π/3 ) = | 2z | cis (2π/3 + π/3) = 8 cis ( π )
z : [2 cis ( 2π/3 )] = | z/2| cis (2π/3 – 2π/3) = 2 cis ( 0 )
213. Seja z o número complexo de imagem P e argumento positivo mínimo θ.
a) Representa geometricamente o conjugado e o simétrico de z.
b) Determina o argumento positivo mínimo de z e — z.
b) O argumento positivo mínimo pertence a ]0 , 2π] a)
Se z tem argumento θ, então — z, por ser simétrico, tem argumento θ + 2π, que não pertence a ]0 , 2π]. Como θ ∈ ]π , 3π/2] então arg(—z) = θ — π
Se arg(z) = θ , arg( z ) = —θ , ∉ ]0 , 2π] por ser negativo Então arg( z ) = 2π — θ
Por ex. se θ = 7π/6 arg(–z) = 7π/6 – π = π/6 e arg( z ) = 2π – 7π/6 = 5π/6
214. Escreve na forma trigonométrica o conjugado e o simétrico de cada um dos números complexos seguintes e representa-os graficamente.
a) z1 = 5 cis 5π/3
c) z3 = 5 cis ( π/8)
a) z 1 = 5 cis (– 5π/3) = 5 cis (– 5π/3 + 2π) = 5 cis ( π/3);
– z1 = 5 cis (5π/3 + π) = 5 cis (8π/3) = 5 cis (2π/3)
c) z 3 = 5 cis ( –π/8); –z3 = 5 cis ( π/8 + π) = 5 cis ( 9π/8)
e.i.
z = 4cis( 2π/3)
8 cis ( π) i 2 cis ( π/3)
o e.r. zi – z/2
e.i. z –z θ
O e.r
P
e.i. z 1 –z1
θ
o e.r
z1
216. Seja θ o argumento de 6 — 8i. Representa na forma trigonométrica, em função de θ, o produto de i pelo conjugado de 6 — 8i.
Na forma algébrica na forma trigonométrica
|z| = 22 86 + = 100 = 10
z = 10 cis θ
z = 10 cis (–θ)
iz = 10 cis (–θ + π/2)
iz = 10 cis (π/2 – θ)
217. Sendo z1 = 4 cis(π/8) e z2 = 2 cis(—3π/4), escreve na forma trigonométrica z1.z2 e z1/z2
z1.z2 = 4 x 2 cis[π/8 + (– 3π/4)] = 8 cis(– 5π/8)
2
1
z
z=
24
cis[π/8 – (– 3π/4)], = 8 cis(π/8 + 3π/4) = 8 cis( 7π/8)
218.
a) Se z = ρ cis θ é um número complexo não nulo, escreve, na forma trigonométrica, o seu inverso.
z1
= θρ cis0cis1
= ρ1
cis (0 – θ) = ρ1
cis (– θ)
b) Calcula 1/z e representa geometricamente z e 1/z, sendo:
b1) z = 2 cis(π/4)
b2) z = 41 cis(2π/3)
b1) 1/z = 1/2 cis(0 – π/4) = 1/2 cis(– π/4)
b2) 1/z = 1:41
cis(0 – 2π/3) = 4 cis(– 2π/3)
e.i.
8 z z i π/2 –θ
–θ –8 o θ 6 e.r.
–8 z
e.i. 2 z
π/4 o 1/2 e.r. e.i. 4
z 2π/3
o 1/4 e.r.
221. Sejam z = 2cis (π/3) e w = 2 cis (π/5)
Escreve na forma trigonométrica:
b) 2zw c) 3wz−
b) w = 2 cis (–π/5)
2z = 4 cis ( π/3)
2z w = 4 2 cis (–π/5 + π/3) = 4 2 cis (–3π/15 + 5π/15) = 4 2 cis (2π/15)
c) z = 2 cis ( –π/3)
3wz− = —
−
5cis23
3cis2
π
π
= —
−−
53cis
23
2 ππ = —
−−
153
155
cis6
22 ππ
= —
−
158
cis32 π
= 1 cis (π ) x
−
158
cis32 π
=
+− π
π
158
cis32
=
157
cis32 π
222. Escreve na forma trigonométrica:
a) 2
12
z
z sendo z1 = 2 cis (π/4) e z2 = 3 — 3 i
b) z = 31
65
cis21
i
i
+
+ π
a) 1º passar z2 à forma trigonométrica
ρ = 22 )3(3 −+ = 39 + = 12 = 2 3
arg(z2) = tan–1
−3
3 = –π/6
z2 = 2 3 cis (–π/6)
2º operar na forma trigonométrica
2
12
z
z = 32
22cis [π/4 –(–π/6)] =
3
2cis (3π/12 + 2π/12)
2
12
z
z = 36
cis (5π/12)
o –π/6
b) z = 31
65
cis21
i
i
+
+ π
1º passar tudo à forma algébrica
z = 31
65
cis21
i
i
+
+ π
= 31
21
23
21
i
ii
+
+−+
= 31
232
22
1 2
i
ii
+
−+
= 31
11 3
i
i
+− − =
i
i
i
i
31
31
31
3
−−
+×
− = 31
233+
+− ii = 4
33 i−− = 43− — i
43
2º passar à forma trigonométrica
ρ =
22
43
43
−+
− = 163
169 + =
1612
= 342
= 23
arg(z) = tan –1
−
−
4
43
3
//
= tan –1
33
= 7π/6
Finalmente z = 23 cis (7π/6)
223. Sendo z = 2 3 cis θ e w = cis (5π/6), escreve na forma algébrica o número
2cis
||π
3
zzww3 ⋅−
Tendo em conta que:
|w| = 1
z. z = (2 3 )(2 3 ) cis (θ – θ ) = 12 cis 0 = 12 + 0i
w = cos 5π/6 + i sen 5π/6 = –23
+ 21 i
3 cis ( π/2) = 3 (cos π/2 + i sen π/2 ) = 3 (0 + i) = 0 + 3 i
2cis
||π
3
zzww3 ⋅− =
ii
321
23
3 12−
+− =
i
i
i
i
ii
3
3
321
23
21
23
21
23
3 12×× −
−−
−−
+− =
(Obs: reduzir ao mesmo denominador torna-se mais complicado)
= 3
41
43
23
233
312−
−+
−−i
i
= ii 3423
23 +−− = —
23
+ i237
5π/6
o
cos θ < 0
o 7π/6 sen θ < 0
224. Determina θ e ρ de modo que ρ cis (θ + π/3) = (—1 + i)2
ρ cis (θ + π/3) = (–1 + i)2
<=> ρ cis (θ + π/3) = (–1 + i)(–1 + i)
<=> ρ cis (θ + π/3) = 1 – 2i + i2
<=> ρ cis (θ + π/3) = – 2i ou
<=> ρ cis (θ + π/3) = – 2cis (π/2) <=> ρ = 2 ∧ θ + π/3 = –π/2 + 2kπ, k∈ ZZ
<=> ρ cis (θ + π/3) = 2cis (π + π/2) <=> ρ = 2 ∧ θ = –π/2 – π/3 + 2kπ, k∈ ZZ
<=> ρ = 2 ∧ θ + π/3 = 3π/2 + 2kπ, k∈ ZZ <=> ρ = 2 ∧ θ = – 5π/6 + 2kπ, k∈ ZZ
<=> ρ = 2 ∧ θ = – π/3 + 3π/2 + 2kπ, k∈ ZZ <=> ρ = 2 ∧ θ = 7π/6 + 2kπ, k∈ ZZ
<=> ρ = 2 ∧ θ = 7π/6 + 2kπ, k∈ ZZ
226. Sendo z1 = — 2 — 2 i e z2 = 2cis (2π/3), escreve na forma trigonométrica w = 21zz3⋅
−
|z1| = 22 )2()2( −+− = 22 + = 2
z1 = 2
−− i
22
22
= 2 cis (5π/4)
w = 21zz3⋅
− =
32
cis24
5cis2
0cis3ππ
×
− =
+3
24
5cis4
cis3
ππ
π =
+128
1215
cis4
cis3
ππ
π =
1232
cis4
cis3
π
π
= 43
cis (π – 23π/12) = 43
cis ( –11π/12) = 43
cis (13π/12)
227. Sejam z1 = cis (π/6) e z2 = 1 + i
a) Escreve 2
13
z
zi na forma algébrica e na forma trigonométrica
b) Usa a alínea anterior para calcular o valor exacto de tg (5π/12)
a) Passar à forma algébrica
z1 = cis (π/6) = 23
+ 21 i e 3iz1 =
23 i +
21 i2 = –
23
+ 233 i
2
13
z
zi =ii
i
i
−−
+
+−×
11
1233
23
=2
233
233
23
23 2iii +−+−
=2
2333
2333
i++− +
= i4
3334
333 ++− +
o
–2i
Passar à forma trigonométrica z2 = 1 + i
ρ = 22 11 + = 2 e θ = π/4 logo z2 = 2 cis π/4
3iz1 = 3 cis (π/2) x cis (π/6) = 3 cis (π/2 + π/6) = 3 cis (4π/6) = 3 cis (2π/3)
2
13
z
zi =
4cis2
32
cis3
π
π
= 2
23cis (2π/3 – π/4) =
223
cis (8π/12 – 3π/12) = 2
23cis (5π/12)
b) 2
23cis (5π/12) =
223 (cos 5π/12 + i sen 5π/12) e
223
cis (5π/12) = i4
3334
333 ++− +
cos 5π/12 = 4
333 +− ∧ sen 5π/12 =
4333 +
tg (5π/12) = 333
333
+−+ =
31
31
+−+
228. Escreve na forma trigonométrica:
a) —3 cis (6π/5)
c) —27
cos π3
a) –3 cis (6π/5) é o simétrico de 3 cis (6π/5), logo
–3 cis (6π/5) = 3 cis (6π/5 + π) = 3 cis (11π/5) = 3 cis (π/5)
–3 cis (6π/5) = 3 cis π x cis (6π/5) = 3 cis (6π/5 + π) = 3 cis (11π/5) = 3 cis (π/5)
c) –2 = 2 cis π
cos (3π/7) = cos (3π/7) + 0i (não se trata de um complexo na forma trigonométrica,
somente um número real ≈ 0,2225)
–2 cos (3π/7) = cos (3π/7) (2 cis π) = 2 cos (3π/7) cis π
229. Escreve na forma trigonométrica:
a) sen (π — x) + cos (π + x)i
b) —10 (sen β — i cos β)
c) 1/2 sen (2x) + i sen2 x , com x ∈]π/2, π[ e com x ∈]π, 3π/2[
d) i
i
−+
αα
tgtg
π/5
o 6π/5
a) Aplicando as fórmulas de sen (α – β ) e cos (α + β ) temos
sen (π – x) + cos (π + x)i = sen π cos x – sen x cos π + (cos π cos x – sen π sen x)i
= 0 x cos x – sen x (–1) + (–1 cos x – 0 x sen x)i
= sen x – i cos x (multiplicando e dividindo por i)
= i
ii )cossen( xx − =
iii xx cossen 2−
= ii xx sencos +
=
2cis
cisπ
x = cis ( x – π/2) (passando à forma trigonométrica)
b) –10 (sen β – i cos β) = i
ii )cossen(10 ββ −−= (multiplicando e dividindo por i)
= i-ii )cossen(10 2 ββ −
= i-
i )sencos(10 ββ + =
−2
cis
cis10
π
β
= 10 cis [ β – ( –π/2)] = 10 cis (π/2 + β)
c) 1/2 sen (2x) + i sen2 x = 1/2 (2 sen x cos x ) + i sen x sen x = sen x (cos x + i sen x )
= sen x cis (x ) se
= — sen x cis (x + π)
d) ii
−+
αα
tgtg
= i
i
−
+
αααα
cossencossen
=
ααα
ααα
coscossen
coscossen
i
i
−
+
= αααα
cossen
cossen
i
i
−+
= ii
ii
)cossen
)cossen
((
αααα
−+
= αααα
cossen
cossen2
2
ii
ii
−+
= αααα
sencos
sencos
i
i
++−
= )(cis
)(cis
αα−π
= cis (π – α – α) = cis (π – 2α)
x x
o
π-α
α o
P O TE N CI A ÇÃ O
Temos que z1 x z2 = ρρρρ1 x ρρρρ2 cis (θθθθ 1 + θθθθ 2)
Se z1 = z2 = z3 = . . . = zn então z1 x z2 x z3 x . . . x zn = ρρρρ 1 x ρρρρ2 x ρρρρ2 x . . . x ρρρρn cis (θθθθ 1 + θθθθ 2+ θθθθ 3+. . . +θθθθ n)
ou seja, zn = (ρρρρ cis θθθθ )n pelo que (ρρρρ cis θθθθ )n = ρρρρ n cis (nθθθθ ), n∈∈∈∈IN Fórmula de De Moivre ex: Representar z3 na forma trigonométrica sendo z = 1 + i = 2 cis(π/4)
z x z x z = z3 = (1 + i )3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 3C013i0 + 3C11
2i + 3C21i2 + 3C310i3
= 1 + 3i — 3 — i
= —2 + 2i ρ = 22 2)2( +− = 2 2 e z = 2 2
+− i
22
22
= 2 2 cis(3π/4)
Por aplicação da fórmula
z3 = (1 + i )3 = [ 2 cis(π/4)]3 = 2 2 cis(3π/4)
E se z1 =
ρ
1cis ( — θθθθ ) então
n
z1
= n
)(1
−θ
ρcis = )n(
1n
θρ
−
cis ,
ou seja z—n.
= ρρρρ —n cis (—nθθθθ ), n∈∈∈∈IN
234. Calcula, efectuando os cálculos na forma algébrica e na forma trigonométrica 3
3cis2
π e ( )33 i−
2 cis (π/3)3 = 23 cis (3 π/3) = 8 cis π
[2 cis (π/3)]3 = [2 (cos π/3 + i sen π/3)]3 = [2(1/2 + 3 /2 i )]3 = (1 + 3 i )3
= 13 ( 3 i)0 + 3 x 12 3 i + 3 x 1( 3 i)2 + ( 3 i)3 3C013i0 + 3C11
2i + 3C21i2 + 3C310i3
= 1 + 3 3 i – 9 – 3 3 i
= – 8
( 3 – i )3 = [2( 3 /2 – 1/2i )]3 = [2(cos (–π/6) + i sen (–π/6))]3 = [2 cis (–π/6)]3
= 23 cis (–3π/6) = 8 cis (–π/2)
( 3 – i )3 = ( )33 + 3 ( )23 i + 3 3 i2 + i3
= 3 3 + 9i – 3 3 – i
= 8i
235. Sendo z1 = 2 cis(π/4) e sabendo que arg ( z/z1) = π/2, determina o menor expoente n∈IN para o qual zn é um número real.
θ1 = π/4 e arg( z/z1) = π/2 <=> θ – θ1 = π/2 <=> θ = θ1 + π/2 <=> θ2 = π/4 + π/2 <=> θ2 = 3π/4
z = ρ cis (3π/4) <=> zn = ρn cis (n3π/4)
Para que zn seja um número real tem que se situar sobre o eixo real, ou seja,
arg ( zn ) = 0 + kπ, k∈ZZ
então n(3π/4) = kπ <=> n π
π
3k4
<=> n = 3k4
Assim, se k = 3 temos n = 3
34 × = 4
236. Calcula
b) 12
−ii231
Passar à forma trigonométrica 12
231
−ii =
12
231
×−
ii
ii =
12
23
21
−−+i =
12
21
23
−− i e ρ=
41
43 + = 1
Aplicar a fórmula
12
231
−ii = [cis ( 7π/6)]12 = cis (– 84π/6) = cis (14π) = cis 0 = 1
237. Sendo z = cis(5π/3) calcula (1 + z)12
1º — Passar z à forma algébrica
z = 1[cos (5π/3) + i sen (5π/3)] = 1/2 – 3 /2 i
2º — Somar 1 + z
(1 + z)12 = ( 1 + 1/2 – 3 /2 i)12 = ( 3/2 – 3 /2 i)12
3º — Passar à forma trigonométrica
ρ = 22
23
23
−+
= 43
49 + =
412
= 232
= 3
θ = tan–1 ( –3/ 3 ) = –π/3
4º — Aplicar a Fórmula de Moivre
(1 + z)12 = [ 3 cis (–π/3 )]12 = ( 3 )12 cis (–12π/3 ) = 36 cis (–4π)
(1 + z)12 = 36 cis 0 = 729
238. Mostra que 2cis(2π/3) e 2cis(π/3) são raízes de índice 6 do mesmo número. Qual é esse número?
[2 cis(2π/3)]6 = 26 cis (6 x 2π/3) = 64 cis (12π/3) = 64 cis 4π = 64 cis 0 = 64
[2 cis(π/3)]6 = 26 cis (6 x π/3) = 64 cis (6π/3) = 64 cis 2π = 64 cis 0 = 64
Portanto, esse número é 64
o θ
–π/3
R ADI CI A ÇÃ O
rn = ρρρρ r = n ρ
nαααα = θθθθ + k2ππππ αααα = n
k2n
π+θ
Se (z = n w ) z é raiz índice n de w, então
z = n ρ cis
+n
k2n
πθ , k∈∈∈∈ZZ
A c t i v i da de
Nas figuras abaixo estão representados dois triângulos equiláteros e um pentágono regular, todos com centro na origem dos referenciais e vértices numa circunferência de raio 1 ou 2.
Escrever, na forma trigonométrica, os números complexos que correspondem a cada um dos vértices (de A a K). Designar por zA o número que tem por imagem A, zB o número que tem por imagem B e assim sucessivamente.
Que conclusões tirar acerca de zA , zB, etc.?
I II III
zA3=cis (0)3 = 13cis (3 x 0) = 1 zD
3=2cis (π/2)3 = 23 cis (3π/2)= —8i zG5=2cis (0)5 = 25 cis (5 x 0)=32
zB3=cis (2π/3)3= 13cis (6π/3) = 1 zE
3=2cis (7π/6)3= 23 cis (21π/6) zH5=2cis (2π/5)5= 25 cis (10π/5)
zC3=cis (4π/3)3 = 13cis(12π/3)= 1 = 8 cis (7π/2)= —8i = 32 cis (2π) = 32
zF3=2cis(—π/6)3= 23cis (—3π/6) = —8i zI
5=2cis (4π/5)5= 25 cis (20π/5) = 32 cis (4π) = 32
Verifica-se que: . . . zA, zB e zC são zD, zE e zF são zG, zH, zI, zJ e zK são 3 raízes de índice 3 de 1 3 raízes de índice 3 de —8i 5 raízes de índice 5 de 32 Conclusão
Em ℂℂℂℂ, todo o número, seja real ou imaginário, tem 2 raízes quadradas, 3 raízes cúbicas, 4 raízes quartas, … , n raízes de índice n.
Seja zn = w.<=> r ncis (nαααα) = ρρρρ cis(θθθθ ) em que <=>
y cis(2π/3) B
1 cis 0 A x cis(4π/3) C
y D 2cis(π/2)
2 x E F 2cis(7π/6) 2cis(–π/6)
y H 2cis(2π/5)
2cis(4π/5) I G 2cis 0
2 x J 2cis(6π/5) K 2cis(–2π/5)
239. Calcula ( 2 + i 2 )4 e ( 2 — i 2 )4 e indica quarto raízes de índice 4 de —16. Representa essas raízes geometricamente.
( 2 + i 2 )4 = [2 cis (π/4)]4 = 24 cis (4π/4) = 16 cis π = –16
( 2 – i 2 )4 = [2 cis (–π/4)]4 = 24 cis (–4π/4) = 16 cis (–π ) = –16
Duas das raízes de —16 são: 2 + i 2 e 2 – i 2
Conclui-se que as restantes raízes são: – 2 + i 2 e – 2 – i 2
241. Quais são as raízes de índice 4 de 1? E de —1? Representa-as graficamente.
z = 1 + 0i = 1 cis 0
4 z = 4 1 cis
+4k2
40 π
, k∈ZZ
k = 0: 4 z = 1 cis 0 = 1
k = 1: 4 z = 1 cis (2π/4) = 1 cis (π/2) = i
k = 2: 4 z = 1 cis (4π/4) = 1 cis π = –1
k = 3: 4 z = 1 cis (6π/4) = 1 cis (3π/2) = –i
As raízes de índice 4 de 1 são: 1, —1, i e —i
z = –1 + 0i = 1 cis π
4 z = 4 1 cis
+4k2
4ππ
, k∈ZZ
k = 0: 4 z = 1 cis (π/4) = 2 + 2 i
k = 1: 4 z = 1 cis (π/4 + 2π/4) = 1 cis (3π/4) = – 2 + 2 i
k = 2: 4 z = 1 cis (π/4 + π) = 1 cis (5π/4) = – 2 – 2 i
k = 3: 4 z = 1 cis (π/4 + 6π/4) = 1 cis (7π/4) = 2 – 2 i
As raízes de índice 4 de —1 são: cis (π/4) , cis (3π/4) , cis (5π/4) e cis (7π/4)
242. Usa a definição de raiz de índice 3 de um número para calcular, na forma trigonométrica, as raízes de índice 3 de —1 + i. Representa-as graficamente.
z = –1 + i
ρ = 22 1)1( +− = 2
θ = tan–1 (1/–1) ∧ θ ∈] π/2 , π[ <=> θ = 3π/4
o
–π/4
i
–1 o 1
–i
i22 +− i22 +
–1 o 1
i22 −− i22 −
z = 2 cis (3π/4)
3 z = 3 2 cis
+3k2
123 ππ
= 6 2 cis
+3k2
4ππ
, k∈ZZ
k = 0: 3 z = 6 2 cis (π/4)
k = 1: 3 z = 6 2 cis (π/4 + 2π/3) = 6 2 cis (11π/12)
k = 2: 3 z = 6 2 cis (π/4 + 4π/3) = 6 2 cis (19π/12)
As raízes de índice 3 de —1 + i são os vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 6 2 .
244. Resolve cada uma das equações seguintes em IR e em ℂ.
b) x3 = —1
c) x4 = 16
b) Em IR : x3 = –1 <=> x = 3 1− <=> x = –1
Em ℂ:
x3 = –1 = 1cis π
3 3x = 3 1 cis
+3k2
3ππ
, k∈ZZ na forma algébrica
k = 0: x = cis (π/3) x = cos (π/3) + i sen (π/3) = 21
+ 23 i
k = 1: x = cis (π/3+ 2π/3) = cis π x = cos π + i sen π = –1
k = 2: x = cis (π/3+ 4π/3) = cis (5π/3) x = cos (5π/3) + i sen (5π/3) = 21
–23 i
x 3 = –1 <=> x = –1 v x = 21
+ 23 i v x =
21
–23 i
c) Em IR : x4 = 16 <=> x = 4 16 <=> x = 2 v x = –2
Em ℂ:
x 4 = 16 = 16 cis 0
4 4x = 4 16 cis
+4k2
4π0
, k∈ZZ na forma algébrica
k = 0: x = 2 cis 0 x = 2
k = 1: x = 2 cis (2π/4) = 2 cis (π/2) x = 2( 0 + i ) = 2i
k = 2: x = 2 cis (4π/4) = 2 cis π x = 2( –1 + 0i ) = –2
k = 3: x = 2 cis (6π/4) = 2 cis (3π/2) x = 2( 0 – i ) = –2i
x4 = 16 <=> x = 2 v x = –2 v x = 2i v x = –2i
o 6 2
247. 3 — 3 i é uma das raízes de índice 5 de w. Determina outras duas raízes de índice 5 de w e determina w.
Começamos por passar a raiz conhecida à forma trigonométrica
ρ = ( )22 33 −+ = 12 = 2 3
θ = tan–1
−
33
∧ θ ∈]3π/4 , 2π[ <=> θ = –π/6
z = 2 3 cis (–π/6) é uma raiz de w, pelo que todas as raízes serão da forma
5 w = 2 3 cis
+5k2
5πθ
, k∈ZZ portanto,
θ/5 = –π/6 <=> θ = –5π/6 (é o argumento de w)
k = 0: 5 w = 2 3 cis (–5π/6) (raiz já conhecida)
k = 1: 5 w = 2 3 cis (–5π/6 + 2π/5) = 2 3 cis (–13π/30)
k = 2: 5 w = 2 3 cis (–5π/6 + 4π/5) = 2 3 cis (–π/30)
w = ( )532 cis [5(–π/6)] = 25 x 32 3 cis (–5π/6) (já era sabido que θ = —5π/6 )
w = 288 3 cis (–5π/6)
248. Os vértices do polígono regular da figura são imagens
das raízes de índice n de w. Determina os números cujas imagens são A e E.
Sendo um polígono regular de 7 lados, cada ângulo ao centro mede 2π/7. Assim, XÔC = 2π/14 = π/7
Todas as imagens têm por módulo o raio da circunferência ρ = 2
O argumento de E é π/7 + 2π/7 = 3π/7 e arg(A) = π/7 + 4 x 2π/7 = 9π/7
Portanto E 2 cis (3π/7 ) e A 2 cis (9π/7 )
249. Se as imagens de z = 2 cis (π/12) e do seu conjugado são vértices consecutivos do polígono cujos vértices são as raízes de índice n de w, determina n e w. De que polígono se trata?
Se z = 2 cis (π/12) z= 2 cis (–π/12)
Então n w = 2 cis (π/6 + 2kπ/n), k∈ZZ
2π/n = π/6 <=> n = 12 trata-se de um dodecágono regular
w = ( )122 cis (12π/6) = 64 cis 0 = –64
y E F
D G –2 o x
C
A
B
π/12
o
–π/12
250. Calcula as raízes quartas de 1 e utiliza-as para resolver a equação [( 3 – i )z + i ]4 = 1
x 4 = 1 = 1cis 0
4 4x = cis
+4k2
4π0
, k = {0, 1, 2, 3} na forma algébrica
k = 0: x = cis 0 x = 1
k = 1: x = cis (2π/4) = cis (π/2) x = 0 + i = i
k = 2: x = cis (4π/4) = cis π x = –1 + 0i = –1
k = 3: x = cis (6π/4) = cis (3π/2) x = 0 – i = –i
x4 = 1 <=> x = 1 v x = –1 v x = i v x = –i
[( 3 – i )z + i]4 = 1 <=> ( 3 – i)z + i = 1 v ( 3 – i)z + i = –1 v ( 3 – i)z + i = i v ( 3 – i)z + i = –i
<=> z = i
i
−−
3
1 v z =
i
i
−−−
3
1 v z = 0 v z =
i
i
−−3
2
<=> z = i
i
i
i
++
−−
×3
3
3
1 v z =
i
i
i
i
++
−−−
×3
3
3
1 v z = 0 v z =
i
i
i
i
++
−−
×3
3
3
2
<=> z = 4
33 2i-ii −+ v z =
433 2i-ii −−−
v z = 0 v z = 4
322 2 ii −−
<=> z = i4
314
31 −++ v z = i
431
431 −−+−
v z = 0 v z = i23
21 −
251. Resolve, em ℂ, as equações:
c) z2 — 5iz — 6 = 0
d) z6 — 26z3 = 27
e) 0 12z
z7z
z =+
−−
− ii2
c) z2 – 5iz – 6 = 0 <=> z = 2
)6(4)5(5 2 −−± ii <=> z =
224255 +−±i
<=> z = 2
15 −±i
<=> z = 2
5 ii ± <=> z =
26i
v z = 24i
<=> z = 3i v z = 2i
d) z6 – 26z3 = 27 <=> z6 – 26z3 – 27 = 0 <=> x2 – 26x – 27 = 0 <=> x = 2
)27(4)26(26 2 −−−±
<=> x = 2
78426 ± <=> x =
22826 ±
<=> x = –1 v x = 27
<=> z3 = –1 v z3 = 27
<=> z3 = cis π v z3 = 27 cis 0
<=> z = cis (π/3 + 2kπ/3), k = {0, 1, 2} v z = 3 27 cis (2kπ/3), k = {0, 1, 2}
<=> z = cis (π/3) v z = cis (π/3 + 2π/3) v z = cis (π/3 + 4π/3) v z = 3 cis 0 v
z = 3 cis (2π/3) v z = 3 cis (4π/3)
<=> z = cis (π/3) v z = cis π v z = cis (5π/3) v z = 3 v z = 3 cis (2π/3) v
z = 3 cis (4π/3)
e) 012z
z7
zz
2
=+
−−
− ii substituindo z
z i− por w temos w2 –7w + 12 = 0
w =2
124)7(7 2 ×−−±<=> w =
2
48497 −± <=> w =
217 ±
<=> w = 4 v w = 3
zz i− = 4 v
zz i− = 3 <=> z – i = 4z v z – i = 3z <=> –3z = i v –2z = i
<=> z = –i/3 v z = –i/2
252. Resolve, em ℂ, as equações:
b) x2 = (—1 + i)–6
c) | z |.z2 = (1 — i)3
d) z2 + 3 z i = 0
e) z3 — 2z = 0
b) Passando à forma trigonométrica (–1 + i) = 2 cis (3π/4)
x2 = (—1 + i)–6<=> x = [ 2 cis (3π/4)]–3 v x = —[ 2 cis (3π/4)]–3 (se x2 = y6 <=> x = y3 v x = –y3)
<=> x = 3
2
1
cis
−49π
v x = —3
2
1
cis
−49π
z – n = ρ–n cis (–nθ)
<=> x = 22
1cis
−4π
v x = —22
1cis
−4π
<=> x = 42
− i
22
22 v x = —
42
− i
22
22
<=> x = i82
82 − v x = i
82
82 +− <=> x = i
41
41 − v x = i
41
41 +−
c) | z |.z2 = (1 – i)3
Passando à forma trigonométrica (1 – i) = 2 cis (–π/4)
| z |.z2 = (1 – i)3 <=> | z |.z2 = [ 2 cis (–π/4)]3 z n = ρn cis (nθ)
<=> |z|.z2 = ( 2 )3 cis (– 3π/4)
<=> z2 = ||
8z
cis (– 3π/4) (tendo em conta que |z| é um número real)
<=> z = ||
8z
cis (– 3π/8 + 2kπ/2), k = {0 , 1}
<=> z = 2 cis (– 3π/8) v z = 2 cis (– 3π/8 + π)
<=> z = 2 cis (– 3π/8) v z = 2 cis (5π/8)
d) z2 + 3 z i = 0 <=> z2 = – 3 z i (uma das raízes é zero, pois 02 + 3 x 0 x i = 0)
<=> (ρ cis θ)2 = – 3i ρ cis (–θ) (passando z à forma trigonométrica)
<=> (ρ cis θ)2 = – 3 cis (π/2) ρ cis (–θ) (passando i à forma trigonométrica)
<=> (ρ cis θ)2 = – 3 ρcis (π/2 –θ) (utilizando a regra do produto)
<=> (ρ cis θ)2 = 3 cis π ρcis (π/2 –θ) (passando —3 a complexo)
<=> (ρ cis θ)2 = 3 ρ cis (π + π/2 –θ) (utilizando a regra do produto)
<=> ρ2 cis (2θ) = 3 ρ cis (3π/2 –θ) (utilizando a fórmula da radiciação)
<=>
Ζ∈+
−=
=
kk22
32
3ρρ2
π,π θθ
<=>
Ζ∈+=
=−
kk22
3*3
03)ρ(ρ
π,πθ
<=>
Ζ∈+=
=−∨=
kk22
3*3
03ρ0ρ
π,πθ
<=>
+=
=∨=
= {0,1,2}k3k2
63
3ρ0ρ
,ππθ
(ρ = 0 <=> z = 0; 4ª raíz)
<=> z = 0 v z = 3 cis (π/2) v z = 3 cis (π/2 + 2π/3) v z = 3 cis (π/2 + 4π/3)
<=> z = 0 v z = 3 cis (π/2) v z = 3 cis (7π/6) v z = 3 cis (11π/6)
(* igualando módulos e
argumentos, verifica-se
a existência de 3 raízes)
c.a. ρ =||
8z
<=> ρ = ρ
84
<=> ρ2 = 2
4 3
ρ
2
<=> ρ2 =
ρ
24 6
<=> ρ3 = 4 62 <=> ρ = 3 4 62
<=> ρ = 12 62 <=> ρ = 2
e) z3 –2z
= 0 <=> 2z3 – z = 0 <=> 2(ρ cis θ)3 = ρ cis (–θ)
<=> 2(ρ3 cis 3θ) = ρ cis (–θ)
<=>
Ζ∈+−==
kk23
ρ2ρ3
π,θθ<=>
Ζ∈==−kk2*4
01)ρ(2ρ 2
π,θ
<=>
==
=∨=
{0,1,2,3}k4k2
2/1ρ0ρ 2
,πθ
<=> z = 0 v z = 22 cis(π/2) v z =
22 cis π v z =
22 cis(3π/2) v z =
22 cis(2π)
<=> z = 0 v z = ±22 i v z = ±
22
253. Calcula o produto das raízes:
a) de índice 3 de 1.
b) de índice 4 de 1.
a) 1 = cis 0
z = 3 1 cis }2,1,0{k,3k2
0 =
+ π
z = cis 0 v z = cis (2π/3) v z = cis (4π/3)
Produto das raízes
(cis 0) [ cis (2π/3)] [ cis (4π/3)] = cis (2π/3 + 4π/3) = cis (6π/3) = cis 0 = 1
b) 1 = cis 0
z = 4 1 cis }3,2,1,0{k,4k2
0 =
+ π
z = cis 0 v z = cis (π/2) v z = cis π v z = cis (3π/2)
Produto das raízes
cis 0 x cis (π/2) x cis π x cis (3π/2) = cis (π/2 + π + 3π/2) = cis (6π/2) = cis π = –1
Na forma algébrica
z = 1 v z = i v z = –1 v z = –i
1 x i x (–1) x (–i) = (–i ) x (–i) = i2 = –1
(* igualando módulos e argumentos,
verifica-se a existência de 4 raízes
mais uma para ρ = 0)
c.a. ρ2 = 1/2 <=> ρ = 2/1 <=> ρ =22
LUGARES GEOMÉTRICOS (CONDIÇÕES E CONJUNTOS)
Um número complexo, representado na forma trigonométrica é caracterizado por um módulo e um argumento.
Assim:
|z| = k (k ∈ IR+)
define uma circunferência de raio k e centro na origem
ex: |z| = 2 circunferência de raio 2
|z| ≤≤≤≤ k
define um círculo de raio k e centro na origem (circunferência incluída) Note-se que |z| = |z — 0|
ex: |z| ≤ 5 círculo de raio 5
|z| ≥ k1 ∧∧∧∧ |z| ≤≤≤≤ k2 (k1 < k2) define o domínio plano entre os círculos (fronteiras incluídas)
|z| ≥ 0 é uma condição universal
|z| < 0 é uma condição impossível
ex: |z| ≥ 2 ∧ |z| ≤ 3
|z| > k1 v |z| ≤ k2 (k1 > k2) define o domínio plano interior aos círculo menor e exterior ao círculo maior
ex: |z| > 3 v |z| ≤ 2
arg (z) = ππππ/4 define a semi-recta, pertencente à mediatriz dos quadrantes ímpares
arg (z) = —ππππ/4 v arg (z) = 3ππππ/4 define a mediatriz dos quadrantes pares
ππππ/6 ≤≤≤≤ arg (z) ≤≤≤≤ ππππ/3 define o ângulo representado com lado origem arg (z) = ππππ/6 e lado extremidade arg (z) = ππππ/3
Im
k o Re
Im
k1 k2 o Re
Im
k2 k1 o Re
Im
3π/4
π/4 o –π/4 Re
Im
k o Re
Im
π/6 o Re
Na forma algébrica, há que considerar a parte real e a parte imaginária.
Assim:
|z — i | = 1 define que a distância de z a i é igual a 1 Trata-se de uma circunferência de centro i e raio 1
Em geral
|z — zO| = r representa uma circunferência de centro em zO e raio r
|z — i | ≥ 1 ∧∧∧∧ |z | ≤≤≤≤ 2
|z — i | = 1 circunferência de centro 0 + i e raio 1
|z | = 2 circunferência de centro 0 e raio 2
|z — 1 + i | < 2 <=> |z — (1 — i)| < 2
zO = 1 — i (centro)
Im(z) = k {z∈ℂ: Im(z) = k} Recta horizontal
Todas as imagens dos complexos cujo coeficiente da parte imaginária seja k
Im(z) ≥ k
Semiplano limitado inferiormente pela recta y = k (fronteira incluída)
Re(z) = k {z∈ℂ: Re(z) = k} Recta vertical
Todas as imagens dos complexos cuja parte real seja x = k
Re(z) ≤≤≤≤ k
Semiplano limitado à direita pela recta x = k
Im
o 1 2 Re
Im
o 1 2 3 Re –1
Im
y = k
o Re
Im r
o 1 2 Re
Im
y = k
o Re
Im
o x = k Re
Im
x = k o Re
Im(z — 2 + 3i ) ≤≤≤≤ 2
fazendo z = x + yi temos Im(x + yi — (2 — 3i)) ≤ 2 Im(x — 2 + (y + 3)i ) ≤ 2 y + 3 ≤ 2 <=> y ≤ —1 semiplano limitado pela recta y ≤ –1
Re(z + 1 + 2i ) = 3
fazendo z = x + yi temos Im(x + 1 + (y + 2)i ) = 3 x + 1 = 3 <=> x = 2
Em geral
Im (z — z1) = k representa a recta y = b + k
Re (z — z1) = k representa a recta x = a + k
|z — 2| = |z — 2i|
Conjunto dos pontos cuja distância a 2 é igual à distância a 2i . Mediatriz do segmento de recta [Z0Z1]
|z + 1| ≤≤≤≤ |z — 2i|
Conjunto dos pontos cuja distância a —1 é inferior à distância a 2i. Semiplano fechado definido pela mediatriz do segmento [Z0Z1] e que contém o ponto Z0
|z — 3 — 2i| + |z + 3 — 2i| = d
Conjunto dos pontos cuja soma das distância entre as imagens de (—3 + 2i) e (3 + 2i) é igual a d
Em geral
|z — zo| = |z — z1| define a mediatriz do segmento [Z0Z1]
|z — zo| < |z — z1| representa o semiplano aberto definido pela mediatriz do segmento [Z0Z1] e que contém Z0.
|z — zo| + |z — z1| = d define a elipse de focos Z0 e Z1 e eixo maior d.
ππππ/6 ≤≤≤≤ arg ( z + 1 — i) ≤≤≤≤ 2ππππ/3
define o ângulo de vértice em (—1 + i ) compreendido entre as semi-rectas arg (z) = π/6 e arg (z) = 2π/3
Im
o Re -1
Im
o 2 Re
Im Zo = 2i
o Z1 = 2 Re
Im Z1 = 2i
Zo =–1 o Re
Im
Z0 2 Z1
–3 o 3 Re
Im
π/6
-1 o Re
Outros exemplos
1. Conjuntos de imagens que satisfazem:
| z | = 3 | z | ≤ 2 | z | > 4 1 ≤ | z | ≤ 3
2. Imagens geométricas dos complexos: Conjuntos das imagens que satisfazem:
z1 = 2 cis (ππππ/3) z2 = 3 cis (ππππ/3) arg z = π/4 π/4 ≤ arg z ≤ 2π/3
z3 = 0,5 cis (ππππ/3) z4 = 3 cis (ππππ/3) arg z = 2π/3 — π/2 ≤ arg z ≤ π/6
3. conjunção de condições — intersecção de conjuntos (p ∧∧∧∧ q <=> A ∩∩∩∩ B)
| z | ≤ 2 ∧ π/4 ≤ arg z ≤ 3π/4 | z | ≥ 2 2 ∧ π/6 ≤ arg z ≤ 11π/6 zo= 3 + 2i, |z — zo| ≤ 2
e.i. | z | = 3
| z | ≤ 2 2 3 e.r.
e.i. | z | ≥ 4 1 3 4 e.r. 1 ≤ | z | ≤ 3
e.i.
z2
z4 z1
z3 π/3 0,5 2 3 e.r. 3
e.i.
arg z = 2π/3 arg z = π/4
e.r.
e.i.
π/4 ≤ arg z ≤ 2π/3
e.r. –π/4 ≤ arg z ≤ π/6
e.i. π/4 ≤ arg z ≤ 3π/4
A ∩∩∩∩ B
e.r.
| z | ≤ 2
e.i. |z – zo | ≤≤≤≤ 2
2 zo(3 , 2 ) 3 e.r.
e.i π/6
(3, 3 )
e.r.
(3,– 3 )
11π/6
258. Determina a posição da imagem de z1 em relação à circunferência de centro (—1, 2) e raio 3, sendo:
a) z1 = 6i
b) z1 = 2 + 2i
c) z1 = 2 + 3 i
Considerando zo = —1 + 2i, pretende-se saber se a distância entre as imagens de z1 e zo é maior, menor ou igual ao raio da circunferência de centro em Zo.
a) z1 = 6i
|6i – (–1 + 2i)| = |6i + 1 – 2i | = |1 + 4i | = 22 41 + = 17 ≈ 4,123
A imagem de z1 é exterior à circunferência
b) z1 = 2 + 2i
|2 + 2i – (–1 + 2i)| = |2 + 1 + 2i– 2i | = | 3 | = 3
A imagem de z1 pertence à circunferência
c) z1 = 2 + 3 i
|2 + 3 i – (–1 + 2i)| = | 2 + 1 + ( 3 – 2)i | = |3 + ( 3 – 2)i | = 22 )( 233 −+
= )4329 +− ≈ 3,01
A imagem de z1 é exterior à circunferência
259. Determina o perímetro do triângulo cujos vértices são as imagens de: z1 = 2 — i ; z2 = 1 + i e z3 = —2 — 2i
|z1 – z2| = |2 – i – (1 + i ) | = |2 – i – 1 – i | = |1 – 2i | = 5
|z2 – z3| = |1 + i – (–2 – 2i ) | = |1 + 2 + i + 2i | = |3 + 3i | = 23
|z1 – z3| = |2 – i – (–2 – 2i ) | = |2 + 2 – i + 2i | = |4 + i | = 17
Perímetro 5 + 23 + 17
e.i. z2
o e.r. z1
z3
260. Representa no plano complexo os conjuntos dos pontos definidos por:
a) |z — 2 —3i| = 4
b) |z + 2 — i | ≤ 3
d) |z — 1| ≥ |z — 2 + i |
a) |z – 2 – 3i| = 4 <=> |z – ( 2 + 3i)| = 4
Circunferência de centro (2 + 3i) e raio 4
b) |z + 2 – i | ≤ 3 <=> |z –(–2 + i)| ≤ 3
Círculo de centro (—2 + i) e raio 3
d) |z – 1| ≥ |z – 2 + i | <=> |z – (1 + 0i)| ≥ |z – (2 – i)|
Semiplano limitado pela mediatriz do segmento e extremos nas imagens de z0 = 1 e z1 = 2 — i e que contém z1
264. Observa a figura em que r é a mediatriz [AB]. Define por uma condição em ℂ o triângulo colorido.
Determinar a equação da mediatriz de [AB]
|z – 4i | = |z – 2| semiplano que contém A: |z – 4i | ≥ |z – 2|
O declive de AB é m = 2004
−− = —2, logo o declive da recta r,
por ser perpendicular é m’ = —1/m = 1/2 , ou seja, o ângulo que faz com a horizontal é π/4.
O triângulo tem um vértice em (—3 + 0i), que é o zero da recta y = x/2 + 3/2 e desenvolve-se
dentro do ângulo com origem nesse ponto e amplitude π/4, ou seja, arg (z – (–3)) ≤ π/4
Condição que define o triângulo: arg (z + 3) ≤ π/4 ∧ |z – 4i | ≥ |z – 2|
Outra solução, mais simples, considerando o ângulo de vértice em (4 + 0i ) com origem em arg (z – 4) = 3π/4 : 3π/4 ≤ arg (z – 4) ≤ π ∧ |z – 2| ≤ |z – 4i |
e.i.
zo(2 , 3 ) o e.r.
e.i.
zo(1 , 0) o e.r. z1(2 , -1)
e.i.
zo(–2 , 1) o e.r.
e.i. B r
o A e.r.
Questões de escolha múltipla saídas em Provas de Exame e Testes Intermédios
1. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é π/3.
Qual dos valores seguintes é um argumento de z2i , sendo zo conjugado de z ?
(A) π/6 (B) 2π/3 (C) 5π/6 (D) 7π/6
2. Seja b um número real positivo, e z1 = bi um número complexo. Em qual dos triângulos seguintes os vértices podem ser as imagens geométricas dos números complexos z1 , (z1)
2 e (z1)3 ?
(A) (B) (C) (D)
3. Seja k um número real, e z1 = (k — i ) (3 — 2i) um número complexo.
Qual é o valor de k, para que z1 seja um número imaginário puro?
(A) —3/2 (B) —2/3 (C) 2/3 (D) 3/2
4. Na figura está representada uma região do plano complexo. O ponto A tem coordenadas (2, —1). Qual das condições seguintes define em ℂ, conjunto dos números complexos, a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1
(B) |z — 1| ≤ |z − (2 — i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1
(C) |z + 1| ≥ |z − (2 + i)| ∧ Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1
(D) |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| ∧ Im(z) ≤ 2 ∧ Re(z) ≥ −1
Im(z)
o Re(z)
Im(z)
o Re(z)
Im(z)
o Re(z)
Im(z)
o Re(z)
Im(z)
1 2 o Re(z)
–1 A
5. Considere, em ℂ, z + z= 2.
Em qual das figuras seguintes pode estar representado, no plano complexo, o conjunto de pontos definidos por esta condição?
(A) (B) (C) (D)
6. Considere a figura representada no plano complexo. Qual é a condição, em ℂ, que define a região sombreada da figura, incluindo a fronteira?
(A) Re (z) ≤ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0
(B) Re (z) ≤ 3 ∧ 0 ≤ arg (z) ≤ π/4
(C) Im (z) ≤ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0
(D) Re (z) ≥ 3 ∧ —π/4 ≤ arg (z) ≤ 0
7. Seja z = 3i um número complexo. Qual dos seguintes valores é um argumento de z ?
(A) 0 (B) π/2 (C) π (D) 3π/2
8. Seja z um número complexo de argumento π/6.
Qual dos seguintes valores é um argumento de (—z) ?
(A) —π/6 (B) 5π/6 (C) π (D) 7π/6
9. Qual das opções seguintes apresenta duas raízes quadradas de um mesmo número complexo?
(A) 1e i (B) —1 e i (C) 1 — i e 1 + i (D) 1 — i e —1 + i
10. Em ℂ, conjunto dos números complexos, seja i a unidade imaginária.
Seja n um número natural tal que in = —i .
Indique qual dos seguintes é o valor de in + 1.
(A) 1 (B) i (C) —1 (D) — i
Im(z)
1
o Re(z)
Im(z)
o 1 Re(z)
Im(z)
1
-1 o Re(z)
Im(z)
1
-1 o 1 Re(z)
-1
Im(z)
o 3 Re(z)
–3
11. Os pontos A e B, representados na figura, são as imagens geométricas, no plano complexo, das raízes quadradas de um certo número complexo z.
Qual dos números complexos seguintes pode ser z?
(A) i (B) — i (C) 1 (D) —1
12. Na figura estão representadas, no plano complexo, duas circunferências, ambas com centro no eixo real, tendo uma delas raio 1 e a outra raio 2. A origem do referencial é o único ponto comum às duas circunferências. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) |z — 1| ≥ 1 ∧ |z − 2| ≤ 2
(B) |z — 1| ≥ 2 ∧ |z − 2| ≤ 1
(C) |z — 1| ≤ 1 ∧ |z − 2| ≥ 2
(D) |z — 1| ≤ 2 ∧ |z − 2| ≥ 1
13. Em ℂ, conjunto dos números complexos, considere z1 = 2 cis π/4 e z2 = 2i.
Sejam P1 e P2 as imagens geométricas, no plano complexo, de z1 e z2 respectivamente. Sabe-se que o segmento de recta [P1P2] é um dos lados do polígono cujos vértices são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w.
Qual é o valor de n ?
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10
14. Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo rectângulo isósceles. Os catetos têm comprimento 1, estando um deles contido no eixo dos números reais. Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial. Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?
(A) Re (z) ≥ 0 ∧ Im (z) ≤ 0 ∧ |z| ≤ 1
(B) Re (z) ≤ 0 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z| ≤ 1
(C) Re (z) ≥ —1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z — i | ≥ |z + 1|
(D) Re (z) ≥ —1 ∧ Im (z) ≥ 0 ∧ |z — i | ≤ |z — 1|
A
B
15. Para um certo número real positivo ρ e para um certo número real α compreendido entre 0 e π/2, o número complexo ρ cis α tem por imagem geométrica o ponto P, representado na figura.
Qual é a imagem geométrica do número complexo ρ/2 cis (2α)?
(A) O ponto A (B) O ponto B (C) O ponto C (D) O ponto D
—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————
Respostas
1. C Se arg(z) = π/3 , arg( z ) = —π/3 e arg (2i) = π/2. O quociente será π/2 — (—π/3) = 5π/6
2. C z1 = bi tem argumento π/2 pelo que arg(z1)2 = 2π/2 = π e arg(z1)3 = 3π/2 por esta ordem. Sendo |z1| = b > 1, b, b
2 e b3 encontram-se em progressão geométrica, como mostrado em C.
3. C z1 = 3k — 2ki — 3i —2 = 3k —2 — (2k + 3)i
Re(z1) = 0 ∧ Im(z1) ≠ 0 <=> 3k —2 = 0 ∧ 2k + 3 ≠ 0 <=> k = 2/3 ∧ k ≠ —3/2
4. A |z — 1| é a distância de z à imagem de 1 e |z – (2 — i)| é a distância de z à imagem de A. O semiplano delimitado pela mediatriz do segmento que contém A, e de extremos 1 e A, é dado por |z — 1| ≥ |z − (2 — i)| . Re(z) ≤ 2 ∧ Im(z) ≥ −1 definem o domínio plano acima de Im(z) = −1 e à esquerda de Re(z) = 2.
5. B As imagens de um complexo e do seu conjugado situam-se sobre as mesma recta vertical. Sabe-se também que, por definição, z + z = 2a , sendo a = Re(z). Ou seja, x + yi + x — yi = 2 <=> 2x = 2 <=> x = 1
6. A Domínio plano definido pelo semiplano delimitado por Re (z) ≤ 3 e o ângulo com lado origem arg (z) = —π/4 e lado extremidade arg (z) = 0
A P
B
C
D
7. B Na forma trigonométrica, z = 3 cis π/2
8. D Por definição, arg (—z) = arg(z) + π , ou seja, arg (—z) = π/6 + π = 7π/6
9. D As raízes quadradas de um mesmo número complexo têm que obedecer à fórmula da radiciação, pelo que, z = ρ cis (θ/2 + 2kπ/2), k = {0, 1}.
Na resposta D temos z1 = 2 cis (—π/4) e = z1 = 2 cis (3π/4)
10. A in + 1 = i x in = i (—i ) = —i2 = —(—1) = 1
11. B A é a imagem de ρ cis (3π/4) e B é a imagem de ρ cis (—π/4), então z = [ρ cis (3π/4)]2 = ρ2 cis (2 x 3π/4) = ρ2 cis (6π/4) = ρ2 cis (3π/2) = —i
z = [ρ cis (—π/4)]2 = ρ2 cis (2(—π/4)) = ρ2 cis (—π/2) = ρ2 cis (3π/2) = —i
12. A |z — 1| ≥ 1 define a circunferência de centro 1 e raio 1 e todo o domínio exterior
|z − 2| ≤ 2 define o círculo de centro 2 e raio 2
13. C Conforme ilustra a imagem, tem que ser um polígono de 8 lados, octógono regular.
14. C Re (z) ≥ —1 define o semiplano à direita da recta x = —1. Im (z) ≥ 0 define o semiplano acima do eixo real. |z — i | ≤ |z — 1| define o semiplano abaixo da mediatriz do segmento cujos extremos são as imagens dos complexos 1 e i (fronteiras incluídas nos três domínios).
15. B O Ponto B apresenta metade da distância à origem e o dobro do argumento.
2i
2 cis π/4
o e.r.